19 Diziler: Tanım, Sınırlılık ve Monotonluk
Buraya kadar reel sayıların yapısını (aksiyomlar, tamlık, Arşimet özelliği) ve sayı doğrusunun topolojisini (açık ve kapalı kümeler, yığılma noktaları, kompaktlık) inceledik. Şimdi analizin asıl konusuna, limit kavramına yaklaşıyoruz. Limitin en yalın hâli dizilerde ortaya çıkar: sonsuz bir sayı listesinin terimleri, ilerledikçe bir sayıya “yaklaşır mı”?
Bu bölümde henüz limitten söz etmeyeceğiz. Önce dizinin ne olduğunu kesin biçimde tanımlayacak, ardından dizilerin iki temel davranış özelliğini inceleyeceğiz: sınırlılık (terimler bir aralığın içinde kalıyor mu?) ve monotonluk (terimler hep aynı yönde mi ilerliyor?). Bu iki kavram, sonraki bölümlerde yakınsaklığın hem gerekli koşullarını hem de en güçlü yeter koşulunu (monoton yakınsaklık teoremi) verecek.
19.1 Dizi Kavramı
Bir dizi, sezgisel olarak sonsuz ve sıralı bir sayı listesidir:
\[1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \dots\]
Listede hangi sayının kaçıncı sırada olduğu önemlidir; yani her doğal sayıya (sıra numarasına) bir reel sayı karşılık gelir. “Her doğal sayıya bir reel sayı karşılık getirme” ise tam olarak bir fonksiyondur (Tanım 5.1). Tanımı buna göre yapalım.
Tanım 19.1 (Dizi) Tanım kümesi \(\mathbb{N}\), değer kümesi \(\mathbb{R}\) olan bir \(a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna reel sayı dizisi (sequence of real numbers) ya da kısaca dizi denir.
- \(n \in \mathbb{N}\) için \(a(n)\) değeri \(a_n\) ile gösterilir ve dizinin \(n\)-inci terimi (term) diye adlandırılır; \(n\)’ye bu terimin indisi denir.
- \(a_n\)’yi \(n\) cinsinden veren formüle dizinin genel terimi (general term) denir.
- Dizinin kendisi \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\), kısaca \((a_n)\) ya da terimleri sıralanarak \((a_1, a_2, a_3, \dots)\) ile gösterilir.
- \(\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{R}\) kümesine dizinin görüntü kümesi (range) ya da terimler kümesi denir.
Gerektiğinde indis \(0\)’dan ya da başka bir \(k \in \mathbb{Z}\) tam sayısından başlatılabilir; bu durumda \((a_n)_{n \ge k}\) yazılır. Aşağıdaki sonuçların hepsi bu durumda da aynen geçerlidir.
\((a_n)\) yazımı (yuvarlak ayraç) diziyi, \(\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) yazımı (küme ayracı) görüntü kümesini gösterir. Dizide sıra ve tekrar önemlidir, kümede değildir. Örneğin \(a_n = (-1)^n\) dizisi
\[(-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \dots)\]
biçiminde sonsuz terimlidir; ama görüntü kümesi yalnızca iki elemanlı \(\{-1, 1\}\) kümesidir. Aynı biçimde sabit \((5, 5, 5, \dots)\) dizisinin görüntü kümesi tek elemanlı \(\{5\}\) kümesidir. İleride “dizinin yığılma noktası” ile “görüntü kümesinin yığılma noktası” arasındaki fark gibi ince ayrımlar tam olarak buradan kaynaklanacak.
Bir dizi üç biçimde verilebilir:
- Genel terimle: \(a_n = \dfrac{1}{n}\), \(a_n = n^2\), \(a_n = (-1)^n\) gibi bir formülle.
