18 Kompaktlık ve Heine–Borel Teoremi
Sonlu kümelerle çalışmak kolaydır: sonlu bir kümenin en büyük elemanı vardır, sonlu tane pozitif sayının en küçüğü yine pozitiftir. Sonsuz kümelerde bu kolaylıklar kaybolur; \((0,1)\) aralığının en büyük elemanı yoktur, \(\{1/n\}\) kümesinin pozitif elemanlarının en küçüğü de yoktur. Bu bölümde, sonsuz olmasına rağmen “sonlu gibi yönetilebilen” kümeleri tanıyacağız: kompakt kümeler. Tanım, kümeyi açık kümelerle örtme fikrine dayanır ve ilk bakışta soyut görünür; ama Heine–Borel teoremi bu soyut tanımın \(\mathbb{R}\)’de son derece somut bir karşılığı olduğunu gösterir: kompakt kümeler tam olarak kapalı ve sınırlı kümelerdir.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: açık örtü, sonlu alt örtü ve kompakt küme tanımları; kompakt kümelerin sınırlı ve kapalı olduğu; kompakt kümenin kapalı alt kümelerinin ve kompakt kümelerin sonlu birleşimlerinin kompakt olduğu; Heine–Borel teoreminin, önceki bölümün ikiye bölme yöntemiyle tam ispatı.
18.1 Açık Örtüler
Bir kümeyi “örtmek”, onu tamamen içine alan başka kümeler bulmak demektir; tıpkı bir masayı birkaç örtüyle kaplamak gibi. Örtüler açık kümelerden oluştuğunda ve kümeyi sonlu tane örtü parçasıyla kaplamak mümkün olduğunda ilginç şeyler olur. İndisli aileler için Tanım 3.8 gösterimini kullanıyoruz.
Tanım 18.1 (Açık Örtü ve Sonlu Alt Örtü) \(A \subseteq \mathbb{R}\) bir küme ve \(\{U_i\}_{i \in I}\) açık kümelerden oluşan bir aile olsun. \(A\) bu ailenin birleşimi içinde kalıyorsa, yani
\[A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i\]
ise \(\{U_i\}_{i \in I}\) ailesine \(A\)’nın bir açık örtüsü (open cover) denir.
Aileden seçilen sonlu tane küme, diyelim \(U_{i_1}, U_{i_2}, \dots, U_{i_n}\), hâlâ \(A\)’yı örtüyorsa, yani
\[A \subseteq U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup \cdots \cup U_{i_n}\]
ise bu sonlu aileye \(A\)’nın (verilen örtüden seçilmiş) bir sonlu alt örtüsü (finite subcover) denir.
Örtüdeki \(U_i\) kümelerinin \(A\)’nın alt kümesi olması gerekmez; önemli olan birleşimlerinin \(A\)’yı içermesidir. Ayrıca sonlu alt örtü, yeni kümeler icat ederek değil, verilen ailenin içinden seçim yaparak oluşturulur. Bir kümenin pek çok farklı açık örtüsü vardır; en basiti tek elemanlı \(\{\mathbb{R}\}\) ailesidir.
Örnek 18.1 (Sonlu Alt Örtüsü Olmayan Bir Örtü) \(A = (0,1)\) olsun. \(n \ge 2\) için \(U_n = \left(\dfrac{1}{n}, 1\right)\) alalım. \(\{U_n\}_{n \ge 2}\) ailesinin \(A\)’nın bir açık örtüsü olduğunu, ama bu örtünün sonlu alt örtüsünün bulunmadığını gösteriniz.
Çözüm
Açık örtüdür. Her \(U_n\) bir açık aralıktır, dolayısıyla açıktır (Önerme 15.2). Birleşimin \((0,1)\)’i örttüğünü görelim: \(x \in (0,1)\) olsun. Arşimet özelliği (Sonuç 12.2) gereği \(\dfrac{1}{n} < x\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır; \(x < 1\) olduğundan bu \(n\) için \(\dfrac{1}{n} < 1\), yani \(n \ge 2\). Böylece \(x \in \left(\dfrac{1}{n}, 1\right) = U_n\). Öyleyse
\[(0,1) \subseteq \bigcup_{n \ge 2} U_n.\]
(Aslında her \(U_n \subseteq (0,1)\) olduğundan birleşim tam olarak \((0,1)\)’e eşittir.)
Sonlu alt örtüsü yoktur. Aileden sonlu tane küme seçelim: \(U_{n_1}, U_{n_2}, \dots, U_{n_k}\). \(N = \max\{n_1, \dots, n_k\}\) olsun. \(n \le N\) için \(\dfrac{1}{N} \le \dfrac{1}{n}\) olduğundan \(U_n \subseteq U_N\); yani aralıklar iç içedir ve seçilenlerin birleşimi
\[U_{n_1} \cup \cdots \cup U_{n_k} = U_N = \left(\frac{1}{N}, 1\right)\]
olur. Ama \(\dfrac{1}{N+1} \in (0,1)\) noktası bu birleşimde değildir, çünkü \(\dfrac{1}{N+1} < \dfrac{1}{N}\). Demek ki hangi sonlu alt aileyi seçersek seçelim \((0, 1/N]\) parçası açıkta kalır; sonlu alt örtü yoktur.
