3 Kümeler ve Küme İşlemleri
Önceki iki bölümde önermeleri, niceleyicileri ve ispat yöntemlerini öğrendik. Bu bölümde bu araçları matematiğin en temel yapı taşına, küme kavramına uyguluyoruz. Önce kümeleri yazmayı, alt küme ve eşitliği; sonra kesişim, birleşim, fark, tümleyen, simetrik fark ve kartezyen çarpım işlemlerini göreceğiz. Ardından bu işlemlerin uyduğu kuralları ispatlayacak, en sonunda da sonsuz çoklukta kümeyle bir arada çalışmayı sağlayan indisli aileleri ve onlara ait genel dağılma ve De Morgan yasalarını inceleyeceğiz.
Buradaki her ispat aslında bir mantık alıştırmasıdır: “\(x \in A \cap B\)” gibi bir ifade, iki önermenin “ve” bağlacıyla birleşmesinden başka bir şey değildir. Bu yüzden Teorem 1.1 ve Teorem 2.1 bu bölümde sık sık karşımıza çıkacak.
3.1 Küme Kavramı
Bir küme (set), iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesnelerin bir topluluğudur; bu nesnelere kümenin elemanları (elements) denir. \(x\) nesnesi \(A\) kümesinin elemanıysa \(x \in A\), değilse \(x \notin A\) yazarız. “İyi tanımlanmış” sözü şunu ister: verilen herhangi bir nesnenin kümeye ait olup olmadığı kesin olarak belli olmalıdır. “Büyük sayılar” bir küme belirtmez; “\(100\)’den büyük doğal sayılar” belirtir.
Bir kümeyi yazmanın iki temel yolu vardır.
Liste yöntemi: Kümenin bütün elemanları, her biri yalnız bir kez yazılmak üzere, küme parantezi \(\{\ \}\) içinde sıralanır. Elemanların yazılış sırası önemli değildir.
- İngilizce alfabedeki ünlü harflerin kümesi \(A = \{a, e, i, o, u\}\)’dur.
- \(\{b, c, a\}\) ile \(\{a, b, c\}\) aynı kümedir.
Özellik yöntemi (küme kurucu gösterim): Elemanların sağlaması gereken ortak bir özellik verilir. \(p(x)\), \(x\)’e bağlı bir açık önerme ise
\[A = \{x : p(x)\}\]
yazılır ve “\(p(x)\) önermesini doğru yapan bütün \(x\)’lerin kümesi” diye okunur. İki nokta yerine düşey çizgi de kullanılır: \(\{x \mid p(x)\}\).
- Çift doğal sayıların kümesi \(E = \{x : x = 2n,\ n \in \mathbb{N}\}\)’dir.
- \(x^2 - 1 = 0\) denkleminin çözüm kümesi \(A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 1 = 0\}\)’dır.
Bu kitapta sık kullanacağımız sayı kümeleri şunlardır: doğal sayılar \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\), tam sayılar \(\mathbb{Z}\), rasyonel sayılar \(\mathbb{Q}\) ve reel sayılar \(\mathbb{R}\). Şimdilik bunları okuldan bildiğimiz gibi kullanıyoruz; kitabın ikinci kısmında hepsi aksiyomlardan yola çıkılarak kesin biçimde kurulacak.
Hayır. Bertrand Russell’ın 1901’de fark ettiği gibi, “kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesi” \(R = \{x : x \notin x\}\) diye bir küme olamaz: \(R \in R\) dersek tanım gereği \(R \notin R\) çıkar, \(R \notin R\) dersek \(R \in R\) çıkar. Bu çelişki, “her özellik bir küme belirler” düşüncesinin fazla iyimser olduğunu gösterir. Modern küme kuramı bu tuzaktan, özellik yöntemini hep var olan bir kümenin içinde kullanarak kurtulur: \(\{x \in X : p(x)\}\). Bu kitapta hep böyle yapacağız; \(X\) çoğu zaman \(\mathbb{R}\) olacak.
3.2 Alt Küme, Öz Alt Küme ve Küme Eşitliği
Bir kümenin başka bir kümenin “içinde” olması, sezgisel olarak, birinin bütün elemanlarının ötekinde de bulunması demektir. Bunu bir önerme olarak yazalım.
Tanım 3.1 (Alt Küme, Öz Alt Küme ve Küme Eşitliği) \(A\) ve \(B\) iki küme olsun.
\(A\)’nın her elemanı \(B\)’nin de elemanıysa \(A\)’ya \(B\)’nin bir alt kümesi (subset) denir ve \(A \subseteq B\) yazılır:
\[A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x)\,(x \in A \Rightarrow x \in B).\]
\(A \subseteq B\) ise ve \(B\)’de \(A\)’ya ait olmayan en az bir eleman varsa \(A\)’ya \(B\)’nin bir öz alt kümesi (proper subset) denir ve \(A \subset B\) (bazen \(A \subsetneq B\)) yazılır:
\[A \subset B \Leftrightarrow \big(A \subseteq B \ \text{ ve } \ \exists y \in B,\ y \notin A\big).\]
\(A\) ve \(B\) tam olarak aynı elemanlardan oluşuyorsa \(A\) ile \(B\) eşittir ve \(A = B\) yazılır. Bu, iki yönlü kapsamaya denktir:
\[A = B \Leftrightarrow \big(A \subseteq B \ \text{ ve } \ B \subseteq A\big).\]
Alt küme olmamak ne demektir? \(A \subseteq B\) önermesi bir tümel niceleyiciyle başladığından, Teorem 2.1 gereği olumsuzlaması bir varlıksal niceleyiciyle başlar:
\[A \nsubseteq B \Leftrightarrow (\exists x)\,(x \in A \ \text{ ve } \ x \notin B).\]
Yani \(A\)’nın \(B\)’nin alt kümesi olmadığını göstermek için \(A\)’da olup \(B\)’de olmayan tek bir eleman bulmak yeter; bu bir karşıt örnektir.
İki kümenin eşit olduğunu göstermenin standart yolu, tanımdaki denkliği kullanmaktır: önce keyfi bir \(x \in A\) alıp \(x \in B\) olduğunu, sonra keyfi bir \(y \in B\) alıp \(y \in A\) olduğunu gösteririz. Bu bölümdeki eşitlik ispatlarının neredeyse hepsi bu iki adımdan oluşur.
