16 Kapalı Kümeler
Önceki bölümde “her noktasının etrafında güvenlik çemberi çizilebilen” kümeleri, yani açık kümeleri tanıdık. Bu bölümde onların tümleyenlerine bakıyoruz: kapalı kümeler. Kapalı kümeler, ileride göreceğimiz gibi, “limitlerini içeren” kümelerdir; bir dizi kapalı bir kümenin içinde ilerliyorsa limiti de o kümede kalır. Bu özellik, analizde kapalı kümeleri açık kümeler kadar önemli kılar.
Ancak baştan bir uyarı gerekir. Günlük dilde bir kapı ya açıktır ya kapalı; üçüncü bir seçenek yoktur. Matematikte “kapalı”, “açık olmayan” anlamına gelmez. Bir küme hem açık hem kapalı olabilir; ne açık ne kapalı da olabilir. Bu bölümde her iki türe de örnek göreceğiz.
16.1 Kapalı Küme Tanımı
Açık kümeyi noktalar üzerinden tanımlamıştık: her noktanın etrafında kümede kalan bir komşuluk vardır. Kapalı kümeyi ise doğrudan tanımlamak yerine, tümleyeni üzerinden tanımlıyoruz. Sezgi şudur: kapalı bir küme “kenarını” da içerir, bu yüzden kümenin dışındaki her noktanın etrafında kümeye hiç değmeyen bir boşluk vardır.
Tanım 16.1 (Kapalı Küme) \(F \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(F\)’nin tümleyeni \(\mathbb{R} \setminus F\) (kısaca \(F^{c}\)) \(\mathbb{R}\)’de açık bir küme ise \(F\)’ye kapalı küme (closed set) denir.
Tanımı doğrudan noktalarla okuyalım: \(F\) kapalıdır ancak ve ancak \(F\)’nin dışındaki her \(a\) noktasının, \(F\) ile hiç kesişmeyen bir komşuluğu varsa. Yani kümenin dışındaki noktalar, kümeden “belli bir uzaklıkta” durur; kümeye sonsuz yakın olup da ona ait olmayan nokta yoktur.
Tümleyenin tümleyeni kümenin kendisidir: \(x \in \mathbb{R} \setminus (\mathbb{R} \setminus A) \iff x \notin \mathbb{R} \setminus A \iff x \in A\). Bu yüzden açıklık ve kapalılık birbirinin aynasıdır.
Önerme 16.1 (Tümleyen ve Açıklık–Kapalılık) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun.
\(A\) açıktır ancak ve ancak \(\mathbb{R} \setminus A\) kapalıdır.
\(A\) kapalıdır ancak ve ancak \(\mathbb{R} \setminus A\) açıktır.
İspat
(2), kapalı küme tanımının kendisidir.
(1) \(B = \mathbb{R} \setminus A\) diyelim; yukarıdaki gözlemle \(\mathbb{R} \setminus B = A\)’dır. Tanıma göre \(B\) kapalıdır ancak ve ancak \(\mathbb{R} \setminus B\) açıksa; yani ancak ve ancak \(A\) açıksa.
\(\blacksquare\)
Bir \(A\) kümesi için iki bağımsız soru vardır: “\(A\) açık mı?” ve “\(\mathbb{R} \setminus A\) açık mı?” Her sorunun iki yanıtı olduğundan dört olasılık vardır:
| \(A\) açık mı? | \(\mathbb{R} \setminus A\) açık mı? | Sonuç | Örnek |
|---|---|---|---|
| evet | evet | hem açık hem kapalı | \(\varnothing\), \(\mathbb{R}\) |
| evet | hayır | açık, kapalı değil | \((0, 1)\) |
| hayır | evet | kapalı, açık değil | \([0, 1]\) |
| hayır | hayır | ne açık ne kapalı | \([0, 1)\), \(\mathbb{Q}\) |
Bu bölüm boyunca tablodaki örneklerin her birini ispatlayacağız. Bir kümenin açık olmadığını göstermek onun kapalı olduğunu göstermez; kapalılık için tümleyene ayrıca bakmak gerekir.
16.2 Temel Örnekler
Kapalı olduğunu göstermek istediğimiz bir kümenin tümleyenini açık aralıkların birleşimi olarak yazabiliyorsak iş bitmiştir; çünkü Teorem 15.1 (3) gereği açık aralıkların her birleşimi açıktır.
