1 Önermeler Mantığı

Matematik, doğru olduğu kesin olarak bilinen cümlelerden yeni doğru cümleler üretme sanatıdır. Bunu güvenle yapabilmek için önce “cümle” ile ne kastettiğimizi, iki cümleyi nasıl birleştirdiğimizi ve bir cümlenin ne zaman bir diğerinden “çıktığını” kesin kurallara bağlamamız gerekir. Bu bölüm, Analiz 1 boyunca her tanımda ve her ispatta kullanacağımız bu ortak dili kurar: önermeler, bağlaçlar, doğruluk tabloları ve temel mantık yasaları.

Bölümün sonunda bir teoremin “karşıt tersi” ile “karşıtı” arasındaki farkı, “ancak ve ancak” içeren bir iddianın neden iki ayrı ispat gerektirdiğini ve “ve”li bir cümlenin olumsuzlamasının neden “veya”lı olduğunu tablolarla kanıtlayabiliyor olacağız. Bir sonraki bölümde bu dile niceleyicileri (\(\forall\), \(\exists\)) ekleyip ispat yöntemlerine geçeceğiz.

1.1 Önermeler

Günlük dilde her cümle bir yargı bildirmez: emirler, sorular, dilekler vardır. Matematikte ise yalnızca “doğru mu, yanlış mı?” sorusunun tek bir yanıtı olan cümlelerle çalışırız. Bu cümlelere özel bir ad veriyoruz.

Tanım 1.1 (Önerme) Doğru ya da yanlış olan, ama ikisi birden olmayan bildirim cümlesine önerme (proposition) denir. Bir önermenin doğru (D) ya da yanlış (Y) olmasına o önermenin doğruluk değeri denir.

Tanımdaki iki koşul birlikte önemlidir: bir önermeye D ya da Y değerlerinden biri kesinlikle atanabilmelidir; önerme hem D hem Y olamaz, ne D ne Y de olamaz. Önermeleri genellikle \(p, q, r, s, \dots\) harfleriyle gösteririz. (İngilizce metinlerde doğruluk değerleri T ve F harfleriyle yazılır; biz D ve Y kullanacağız.)

Aşağıdaki cümleleri inceleyelim:

\(p\): “Çin, Avrupa’dadır.” Bu bir önermedir; doğruluk değeri Y’dir, çünkü Çin Asya’dadır.
\(q\): “Her asal sayı tektir.” Bu bir önermedir; doğruluk değeri Y’dir, çünkü \(2\) asaldır ve çifttir.
\(r\): “\(2 + 2 = 4\).” Bu bir önermedir; doğruluk değeri D’dir.
\(s\): “Kapıyı kapat.” Bu bir önerme değildir; bir emirdir, doğru ya da yanlış olması söz konusu değildir.
\(t\): “Nereye gidiyorsun?” Bu bir önerme değildir; bir sorudur. Soru bilgi ister, yargı bildirmez.
\(u\): “\(x > 4\).” Bu da bir önerme değildir: doğruluğu \(x\)’in ne olduğuna bağlıdır. Böyle “değişkenli” cümleleri önermeye dönüştürmenin yolunu bir sonraki bölümde göreceğiz.

Doğruluk değerini bilmemek önermeliğe engel değildir

“\(2\)’den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamıdır.” cümlesi (Goldbach sanısı) bir önermedir: ya doğrudur ya yanlıştır. Hangisi olduğunu henüz kimsenin bilmiyor olması bunu değiştirmez. Önerme olmak, doğruluk değerinin var olmasıyla ilgilidir, bizim onu bilmemizle değil.

Olumsuzlama

Bir yargının tersini söylemek, mantıktaki en basit işlemdir: “yağmur yağıyor” cümlesinden “yağmur yağmıyor” cümlesine geçmek.

Tanım 1.2 (Olumsuzlama) Bir \(p\) önermesinin olumsuzlaması (negation), \(p\) ile zıt doğruluk değerine sahip olan önermedir. \(\neg p\) ile gösterilir ve “\(p\) değil” diye okunur:

\(p\) doğruysa \(\neg p\) yanlıştır,
\(p\) yanlışsa \(\neg p\) doğrudur.

Kaynaklarda \(\sim p\) ve \(p'\) gösterimlerine de rastlanır; bu notlarda \(\neg p\) kullanacağız. Olumsuzlamayı tanımlamanın en açık yolu, \(p\)’nin alabileceği her değer için \(\neg p\)’nin değerini listeleyen doğruluk tablosu (truth table) yazmaktır:

\(p\)	\(\neg p\)
D	Y
Y	D

Örnekler:

\(p\): “\(2\) çift sayıdır.” önermesi doğrudur (D). Olumsuzlaması \(\neg p\): “\(2\) çift sayı değildir.” yanlıştır (Y).
\(q\): “Dünya, Güneş’ten büyüktür.” önermesi yanlıştır (Y). Olumsuzlaması \(\neg q\): “Dünya, Güneş’ten büyük değildir.” doğrudur (D).

