15 Komşuluklar ve Açık Kümeler
Buraya kadar reel sayıların cebirsel ve sıralama yapısını inceledik: toplama, çarpma, eşitsizlikler, supremum ve infimum. Bu bölümden başlayarak üçüncü bir yapıya geçiyoruz: reel sayıların topolojisi (topology). Sözcük Yunanca topos (yer, konum) ve logos (bilim) kelimelerinden gelir; sözlük anlamıyla “yer bilimi” demektir. Geometri, nesnelerin ne kadar büyük olduğuyla ilgilenir: uzunluk ölçer, açı ölçer. Topoloji ise niteliksel sorular sorar: bir nokta bir kümenin içinde mi, sınırında mı, ondan ayrık mı? Kümenin noktaları birbirine “yapışık” mı, yoksa aralarında boşluk var mı?
Bu sorular analiz için hayati önemdedir. Lise yıllarında limit, türev ve süreklilik sezgiyle tanıtılır: bir dizi bir sayıya “yaklaşır”, bir grafik “kopmadan” çizilir. Ne var ki sezgi, kesin bir matematik için yeterli değildir; kesin tanımlar gerekir. Reel sayıların topolojisi tam olarak bu tanımları kurmamızı sağlayan çerçevedir. “Yaklaşmak”, “yakın olmak”, “kopmamak” gibi sözlerin hepsi, bu bölümde tanımlayacağımız komşuluk ve açık küme kavramlarıyla kesinleşecektir.
\(\mathbb{R}\) üzerinde iki noktanın “yakınlığı” mutlak değerle ölçülür: \(x\) ile \(a\) arasındaki uzaklık \(|x-a|\) sayısıdır. Dolayısıyla buradaki bütün topolojik kavramlar, Mutlak Değer bölümünde öğrendiğimiz eşitsizliklere dayanır. Bu fikirler 19. yüzyılın ortalarında Bernard Bolzano (1781–1848), Karl Weierstrass (1815–1897) ve Georg Cantor (1845–1918) tarafından geliştirilmiştir; yalnızca sayı doğrusunu değil, çok daha soyut uzayları da düzenleyen bir dile dönüşmüştür.
15.1 Komşuluklar
“\(x\) sayısı \(a\)’ya yakındır” demek tek başına bir anlam taşımaz: ne kadar yakın? Yakınlığı ölçen bir sayı, bir tolerans vermeliyiz. \(a\)’ya \(\varepsilon\)’dan daha yakın olan sayıların kümesi, bu bölümün temel yapı taşıdır.
Tanım 15.1 (Komşuluk (Açık Yuvar)) \(a \in \mathbb{R}\) ve \(\varepsilon > 0\) bir reel sayı olsun.
\[B(a, \varepsilon) = \{x \in \mathbb{R} : |x - a| < \varepsilon\}\]
kümesine \(a\) merkezli ve \(\varepsilon\) yarıçaplı açık yuvar (open ball) ya da \(a\)’nın \(\varepsilon\)-komşuluğu (neighborhood) denir.
Mutlak değer eşitsizliğini açalım. Önerme 8.6 gereği
\[|x - a| < \varepsilon \iff -\varepsilon < x - a < \varepsilon \iff a - \varepsilon < x < a + \varepsilon\]
olduğundan, \(\mathbb{R}\) üzerinde bir açık yuvar aslında bir açık aralıktır:
\[B(a, \varepsilon) = (a - \varepsilon,\, a + \varepsilon).\]
“Yuvar” sözcüğü, aynı tanımın düzlemde bir daireyi (dairenin içini), uzayda ise içi dolu bir topu verdiğini hatırlatmak için kullanılır; yalnızca yüzeyden ibaret olan küreyi değil. Sayı doğrusunda yuvar, merkezi \(a\) olan bir aralıktan ibarettir.
Limit tanımlarında sık sık “\(a\)’ya yakın ama \(a\)’dan farklı” noktalarla ilgileneceğiz. Bunun için merkezi atılmış komşuluğa ayrı bir ad veriyoruz.
Tanım 15.2 (Delinmiş Komşuluk) \(a \in \mathbb{R}\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(a\)’nın \(\varepsilon\)-komşuluğundan merkez noktanın çıkarılmasıyla elde edilen
\[B^{*}(a, \varepsilon) = B(a, \varepsilon) \setminus \{a\} = \{x \in \mathbb{R} : 0 < |x - a| < \varepsilon\}\]
kümesine \(a\)’nın delinmiş komşuluğu (punctured / deleted neighborhood) denir. Aralık gösterimiyle
\[B^{*}(a, \varepsilon) = (a - \varepsilon,\, a) \cup (a,\, a + \varepsilon).\]
\(0 < |x - a|\) koşulu tam olarak \(x \neq a\) demektir; tanımdaki tek fark budur.