Örnek 16.1 (Kapalı Aralıklar Kapalıdır) \(a, b \in \mathbb{R}\), \(a < b\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. Aşağıdaki kümelerin kapalı olduğunu gösteriniz.
\([a, b]\)
\([a, \infty)\) ve \((-\infty, b]\)
Kapalı komşuluk \(B[a, \varepsilon]\)
Çözüm
a) Tümleyeni yazalım. Bir \(x\) reel sayısı \([a, b]\)’ye ait değilse ya \(x < a\) ya da \(x > b\)’dir (üçlem yasası); tersi de doğrudur. Dolayısıyla
\[\mathbb{R} \setminus [a, b] = (-\infty, a) \cup (b, \infty).\]
Sağdaki iki sınırsız aralık Önerme 15.3 gereği açıktır ve birleşimleri Teorem 15.1 (3) gereği açıktır. Tümleyeni açık olduğundan \([a, b]\) kapalıdır.
b) \(\mathbb{R} \setminus [a, \infty) = (-\infty, a)\) ve \(\mathbb{R} \setminus (-\infty, b] = (b, \infty)\); her ikisi de Önerme 15.3 gereği açıktır.
c) Tanım 15.3 gereği \(B[a, \varepsilon] = [a - \varepsilon, a + \varepsilon]\) bir kapalı aralıktır; (a) şıkkıyla kapalıdır. “Kapalı yuvar” adı böylece hak edilmiş olur.
\(\blacksquare\)
Örnek 16.2 (Tek Noktalı Kümeler Kapalıdır) Her \(a \in \mathbb{R}\) için \(\{a\}\) kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Tümleyen
\[\mathbb{R} \setminus \{a\} = (-\infty, a) \cup (a, \infty)\]
kümesidir: \(x \neq a\) ise üçlem yasasıyla ya \(x < a\) ya da \(x > a\)’dır. İki sınırsız açık aralığın birleşimi Önerme 15.3 ve Teorem 15.1 (3) gereği açıktır. Dolayısıyla \(\{a\}\) kapalıdır.
Öte yandan önceki bölümde (Örnek 15.2 (d)) \(\{a\}\)’nın açık olmadığını görmüştük: tek noktalı küme, tablodaki “kapalı ama açık değil” satırına bir örnektir.
\(\blacksquare\)
Sonlu kümelerin kapalı olduğu, biraz sonra ispatlayacağımız ana teoremin bir sonucudur; oraya geliyoruz. Önce sonsuz ama “seyrek” bir kümeye bakalım: tam sayılar.
Örnek 16.3 (Tam Sayılar Kümesi Kapalıdır) \(\mathbb{Z}\) kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
İddia:
\[\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n, n + 1).\]
Bu eşitliği iki yönlü kapsama ile ispatlayalım.
(\(\subseteq\)) \(x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\) olsun. Teorem 12.3 gereği \(p \le x < p + 1\) olacak biçimde bir \(p \in \mathbb{Z}\) vardır. \(x\) tam sayı olmadığından \(x \neq p\); dolayısıyla \(p < x < p + 1\), yani \(x \in (p, p + 1)\) ve \(x\) birleşime aittir.
(\(\supseteq\)) \(x \in (n, n + 1)\) olsun; \(n \in \mathbb{Z}\) için \(n < x < n + 1\) koşulunu sağlayan bir tam sayı yoktur (Lemma 11.1). Demek ki \(x \notin \mathbb{Z}\), yani \(x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\).
Böylece \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\), açık aralıkların birleşimidir; Önerme 15.2 ve Teorem 15.1 (3) gereği açıktır. Dolayısıyla \(\mathbb{Z}\) kapalıdır.
\(\mathbb{Z}\) açık değildir: hiçbir tam sayı iç nokta değildir, çünkü \(n\)’nin her komşuluğu \(n\) ile \(n + 1\) arasında bir sayı içerir (Örnek 15.4 (c)). Yani \(\mathbb{Z}\) da “kapalı ama açık değil” satırına girer.
\(\blacksquare\)
Şimdi tablonun son satırına, yani ne açık ne kapalı kümelere bakalım. Bunlar için iki şeyi ayrı ayrı göstermek gerekir: kümede güvenlik çemberi çizilemeyen bir nokta ve tümleyende güvenlik çemberi çizilemeyen bir nokta.
Örnek 16.4 (Ne Açık Ne Kapalı Kümeler) Aşağıdaki kümelerin ne açık ne kapalı olduğunu gösteriniz.