Olumsuzlama, zıddını söylemek değildir

“Her asal sayı tektir.” önermesinin olumsuzlaması “Her asal sayı çifttir.” değildir; ikisi de yanlıştır, oysa bir önerme ile olumsuzlamasından tam biri doğru olmalıdır. Doğru olumsuzlama “Tek olmayan bir asal sayı vardır.” cümlesidir. “Her” ve “vardır” içeren cümlelerin olumsuzlanması kuralını bir sonraki bölümde ayrıca ele alacağız.

Mantıksal Denklik

İki farklı cümle aynı şeyi söylüyor olabilir: “\(2\) çift sayıdır” ile “\(2\), ikiye bölünür” gibi. Mantıkta “aynı şeyi söylemek”, bileşenlerin her doğruluk değeri dağılımında aynı sonucu vermek demektir.

Tanım 1.3 (Mantıksal Denklik) Aynı \(p, q, r, \dots\) önermelerinden kurulmuş iki önerme, kurucu önermelerin doğruluk değerlerinin her olası dağılımında aynı doğruluk değerini alıyorsa, yani doğruluk tabloları birebir aynıysa, bu iki önermeye mantıksal denk (logically equivalent) ya da kısaca denk denir. \(P\) ve \(Q\) önermeleri denkse \(P \equiv Q\) yazılır.

\(\equiv\) işareti yeni bir önerme kurmaz; iki önerme hakkında bir bilgi verir: “bu ikisi birbirinin yerine kullanılabilir.” Denkliğin ilk ve en basit örneği, bir önermeyi iki kez olumsuzlamaktır.

Önerme 1.1 (Çift Olumsuzlama Yasası) Her \(p\) önermesi için

\[\neg(\neg p) \equiv p.\]

İspat

Doğruluk tablosunu kuralım. \(\neg p\) sütunu \(p\) sütununun zıddı, \(\neg(\neg p)\) sütunu da \(\neg p\) sütununun zıddıdır:

\(p\)	\(\neg p\)	\(\neg(\neg p)\)
D	Y	D
Y	D	Y

İlk ve son sütun birebir aynıdır; Tanım 1.3 gereği \(\neg(\neg p) \equiv p\).

\(\blacksquare\)

Örneğin “\(2\)’nin çift sayı olmadığı doğru değildir.” cümlesi ile “\(2\) çift sayıdır.” cümlesi mantıksal olarak aynı şeyi söyler. Bu yasa ispatlarda sık sık, fark etmeden kullanılır: “\(x\)’in pozitif olmadığını varsayalım … demek ki \(x\) pozitif değil değilmiş, yani pozitifmiş” adımı tam olarak budur.

1.2 Bileşik Önermeler ve Bağlaçlar

Sayılarla toplama ve çarpma yaparak yeni sayılar ürettiğimiz gibi, önermeleri de “ve”, “veya”, “ise” gibi kelimelerle birleştirerek yeni önermeler üretiriz.

Tanım 1.4 (Basit ve Bileşik Önerme) Tek bir yargı bildiren ve daha küçük önermelere ayrılamayan önermeye basit önerme; bir ya da daha çok basit önermenin “değil”, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla (logical connectives) birleştirilmesiyle elde edilen önermeye bileşik önerme denir.

Basit önerme tek bir özne ve tek bir yüklem içerir; doğruluk değeri başka önermelere bakılmadan belirlenir. Örneğin “Yağmur yağıyor.”, “Güneş bir yıldızdır.”, “\(3\) tek sayıdır.” basit önermelerdir. Bileşik önerme ise en az bir bağlaç içerir ve doğruluk değeri, bileşenlerinin doğruluk değerleriyle bağlacın kuralından hesaplanır:

“Yağmur yağıyor ve Güneş bir yıldızdır.”
“Yağmur yağıyor veya \(3\) tek sayıdır.”
“Yağmur yağıyor ise \(3\) tek sayıdır.”
“Yağmur yağmıyor.”

Bir bağlacı, girdi olarak bir ya da iki önerme alıp çıktı olarak yeni bir önerme veren bir işlem gibi düşünebiliriz. İşlemin sonucu yalnızca girdilerin doğruluk değerlerine ve bağlacın tanımına bağlıdır; bu tanımı vermenin standart yolu doğruluk tablosudur. Dört temel bağlacı sırayla tanımlayalım.

Ve Bağlacı

Günlük dilde “hem … hem de” anlamındadır: her iki parça da doğruysa bütün doğrudur.

Tanım 1.5 (Ve Bağlacı) \(p\) ve \(q\) önermelerinin konjonksiyonu (conjunction) \(p \wedge q\) ile gösterilir, “\(p\) ve \(q\)” diye okunur ve ancak ve ancak \(p\) ile \(q\)’nun ikisi de doğruyken doğrudur; diğer her durumda yanlıştır.

\(p\)	\(q\)	\(p \wedge q\)
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

Örnek: \(p\): “Hava güneşli.” (D) ve \(q\): “Hava sıcak.” (D) ise \(p \wedge q\): “Hava güneşli ve sıcak.” doğrudur. Hava sıcak olmasaydı (\(q\) yanlış olsaydı), \(p\) doğru kalsa bile \(p \wedge q\) yanlış olurdu. İki önermeli bir tabloda dört satır olduğuna dikkat edin: \(p\) ve \(q\)’nun her biri iki değer alabildiğinden \(2 \cdot 2 = 4\) olası dağılım vardır. Üç önerme için satır sayısı \(2^3 = 8\) olur.