Açıkta kalan kısım hep \(0\)’a yakındır: \(0\) aralığın kümeye ait olmayan yığılma noktasıdır ve örtü parçaları ona ancak “sonsuz adımda” ulaşabilmektedir.
\(\blacksquare\)
Örnek 18.2 (Kapalı Aralık İçin Bir Örtü) \([0,1]\) kapalı aralığını ele alalım ve
\[\mathcal{V} = \{(-1, \tfrac{1}{5})\} \cup \left\{ \left(\tfrac{1}{n}, 2\right) : n \in \mathbb{N} \right\}\]
ailesini düşünelim. \(\mathcal{V}\)’nin \([0,1]\)’in bir açık örtüsü olduğunu gösteriniz ve bir sonlu alt örtü bulunuz.
Çözüm
Ailenin her elemanı açık aralıktır, dolayısıyla açıktır. \(0 \in (-1, \tfrac15)\)’tir. \(x \in (0,1]\) ise Sonuç 12.2 gereği \(\dfrac{1}{n} < x\) olan bir \(n\) vardır ve \(x \le 1 < 2\) olduğundan \(x \in \left(\tfrac{1}{n}, 2\right)\). Böylece \(\mathcal{V}\) bir açık örtüdür.
Sonlu alt örtü için iki küme yeter: \((-1, \tfrac15)\) ve \((\tfrac16, 2)\). Gerçekten \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{5}\) olduğundan
\[(-1, \tfrac15) \cup (\tfrac16, 2) = (-1, 2) \supseteq [0,1].\]
\(\blacksquare\)
Bu iki örneğin farkına dikkat edelim. \((0,1)\) için sonlu alt örtüsü olmayan bir örtü bulduk; \([0,1]\) için ise seçtiğimiz örtünün sonlu alt örtüsü vardı. Ama \([0,1]\)’in her açık örtüsünün sonlu alt örtüsü var mıdır? Bu sorunun yanıtı bu bölümün ana teoremidir. Önce kavrama ad verelim.
Tanım 18.2 (Kompakt Küme) \(K \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(K\)’nin her açık örtüsünün bir sonlu alt örtüsü varsa \(K\)’ye kompakt küme (compact set) denir.
Bir kümenin kompakt olmadığını göstermek için sonlu alt örtüsü bulunmayan tek bir açık örtü bulmak yeter; Örnek 18.1 tam olarak bunu yapar ve \((0,1)\)’in kompakt olmadığını kanıtlar. Kompakt olduğunu göstermek içinse verilebilecek bütün açık örtülerle başa çıkmak gerekir; Örnek 18.2 bu yüzden \([0,1]\)’in kompakt olduğunu kanıtlamaz, yalnızca tek bir örtüyü inceler. Kompaktlık tanımının gücü de tam buradadır: sonsuz bir kümeyi sonlu tane “parça” ile yönetmemize izin verir.
Önerme 18.1 (Sonlu Kümeler Kompakttır) \(\mathbb{R}\)’nin her sonlu alt kümesi (boş küme dâhil) kompakttır.
İspat
\(A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}\) ve \(\{U_i\}_{i \in I}\), \(A\)’nın herhangi bir açık örtüsü olsun. Her \(a_j\) birleşimin elemanı olduğundan \(a_j \in U_{i_j}\) olan bir \(i_j \in I\) vardır. O zaman \(U_{i_1}, \dots, U_{i_n}\) sonlu ailesi \(A\)’yı örter: \(A \subseteq U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}\). Boş küme için örtülecek nokta yoktur: örtüde en az bir küme varsa herhangi birini seçmek yeter; örtü ailesinin kendisi boşsa (\(I = \varnothing\)) hiç küme seçmeyen boş alt aile de işi görür, çünkü boş ailenin birleşimi \(\varnothing\)’dir ve \(\varnothing \subseteq \varnothing\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 18.3 (Kompakt Olmayan Kümeler) \(\mathbb{R}\) ve \(\mathbb{N}\) kümelerinin kompakt olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(\mathbb{R}\): \(n \in \mathbb{N}\) için \(U_n = (-n, n)\) alalım. Her \(x \in \mathbb{R}\) için Sonuç 12.1 gereği \(n > |x|\) olan bir \(n\) vardır ve \(x \in (-n,n)\); dolayısıyla \(\{U_n\}\) bir açık örtüdür. Sonlu tane \(U_{n_1}, \dots, U_{n_k}\) seçilirse, \(N = \max n_j\) için aralıklar iç içe olduğundan birleşim \((-N, N)\)’dir ve \(N\) sayısı örtülmez. Sonlu alt örtü yoktur.
\(\mathbb{N}\): \(n \in \mathbb{N}\) için \(V_n = \left(n - \tfrac12, n + \tfrac12\right)\) alalım. Her \(n \in V_n\) olduğundan \(\{V_n\}\) bir açık örtüdür; ama \(V_n\) aralığı \(n\)’den başka doğal sayı içermez (iki farklı doğal sayının farkı en az \(1\)’dir). Sonlu tane \(V_{n_1}, \dots, V_{n_k}\) seçilirse, indisler arasında olmayan bir doğal sayı (örneğin \(\max n_j + 1\)) örtülmez. Sonlu alt örtü yoktur.
\(\blacksquare\)
Kompaktlığı doğrudan tanımdan göstermenin nasıl bir şey olduğunu da görelim.
