25 Dizilerin Yığılma Noktaları, Üst Limit ve Alt Limit
Yakınsak bir dizinin bütün terimleri sonunda tek bir sayının çevresinde toplanır. Iraksak bir dizi ise böyle tek bir sayıya sahip değildir; ama bu, terimlerin hiçbir yerde toplanmadığı anlamına gelmez. Örneğin \(((-1)^n)\) dizisinin limiti yoktur, fakat terimleri \(1\) ve \(-1\) sayılarının çevresinde “yığılır”. Alt Diziler ve Bolzano–Weierstrass Teoremi bölümünde sınırlı her dizinin yakınsak bir alt dizisi olduğunu gördük; yani sınırlı bir dizi ıraksak olsa bile en az bir “yığılma yeri” vardır.
Bu bölümde bu fikri kesinleştireceğiz. Önce bir dizinin yığılma noktası kavramını tanımlayıp bunun “yakınsak alt dizinin limiti” ile aynı şey olduğunu göstereceğiz. Sonra bütün yığılma noktalarının en büyüğü ve en küçüğü olan üst limit (\(\limsup\)) ve alt limit (\(\liminf\)) kavramlarını inceleyeceğiz. Bu iki sayı, limit olmadığında bile her dizi için anlamlıdır ve dizinin “sonsuzdaki” davranışını iki sayıyla özetler: dizi yakınsaktır ancak ve ancak üst limitiyle alt limiti aynı reel sayıysa.
25.1 Dizinin Yığılma Noktası
Bir kümenin yığılma noktasını (Tanım 17.1) kümenin elemanlarının bir noktaya “sonsuz yakından” sokulmasıyla tanımlamıştık. Dizilerde benzer fikri terimlerin indisleri üzerinden kuracağız: bir \(a\) noktası, dizinin terimleri \(a\)’nın her komşuluğuna sonsuz çoklukta indisle giriyorsa dizinin bir yığılma noktasıdır.
Tanım 25.1 (Dizinin Yığılma Noktası) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi ve \(a \in \mathbb{R}\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(|a_n - a| < \varepsilon\) koşulunu sağlayan sonsuz çoklukta \(n \in \mathbb{N}\) indisi varsa, \(a\)’ya \((a_n)\) dizisinin bir yığılma noktası (accumulation point, cluster point) denir. Sembolik olarak:
\[\forall \varepsilon > 0,\ \forall m \in \mathbb{N},\ \exists n \ge m : \ |a_n - a| < \varepsilon.\]
Dizinin bütün yığılma noktalarının kümesini \(Y\) ile göstereceğiz.
Sembolik yazımın “sonsuz çoklukta indis” ile aynı şeyi söylediğine dikkat edelim: \(\mathbb{N}\)’nin bir alt kümesi sonsuzdur ancak ve ancak üstten sınırlı değilse, yani her \(m\) için \(m\)’den büyük ya da eşit bir eleman içeriyorsa. (Üstten sınırlı bir doğal sayı kümesi \(\{1, 2, \dots, m\}\)’nin alt kümesidir; dolayısıyla sonludur.) Tanım şunu söyler: hangi \(m\) indisinden sonrasına bakarsak bakalım, \(a\)’nın \(\varepsilon\)-komşuluğuna (Tanım 15.1) düşen bir terim daha buluruz.
Yığılma noktalarını doğrudan tanımla aramak zahmetlidir; neyse ki alt diziler işi kolaylaştırır.
Teorem 25.1 (Yığılma Noktalarının Alt Dizilerle Karakterizasyonu) \((a_n)\) bir dizi ve \(a \in \mathbb{R}\) olsun. \(a\)’nın \((a_n)\) dizisinin bir yığılma noktası olması için gerek ve yeter koşul, \((a_n)\)’nin \(a\)’ya yakınsayan bir \((a_{n_k})\) alt dizisinin bulunmasıdır:
\[a \in Y \iff \exists (a_{n_k}) \text{ alt dizisi},\ \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a.\]
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \(a\) bir yığılma noktası olsun. İndisleri adım adım seçeceğiz.
Tanımda \(\varepsilon = 1\) ve \(m = 1\) alalım: \(|a_{n_1} - a| < 1\) olan bir \(n_1 \ge 1\) vardır. Şimdi \(n_k\) seçilmiş olsun. Tanımda \(\varepsilon = \dfrac{1}{k+1}\) ve \(m = n_k + 1\) alalım: \(n_{k+1} \ge n_k + 1 > n_k\) ve
\[|a_{n_{k+1}} - a| < \frac{1}{k+1}\]
olan bir \(n_{k+1}\) indisi vardır. Böylece kesin artan bir \((n_k)\) indis dizisi elde ettik; Tanım 24.1 gereği \((a_{n_k})\), \((a_n)\)’nin bir alt dizisidir ve kuruluş gereği her \(k\) için \(|a_{n_k} - a| < \dfrac{1}{k}\), yani
\[a - \frac{1}{k} < a_{n_k} < a + \frac{1}{k}\]
sağlanır. \(\dfrac{1}{k} \to 0\) olduğundan (Örnek 20.1) iki uçtaki diziler Teorem 21.1 gereği \(a\)’ya yakınsar; sıkıştırma teoremi (Teorem 21.6) ile \(\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a\).
(\(\Leftarrow\) yönü) \((a_{n_k})\) alt dizisi \(a\)’ya yakınsasın. \(\varepsilon > 0\) ve \(m \in \mathbb{N}\) verilsin; \(n \ge m\) ve \(|a_n - a| < \varepsilon\) olan bir \(n\) bulmalıyız. Yakınsaklık tanımından (Tanım 20.1) \(k \ge K\) iken \(|a_{n_k} - a| < \varepsilon\) olan bir \(K\) vardır. \(k = \max\{K, m\}\) alalım. Önerme 24.1 gereği \(n_k \ge k \ge m\)’dir ve \(k \ge K\) olduğundan \(|a_{n_k} - a| < \varepsilon\). Demek ki \(n = n_k\) aranan indistir. \(\varepsilon\) ve \(m\) keyfi olduğundan \(a \in Y\).
\(\blacksquare\)
Bu teorem sayesinde “yığılma noktası” ile “alt dizi limiti” sözcüklerini birbirinin yerine kullanabiliriz. Özellikle Bolzano–Weierstrass teoremi (Teorem 24.5) şöyle okunur: sınırlı her dizinin en az bir yığılma noktası vardır.
Önerme 25.1 (Yakınsak Dizinin Tek Yığılma Noktası Limitidir) \((a_n)\) dizisi \(a\) sayısına yakınsıyorsa dizinin tek yığılma noktası \(a\)’dır: \(Y = \{a\}\).
İspat
Dizinin kendisi (\(n_k = k\) seçimiyle) kendi alt dizisidir ve \(a\)’ya yakınsar; Teorem 25.1 ile \(a \in Y\). Şimdi \(b \in Y\) olsun. Teorem 25.1 gereği \(b\)’ye yakınsayan bir \((a_{n_k})\) alt dizisi vardır. Öte yandan Teorem 24.1 gereği yakınsak bir dizinin her alt dizisi aynı limite yakınsar; yani \((a_{n_k})\) aynı zamanda \(a\)’ya yakınsar. Limitin tekliğinden (Teorem 20.1) \(b = a\).
\(\blacksquare\)
Yakınsak bir dizinin tek yığılma noktası limitidir; ama bunun karşıtı doğru değildir. Bir dizinin yığılma noktası olduğu hâlde limiti olmayabilir; üstelik bir dizinin birden çok, hatta sonsuz çoklukta yığılma noktası olabilir. Aşağıdaki örnekler bunu gösteriyor.
Örnek 25.1 (Yığılma Noktası Örnekleri) Aşağıdaki dizilerin yığılma noktalarını bulalım.
\(a_n = (-1)^n\), yani \((-1, 1, -1, 1, \dots)\).
\(a_n = n\), yani \((1, 2, 3, \dots)\).
Bloklar hâlinde yazılan \(\left(1,\ 1, \tfrac{1}{2},\ 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3},\ 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4},\ \dots\right)\) dizisi; \(k\)-ıncı blok \(1, \tfrac{1}{2}, \dots, \tfrac{1}{k}\) terimlerinden oluşur.