Veya Bağlacı

Matematikte “veya” kapsayıcıdır: iki parçadan en az biri doğruysa bütün doğrudur, ikisi birden doğru olabilir.

Tanım 1.6 (Veya Bağlacı) \(p\) ve \(q\) önermelerinin disjonksiyonu (disjunction) \(p \vee q\) ile gösterilir, “\(p\) veya \(q\)” diye okunur ve ancak ve ancak \(p\) ile \(q\)’nun ikisi de yanlışken yanlıştır; diğer her durumda doğrudur.

\(p\)	\(q\)	\(p \vee q\)
D	D	D
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

Örnek: \(p\): “Rapor salı günü teslim edilecek.” (D) ve \(q\): “Rapor çarşamba günü teslim edilecek.” (Y) ise \(p \vee q\): “Rapor salı veya çarşamba günü teslim edilecek.” doğrudur.

Günlük dildeki ya … ya da

“Çay ya da kahve alır mısınız?” sorusundaki “ya da” genellikle ikisinden yalnız birini kasteder (dışlayıcı veya). Matematikteki \(\vee\) böyle değildir: “\(x = 0\) veya \(y = 0\)” önermesi, \(x\) ile \(y\)’nin ikisi de sıfırken de doğrudur. Dışlayıcı veya’yı yazmak gerekirse \((p \vee q) \wedge \neg(p \wedge q)\) biçiminde açıkça yazılır (bkz. Alıştırma 1.1 a).

İse Bağlacı (Koşullu Önerme)

Matematiğin en önemli bağlacı budur: teoremlerin büyük çoğunluğu “… ise …” biçimindedir.

Tanım 1.7 (İse Bağlacı) \(p\) ve \(q\) önermelerinden kurulan koşullu önerme (conditional) \(p \Rightarrow q\) ile gösterilir; “\(p\) ise \(q\)” ya da “\(p\), \(q\)’yu gerektirir” diye okunur. Yalnızca \(p\) doğru ve \(q\) yanlışken yanlıştır; diğer her durumda doğrudur. Burada \(p\)’ye hipotez (varsayım, öncül), \(q\)’ya sonuç (hüküm) denir.

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	D
Y	Y	D

Tablonun son iki satırı ilk bakışta şaşırtıcıdır: hipotez yanlışsa koşullu önerme, sonuç ne olursa olsun doğru sayılır. Bunu bir söz verme olarak düşünmek yardımcı olur. \(p\): “Finalden AA alırsın.” ve \(q\): “Dersi geçersin.” olsun; \(p \Rightarrow q\): “Finalden AA alırsan dersi geçersin.” bir vaattir. Bu vaat yalnızca tek bir durumda bozulmuş olur: AA alıp da dersi geçememen. AA alamadıysan vaat hiç sınanmamıştır; dersi geçsen de geçmesen de sözünü tutmayan kimse yoktur, dolayısıyla vaat yanlışlanmamıştır. Matematikte bu duruma “boşlukla doğru” (vacuously true) denir; bir sonraki bölümde niceleyicilerle birlikte tekrar karşımıza çıkacak.

Aynı önermenin farklı okunuşları vardır ve teorem ifadelerinde hepsi kullanılır:

Yeter koşul, gerek koşul

\(p \Rightarrow q\) önermesi şu biçimlerde de söylenir:

“\(p\), \(q\) için yeter koşuldur” (sufficient condition): \(p\)’nin doğru olması \(q\)’nun doğru olmasına yeter.
“\(q\), \(p\) için gerek koşuldur” (necessary condition): \(p\) doğruysa \(q\) mutlaka doğrudur; \(q\) olmadan \(p\) olamaz.
“\(q\) olması için \(p\) olması yeterlidir”, “\(p\) olması için \(q\) olması gereklidir”, “\(p\) olduğunda \(q\) olur”, “\(q\) olmadıkça \(p\) olmaz”. Sonuncusu, aşağıda göreceğimiz karşıt ters biçimidir: \(\neg q \Rightarrow \neg p\). Dikkat: “\(p\) olmadıkça \(q\) olmaz” cümlesi ise \(\neg p \Rightarrow \neg q\) demektir ve \(p \Rightarrow q\) ile aynı şey değildir.

Teorem ispatlarında \(p\) verilen, kabul edilen kısımdır; \(q\) ise gösterilmesi gereken kısımdır. Bir ispat, hipotezin doğru olduğu varsayımı altında sonucun da doğru olmak zorunda olduğunu gösterir.

Koşullu önerme, aslında “değil” ve “veya” ile yazılabilir; bu gözlem hem olumsuzlama alırken hem de ispat yöntemlerini gerekçelendirirken işimize yarayacak.

Örnek 1.1 (İse Bağlacının Veya ile Yazılması) \((p \Rightarrow q) \equiv (\neg p \vee q)\) denkliğini doğruluk tablosuyla gösteriniz.