Örnek 18.4 (Bir Bölü n Kümesi Sıfırla Birlikte Kompakttır) \(K = \{0\} \cup \left\{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}\) kümesinin kompakt olduğunu tanımdan yola çıkarak gösteriniz.
Çözüm
\(\{U_i\}_{i \in I}\), \(K\)’nin herhangi bir açık örtüsü olsun. \(0 \in K\) olduğundan \(0 \in U_{i_0}\) olan bir \(i_0 \in I\) vardır. \(U_{i_0}\) açık olduğundan \((-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U_{i_0}\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Sonuç 12.2 gereği \(\dfrac{1}{N} < \varepsilon\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) seçelim. Her \(n \ge N\) için \(0 < \dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{N} < \varepsilon\), yani
\[\frac{1}{n} \in (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U_{i_0} \qquad (n \ge N).\]
Demek ki tek bir \(U_{i_0}\) kümesi, \(0\)’ı ve \(\dfrac{1}{n}\)’lerin “sonsuz kuyruğunu” birden örter. Geriye yalnızca sonlu tane nokta kalır: \(1, \dfrac{1}{2}, \dots, \dfrac{1}{N-1}\). Her biri örtünün bir elemanındadır; \(\dfrac{1}{n} \in U_{i_n}\) diyelim (\(1 \le n \le N-1\)). O zaman
\[U_{i_0},\ U_{i_1},\ U_{i_2},\ \dots,\ U_{i_{N-1}}\]
ailesi \(K\)’yi örten sonlu bir alt örtüdür. Örtü keyfi olduğundan \(K\) kompakttır.
\(\blacksquare\)
İspattaki kilit nokta, \(0\)’ın kümeye ait olmasıydı: \(0\)’ı örten açık küme, ona yığılan bütün noktaları da yutar. \(0\) kümeden çıkarılırsa bu avantaj kaybolur; \(\{1/n : n \in \mathbb{N}\}\) kümesinin kompakt olmadığını alıştırmalarda göreceğiz.
18.2 Kompakt Kümelerin Özellikleri
Kompaktlığın somut sonuçlarına geçiyoruz. İlk iki teorem, kompakt kümelerin sınırlı ve kapalı olmak zorunda olduğunu söyler.
Teorem 18.1 (Kompakt Kümeler Sınırlıdır) \(K \subseteq \mathbb{R}\) kompaktsa \(K\) sınırlıdır.
İspat
\(n \in \mathbb{N}\) için \(U_n = (-n, n)\) açık aralıklarını alalım. Örnek 18.3’de gördüğümüz gibi \(\bigcup_{n} U_n = \mathbb{R}\); dolayısıyla \(K \subseteq \bigcup_n U_n\) ve \(\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), \(K\)’nin bir açık örtüsüdür. \(K\) kompakt olduğundan bu örtünün bir sonlu alt örtüsü vardır: \(K \subseteq U_{n_1} \cup \cdots \cup U_{n_k}\). \(N = \max\{n_1, \dots, n_k\}\) olsun. \(n \le N\) için \((-n, n) \subseteq (-N, N)\) olduğundan
\[K \subseteq U_{n_1} \cup \cdots \cup U_{n_k} \subseteq (-N, N).\]
Yani her \(x \in K\) için \(-N < x < N\): \(N\) bir üst sınır, \(-N\) bir alt sınırdır ve \(K\) sınırlıdır (Tanım 10.2).
Bir uzlaşım: Tanım 10.2 boş olmayan kümeler için yazılmıştı. \(K = \varnothing\) hâlinde “her \(x \in K\) için \(-N < x < N\)” koşulu boşlukla doğru olduğundan (her reel sayı boş kümenin hem alt hem üst sınırıdır), bundan böyle boş kümeyi de sınırlı sayıyoruz. Bu uzlaşım sayesinde yukarıdaki teorem ve Teorem 18.5, \(K = \varnothing\) için de olduğu gibi geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Teorem 18.2 (Kompakt Kümeler Kapalıdır) \(K \subseteq \mathbb{R}\) kompaktsa \(K\) kapalıdır.
İspat
\(K = \varnothing\) ise \(K\) kapalıdır (tümleyeni \(\mathbb{R}\) açıktır); \(K \neq \varnothing\) olsun. \(\mathbb{R} \setminus K\)’nin açık olduğunu göstereceğiz. \(a \in \mathbb{R} \setminus K\) keyfi olsun.
Ayırma adımı. Her \(x \in K\) için \(x \neq a\)’dır; \(\varepsilon_x = \dfrac{|x - a|}{2} > 0\) alalım. \(B(x, \varepsilon_x)\) ve \(B(a, \varepsilon_x)\) komşulukları ayrıktır: bir \(y\) her ikisine de ait olsaydı, üçgen eşitsizliğiyle (Teorem 8.2)
\[|x - a| \le |x - y| + |y - a| < \varepsilon_x + \varepsilon_x = |x - a|\]
çelişkisi çıkardı.