Çözüm
a) Çift indisli alt dizi \((a_{2k}) = (1, 1, 1, \dots)\) sabit dizisi \(1\)’e, tek indisli alt dizi \((a_{2k-1}) = (-1, -1, \dots)\) ise \(-1\)’e yakınsar; Teorem 25.1 ile \(1, -1 \in Y\). Başka yığılma noktası yoktur: \(a \notin \{-1, 1\}\) olsun ve \(\varepsilon = \min\{|a - 1|, |a + 1|\} > 0\) alalım. Dizinin her terimi ya \(1\) ya da \(-1\) olduğundan her \(n\) için \(|a_n - a| \ge \varepsilon\); yani \(|a_n - a| < \varepsilon\) koşulunu sağlayan hiçbir indis yoktur. O hâlde \(Y = \{-1, 1\}\). Dizi ıraksaktır (Örnek 20.6) ama iki yığılma noktası vardır.
b) Herhangi bir \(a \in \mathbb{R}\) alalım ve \(\varepsilon = 1\) seçelim. \(|n - a| < 1\) koşulu \(a - 1 < n < a + 1\) demektir; bu aralıkta üstten \(a + 1\) ile sınırlı olduğundan sonlu tane doğal sayı vardır. Dolayısıyla koşulu sağlayan sonsuz çoklukta indis yoktur ve \(a\) yığılma noktası değildir. \(Y = \varnothing\)’dir; bu, sınırsız dizilerde mümkündür (sınırlı dizilerde Bolzano–Weierstrass gereği mümkün değildir).
c) Sabit bir \(j \in \mathbb{N}\) alalım. \(\dfrac{1}{j}\) terimi \(k \ge j\) olan her blokta bir kez görülür; bloklar sonsuz tane olduğundan \(\dfrac{1}{j}\) değeri sonsuz çoklukta indiste alınır. Bu indislerden oluşan alt dizi sabittir ve \(\dfrac{1}{j}\)’ye yakınsar; demek ki her \(j\) için \(\dfrac{1}{j} \in Y\).
\(0\) da bir yığılma noktasıdır: \(\varepsilon > 0\) verilsin; Sonuç 12.2 ile \(\dfrac{1}{j} < \varepsilon\) olan bir \(j\) seçelim. \(\dfrac{1}{j}\) değeri sonsuz çoklukta indiste alındığından \(|a_n - 0| = \dfrac{1}{j} < \varepsilon\) eşitsizliği sonsuz çoklukta \(n\) için sağlanır. O hâlde \(0 \in Y\).
Başka yığılma noktası yoktur. \(a < 0\) ise \(\varepsilon = |a|\) için hiçbir terim \((a - \varepsilon, a + \varepsilon) = (2a, 0)\) aralığına düşmez, çünkü bütün terimler pozitiftir. \(a > 1\) ise \(\varepsilon = a - 1\) için \((1, 2a - 1)\) aralığında terim yoktur, çünkü bütün terimler \(1\)’den küçük ya da eşittir. \(0 < a < 1\) ve \(a\) hiçbir \(\dfrac{1}{j}\)’ye eşit değilse, \(\dfrac{1}{j+1} < a < \dfrac{1}{j}\) olan bir \(j \in \mathbb{N}\) vardır (\(j = \left\lfloor \dfrac{1}{a} \right\rfloor\) alınabilir; Tanım 12.1). \(\varepsilon = \min\left\{a - \dfrac{1}{j+1},\ \dfrac{1}{j} - a\right\} > 0\) seçelim. \(m \ge j + 1\) için \(\dfrac{1}{m} \le \dfrac{1}{j+1} \le a - \varepsilon\) ve \(m \le j\) için \(\dfrac{1}{m} \ge \dfrac{1}{j} \ge a + \varepsilon\) olduğundan hiçbir terim \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) aralığına düşmez. Sonuç:
\[Y = \{0\} \cup \left\{ \frac{1}{j} : j \in \mathbb{N} \right\}.\]
Dizinin sonsuz çoklukta yığılma noktası vardır. \(Y\) kümesinin kapalı olduğuna da dikkat edelim: \(\left\{\dfrac{1}{j} : j \in \mathbb{N}\right\}\) kümesinin tek yığılma noktası \(0\)’dır (Yığılma Noktaları, Kapanış ve Yoğun Kümeler bölümünde göstermiştik) ve \(0 \in Y\)’dir; birazdan bunun genel bir olgu olduğunu göreceğiz.
\(\blacksquare\)
İki kavram birbirine yakındır ama aynı değildir. Bir kümenin yığılma noktası, kümenin elemanlarının o noktanın çevresinde toplanmasıyla ilgilidir; bir dizinin yığılma noktası ise indislerin o noktayı sonsuz kez ziyaret etmesiyle ilgilidir. \(((-1)^n)\) dizisinin yığılma noktaları \(-1\) ve \(1\)’dir; oysa dizinin görüntü kümesi \(A = \{-1, 1\}\) sonlu olduğundan Sonuç 17.1 gereği hiç yığılma noktası yoktur. Fark, aynı değerin sonsuz çoklukta indiste alınabilmesinden kaynaklanır. Aşağıdaki önerme ilişkiyi tam olarak açıklıyor.
Önerme 25.2 (Dizinin ve Görüntü Kümesinin Yığılma Noktaları) \((a_n)\) bir dizi, \(A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) görüntü kümesi ve \(A'\) bu kümenin yığılma noktaları kümesi olsun.
- \(A' \subseteq Y\): kümenin her yığılma noktası dizinin de yığılma noktasıdır.
- \(x \in Y\) ise ya \(x \in A'\) ya da \(x = a_n\) eşitliği sonsuz çoklukta \(n\) için sağlanır.
İspat
(1) \(x \in A'\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. Teorem 17.1 gereği \((x - \varepsilon, x + \varepsilon)\) komşuluğu \(A\)’nın sonsuz çoklukta elemanını içerir. Farklı elemanlar farklı indislere karşılık geldiğinden \(|a_n - x| < \varepsilon\) koşulunu sağlayan sonsuz çoklukta \(n\) vardır; yani \(x \in Y\).
(2) \(x \in Y\) olsun ve \(x\)’in yalnızca sonlu çoklukta indiste alındığını varsayalım. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(|a_n - x| < \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta indis vardır; bunlardan yalnızca sonlu tanesinde \(a_n = x\) olabilir. Demek ki \(a_n \ne x\) ve \(|a_n - x| < \varepsilon\) olan bir \(n\) vardır: \(a_n\), \(x\)’in delinmiş \(\varepsilon\)-komşuluğunda \(A\)’nın bir elemanıdır. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan Tanım 17.1 gereği \(x \in A'\).
\(\blacksquare\)
25.2 Yığılma Noktaları Kümesi
Örnek (c)’de gördüğümüz gibi yığılma noktaları kümesi kendi yığılma noktalarını da içerir. Bu genel bir olgudur.
Teorem 25.2 (Yığılma Noktaları Kümesi Kapalıdır) Her \((a_n)\) dizisi için yığılma noktaları kümesi \(Y\) kapalı bir kümedir (Tanım 16.1).
İspat
Kapalılığın dizisel karakterizasyonunu (Teorem 21.10) kullanalım: \(Y\) içindeki her yakınsak dizinin limitinin yine \(Y\)’de olduğunu göstermek yeter. (\(Y = \varnothing\) ise bu koşul boş yere sağlanır; zaten boş küme kapalıdır.)
\((y_k)\), \(Y\)’de bir dizi ve \(y_k \to y\) olsun. \(y \in Y\) olduğunu görelim: \(\varepsilon > 0\) ve \(m \in \mathbb{N}\) verilsin. \(y_k \to y\) olduğundan \(|y_K - y| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(K\) vardır. \(y_K \in Y\) olduğundan yığılma noktası tanımını \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) ve \(m\) ile uygulayalım: \(n \ge m\) ve \(|a_n - y_K| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(n\) vardır. Üçgen eşitsizliğiyle (Teorem 8.2)
\[|a_n - y| \le |a_n - y_K| + |y_K - y| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]
Demek ki her \(\varepsilon\) ve her \(m\) için \(n \ge m\), \(|a_n - y| < \varepsilon\) olan bir \(n\) vardır: \(y \in Y\).
\(\blacksquare\)
Yığılma noktalarının ilk büyük faydasını hemen görelim: yakınsaklığı, limiti önceden bilmeden denetleyebiliriz. (\(Y\)’nin kapalı olması ise birazdan üst ve alt limit tanımlanırken devreye girecek.)
Teorem 25.3 (Sınırlı Dizilerde Yakınsaklık Ölçütü) Sınırlı bir \((a_n)\) dizisinin yalnızca bir yığılma noktası varsa dizi bu noktaya yakınsar.
İspat
\((a_n)\) sınırlı ve \(Y = \{a\}\) olsun. Olmayana ergi yöntemiyle dizinin \(a\)’ya yakınsamadığını varsayalım. Yakınsaklık tanımının olumsuzlaması şudur:
\[\exists \varepsilon_0 > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N : \ |a_n - a| \ge \varepsilon_0.\]
Yani \(|a_n - a| \ge \varepsilon_0\) eşitsizliğini sağlayan sonsuz çoklukta \(n\) vardır. Bu indislerden kesin artan bir \((n_k)\) dizisi seçelim: önce \(|a_{n_1} - a| \ge \varepsilon_0\) olan bir \(n_1\), sonra \(N = n_k + 1\) ile \(n_{k+1} > n_k\) ve \(|a_{n_{k+1}} - a| \ge \varepsilon_0\) olan bir \(n_{k+1}\). Böylece her terimi \(a\)’dan en az \(\varepsilon_0\) uzakta olan bir \((a_{n_k})\) alt dizisi elde ederiz.