Eşitsizlikte eşitliğe de izin verirsek uç noktalar kümeye katılır.
Tanım 15.3 (Kapalı Komşuluk (Kapalı Yuvar)) \(a \in \mathbb{R}\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun.
\[B[a, \varepsilon] = \{x \in \mathbb{R} : |x - a| \le \varepsilon\} = [a - \varepsilon,\, a + \varepsilon]\]
kümesine \(a\) merkezli ve \(\varepsilon\) yarıçaplı kapalı yuvar (closed ball) ya da \(a\)’nın kapalı komşuluğu denir.
Üç küme arasındaki ilişki açıktır:
\[B^{*}(a, \varepsilon) \subset B(a, \varepsilon) \subset B[a, \varepsilon].\]
Yarıçapı büyüttükçe komşuluk büyür; bu basit gözlemi ileride sık kullanacağız.
Önerme 15.1 (İç İçe Komşuluklar) \(a \in \mathbb{R}\) ve \(0 < \varepsilon_1 < \varepsilon_2\) olsun. O zaman
\[B(a, \varepsilon_1) \subseteq B(a, \varepsilon_2).\]
Aynı kapsama \(B^{*}\) ve \(B[\,\cdot\,]\) için de geçerlidir.
İspat
\(x \in B(a, \varepsilon_1)\) herhangi bir eleman olsun. Tanım gereği \(|x - a| < \varepsilon_1\)’dir. Hipotezden \(\varepsilon_1 < \varepsilon_2\) olduğundan, sıralamanın geçişliliğiyle \(|x - a| < \varepsilon_2\) elde ederiz; bu da \(x \in B(a, \varepsilon_2)\) demektir. \(x\) keyfi olduğundan \(B(a, \varepsilon_1) \subseteq B(a, \varepsilon_2)\)’dir.
Delinmiş komşuluk için aynı akıl yürütme \(0 < |x-a| < \varepsilon_1 < \varepsilon_2\) eşitsizliğiyle, kapalı komşuluk için \(|x - a| \le \varepsilon_1 < \varepsilon_2\) eşitsizliğiyle tekrarlanır.
\(\blacksquare\)
Örnek 15.1 (Komşuluk Hesapları) Aşağıdaki kümeleri aralık olarak yazınız ve son şıktaki üyelik sorusunu yanıtlayınız.
\(B(2, \tfrac{1}{2})\)
\(B^{*}(0, 1)\)
\(B[-1, 3]\)
\(2{,}7\) ve \(2{,}4\) sayıları \(B(3, \tfrac{1}{2})\) kümesine ait midir?
Çözüm
a) \(B(2, \tfrac{1}{2}) = (2 - \tfrac{1}{2},\, 2 + \tfrac{1}{2}) = (\tfrac{3}{2},\, \tfrac{5}{2})\).
b) \(B^{*}(0, 1) = (-1, 0) \cup (0, 1)\); yani \(0 < |x| < 1\) koşulunu sağlayan sayılar.
c) \(B[-1, 3] = [-1 - 3,\, -1 + 3] = [-4, 2]\).
d) \(|2{,}7 - 3| = 0{,}3 < 0{,}5\) olduğundan \(2{,}7 \in B(3, \tfrac{1}{2})\). Öte yandan \(|2{,}4 - 3| = 0{,}6 \ge 0{,}5\) olduğundan \(2{,}4 \notin B(3, \tfrac{1}{2})\).
\(\blacksquare\)
15.2 Açık Kümeler
Bir kümenin “içindeki” noktalarla “kenarındaki” noktalar arasında sezgisel bir fark vardır. \((0, 1)\) aralığında \(\tfrac{1}{2}\) noktasını düşünelim: bu noktanın etrafına küçük bir güvenlik çemberi çizebiliriz, örneğin \((\tfrac{1}{4}, \tfrac{3}{4})\), ve çemberin tamamı kümede kalır. Hatta \(0{,}999\) noktası için bile bu mümkündür; sadece daha küçük bir çember, örneğin \(B(0{,}999,\, 0{,}0005)\) gerekir. Ama \([0, 1]\) aralığındaki \(0\) noktası için ne kadar küçük çizersek çizelim, çemberin sol yarısı kümenin dışına taşar. Her noktasında güvenlik çemberi çizilebilen kümelere özel bir ad veriyoruz.
