9  Üst Sınır, Supremum ve Tamlık Aksiyomu

Buraya kadar reel sayılar için iki aksiyom grubu gördük: cebirsel aksiyomlar (Bölüm 6.2) toplama ve çarpmayı, sıralama aksiyomları (Bölüm 7.1) ise “küçüktür” bağıntısını yönetiyordu. Ne var ki bu iki grubun tamamını rasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{Q}\) da sağlar. Yani şimdiye kadar yazdığımız hiçbir aksiyom, \(\mathbb{R}\)’yi \(\mathbb{Q}\)’dan ayırt etmez. Oysa aralarında büyük bir fark vardır: rasyonel sayı doğrusu “deliklidir” — karesi \(2\) olan bir rasyonel sayı yoktur — ama reel sayı doğrusunda böyle bir boşluk bulunmaz.

Bu bölümde işte bu farkı yakalayan üçüncü ve son aksiyomu, Tamlık Aksiyomu’nu yazacağız. Aksiyomu ifade edebilmek için önce “üst sınır” ve “en küçük üst sınır (supremum)” kavramlarına ihtiyacımız var. Ardından supremumun aralıklarda nasıl davrandığını ve toplama, sabitle çarpma gibi işlemlerle uyumunu inceleyeceğiz. Aksiyomun doğal sayılarla ilgili ilk büyük sonuçları, doğal sayılar kümesinin üstten sınırlı olmadığı ve iç içe aralıklar teoremi, bir sonraki bölümde doğal sayıları ve tümevarımı kurduktan sonra gelecek.

9.1 Üst Sınır ve Alt Sınır

Bir kümenin “nereye kadar uzandığını” ölçmenin en basit yolu, kümenin bütün elemanlarını geçen bir sayı bulmaktır. Böyle bir sayı varsa küme yukarıya doğru sonsuza kaçamıyor demektir.

Tanım 9.1 (Üst Sınır ve Alt Sınır) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.

• Bir \(M \in \mathbb{R}\) sayısı için her \(a \in A\) elemanında \(a \le M\) sağlanıyorsa, \(M\)’ye \(A\) kümesinin bir üst sınırı (upper bound) denir.
• Bir \(m \in \mathbb{R}\) sayısı için her \(a \in A\) elemanında \(m \le a\) sağlanıyorsa, \(m\)’ye \(A\) kümesinin bir alt sınırı (lower bound) denir.

İki noktaya dikkat edelim. Birincisi, üst sınır tek değildir: \(M\) bir üst sınırsa \(M\)’den büyük her sayı da üst sınırdır, çünkü \(a \le M \le M'\) olur. İkincisi, üst sınırın kümeye ait olması gerekmez; aşağıdaki örneklerde bunu göreceğiz.

Üst sınırı olan küme yukarıya, alt sınırı olan küme aşağıya doğru “kaçamaz”; bu durumları adlandıralım.

Tanım 9.2 (Sınırlı Küme) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.

• \(A\)’nın en az bir üst sınırı varsa \(A\)’ya üstten sınırlı (bounded above),
• \(A\)’nın en az bir alt sınırı varsa \(A\)’ya alttan sınırlı (bounded below),
• \(A\) hem üstten hem alttan sınırlıysa \(A\)’ya sınırlı (bounded) küme denir.

Üstten sınırlı olmayan kümeye üstten sınırsız, sınırlı olmayan kümeye sınırsız denir.

Yani \(A\) üstten sınırlıdır ancak ve ancak \(\exists M \in \mathbb{R},\ \forall a \in A,\ a \le M\) önermesi doğrudur. Bu önermenin değilini niceleyicileri çevirerek alırsak (Teorem 2.1) üstten sınırsızlığın tanımı çıkar:

\[A \text{ üstten sınırsızdır} \iff \forall M \in \mathbb{R},\ \exists a \in A : a > M.\]

Hangi sayıyı seçersek seçelim, kümede ondan büyük bir eleman vardır. Örneğin \([0, \infty)\) üstten sınırsızdır: \(M \ge 0\) ise \(M + 1 \in [0, \infty)\) ve \(M + 1 > M\); \(M < 0\) ise kümenin \(0\) elemanı \(M\)’yi geçer. Alttan sınırsızlık da aynı biçimde \(\forall m \in \mathbb{R},\ \exists a \in A : a < m\) ile ifade edilir.

NotSınırlılığın mutlak değerle ifadesi

\(A\) kümesi sınırlıdır ancak ve ancak her \(a \in A\) için \(|a| \le K\) olacak biçimde bir \(K > 0\) sayısı vardır.

Gerçekten, \(m\) bir alt sınır ve \(M\) bir üst sınır olsun; \(K = \max\{|m|, |M|\} + 1\) alalım. Mutlak değerin özelliklerinden (Teorem 8.1) \(-|m| \le m\) ve \(M \le |M|\) olduğundan her \(a \in A\) için

\[-K < -|m| \le m \le a \le M \le |M| < K\]

yani \(|a| < K\) olur. Tersine, her \(a\) için \(|a| \le K\) ise \(-K \le a \le K\) olduğundan \(-K\) bir alt, \(K\) bir üst sınırdır. Bu ifade, sınırlılığı tek bir eşitsizlikle denetlemeyi sağladığı için ileride dizilerde sıkça kullanılacaktır.

Örnek 9.1 (Üst ve Alt Sınır Örnekleri) Aşağıdaki kümelerin üstten ve alttan sınırlı olup olmadıklarını inceleyelim; sınırlıysa birer üst ve alt sınır bulalım.