\((a_n)\) sınırlı olduğundan \((a_{n_k})\) de sınırlıdır; Bolzano–Weierstrass teoremi (Teorem 24.5) gereği yakınsak bir \((a_{n_{k_j}})\) alt dizisi vardır. Limitine \(b\) diyelim. Alt dizinin alt dizisi yine alt dizidir (kesin artan iki indis dizisinin bileşkesi kesin artandır); dolayısıyla Teorem 25.1 ile \(b \in Y\).
Öte yandan her \(j\) için \(|a_{n_{k_j}} - a| \ge \varepsilon_0\)’dır. \(a_{n_{k_j}} \to b\) olduğundan Teorem 21.1 ve Teorem 20.3 ile \(|a_{n_{k_j}} - a| \to |b - a|\); limitlerde sıralama (Teorem 21.3) ile \(|b - a| \ge \varepsilon_0 > 0\), yani \(b \ne a\). Böylece \(Y\)’de \(a\)’dan farklı bir \(b\) elemanı bulduk; bu, \(Y = \{a\}\) ile çelişir. O hâlde \(a_n \to a\).
\(\blacksquare\)
Teorem, Önerme 25.1 ile birleşince şunu verir: sınırlı bir dizi yakınsaktır ancak ve ancak tek bir yığılma noktası varsa. Sınırlılık hipotezi kaldırılamaz.
\(n\) tek ise \(a_n = 1\), \(n\) çift ise \(a_n = \dfrac{n}{2} + 1\) olsun: \((1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, \dots)\). Tek indisli terimler sabit \(1\) olduğundan \(1 \in Y\). \(a \ne 1\) için \(\varepsilon = \dfrac{|a - 1|}{2}\) alalım: tek indisli terimler \(a\)’dan \(|a - 1| = 2\varepsilon\) uzaktadır; çift indisli terimlerden \(|a_n - a| < \varepsilon\) olanlar \(\dfrac{n}{2} + 1 < a + \varepsilon\), yani \(n < 2(a + \varepsilon - 1)\) sağlar ve sonlu tanedir. Demek ki \(Y = \{1\}\). Ama dizi sınırsızdır; Teorem 20.2 gereği yakınsak olamaz. Tek yığılma noktası vardır, limiti yoktur.
Monoton dizilerde durum çok daha basittir.
Teorem 25.4 (Monoton Dizilerin Yığılma Noktaları) Monoton bir dizinin (Tanım 19.4) en çok bir yığılma noktası vardır. Yığılma noktası varsa dizi bu noktaya yakınsar.
İspat
\((a_n)\) monoton olsun. İki durum vardır.
Dizi sınırlı ise. Sonuç 23.3 gereği dizi yakınsaktır; Önerme 25.1 ile tek yığılma noktası limitidir.
Dizi sınırlı değil ise. Artan olsun (azalan durum aynıdır). Artan bir dizi alttan \(a_1\) ile sınırlıdır; sınırsızsa üstten sınırlı değildir ve Teorem 23.2 gereği \(+\infty\)’a ıraksar: her \(M \in \mathbb{R}\) için \(n \ge n_M\) iken \(a_n > M\) olan bir \(n_M\) vardır. Böyle bir dizinin reel yığılma noktası olamaz: \(a \in \mathbb{R}\) verilsin, \(M = a + 1\) alalım. \(n \ge n_M\) için \(a_n > a + 1\), yani \(|a_n - a| > 1\)’dir; dolayısıyla \(|a_n - a| < 1\) koşulunu yalnızca \(n < n_M\) olan sonlu tane indis sağlayabilir. \(Y = \varnothing\)’dir ve iddia boş yere doğrudur.
\(\blacksquare\)
25.3 Üst Limit ve Alt Limit
Iraksak bir dizinin limiti yoktur; ama sınırlıysa yığılma noktaları vardır ve bunların “en büyüğü” ile “en küçüğü” dizinin sonsuzdaki davranışını özetler. Önce yığılma noktaları kümesinin sınırlı olduğunu görelim.
Lemma 25.1 (Sınırlı Dizinin Yığılma Noktaları Sınırlıdır) \((a_n)\) sınırlı bir dizi olsun; Önerme 19.1 gereği her \(n\) için \(-M \le a_n \le M\) olan bir \(M > 0\) vardır. O zaman \(Y \ne \varnothing\) ve \(Y \subseteq [-M, M]\)’dir.
İspat
Bolzano–Weierstrass teoremi (Teorem 24.5) yakınsak bir alt dizi verir; limiti Teorem 25.1 ile \(Y\)’dedir, dolayısıyla \(Y \ne \varnothing\). \(y \in Y\) olsun; \(y\)’ye yakınsayan bir \((a_{n_k})\) alt dizisi vardır. Her \(k\) için \(-M \le a_{n_k} \le M\) olduğundan limitlerde sıralama (Teorem 21.3) ile \(-M \le y \le M\).
\(\blacksquare\)
Demek ki sınırlı bir dizi için \(Y\) boş olmayan, sınırlı bir kümedir; Tamlık Aksiyomu (Bölüm 10.4) gereği supremumu ve infimumu vardır.
Tanım 25.2 (Üst Limit ve Alt Limit) \((a_n)\) sınırlı bir dizi ve \(Y\) yığılma noktaları kümesi olsun.
\(Y\)’nin supremumuna \((a_n)\) dizisinin üst limiti (limit superior) denir:
\[L = \limsup_{n\to\infty} a_n = \sup Y = \sup\left\{ a \in \mathbb{R} : \exists (a_{n_k}),\ \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a \right\}.\]
\(Y\)’nin infimumuna \((a_n)\) dizisinin alt limiti (limit inferior) denir:
\[\ell = \liminf_{n\to\infty} a_n = \inf Y = \inf\left\{ a \in \mathbb{R} : \exists (a_{n_k}),\ \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a \right\}.\]
\(\inf Y \le \sup Y\) daima doğru olduğundan her sınırlı dizi için
\[\liminf_{n\to\infty} a_n \le \limsup_{n\to\infty} a_n\]
sağlanır. Üst ve alt limit birer supremum ve infimum olarak tanımlandı; kümeye ait olmaları gerekmez gibi görünür. Ama \(Y\) kapalı olduğundan gerçekte kümeye aittirler.
Teorem 25.5 (Üst ve Alt Limit Birer Yığılma Noktasıdır) \((a_n)\) sınırlı bir dizi, \(L = \limsup a_n\) ve \(\ell = \liminf a_n\) olsun. O zaman \(L \in Y\) ve \(\ell \in Y\)’dir; yani
\[L = \max Y, \qquad \ell = \min Y.\]
Özellikle \(\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = L\) ve \(\lim_{k\to\infty} a_{n'_k} = \ell\) olacak biçimde \((a_{n_k})\) ve \((a_{n'_k})\) alt dizileri vardır: üst limit en büyük, alt limit en küçük yığılma noktasıdır.
İspat
Lemma 25.1 gereği \(Y\) boş değil ve sınırlıdır; Teorem 25.2 gereği kapalıdır. Kapalı ve sınırlı bir kümenin supremumu ve infimumu kümeye aittir (Sonuç 17.5): \(L = \sup Y = \max Y \in Y\) ve \(\ell = \inf Y = \min Y \in Y\). Alt dizilerin varlığı Teorem 25.1’den çıkar.
\(\blacksquare\)
Örnek 25.2 (Üst ve Alt Limit Hesapları) Aşağıdaki dizilerin üst ve alt limitlerini bulalım.
\(a_n = \dfrac{1}{n}\).
\((a_n) = (-2, 0, 2, -2, 0, 2, \dots)\); yani \(n\)’nin \(3\)’e bölümünden kalan \(1\) ise \(a_n = -2\), \(2\) ise \(a_n = 0\), \(0\) ise \(a_n = 2\).