Örnek 3.1 (Çift Kapsama ile Eşitlik) \(A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 1 = 0\}\) ve \(B = \{-1, 1\}\) ise \(A = B\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(A \subseteq B\): Keyfi bir \(y \in A\) alalım. Tanım gereği \(y^2 - 1 = 0\), yani \((y - 1)(y + 1) = 0\)’dır. Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan birinin sıfır olması gerektiğinden (bkz. Önerme 6.13) \(y = 1\) ya da \(y = -1\)’dir. Her iki durumda da \(y \in \{-1, 1\} = B\).
\(B \subseteq A\): \(B\)’nin yalnız iki elemanı vardır; ikisini de doğrudan sınayalım. \(1^2 - 1 = 0\) ve \((-1)^2 - 1 = 0\) olduğundan \(1 \in A\) ve \(-1 \in A\)’dır. Dolayısıyla \(B \subseteq A\).
İki kapsama birlikte Tanım 3.1 gereği \(A = B\) verir.
\(\blacksquare\)
Alt küme bağıntısının iki basit ama sürekli kullanılacak özelliğini kaydedelim.
Önerme 3.1 (Alt Küme Bağıntısının Temel Özellikleri) \(A\), \(B\), \(C\) kümeler olsun.
- \(A \subseteq A\).
- \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq C\) ise \(A \subseteq C\).
İspat
(1) \(x \in A \Rightarrow x \in A\) önermesi her \(x\) için doğrudur (özdeşlik ilkesi); tanım gereği \(A \subseteq A\).
(2) Keyfi bir \(x \in A\) alalım. \(A \subseteq B\) olduğundan \(x \in B\); \(B \subseteq C\) olduğundan da \(x \in C\). Böylece \(A\)’nın her elemanı \(C\)’dedir, yani \(A \subseteq C\). (Bu, Teorem 1.1’ndaki geçişlilik yasasının kümelere yansımasıdır.)
\(\blacksquare\)
\(1 \in \{1, 2\}\) doğrudur, \(\{1\} \subseteq \{1, 2\}\) doğrudur; ama “\(1 \subseteq \{1, 2\}\)” anlamsızdır, “\(\{1\} \in \{1, 2\}\)” ise yanlıştır. \(\in\) sembolü bir nesneyle bir küme arasında, \(\subseteq\) sembolü iki küme arasında kullanılır.
Boş Küme ve Evrensel Küme
Küme işlemlerinde iki uç durum sürekli karşımıza çıkar: hiç elemanı olmayan küme ve “her şeyi” içeren küme. İkisine de ad verelim.
Tanım 3.2 (Boş Küme ve Evrensel Küme)
- Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme (empty set) denir ve \(\varnothing\) ya da \(\{\}\) ile gösterilir.
- Belirli bir bağlamda ele alınan bütün nesneleri içeren kümeye evrensel küme (universal set) denir; genellikle \(X\) ya da \(U\) ile gösterilir. Örneğin sayılarla çalışırken evrensel küme çoğu zaman \(\mathbb{R}\)’dir.
Önerme 3.2 (Boş Küme Her Kümenin Alt Kümesidir) Her \(A\) kümesi için \(\varnothing \subseteq A\)’dır. Ayrıca boş küme tektir.
İspat
\(\varnothing \subseteq A\) demek, her \(x\) için “\(x \in \varnothing \Rightarrow x \in A\)” demektir. \(x \in \varnothing\) önermesi hiçbir \(x\) için doğru değildir; hipotezi yanlış olan bir koşullu önerme ise her zaman doğrudur. Böylece gerektirme her \(x\) için doğrudur ve \(\varnothing \subseteq A\) olur. (Hipotezi hiçbir zaman sağlanmayan böyle bir önermeye, niceleyiciler bölümünde olduğu gibi, boşlukla doğru denir.)
Teklik için \(\varnothing_1\) ve \(\varnothing_2\) iki boş küme olsun. Az önce gösterilenle \(\varnothing_1 \subseteq \varnothing_2\) ve \(\varnothing_2 \subseteq \varnothing_1\); Tanım 3.1 gereği \(\varnothing_1 = \varnothing_2\).
\(\blacksquare\)
Örnek 3.2 (Bir Kümenin Boş Olduğunu Göstermek) \(\{x \in \mathbb{R} : x = x + 1\}\) kümesinin boş olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kümede bir \(x\) elemanı olduğunu varsayalım. O zaman \(x = x + 1\)’dir; iki taraftan \(x\) çıkarınca \(0 = 1\) elde ederiz. Bu bir çelişkidir. Demek ki eşitliği sağlayan hiçbir reel sayı yoktur ve küme boştur.
\(\blacksquare\)
Kuvvet Kümesi
Bir kümenin bütün alt kümelerini bir araya toplamak sık gereken bir işlemdir; örneğin bir sonraki bölümde alt küme bağıntısını bu topluluk üzerinde inceleyeceğiz.
Tanım 3.3 (Kuvvet Kümesi) \(X\) bir küme olsun. \(X\)’in bütün alt kümelerinin kümesine \(X\)’in kuvvet kümesi (power set) denir ve
\[\mathcal{P}(X) = \{A : A \subseteq X\}\]
ile gösterilir.
Önerme 3.2 ve Önerme 3.1 gereği her zaman \(\varnothing \in \mathcal{P}(X)\) ve \(X \in \mathcal{P}(X)\)’dir. Örneğin
\[\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \big\{\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1, 2\}\big\}.\]
\(n\) elemanlı bir kümenin \(2^n\) alt kümesi vardır; her eleman için “al / alma” biçiminde iki seçenek olduğundan böyledir. (Bu sayma savını tümevarımla ispatlamak iyi bir alıştırmadır; bkz. Doğal Sayılar ve Tümevarım.)
3.3 Küme İşlemleri
Elimizdeki kümelerden yeni kümeler üretmenin birkaç temel yolu vardır. Aşağıda \(A\) ve \(B\) iki küme, \(X\) ise bir evrensel kümedir.