Çözüm

\(p\) ve \(q\)’nun dört olası dağılımı için \(p \Rightarrow q\) sütununu Tanım 1.7 ile, \(\neg p\) sütununu Tanım 1.2 ile, \(\neg p \vee q\) sütununu ise Tanım 1.6 ile dolduralım:

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)	\(\neg p\)	\(\neg p \vee q\)
D	D	D	Y	D
D	Y	Y	Y	Y
Y	D	D	D	D
Y	Y	D	D	D

\(p \Rightarrow q\) ve \(\neg p \vee q\) sütunları dört satırda da aynıdır; Tanım 1.3 gereği iki önerme denktir. Sözle: “\(p\) ise \(q\)” demek, “ya \(p\) yanlıştır ya da \(q\) doğrudur” demektir.

\(\blacksquare\)

Ancak ve Ancak Bağlacı (İki Koşullu Önerme)

İki önermenin “aynı anda doğru, aynı anda yanlış” olmasını ifade eden bağlaçtır; tanımlarda ve karakterizasyon teoremlerinde sürekli karşımıza çıkar.

Tanım 1.8 (Ancak ve Ancak Bağlacı) \(p\) ve \(q\) önermelerinden kurulan iki koşullu önerme (biconditional) \(p \Leftrightarrow q\) ile gösterilir ve ancak ve ancak \(p\) ile \(q\) aynı doğruluk değerine sahipken doğrudur; farklı değerlere sahipken yanlıştır. “\(p\) ancak ve ancak \(q\)”, “\(p\) ile \(q\) denktir”, “\(p\), \(q\) için gerek ve yeter koşuldur” diye okunur.

\(p\)	\(q\)	\(p \Leftrightarrow q\)
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	D

Örnek: Belirli bir çokgen verilmiş olsun. \(p\): “Bu çokgenin tam üç kenarı vardır.” ve \(q\): “Bu çokgen bir üçgendir.” olsun. Çokgen bir kez sabitlendiğinde iki cümlenin de doğruluk değeri belirlidir, yani ikisi de Tanım 1.1 anlamında birer önermedir. \(p \Leftrightarrow q\): “Bu çokgenin tam üç kenarı vardır ancak ve ancak bu çokgen bir üçgense.” doğrudur; çünkü hangi çokgen verilirse verilsin iki cümle ya birlikte doğru ya birlikte yanlıştır.

İki koşullu önerme, adından da anlaşılacağı gibi, iki koşullu önermenin birleşimidir:

Örnek 1.2 (Ancak ve Ancak, İki Yönlü İse Demektir) \(p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\) denkliğini doğruluk tablosuyla gösteriniz.

Çözüm

\(p \Rightarrow q\) ve \(q \Rightarrow p\) sütunlarını Tanım 1.7 ile ayrı ayrı doldurup Tanım 1.5 ile birleştirelim; son sütun Tanım 1.8’den gelir:

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)	\(q \Rightarrow p\)	\((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\)	\(p \Leftrightarrow q\)
D	D	D	D	D	D
D	Y	Y	D	Y	Y
Y	D	D	Y	Y	Y
Y	Y	D	D	D	D

Son iki sütun birebir aynı olduğundan denklik kanıtlanmıştır.

\(\blacksquare\)

Bu denkliğin ispat pratiğindeki anlamı büyüktür: “\(p \Leftrightarrow q\)” biçimindeki bir teorem, iki ayrı teoremdir. “\(\Rightarrow\)” yönü (\(p \Rightarrow q\)) \(p\)’nin yeterliliğini, “\(\Leftarrow\)” yönü (\(q \Rightarrow p\)) \(p\)’nin gerekliliğini söyler ve teorem ancak iki yön de ispatlandığında ispatlanmış sayılır. Yalnızca bir yönü gösterip “ancak ve ancak”lı sonucu ilan etmek, öğrencilerin en sık yaptığı hatalardan biridir.

1.3 Karşıt, Ters ve Karşıt Ters

\(p \Rightarrow q\) önermesinden, parçalarının yerini değiştirerek ya da olumsuzlayarak üç yeni koşullu önerme üretilebilir. Bunların hangisinin özgün önermeye denk olduğunu bilmek, ispat yazarken yaşamsaldır.

Tanım 1.9 (Karşıt, Ters ve Karşıt Ters) \(p \Rightarrow q\) koşullu önermesi verilsin.

\(q \Rightarrow p\) önermesine \(p \Rightarrow q\)’nun karşıtı (converse),
\(\neg p \Rightarrow \neg q\) önermesine \(p \Rightarrow q\)’nun tersi (inverse),
\(\neg q \Rightarrow \neg p\) önermesine \(p \Rightarrow q\)’nun karşıt tersi (contrapositive)

denir.

Adlar akılda kalıcıdır: karşıt, iki tarafın yerini karşılıklı değiştirir; ters, iki tarafı olumsuzlar; karşıt ters, ikisini birden yapar.

Örnek 1.3 (Koşullu Önerme Karşıt Tersine Denktir) \(p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p\) denkliğini doğruluk tablosuyla gösteriniz. Karşıt ve ters için ne söylenebilir?

Çözüm

Tabloya \(\neg p\) ve \(\neg q\) sütunlarını ekleyip karşıt tersi, karşıtı ve tersi ayrı sütunlarda hesaplayalım. Her koşullu önerme sütunu için kural aynıdır: yalnızca “hipotez D, sonuç Y” satırında Y yazılır.