Tanım 15.4 (Açık Küme) \(U \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(U\)’nun her \(a\) noktası için \(B(a, \varepsilon_a) \subseteq U\) olacak biçimde bir \(\varepsilon_a > 0\) sayısı bulunabiliyorsa \(U\)’ya açık küme (open set) denir. Sembollerle:
\[U \text{ açık} \iff \forall a \in U \;\; \exists \varepsilon_a > 0 : \; B(a, \varepsilon_a) \subseteq U.\]
Yarıçapı \(\varepsilon_a\) diye yazmamızın nedeni, yarıçapın noktaya bağlı olmasıdır: her nokta için ayrı bir yarıçap seçilebilir, tek bir \(\varepsilon\)’un bütün noktalara yetmesi gerekmez. Niceleyicilerin sırası önemlidir: önce nokta verilir, sonra ona uygun yarıçap bulunur.
Tanımın olumsuzlamasını Teorem 2.1 ile yazalım:
\[U \text{ açık değil} \iff \exists a \in U \;\; \forall \varepsilon > 0 : \; B(a, \varepsilon) \not\subseteq U.\]
Yani bir kümenin açık olmadığını göstermek için, her komşuluğu kümenin dışına taşan tek bir nokta bulmak yeterlidir.
Adından da beklendiği gibi açık aralıklar açık kümelerdir. Bu, bu bölümün ilk gerçek teoremidir ve ispatındaki “en yakın uca olan uzaklığı yarıçap seç” fikri defalarca karşımıza çıkacaktır.
Önerme 15.2 (Açık Aralıklar Açıktır) \(a, b \in \mathbb{R}\) ve \(a < b\) olsun. \((a, b)\) açık aralığı bir açık kümedir.
İspat
\(x \in (a, b)\) keyfi bir nokta olsun. Amacımız, tamamı aralığın içinde kalan bir \(x\)-komşuluğu bulmaktır. \(x\)’in iki uca olan uzaklıklarına bakalım ve yarıçap olarak bunların küçüğünü seçelim (Tanım 7.4):
\[\varepsilon = \min\{x - a,\; b - x\}.\]
\(x \in (a, b)\) olduğundan \(x > a\) ve \(x < b\); yani \(x - a > 0\) ve \(b - x > 0\), dolayısıyla \(\varepsilon > 0\)’dır.
Şimdi \(B(x, \varepsilon) \subseteq (a, b)\) olduğunu gösterelim. \(y \in B(x, \varepsilon)\) olsun; yani \(|y - x| < \varepsilon\). Önerme 8.6 ile
\[-\varepsilon < y - x < \varepsilon \implies x - \varepsilon < y < x + \varepsilon.\]
Minimumun tanımından \(\varepsilon \le x - a\)’dır; bu eşitsizliği \(x - \varepsilon \ge a\) biçiminde yazarsak
\[a \le x - \varepsilon < y\]
elde ederiz. Benzer biçimde \(\varepsilon \le b - x\), yani \(x + \varepsilon \le b\) olduğundan
\[y < x + \varepsilon \le b.\]
Sonuç olarak \(a < y < b\), yani \(y \in (a, b)\)’dir. \(y\) keyfi olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq (a, b)\) bulunur. \(x\) de keyfi seçildiğinden \((a, b)\) açıktır.
\(\blacksquare\)
Bu önerme sayesinde komşulukların kendileri de açık kümedir; aksi hâlde “açık yuvar” adı yerini bulmazdı.
Sonuç 15.1 (Komşuluklar Açıktır) Her \(a \in \mathbb{R}\) ve her \(\varepsilon > 0\) için \(B(a, \varepsilon) = (a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) açık bir kümedir.
İspat
\(\varepsilon > 0\) olduğundan \(a - \varepsilon < a + \varepsilon\)’dur; dolayısıyla \(B(a, \varepsilon) = (a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) bir açık aralıktır ve Önerme 15.2 gereği açıktır.
\(\blacksquare\)
Sınırsız aralıklar için de aynı sonuç geçerlidir; ispat daha da kısadır, çünkü yalnızca bir uç vardır.
Önerme 15.3 (Sınırsız Açık Aralıklar Açıktır) Her \(a, b \in \mathbb{R}\) için \((a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : x > a\}\) ve \((-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} : x < b\}\) kümeleri açıktır.
İspat
\(x \in (a, \infty)\) olsun; \(x > a\) olduğundan \(\varepsilon = x - a > 0\) alabiliriz. \(y \in B(x, \varepsilon)\) ise \(y > x - \varepsilon = x - (x - a) = a\), yani \(y \in (a, \infty)\)’dur. Böylece \(B(x, \varepsilon) \subseteq (a, \infty)\) bulunur ve \((a, \infty)\) açıktır.
\((-\infty, b)\) için \(x < b\) olan bir \(x\) alıp \(\varepsilon = b - x > 0\) seçelim. \(y \in B(x, \varepsilon)\) ise \(y < x + \varepsilon = b\), yani \(y \in (-\infty, b)\)’dir.