Tanım 3.4 (Kesişim ve Birleşim)
Hem \(A\)’ya hem \(B\)’ye ait elemanların kümesine \(A\) ile \(B\)’nin kesişimi (intersection) denir:
\[A \cap B = \{x : x \in A \ \text{ ve } \ x \in B\}.\]
\(A \cap B = \varnothing\) ise \(A\) ile \(B\)’ye ayrık (disjoint) kümeler denir.
\(A\)’ya ya da \(B\)’ye (ya da her ikisine) ait elemanların kümesine \(A\) ile \(B\)’nin birleşimi (union) denir:
\[A \cup B = \{x : x \in A \ \text{ veya } \ x \in B\}.\]
Buradaki “veya”, mantıktaki gibi kapsayıcıdır: \(x\) her iki kümede de olabilir. Kesişim ile birleşim arasındaki en basit ilişki şudur.
Önerme 3.3 (Kesişim, Birleşimin İçindedir) Her \(A\), \(B\) kümesi için
\[A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B \qquad \text{ve} \qquad A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B.\]
İspat
\(x \in A \cap B\) olsun. Kesişimin tanımı gereği \(x \in A\) ve \(x \in B\)’dir; özellikle \(x \in A\). Bu, \(A \cap B \subseteq A\) verir. Şimdi \(x \in A\) olsun. O zaman “\(x \in A\) veya \(x \in B\)” önermesi doğrudur (ilk bileşeni doğru), yani \(x \in A \cup B\). Bu da \(A \subseteq A \cup B\) verir. \(B\) için aynı akıl yürütme geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Bir kümeden başka bir kümenin elemanlarını “çıkarmak” da yeni bir küme verir; evrensel kümeden çıkarmak ise “olmayanları” toplar.
Tanım 3.5 (Fark ve Tümleyen)
\(A\)’ya ait olup \(B\)’ye ait olmayan elemanların kümesine \(A\) ile \(B\)’nin farkı (difference) denir:
\[A \setminus B = \{x : x \in A \ \text{ ve } \ x \notin B\}.\]
Benzer biçimde \(B \setminus A = \{x : x \in B \text{ ve } x \notin A\}\)’dır.
\(X\) evrensel küme ve \(A \subseteq X\) olsun. \(X \setminus A = \{x : x \in X \text{ ve } x \notin A\}\) kümesine \(A\)’nın (\(X\)’e göre) tümleyeni (complement) denir; \(A'\) ya da \(A^c\) ile de gösterilir.
\(B \subseteq A\) ise \(A \setminus B\) kümesine \(B\)’nin \(A\)’ya göre göreli tümleyeni denir.
Evrensel kümenin elemanları için tümleyen, “ait olmamak” ile aynı şeydir:
\[x \in X \setminus A \Leftrightarrow x \notin A \qquad \text{ve} \qquad x \in A \Leftrightarrow x \notin X \setminus A \qquad (x \in X).\]
Genel olarak \(A \setminus B \neq B \setminus A\)’dır: \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{2, 3\}\) için \(A \setminus B = \{1\}\) ama \(B \setminus A = \{3\}\)’tür.
Fark yön seçer; iki yöndeki farkların birleşimi ise yön seçmeyen bir küme verir: “ya yalnız birinde ya yalnız ötekinde” olanlar.
Tanım 3.6 (Simetrik Fark) İki kümeden yalnız birine ait olan elemanların kümesine \(A\) ile \(B\)’nin simetrik farkı (symmetric difference) denir:
\[A \,\triangle\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).\]
Önerme 3.4 (Simetrik Farkın İkinci Biçimi) Her \(A\), \(B\) kümesi için \(A \,\triangle\, B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\).
İspat
\(\subseteq\): \(x \in A \,\triangle\, B\) olsun. O zaman \(x \in A \setminus B\) ya da \(x \in B \setminus A\)’dır. İlk durumda \(x \in A\) ve \(x \notin B\): \(x \in A\) olduğundan \(x \in A \cup B\); \(x \notin B\) olduğundan \(x \notin A \cap B\). Böylece \(x \in (A \cup B) \setminus (A \cap B)\). İkinci durum \(A\) ile \(B\)’nin rolleri değiştirilerek aynıdır.
\(\supseteq\): \(x \in (A \cup B) \setminus (A \cap B)\) olsun; \(x \in A \cup B\) ve \(x \notin A \cap B\)’dir. \(x \in A\) ise, \(x \notin A \cap B\) olduğundan \(x \notin B\) olmak zorundadır (aksi hâlde \(x\) her ikisinde olurdu); yani \(x \in A \setminus B\). \(x \notin A\) ise, \(x \in A \cup B\) olduğundan \(x \in B\); yani \(x \in B \setminus A\). Her iki durumda da \(x \in A \,\triangle\, B\).
\(\blacksquare\)
Şimdiye kadarki işlemler iki kümenin elemanlarını karıştırıyordu. Son işlem farklıdır: elemanları eşleştirir.
Tanım 3.7 (Kartezyen Çarpım) İlk bileşeni \(A\)’dan, ikinci bileşeni \(B\)’den alınan bütün sıralı ikililerin (ordered pairs) kümesine \(A\) ile \(B\)’nin kartezyen çarpımı (Cartesian product) denir:
\[A \times B = \{(a, b) : a \in A \ \text{ ve } \ b \in B\}.\]
Sıralı ikililerde sıra önemlidir: \((a, b) = (c, d)\) olması için \(a = c\) ve \(b = d\) olmalıdır. \(A \times A\) yerine \(A^2\) yazılır.
Örneğin \(A = \{1, 2\}\) ve \(B = \{a, b, c\}\) için
\[A \times B = \{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}\]
altı elemanlıdır; genel olarak \(m\) ve \(n\) elemanlı kümelerin çarpımı \(mn\) elemanlıdır. \(B \times A\)’nın elemanları ise \((a, 1)\) gibi ikililerdir; demek ki genellikle \(A \times B \neq B \times A\). En tanıdık örnek \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\), yani koordinat düzlemidir. Kartezyen çarpım, sonraki iki bölümdeki bağıntı ve fonksiyon kavramlarının temelidir.
Kesişim, birleşim, fark ve simetrik fark, Venn şemasıyla en iyi görülür.