Örtü ve sonlu alt örtü. Her \(x \in K\) kendi komşuluğu \(B(x, \varepsilon_x)\)’in elemanı olduğundan \(\{B(x, \varepsilon_x)\}_{x \in K}\) ailesi \(K\)’nin bir açık örtüsüdür. \(K\) kompakt olduğundan sonlu tane komşuluk yeter:
\[K \subseteq B(x_1, \varepsilon_1) \cup \cdots \cup B(x_n, \varepsilon_n), \qquad \varepsilon_j = \varepsilon_{x_j}.\]
\(a\)’nın güvenli komşuluğu. \(\delta = \min\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\}\) alalım; sonlu tane pozitif sayının minimumu olduğundan \(\delta > 0\). İddia: \(B(a, \delta) \cap K = \varnothing\). Gerçekten, \(y \in B(a,\delta) \cap K\) olsaydı, \(y \in K\) olduğundan bir \(j\) için \(y \in B(x_j, \varepsilon_j)\) olurdu; ayrıca \(\delta \le \varepsilon_j\) olduğundan \(y \in B(a, \delta) \subseteq B(a, \varepsilon_j)\). Yani \(y\), ayrık olduklarını gösterdiğimiz \(B(x_j, \varepsilon_j)\) ve \(B(a, \varepsilon_j)\) komşuluklarının ortak elemanı olurdu — çelişki.
Demek ki \(B(a, \delta) \subseteq \mathbb{R} \setminus K\). \(a\) keyfi olduğundan \(\mathbb{R} \setminus K\) açıktır ve \(K\) kapalıdır (Tanım 16.1).
\(\blacksquare\)
İspatın özü şudur: sonsuz tane “ayırma yarıçapı” \(\varepsilon_x\)’in en küçüğü sıfır olabilirdi; kompaktlık sayesinde yalnızca sonlu tanesine ihtiyaç duyduk ve sonlu tane pozitif sayının minimumu pozitiftir. Kompaktlığın “sonsuzu sonlu gibi yönetme” gücü tam olarak budur.
Sonuç 18.1 (Kompakt Olmama Ölçütleri) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun.
- \(A\) sınırlı değilse kompakt değildir.
- \(A\) kapalı değilse kompakt değildir.
İspat
(1), Teorem 18.1’nin; (2), Teorem 18.2’nin karşıt tersidir.
\(\blacksquare\)
Bu ölçütlerle pek çok küme anında elenir: \([0, \infty)\) ve \(\mathbb{Z}\) sınırsız olduğundan; \((0,1]\), \(\{1/n : n \in \mathbb{N}\}\) ve \(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) kapalı olmadığından kompakt değildir. Kapalı olmadıklarını Sonuç 17.2 ile görürüz: ilk ikisi için \(0\), üçüncüsü için \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) kümeye ait olmayan bir yığılma noktasıdır (irrasyonel sayının her komşuluğunda \([0,1]\)’den rasyoneller vardır, Teorem 13.5).
Sonuç 18.2 (Kompakt Kümenin Maksimumu ve Minimumu Vardır) \(K \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan kompakt bir kümeyse \(\max K\) ve \(\min K\) vardır.
İspat
Teorem 18.1 ve Teorem 18.2 gereği \(K\) kapalı ve sınırlıdır; Sonuç 17.5 sonucu uygulanır.
\(\blacksquare\)
Şimdi kompakt kümelerden yeni kompakt kümeler üretmenin iki yolunu görelim.
Teorem 18.3 (Kompakt Kümenin Kapalı Alt Kümesi Kompakttır) \(K \subseteq \mathbb{R}\) kompakt ve \(F \subseteq K\) kapalı ise \(F\) kompakttır.
İspat
\(\{U_i\}_{i \in I}\), \(F\)’nin bir açık örtüsü olsun. \(F\) kapalı olduğundan \(V = \mathbb{R} \setminus F\) açıktır. Aileye \(V\)’yi ekleyelim: \(\{U_i\}_{i \in I} \cup \{V\}\). Bu yeni aile \(\mathbb{R}\)’nin tamamını örter, çünkü bir nokta ya \(F\)’dedir (o zaman bir \(U_i\)’dedir) ya da değildir (o zaman \(V\)’dedir). Özellikle \(K\)’yi örter. \(K\) kompakt olduğundan sonlu bir alt örtü vardır:
\[K \subseteq U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n} \cup V\]
(\(V\) seçilmemiş olabilir; seçilmişse böyle yazalım). \(F \subseteq K\) olduğundan \(F\) de bu birleşimin içindedir. Ama \(F \cap V = \varnothing\); yani \(F\)’nin hiçbir noktası \(V\)’de değildir. Dolayısıyla \(F\)’nin her noktası \(U_{i_1}, \dots, U_{i_n}\)’den birindedir:
\[F \subseteq U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}.\]
Bu, verilen örtüden seçilmiş bir sonlu alt örtüdür. Örtü keyfi olduğundan \(F\) kompakttır.
\(\blacksquare\)
Teorem 18.4 (Kompakt Kümelerin Sonlu Birleşimi Kompakttır) \(K_1, K_2, \dots, K_n \subseteq \mathbb{R}\) kompakt kümelerse \(K = K_1 \cup K_2 \cup \cdots \cup K_n\) kompakttır.