\([a, b)\) yarı açık aralığı (\(a < b\))
\(\mathbb{Q}\) rasyonel sayılar kümesi
Çözüm
a) Açık değil. \(a \in [a, b)\) noktasını alalım. Her \(\varepsilon > 0\) için \(a - \tfrac{\varepsilon}{2} \in B(a, \varepsilon)\) ama \(a - \tfrac{\varepsilon}{2} < a\) olduğundan bu sayı \([a, b)\)’de değildir. Demek ki \(B(a, \varepsilon) \not\subseteq [a, b)\).
Kapalı değil. Tümleyen \(\mathbb{R} \setminus [a, b) = (-\infty, a) \cup [b, \infty)\) kümesidir; bunun açık olmadığını göstermeliyiz. \(b\) noktası tümleyendedir. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(c = \min\{\varepsilon, b - a\} > 0\) olmak üzere \(y = b - \tfrac{c}{2}\) alalım. \(|y - b| = \tfrac{c}{2} < \varepsilon\) olduğundan \(y \in B(b, \varepsilon)\)’dur. Ayrıca \(\tfrac{c}{2} \le \tfrac{b - a}{2} < b - a\) olduğundan \(y > a\) ve \(y < b\); yani \(y \in [a, b)\), dolayısıyla \(y\) tümleyende değildir. Böylece \(b\)’nin hiçbir komşuluğu tümleyende kalmaz; tümleyen açık değildir ve \([a, b)\) kapalı değildir.
\((a, b]\) için aynı akıl yürütme uçlar değiştirilerek tekrarlanır.
b) Açık değil. \(q \in \mathbb{Q}\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. Teorem 13.6 gereği \((q - \varepsilon, q + \varepsilon)\) aralığında bir irrasyonel sayı \(t\) vardır. \(t \in B(q, \varepsilon)\) ama \(t \notin \mathbb{Q}\); dolayısıyla \(B(q, \varepsilon) \not\subseteq \mathbb{Q}\). Hiçbir rasyonel sayı iç nokta değildir.
Kapalı değil. Tümleyen, irrasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)’dur. \(t\) irrasyonel ve \(\varepsilon > 0\) olsun. Teorem 13.5 gereği \((t - \varepsilon, t + \varepsilon)\) aralığında bir rasyonel sayı \(q\) vardır; \(q \in B(t, \varepsilon)\) ama \(q \notin \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Dolayısıyla \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) açık değildir ve \(\mathbb{Q}\) kapalı değildir.
Aynı iki adım, rolleri değiştirilerek, irrasyonel sayılar kümesinin de ne açık ne kapalı olduğunu verir. Rasyoneller ile irrasyoneller sayı doğrusunda o kadar iç içedir ki hiçbiri diğerinden bir komşuluk kadar bile ayrılamaz.
\(\blacksquare\)
16.3 Kapalı Kümelerin Temel Özellikleri
Açık kümelerin üç temel özelliği (Teorem 15.1), De Morgan kuralları aracılığıyla kapalı kümelere aktarılır. Ama aktarımda kesişim ile birleşim yer değiştirir: açık kümelerde sonlu kesişim ve keyfi birleşim serbestken, kapalı kümelerde keyfi kesişim ve sonlu birleşim serbesttir.
Teorem 16.1 (Kapalı Kümelerin Temel Özellikleri) \(\mathbb{R}\)’nin kapalı kümeleri aşağıdaki özellikleri sağlar.
\(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}\) kapalı kümelerdir.
Herhangi (sonlu ya da sonsuz) çoklukta kapalı kümenin kesişimi kapalıdır: \(\{F_i\}_{i \in I}\) kapalı kümelerden oluşan bir aile ise \(\bigcap_{i \in I} F_i\) kapalıdır.
Sonlu çoklukta kapalı kümenin birleşimi kapalıdır: \(F_1, \dots, F_n\) kapalı ise \(F_1 \cup \cdots \cup F_n\) kapalıdır.
İspat
İspat boyunca indisli aileler için De Morgan kurallarını (Teorem 3.3) kullanacağız:
\[\mathbb{R} \setminus \bigcup_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} (\mathbb{R} \setminus A_i), \qquad \mathbb{R} \setminus \bigcap_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} (\mathbb{R} \setminus A_i).\]
(1) \(\mathbb{R} \setminus \varnothing = \mathbb{R}\) ve \(\mathbb{R}\) açık olduğundan (Teorem 15.1 (1)) \(\varnothing\) kapalıdır. \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{R} = \varnothing\) ve \(\varnothing\) açık olduğundan \(\mathbb{R}\) kapalıdır. Böylece \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}\) hem açık hem kapalıdır.