Çözüm
a) Dizi \(0\)’a yakınsar; Önerme 25.1 ile \(Y = \{0\}\) ve
\[\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0.\]
Dizinin bütün terimleri pozitif olduğu hâlde üst limitin \(0\) olduğuna dikkat edelim: üst limit terimlerle değil, terimlerin sonsuzda yığıldığı yerlerle ilgilidir.
b) Dizi üç değer alır ve her birini sonsuz çoklukta indiste alır: \(a_{3k-2} = -2\), \(a_{3k-1} = 0\), \(a_{3k} = 2\). Bu üç sabit alt dizi \(-2\), \(0\) ve \(2\)’ye yakınsar; dolayısıyla \(\{-2, 0, 2\} \subseteq Y\). Başka yığılma noktası yoktur: \(a \notin \{-2, 0, 2\}\) için \(\varepsilon = \min\{|a + 2|, |a|, |a - 2|\} > 0\) alınırsa hiçbir terim \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) aralığına düşmez. Demek ki \(Y = \{-2, 0, 2\}\) ve
\[\limsup_{n\to\infty} a_n = \max Y = 2, \qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \min Y = -2.\]
Dizi ıraksaktır; ama üst ve alt limiti vardır.
\(\blacksquare\)
\(\sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\), dizinin aldığı (ya da yaklaştığı) en büyük değerdir; \(\limsup a_n\) ise dizinin sonsuzda yığıldığı en büyük yerdir. Şu diziyi düşünelim:
\[2,\ -3,\ 2,\ 5,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \dots \qquad (n \ge 6 \text{ için } a_n = (-1)^n).\]
Görüntü kümesi \(\{-3, -1, 1, 2, 5\}\)’tir; \(\sup\{a_n\} = 5\) ve \(\inf\{a_n\} = -3\). Ama sonsuzda dizi yalnızca \(-1\) ile \(1\) arasında salınır: \(Y = \{-1, 1\}\), dolayısıyla \(\limsup a_n = 1\) ve \(\liminf a_n = -1\). Sonlu tane terimi değiştirmek üst ve alt limiti değiştirmez; supremumu ise değiştirebilir.
25.4 Sınırsız Dizilerde Üst ve Alt Limit
Şimdiye kadar üst ve alt limiti yalnızca sınırlı diziler için tanımladık. Sınırsız dizilerde yığılma noktaları kümesi boş olabilir (\(a_n = n\)) ya da dizinin bir parçası sonsuza kaçabilir. Bu durumları da kapsamak için “yığılma noktası” kavramını \(+\infty\) ve \(-\infty\) sembollerine genişletiriz. Bir dizinin \(+\infty\)’a ıraksamasının (Tanım 22.1) her \(M\) için bir yerden sonra bütün terimlerin \(M\)’yi aşması olduğunu hatırlayalım.
Tanım 25.3 (Genişletilmiş Üst ve Alt Limit) \((a_n)\) herhangi bir reel sayı dizisi ve \(Y\) reel yığılma noktaları kümesi olsun. Genişletilmiş yığılma noktaları kümesi \(Y^*\), \(Y\)’ye şu sembollerin eklenmesiyle elde edilir: \((a_n)\)’nin \(+\infty\)’a ıraksayan bir alt dizisi varsa \(+\infty \in Y^*\); \(-\infty\)’a ıraksayan bir alt dizisi varsa \(-\infty \in Y^*\). \(-\infty < x < +\infty\) (her \(x \in \mathbb{R}\) için) sıralamasıyla
\[\limsup_{n\to\infty} a_n = \sup Y^*, \qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \inf Y^*\]
tanımlanır. Burada \(+\infty \in Y^*\) ise \(\sup Y^* = +\infty\); \(-\infty \in Y^*\) ise \(\inf Y^* = -\infty\) anlaşılır.
Sınırlı dizilerde \(+\infty, -\infty \notin Y^*\) olduğundan (sonsuza ıraksayan bir alt dizi sınırlı olamaz) \(Y^* = Y\)’dir ve bu tanım Tanım 25.2 ile örtüşür. \(Y^*\) yalnızca \(-\infty\)’dan oluşuyorsa (\(a_n = -n\) dizisinde olduğu gibi) \(\sup Y^* = \inf Y^* = -\infty\) anlaşılır; \(+\infty\) için de benzer. \(Y^*\) hiçbir zaman boş değildir: her dizinin monoton bir alt dizisi vardır (Teorem 24.4); bu alt dizi sınırlıysa yakınsar (Sonuç 23.3), değilse \(+\infty\) ya da \(-\infty\)’a ıraksar (Teorem 23.2). Dolayısıyla her dizinin genişletilmiş anlamda bir üst ve bir alt limiti vardır (reel sayı, \(+\infty\) ya da \(-\infty\)).
Teorem 25.6 (Sınırsız Dizilerde Üst ve Alt Limit) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi olsun.
- \((a_n)\) üstten sınırlı değilse \(\limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty\).
- \((a_n)\) alttan sınırlı değilse \(\liminf_{n\to\infty} a_n = -\infty\).
İspat
(1) \((a_n)\) üstten sınırlı olmasın. \(+\infty\)’a ıraksayan bir alt dizi kuracağız; o zaman \(+\infty \in Y^*\) ve tanım gereği \(\sup Y^* = +\infty\) olur.
Önce şunu görelim: dizinin sonlu tane terimi atılırsa kalan kısım yine üstten sınırlı değildir. Gerçekten, \(\{a_n : n > p\}\) kümesi \(K\) ile üstten sınırlı olsaydı \(\max\{a_1, \dots, a_p, K\}\) (Tanım 7.4) bütün dizinin bir üst sınırı olurdu.
\(M = 1\) bir üst sınır olmadığından \(a_{n_1} > 1\) olan bir \(n_1\) vardır. \(n_k\) seçilmiş olsun; \(\{a_n : n > n_k\}\) üstten sınırlı olmadığından \(n_{k+1} > n_k\) ve \(a_{n_{k+1}} > k + 1\) olan bir \(n_{k+1}\) vardır. Böylece her \(k\) için \(a_{n_k} > k\) olan bir \((a_{n_k})\) alt dizisi elde ettik. Bu alt dizi \(+\infty\)’a ıraksar: \(M \in \mathbb{R}\) verilsin; Teorem 10.4 ile \(k_M > M\) olan bir \(k_M \in \mathbb{N}\) vardır ve \(k \ge k_M\) için \(a_{n_k} > k \ge k_M > M\).
(2) \((a_n)\) alttan sınırlı değilse \((-a_n)\) üstten sınırlı değildir; (1)’deki kuruluş \(-a_{n_k} > k\) olan bir alt dizi verir, yani \(a_{n_k} < -k\) ve \(a_{n_k} \to -\infty\). Dolayısıyla \(-\infty \in Y^*\) ve \(\inf Y^* = -\infty\).
\(\blacksquare\)
İki örnek: \((1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, \dots)\) dizisi üstten sınırlı değildir, dolayısıyla \(\limsup a_n = +\infty\); alttan \(1\) ile sınırlıdır ve daha önce gördüğümüz gibi \(Y = \{1\}\)’dir, dolayısıyla \(\liminf a_n = 1\). \(a_n = (-1)^n n\) dizisi \((-1, 2, -3, 4, -5, \dots)\) ne üstten ne alttan sınırlıdır: \(\limsup a_n = +\infty\) ve \(\liminf a_n = -\infty\).
Sonsuz üst limitin birkaç eşdeğer yüzü vardır; hesaplarda hangisi kolaysa o kullanılır.
Teorem 25.7 (Sonsuz Üst Limit için Denk Koşullar) \((a_n)\) bir dizi olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir:
- \(\limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty\).
- \((a_n)\)’nin \(+\infty\)’a ıraksayan bir alt dizisi vardır.
- \((a_n)\) üstten sınırlı değildir.
- Her \(M > 0\) ve her \(n_M \in \mathbb{N}\) için \(n \ge n_M\) ve \(a_n \ge M\) olan bir \(n\) vardır; yani dizi her \(M\) sayısını sonsuz çoklukta indiste aşar.
Benzer biçimde \(\liminf a_n = -\infty\) olması, \(-\infty\)’a ıraksayan bir alt dizinin bulunmasına ve dizinin alttan sınırsız olmasına denktir.
İspat
(1) \(\Rightarrow\) (3): Karşıt tersini gösterelim: dizi üstten \(K\) ile sınırlı olsun. Her reel yığılma noktası, terimleri \(K\)’yi aşmayan bir alt dizinin limiti olduğundan Teorem 21.3 ile \(K\)’yi aşmaz; \(+\infty \in Y^*\) da olamaz. Dolayısıyla \(\sup Y^* \le K < +\infty\).
(3) \(\Rightarrow\) (2): Teorem 25.6’in ispatındaki kuruluş tam olarak bunu verir.
(2) \(\Rightarrow\) (1): \(+\infty\)’a ıraksayan alt dizi varsa \(+\infty \in Y^*\) ve tanım gereği \(\sup Y^* = +\infty\).