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)	\(\neg p\)	\(\neg q\)	\(\neg q \Rightarrow \neg p\)	\(q \Rightarrow p\)	\(\neg p \Rightarrow \neg q\)
D	D	D	Y	Y	D	D	D
D	Y	Y	Y	D	Y	D	D
Y	D	D	D	Y	D	Y	Y
Y	Y	D	D	D	D	D	D

\(p \Rightarrow q\) ile \(\neg q \Rightarrow \neg p\) sütunları dört satırda da aynıdır: bir koşullu önerme, karşıt tersine denktir.

Öte yandan \(p \Rightarrow q\) ile \(q \Rightarrow p\) sütunları ikinci ve üçüncü satırlarda farklıdır: bir koşullu önerme karşıtına denk değildir. Son iki sütun ise birbirine eşittir; yani karşıt ile ters birbirine denktir (ters, karşıtın karşıt tersidir).

\(\blacksquare\)

Somut bir örnekle sindirelim. \(p\): “Yağmur yağıyor.”, \(q\): “Yer ıslak.” olsun ve \(p \Rightarrow q\): “Yağmur yağıyorsa yer ıslaktır.” önermesini doğru kabul edelim.

Karşıtı: “Yer ıslaksa yağmur yağıyordur.” Doğru olmak zorunda değil; yer hortumla sulanmış olabilir.
Tersi: “Yağmur yağmıyorsa yer ıslak değildir.” Aynı nedenle doğru olmak zorunda değil.
Karşıt tersi: “Yer ıslak değilse yağmur yağmıyordur.” Doğru: yağmur yağsaydı yer ıslak olurdu.

İspatlarda karşıt tersin kullanımı

\(p \Rightarrow q\) ile \(\neg q \Rightarrow \neg p\) denk olduğundan, bir teoremi ispatlarken özgün ifade yerine karşıt tersini ispatlamak tamamen meşrudur. Bazen karşıt ters çok daha kolay ispatlanır: “\(n^2\) çift ise \(n\) çifttir” yerine “\(n\) tek ise \(n^2\) tektir” göstermek gibi. Bu yöntemi bir sonraki bölümde ayrıntılı işleyeceğiz. Ama dikkat: karşıtı ispatlamak, özgün önermeyi ispatlamaz.

1.4 Çelişki ve Totoloji

Bazı bileşik önermeler, bileşenlerinin değeri ne olursa olsun hep aynı sonucu verir. Bu iki uç durumun özel adları vardır.

Tanım 1.10 (Totoloji ve Çelişki) Kurucu önermelerinin her doğruluk değeri dağılımında doğru olan bileşik önermeye totoloji (tautology); her dağılımda yanlış olan bileşik önermeye çelişki (contradiction) denir.

En basit örnekler tek bir önermeden kurulur:

\(p\)	\(\neg p\)	\(p \wedge \neg p\)	\(p \vee \neg p\)
D	Y	Y	D
Y	D	Y	D

\(p \wedge \neg p\) sütunu hep Y’dir: bu bir çelişkidir. \(p \vee \neg p\) sütunu hep D’dir: bu bir totolojidir. Bu iki tablo, aslında önermeler mantığının temel ilkelerinin tablo hâlidir.

Önermeler mantığının üç temel ilkesi

Özdeşlik ilkesi: Bir önerme doğruysa doğrudur; yani \(p \Rightarrow p\) bir totolojidir. (Tabloda \(p\) ile \(p\) aynı değeri aldığından “hipotez D, sonuç Y” satırı hiç oluşmaz.)
Çelişmezlik ilkesi: Hiçbir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz; yani \(p \wedge \neg p\) bir çelişkidir.
Üçüncü hâlin olmazlığı ilkesi: Bir önerme ya doğrudur ya yanlıştır, üçüncü bir olasılık yoktur; yani \(p \vee \neg p\) bir totolojidir.

Üçüncü ilke, “olmayana ergi” yöntemine güç veren ilkedir: \(\neg p\)’nin bir çelişkiye götürdüğünü gösterirsek, üçüncü bir seçenek olmadığından \(p\) doğru olmak zorundadır.

Totoloji kavramı, denkliği de yeniden ifade etmemizi sağlar: \(P \equiv Q\) olması, \(P \Leftrightarrow Q\) önermesinin bir totoloji olması demektir. Gerçekten de Tanım 1.8 gereği \(P \Leftrightarrow Q\) tam olarak \(P\) ile \(Q\) aynı değeri aldığında doğrudur; her satırda doğru olması, her satırda aynı değeri almaları, yani denk olmaları demektir.

1.5 Önemli Mantık Yasaları

Aşağıdaki yasaların çoğu, sayılardaki değişme, birleşme ve dağılma özelliklerinin mantıktaki karşılıklarıdır ve birer denkliktir; (5) numaralı geçişlilik maddesi ise bir denklik değil, tek yönlü bir gerektirmedir. Hepsi doğruluk tablosuyla doğrulanabilir; bundan sonra ispatlarda gerekçe göstermeden kullanacağız.

Teorem 1.1 (Temel Mantık Yasaları) \(p\), \(q\) ve \(r\) önermeler olsun.