\(\blacksquare\)
Şimdi hem açık olan hem de açık olmayan kümelere örnekler verelim; açık olmayan kümelerde, yukarıdaki olumsuzlama biçimini kullanacağız.
Örnek 15.2 (Açık Olan ve Olmayan Kümeler) Aşağıdaki kümelerin açık olup olmadığını belirleyiniz.
\((0, 2)\) ve \((-\sqrt{2}, 4)\)
\([a, b]\) kapalı aralığı (\(a < b\))
\([a, b)\) yarı açık aralığı (\(a < b\))
\(\{a\}\) tek noktalı kümesi
Çözüm
a) Her ikisi de açık aralıktır (\(0 < 2\) ve \(-\sqrt{2} < 4\)); Önerme 15.2 gereği açıktırlar.
b) Açık değildir. Uç nokta \(x = a\)’yı ele alalım. Herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için \(a - \tfrac{\varepsilon}{2}\) sayısına bakalım: \(|(a - \tfrac{\varepsilon}{2}) - a| = \tfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\) olduğundan \(a - \tfrac{\varepsilon}{2} \in B(a, \varepsilon)\)’dur; ama \(a - \tfrac{\varepsilon}{2} < a\) olduğundan bu sayı \([a, b]\)’ye ait değildir. Demek ki hiçbir \(\varepsilon > 0\) için \(B(a, \varepsilon) \subseteq [a, b]\) sağlanmaz. Kümenin bir noktasında güvenlik çemberi çizilemediğinden \([a, b]\) açık değildir. (Aynı sorun \(b\) noktasında da vardır; ama tek nokta yeter.)
c) Açık değildir: \(a \in [a, b)\) noktasında (b) şıkkındaki akıl yürütme aynen geçerlidir; her \(\varepsilon > 0\) için \(a - \tfrac{\varepsilon}{2} \in B(a, \varepsilon) \setminus [a, b)\).
d) Açık değildir. Kümenin tek noktası \(a\)’dır. Herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için \(a + \tfrac{\varepsilon}{2} \in B(a, \varepsilon)\) ama \(a + \tfrac{\varepsilon}{2} \neq a\) olduğundan bu sayı \(\{a\}\)’da değildir. Dolayısıyla \(B(a, \varepsilon) \not\subseteq \{a\}\).
Aynı düşünce daha genel bir sonuç verir: boş olmayan hiçbir sonlu küme açık değildir. Gerçekten \(A\) sonlu ve \(a \in A\) ise, \(B(a, \varepsilon)\) kümesi \(a + \tfrac{\varepsilon}{2},\, a + \tfrac{\varepsilon}{3},\, a + \tfrac{\varepsilon}{4}, \dots\) gibi sonsuz çoklukta farklı sayı içerir; sonlu bir küme bunların hepsini barındıramaz, dolayısıyla \(B(a, \varepsilon) \not\subseteq A\).
\(\blacksquare\)
15.3 Açık Kümelerin Temel Özellikleri
Açık kümelerle kesişim ve birleşim işlemleri yaptığımızda sonuç yine açık mı? Aşağıdaki teorem bu soruyu yanıtlar ve modern matematikte “topoloji” sözcüğünün tanımını oluşturur: bir küme üzerinde, bu üç özelliği sağlayan bir alt küme ailesine topoloji, ailenin üyelerine de açık kümeler denir.
Teorem 15.1 (Açık Kümelerin Temel Özellikleri) \(\mathbb{R}\)’nin açık kümeleri aşağıdaki özellikleri sağlar.
\(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}\) açık kümelerdir.
Sonlu çoklukta açık kümenin kesişimi açıktır: \(U_1, \dots, U_n\) açık ise \(U_1 \cap \cdots \cap U_n\) açıktır.
Herhangi (sonlu ya da sonsuz) çoklukta açık kümenin birleşimi açıktır: \(\{U_i\}_{i \in I}\) açık kümelerden oluşan bir aile ise \(\bigcup_{i \in I} U_i\) açıktır.
İspat
(1) Açık küme tanımı “her \(a \in U\) için…” diye başlar. Boş kümenin hiç elemanı olmadığından bu koşul boşlukla doğrudur (vacuously true): koşulu bozacak bir eleman yoktur. Dolayısıyla \(\varnothing\) açıktır.
\(\mathbb{R}\) için: her \(x \in \mathbb{R}\) ve her \(\varepsilon > 0\) için \(B(x, \varepsilon)\), reel sayılardan oluşan bir küme olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq \mathbb{R}\)’dir. Örneğin \(\varepsilon_x = 1\) seçmek yeter.