(2) \(\Rightarrow\) (4): \((a_{n_k})\) alt dizisi \(+\infty\)’a ıraksasın; \(M > 0\) ve \(n_M\) verilsin. \(k \ge K\) iken \(a_{n_k} > M\) olan bir \(K\) vardır. \(k = \max\{K, n_M\}\) alalım: Önerme 24.1 ile \(n_k \ge k \ge n_M\) ve \(a_{n_k} > M\). Aranan indis \(n = n_k\)’dır.
(4) \(\Rightarrow\) (3): Dizi üstten bir \(K\) ile sınırlı olsaydı, (4)’ü \(M = |K| + 1\) ve \(n_M = 1\) ile uygulayınca \(a_n \ge |K| + 1 > K\) olan bir \(n\) bulunurdu; çelişki.
Böylece (1) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) ve (2) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (3) zincirleri dört koşulun denkliğini verir. Alt limit ifadesi \((-a_n)\) dizisine uygulanarak elde edilir.
\(\blacksquare\)
25.5 Sıkıştırma Özelliği ve Yakınsaklık Ölçütü
Sınırlı bir dizinin terimleri sonunda \(\ell\) ile \(L\) arasındaki bölgeye sıkışır: \(\varepsilon > 0\) ne kadar küçük olursa olsun, \(L + \varepsilon\)’un üstüne ve \(\ell - \varepsilon\)’un altına yalnızca sonlu tane terim taşabilir. (\(L\)’nin kendisinin üstünde sonsuz tane terim olabilir; \(a_n = \dfrac{1}{n}\) dizisinde bütün terimler \(L = 0\)’ın üstündedir.) Bu, üst ve alt limitin en çok kullanılan özelliğidir.
Teorem 25.8 (Sıkıştırma Özelliği) \((a_n)\) sınırlı bir dizi, \(L = \limsup a_n\) ve \(\ell = \liminf a_n\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(n_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge n_\varepsilon\) için
\[\ell - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon.\]
İspat
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Önce \(a_n \ge L + \varepsilon\) eşitsizliğini sağlayan yalnızca sonlu tane \(n\) olduğunu gösterelim. Olmayana ergi: sonsuz çoklukta olsun. Teorem 25.3’ın ispatındaki gibi bu indislerden kesin artan bir \((n_k)\) dizisi seçip her terimi \(a_{n_k} \ge L + \varepsilon\) olan bir alt dizi kuralım. Bu alt dizi sınırlıdır; Bolzano–Weierstrass (Teorem 24.5) ile yakınsak bir alt dizisi vardır, limitine \(b\) diyelim. Alt dizinin alt dizisi \((a_n)\)’nin alt dizisi olduğundan Teorem 25.1 ile \(b \in Y\); limitlerde sıralama (Teorem 21.3) ile \(b \ge L + \varepsilon > L\). Ama \(L = \sup Y\), \(Y\)’nin bir üst sınırıdır; \(b \in Y\) ve \(b > L\) çelişkidir.
Demek ki \(\{n : a_n \ge L + \varepsilon\}\) sonlu bir kümedir. Bu küme boşsa \(n_1 = 1\), değilse \(n_1\)’i kümenin en büyük elemanından bir fazla alalım; \(n \ge n_1\) için \(a_n < L + \varepsilon\) olur.
Aynı akıl yürütme \(\ell\) için tekrarlanır: \(a_n \le \ell - \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta indis olsaydı, bu terimlerden yakınsak bir alt dizi seçilir, limiti \(b' \in Y\) ve \(b' \le \ell - \varepsilon < \ell = \inf Y\) olurdu; çelişki. O hâlde \(n \ge n_2\) için \(a_n > \ell - \varepsilon\) olan bir \(n_2\) vardır.
\(n_\varepsilon = \max\{n_1, n_2\}\) alınırsa her \(n \ge n_\varepsilon\) için \(\ell - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon\).
\(\blacksquare\)
Sıkıştırma özelliği üst limiti bir yönden sınırlar: \(L + \varepsilon\)’un üstünde sonlu tane terim vardır. Öte yandan \(L\) bir yığılma noktası olduğundan \(L - \varepsilon\)’un üstünde sonsuz tane terim vardır. Bu iki özellik birlikte üst limiti tam olarak belirler; hesaplarda ve ispatlarda çoğu zaman bu karakterizasyon kullanılır.
Önerme 25.3 (Üst ve Alt Limitin Karakterizasyonu) \((a_n)\) sınırlı bir dizi ve \(L \in \mathbb{R}\) olsun. \(L = \limsup a_n\) olması için gerek ve yeter koşul, her \(\varepsilon > 0\) için şu ikisinin sağlanmasıdır:
- \(a_n \ge L + \varepsilon\) olan yalnızca sonlu tane \(n\) vardır; yani bir yerden sonra \(a_n < L + \varepsilon\)’dur.
- \(a_n > L - \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta \(n\) vardır.
Benzer biçimde \(\ell = \liminf a_n\) olması için gerek ve yeter koşul: her \(\varepsilon > 0\) için bir yerden sonra \(a_n > \ell - \varepsilon\) olması ve \(a_n < \ell + \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta \(n\) bulunmasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \(L = \limsup a_n\) olsun. (1) sıkıştırma özelliğinin (Teorem 25.8) ilk yarısıdır. (2) için: Teorem 25.5 ile \(L \in Y\), yani \(|a_n - L| < \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta \(n\) vardır; bunların hepsinde \(a_n > L - \varepsilon\).
(\(\Leftarrow\) yönü) \(L\) iki koşulu sağlasın. Önce \(L \in Y\): \(\varepsilon > 0\) verilsin. (2) gereği \(a_n > L - \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta indis vardır; (1) gereği bunlardan yalnızca sonlu tanesi \(a_n \ge L + \varepsilon\) sağlar. Geri kalan sonsuz çoklukta indis için \(L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon\), yani \(|a_n - L| < \varepsilon\). Demek ki \(L \in Y\). Şimdi \(L\)’nin \(Y\)’nin en büyük elemanı olduğunu görelim: \(y \in Y\) ve \(y > L\) olsa, \(\varepsilon = \dfrac{y - L}{2}\) için \(|a_n - y| < \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta indis vardır ve bunların hepsinde \(a_n > y - \varepsilon = L + \varepsilon\) olur; bu (1) ile çelişir. O hâlde \(L = \max Y = \sup Y = \limsup a_n\). Alt limit için ispat aynadaki görüntüdür.
\(\blacksquare\)
Üst ve alt limitin en önemli uygulaması, yakınsaklığın tek bir eşitlikle denetlenmesidir.
Sonuç 25.1 (Yakınsaklık Ölçütü: Üst Limit Eşittir Alt Limit) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi ve \(a \in \mathbb{R}\) olsun. \(\lim_{n\to\infty} a_n = a\) olması için gerek ve yeter koşul
\[\limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty} a_n = a\]
olmasıdır. Başka bir deyişle bir dizi yakınsaktır ancak ve ancak üst ve alt limiti reel sayılar olarak var ve birbirine eşitse.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \(a_n \to a\) olsun. Teorem 20.2 gereği dizi sınırlıdır ve Önerme 25.1 gereği \(Y = \{a\}\)’dır. Dolayısıyla \(\limsup a_n = \sup Y = a\) ve \(\liminf a_n = \inf Y = a\).
(\(\Leftarrow\) yönü) \(\limsup a_n = \liminf a_n = a \in \mathbb{R}\) olsun. Üst limit reel olduğundan Teorem 25.7 gereği dizi üstten sınırlıdır; alt limit reel olduğundan aynı teoremin alt limit sürümüyle alttan sınırlıdır. Demek ki \((a_n)\) sınırlıdır ve sıkıştırma özelliği (Teorem 25.8) uygulanabilir: \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(n \ge n_\varepsilon\) için
\[a - \varepsilon = \ell - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon = a + \varepsilon,\]
yani \(|a_n - a| < \varepsilon\). Tanım 20.1 gereği \(a_n \to a\).
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, yakınsaklığı ispatlamanın yeni bir yolunu verir: üst ve alt limiti ayrı ayrı hesaplayıp eşit olduklarını görmek. Bunun için de üst ve alt limiti doğrudan terimlerden hesaplayan bir formüle ihtiyacımız var.
25.6 Kuyruk Formülü
\(N\) sabitken \(\{a_n : n > N\}\) kümesi dizinin \(N\)-inci terimden sonraki kuyruğunun (Tanım 24.2) görüntü kümesidir. Bu kuyruğun supremumu, \(N\) büyüdükçe azalır (küme daraldığından supremum büyüyemez; sabit dizide olduğu gibi aynı da kalabilir) ve sonunda üst limite iner. Bu gözlem, üst limiti bir supremumlar dizisinin limiti olarak yazmamızı sağlar.