1. \(A = [0, 1) = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}\)

2. \(B = \left\{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dots\right\}\)

3. \(C = (-\infty, 2] = \{x \in \mathbb{R} : x \le 2\}\)

4. \(D = \{2, 5, 7\}\)

Çözüm

a) Her \(x \in A\) için \(0 \le x\) olduğundan \(0\) bir alt sınırdır; her \(x \in A\) için \(x < 1\) olduğundan \(1\) bir üst sınırdır. Demek ki \(A\) sınırlıdır. \(1\) sayısı \(A\)’nın elemanı değildir; ama bu, üst sınır olmasına engel değildir. \(0\) ise hem alt sınır hem de \(A\)’nın elemanıdır. \(1{,}5\), \(2\), \(100\) sayıları da üst sınırdır; \(-3\) de bir alt sınırdır.

b) Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(n \ge 1\)’dir; bunu bir sonraki bölümde doğal sayıları kurarken kanıtlayacağız (Önerme 10.3). \(n = 1\) ise \(\dfrac{1}{n} = 1\), \(n > 1\) ise Önerme 7.10 gereği \(\dfrac{1}{n} < 1\) olur. Her iki hâlde \(\dfrac{1}{n} \le 1\)’dir; \(1 = \dfrac{1}{1} \in B\) olduğundan \(1\) hem üst sınır hem de kümenin elemanıdır. Her \(n\) için \(\dfrac{1}{n} > 0\) olduğundan (Önerme 7.9) \(0\) bir alt sınırdır; \(B\) sınırlıdır. \(0\) kümeye ait değildir, çünkü hiçbir \(n\) için \(\dfrac{1}{n} = 0\) olmaz.

c) \(2\) bir üst sınırdır ve \(2 \in C\)’dir. Alt sınır ise yoktur: \(m\) herhangi bir reel sayı olsun. \(m \le 2\) ise \(m - 1 < m \le 2\) olduğundan \(m - 1 \in C\) ve \(m - 1 < m\); \(m > 2\) ise \(2 \in C\) ve \(2 < m\). Her iki hâlde de \(C\)’nin \(m\)’den küçük bir elemanı vardır, yani \(m\) alt sınır değildir. Demek ki \(C\) üstten sınırlı ama alttan sınırsızdır; dolayısıyla sınırsız bir kümedir.

d) \(2 \le 5 \le 7\) olduğundan \(7\) bir üst, \(2\) bir alt sınırdır ve her ikisi de kümenin elemanıdır. \(D\) sınırlıdır.

\(\blacksquare\)

9.2 Maksimum ve Minimum

Tanım 7.4’de iki sayının maksimumunu ve minimumunu tanımlamıştık. Şimdi aynı fikri kümelere taşıyalım: bir kümenin “en büyük elemanı”, hem kümeye ait olan hem de bütün elemanları geçen sayıdır.

Tanım 9.3 (Kümenin Maksimumu ve Minimumu) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.

• \(M \in A\) ve \(M\), \(A\)’nın bir üst sınırı ise \(M\)’ye \(A\)’nın maksimumu (en büyük elemanı) denir ve \(M = \max A\) yazılır.
• \(m \in A\) ve \(m\), \(A\)’nın bir alt sınırı ise \(m\)’ye \(A\)’nın minimumu (en küçük elemanı) denir ve \(m = \min A\) yazılır.

Maksimum varsa tektir: \(M_1\) ve \(M_2\) iki maksimum olsa, \(M_1 \in A\) ve \(M_2\) üst sınır olduğundan \(M_1 \le M_2\); simetrik biçimde \(M_2 \le M_1\); dolayısıyla \(M_1 = M_2\) olur. Aynı akıl yürütme minimum için de geçerlidir.

Örnek 9.1’ndeki kümelere dönelim. \(A = [0, 1)\) için \(\min A = 0\)’dır, ama \(\max A\) yoktur: \(1\) kümeye ait değildir ve kümeye ait hiçbir sayı üst sınır olamaz, çünkü \(x \in A\) ise Önerme 7.11 gereği \(x < \dfrac{x + 1}{2} < 1\) olur; \(x \ge 0\) nedeniyle \(\dfrac{x+1}{2} > 0\) olduğundan \(\dfrac{x+1}{2} \in A\)’dır ve \(x\)’i geçer. \(B\) kümesi için \(\max B = 1\)’dir; minimum yoktur, çünkü \(\dfrac{1}{n} \in B\) ise \(\dfrac{1}{n+1} \in B\) daha küçüktür. \(D = \{2, 5, 7\}\) için \(\max D = 7\), \(\min D = 2\)’dir.

Sonuncu örnek genel bir olgunun parçasıdır: elemanları \(a_1, \dots, a_n\) diye sonlu bir liste hâlinde yazılabilen, yani sonlu her küme için maksimum ve minimum vardır. Bunu doğal sayıları ve tümevarımı kurduktan sonra kanıtlayacağız (Önerme 10.4).

9.3 Supremum ve İnfimum

\([0, 1)\) kümesinin maksimumu yoktur; ama \(1\) sayısı bu küme için “en büyük eleman” rolünü neredeyse üstlenir: bütün elemanları geçer ve ondan küçük hiçbir sayı bunu başaramaz. Bu gözlem, maksimum olmadığında da işe yarayan bir kavrama götürür: üst sınırların en küçüğü.

Tanım 9.4 (Supremum ve İnfimum) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.