Örnek 3.3 (Somut Kümelerle İşlem) \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) evrensel kümesinde \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) ve \(B = \{4, 5, 6, 7\}\) olsun. \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\), \(X \setminus A\), \(A \,\triangle\, B\) kümelerini ve \(\{4, 5\} \times \{6, 7\}\) çarpımını bulunuz.
Çözüm
Tanımları tek tek uygulayalım.
- \(A \cap B\): her iki kümede de olan elemanlar \(4\) ve \(5\)’tir: \(A \cap B = \{4, 5\}\).
- \(A \cup B\): en az birinde olanlar: \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\).
- \(A \setminus B\): \(A\)’da olup \(B\)’de olmayanlar: \(\{1, 2, 3\}\). \(B \setminus A = \{6, 7\}\).
- \(X \setminus A\): \(X\)’te olup \(A\)’da olmayanlar: \(\{6, 7, 8\}\).
- \(A \,\triangle\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2, 3, 6, 7\}\). Aynı sonucu Önerme 3.4 ile de bulabiliriz: \((A \cup B) \setminus (A \cap B) = \{1, \dots, 7\} \setminus \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 6, 7\}\).
- \(\{4, 5\} \times \{6, 7\} = \{(4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7)\}\).
Kontrol: \(A \cap B \subseteq A \cup B\) (Önerme 3.3) ve \(A \setminus B\) ile \(B \setminus A\) ayrık; her ikisi de sağlanıyor.
\(\blacksquare\)
3.4 Küme İşlemlerinin Özellikleri
Küme işlemleri, tıpkı sayılarda toplama ve çarpma gibi, belirli kurallara uyar. Aşağıdaki teorem en çok kullanılanları toplar. İspatlarda hep aynı şeyi yapacağız: \(x \in \dots\) ifadelerini önermelere çevirip Teorem 1.1’nı kullanacağız.
Teorem 3.1 (Küme İşlemlerinin Temel Özellikleri) \(A\), \(B\), \(C\) bir \(X\) evrensel kümesinin alt kümeleri olsun. Aşağıdakiler doğrudur.
- \(A \cup \varnothing = A\) ve \(A \cap \varnothing = \varnothing\).
- \(A \cup (X \setminus A) = X\) ve \(A \cap (X \setminus A) = \varnothing\).
- Dağılma yasaları: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) ve \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
- De Morgan yasaları (fark için): \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\) ve \(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\).
- \(A \setminus B = A \cap (X \setminus B)\).
- \(B \subseteq A \Leftrightarrow A \cap B = B\) ve \(B \subseteq A \Leftrightarrow A \cup B = A\).
- \(B \subseteq A \Leftrightarrow (X \setminus A) \subseteq (X \setminus B)\).
İspat
(1) \(x \in A \cup \varnothing\) olması, “\(x \in A\) veya \(x \in \varnothing\)” demektir. \(x \in \varnothing\) her zaman yanlış olduğundan bu, “\(x \in A\) veya (yanlış)” yani \(x \in A\)’ya denktir: “veya”nın bir bileşeni yanlışsa sonuç öteki bileşenin değeridir, \(p \vee \mathrm{Y} \equiv p\) (Tanım 1.6 tablosundan). Böylece \(A \cup \varnothing = A\). İkincisi için: \(x \in A \cap \varnothing\) olsa \(x \in \varnothing\) olurdu; öyle \(x\) yoktur, dolayısıyla \(A \cap \varnothing\) boştur.
(2) \(A \subseteq X\) ve \(X \setminus A \subseteq X\) olduğundan \(A \cup (X \setminus A) \subseteq X\)’tir. Tersine \(x \in X\) olsun. Üçüncü hâlin olmazlığı ilkesiyle ya \(x \in A\) ya da \(x \notin A\)’dır; ikinci durumda \(x \in X\) ve \(x \notin A\), yani \(x \in X \setminus A\). Her iki durumda \(x \in A \cup (X \setminus A)\). Kesişim için: bir \(x\) hem \(A\)’da hem \(X \setminus A\)’da olsa hem \(x \in A\) hem \(x \notin A\) olurdu; çelişki. Demek ki \(A \cap (X \setminus A) = \varnothing\).
(3) Birinci eşitlik: \(x \in A \cap (B \cup C)\) olması
\[x \in A \ \text{ ve } \ (x \in B \ \text{ veya } \ x \in C)\]
demektir. Mantıktaki dağılma yasası \(p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\) ile bu,
\[(x \in A \ \text{ ve } \ x \in B) \ \text{ veya } \ (x \in A \ \text{ ve } \ x \in C)\]
önermesine, yani \(x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\)’ye denktir. Her adım bir denklik olduğundan iki küme aynı elemanlara sahiptir. İkinci eşitlik, \(p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)\) yasasıyla tıpatıp aynı biçimde çıkar:
\[\begin{aligned} x \in A \cup (B \cap C) &\Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B \wedge x \in C) \\ &\Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C) \\ &\Leftrightarrow x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{aligned}\]
(4) Birinci eşitlik için çift kapsama yapalım. \(x \in A \setminus (B \cup C)\) olsun: \(x \in A\) ve \(x \notin B \cup C\). İkincisi, “\(x \in B\) veya \(x \in C\)” önermesinin olumsuzudur; mantıktaki De Morgan yasasıyla \(x \notin B\) ve \(x \notin C\). Böylece hem (\(x \in A\) ve \(x \notin B\)) hem (\(x \in A\) ve \(x \notin C\)), yani \(x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\). Tersine \(x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\) olsun: \(x \in A\), \(x \notin B\) ve \(x \notin C\). Son ikisi De Morgan ile \(x \notin B \cup C\) verir; \(x \in A\) ile birlikte \(x \in A \setminus (B \cup C)\).
İkinci eşitlik: \(x \in A \setminus (B \cap C)\) olsun: \(x \in A\) ve \(x \notin B \cap C\); De Morgan ile \(x \notin B\) veya \(x \notin C\). İlk durumda \(x \in A \setminus B\), ikincisinde \(x \in A \setminus C\); her hâlde \(x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\). Tersine \(x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\) ise \(x \in A\)’dır ve ya \(x \notin B\) ya \(x \notin C\)’dir; dolayısıyla \(x\) her ikisinde birden olamaz, \(x \notin B \cap C\), yani \(x \in A \setminus (B \cap C)\).