(2) \(\{F_i\}_{i \in I}\) kapalı kümelerden oluşan bir aile ve \(F = \bigcap_{i \in I} F_i\) olsun. \(F\)’nin tümleyenine bakalım; De Morgan ile
\[\mathbb{R} \setminus F = \mathbb{R} \setminus \bigcap_{i \in I} F_i = \bigcup_{i \in I} (\mathbb{R} \setminus F_i).\]
Her \(F_i\) kapalı olduğundan her \(\mathbb{R} \setminus F_i\) açıktır. Açık kümelerin keyfi birleşimi açık olduğundan (Teorem 15.1 (3)) sağ taraf açıktır. Tümleyeni açık olan \(F\) kapalıdır.
(3) \(F_1, \dots, F_n\) kapalı ve \(K = \bigcup_{k=1}^{n} F_k\) olsun. De Morgan ile
\[\mathbb{R} \setminus K = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} F_k = \bigcap_{k=1}^{n} (\mathbb{R} \setminus F_k).\]
Her \(\mathbb{R} \setminus F_k\) açıktır ve sonlu çoklukta açık kümenin kesişimi açık olduğundan (Teorem 15.1 (2)) sağ taraf açıktır. Dolayısıyla \(K\) kapalıdır.
\(\blacksquare\)
Bu teorem, kapalı kümeleri parçalara ayırarak tanımamızı sağlar: kapalı aralıkların ve noktaların sonlu birleşimleri, kapalı kümelerin (istediğimiz kadar çok) kesişimleri hep kapalıdır. İlk sonuç, ertelediğimiz sonlu kümelerdir.
Sonuç 16.1 (Sonlu Kümeler Kapalıdır) Her sonlu \(A \subseteq \mathbb{R}\) kümesi kapalıdır.
İspat
\(A = \varnothing\) ise Teorem 16.1 (1) ile kapalıdır. \(A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}\) boş olmayan sonlu bir küme olsun. O zaman
\[A = \{a_1\} \cup \{a_2\} \cup \cdots \cup \{a_n\}\]
biçiminde, sonlu çoklukta tek noktalı kümenin birleşimidir. Örnek 16.2 gereği her \(\{a_k\}\) kapalıdır ve Teorem 16.1 (3) ile sonlu birleşimleri de kapalıdır.
\(\blacksquare\)
Teoremin (3) şıkkındaki “sonlu” sözcüğü, tıpkı açık kümelerdeki sonlu kesişim gibi, vazgeçilmezdir.
Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(F_n = \left[-1 + \tfrac{1}{n},\; 1 - \tfrac{1}{n}\right]\) kapalı aralıklarını alalım (\(F_1 = [0, 0] = \{0\}\), \(F_2 = [-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}]\), \(F_3 = [-\tfrac{2}{3}, \tfrac{2}{3}]\), …). İddia:
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[-1 + \frac{1}{n},\; 1 - \frac{1}{n}\right] = (-1, 1).\]
(\(\subseteq\)) Her \(n\) için \(-1 < -1 + \tfrac{1}{n}\) ve \(1 - \tfrac{1}{n} < 1\) olduğundan \(F_n \subseteq (-1, 1)\)’dir; dolayısıyla birleşim de \((-1, 1)\)’in içindedir.
(\(\supseteq\)) \(x \in (-1, 1)\) olsun; o zaman \(|x| < 1\), yani \(1 - |x| > 0\)’dır. Sonuç 12.2 gereği \(\tfrac{1}{n_0} < 1 - |x|\) olacak biçimde bir \(n_0 \in \mathbb{N}\) vardır. Bu, \(|x| < 1 - \tfrac{1}{n_0}\) demektir; Önerme 8.6 ile \(-1 + \tfrac{1}{n_0} < x < 1 - \tfrac{1}{n_0}\), yani \(x \in F_{n_0}\). Böylece \(x\) birleşime aittir.
Birleşim \((-1, 1)\) açık aralığıdır; uç noktalar \(-1\) ve \(1\)’e istenildiği kadar yaklaşılır ama hiçbir \(F_n\) onları içermez. \((-1, 1)\) kapalı değildir: tümleyeni \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) kümesindeki \(1\) noktasını alalım. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(c = \min\{\varepsilon, 1\}\) olmak üzere \(y = 1 - \tfrac{c}{2}\) diyelim; \(|y - 1| = \tfrac{c}{2} < \varepsilon\) olduğundan \(y \in B(1, \varepsilon)\), ama \(\tfrac{1}{2} \le y < 1\) olduğundan \(y \in (-1, 1)\), yani \(y\) tümleyende değildir. \(1\)’in hiçbir komşuluğu tümleyende kalmaz; tümleyen açık değildir. Sonsuz çoklukta kapalı kümenin birleşimi kapalı olmak zorunda değildir.