(2) \(U_1, \dots, U_n\) açık kümeler ve \(U = \bigcap_{i=1}^{n} U_i\) olsun. \(U = \varnothing\) ise (1) gereği açıktır. \(U \neq \varnothing\) olsun ve \(x \in U\) keyfi bir nokta olsun. Kesişimin tanımı gereği her \(i = 1, \dots, n\) için \(x \in U_i\)’dir. Her \(U_i\) açık olduğundan, her \(i\) için
\[B(x, \varepsilon_i) \subseteq U_i\]
olacak biçimde bir \(\varepsilon_i > 0\) vardır. Bu yarıçapların en küçüğünü alalım:
\[\varepsilon = \min\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n\}.\]
Sonlu çoklukta pozitif sayının minimumu, bunlardan biridir; dolayısıyla \(\varepsilon > 0\)’dır. (Bu adım ispatın kalbidir; sonsuz çoklukta küme olsaydı böyle bir pozitif minimum bulunmayabilirdi.) Her \(i\) için \(\varepsilon \le \varepsilon_i\) olduğundan (\(\varepsilon = \varepsilon_i\) ise iki komşuluk aynıdır, \(\varepsilon < \varepsilon_i\) ise Önerme 15.1 gereği)
\[B(x, \varepsilon) \subseteq B(x, \varepsilon_i) \subseteq U_i \qquad (i = 1, \dots, n).\]
\(B(x, \varepsilon)\) kümesi bütün \(U_i\)’lerin alt kümesi olduğundan kesişimlerinin de alt kümesidir: \(B(x, \varepsilon) \subseteq U\). \(x\) keyfi olduğundan \(U\) açıktır.
(3) \(\{U_i\}_{i \in I}\) açık kümelerden oluşan bir indisli aile (Tanım 3.8) ve \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) olsun. \(x \in U\) keyfi olsun. Birleşimin tanımı gereği \(x \in U_{i_0}\) olacak biçimde en az bir \(i_0 \in I\) indisi vardır. \(U_{i_0}\) açık olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq U_{i_0}\) sağlayan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Bir ailenin her üyesi birleşimin alt kümesi olduğundan \(U_{i_0} \subseteq U\)’dur ve
\[B(x, \varepsilon) \subseteq U_{i_0} \subseteq U.\]
Böylece \(U\) açıktır. Burada indis kümesinin sonlu ya da sonsuz olması hiçbir rol oynamadı: yalnızca \(x\)’i içeren tek bir üyeye ihtiyaç duyduk.
\(\blacksquare\)
Bu teorem, karmaşık kümelerin açık olduğunu tek tek noktalarda \(\varepsilon\) aramadan göstermemizi sağlar: küme, açık aralıkların birleşimi ya da sonlu sayıda açık kümenin kesişimi olarak yazılabiliyorsa açıktır. Ama (2)’deki “sonlu” sözcüğü vazgeçilmezdir.
Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(U_n = \left(-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}\right)\) açık aralıklarını alalım. İddia:
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right) = \{0\}.\]
Gerçekten, her \(n\) için \(-\tfrac{1}{n} < 0 < \tfrac{1}{n}\) olduğundan \(0\) bütün \(U_n\)’lere aittir. Tersine, \(x \neq 0\) olsun; o zaman \(|x| > 0\)’dır ve Sonuç 12.2 gereği \(\tfrac{1}{n_0} < |x|\) olacak biçimde bir \(n_0 \in \mathbb{N}\) vardır. Oysa \(U_{n_0} = B(0, \tfrac{1}{n_0})\) kümesinin elemanları \(|x| < \tfrac{1}{n_0}\) koşulunu sağlar; demek ki \(x \notin U_{n_0}\) ve \(x\) kesişime ait değildir. Kesişim yalnızca \(\{0\}\) kümesidir.
Oysa Örnek 15.2 (d) gereği tek noktalı küme açık değildir. Demek ki sonsuz çoklukta açık kümenin kesişimi açık olmak zorunda değildir. İspatta neyin bozulduğuna dikkat edin: \(0\) noktası için \(U_n\)’lerdeki yarıçaplar \(\varepsilon_n = \tfrac{1}{n}\) alınabilir, ama bunların pozitif bir minimumu yoktur; yarıçaplar \(0\)’a “iner”.
Teoremin (3) şıkkının hemen bir sonucu olarak delinmiş komşuluklar da açıktır.
Sonuç 15.2 (Delinmiş Komşuluklar Açıktır) Her \(a \in \mathbb{R}\) ve her \(\varepsilon > 0\) için delinmiş komşuluk \(B^{*}(a, \varepsilon)\) açık bir kümedir.