İspat
\(\{U_i\}_{i \in I}\), \(K\)’nin bir açık örtüsü olsun. Her \(K_j \subseteq K\) olduğundan aynı aile her \(K_j\)’nin de açık örtüsüdür. \(K_j\) kompakt olduğundan \(K_j\)’yi örten sonlu bir alt aile \(\mathcal{F}_j\) seçebiliriz (\(j = 1, \dots, n\)). \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_1 \cup \cdots \cup \mathcal{F}_n\) ailesi sonlu tane sonlu ailenin birleşimi olduğundan sonludur ve her \(K_j\)’yi, dolayısıyla \(K\)’yi örter. Böylece \(K\)’nin her açık örtüsünün sonlu alt örtüsü vardır.
\(\blacksquare\)
Teoremdeki “sonlu” şartı kaldırılamaz. Her \(\{n\}\) tek noktalı kümesi kompakttır (Önerme 18.1), ama \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{n\} = \mathbb{N}\) kompakt değildir (Örnek 18.3). Benzer biçimde her \(\left[\tfrac{1}{n}, 1\right]\) kapalı aralığı (Heine–Borel teoremiyle göreceğimiz gibi) kompakttır, ama birleşimleri \((0,1]\) kapalı olmadığından kompakt değildir.
18.3 Heine–Borel Teoremi
Kompakt kümelerin kapalı ve sınırlı olduğunu gördük. Şaşırtıcı olan, bunun tersinin de doğru olmasıdır: \(\mathbb{R}\)’de kapalı ve sınırlı olmak kompaktlık için yeterlidir. İspat, Bolzano–Weierstrass teoreminin (Teorem 17.5) ispatındaki ikiye bölme yöntemini kullanır ve yine iç içe aralıklar teoremine (Teorem 10.5), yani tamlığa dayanır.
Teorem 18.5 (Heine–Borel Teoremi) \(K \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(K\) kompakttır ancak ve ancak \(K\) kapalı ve sınırlıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \(K\) kompaktsa Teorem 18.1 gereği sınırlı, Teorem 18.2 gereği kapalıdır.
(\(\Leftarrow\) yönü) \(K\) kapalı ve sınırlı olsun. \(K = \varnothing\) ise Önerme 18.1 gereği kompakttır; \(K \neq \varnothing\) olsun. Olmayana ergi ile \(K\)’nin kompakt olmadığını varsayalım: sonlu alt örtüsü bulunmayan bir \(\{U_i\}_{i \in I}\) açık örtüsü vardır (\(K \neq \varnothing\) olduğundan \(I \neq \varnothing\)). Bu örtüyü ispat boyunca sabit tutuyoruz.
Terim. Bir \(J\) kapalı aralığına, \(K \cap J\) kesişimi örtünün sonlu tane elemanıyla örtülemiyorsa kötü, örtülebiliyorsa iyi diyelim. Şu gözlem önemlidir: \(K \cap J = \varnothing\) ise \(J\) iyidir (boş küme herhangi tek bir \(U_i\) ile örtülür); dolayısıyla her kötü aralık \(K\) ile kesişir.
Başlangıç. \(K\) sınırlı olduğundan bir alt sınırı \(m\) ve bir üst sınırı \(m'\) vardır; \(M = \max\{|m|, |m'|\} + 1\) dersek \(K \subseteq [-M, M]\) olur. \(I_1 = [-M, M]\) diyelim. \(K \cap I_1 = K\) sonlu tane \(U_i\) ile örtülemediğinden \(I_1\) kötüdür.
İkiye bölme. \(I_1\)’i orta noktasından iki kapalı aralığa bölelim: \([-M, 0]\) ve \([0, M]\). Bu iki yarıdan en az biri kötüdür. Çünkü ikisi de iyi olsaydı, \(K \cap [-M,0]\) sonlu tane, \(K \cap [0,M]\) sonlu tane \(U_i\) ile örtülür; bu iki sonlu ailenin birleşimi sonludur ve
\[K \cap I_1 = \big(K \cap [-M,0]\big) \cup \big(K \cap [0,M]\big)\]
kümesini örterdi — \(I_1\)’in kötülüğüyle çelişki. Kötü olan yarıyı (ikisi de kötüyse soldakini) \(I_2\) olarak seçelim. Aynı işlemi \(I_2\)’ye uygulayıp kötü bir yarısını \(I_3\) olarak seçelim ve böyle devam edelim. Tümevarımla, her biri kötü olan iç içe kapalı aralıklar elde ederiz:
\[I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots, \qquad |I_n| = \frac{2M}{2^{\,n-1}}.\]
Ortak nokta. İç içe aralıklar teoremi (Teorem 10.5) gereği bütün \(I_n\)’lere ait bir \(a\) noktası vardır. Ayrıca aralıkların uzunluğu istenildiği kadar küçülür: her \(n \in \mathbb{N}\) için \(2^{\,n-1} \ge n\)’dir (\(n = 1\) için apaçık, \(n \ge 2\) için Bernoulli eşitsizliği (Teorem 9.5) ile \((1+1)^{n-1} \ge 1 + (n-1) = n\)), dolayısıyla \(|I_n| \le \dfrac{2M}{n}\); verilen her \(\varepsilon > 0\) için Arşimet özelliği (Sonuç 12.1) ile \(n > \dfrac{2M}{\varepsilon}\) seçilirse \(|I_n| < \varepsilon\) olur.