Bu örnek, önceki bölümdeki \(\bigcap (-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}) = \{0\}\) örneğinin tam aynasıdır: orada açık kümelerin sonsuz kesişimi kapalı bir küme vermişti, burada kapalı kümelerin sonsuz birleşimi açık bir küme veriyor.
Buna karşılık kesişimde hiçbir kısıtlama yoktur; bunu somut bir hesapla görelim.
Örnek 16.5 (Kapalı Kümelerin Sonsuz Kesişimi) \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left[0,\; 1 + \frac{1}{n}\right]\) kesişimini hesaplayınız ve sonucun kapalı olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
İddia: kesişim \([0, 1]\)’dir.
(\(\supseteq\)) \(x \in [0, 1]\) ise her \(n\) için \(0 \le x \le 1 < 1 + \tfrac{1}{n}\); yani \(x\) her aralığa aittir.
(\(\subseteq\)) \(x\) kesişime ait olsun. Özellikle (\(n = 1\) için) \(x \in [0, 2]\) olduğundan \(x \ge 0\)’dır. \(x > 1\) olduğunu varsayalım; o zaman \(x - 1 > 0\) ve Sonuç 12.2 ile \(\tfrac{1}{n_0} < x - 1\), yani \(x > 1 + \tfrac{1}{n_0}\) olan bir \(n_0\) vardır. Bu, \(x \notin [0, 1 + \tfrac{1}{n_0}]\) demektir; çelişki. Dolayısıyla \(x \le 1\) ve \(x \in [0, 1]\).
Sonuç \([0, 1]\) kapalı aralığıdır ve Örnek 16.1 gereği kapalıdır. Bu, Teorem 16.1 (2) ile uyumludur: kapalı kümelerin sonsuz kesişimi kapalı çıkmak zorundaydı.
\(\blacksquare\)
16.4 Ne Açık Ne Kapalı Bir Küme
Şimdiye kadarki örneklerde kümelerin “kenar” noktaları belliydi. Aşağıdaki küme iki farklı parçadan oluşur ve her parça ayrı bir sorun çıkarır. Bu örnek, açıklık ve kapalılığı tümleyen üzerinden nasıl inceleyeceğimizi bütün ayrıntısıyla gösterir.
Örnek 16.6 (Ne Açık Ne Kapalı Bir Küme) \(A = [0, 1) \cup \{2\}\) kümesi açık mıdır? Kapalı mıdır?
Çözüm
Açık mı? Hayır. \(0 \in A\) noktasına bakalım. Herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için \(B(0, \varepsilon) = (-\varepsilon, \varepsilon)\) komşuluğunun sol yarısı negatif sayılardan oluşur; örneğin \(-\tfrac{\varepsilon}{2} \in B(0, \varepsilon)\) ama \(-\tfrac{\varepsilon}{2} \notin A\). Dolayısıyla \(0\), \(A\)’nın iç noktası değildir ve \(A\) açık değildir. (Aynı sonuca \(2\) noktasından da varılabilir: \(2\)’nin her komşuluğu, \(2 + \tfrac{\varepsilon}{2}\) gibi \(A\)’ya ait olmayan sayılar içerir.)
Kapalı mı? Hayır. Tümleyeni yazalım:
\[\mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0) \cup [1, 2) \cup (2, \infty).\]
Bu kümenin açık olmadığını göstermeliyiz. \(1\) noktası tümleyendedir. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(c = \min\{\varepsilon, 1\}\) olmak üzere \(y = 1 - \tfrac{c}{2}\) sayısına bakalım. \(|y - 1| = \tfrac{c}{2} < \varepsilon\) olduğundan \(y \in B(1, \varepsilon)\); ayrıca \(0 < \tfrac{1}{2} \le y < 1\) olduğundan \(y \in [0, 1) \subseteq A\), yani \(y\) tümleyende değildir. \(1\)’in sağındaki sayılar \(A\)’da değildir ama \(1\)’e yeterince yakın solundaki sayılar \(A\)’dadır; bu yüzden \(1\)’in hiçbir komşuluğu tümleyenin içinde kalmaz. Tümleyen açık değildir; dolayısıyla \(A\) kapalı değildir.