• Bir \(s \in \mathbb{R}\) sayısı şu iki koşulu sağlıyorsa \(s\)’ye \(A\)’nın supremumu (en küçük üst sınırı, least upper bound) denir ve \(s = \sup A\) yazılır:

  (S1) \(s\), \(A\)’nın bir üst sınırıdır: her \(a \in A\) için \(a \le s\).

  (S2) \(s\), üst sınırların en küçüğüdür: \(M\), \(A\)’nın herhangi bir üst sınırı ise \(s \le M\).

• Bir \(t \in \mathbb{R}\) sayısı şu iki koşulu sağlıyorsa \(t\)’ye \(A\)’nın infimumu (en büyük alt sınırı, greatest lower bound) denir ve \(t = \inf A\) yazılır:

  (I1) \(t\), \(A\)’nın bir alt sınırıdır: her \(a \in A\) için \(t \le a\).

  (I2) \(t\), alt sınırların en büyüğüdür: \(m\), \(A\)’nın herhangi bir alt sınırı ise \(m \le t\).

(S2) koşulunun karşıt tersi çoğu zaman daha kullanışlıdır: \(M < s\) ise \(M\) bir üst sınır değildir; yani \(s\)’den küçük her \(M\) için \(M < a\) olan bir \(a \in A\) vardır. Supremumu bulurken hep bu iki şeyi gösteririz: verilen sayı bir üst sınırdır ve ondan küçük hiçbir sayı üst sınır değildir.

Tanımdan hemen çıkan ve ispatlarda çok sık kullanılan üç eşitsizliği kaydedelim.

Önerme 9.1 (Supremum ve İnfimumun Bir Sayıyla Karşılaştırılması) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme ve \(c \in \mathbb{R}\) olsun.

1. \(\sup A\) varsa ve her \(a \in A\) için \(a \le c\) ise \(\sup A \le c\)’dir.
2. \(\inf A\) varsa ve her \(a \in A\) için \(c \le a\) ise \(c \le \inf A\)’dır.
3. \(\sup A\) ve \(\inf A\) varsa \(\inf A \le \sup A\)’dır. Eşitlik ancak \(A\) tek elemanlıysa sağlanır.

İspat

Madde (1). Hipotez, \(c\)’nin \(A\)’nın bir üst sınırı olduğunu söyler. (S2) gereği \(\sup A\) bütün üst sınırlardan küçük ya da onlara eşittir; dolayısıyla \(\sup A \le c\).

Madde (2). Hipotez gereği \(c\) bir alt sınırdır ve (I2) ile \(c \le \inf A\).

Madde (3). \(A\) boş olmadığından bir \(a_0 \in A\) seçebiliriz. (I1) ile \(\inf A \le a_0\), (S1) ile \(a_0 \le \sup A\); geçişlilikle \(\inf A \le \sup A\). \(\inf A = \sup A = s\) olsun. O zaman her \(a \in A\) için \(s \le a \le s\), yani \(a = s\) olur; \(A\) boş olmadığından \(A = \{s\}\)’dir. Tersine \(A = \{s\}\) ise \(s\) hem bir üst sınır hem bir alt sınırdır. Her üst sınır \(s\)’den büyük ya da ona eşit, her alt sınır \(s\)’den küçük ya da ona eşit olmak zorundadır, çünkü \(s \in A\)’dır. Dolayısıyla \(\sup A = \inf A = s\).

\(\blacksquare\)

Önerme 9.2 (Supremumun Tekliği) Bir kümenin supremumu varsa tektir; aynı şey infimum için de geçerlidir.

İspat

\(s_1\) ve \(s_2\), \(A\)’nın iki supremumu olsun. \(s_1\) bir üst sınırdır ve \(s_2\) bütün üst sınırlardan küçük ya da eşittir; dolayısıyla \(s_2 \le s_1\). Rolleri değiştirince \(s_1 \le s_2\). Hem \(s_2 \le s_1\) hem \(s_1 \le s_2\) olduğundan üçlem yasası (O1) ile \(s_1 = s_2\). İnfimum için ispat aynıdır.

\(\blacksquare\)

Önerme 9.3 (Maksimum ile Supremumun İlişkisi) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.

1. \(\max A\) varsa \(\sup A\) da vardır ve \(\sup A = \max A\).
2. \(\sup A\) var ve \(\sup A \in A\) ise \(\max A\) vardır ve \(\max A = \sup A\).

Aynı ifadeler \(\min\) ve \(\inf\) için de doğrudur.

İspat

1. \(M = \max A\) olsun. Tanım gereği \(M\) bir üst sınırdır; (S1) sağlanır. \(M'\) herhangi bir üst sınır olsun; \(M \in A\) olduğundan \(M \le M'\) olur; (S2) sağlanır. Demek ki \(M = \sup A\).

2. \(s = \sup A \in A\) olsun. \(s\) hem kümenin elemanı hem de üst sınırıdır; bu tam olarak maksimumun tanımıdır.

\(\blacksquare\)

Yani maksimum varsa supremumla çakışır; supremumun fazladan sunduğu şey, maksimum olmadığında da bir “üst uç” belirleyebilmesidir.

Örnek 9.2 (Yarı Açık Aralığın Supremumu) \(A = [0, 1)\) kümesi için \(\inf A = \min A = 0\) ve \(\sup A = 1\) olduğunu gösterelim; \(\max A\)’nın olmadığını görelim.