Teorem 25.9 (Üst ve Alt Limitin Kuyruk Formülü) \((a_n)\) sınırlı bir dizi olsun. Her \(N \in \mathbb{N}\) için
\[s_N = \sup\{a_n : n > N\}, \qquad t_N = \inf\{a_n : n > N\}\]
yazalım. O zaman \((s_N)\) azalan, \((t_N)\) artan ve her ikisi de yakınsaktır;
\[\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} s_N = \lim_{N\to\infty} \sup\{a_n : n > N\}, \qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} t_N = \lim_{N\to\infty} \inf\{a_n : n > N\}.\]
İspat
Dizi sınırlı olsun: her \(n\) için \(-M \le a_n \le M\). Her \(N\) için \(\{a_n : n > N\}\) boş değil ve sınırlı olduğundan \(s_N\) ve \(t_N\) vardır (Bölüm 10.4) ve \(-M \le t_N \le s_N \le M\).
Adım 1: \((s_N)\) azalan ve yakınsaktır. \(\{a_n : n > N + 1\} \subseteq \{a_n : n > N\}\) olduğundan Önerme 10.4 (1) ile \(s_{N+1} \le s_N\); dizi azalandır. Alttan \(-M\) ile sınırlı olduğundan monoton yakınsaklık teoremi (Teorem 23.1) gereği yakınsaktır; limitine \(s\) diyelim. \(L = \limsup a_n\) olsun; \(s = L\) göstereceğiz.
Adım 2: \(s \ge L\). \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(N\) herhangi bir doğal sayı olsun. Önerme 25.3 (2) gereği \(a_n > L - \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta \(n\) vardır; bunlardan biri \(N\)’den büyüktür, ona \(k\) diyelim. \(a_k \in \{a_n : n > N\}\) olduğundan \(s_N \ge a_k > L - \varepsilon\). Bu her \(N\) için doğru olduğundan limitlerde sıralama (Teorem 21.3) ile \(s \ge L - \varepsilon\). \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(s \ge L\) (aksi hâlde \(\varepsilon = L - s > 0\) için çelişki çıkar).
Adım 3: \(s \le L\). \(\varepsilon > 0\) verilsin. Önerme 25.3 (1) gereği \(n \ge n_\varepsilon\) için \(a_n < L + \varepsilon\) olan bir \(n_\varepsilon\) vardır. \(N \ge n_\varepsilon\) için \(\{a_n : n > N\}\) kümesinin her elemanı \(L + \varepsilon\)’dan küçüktür; \(L + \varepsilon\) bu kümenin bir üst sınırıdır ve \(s_N \le L + \varepsilon\). Limit alınca \(s \le L + \varepsilon\); \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(s \le L\).
Adım 2 ve 3’ten \(s = L\).
Alt limit. \(\{a_n : n > N+1\} \subseteq \{a_n : n > N\}\) olduğundan \(t_{N+1} \ge t_N\): \((t_N)\) artan ve üstten \(M\) ile sınırlıdır, dolayısıyla yakınsaktır; limitine \(t\) diyelim. \(\ell = \liminf a_n\) için aynı iki adım: \(a_n < \ell + \varepsilon\) olan sonsuz çoklukta indis bulunduğundan her \(N\) için \(t_N < \ell + \varepsilon\), yani \(t \le \ell\); bir yerden sonra \(a_n > \ell - \varepsilon\) olduğundan büyük \(N\) için \(t_N \ge \ell - \varepsilon\), yani \(t \ge \ell\). Böylece \(t = \ell\).
\(\blacksquare\)
\((s_N)\) azalan olduğundan limiti aynı zamanda infimumudur (Teorem 23.1); benzer biçimde \((t_N)\)’nin limiti supremumudur. Dolayısıyla
\[\limsup_{n\to\infty} a_n = \inf_{N \in \mathbb{N}} \sup_{n > N} a_n, \qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \sup_{N \in \mathbb{N}} \inf_{n > N} a_n.\]
Birçok kitap üst ve alt limiti doğrudan bu formüllerle tanımlar; kuyruk formülü, iki tanımın aynı sayıyı verdiğini söyler. Kuyruğu \(n > N\) yerine \(n \ge N\) ile almak da hiçbir şeyi değiştirmez: yalnızca indisler bir kaydırılmış olur.
Örnek 25.3 (Eksi Bir Üssü n Bölü n Dizisi) \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) dizisinin üst ve alt limitini kuyruk formülüyle hesaplayalım ve dizinin yakınsak olduğunu gösterelim.
Çözüm
Dizi işaret değiştirir: çift \(n\) için \(a_n = \dfrac{1}{n} > 0\), tek \(n\) için \(a_n = -\dfrac{1}{n} < 0\). Ayrıca \(|a_n| = \dfrac{1}{n}\) azalandır. Dizi sınırlıdır: \(|a_n| \le 1\).
Üst limit. \(N\) sabit olsun. \(\{a_n : n > N\}\) kuyruğunda negatif terimler pozitiflerden küçüktür; pozitif terimler \(\dfrac{1}{n}\) (\(n\) çift, \(n > N\)) ise \(n\) büyüdükçe küçülür. Dolayısıyla kuyruğun en büyük elemanı ilk çift indisli terimdir: \(m_N\), \(N\)’den büyük en küçük çift sayı olmak üzere
\[s_N = \sup\{a_n : n > N\} = a_{m_N} = \frac{1}{m_N}.\]
\(m_N \in \{N + 1, N + 2\}\) olduğundan \(m_N > N\) ve \(0 < s_N = \dfrac{1}{m_N} < \dfrac{1}{N}\). \(\dfrac{1}{N} \to 0\) olduğundan sıkıştırma teoremi (Teorem 21.6) ile \(s_N \to 0\); kuyruk formülü (Teorem 25.9) ile \(\limsup a_n = 0\).
Alt limit. Kuyruğun en küçük elemanı ilk tek indisli terimdir: \(p_N\), \(N\)’den büyük en küçük tek sayı olmak üzere \(t_N = a_{p_N} = -\dfrac{1}{p_N}\) ve \(-\dfrac{1}{N} < t_N < 0\). Aynı sıkıştırma ile \(t_N \to 0\) ve \(\liminf a_n = 0\).
Sonuç. \(\limsup a_n = \liminf a_n = 0\) olduğundan Sonuç 25.1 gereği dizi yakınsaktır ve
\[\lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 25.4 (Eksi Bir Üssü n Artı Bir Bölü n Dizisi) \(b_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n}\) dizisinin yığılma noktalarını, üst ve alt limitini bulalım; dizinin ıraksak olduğunu gösterelim.
Çözüm
Alt diziler. Çift ve tek indisli terimleri ayıralım:
\[b_{2k} = 1 + \frac{1}{2k}, \qquad b_{2k+1} = -1 + \frac{1}{2k+1}.\]
\(\dfrac{1}{2k} \to 0\) ve \(\dfrac{1}{2k+1} \to 0\) olduğundan Teorem 21.1 ile \(b_{2k} \to 1\) ve \(b_{2k+1} \to -1\). Demek ki \(1, -1 \in Y\).
Başka yığılma noktası yok. \(y \in Y\) olsun; \(y\)’ye yakınsayan bir \((b_{n_k})\) alt dizisi vardır. \((n_k)\) indislerinin sonsuz tanesi çift ya da sonsuz tanesi tektir. Sonsuz tanesi çiftse, yalnızca bu indisleri alarak \((b_{n_k})\)’nın bir alt dizisini elde ederiz; bu alt dizi hem \((b_{n_k})\)’nın alt dizisi olduğundan \(y\)’ye (Teorem 24.1), hem de \((b_{2k})\)’nın alt dizisi olduğundan \(1\)’e yakınsar; Teorem 20.1 ile \(y = 1\). Sonsuz tanesi tekse aynı biçimde \(y = -1\). O hâlde \(Y = \{-1, 1\}\) ve tanım gereği \(\limsup b_n = 1\), \(\liminf b_n = -1\).
Kuyruk formülüyle doğrulama. \(N\) sabit olsun ve \(A_N = \{b_n : n > N\}\) kuyruğuna bakalım.
Kuyruk supremumu. Çift indisli terimler \(1 + \dfrac{1}{n}\) pozitiftir ve \(n\) büyüdükçe azalır; tek indisli terimler (\(n \ge 3\)) \(-1 + \dfrac{1}{n} < 0\)’dır. Dolayısıyla kuyruğun en büyük elemanı ilk çift indisli terimdir: \(m_N\), \(N\)’den büyük en küçük çift sayı olmak üzere
\[s_N = \sup A_N = b_{m_N} = 1 + \frac{1}{m_N}.\]
\(0 < \dfrac{1}{m_N} < \dfrac{1}{N}\) olduğundan sıkıştırma teoremi (Teorem 21.6) ile \(s_N \to 1\).