Sonuç. \(A\) ne açık ne kapalıdır. Kümenin \(0\) ucu açıklığı, \(1\) ucu (kümeye ait olmadığı hâlde kümenin ona “yapıştığı” nokta) kapalılığı bozar. \(\{2\}\) parçası ise tek başına kapalıdır ama açıklığı yine bozar.
\(\blacksquare\)
16.5 Hem Açık Hem Kapalı Kümeler
Tablomuzun ilk satırında \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}\) vardı. Başka örnek var mı? Yanıt hayırdır ve bunun nedeni, reel sayı doğrusunun “tek parça” olmasıdır: \(\mathbb{R}\)’yi iki boş olmayan açık kümeye bölmek mümkün değildir. İspat, tamlık aksiyomunun supremum biçimine dayanır.
Teorem 16.2 (Hem Açık Hem Kapalı Kümeler) \(\mathbb{R}\)’nin hem açık hem kapalı olan alt kümeleri yalnızca \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}\)’dir.
İspat
\(A \subseteq \mathbb{R}\) hem açık hem kapalı olsun ve \(A \neq \varnothing\), \(A \neq \mathbb{R}\) olduğunu varsayarak çelişki arayalım. O zaman \(A\)’da bir \(a\) noktası ve \(A\)’nın dışında bir \(b\) noktası vardır. Gerekirse \(A\) ile \(\mathbb{R} \setminus A\)’nın rollerini değiştirerek \(a < b\) varsayabiliriz: \(b < a\) ise \(\mathbb{R} \setminus A\) kümesini ele alırız; o da hem açık hem kapalıdır (Önerme 16.1), \(b\) onun bir noktası, \(a\) ise dışında bir noktadır ve \(b < a\)’dır.
\[S = A \cap [a, b] = \{x \in A : a \le x \le b\}\]
kümesini ele alalım. \(a \in S\) olduğundan \(S \neq \varnothing\)’dir ve \(b\), \(S\)’nin bir üst sınırıdır. Tamlık aksiyomu (Bölüm 10.4) gereği \(s = \sup S\) vardır ve \(a \le s \le b\)’dir (Tanım 10.4: \(a \in S\) olduğundan \(a \le s\); \(b\) üst sınır olduğundan \(s \le b\)). \(s\) noktası ya \(A\)’dadır ya da değildir; her iki durumda çelişki bulacağız.
Durum 1: \(s \in A\). \(b \notin A\) olduğundan \(s \neq b\), yani \(s < b\)’dir. \(A\) açık olduğundan \(B(s, \varepsilon) \subseteq A\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır. \(c = \min\{\varepsilon, b - s\} > 0\) olmak üzere \(y = s + \tfrac{c}{2}\) alalım. \(|y - s| = \tfrac{c}{2} < \varepsilon\) olduğundan \(y \in B(s, \varepsilon) \subseteq A\); ayrıca \(a \le s < y < s + (b - s) = b\) olduğundan \(y \in [a, b]\). Demek ki \(y \in S\) ve \(y > s = \sup S\). Bu, \(s\)’nin üst sınır olmasıyla çelişir.
Durum 2: \(s \notin A\). O zaman \(s \in \mathbb{R} \setminus A\)’dır ve \(A\) kapalı olduğundan \(\mathbb{R} \setminus A\) açıktır: \(B(s, \varepsilon) \subseteq \mathbb{R} \setminus A\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Öte yandan Teorem 10.1 gereği \(s - \varepsilon < x \le s\) olan bir \(x \in S\) vardır. Bu \(x\) için \(|x - s| < \varepsilon\), yani \(x \in B(s, \varepsilon)\); dolayısıyla \(x \notin A\). Ama \(x \in S \subseteq A\). Çelişki.
Her iki durum da çelişkiye götürdüğünden varsayımımız yanlıştır: \(A = \varnothing\) ya da \(A = \mathbb{R}\) olmalıdır.
\(\blacksquare\)
Teorem şöyle de okunabilir: \(\mathbb{R} = U \cup V\), \(U \cap V = \varnothing\) ve \(U, V\) açık ise \(U\) ya da \(V\) boştur. (Gerçekten \(U = \mathbb{R} \setminus V\) olduğundan \(U\) hem açık hem kapalıdır.) Bu özelliğe bağlantılılık (connectedness) denir; sayı doğrusunun “kopuk” olmadığını söyler. Ara değer teoremi (Teorem 35.2) bu özelliğin sürekli fonksiyonlara yansımasıdır.