\(a \in K\). Olmayana ergi ile \(a \notin K\) varsayalım. Her \(I_n\) kötü olduğundan \(K\) ile kesişir; \(x_n \in K \cap I_n\) seçelim. \(a \notin K\) ve \(x_n \in K\) olduğundan \(x_n \neq a\). \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(|I_n| < \varepsilon\) olacak biçimde \(n\) seçilsin. \(a\) ve \(x_n\) aynı \(I_n\) aralığında olduklarından \(|x_n - a| \le |I_n| < \varepsilon\); yani \(0 < |x_n - a| < \varepsilon\). \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(a\), \(K\)’nin bir yığılma noktasıdır: \(a \in K'\). \(K\) kapalı olduğundan Sonuç 17.2 gereği \(K' \subseteq K\), yani \(a \in K\) — varsayımımızla çelişki. Öyleyse \(a \in K\).
Çelişki. \(a \in K\) olduğundan örtünün bir elemanı \(a\)’yı içerir: \(a \in U_{i_0}\). \(U_{i_0}\) açık olduğundan \((a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subseteq U_{i_0}\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Şimdi \(|I_n| < \varepsilon\) olacak biçimde \(n\) seçelim. \(a \in I_n\) ve \(I_n\)’nin uzunluğu \(\varepsilon\)’dan küçük olduğundan \(I_n\)’nin her \(x\) noktası \(|x - a| \le |I_n| < \varepsilon\) sağlar; yani
\[I_n \subseteq (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subseteq U_{i_0}.\]
Dolayısıyla \(K \cap I_n \subseteq U_{i_0}\): kesişim, örtünün tek bir elemanıyla örtülmüştür. Bu, \(I_n\)’nin iyi olması demektir; oysa \(I_n\) kötü seçilmişti. Çelişki.
Demek ki varsayımımız yanlıştır: \(K\)’nin her açık örtüsünün sonlu alt örtüsü vardır, yani \(K\) kompakttır.
\(\blacksquare\)
Teoremin değeri şudur: kompaktlığı tanımdan göstermek her örtüyle uğraşmayı gerektirirken, kapalılık ve sınırlılık genellikle birkaç satırda denetlenir. Artık \([a,b]\) kapalı aralıklarının, sonlu kümelerin, \(\{0\} \cup \{1/n\}\) gibi kümelerin kompakt olduğunu tek cümleyle söyleyebiliriz.
Örnek 18.5 (Hangileri Kompakt) Aşağıdaki kümelerin kompakt olup olmadığını belirleyiniz.
\([a,b]\) (\(a < b\)) ve \([0,1] \cup [2,3]\)
\(\{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 2\}\) ve \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 2\}\)
\([0,1) \cup \{2\}\)
\(\mathbb{Q} \cap [0,1]\)
\(\{0\} \cup \left\{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}\)
Çözüm
a) \([a,b]\) kapalıdır ve \(|x| \le \max\{|a|, |b|\}\) ile sınırlıdır; Teorem 18.5 gereği kompakttır. \([0,1] \cup [2,3]\) iki kapalı kümenin birleşimi olarak kapalıdır (Teorem 16.1) ve \([0,3]\) içinde kaldığından sınırlıdır; kompakttır. (Aynı sonuç Teorem 18.4’den de çıkar.)
b) \(\sqrt{2}\) sayısı Teorem 13.1 ile vardır ve kareler pozitif sayılarda sıralamayı korur (Önerme 7.12 (4)); dolayısıyla \(x^2 \le 2 \iff |x| \le \sqrt{2}\) ve birinci küme \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) kapalı aralığıdır: kompakttır. İkinci küme \((-\sqrt{2}, \sqrt{2})\) açık aralığıdır; \(\sqrt{2}\) kümeye ait olmayan bir yığılma noktası olduğundan (Örnek 17.1) küme kapalı değildir ve Sonuç 18.1 gereği kompakt değildir.
c) Örnek 16.6 gereği \([0,1) \cup \{2\}\) kapalı değildir (\(1\) kümeye ait olmayan bir yığılma noktasıdır). Kompakt değildir.
d) \(\overline{\mathbb{Q} \cap [0,1]} = [0,1]\)’dir (her \(x \in [0,1]\)’e rasyonellerle istenildiği kadar yaklaşılır, Teorem 13.5); örneğin \(\tfrac{\sqrt{2}}{2} \in [0,1]\) irrasyoneldir (Önerme 13.3 (2)), kapanışta olup kümede değildir. Dolayısıyla küme kapalı değildir (Teorem 17.3) ve kompakt değildir. Sınırlı olmak yetmez.
e) \(K = \{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}\}\) kümesi \([0,1]\) içinde kaldığından sınırlıdır. Kapalı olduğunu tümleyenini yazarak görelim:
\[\mathbb{R} \setminus K = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right).\]
Gerçekten, \(x \notin K\) ise ya \(x < 0\), ya \(x > 1\), ya da \(0 < x < 1\) ve \(x\) hiçbir \(\dfrac{1}{n}\)’ye eşit değildir; son durumda \(\dfrac{1}{n+1} < x < \dfrac{1}{n}\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır: Arşimet özelliğiyle \(\dfrac{1}{m} < x\) olan doğal sayılar vardır, iyi sıralama ilkesiyle (Teorem 9.2) en küçüğünü \(m\) alalım; \(x < 1\) olduğundan \(m \ge 2\)’dir. \(n = m - 1\) alalım: \(\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{m} < x\); öte yandan \(m\) en küçük olduğundan \(\dfrac{1}{n} \ge x\), ve \(x\) hiçbir \(\dfrac{1}{k}\)’ye eşit olmadığından \(\dfrac{1}{n} > x\). Sağ taraf açık aralıkların birleşimidir; Önerme 15.2 ve Teorem 15.1 gereği açıktır. Dolayısıyla \(K\) kapalıdır (Tanım 16.1) ve Heine–Borel ile kompakttır; bu, Örnek 18.4’taki doğrudan ispatla uyumludur.