İspat
Tanım 15.2 gereği
\[B^{*}(a, \varepsilon) = (a - \varepsilon, a) \cup (a, a + \varepsilon)\]
olup \(\varepsilon > 0\) olduğundan \(a - \varepsilon < a < a + \varepsilon\)’dur; yani sağdaki iki küme birer açık aralıktır ve Önerme 15.2 gereği açıktır. Teorem 15.1 (3) ile bunların birleşimi de açıktır.
\(\blacksquare\)
Aynı yöntemle daha ilginç kümelerin de açık olduğu görülür.
Örnek 15.3 (Sonlu Bir Kümenin Tümleyeni Açıktır) \(F = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}\) sonlu bir küme olsun.
\(\mathbb{R} \setminus F\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
\(U\) açık bir küme ise \(U \setminus F\) kümesinin de açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Önce tek bir noktanın tümleyenine bakalım. Her \(i\) için
\[\mathbb{R} \setminus \{a_i\} = (-\infty, a_i) \cup (a_i, \infty)\]
olup sağ taraftaki iki sınırsız aralık Önerme 15.3 gereği açıktır; birleşimleri Teorem 15.1 (3) ile açıktır. Şimdi De Morgan kuralını (Teorem 3.3) uygulayalım:
\[\mathbb{R} \setminus F = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{i=1}^{n} \{a_i\} = \bigcap_{i=1}^{n} \left(\mathbb{R} \setminus \{a_i\}\right).\]
Sağ taraf, sonlu çoklukta açık kümenin kesişimidir; Teorem 15.1 (2) gereği açıktır.
b) Küme farkının tanımı gereği \(U \setminus F = U \cap (\mathbb{R} \setminus F)\)’dir. \(U\) hipotez gereği, \(\mathbb{R} \setminus F\) ise (a) şıkkı gereği açıktır; iki açık kümenin kesişimi Teorem 15.1 (2) ile açıktır.
Somut bir örnek: \((0, 1) \setminus \{\tfrac{1}{2}\} = (0, \tfrac{1}{2}) \cup (\tfrac{1}{2}, 1)\) açıktır. Bu, \(\tfrac{1}{2}\) merkezli \(\tfrac{1}{2}\) yarıçaplı delinmiş komşuluktan başka bir şey değildir.
\(\blacksquare\)
15.4 İç Nokta ve Bir Kümenin İçi
Açık küme tanımındaki “etrafına güvenlik çemberi çizilebilen nokta” fikrini, kümenin açık olup olmamasından bağımsız olarak, tek tek noktalar için de kullanabiliriz. Böylece her kümenin “gerçekten içeride” olan noktalarını ayırt edebiliriz.
Tanım 15.5 (İç Nokta) \(A \subseteq \mathbb{R}\) ve \(a \in A\) olsun. \(B(a, \varepsilon) \subseteq A\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) varsa \(a\)’ya \(A\)’nın bir iç noktası (interior point) denir.
Tanım 15.6 (Bir Kümenin İçi) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(A\)’nın bütün iç noktalarının kümesine \(A\)’nın içi (interior) denir ve \(A^{\circ}\) ile gösterilir:
\[A^{\circ} = \{a \in A : \exists \varepsilon > 0,\; B(a, \varepsilon) \subseteq A\}.\]
Bu dille açık küme tanımı tek cümleye iner: \(U\) açıktır ancak ve ancak \(U\)’nun her noktası iç noktaysa. Aşağıdaki önerme bu gözlemi ve \(A^{\circ}\) kümesinin temel özelliklerini bir arada verir.
Önerme 15.4 (Bir Kümenin İçinin Temel Özellikleri) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun.
\(A^{\circ} \subseteq A\).
\(A^{\circ}\) açık bir kümedir.
\(A\) açıktır ancak ve ancak \(A = A^{\circ}\).
\(U \subseteq A\) açık bir küme ise \(U \subseteq A^{\circ}\)’dır. Yani \(A^{\circ}\), \(A\)’nın içinde kalan en büyük açık kümedir.
İspat
(1) İç nokta tanımı gereği iç noktalar \(A\)’nın elemanıdır.
(2) \(a \in A^{\circ}\) olsun. Tanım gereği \(B(a, \varepsilon) \subseteq A\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır. \(B(a, \varepsilon)\)’un her noktasının da \(A\)’nın iç noktası olduğunu göstereceğiz; bu, \(B(a, \varepsilon) \subseteq A^{\circ}\) demek olacak ve \(A^{\circ}\)’nın açık olduğunu verecek.
\(y \in B(a, \varepsilon)\) olsun. Sonuç 15.1 gereği \(B(a, \varepsilon)\) açıktır; dolayısıyla \(B(y, \delta) \subseteq B(a, \varepsilon)\) sağlayan bir \(\delta > 0\) vardır. O hâlde \(B(y, \delta) \subseteq B(a, \varepsilon) \subseteq A\), yani \(y\) bir iç noktadır: \(y \in A^{\circ}\). Böylece \(B(a, \varepsilon) \subseteq A^{\circ}\) bulunur ve \(A^{\circ}\) açıktır.