(5) \(x \in A \setminus B\) olması “\(x \in A\) ve \(x \notin B\)” demektir. \(A \subseteq X\) olduğundan \(x \in A\) iken zaten \(x \in X\)’tir; bu yüzden “\(x \notin B\)” ile “\(x \in X \setminus B\)” aynı şeydir. Böylece \(x \in A \setminus B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in X \setminus B \Leftrightarrow x \in A \cap (X \setminus B)\).
(6) Önce \(B \subseteq A \Leftrightarrow A \cap B = B\) denkliğini iki yönde gösterelim.
(\(\Rightarrow\) yönü) \(B \subseteq A\) olsun. \(A \cap B = B\) için iki kapsama gerekir. \(A \cap B \subseteq B\): \(x \in A \cap B\) ise tanım gereği \(x \in A\) ve \(x \in B\); özellikle \(x \in B\). \(B \subseteq A \cap B\): \(y \in B\) olsun. Varsayım \(B \subseteq A\) olduğundan \(y \in A\)’dır. Hem \(y \in A\) hem \(y \in B\) olduğundan \(y \in A \cap B\). İki kapsama \(A \cap B = B\) verir.
(\(\Leftarrow\) yönü) \(A \cap B = B\) olsun. \(x \in B\) alalım. Varsayımla \(B = A \cap B\) olduğundan \(x \in A \cap B\), yani \(x \in A\) ve \(x \in B\); özellikle \(x \in A\). Keyfi bir \(x \in B\) için \(x \in A\) bulduk: \(B \subseteq A\).
İkinci denklik \(B \subseteq A \Leftrightarrow A \cup B = A\) benzerdir. (\(\Rightarrow\)) \(B \subseteq A\) olsun. Önerme 3.3 ile \(A \subseteq A \cup B\). Tersine \(x \in A \cup B\) ise \(x \in A\) ya da \(x \in B\)’dir; ikinci durumda \(B \subseteq A\) ile yine \(x \in A\). Demek ki \(A \cup B \subseteq A\) ve eşitlik sağlanır. (\(\Leftarrow\)) \(A \cup B = A\) olsun. \(x \in B\) ise Önerme 3.3 ile \(x \in A \cup B = A\); yani \(B \subseteq A\).
(7) \(B \subseteq A\) önermesi, her \(x \in X\) için “\(x \in B \Rightarrow x \in A\)” demektir. Bu gerektirmenin karşıt tersi “\(x \notin A \Rightarrow x \notin B\)”, yani “\(x \in X \setminus A \Rightarrow x \in X \setminus B\)”dir. Teorem 1.1 (7) gereği bir gerektirme karşıt tersine denk olduğundan, her \(x \in X\) için ilk önerme doğrudur ancak ve ancak ikincisi doğruysa. İkincisinin her \(x \in X\) için doğru olması ise tam olarak \((X \setminus A) \subseteq (X \setminus B)\) demektir.
\(\blacksquare\)
Bu teorem küme eşitliklerini, elemanlara inmeden, cebirsel biçimde türetmemizi sağlar. Madde (5) özellikle önemlidir: farkı kesişime çevirdiğinden, fark içeren her özdeşliği kesişim–tümleyen diline taşıyabiliriz. Aşağıdaki örnekte hem mantık yasalarıyla hem teoremle çalışıyoruz.
Örnek 3.4 (Farkın Farkı) Her \(A\), \(B\) kümesi için \(A \setminus (A \setminus B) = A \cap B\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x \in A \setminus (A \setminus B)\) önermesini adım adım açalım; her satır bir öncekine denktir.
\[ \begin{aligned} x \in A \setminus (A \setminus B) &\Leftrightarrow x \in A \ \wedge\ \neg\,(x \in A \ \wedge\ x \notin B) && \text{(farkın tanımı, iki kez)} \\ &\Leftrightarrow x \in A \ \wedge\ (x \notin A \ \vee\ x \in B) && \text{(De Morgan ve çift olumsuzlama)} \\ &\Leftrightarrow (x \in A \ \wedge\ x \notin A) \ \vee\ (x \in A \ \wedge\ x \in B) && \text{(dağılma)} \\ &\Leftrightarrow x \in A \ \wedge\ x \in B && \text{(}p \wedge \neg p \text{ çelişkidir; } \mathrm{Y} \vee q \equiv q\text{)} \\ &\Leftrightarrow x \in A \cap B. && \text{(kesişimin tanımı)} \end{aligned} \]
De Morgan ve dağılma Teorem 1.1’nda, çift olumsuzlama Önerme 1.1’dadır; son adımdaki \(\mathrm{Y} \vee q \equiv q\) denkliği ise doğrudan Tanım 1.6 tablosundan görülür. Demek ki iki küme aynı elemanlardan oluşur.
\(\blacksquare\)
3.5 İndisli Aileler
Analizde iki kümeyle değil, çoğu zaman sonsuz çoklukta kümeyle çalışırız: \((-1, 1)\), \((-\tfrac12, \tfrac12)\), \((-\tfrac13, \tfrac13), \dots\) gibi. Bunları tek tek adlandırmak yerine bir indisle etiketleriz.
Tanım 3.8 (İndisli Aile, Genel Kesişim ve Genel Birleşim) \(I\) boş olmayan bir küme olsun ve her \(i \in I\) için bir \(A_i\) kümesi verilsin. \(\{A_i : i \in I\}\) (kısaca \(\{A_i\}_{i \in I}\) ya da \((A_i)_{i \in I}\)) topluluğuna bir indisli küme ailesi (indexed family of sets), \(I\) kümesine de indis kümesi (index set) denir.
Ailenin genel kesişimi, bütün \(A_i\)’lerde ortak olan elemanların kümesidir:
\[\bigcap_{i \in I} A_i = \{x : \forall i \in I,\ x \in A_i\}, \qquad \text{yani} \qquad x \in \bigcap_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \forall i \in I,\ x \in A_i.\]
Ailenin genel birleşimi, en az bir \(A_i\)’ye ait olan elemanların kümesidir:
\[\bigcup_{i \in I} A_i = \{x : \exists i_0 \in I,\ x \in A_{i_0}\}, \qquad \text{yani} \qquad x \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \exists i_0 \in I,\ x \in A_{i_0}.\]
Kesişim bir tümel, birleşim bir varlıksal niceleyiciyle tanımlandığından Teorem 2.1 olumsuzlamalarını hemen verir:
\[x \notin \bigcap_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \exists i_0 \in I,\ x \notin A_{i_0} \qquad \text{ve} \qquad x \notin \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \forall i \in I,\ x \notin A_i.\]
Sözle: kesişimde olmamak için tek bir kümeyi kaçırmak yeter; birleşimde olmamak için bütün kümeleri kaçırmak gerekir.