Çözüm

\(0 \in A\) ve \(0\) bir alt sınır olduğundan \(\min A = 0\); Önerme 9.3 gereği \(\inf A = 0\)’dır.

\(\sup A = 1\) için iki koşulu denetleyelim.

(S1) Her \(x \in A\) için \(x < 1\); dolayısıyla \(1\) bir üst sınırdır.

(S2) \(M < 1\) olan hiçbir \(M\)’nin üst sınır olmadığını gösterelim. \(M < 0\) ise \(0 \in A\) elemanı \(M\)’yi geçer. \(0 \le M < 1\) ise Önerme 7.11 gereği

\[M < \frac{M + 1}{2} < 1\]

olur; ayrıca \(\dfrac{M+1}{2} \ge \dfrac{0 + 1}{2} > 0\) olduğundan \(\dfrac{M+1}{2} \in A\)’dır ve \(M\)’yi geçer. Her iki hâlde de \(M\) üst sınır değildir. O hâlde \(1\) üst sınırların en küçüğüdür: \(\sup A = 1\).

\(1 \notin A\) olduğundan Önerme 9.3 gereği \(\max A\) yoktur (olsaydı \(1\)’e eşit olurdu).

\(\blacksquare\)

Bu örnekteki (S2) adımı, “supremumun hemen altına inince kümeye rastlarız” fikrine dayanıyordu. Bu fikri \(\varepsilon\) diliyle yazmak, supremum ispatlarının standart aracıdır.

Teorem 9.1 (Supremum için Epsilon Ölçütü) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme ve \(s \in \mathbb{R}\) olsun. \(s = \sup A\) olması için gerek ve yeter koşul şudur:

1. \(s\), \(A\)’nın bir üst sınırıdır ve
2. her \(\varepsilon > 0\) için \(s - \varepsilon < a\) olacak biçimde bir \(a \in A\) vardır.

İspat

(\(\Rightarrow\) yönü) \(s = \sup A\) olsun. (S1) gereği \(s\) üst sınırdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(s - \varepsilon < s\) olduğundan (S2)’nin karşıt tersiyle \(s - \varepsilon\) bir üst sınır değildir; yani \(s - \varepsilon < a\) olan bir \(a \in A\) vardır.

(\(\Leftarrow\) yönü) İki koşul sağlansın. (S1) zaten verilmiştir. (S2) için \(M < s\) olan bir \(M\)’nin üst sınır olamayacağını gösterelim: \(\varepsilon = s - M > 0\) alalım. İkinci koşuldan \(s - \varepsilon < a\) olan bir \(a \in A\) vardır; ama \(s - \varepsilon = M\)’dir, yani \(M < a\). Demek ki \(M\) üst sınır değildir. O hâlde her üst sınır \(M\) için \(s \le M\) olur ve \(s = \sup A\)’dır.

\(\blacksquare\)

Teorem şunu söyler: \(\sup A\), kümenin elemanlarının “istenildiği kadar yaklaştığı” üst sınırdır. \(s - \varepsilon\) ile \(s\) arasındaki aralık ne kadar dar olursa olsun, içinde kümeden bir eleman bulunur. İnfimum için ayna görüntüsü geçerlidir.

Teorem 9.2 (İnfimum için Epsilon Ölçütü) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme ve \(t \in \mathbb{R}\) olsun. \(t = \inf A\) olması için gerek ve yeter koşul şudur:

1. \(t\), \(A\)’nın bir alt sınırıdır ve
2. her \(\varepsilon > 0\) için \(a < t + \varepsilon\) olacak biçimde bir \(a \in A\) vardır.

İspat

(\(\Rightarrow\) yönü) \(t = \inf A\) olsun; (I1) ilk koşulu verir. \(\varepsilon > 0\) için \(t < t + \varepsilon\) olduğundan (I2) gereği \(t + \varepsilon\) bir alt sınır olamaz (olsaydı \(t + \varepsilon \le t\) gerekirdi). Alt sınır olmaması, \(a < t + \varepsilon\) sağlayan bir \(a \in A\) bulunması demektir.

(\(\Leftarrow\) yönü) İki koşul sağlansın. (I1) ilk koşulun kendisidir. (I2) için \(m\), \(A\)’nın herhangi bir alt sınırı olsun; \(m \le t\) göstermeliyiz. Tersini varsayalım: \(t < m\). \(\varepsilon = m - t > 0\) alınca ikinci koşuldan \(a < t + \varepsilon = m\) olan bir \(a \in A\) bulunur; bu, \(m\)’nin alt sınır olmasıyla çelişir. Demek ki \(m \le t\) ve \(t = \inf A\).

\(\blacksquare\)

Uç noktanın kümeye ait olup olmaması infimumu değiştirmez, ama minimumun varlığını belirler. Bunu iki aralıkta karşılaştıralım.

Örnek 9.3 (Sol Ucu Açık Aralığın İnfimumu) \(A = (-1, 2]\) kümesi için \(\inf A = -1\) olduğunu ve \(\min A\)’nın olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Her \(x \in A\) için \(-1 < x\) olduğundan \(-1\) bir alt sınırdır.

Daha büyük bir alt sınır olmadığını gösterelim. \(b > -1\) olan bir \(b\) alt sınır olsun. \(2 \in A\) olduğundan \(b \le 2\)’dir. Önerme 7.11 gereği

\[-1 < \frac{-1 + b}{2} < b \le 2\]

olur. Dolayısıyla \(c = \dfrac{-1 + b}{2}\) sayısı \(A\)’nın bir elemanıdır ve \(c < b\)’dir. Bu, \(b\)’nin alt sınır olmasıyla çelişir. Demek ki her alt sınır \(-1\)’den küçük ya da ona eşittir; (I2) sağlanır ve \(\inf A = -1\).