Sıralı bir cisim olarak \(\mathbb{Q}\) bu özelliği taşımaz: \(U = \{q \in \mathbb{Q} : q < \sqrt{2}\}\) ve \(V = \{q \in \mathbb{Q} : q > \sqrt{2}\}\) kümeleri \(\mathbb{Q}\)’yu iki boş olmayan parçaya böler ve \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) olduğundan (Teorem 13.3) her rasyonel sayı bu ikisinden tam birine düşer. Üstelik iki parça da \(\mathbb{Q}\) içinde “açıktır”: \(q \in U\) için \(\varepsilon = \sqrt{2} - q > 0\) alınırsa \(B(q, \varepsilon)\) komşuluğundaki bütün rasyonel sayılar yine \(U\)’dadır; \(V\) için benzer. Yukarıdaki ispatta bu ayrışmayı engelleyen şey, \(\mathbb{Q}\)’da geçerli olmayan tamlık aksiyomudur.
16.6 Alıştırmalar
Alıştırma 16.1 (Kapalı Kümeler)
\(A = \left\{\tfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}\) kümesinin kapalı olmadığını gösteriniz.
\(A \cup \{0\}\) kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
\(F\) kapalı ve \(U\) açık ise \(F \setminus U\)’nun kapalı, \(U \setminus F\)’nin açık olduğunu gösteriniz.
\(\mathbb{N}\) kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
\(\{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 2\}\) kümesinin kapalı, \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 2\}\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Tümleyenin açık olmadığını göstereceğiz. \(0 \notin A\) (çünkü \(\tfrac{1}{n} > 0\)), yani \(0 \in \mathbb{R} \setminus A\). \(\varepsilon > 0\) herhangi olsun. Sonuç 12.2 gereği \(\tfrac{1}{n_0} < \varepsilon\) olan bir \(n_0 \in \mathbb{N}\) vardır; o hâlde \(\tfrac{1}{n_0} \in B(0, \varepsilon)\) ve \(\tfrac{1}{n_0} \in A\). Yani \(0\)’ın hiçbir komşuluğu \(\mathbb{R} \setminus A\)’nın içinde kalmaz; tümleyen açık değildir ve \(A\) kapalı değildir. (\(0\), kümeye ait olmadığı hâlde kümenin “yapıştığı” noktadır; bir sonraki bölümde bu tür noktalara yığılma noktası diyeceğiz.)
b) \(C = A \cup \{0\}\) diyelim. İddia:
\[\mathbb{R} \setminus C = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{1}{n + 1},\; \frac{1}{n}\right).\]
(\(\subseteq\)) \(x \notin C\) olsun. \(x < 0\) ise \(x \in (-\infty, 0)\); \(x > 1\) ise \(x \in (1, \infty)\). Geriye \(0 < x \le 1\) durumu kalır (\(x \neq 0\), çünkü \(0 \in C\)). \(t = \tfrac{1}{x} \ge 1\) olsun ve Teorem 12.3 ile \(n \le t < n + 1\) olan tam sayı \(n = \lfloor t \rfloor\)’yi alalım; \(t \ge 1\) olduğundan \(n \ge 1\), yani \(n \in \mathbb{N}\). Eşitsizlikleri tersine çevirirsek \(\tfrac{1}{n + 1} < x \le \tfrac{1}{n}\). \(x \notin A\) olduğundan \(x \neq \tfrac{1}{n}\); dolayısıyla \(x \in \left(\tfrac{1}{n + 1}, \tfrac{1}{n}\right)\).
(\(\supseteq\)) Sağdaki kümelerin hiçbiri \(C\)’nin elemanı içermez. \((-\infty, 0)\) ve \((1, \infty)\) için bu açıktır, çünkü \(C \subseteq [0, 1]\). \(\tfrac{1}{m} \in \left(\tfrac{1}{n + 1}, \tfrac{1}{n}\right)\) olsaydı, pozitif sayılarda ters alma sıralamayı çevirdiğinden, \(n < m < n + 1\) olurdu; Önerme 9.3 gereği ardışık iki doğal sayı arasında doğal sayı yoktur. \(0\) da bu aralıklarda değildir.