Değişme yasaları: \(p \vee q \equiv q \vee p\) ve \(p \wedge q \equiv q \wedge p\).
Birleşme yasaları: \((p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r)\) ve \((p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r)\).
Dağılma yasaları: \(p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\) ve \(p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)\).
Özdeşlik yasaları: \(p \wedge p \equiv p\) ve \(p \vee p \equiv p\). (Identity laws; bazı kaynaklarda eş güçlülük ya da idempotens yasaları denir. Yukarıdaki “özdeşlik ilkesi” (\(p \Rightarrow p\)) ile aynı şey değildir.)
Geçişlilik (transitivity): \([(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r)\) bir totolojidir.
De Morgan yasaları: \(\neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q\) ve \(\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\).
Karşıt ters yasası: \(p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p\).

İspat

Her maddeyi doğruluk tablosuyla doğrulayabiliriz; bazıları için tablo kurmaya bile gerek yoktur.

(1) Değişme. Tanım 1.5 ve Tanım 1.6 tabloları \(p\) ile \(q\)’ya göre simetriktir: \(p \wedge q\) yalnızca ikisi de doğruyken doğrudur, bu koşul \(p\) ile \(q\)’nun sırasına bağlı değildir. \(\vee\) için de aynı şey “ikisi de yanlışken yanlış” koşulu için geçerlidir.

(4) Özdeşlik. \(p \wedge p\) önermesi \(p\) doğruyken doğru, yanlışken yanlıştır; yani sütunu \(p\)’nin sütunuyla aynıdır. \(p \vee p\) için de aynı gerekçe geçerlidir.

(6) De Morgan, ilk yasa. \(\neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q\) denkliği için tabloyu kuralım:

\(p\)	\(q\)	\(p \vee q\)	\(\neg(p \vee q)\)	\(\neg p\)	\(\neg q\)	\(\neg p \wedge \neg q\)
D	D	D	Y	Y	Y	Y
D	Y	D	Y	Y	D	Y
Y	D	D	Y	D	Y	Y
Y	Y	Y	D	D	D	D

\(\neg(p \vee q)\) ve \(\neg p \wedge \neg q\) sütunları birebir aynıdır; ilk De Morgan yasası kanıtlanmıştır. Sözle: “\(p\) veya \(q\)” yanlışsa ikisi de yanlıştır; ikisi de yanlışsa “\(p\) veya \(q\)” yanlıştır.

(7) Karşıt ters. Örnek 1.3’te tabloyla gösterildi.

(2), (3), (5) ve De Morgan’ın ikinci yasası. Bu maddeler bölüm sonundaki Alıştırma 1.1 alıştırmasının b, c ve d şıklarında ispatlanmıştır: (3), (5) ve De Morgan’ın ikinci yasası için doğruluk tabloları kurulur (üç önermeli tablolar sekiz satırlıdır), birleşme yasaları (2) ise tablo kurmadan, sözlü bir gerekçeyle gösterilir.

\(\blacksquare\)

Bu yasalar ne işe yarar? Birleşme yasaları sayesinde \(p \wedge q \wedge r\) ya da \(p \vee q \vee r\) yazarken parantez koymamıza gerek kalmaz. Dağılma yasaları, “\(x = 0\) ve (\(y = 1\) veya \(y = 2\))” gibi bir koşulu “(\(x = 0\) ve \(y = 1\)) veya (\(x = 0\) ve \(y = 2\))” biçiminde açmamızı sağlar. Geçişlilik, ispatlardaki “zincir” mantığının kendisidir: \(p \Rightarrow p_1 \Rightarrow p_2 \Rightarrow \dots \Rightarrow q\) adımlarından \(p \Rightarrow q\) sonucuna böyle geçilir (yasa iki halkalı zincir için yazılmıştır; daha uzun zincirler onu tekrar tekrar uygulayarak kısaltılır). Beşinci maddenin bir denklik değil, bir totoloji olduğuna dikkat edin: \(p \Rightarrow r\) doğruyken \((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)\) yanlış olabilir.

De Morgan yasaları ise olumsuzlama alırken vazgeçilmezdir. “\(x\) çift ve \(y\) tek” önermesinin olumsuzlaması “\(x\) tek veya \(y\) çift”tir; “\(x = 0\) veya \(y = 0\)” önermesinin olumsuzlaması “\(x \neq 0\) ve \(y \neq 0\)”dır. Olumsuzlama “ve”yi “veya”ya, “veya”yı “ve”ye çevirir. Bu yasayı koşullu önermeye uygulayınca, ispat yöntemlerinin temel taşı olan bir sonuç elde ederiz.

Sonuç 1.1 (Koşullu Önermenin Olumsuzlaması) \[\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \neg q.\]

İspat

Örnek 1.1 gereği \(p \Rightarrow q \equiv \neg p \vee q\)’dur. Denk önermelerin olumsuzlamaları da denktir (tabloları aynıysa zıtları da aynıdır); dolayısıyla

\[\neg(p \Rightarrow q) \equiv \neg(\neg p \vee q).\]

Sağ tarafa Teorem 1.1 (6), ilk De Morgan yasasını uygulayalım:

\[\neg(\neg p \vee q) \equiv \neg(\neg p) \wedge \neg q.\]

Son olarak Önerme 1.1 ile \(\neg(\neg p) \equiv p\) olduğundan \(\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \neg q\) elde edilir.