Şimdi \(\min A\)’nın olmadığını görelim. \(c = \min A\) olsaydı \(c \in A\), yani \(-1 < c \le 2\) olurdu. Aynı orta nokta \(\dfrac{-1 + c}{2}\) hem \(A\)’ya ait hem de \(c\)’den küçük olurdu; bu, \(c\)’nin en küçük eleman olmasıyla çelişir. Başka bir yoldan: \(\min A\) olsaydı Önerme 9.3 gereği \(\inf A\)’ya, yani \(-1\)’e eşit olurdu; ama \(-1 \notin A\).

\(\blacksquare\)

Örnek 9.4 (Kapalı Aralığın İnfimumu) \(B = [-1, 2]\) kümesi için \(\inf B = \min B = -1\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Her \(x \in B\) için \(-1 \le x\) olduğundan \(-1\) bir alt sınırdır ve \(-1 \in B\)’dir. \(m\), \(B\)’nin herhangi bir alt sınırı olsun; \(-1 \in B\) olduğundan \(m \le -1\). Demek ki \(-1\) alt sınırların en büyüğüdür: \(\inf B = -1\). Kümeye ait bir alt sınır olduğundan aynı zamanda \(\min B = -1\)’dir.

\(\blacksquare\)

İki örneğin farkı yalnızca \(-1\)’in kümeye ait olup olmamasıdır. İnfimum ikisinde de \(-1\)’dir; minimum ise yalnızca ikincisinde vardır.

9.4 Tamlık Aksiyomu

Şimdiye kadar supremumun ne olduğunu tanımladık, ama var olduğunu söylemedik. Var olmayabilir de: \(\mathbb{Q}\) içinde çalışsaydık, \(\{q \in \mathbb{Q} : q > 0,\ q^2 < 2\}\) kümesi üstten sınırlı olduğu hâlde rasyonel bir supremuma sahip olmazdı; bunu ileride kanıtlayacağız (Sonuç 13.1). Reel sayıları reel sayı yapan, bu durumun \(\mathbb{R}\)’de asla ortaya çıkmamasıdır. Bu bir aksiyomdur; ispatlanmaz, kabul edilir.

ÖnemliTamlık Aksiyomu

Reel sayıların üstten sınırlı ve boş olmayan her \(A\) alt kümesinin bir supremumu vardır. Yani \(A \ne \varnothing\) ve \(A\) üstten sınırlıysa \(\sup A \in \mathbb{R}\) vardır.

Aksiyomun iki hipotezi de gereklidir: boş kümenin her reel sayı üst sınırı olduğundan en küçük üst sınırı olamaz; üstten sınırsız kümenin ise hiç üst sınırı yoktur. Aksiyom yalnızca supremumdan söz eder; infimum için ayrı bir aksiyom gerekmez, çünkü kümeyi “aynalayarak” supremuma indirgeyebiliriz.

Bir \(A \subset \mathbb{R}\) kümesi için

\[-A = \{-a : a \in A\}\]

yazalım; \(-A\), \(A\)’nın elemanlarının toplamsal terslerinden oluşan kümedir.

Teorem 9.3 (İnfimumun Varlığı) Alttan sınırlı ve boş olmayan her \(A \subset \mathbb{R}\) kümesinin infimumu vardır ve

\[\inf A = -\sup(-A).\]

İspat

\(m\), \(A\)’nın bir alt sınırı olsun. Her \(a \in A\) için \(m \le a\); eksi almak eşitsizliğin yönünü çevirir: \(m < a\) hâlinde Önerme 7.3 gereği \(-a < -m\), \(m = a\) hâlinde ise \(-a = -m\) olur. Her iki hâlde \(-a \le -m\)’dir. Demek ki \(-m\), \(-A\) kümesinin bir üst sınırıdır. \(A \ne \varnothing\) olduğundan \(-A \ne \varnothing\)’dir. Tamlık Aksiyomu gereği \(s = \sup(-A)\) vardır. \(\inf A = -s\) olduğunu gösterelim.

(I1) \(a \in A\) olsun. \(-a \in -A\) ve \(s\) üst sınır olduğundan \(-a \le s\), yani \(-s \le a\). Demek ki \(-s\) bir alt sınırdır.

(I2) \(m'\), \(A\)’nın herhangi bir alt sınırı olsun. Yukarıdaki gibi \(-m'\), \(-A\)’nın bir üst sınırıdır; \(s\) en küçük üst sınır olduğundan \(s \le -m'\), yani \(m' \le -s\).

Her iki koşul sağlandığından \(\inf A = -s = -\sup(-A)\).

\(\blacksquare\)

Bu teorem sayesinde “alttan sınırlı, boş olmayan her kümenin infimumu vardır” ifadesi de elimizdedir; ileride ikisini birlikte “Tamlık Aksiyomu gereği” diyerek kullanacağız.

Aralıklar ve Sınırsız Kümeler

En sık karşılaşılan kümeler aralıklardır. Uç noktaların aralığa ait olup olmaması supremumu ve infimumu değiştirmez.

Önerme 9.4 (Aralıkların Supremumu ve İnfimumu) \(a, b \in \mathbb{R}\) ve \(a < b\) olsun.