\(I = \{1, 2, \dots, n\}\) ise \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i\), \(I = \mathbb{N}\) ise \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\) ya da \(\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\) yazılır; kesişim için de aynı. Özel olarak \(I = \{1, 2\}\) alınırsa
\[\bigcup_{i=1}^{2} A_i = A_1 \cup A_2 \qquad \text{ve} \qquad \bigcap_{i=1}^{2} A_i = A_1 \cap A_2\]
olur: tanımdaki “\(\exists i_0 \in \{1, 2\}\)” tam olarak “\(x \in A_1\) veya \(x \in A_2\)”, “\(\forall i \in \{1, 2\}\)” ise “\(x \in A_1\) ve \(x \in A_2\)” demektir. Yani genel işlemler, iki kümeli işlemleri kapsar.
Örnek 3.5 (İki İndisli Aile)
Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(A_n = \{1, 2, \dots, n\}\) olsun. \(\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\) ve \(\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\) kümelerini bulunuz.
Her \(i \in \mathbb{N}\) için \(B_i = \{-i, i\}\) olsun. \(\displaystyle\bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i\) ve \(\displaystyle\bigcap_{i \in \mathbb{N}} B_i\) kümelerini bulunuz.
Çözüm
a) Birleşimin \(\mathbb{N}\) olduğunu iddia ediyoruz. Her \(A_n \subseteq \mathbb{N}\) olduğundan birleşim \(\mathbb{N}\)’nin içindedir. Tersine \(k \in \mathbb{N}\) verilsin; \(k \in \{1, \dots, k\} = A_k\) olduğundan \(k\) birleşimdedir. Demek ki \(\bigcup A_n = \mathbb{N}\).
Kesişim için: \(1\) her \(A_n\)’dedir, dolayısıyla \(1 \in \bigcap A_n\). \(k \ge 2\) bir doğal sayıysa \(k \notin \{1\} = A_1\), dolayısıyla \(k\) kesişimde değildir (tek bir kümeyi kaçırmak yeter). Böylece \(\bigcap A_n = \{1\}\).
b) Birleşim, \(0\) dışındaki bütün tam sayılardır: her \(B_i \subseteq \mathbb{Z} \setminus \{0\}\); tersine \(m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) ise \(|m| \in \mathbb{N}\) ve \(m \in \{-|m|, |m|\} = B_{|m|}\). Kesişim boştur: \(B_1 \cap B_2 = \{-1, 1\} \cap \{-2, 2\} = \varnothing\) olduğundan hiçbir eleman bütün \(B_i\)’lerde olamaz.
\(\blacksquare\)
Genel birleşim, aileyi kapsayan en küçük, genel kesişim ise aile tarafından kapsanan en büyük kümedir. Aşağıdaki teorem bunu kesinleştirir.
Teorem 3.2 (İndisli Ailelerde Alt Küme Sonuçları) \(\{A_i\}_{i \in I}\) bir küme ailesi ve \(B\) bir küme olsun.
- Her \(j \in I\) için \(\displaystyle\bigcap_{i \in I} A_i \subseteq A_j \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i\).
- Her \(i \in I\) için \(A_i \subseteq B\) ise \(\displaystyle\bigcup_{i \in I} A_i \subseteq B\).
- Her \(i \in I\) için \(B \subseteq A_i\) ise \(\displaystyle B \subseteq \bigcap_{i \in I} A_i\).
İspat
(1) \(x \in \bigcap A_i\) ise her \(i \in I\) için \(x \in A_i\); özel olarak \(i = j\) için \(x \in A_j\). \(x \in A_j\) ise “\(\exists i_0 \in I,\ x \in A_{i_0}\)” önermesi \(i_0 = j\) ile sağlanır; yani \(x \in \bigcup A_i\).
(2) \(x \in \bigcup A_i\) olsun. Tanım gereği \(x \in A_{i_0}\) olacak biçimde bir \(i_0 \in I\) vardır. Hipotez her \(i\) için geçerli olduğundan özellikle \(A_{i_0} \subseteq B\)’dir; dolayısıyla \(x \in B\).
(3) \(x \in B\) olsun. Keyfi bir \(i \in I\) alalım; hipotezle \(B \subseteq A_i\) olduğundan \(x \in A_i\). \(i\) keyfi olduğundan her \(i \in I\) için \(x \in A_i\), yani \(x \in \bigcap A_i\).
\(\blacksquare\)
Şimdi Teorem 3.1’ndeki dağılma ve De Morgan yasalarını keyfi ailelere genelleştiriyoruz. Dağılma için iki aile gerekir ve sonuçta indis kümesi \(I \times J\) olan bir aile çıkar.
Önerme 3.5 (Genel Dağılma Yasaları) \(\{A_i\}_{i \in I}\) ve \(\{B_j\}_{j \in J}\) iki küme ailesi olsun.
- \(\displaystyle \Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big) \cap \Big(\bigcup_{j \in J} B_j\Big) = \bigcup_{(i, j) \in I \times J} (A_i \cap B_j)\).
- \(\displaystyle \Big(\bigcap_{i \in I} A_i\Big) \cup \Big(\bigcap_{j \in J} B_j\Big) = \bigcap_{(i, j) \in I \times J} (A_i \cup B_j)\).