Kuyruk infimumu. Burada dikkat: tek indisli terimler \(-1 + \dfrac{1}{n}\), \(n\) büyüdükçe azalarak \(-1\)’e yaklaşır (\(-1 + \tfrac{1}{3} > -1 + \tfrac{1}{5} > -1 + \tfrac{1}{7} > \cdots\)). Yani kuyruğun en küçük elemanı yoktur; infimumu kümeye ait değildir. Bütün terimler \(-1\)’den büyük olduğundan \(-1\) kuyruğun bir alt sınırıdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(n\) tek ve \(n > \max\left\{N, \dfrac{1}{\varepsilon}\right\}\) olacak biçimde bir \(n\) seçilirse \(b_n = -1 + \dfrac{1}{n} < -1 + \varepsilon\) olur. Teorem 10.2 ile her \(N\) için
\[t_N = \inf A_N = -1.\]
Sabit dizinin limiti kendisidir: \(t_N \to -1\). Teorem 25.9 ile \(\limsup b_n = 1\) ve \(\liminf b_n = -1\); tanımdan bulduğumuzla aynı.
Şekil durumu özetliyor: terimler \(1\) ve \(-1\) çizgilerine üstten yaklaşır; kuyruk supremumları \(s_N\) basamak basamak \(1\)’e iner, kuyruk infimumları \(t_N\) ise baştan beri \(-1\)’de sabittir.
Iraksaklık. \(\liminf b_n = -1 \ne 1 = \limsup b_n\) olduğundan Sonuç 25.1 gereği dizi yakınsak değildir.
\(\blacksquare\)
25.7 Üst ve Alt Limitte İşlemler
Limitin aritmetiği (Teorem 21.1) üst ve alt limite kısmen taşınır: sabitle çarpma sorunsuzdur, toplamda ise yalnızca eşitsizlik elde edilir.
Teorem 25.10 (Sabitle Çarpma) \((a_n)\) sınırlı bir dizi ve \(c \in \mathbb{R}\) olsun.
- \(c \ge 0\) ise \(\limsup_{n\to\infty} (c a_n) = c \limsup_{n\to\infty} a_n\) ve \(\liminf_{n\to\infty} (c a_n) = c \liminf_{n\to\infty} a_n\).
- \(c < 0\) ise \(\limsup_{n\to\infty} (c a_n) = c \liminf_{n\to\infty} a_n\) ve \(\liminf_{n\to\infty} (c a_n) = c \limsup_{n\to\infty} a_n\).
İspat
Kuyruk formülünü (Teorem 25.9) kullanalım; \(A_N = \{a_n : n > N\}\) olsun, \(\{c a_n : n > N\} = cA_N\)’dir. \((c a_n)\) de sınırlıdır.
(1) \(c = 0\) ise iki taraf da \(0\)’dır. \(c > 0\) için Önerme 10.4 (2) gereği \(\sup(cA_N) = c \sup A_N = c\, s_N\); Teorem 21.1 (4) ile \(\lim (c\, s_N) = c \lim s_N = c \limsup a_n\). İnfimum için aynı özellik \(\inf(cA_N) = c\, t_N\) verir.
(2) \(c < 0\) ise \(-c > 0\) ve \(cA_N = (-c)(-A_N)\)’dir. Önerme 10.4 (2) ve (3) ile
\[\sup(cA_N) = (-c) \sup(-A_N) = (-c)\big(-\inf A_N\big) = c\, t_N.\]
Limit alınca \(\limsup (c a_n) = c \lim t_N = c \liminf a_n\). Benzer biçimde \(\inf(cA_N) = (-c)\inf(-A_N) = (-c)(-\sup A_N) = c\, s_N\) ve \(\liminf(c a_n) = c \limsup a_n\).
\(\blacksquare\)
Özellikle \(c = -1\) için \(\limsup(-a_n) = -\liminf a_n\): işaret değişince “en büyük” ile “en küçük” yer değiştirir. Bu, alt limitle ilgili her ifadeyi üst limite indirgememizi sağlar.
Teorem 25.11 (Toplamın Üst ve Alt Limiti) \((a_n)\) ve \((b_n)\) sınırlı diziler olsun.
\(\limsup_{n\to\infty} (a_n + b_n) \le \limsup_{n\to\infty} a_n + \limsup_{n\to\infty} b_n\).
\(\liminf_{n\to\infty} a_n + \liminf_{n\to\infty} b_n \le \liminf_{n\to\infty} (a_n + b_n)\).
Dizilerden biri yakınsaksa, diyelim \(a_n \to a\), her iki eşitsizlik eşitliğe dönüşür:
\[\limsup_{n\to\infty} (a_n + b_n) = a + \limsup_{n\to\infty} b_n, \qquad \liminf_{n\to\infty} (a_n + b_n) = a + \liminf_{n\to\infty} b_n.\]
İspat
(1) \(K = \limsup a_n\), \(L = \limsup b_n\) olsun; \((a_n + b_n)\) sınırlıdır, üst limitine \(S\) diyelim. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Önerme 25.3 (1) gereği \(n \ge n_1\) için \(a_n < K + \dfrac{\varepsilon}{2}\) ve \(n \ge n_2\) için \(b_n < L + \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan \(n_1, n_2\) vardır. \(n \ge n'' = \max\{n_1, n_2\}\) için taraf tarafa toplayınca
\[a_n + b_n < K + L + \varepsilon.\]
Teorem 25.5 ile \(S\)’ye yakınsayan bir \((a_{n_k} + b_{n_k})\) alt dizisi vardır; \(k \ge n''\) iken \(n_k \ge k \ge n''\) (Önerme 24.1) ve \(a_{n_k} + b_{n_k} < K + L + \varepsilon\). Alt dizinin \(k \ge n''\) olan kuyruğu da \(S\)’ye yakınsar (Teorem 24.3); limitlerde sıralama (Teorem 21.3) ile \(S \le K + L + \varepsilon\). \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(S \le K + L\).
(2) (1)’i \((-a_n)\) ve \((-b_n)\) dizilerine uygulayıp Teorem 25.10 (\(c = -1\)) ile çevirelim:
\[-\liminf (a_n + b_n) = \limsup\big(-(a_n + b_n)\big) \le \limsup(-a_n) + \limsup(-b_n) = -\liminf a_n - \liminf b_n.\]
İki tarafı \(-1\) ile çarpmak eşitsizliğin yönünü çevirir ve (2)’yi verir.
(3) \(a_n \to a\) olsun; Sonuç 25.1 ile \(\limsup a_n = \liminf a_n = a\) ve Teorem 25.10 ile \(\limsup(-a_n) = -a\). (1) gereği \(\limsup(a_n + b_n) \le a + \limsup b_n\). Ters yön için \(b_n = (a_n + b_n) + (-a_n)\) yazıp (1)’i uygulayalım:
\[\limsup b_n \le \limsup(a_n + b_n) + \limsup(-a_n) = \limsup(a_n + b_n) - a.\]
İki eşitsizlik birlikte \(\limsup(a_n + b_n) = a + \limsup b_n\) verir. Alt limit eşitliği (2) ile aynı yolla ya da \((-a_n)\), \((-b_n)\)’ye geçilerek elde edilir.
\(\blacksquare\)
\(a_n = (-1)^n\) ve \(b_n = (-1)^{n+1}\) olsun. \(\limsup a_n = 1\) ve \(\limsup b_n = 1\)’dir; ama \(a_n + b_n = (-1)^n + (-1)^{n+1} = 0\) sabit dizisidir ve \(\limsup(a_n + b_n) = 0\). Gerçekten \(0 \le 1 + 1 = 2\) eşitsizliği sağlanır, eşitlik sağlanmaz. Sebep açıktır: \((a_n)\) en yüksek değerine çift indislerde, \((b_n)\) tek indislerde ulaşır; iki dizi “aynı anda” büyük olmaz. Yakınsak bir diziyle toplarken bu sorun ortadan kalkar, çünkü yakınsak dizi her indiste limitine yakındır.
Teorem 25.12 (Yakınsak Diziyle Çarpım) \((a_n)\) dizisi \(a \ge 0\) sayısına yakınsasın ve \((b_n)\) sınırlı olsun. O zaman
\[\limsup_{n\to\infty} (a_n b_n) = a \limsup_{n\to\infty} b_n, \qquad \liminf_{n\to\infty} (a_n b_n) = a \liminf_{n\to\infty} b_n.\]
İspat
\(a_n b_n = a\, b_n + (a_n - a)\, b_n\) yazalım. \((a_n - a)\) sıfır dizisidir (Teorem 21.1) ve \((b_n)\) sınırlıdır; Teorem 21.2 ile \((a_n - a) b_n \to 0\). \((a\, b_n)\) sınırlıdır, dolayısıyla Teorem 25.11 (3) uygulanabilir:
\[\limsup (a_n b_n) = \limsup\big(a\, b_n + (a_n - a) b_n\big) = \limsup (a\, b_n) + 0 = a \limsup b_n;\]
son adımda \(a \ge 0\) olduğundan Teorem 25.10 (1) kullanıldı. Alt limit için aynı hesap yapılır.