1. \(I\), \((a, b)\), \([a, b]\), \((a, b]\), \([a, b)\) aralıklarından biri ise \(\sup I = b\) ve \(\inf I = a\)’dır.
2. \((a, \infty)\) ve \([a, \infty)\) aralıklarının infimumu \(a\)’dır ve bu aralıklar üstten sınırsızdır. \((-\infty, b)\) ve \((-\infty, b]\) aralıklarının supremumu \(b\)’dir ve bu aralıklar alttan sınırsızdır.

İspat

Madde (1). \(I\)’nın her \(x\) elemanı için \(a \le x \le b\) olduğundan \(b\) bir üst sınır, \(a\) bir alt sınırdır. \(I\)’nın her dört biçiminde de \((a, b) \subset I\) olduğunu kullanacağız.

\(M < b\) olsun ve \(c = \max\{a, M\}\) diyelim (Tanım 7.4). \(a < b\) ve \(M < b\) olduğundan \(c < b\)’dir. Önerme 7.11 gereği \(d = \dfrac{c + b}{2}\) için \(c < d < b\) olur. \(a \le c < d\) olduğundan \(d \in (a, b) \subset I\)’dır ve \(M \le c < d\)’dir. Yani \(M\) bir üst sınır değildir. (S2) sağlanır ve \(\sup I = b\).

İnfimum için \(m > a\) olsun ve \(c' = \min\{b, m\}\) diyelim; \(a < c'\)’dür. \(d' = \dfrac{a + c'}{2}\) için \(a < d' < c' \le b\), yani \(d' \in I\) ve \(d' < c' \le m\). Demek ki \(m\) bir alt sınır değildir ve \(\inf I = a\).

Madde (2). \(J = (a, \infty)\) ya da \(J = [a, \infty)\) olsun. \(a\) bir alt sınırdır. \(m > a\) ise \(\dfrac{a + m}{2}\) sayısı \(J\)’ye aittir ve \(m\)’den küçüktür; dolayısıyla \(\inf J = a\). Üstten sınırsızlık için \(M \in \mathbb{R}\) verilsin. \(x = \max\{a, M\} + 1\) sayısı \(a\)’dan büyük olduğundan \(J\)’dedir ve \(x > M\)’dir; hiçbir \(M\) üst sınır olamaz. \((-\infty, b)\) ve \((-\infty, b]\) için ispat simetriktir: \(\dfrac{M + b}{2}\) ve \(\min\{b, m\} - 1\) sayıları kullanılır.

\(\blacksquare\)

Örneğin \(\sup(-\infty, 1) = 1\)’dir ama \(1 \notin (-\infty, 1)\) olduğundan bu aralığın maksimumu yoktur; \(\sup [0, 2] = \max [0, 2] = 2\)’dir; \((2, \infty)\) aralığının infimumu \(2\)’dir, minimumu ve supremumu yoktur.

Üstten sınırsız bir kümenin supremumu bir reel sayı olarak yoktur. Yine de bu durumu kısaca yazmak çok işe yarar.

Tanım 9.5 (Sonsuz Supremum ve İnfimum Gösterimi) \(A \subset \mathbb{R}\) olsun.

• \(A\) boş değil ve üstten sınırsız ise \(\sup A = +\infty\) yazılır.
• \(A\) boş değil ve alttan sınırsız ise \(\inf A = -\infty\) yazılır.
• Boş küme için \(\sup \varnothing = -\infty\) ve \(\inf \varnothing = +\infty\) yazılır.

Yani bu eşitlikler birer kısaltmadır; \(+\infty\) ve \(-\infty\) reel sayı değildir. “\(\sup A = +\infty\)” cümlesi “\(A\) üstten sınırsızdır” demenin kısa yoludur. Boş küme için yapılan seçim de mantıklıdır. Üst sınır tanımını boş kümeye aynen uygularsak her reel sayı bir üst sınır olur, çünkü “her \(a \in \varnothing\) için \(a \le M\)” önermesinde sınanacak hiçbir \(a\) yoktur. Üst sınırlar kümesi \(\mathbb{R}\)’nin tamamı olur ve bu kümenin “en küçüğü” olarak yalnızca \(-\infty\) düşünülebilir. Aynı nedenle \(\inf \varnothing = +\infty\)’dur. Bu gösterimle \(\inf \varnothing > \sup \varnothing\) olur. Demek ki Önerme 9.1 (3)’teki \(\inf A \le \sup A\) eşitsizliği yalnızca boş olmayan kümeler için geçerlidir.

Bu gösterimle Tamlık Aksiyomu ve Teorem 9.3 şöyle özetlenebilir: boş olmayan her \(A \subset \mathbb{R}\) kümesinin supremumu ya bir reel sayıdır ya da \(+\infty\)’dur; infimumu ise ya bir reel sayıdır ya da \(-\infty\)’dur. Örneğin \(\sup (2, \infty) = +\infty\) ve \(\inf (-\infty, 2] = -\infty\)’dur. Bir sonraki bölümde, doğal sayıları kurduktan sonra \(\sup \mathbb{N} = +\infty\) olduğunu göreceğiz (Teorem 10.9).

Epsilon ölçütünü bir fonksiyonun aldığı değerlerin kümesine uygulayalım.