(3) (\(\Rightarrow\)) \(A\) açık olsun. (1) ile \(A^{\circ} \subseteq A\). Tersine \(a \in A\) ise, \(A\) açık olduğundan \(B(a, \varepsilon) \subseteq A\) sağlayan bir \(\varepsilon > 0\) vardır; yani \(a\) iç noktadır ve \(a \in A^{\circ}\). Dolayısıyla \(A = A^{\circ}\).
(\(\Leftarrow\)) \(A = A^{\circ}\) ise (2) gereği \(A\) açıktır.
(4) \(U \subseteq A\) açık ve \(u \in U\) olsun. \(U\) açık olduğundan \(B(u, \varepsilon) \subseteq U \subseteq A\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır; yani \(u\), \(A\)’nın bir iç noktasıdır: \(u \in A^{\circ}\). Böylece \(U \subseteq A^{\circ}\). “En büyük” ifadesi bunun özetidir: \(A^{\circ}\) açıktır, \(A\)’nın içindedir ve \(A\)’nın içindeki her açık kümeyi kapsar.
\(\blacksquare\)
Örnek 15.4 (İç Hesapları) Aşağıdaki kümelerin içini bulunuz.
\([a, b]\) (\(a < b\))
\(\mathbb{Q}\)
\(\mathbb{Z}\)
Çözüm
a) \([a, b]^{\circ} = (a, b)\). Gerçekten \((a, b) \subseteq [a, b]\) açık olduğundan Önerme 15.4 (4) ile \((a, b) \subseteq [a, b]^{\circ}\). Öte yandan \(a\) ve \(b\) iç nokta değildir: Örnek 15.2 (b)’de gördüğümüz gibi \(a\)’nın her komşuluğu \([a, b]\)’nin dışına taşar; \(b\) için de \(b + \tfrac{\varepsilon}{2}\) sayısı aynı işi görür. \([a, b]\)’nin \(a\) ve \(b\) dışındaki noktaları zaten \((a, b)\)’dedir. Dolayısıyla \([a, b]^{\circ} = (a, b)\).
b) \(\mathbb{Q}^{\circ} = \varnothing\). \(q \in \mathbb{Q}\) ve \(\varepsilon > 0\) herhangi olsun. Teorem 13.6 gereği \((q - \varepsilon, q + \varepsilon)\) aralığında bir irrasyonel sayı \(t\) vardır; \(t \in B(q, \varepsilon)\) ama \(t \notin \mathbb{Q}\). Dolayısıyla hiçbir komşuluk \(\mathbb{Q}\)’nun içinde kalmaz; \(q\) iç nokta değildir. \(q\) keyfi olduğundan \(\mathbb{Q}\)’nun hiç iç noktası yoktur. Özellikle Önerme 15.4 (3) gereği \(\mathbb{Q}\) açık değildir.
c) \(\mathbb{Z}^{\circ} = \varnothing\). \(n \in \mathbb{Z}\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(n + \tfrac{\varepsilon}{2}\) ile \(n + \tfrac{1}{2}\) sayılarından küçüğünü \(y\) diyelim; \(y - n = \min\{\tfrac{\varepsilon}{2}, \tfrac{1}{2}\}\) olduğundan \(0 < y - n < \varepsilon\), yani \(y \in B(n, \varepsilon)\); ayrıca \(n < y \le n + \tfrac{1}{2} < n + 1\) olduğundan \(y\) bir tam sayı değildir (ardışık iki tam sayı arasında tam sayı yoktur; Lemma 11.1). Demek ki \(B(n, \varepsilon) \not\subseteq \mathbb{Z}\) ve \(n\) iç nokta değildir.
\(\blacksquare\)
15.5 Alıştırmalar
Alıştırma 15.1 (Komşuluklar ve Açık Kümeler)
Kapalı komşuluk \(B[a, \varepsilon]\)’un açık olmadığını gösteriniz.
\(A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 > 1\}\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
\(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n},\; 1 + \frac{1}{n}\right)\) kesişimini hesaplayınız. Sonuç açık mıdır?
Her açık kümenin açık aralıkların birleşimi olarak yazılabileceğini gösteriniz.