Böylece \(\mathbb{R} \setminus C\), açık aralıkların birleşimidir ve Teorem 15.1 (3) ile açıktır; \(C\) kapalıdır. (a) ile birlikte: \(A\)’ya tek bir nokta eklemek onu kapalı yapmıştır.
c) \(F \setminus U = F \cap (\mathbb{R} \setminus U)\)’dur. \(F\) kapalıdır; \(U\) açık olduğundan Önerme 16.1 ile \(\mathbb{R} \setminus U\) kapalıdır. İki kapalı kümenin kesişimi Teorem 16.1 (2) gereği kapalıdır.
\(U \setminus F = U \cap (\mathbb{R} \setminus F)\)’dir. \(U\) açıktır; \(F\) kapalı olduğundan \(\mathbb{R} \setminus F\) açıktır. İki açık kümenin kesişimi Teorem 15.1 (2) gereği açıktır.
d) İddia:
\[\mathbb{R} \setminus \mathbb{N} = (-\infty, 1) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (n, n + 1).\]
Gerçekten \(x \notin \mathbb{N}\) ise ya \(x < 1\)’dir ya da \(x \ge 1\) ve \(x \notin \mathbb{Z}\)’dir (çünkü \(1\)’den küçük olmayan bir tam sayı pozitiftir, yani doğal sayıdır; Tanım 11.1); ikinci durumda, Örnek 16.3 içindeki akıl yürütmeyle, \(x \in (\lfloor x \rfloor, \lfloor x \rfloor + 1)\) ve \(\lfloor x \rfloor \ge 1\) bir doğal sayıdır. Tersine \((-\infty, 1)\)’de doğal sayı yoktur (\(1 = \min \mathbb{N}\)) ve \((n, n + 1)\) aralıklarında tam sayı, dolayısıyla doğal sayı yoktur (Lemma 11.1). Sağ taraf açık aralıkların birleşimi olduğundan açıktır; \(\mathbb{N}\) kapalıdır.
Daha kısa bir yol: \(\mathbb{N} = \mathbb{Z} \cap [1, \infty)\)’dur; \(\mathbb{Z}\) (Örnek 16.3) ve \([1, \infty)\) (Örnek 16.1) kapalı olduğundan kesişimleri Teorem 16.1 (2) ile kapalıdır.
e) Teorem 13.1 gereği \(\sqrt{2}\) vardır. Negatif olmayan \(u, v\) sayıları için geçerli olan \(u \le v \iff u^2 \le v^2\) denkliğini kullanacağız; uç durumlar dahil gerekçesi şudur. (\(\Rightarrow\)) \(u = v\) ise kareler de eşittir; \(u = 0 < v\) ise Önerme 7.12 (1) gereği \(u^2 = 0 \le v^2\); \(0 < u < v\) ise aynı önermenin (4) maddesi gereği \(u^2 < v^2\). (\(\Leftarrow\)) Karşıt tersini gösterelim: \(v < u\) olsun; \(v = 0\) ise \(u > 0\) olduğundan (1) ile \(v^2 = 0 < u^2\), \(v > 0\) ise (4) ile \(v^2 < u^2\); her iki durumda da \(u^2 \le v^2\) değildir. Şimdi bu denkliği \(u = |x|\), \(v = \sqrt{2}\) için yazalım: \(x^2 = |x|^2\) ve \((\sqrt{2})^2 = 2\) olduğundan \(x^2 \le 2 \iff |x| \le \sqrt{2}\) elde edilir. Tanım 15.3 ile
\[\{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 2\} = \{x : |x| \le \sqrt{2}\} = B[0, \sqrt{2}] = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}],\]
ve bu küme Örnek 16.1 gereği kapalıdır. Benzer biçimde (aynı denkliği bu kez \(u = \sqrt{2}\), \(v = |x|\) için yazıp iki yanı olumsuzlarsak \(x^2 < 2 \iff |x| < \sqrt{2}\) bulunur)
\[\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 2\} = \{x : |x| < \sqrt{2}\} = B(0, \sqrt{2}) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})\]
bir açık aralıktır ve Önerme 15.2 gereği açıktır.
\(\blacksquare\)
Kapalı kümelerin dışındaki noktalar kümeden uzak durur; ama kümenin dışında olup kümeye “yapışan” noktalar da vardır: \(\{\tfrac{1}{n}\}\) kümesi için \(0\) gibi. Bir sonraki bölümde bu noktaları, yani yığılma noktalarını tanımlayacak ve kapalı kümelerin tam olarak “yığılma noktalarını içeren kümeler” olduğunu göreceğiz: Yığılma Noktaları, Kapanış ve Yoğun Kümeler.