Örnek 9.5 (Bir Kesrin Değerler Kümesi) \(A = \left\{ \dfrac{x^2}{1 + x^2} : x \in \mathbb{R} \right\}\) kümesi için \(\inf A = \min A = 0\) ve \(\sup A = 1\) olduğunu, \(\max A\)’nın olmadığını gösteriniz.

f(x) = x²/(1 + x²) fonksiyonunun grafiği. Değerler kümesi A (düşey eksende kalın çizili) 0'dan başlar ve 1'e istenildiği kadar yaklaşır, ama 1'e hiç ulaşmaz: min A = 0, sup A = 1 ve 1 ∉ A.

Çözüm

\(f(x) = \dfrac{x^2}{1 + x^2}\) diyelim; \(A\), \(f\)’nin aldığı değerlerin kümesidir.

İnfimum. Her \(x\) için \(x^2 \ge 0\) ve \(1 + x^2 \ge 1 > 0\) olduğundan \(f(x) \ge 0\)’dır; \(0\) bir alt sınırdır. \(f(0) = 0\) olduğundan \(0 \in A\)’dır. Kümeye ait bir alt sınır minimumdur: \(\min A = 0\) ve Önerme 9.3 gereği \(\inf A = 0\).

Üst sınır. Her \(x\) için \(x^2 < 1 + x^2\)’dir. İki tarafı pozitif sayı \(1 + x^2\)’ye bölersek \(f(x) < 1\) olur. Demek ki \(1\) bir üst sınırdır.

Epsilon koşulu. \(1 - f(x)\) farkını sadeleştirelim:

\[1 - \frac{x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2 - x^2}{1 + x^2} = \frac{1}{1 + x^2}.\]

\(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(x = 1 + \dfrac{1}{\varepsilon}\) alalım. \(x > 1\) olduğundan iki tarafı pozitif \(x\) ile çarparak (O4) \(x^2 > x\) buluruz. Ayrıca \(x > \dfrac{1}{\varepsilon}\)’dur. Dolayısıyla

\[1 + x^2 > x^2 > x > \frac{1}{\varepsilon}\]

olur. İki taraf da pozitif olduğundan buradan \(\dfrac{1}{1 + x^2} < \varepsilon\), yani \(1 - \varepsilon < f(x)\) bulunur ve \(f(x) \in A\)’dır. Teorem 9.1 gereği \(\sup A = 1\).

Maksimum yoktur. \(f(x) = 1\) olsaydı \(x^2 = 1 + x^2\), yani \(0 = 1\) olurdu. Demek ki \(1 \notin A\) ve Önerme 9.3 gereği \(\max A\) yoktur.

Aslında \(A = [0, 1)\)’dir: \(0 \le y < 1\) olan her \(y\) için \(x^2 = \dfrac{y}{1 - y}\) denklemini sağlayan bir \(x\) bulunur. Bunu görmek için negatif olmayan sayıların karekökünün var olduğunu bilmek gerekir; bu olguyu Tamlık Aksiyomu ile ileride kanıtlayacağız (Teorem 13.2). Yukarıdaki çözüm karekök kullanmadığı için şimdiden geçerlidir.

\(\blacksquare\)

9.5 Supremumun Özellikleri

Supremum, kümeler üzerindeki basit işlemlerle uyumludur. Aşağıdaki özellikler ileride dizilerin limitleriyle ilgili teoremlerde defalarca kullanılacaktır. Gösterimi sabitleyelim: \(A, B \subset \mathbb{R}\) boş olmayan kümeler ve \(c \in \mathbb{R}\) için

\[cA = \{ca : a \in A\}, \qquad A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}.\]

Önerme 9.5 (Supremumun Özellikleri) \(A, B \subset \mathbb{R}\) boş olmayan kümeler olsun.

1. Alt küme. \(A \subset B\) ve \(B\) üstten sınırlıysa \(A\) da üstten sınırlıdır ve \(\sup A \le \sup B\). Benzer biçimde \(B\) alttan sınırlıysa \(\inf B \le \inf A\).
2. Pozitif sabitle çarpma. \(c > 0\) ve \(A\) üstten sınırlıysa \(\sup(cA) = c \sup A\); \(A\) alttan sınırlıysa \(\inf(cA) = c \inf A\).
3. Aynalama. \(A\) alttan sınırlıysa \(\sup(-A) = -\inf A\); \(A\) üstten sınırlıysa \(\inf(-A) = -\sup A\).
4. Toplam. \(A\) ve \(B\) üstten sınırlıysa \(\sup(A + B) = \sup A + \sup B\); alttan sınırlıysa \(\inf(A + B) = \inf A + \inf B\).

İspat

1. \(\sup B\), \(B\)’nin bir üst sınırıdır; \(A \subset B\) olduğundan her \(a \in A\) aynı zamanda \(B\)’nin elemanıdır ve \(a \le \sup B\) sağlar. Demek ki \(\sup B\), \(A\)’nın da bir üst sınırıdır; \(A\) üstten sınırlıdır ve Tamlık Aksiyomu gereği \(\sup A\) vardır. (S2) koşuluyla \(\sup A \le \sup B\). İnfimum ifadesi aynı biçimde (I2) ile elde edilir.

2. \(s = \sup A\) olsun; \(cs = \sup(cA)\) olduğunu Teorem 9.1 ile gösterelim. Her \(a \in A\) için \(a \le s\) ve \(c > 0\) olduğundan \(ca \le cs\); yani \(cs\), \(cA\)’nın bir üst sınırıdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\dfrac{\varepsilon}{c} > 0\) olduğundan Teorem 9.1 gereği \(s - \dfrac{\varepsilon}{c} < a\) olan bir \(a \in A\) vardır; \(c\) ile çarpınca \(cs - \varepsilon < ca\) olur ve \(ca \in cA\)’dır. Her iki koşul sağlandı: \(\sup(cA) = cs\). İnfimum için aynı ispat Teorem 9.2 ile tekrarlanır.