\(A, B \subseteq \mathbb{R}\) için \((A \cap B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(B[a, \varepsilon] = [a - \varepsilon, a + \varepsilon]\) bir kapalı aralıktır ve \(a - \varepsilon < a + \varepsilon\)’dur. Örnek 15.2 (b) gereği kapalı aralıklar açık değildir: \(a - \varepsilon\) ucunun her \(\delta\)-komşuluğu, \(a - \varepsilon - \tfrac{\delta}{2}\) gibi kümeye ait olmayan sayılar içerir.
b) Önce kümeyi aralıklarla yazalım. \(x^2 > 1 \iff x^2 - 1 > 0 \iff (x - 1)(x + 1) > 0\); çarpımın pozitif olması için iki çarpan aynı işaretli olmalıdır (sıralama aksiyomlarının işaret kuralları, Bölüm 7.1). \(x - 1 > 0\) ve \(x + 1 > 0\) birlikte \(x > 1\) demektir; \(x - 1 < 0\) ve \(x + 1 < 0\) birlikte \(x < -1\) demektir. Dolayısıyla
\[A = (-\infty, -1) \cup (1, \infty).\]
Her iki parça Önerme 15.3 gereği açıktır ve birleşimleri Teorem 15.1 (3) ile açıktır.
c) İddia: kesişim \([0, 1]\) kapalı aralığıdır. \(x \in [0, 1]\) ise her \(n\) için \(-\tfrac{1}{n} < 0 \le x \le 1 < 1 + \tfrac{1}{n}\); yani \(x\) bütün aralıklara aittir. Tersine \(x \notin [0, 1]\) olsun. \(x < 0\) ise \(|x| = -x > 0\) olduğundan Sonuç 12.2 ile \(\tfrac{1}{n_0} < -x\), yani \(x < -\tfrac{1}{n_0}\) sağlayan bir \(n_0\) vardır ve \(x\), \(n_0\)-inci aralığa ait değildir. \(x > 1\) ise \(x - 1 > 0\) ve aynı sonuçla \(\tfrac{1}{n_0} < x - 1\), yani \(x > 1 + \tfrac{1}{n_0}\) olan bir \(n_0\) vardır. Her iki durumda \(x\) kesişimin dışındadır. Sonuç \([0, 1]\)’dir ve Örnek 15.2 (b) gereği açık değildir: sonsuz kesişimin açıklığı bozduğuna bir örnek daha.
d) \(U\) açık olsun. Her \(a \in U\) için \(B(a, \varepsilon_a) \subseteq U\) olacak biçimde bir \(\varepsilon_a > 0\) seçelim. İddia:
\[U = \bigcup_{a \in U} B(a, \varepsilon_a).\]
(\(\supseteq\)) Her \(B(a, \varepsilon_a)\), \(U\)’nun alt kümesi olduğundan birleşimleri de \(U\)’nun alt kümesidir. (\(\subseteq\)) \(a \in U\) ise \(a \in B(a, \varepsilon_a)\) (çünkü \(|a - a| = 0 < \varepsilon_a\)), dolayısıyla \(a\) birleşime aittir. Her \(B(a, \varepsilon_a)\) bir açık aralık olduğundan \(U\), açık aralıkların birleşimidir. (Tersi zaten Teorem 15.1 (3)’te gösterilmişti: açık aralıkların her birleşimi açıktır. Demek ki \(\mathbb{R}\)’nin açık kümeleri tam olarak açık aralıkların birleşimleridir.)
e) Önce basit bir gözlem: \(X \subseteq Y\) ise \(X^{\circ} \subseteq Y^{\circ}\)’dır; çünkü \(B(x, \varepsilon) \subseteq X\) ise \(B(x, \varepsilon) \subseteq Y\)’dir.
(\(\subseteq\)) \(A \cap B \subseteq A\) ve \(A \cap B \subseteq B\) olduğundan gözlemle \((A \cap B)^{\circ} \subseteq A^{\circ}\) ve \((A \cap B)^{\circ} \subseteq B^{\circ}\); yani \((A \cap B)^{\circ} \subseteq A^{\circ} \cap B^{\circ}\).
(\(\supseteq\)) \(A^{\circ}\) ve \(B^{\circ}\), Önerme 15.4 (2) gereği açıktır; kesişimleri Teorem 15.1 (2) ile açıktır. Ayrıca Önerme 15.4 (1) ile \(A^{\circ} \cap B^{\circ} \subseteq A \cap B\). Demek ki \(A^{\circ} \cap B^{\circ}\), \(A \cap B\)’nin içinde kalan bir açık kümedir; Önerme 15.4 (4) gereği \(A^{\circ} \cap B^{\circ} \subseteq (A \cap B)^{\circ}\).
\(\blacksquare\)
Açık kümeler, “her noktasının etrafında nefes alacak yer olan” kümelerdir. Bir sonraki bölümde bunların tümleyenlerini, yani kapalı kümeleri inceleyeceğiz ve “kapalı” sözcüğünün “açık olmayan” anlamına gelmediğini göreceğiz: Kapalı Kümeler.