\(\blacksquare\)
Sonuç 18.3 (Kompakt Kümelerin Kesişimi Kompakttır) \(\{K_i\}_{i \in I}\) kompakt kümelerden oluşan boş olmayan bir aile ise \(\bigcap_{i \in I} K_i\) kompakttır.
İspat
Her \(K_i\) kapalıdır (Teorem 18.2); kapalı kümelerin herhangi bir ailesinin kesişimi kapalıdır (Teorem 16.1). Kesişim, ailenin herhangi bir \(K_{i_0}\) elemanının alt kümesidir ve \(K_{i_0}\) sınırlı olduğundan (Teorem 18.1) kesişim de sınırlıdır. (Kesişim boş olabilir; Teorem 18.1’nin ardından benimsediğimiz uzlaşım gereği boş küme sınırlıdır, ayrıca Teorem 16.1 (1) gereği kapalıdır.) Kapalı ve sınırlı olan kesişim Teorem 18.5 gereği kompakttır.
\(\blacksquare\)
Teorem, Alman matematikçi Eduard Heine (1821–1881) ile Fransız matematikçi Émile Borel (1871–1956)’in adlarını taşır. Heine, 1872’de kapalı aralıkta sürekli fonksiyonların düzgün sürekli olduğunu gösterirken örtü fikrini örtük biçimde kullandı; Borel, 1895’te teoremi sayılabilir örtüler için açıkça ifade edip ispatladı; keyfi örtülere genelleme Henri Lebesgue (1875–1941) ile geldi. Bu yüzden teoreme bazen Heine–Borel–Lebesgue teoremi de denir.
Kompaktlığın üçüncü bir yüzü daha vardır: \(K\) içindeki her dizinin, limiti yine \(K\)’de olan yakınsak bir alt dizisi varsa \(K\)’ye dizisel kompakt denir. Diziler bölümünde, Heine–Borel ve Bolzano–Weierstrass teoremlerini birleştirerek \(\mathbb{R}\)’de üç koşulun denk olduğunu ispatlayacağız: kompakt \(\iff\) dizisel kompakt \(\iff\) kapalı ve sınırlı (Tanım 24.3 ve Teorem 24.8; bkz. Alt Diziler ve Bolzano–Weierstrass Teoremi). Kompaktlığın asıl gücü ise süreklilik bölümünde ortaya çıkar: kompakt bir kümenin sürekli görüntüsü kompakttır (Teorem 35.5) ve bu, sürekli fonksiyonların kapalı aralıkta maksimum ve minimum almasının nedenidir (Teorem 35.4).
18.4 Alıştırmalar
Alıştırma 18.1 (Kompaktlık Alıştırmaları)
\((0,1]\) kümesinin kompakt olmadığını, sonlu alt örtüsü bulunmayan bir açık örtü göstererek kanıtlayınız.
\(A = \left\{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}\) kümesinin kompakt olmadığını, Heine–Borel teoremini kullanmadan, doğrudan tanımdan kanıtlayınız.
\(K\) kompakt ve \(F\) kapalı ise \(K \cap F\)’nin kompakt olduğunu iki yolla gösteriniz: Heine–Borel teoremiyle ve Teorem 18.3 ile.
(Cantor kesişim teoremi) \(K_1 \supseteq K_2 \supseteq K_3 \supseteq \cdots\) boş olmayan kompakt kümelerse \(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} K_n \neq \varnothing\) olduğunu gösteriniz.
\(K_n = \left[\dfrac{1}{n}, 1\right]\) ve \(L_n = [n, n+1]\) kümelerinin her birinin kompakt olduğunu, ama \(\bigcup_n K_n\) ve \(\bigcup_n L_n\) birleşimlerinin kompakt olmadığını gösteriniz.
Çözüm
a) \(n \in \mathbb{N}\) için \(U_n = \left(\dfrac{1}{n}, 2\right)\) alalım. Her \(U_n\) açıktır. \(x \in (0,1]\) için Sonuç 12.2 gereği \(\dfrac{1}{n} < x\) olan \(n\) vardır ve \(x \le 1 < 2\) olduğundan \(x \in U_n\); dolayısıyla \(\{U_n\}\) bir açık örtüdür. Sonlu tane \(U_{n_1}, \dots, U_{n_k}\) seçilirse, \(N = \max n_j\) için aralıklar iç içe olduğundan birleşim \(U_N = \left(\dfrac{1}{N}, 2\right)\)’dir; \(\dfrac{1}{N+1} \in (0,1]\) noktası bu birleşimde değildir. Sonlu alt örtü yoktur; \((0,1]\) kompakt değildir.