Özel olarak tek bir \(A\) kümesi için
\[A \cap \bigcup_{j \in J} B_j = \bigcup_{j \in J} (A \cap B_j) \qquad \text{ve} \qquad A \cup \bigcap_{j \in J} B_j = \bigcap_{j \in J} (A \cup B_j).\]
İspat
(1) Çift kapsama yapalım. \(x \in \big(\bigcup_{i} A_i\big) \cap \big(\bigcup_{j} B_j\big)\) olsun. O zaman \(x \in \bigcup_i A_i\) ve \(x \in \bigcup_j B_j\)’dir. Birleşimin tanımı gereği \(x \in A_{i_0}\) olacak biçimde bir \(i_0 \in I\) ve \(x \in B_{j_0}\) olacak biçimde bir \(j_0 \in J\) vardır. Bu, \(x \in A_{i_0} \cap B_{j_0}\) demektir. \((i_0, j_0) \in I \times J\) olduğundan \(x \in \bigcup_{(i,j)} (A_i \cap B_j)\). Böylece sol taraf sağ tarafın içindedir.
Tersine \(x \in \bigcup_{(i,j) \in I \times J} (A_i \cap B_j)\) olsun. O zaman \(x \in A_{i_0} \cap B_{j_0}\) olacak biçimde bir \((i_0, j_0) \in I \times J\) vardır; yani \(x \in A_{i_0}\) ve \(x \in B_{j_0}\). \(x \in A_{i_0}\) olduğundan \(x \in \bigcup_i A_i\); \(x \in B_{j_0}\) olduğundan \(x \in \bigcup_j B_j\). Dolayısıyla \(x\) bu iki kümenin kesişimindedir. Sağ taraf da sol tarafın içindedir; eşitlik sağlanır.
(2) \(x \in \big(\bigcap_i A_i\big) \cup \big(\bigcap_j B_j\big)\) olsun; \(x \in \bigcap_i A_i\) ya da \(x \in \bigcap_j B_j\)’dir. İlk durumda her \(i\) için \(x \in A_i\); o zaman her \((i, j) \in I \times J\) için \(x \in A_i \subseteq A_i \cup B_j\), yani \(x \in \bigcap_{(i,j)} (A_i \cup B_j)\). İkinci durum simetriktir: her \(j\) için \(x \in B_j \subseteq A_i \cup B_j\). Sol taraf sağın içindedir.
Tersine \(x \in \bigcap_{(i,j) \in I \times J} (A_i \cup B_j)\) olsun; yani her \(i \in I\) ve her \(j \in J\) için \(x \in A_i \cup B_j\). Durumlara ayıralım. \(x \in \bigcap_i A_i\) ise işimiz bitti: \(x\) soldaki birleşimdedir. Değilse, olumsuzlama kuralıyla \(x \notin A_{i_0}\) olan bir \(i_0 \in I\) vardır. Şimdi keyfi bir \(j \in J\) alalım: \(x \in A_{i_0} \cup B_j\) ve \(x \notin A_{i_0}\) olduğundan \(x \in B_j\) olmak zorundadır. \(j\) keyfi olduğundan her \(j\) için \(x \in B_j\), yani \(x \in \bigcap_j B_j\); dolayısıyla \(x\) yine soldaki birleşimdedir.
Özel durum, \(I = \{i_0\}\) tek elemanlı ve \(A_{i_0} = A\) alınmasıyla elde edilir: o zaman \(\bigcup_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} A_i = A\) ve \(I \times J = \{(i_0, j) : j \in J\}\) olduğundan \((i, j) \in I \times J\) üzerinden alınan birleşim ve kesişim, \(j \in J\) üzerinden alınanlarla aynıdır.
\(\blacksquare\)
Özel durumda \(J = \{1, 2\}\) alınırsa \(A \cap (B_1 \cup B_2) = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2)\) ve \(A \cup (B_1 \cap B_2) = (A \cup B_1) \cap (A \cup B_2)\), yani Teorem 3.1’nin (3) maddesi geri gelir.
Teorem 3.3 (De Morgan Yasaları) \(\{A_i\}_{i \in I}\), bir \(X\) evrensel kümesinin alt kümelerinden oluşan bir aile olsun.
- \(\displaystyle X \setminus \Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big) = \bigcap_{i \in I} (X \setminus A_i)\).
- \(\displaystyle X \setminus \Big(\bigcap_{i \in I} A_i\Big) = \bigcup_{i \in I} (X \setminus A_i)\).
Sözle: birleşimin tümleyeni tümleyenlerin kesişimi, kesişimin tümleyeni tümleyenlerin birleşimidir.
İspat
(1) \(x \in X \setminus \big(\bigcup_i A_i\big)\) olsun. Bu, \(x \in X\) ve \(x \notin \bigcup_i A_i\) demektir. Birleşimin olumsuzlamasından her \(i \in I\) için \(x \notin A_i\); \(x \in X\) ile birlikte her \(i\) için \(x \in X \setminus A_i\). Yani \(x \in \bigcap_i (X \setminus A_i)\). Böylece \(X \setminus \big(\bigcup_i A_i\big) \subseteq \bigcap_i (X \setminus A_i)\).
Tersine \(x \in \bigcap_i (X \setminus A_i)\) olsun. Kesişimin tanımından her \(i \in I\) için \(x \in X \setminus A_i\), yani \(x \in X\) ve \(x \notin A_i\). Her \(i\) için \(x \notin A_i\) olduğundan \(x \notin \bigcup_i A_i\); \(x \in X\) ile birlikte \(x \in X \setminus \big(\bigcup_i A_i\big)\). Böylece \(\bigcap_i (X \setminus A_i) \subseteq X \setminus \big(\bigcup_i A_i\big)\). İki kapsama eşitliği verir.
(2) \(x \in X \setminus \big(\bigcap_i A_i\big)\) olsun: \(x \in X\) ve \(x \notin \bigcap_i A_i\). Kesişimin olumsuzlamasından \(x \notin A_{i_0}\) olacak biçimde bir \(i_0 \in I\) vardır. \(x \in X\) olduğundan \(x \in X \setminus A_{i_0}\) ve dolayısıyla \(x \in \bigcup_i (X \setminus A_i)\).
Tersine \(x \in \bigcup_i (X \setminus A_i)\) olsun. \(x \in X \setminus A_{i_0}\) olacak biçimde bir \(i_0\) vardır; yani \(x \in X\) ve \(x \notin A_{i_0}\). Bir kümeyi kaçıran eleman kesişimde olamayacağından \(x \notin \bigcap_i A_i\); \(x \in X\) ile birlikte \(x \in X \setminus \big(\bigcap_i A_i\big)\). İki kapsama eşitliği verir.