- İlk terimleri listeleyerek: \((2, 4, 6, 8, \dots)\) gibi. Bu yol kesin değildir: listeyi sürdürmenin tek bir yolu yoktur (\(1, 2, 4, 8, \dots\) dizisi \(2^{n-1}\) olabileceği gibi başka bir kuralla da devam edebilir). Bu yüzden yalnızca kural açıkça anlaşılıyorsa kullanılır.
- Özyinelemeyle: İlk terim(ler) verilir, sonraki her terim öncekiler cinsinden bir kuralla tanımlanır. Bunu birazdan ayrıca tanımlayacağız.
Örnek 19.1 (Temel Dizi Örnekleri) Aşağıdaki dizilerin ilk dört terimini ve görüntü kümelerini yazınız.
\(a_n = \dfrac{1}{n}\)
\(b_n = (-1)^n\)
\(c_n = n^2\)
Sabit dizi: \(d_n = 5\)
Aritmetik dizi: \(a, d \in \mathbb{R}\) sabit olmak üzere \(e_n = a + (n-1)d\); özel olarak \(a = 3\), \(d = 4\).
Geometrik dizi: \(a, r \in \mathbb{R}\) sabit olmak üzere \(g_n = a r^{\,n-1}\); özel olarak \(a = 2\), \(r = 3\).
Çözüm
a) \(\left(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dots\right)\). Görüntü kümesi \(\left\{\dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}\); bu küme sonsuzdur, çünkü \(n \ne m\) iken \(\dfrac{1}{n} \ne \dfrac{1}{m}\)’dir (dizi birebirdir).
b) \((-1, 1, -1, 1, \dots)\). Görüntü kümesi \(\{-1, 1\}\); yalnızca iki eleman.
c) \((1, 4, 9, 16, \dots)\). Görüntü kümesi tam kare doğal sayılar kümesi \(\{n^2 : n \in \mathbb{N}\}\).
d) \((5, 5, 5, 5, \dots)\). Görüntü kümesi \(\{5\}\). Her sabit dizi böyledir: sonsuz terim, tek elemanlı görüntü kümesi.
e) Aritmetik dizide ardışık terimlerin farkı sabittir: \(e_{n+1} - e_n = d\). \(a = 3\), \(d = 4\) için \((3, 7, 11, 15, \dots)\); görüntü kümesi \(\{3 + 4k : k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}\).
f) Geometrik dizide (\(a \ne 0\), \(r \ne 0\) iken) ardışık terimlerin oranı sabittir: \(\dfrac{g_{n+1}}{g_n} = r\). \(a = 2\), \(r = 3\) için \((2, 6, 18, 54, \dots)\); görüntü kümesi \(\{2 \cdot 3^k : k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}\).
\(\blacksquare\)
Bir diziyi görselleştirmenin en kullanışlı yolu, bir fonksiyon olduğunu hatırlayıp grafiğini çizmektir: yatay eksene indis \(n\), düşey eksene terim \(a_n\) konur. Grafik, sürekli bir eğri değil, ayrık noktalardan oluşur.
Örnek 19.2 (Bir Dizinin Grafiği) \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) ve \(b_n = \dfrac{n}{n+1}\) dizilerinin ilk beş terimini hesaplayıp grafiklerini yorumlayınız.
Çözüm
İlk beş terim:
\[a_1 = -1,\quad a_2 = \frac{1}{2},\quad a_3 = -\frac{1}{3},\quad a_4 = \frac{1}{4},\quad a_5 = -\frac{1}{5};\]
\[b_1 = \frac{1}{2},\quad b_2 = \frac{2}{3},\quad b_3 = \frac{3}{4},\quad b_4 = \frac{4}{5},\quad b_5 = \frac{5}{6}.\]
\((a_n)\) dizisinin terimleri sıfırın bir sağına bir soluna düşer; ama sıfıra olan uzaklıkları \(\dfrac{1}{n}\) giderek küçülür. Terimler işaret değiştirerek \(0\)’a “yaklaşır”. \((b_n)\) dizisinin terimleri ise hep aynı yönde, yukarı doğru ilerler ve \(1\)’i hiç geçmeden \(1\)’e “yaklaşır”. Bu iki davranışı — yaklaşmayı ve tek yönde ilerlemeyi — bu bölümde ve bir sonrakinde kesin tanımlara dönüştüreceğiz.