\(\blacksquare\)

Sonucun söylediği şudur: “\(p\) ise \(q\)” iddiasının yanlış olması, “\(p\) doğru ve \(q\) yanlış” olması demektir; başka hiçbir şey değil. Bu yüzden bir “ise”li iddiayı çürütmek için hipotezin sağlandığı ama sonucun sağlanmadığı tek bir örnek yeter; ve bu yüzden olmayana ergi yönteminde “\(p\) ve \(\neg q\)” varsayımıyla başlanır. Her iki fikri de bir sonraki bölümde kullanacağız.

1.6 Önermelerin Matematikteki Kullanımı

Mantıkta bir önerme doğru ya da yanlış olabilir. Matematik metinlerinde ise “önerme” sözcüğü neredeyse her zaman doğruluğu ispatlanmış bir ifade için kullanılır; bundan sonra “önerme” dediğimizde, bağlamdan aksi anlaşılmıyorsa, bu matematiksel anlamı kastedeceğiz. Bir matematik metninin yapı taşları aşağıdaki sözcüklerle adlandırılır; bu notlardaki kutu başlıkları da bu adlandırmayı izler.

Matematik metinlerinin yapı taşları

Tanım (definition): Bir sözcüğün matematiksel anlamının açıklanması ya da bir kavrama ad verilmesidir. Tanımlar ispatlanmaz; kabul edilir.
Aksiyom (axiom, postulat): Bir matematiksel yapı hakkında, ispat gerektirmeden doğru kabul edilen temel varsayımdır. Reel sayıları böyle aksiyomlarla kuracağız.
Teorem (theorem): Önemli, genel ve güçlü sonuçları olan, ispatlanmış bir önermedir.
Önerme (proposition): Doğruluğu ispatlanmış ama teorem kadar önemli sayılmayan bir ifadedir.
Lemma (lemma, yardımcı teorem): Bir teoremin ispatında kullanılmak üzere ispatlanan yardımcı önermedir.
Sonuç (corollary): Bir teoremden kolayca türetilen önermedir.
İspat (proof): Bir önermenin neden doğru olduğunu gösteren, tanımlara, aksiyomlara ve daha önce ispatlanmış sonuçlara dayanan mantıksal açıklamadır. Yukarıdakilerin geçerliliği ispatla kurulur.
Sanı (conjecture): Doğru olduğuna inanılan ya da iddia edilen, ancak henüz ispatı bulunamamış ve çürütülememiş önermedir. Goldbach sanısı böyledir.

Teorem, önerme, lemma ve sonuç arasındaki fark mantıksal değil, “önem” ve “kullanım yeri” ile ilgilidir; hepsi ispatlanmış önermelerdir. Bu notlar boyunca ispatlar, ait oldukları kutunun içinde, hipotezden sonuca giden adımların her birinin gerekçesi yazılarak verilecektir. Bir sonraki bölümde bu adımların hangi kalıplara oturduğunu, yani ispat yöntemlerini öğreneceğiz.

1.7 Alıştırmalar

Alıştırma 1.1 (Önermeler Mantığı Alıştırmaları)

\((p \vee q) \wedge \neg(p \wedge q)\) önermesinin (dışlayıcı veya) doğruluk tablosunu kurunuz ve \(\neg(p \Leftrightarrow q)\) önermesine denk olduğunu gösteriniz.
De Morgan’ın ikinci yasasını, \(\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\), doğruluk tablosuyla ispatlayınız.
Dağılma yasalarını, \(p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\) ve \(p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)\), doğruluk tablosuyla ispatlayınız. Birleşme yasalarını tablo kurmadan, sözlü bir gerekçeyle ispatlayınız.
Geçişlilik yasasının, yani \([(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r)\) önermesinin bir totoloji olduğunu doğruluk tablosuyla gösteriniz.
“Bir tam sayı \(6\) ile bölünüyorsa \(3\) ile bölünür.” önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız; her birinin doğru olup olmadığını belirleyiniz.

Çözüm

a) Önce iç parçaları, sonra bütünü hesaplayalım:

\(p\)	\(q\)	\(p \vee q\)	\(p \wedge q\)	\(\neg(p \wedge q)\)	\((p \vee q) \wedge \neg(p \wedge q)\)	\(p \Leftrightarrow q\)	\(\neg(p \Leftrightarrow q)\)
D	D	D	D	Y	Y	D	Y
D	Y	D	Y	D	D	Y	D
Y	D	D	Y	D	D	Y	D
Y	Y	Y	Y	D	Y	D	Y

Dışlayıcı veya yalnızca \(p\) ile \(q\)’dan tam biri doğruyken doğrudur; altıncı ve sekizinci sütunlar aynı olduğundan \((p \vee q) \wedge \neg(p \wedge q) \equiv \neg(p \Leftrightarrow q)\).

b) Tabloyu kuralım:

\(p\)	\(q\)	\(p \wedge q\)	\(\neg(p \wedge q)\)	\(\neg p\)	\(\neg q\)	\(\neg p \vee \neg q\)
D	D	D	Y	Y	Y	Y
D	Y	Y	D	Y	D	D
Y	D	Y	D	D	Y	D
Y	Y	Y	D	D	D	D

Dördüncü ve yedinci sütunlar aynıdır; \(\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\). Sözle: “\(p\) ve \(q\)” yanlışsa en az biri yanlıştır; en az biri yanlışsa “\(p\) ve \(q\)” yanlıştır.