b) Her \(\dfrac{1}{n}\)’yi, \(A\)’nın başka hiçbir elemanını içermeyen bir açık aralıkla örtelim:
\[U_1 = \left(\frac{1}{2}, 2\right), \qquad U_n = \left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n-1}\right) \quad (n \ge 2).\]
\(\dfrac{1}{n} \in U_n\) olduğundan \(\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), \(A\)’nın bir açık örtüsüdür. Öte yandan \(n \ge 2\) için \(\dfrac{1}{k} \in U_n\) olması \(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{k} < \dfrac{1}{n-1}\), yani \(n - 1 < k < n + 1\), yani \(k = n\) demektir; \(U_1\) için de \(\dfrac{1}{k} > \dfrac{1}{2} \iff k < 2 \iff k = 1\). Demek ki \(U_n \cap A = \left\{\dfrac{1}{n}\right\}\): her örtü parçası \(A\)’nın yalnızca bir elemanını içerir. Sonlu tane \(U_{n_1}, \dots, U_{n_k}\) seçilirse, indisler arasında olmayan bir \(m\) için \(\dfrac{1}{m}\) örtülmez. Sonlu alt örtü yoktur; \(A\) kompakt değildir. (Tabii Heine–Borel ile de görülür: \(0 \in A'\) ama \(0 \notin A\), \(A\) kapalı değildir.)
c) Heine–Borel ile: \(K\) kompakt olduğundan kapalı ve sınırlıdır. \(K \cap F\) iki kapalı kümenin kesişimi olarak kapalıdır (Teorem 16.1) ve \(K\)’nin alt kümesi olarak sınırlıdır. Teorem 18.5 gereği kompakttır.
Alt küme teoremiyle: \(K \cap F\), kapalı bir kümedir ve \(K\)’nin alt kümesidir; Teorem 18.3 gereği kompakttır.
d) Olmayana ergi ile \(\bigcap_n K_n = \varnothing\) varsayalım. Her \(K_n\) kapalı olduğundan (Teorem 18.2) \(V_n = \mathbb{R} \setminus K_n\) açıktır. De Morgan kuralıyla (Teorem 3.3)
\[\bigcup_{n} V_n = \mathbb{R} \setminus \bigcap_{n} K_n = \mathbb{R} \setminus \varnothing = \mathbb{R}.\]
Dolayısıyla \(\{V_n\}\), \(K_1\)’in bir açık örtüsüdür. \(K_1\) kompakt olduğundan sonlu bir alt örtü vardır: \(K_1 \subseteq V_{n_1} \cup \cdots \cup V_{n_k}\). \(N = \max n_j\) olsun. Kümeler \(K_1 \supseteq K_2 \supseteq \cdots\) biçiminde azaldığından tümleyenleri artar: \(n \le N\) için \(V_n \subseteq V_N\). Böylece
\[K_1 \subseteq V_N = \mathbb{R} \setminus K_N.\]
Ama \(K_N \neq \varnothing\); bir \(x \in K_N\) alalım. \(K_N \subseteq K_1\) olduğundan \(x \in K_1 \subseteq \mathbb{R} \setminus K_N\), yani \(x \notin K_N\) — çelişki. Öyleyse \(\bigcap_n K_n \neq \varnothing\).
Bu sonuç, iç içe aralıklar teoreminin (Teorem 10.5) geniş bir genellemesidir: aralık yerine herhangi kapalı ve sınırlı kümeler alınabilir. “Kompakt” şartı gereklidir: \((0, 1/n)\) açık aralıkları ve \([n, \infty)\) kapalı ama sınırsız kümeleri iç içe ve boş olmayan olmalarına rağmen boş kesişime sahiptir.
e) Her \(K_n = \left[\tfrac{1}{n}, 1\right]\) ve \(L_n = [n, n+1]\) kapalı aralıktır; Teorem 18.5 gereği kompakttır.
\(\bigcup_n K_n = (0, 1]\): her \(x \in (0,1]\) için \(\dfrac{1}{n} \le x\) olan \(n\) vardır (Arşimet), dolayısıyla \(x \in K_n\); tersine her \(K_n \subseteq (0,1]\). \((0,1]\) kapalı değildir (\(0\) kümeye ait olmayan bir yığılma noktasıdır), dolayısıyla kompakt değildir (a şıkkı da bunu doğrudan gösterir).
\(\bigcup_n L_n = [1, \infty)\): her \(x \ge 1\) için \(n = \lfloor x \rfloor\) alınırsa \(n \le x < n + 1\) (Teorem 12.3), yani \(x \in L_n\). \([1,\infty)\) sınırsızdır; Sonuç 18.1 gereği kompakt değildir.
\(\blacksquare\)
Kompaktlık, reel sayıların topolojisine ayırdığımız dört bölümün doruk noktasıdır: komşuluklarla başlayıp açık ve kapalı kümelerden, yığılma noktaları ve kapanıştan geçerek “sonsuzu sonlu gibi yöneten” kümelere ulaştık. Bundan sonra sahneye diziler çıkıyor. Bu bölümün kavramları orada yeniden karşımıza çıkacak: kapalı kümeler dizi limitleriyle, kompakt kümeler yakınsak alt dizilerle karakterize edilecek. Dizilerin tanımı, sınırlılığı ve monotonluğuyla başlıyoruz: Diziler: Tanım, Sınırlılık ve Monotonluk.