3. İlk eşitlik Teorem 9.3’ta kanıtlandı: \(\inf A = -\sup(-A)\), yani \(\sup(-A) = -\inf A\). İkincisi için bu eşitliği \(-A\) kümesine uygulayalım: \(A\) üstten sınırlıysa \(-A\) alttan sınırlıdır ve \(-(-A) = A\) olduğundan

\[\sup A = \sup\big(-(-A)\big) = -\inf(-A)\]

elde edilir; buradan \(\inf(-A) = -\sup A\).

4. \(s = \sup A\) ve \(t = \sup B\) olsun. Her \(a \in A\), \(b \in B\) için \(a \le s\) ve \(b \le t\); taraf tarafa toplayınca \(a + b \le s + t\). Demek ki \(s + t\), \(A + B\)’nin bir üst sınırıdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Teorem 9.1’i \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) ile iki kez uygulayalım: \(s - \dfrac{\varepsilon}{2} < a\) olan bir \(a \in A\) ve \(t - \dfrac{\varepsilon}{2} < b\) olan bir \(b \in B\) vardır. Toplayınca

\[(s + t) - \varepsilon < a + b \in A + B\]

olur. Teorem 9.1 gereği \(\sup(A + B) = s + t\). İnfimum ifadesi, üçüncü özellik yardımıyla \(-(A + B) = (-A) + (-B)\) eşitliğinden ya da doğrudan Teorem 9.2 ile elde edilir.

\(\blacksquare\)

UyarıNegatif sabitle çarpma

\(c < 0\) ise çarpma sıralamayı çevirdiği için roller değişir: \(\sup(cA) = c \inf A\) ve \(\inf(cA) = c \sup A\). Bunu görmek için \(cA = (-c)(-A)\) yazıp ikinci ve üçüncü özellikleri art arda uygulamak yeterlidir; \(-c > 0\) olduğundan \(\sup(cA) = (-c)\sup(-A) = (-c)(-\inf A) = c \inf A\).

9.6 Alıştırmalar

Alıştırma 9.1 (Supremum ve İnfimum Alıştırmaları)  

1. \(A\) ve \(B\) üstten sınırlı, boş olmayan kümeler olsun. \(\sup(A \cup B) = \max\{\sup A, \sup B\}\) olduğunu gösteriniz.

2. \(A, B \subset \mathbb{R}\) boş olmayan kümeler ve her \(a \in A\), \(b \in B\) için \(a \le b\) olsun. \(\sup A\) ve \(\inf B\)’nin var olduğunu ve \(\sup A \le \inf B\) sağlandığını gösteriniz.

3. \(A\) sınırlı ve boş olmayan bir küme olsun. \(D = \{a - a' : a, a' \in A\}\) kümesi için \(\sup D = \sup A - \inf A\) olduğunu gösteriniz. ::: {.cozum} a) \(\alpha = \sup A\), \(\beta = \sup B\) ve \(s = \max\{\alpha, \beta\}\) olsun.

Üst sınır: \(x \in A \cup B\) ise ya \(x \in A\) ve \(x \le \alpha \le s\), ya da \(x \in B\) ve \(x \le \beta \le s\). Her hâlde \(x \le s\).

En küçük üst sınır: \(M\), \(A \cup B\)’nin herhangi bir üst sınırı olsun. \(A \subset A \cup B\) olduğundan \(M\), \(A\)’nın da üst sınırıdır; (S2) ile \(\alpha \le M\). Aynı biçimde \(\beta \le M\). İkisinin büyüğü de \(M\)’yi aşamaz: \(s \le M\). Demek ki \(s = \sup(A \cup B)\).

b) \(B \ne \varnothing\) olduğundan bir \(b_0 \in B\) seçelim; hipotez gereği her \(a \in A\) için \(a \le b_0\), yani \(A\) üstten sınırlıdır ve Tamlık Aksiyomu ile \(\sup A\) vardır. Benzer biçimde herhangi bir \(a_0 \in A\), \(B\)’nin alt sınırıdır; Teorem 9.3 ile \(\inf B\) vardır.

Şimdi keyfi bir \(b \in B\) alalım. Her \(a \in A\) için \(a \le b\) olduğundan \(b\), \(A\)’nın bir üst sınırıdır; (S2) ile \(\sup A \le b\). Bu her \(b \in B\) için doğru olduğundan \(\sup A\), \(B\)’nin bir alt sınırıdır; (I2) ile \(\sup A \le \inf B\).

c) \(D = A + (-A)\) olduğuna dikkat edelim: \(a - a' = a + (-a')\) ve \(-a' \in -A\). \(A\) sınırlı olduğundan \(-A\) da sınırlıdır. Önerme 9.5’nin dördüncü ve üçüncü maddeleriyle

\[\sup D = \sup A + \sup(-A) = \sup A + \big(-\inf A\big) = \sup A - \inf A.\]

\(\blacksquare\)

::::

Tamlık Aksiyomu ile reel sayıların aksiyom listesi tamamlandı. Bundan sonraki bölümlerde bu aksiyomların içinde yaşayan tanıdık sayı kümelerini inceleyeceğiz. İlk sırada, “her \(n\) için” biçimindeki önermeleri ispatlamanın aracı olan tümevarımla birlikte doğal sayılar var: Doğal Sayılar ve Tümevarım.