c) Üç önerme olduğundan tablo sekiz satırlıdır. Sol tarafı \(q \vee r\) üzerinden, sağ tarafı \(p \wedge q\) ve \(p \wedge r\) üzerinden hesaplayalım:

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(q \vee r\)	\(p \wedge (q \vee r)\)	\(p \wedge q\)	\(p \wedge r\)	\((p \wedge q) \vee (p \wedge r)\)
D	D	D	D	D	D	D	D
D	D	Y	D	D	D	Y	D
D	Y	D	D	D	Y	D	D
D	Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y
Y	D	D	D	Y	Y	Y	Y
Y	D	Y	D	Y	Y	Y	Y
Y	Y	D	D	Y	Y	Y	Y
Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y

Beşinci ve sekizinci sütunlar aynıdır; birinci dağılma yasası kanıtlanmıştır. İkinci dağılma yasası için aynı sekiz satırı kullanalım:

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(q \wedge r\)	\(p \vee (q \wedge r)\)	\(p \vee q\)	\(p \vee r\)	\((p \vee q) \wedge (p \vee r)\)
D	D	D	D	D	D	D	D
D	D	Y	Y	D	D	D	D
D	Y	D	Y	D	D	D	D
D	Y	Y	Y	D	D	D	D
Y	D	D	D	D	D	D	D
Y	D	Y	Y	Y	D	Y	Y
Y	Y	D	Y	Y	Y	D	Y
Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y

Yine beşinci ve sekizinci sütunlar aynıdır; ikinci dağılma yasası da kanıtlanmıştır.

Birleşme yasaları için tabloya gerek yoktur. \((p \vee q) \vee r\) önermesi, Tanım 1.6 gereği, ancak ve ancak \(p \vee q\) ve \(r\)’nin ikisi de yanlışken yanlıştır; \(p \vee q\)’nun yanlış olması da \(p\) ile \(q\)’nun ikisinin yanlış olması demektir. Yani \((p \vee q) \vee r\) tam olarak \(p, q, r\)’nin üçü de yanlışken yanlıştır. Aynı akıl yürütme \(p \vee (q \vee r)\) için de “üçü de yanlışken yanlış” sonucunu verir; iki önermenin yanlış olduğu satırlar aynı olduğundan tabloları aynıdır. Benzer biçimde \((p \wedge q) \wedge r\) ve \(p \wedge (q \wedge r)\) önermelerinin ikisi de tam olarak \(p, q, r\)’nin üçü de doğruyken doğrudur.

d) Sekiz satırlı tabloyu kuralım. Koşullu sütunlarda yalnızca “hipotez D, sonuç Y” satırına Y yazılır:

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(p \Rightarrow q\)	\(q \Rightarrow r\)	\((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)\)	\(p \Rightarrow r\)	\([(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r)\)
D	D	D	D	D	D	D	D
D	D	Y	D	Y	Y	Y	D
D	Y	D	Y	D	Y	D	D
D	Y	Y	Y	D	Y	Y	D
Y	D	D	D	D	D	D	D
Y	D	Y	D	Y	Y	D	D
Y	Y	D	D	D	D	D	D
Y	Y	Y	D	D	D	D	D

Son sütun sekiz satırda da D’dir; önerme bir totolojidir. Tabloda görülen bir ayrıntı: altıncı satırda \(p \Rightarrow r\) doğru olmasına karşın \((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)\) yanlıştır. Bu yüzden geçişlilik bir denklik değil, tek yönlü bir gerektirmedir.

e) \(p\): “Tam sayı \(6\) ile bölünür.”, \(q\): “Tam sayı \(3\) ile bölünür.” olsun; verilen önerme \(p \Rightarrow q\)’dur ve doğrudur: \(6\) ile bölünen bir sayı \(6k = 3(2k)\) biçimindedir, dolayısıyla \(3\) ile de bölünür.

Karşıtı (\(q \Rightarrow p\)): “Bir tam sayı \(3\) ile bölünüyorsa \(6\) ile bölünür.” Yanlıştır: \(9\) sayısı \(3\) ile bölünür ama \(6\) ile bölünmez.
Tersi (\(\neg p \Rightarrow \neg q\)): “Bir tam sayı \(6\) ile bölünmüyorsa \(3\) ile bölünmez.” Yanlıştır: yine \(9\) sayısı \(6\) ile bölünmez ama \(3\) ile bölünür. (Ters, karşıta denk olduğundan aynı örnek ikisini de çürütür.)
Karşıt tersi (\(\neg q \Rightarrow \neg p\)): “Bir tam sayı \(3\) ile bölünmüyorsa \(6\) ile bölünmez.” Doğrudur, çünkü özgün önermeye denktir: \(6\) ile bölünseydi \(3\) ile de bölünürdü.

\(\blacksquare\)

Önermeler ve bağlaçlar hazır. Ancak matematiğin gerçek cümleleri “her \(x\) için” ve “öyle bir \(y\) vardır ki” gibi ifadeler içerir; bunları ve teorem ispatlamanın temel yöntemlerini bir sonraki bölümde ele alıyoruz: Niceleyiciler ve İspat Yöntemleri.