\(\blacksquare\)
\(I = \{1, 2\}\) alınırsa tanıdık iki kümeli biçim çıkar:
\[X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A) \cap (X \setminus B), \qquad X \setminus (A \cap B) = (X \setminus A) \cup (X \setminus B).\]
Bu da Teorem 3.1’nin (4) maddesinde \(A\) yerine \(X\) alınmış hâlidir. De Morgan yasalarını, topolojide açık ve kapalı kümeler arasında gidip gelirken sürekli kullanacağız: bkz. Kapalı Kümeler.
3.6 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Küme İşlemleri Alıştırmaları)
\(X = \{1, 2, \dots, 10\}\) evrensel kümesinde \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\) ve \(C = \{2, 4, 6, 8, 10\}\) olsun. \(A \,\triangle\, B\), \(X \setminus A\), \(A \cap (B \cup C)\) ve \(X \setminus (B \cup C)\) kümelerini bulunuz; son ikisini Teorem 3.1 ile doğrulayınız.
\(A\), \(B\), \(C\) kümeleri için \((A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\) olduğunu, Teorem 3.1’ni kullanarak (elemanlara inmeden) gösteriniz.
\(\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Big(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\Big) = \{0\}\) ve \(\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \Big[\frac{1}{n}, 1\Big] = (0, 1]\) olduğunu gösteriniz.
\(A \subseteq B \Leftrightarrow A \setminus B = \varnothing\) olduğunu gösteriniz.
\(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(A \setminus B = \{1, 2, 3\}\) ve \(B \setminus A = \{7, 8\}\) olduğundan \(A \,\triangle\, B = \{1, 2, 3, 7, 8\}\). \(X \setminus A = \{7, 8, 9, 10\}\).
\(B \cup C = \{2, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}\), dolayısıyla \(A \cap (B \cup C) = \{2, 4, 5, 6\}\). Dağılma yasasıyla kontrol: \(A \cap B = \{4, 5, 6\}\), \(A \cap C = \{2, 4, 6\}\) ve \((A \cap B) \cup (A \cap C) = \{2, 4, 5, 6\}\); aynı sonuç.
\(X \setminus (B \cup C) = \{1, 3, 9\}\). De Morgan ile kontrol: \(X \setminus B = \{1, 2, 3, 9, 10\}\), \(X \setminus C = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) ve kesişimleri \(\{1, 3, 9\}\); aynı sonuç.
b) \(X = A \cup B \cup C\) alalım; böylece üç küme de \(X\)’in alt kümesidir. Teorem 3.1’nin (5) maddesi, sonra (3) maddesi, sonra yine (5) maddesiyle
\[(A \cup B) \setminus C = (A \cup B) \cap (X \setminus C) = \big(A \cap (X \setminus C)\big) \cup \big(B \cap (X \setminus C)\big) = (A \setminus C) \cup (B \setminus C).\]
c) Birincisi: her \(n\) için \(-\tfrac1n < 0 < \tfrac1n\) olduğundan \(0\) bütün aralıklardadır; \(\{0\} \subseteq \bigcap_n (-\tfrac1n, \tfrac1n)\). Tersine \(x\) kesişimde ve \(x \neq 0\) olsun. O zaman \(|x| > 0\)’dır. Sonuç 12.2 gereği (her pozitif sayının altına inen bir \(\tfrac1n\) vardır; Arşimet özelliğine dayanan bu sonucu ileride ispatlayacağız, burada bilinen bir olgu olarak kullanıyoruz) \(\tfrac{1}{n_0} < |x|\) olacak biçimde bir \(n_0 \in \mathbb{N}\) vardır. Bu, \(x \notin (-\tfrac{1}{n_0}, \tfrac{1}{n_0})\) demektir; oysa \(x\) kesişimdeydi. Çelişki. Demek ki kesişimin \(0\)’dan başka elemanı yoktur.
İkincisi: her \(n\) için \(0 < \tfrac1n \le 1\) olduğundan \([\tfrac1n, 1] \subseteq (0, 1]\)’dir; Teorem 3.2 (2) ile birleşim \((0, 1]\)’in içindedir. Tersine \(x \in (0, 1]\) olsun. \(x > 0\) olduğundan yine Sonuç 12.2 ile \(\tfrac{1}{n_0} < x\) olan bir \(n_0\) vardır; \(x \le 1\) ile birlikte \(x \in [\tfrac{1}{n_0}, 1]\), yani \(x\) birleşimdedir.
Bu iki eşitlik, bir sonsuz kesişimin uçları “kapatabildiğini”, bir sonsuz birleşimin ise uçları “açabildiğini” gösterir; topolojide bu olgunun önemi büyüktür.
d) (\(\Rightarrow\)) \(A \subseteq B\) olsun ve \(A \setminus B\)’de bir \(x\) bulunduğunu varsayalım. O zaman \(x \in A\) ve \(x \notin B\)’dir; ama \(A \subseteq B\) ile \(x \in A\)’dan \(x \in B\) çıkar. Çelişki. Demek ki \(A \setminus B\)’nin elemanı yoktur. (\(\Leftarrow\)) \(A \setminus B = \varnothing\) olsun ve \(x \in A\) alalım. \(x \notin B\) olsaydı \(x \in A \setminus B = \varnothing\) olurdu; olanaksız. Dolayısıyla \(x \in B\) ve \(A \subseteq B\).
e) Her iki tarafın elemanları sıralı ikililerdir. \((a, y)\) bir ikili olsun. O zaman
\[(a, y) \in A \times (B \cup C) \Leftrightarrow a \in A \wedge (y \in B \vee y \in C) \Leftrightarrow (a \in A \wedge y \in B) \vee (a \in A \wedge y \in C),\]
ikinci adım mantıktaki dağılma yasasıdır. Son önerme “\((a, y) \in A \times B\) veya \((a, y) \in A \times C\)”, yani \((a, y) \in (A \times B) \cup (A \times C)\) demektir. Bütün adımlar denklik olduğundan iki küme eşittir.
\(\blacksquare\)
Kümeler ve işlemleri elimizde; şimdi kartezyen çarpımın alt kümelerini inceleyerek iki nesne arasındaki “ilişki” fikrini kesinleştiriyoruz: Bağıntılar.