\(\blacksquare\)
\(a < 0\) ise aynı ispat Teorem 25.10 (2) ile yürür ve roller değişir: \(\limsup(a_n b_n) = a \liminf b_n\). Teoreme bir örnek: \(a_n = \dfrac{n}{n+1} \to 1 \ge 0\) ve \(b_n = (-1)^n\) için \(\limsup (a_n b_n) = 1 \cdot 1 = 1\); gerçekten \(a_n b_n = (-1)^n \dfrac{n}{n+1}\) dizisinin çift indisli terimleri \(1\)’e, tek indisli terimleri \(-1\)’e yakınsar.
25.8 Alıştırmalar
Alıştırma 25.1 (Yığılma Noktası, Üst ve Alt Limit Alıştırmaları)
\(n\)’nin \(4\)’e bölümünden kalan \(1\) ise \(a_n = 1\), \(3\) ise \(a_n = -1\), \(0\) ya da \(2\) ise \(a_n = 0\) olsun (bu dizi \(a_n = \sin\dfrac{n\pi}{2}\) dizisidir). Yığılma noktalarını, üst ve alt limitini bulunuz.
\(a_n = (-1)^n \dfrac{n}{n+1}\) dizisinin yığılma noktalarını, üst ve alt limitini bulunuz; dizinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
\((a_n)\) sınırlı bir dizi olsun. Bir \((x_n)\) dizisinin yığılma noktaları kümesini bu şıkta \(Y(x_n)\) ile göstereceğiz; ayrıca bir \(A\) kümesi için \(-A = \{-y : y \in A\}\)’dır. \(Y(-a_n) = -Y(a_n)\) olduğunu gösteriniz ve buradan \(\limsup(-a_n) = -\liminf a_n\) eşitliğini doğrudan tanımla (kuyruk formülünü kullanmadan) çıkarınız.
\(n\) çift ise \(a_n = \dfrac{1}{n}\), \(n\) tek ise \(a_n = 1 - \dfrac{1}{n}\) olsun. Kuyruk formülüyle \(\limsup a_n\) ve \(\liminf a_n\) değerlerini bulunuz.
\((a_n)\) ve \((b_n)\) sınırlı diziler ve her \(n\) için \(a_n \le b_n\) olsun. \(\limsup a_n \le \limsup b_n\) ve \(\liminf a_n \le \liminf b_n\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Dizi \((1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots)\) biçimindedir ve \(-1, 0, 1\) değerlerinin her birini sonsuz çoklukta indiste alır (sırasıyla \(n = 4k - 1\), \(n\) çift, \(n = 4k - 3\) indislerinde). Sabit alt diziler bu üç değere yakınsadığından \(\{-1, 0, 1\} \subseteq Y\). Dizi yalnızca bu üç değeri aldığından, \(a \notin \{-1, 0, 1\}\) için \(\varepsilon = \min\{|a + 1|, |a|, |a - 1|\} > 0\) alınırsa hiçbir terim \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) aralığına düşmez; \(Y = \{-1, 0, 1\}\). Dolayısıyla \(\limsup a_n = 1\) ve \(\liminf a_n = -1\). Dizi sınırlıdır ama birden çok yığılma noktası olduğundan ıraksaktır.
b) \(\dfrac{n}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1} \to 1\) olduğundan çift indisli alt dizi \(a_{2k} = \dfrac{2k}{2k+1} \to 1\) ve tek indisli alt dizi \(a_{2k+1} = -\dfrac{2k+1}{2k+2} \to -1\) (Teorem 21.1 ve Teorem 24.1). Böylece \(\{-1, 1\} \subseteq Y\). Örnek 25.4’deki akıl yürütme aynen geçerlidir: \(y \in Y\) ise \(y\)’ye yakınsayan alt dizinin sonsuz çoklukta çift ya da tek indisi vardır; ilgili alt-alt dizi hem \(y\)’ye hem \(1\)’e (ya da \(-1\)’e) yakınsadığından \(y \in \{-1, 1\}\). O hâlde \(Y = \{-1, 1\}\), \(\limsup a_n = 1\), \(\liminf a_n = -1\) ve Sonuç 25.1 gereği dizi ıraksaktır. (Aynı sonuç Teorem 24.2 ile de görülür.)
c) \(y \in Y(a_n)\) olsun; \(a_{n_k} \to y\) olan bir alt dizi vardır. Teorem 21.1 (4) ile \(-a_{n_k} \to -y\), yani \(-y \in Y(-a_n)\). Demek ki \(-Y(a_n) \subseteq Y(-a_n)\). Aynı akıl yürütme \((-a_n)\) dizisine uygulanırsa \(-Y(-a_n) \subseteq Y(a_n)\), yani \(Y(-a_n) \subseteq -Y(a_n)\). Böylece \(Y(-a_n) = -Y(a_n)\). Şimdi Önerme 10.4 (3) ile
\[\limsup(-a_n) = \sup Y(-a_n) = \sup\big(-Y(a_n)\big) = -\inf Y(a_n) = -\liminf a_n.\]
d) Dizi \(\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{4}{5}, \tfrac{1}{6}, \dots\right)\) biçimindedir. \(N \ge 1\) sabit olsun ve \(A_N = \{a_n : n > N\}\) kuyruğuna bakalım.
Üst limit. Kuyruktaki tek indisli terimler \(1 - \dfrac{1}{n}\) (\(n\) tek, \(n > N\)) \(1\)’den küçüktür ve \(n\) büyüdükçe \(1\)’e yaklaşır; çift indisli terimler \(\dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{2}\)’dir. \(1\) kuyruğun bir üst sınırıdır. \(\varepsilon > 0\) verilince \(n\) tek ve \(n > \max\left\{N, \dfrac{1}{\varepsilon}\right\}\) olacak biçimde bir \(n\) seçilirse \(1 - \dfrac{1}{n} > 1 - \varepsilon\) olur; Teorem 10.1 ile \(s_N = \sup A_N = 1\). Sabit dizi \(s_N = 1\)’in limiti \(1\)’dir: \(\limsup a_n = 1\).
Alt limit. Kuyruktaki çift indisli terimler \(\dfrac{1}{n} > 0\) ve \(n\) büyüdükçe \(0\)’a yaklaşır; tek indisli terimler (\(n \ge 3\)) \(1 - \dfrac{1}{n} \ge \dfrac{2}{3} > 0\)’dır. \(0\) bir alt sınırdır ve \(\varepsilon > 0\) için \(n\) çift ve \(n > \max\left\{N, \dfrac{1}{\varepsilon}\right\}\) olacak biçimde bir \(n\) seçilirse \(\dfrac{1}{n} < \varepsilon\) olur; Teorem 10.2 ile \(t_N = \inf A_N = 0\). Dolayısıyla \(\liminf a_n = 0\).
\(\limsup a_n = 1 \ne 0 = \liminf a_n\) olduğundan dizi ıraksaktır; gerçekten çift indisli alt dizi \(0\)’a, tek indisli alt dizi \(1\)’e yakınsar.
e) Kuyruk formülünü kullanalım. \(N\) sabit olsun; \(s_N(b) = \sup\{b_n : n > N\}\) yazalım. Her \(n > N\) için \(a_n \le b_n \le s_N(b)\) olduğundan \(s_N(b)\), \(\{a_n : n > N\}\) kümesinin bir üst sınırıdır; supremum en küçük üst sınır olduğundan \(s_N(a) \le s_N(b)\). Bu her \(N\) için doğrudur; Teorem 21.3 ile
\[\limsup a_n = \lim_{N\to\infty} s_N(a) \le \lim_{N\to\infty} s_N(b) = \limsup b_n.\]
Alt limit için \(t_N(a) \le t_N(b)\) aynı biçimde görülür: \(t_N(a)\), \(\{b_n : n > N\}\)’nin bir alt sınırıdır (her \(n > N\) için \(t_N(a) \le a_n \le b_n\)), dolayısıyla \(t_N(a) \le t_N(b)\); limit alınca \(\liminf a_n \le \liminf b_n\).
\(\blacksquare\)
Üst ve alt limit, bir dizinin yakınsaklığını limitini bilmeden denetlemenin ilk aracıydı: dizi yakınsaktır ancak ve ancak \(\limsup a_n = \liminf a_n\) ve bu ortak değer bir reel sayı ise. Sonraki bölümde aynı amaca hizmet eden, ama çok daha pratik ikinci bir araç göreceğiz: terimlerin limite değil, birbirine yaklaşmasını ölçen Cauchy koşulu — Cauchy Dizileri ve Reel Sayıların Tamlığı.