\(\blacksquare\)
Şimdi diziyi vermenin üçüncü yolunu tanımlayalım. Sezgi şudur: bazen bir terimi doğrudan \(n\)’den hesaplamak yerine, bir önceki terimden (ya da önceki birkaç terimden) üretmek daha doğaldır.
Tanım 19.2 (Özyineli Dizi) İlk terimi (ya da ilk birkaç terimi) verilen ve bundan sonraki her terimi kendinden önceki terimler cinsinden bir kuralla belirlenen diziye özyineli dizi (recursively defined sequence) denir. Terimleri birbirine bağlayan kurala özyineleme bağıntısı (recurrence relation) denir.
En sık rastlanan biçim, \(a_1\)’in verildiği ve her \(n \in \mathbb{N}\) için
\[a_{n+1} = f(a_n)\]
kuralının geçerli olduğu bir \(f\) fonksiyonuyla tanımlanan dizilerdir.
Böyle bir tanımın gerçekten her \(n\) için bir \(a_n\) değeri belirlediği, tümevarım ilkesinden (Teorem 9.1) gelir: \(a_1\) tanımlıdır ve \(a_n\) tanımlıysa \(a_{n+1} = f(a_n)\) de tanımlıdır; dolayısıyla \(a_n\) her \(n \in \mathbb{N}\) için tanımlıdır.
Örnek 19.3 (Fibonacci Dizisi ve Bir Doğrusal Özyineleme)
Fibonacci dizisi: \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\) ile tanımlanır. İlk sekiz terimini yazınız.
\(a_1 = 2\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_{n+1} = \dfrac{a_n + 5}{3}\) olsun. İlk dört terimi hesaplayınız.
Çözüm
a) Her terim kendinden önceki iki terimin toplamıdır:
\[F_1 = 1,\ F_2 = 1,\ F_3 = 2,\ F_4 = 3,\ F_5 = 5,\ F_6 = 8,\ F_7 = 13,\ F_8 = 21.\]
Bu dizide iki başlangıç terimi gerekir; çünkü kural, iki önceki terime bakar.
b) Kuralı art arda uygulayalım:
\[a_1 = 2, \qquad a_2 = \frac{2 + 5}{3} = \frac{7}{3}, \qquad a_3 = \frac{\frac{7}{3} + 5}{3} = \frac{22}{9}, \qquad a_4 = \frac{\frac{22}{9} + 5}{3} = \frac{67}{27}.\]
Ondalık yaklaşık değerler \(2\); \(2{,}333\); \(2{,}444\); \(2{,}481\)’dir. Terimler artıyor ve \(2{,}5\)’e yaklaşıyor gibi görünüyor. Bu gözlemi Monoton Yakınsaklık Teoremi ve e Sayısı bölümünde ispata dönüştüreceğiz; bu bölümde ise bu tür dizilerin sınırlılık ve monotonluğunun nasıl gösterildiğini öğreneceğiz.
\(\blacksquare\)
19.2 Sınırlı Diziler
Bir dizinin terimleri sonsuz tane olduğu hâlde sayı doğrusunun sınırlı bir parçasında kalabilir (\(1/n\), \((-1)^n\)) ya da sınır tanımadan büyüyebilir (\(n^2\)). Bu ayrımı, kümeler için kurduğumuz sınırlılık kavramını (Tanım 10.2) dizinin görüntü kümesine uygulayarak yapıyoruz.
Tanım 19.3 (Sınırlı Dizi) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi olsun.
- Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n \le M\) olacak biçimde bir \(M \in \mathbb{R}\) varsa \((a_n)\) dizisine üstten sınırlı (bounded above), \(M\)’ye dizinin bir üst sınırı denir.
- Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(m \le a_n\) olacak biçimde bir \(m \in \mathbb{R}\) varsa \((a_n)\) dizisine alttan sınırlı (bounded below), \(m\)’ye dizinin bir alt sınırı denir.
- Hem üstten hem alttan sınırlı diziye sınırlı dizi (bounded sequence) denir.
Sınırlı olmayan diziye sınırsız denir.
Tanım, doğrudan görüntü kümesine bakar: \((a_n)\) dizisi sınırlıdır ancak ve ancak \(\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) kümesi Tanım 10.2 anlamında sınırlıysa. Terimler kümesi hiçbir zaman boş olmadığından, sınırlı bir dizinin terimler kümesinin supremumu ve infimumu vardır (supremum için tamlık aksiyomu, Bölüm 10.4; infimum için Teorem 10.3); bunlar \(\sup_{n} a_n\) ve \(\inf_{n} a_n\) ile gösterilir.
Uygulamada sınırlılığı iki ayrı eşitsizlikle değil, tek bir mutlak değer eşitsizliğiyle göstermek daha pratiktir.
Önerme 19.1 (Sınırlılığın Mutlak Değerle İfadesi) \((a_n)\) dizisi sınırlıdır ancak ve ancak her \(n \in \mathbb{N}\) için
\[|a_n| \le M\]
olacak biçimde bir \(M > 0\) sayısı vardır.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \((a_n)\) sınırlı olsun; her \(n\) için \(m \le a_n \le K\) olacak \(m, K \in \mathbb{R}\) vardır. \(M = \max\{|m|, |K|\} + 1\) alalım; \(M > 0\)’dır. Teorem 8.1 (4) gereği \(-|m| \le m\) ve \(K \le |K|\) olduğundan her \(n\) için
\[-M < -|m| \le m \le a_n \le K \le |K| < M.\]
Böylece \(-M \le a_n \le M\), ve Teorem 8.1 (7) ile \(|a_n| \le M\).
(\(\Leftarrow\) yönü) Her \(n\) için \(|a_n| \le M\) olsun. Teorem 8.1 (7) ile \(-M \le a_n \le M\); yani \(-M\) bir alt sınır, \(M\) bir üst sınırdır. Dizi sınırlıdır.
\(\blacksquare\)
Bu önerme sayesinde “sınırlı” demek, “bütün terimler \([-M, M]\) aralığının içinde” demektir. Sınırsızlığı göstermek içinse bu ifadenin olumsuzlamasını kullanırız.
Teorem 2.1 ile “\(\exists M > 0\ \forall n \in \mathbb{N}\ |a_n| \le M\)” ifadesinin olumsuzlaması şudur:
\[(a_n) \text{ sınırsızdır} \iff \forall M > 0\ \ \exists n \in \mathbb{N}:\ |a_n| > M.\]
Yani ne kadar büyük bir \(M\) seçilirse seçilsin, dizinin mutlak değerce \(M\)’yi aşan en az bir terimi vardır. Benzer biçimde \((a_n)\) üstten sınırsızdır ancak ve ancak her \(M \in \mathbb{R}\) için \(a_n > M\) olan bir \(n\) varsa. Dikkat: sınırsızlık için terimlerin “sürekli büyümesi” gerekmez; tek tük büyük terimler yeter.
Örnek 19.4 (Sınırlı ve Sınırsız Diziler) Aşağıdaki dizilerin sınırlı olup olmadığını belirleyiniz.
\(a_n = \dfrac{1}{n}\)
\(b_n = (-1)^n\)
\(c_n = \dfrac{n}{n+1}\)
\(d_n = n^2\)
\(e_n = (-1)^n n\)
Çözüm
a) \(n \ge 1\) olduğundan \(0 < \dfrac{1}{n} \le 1\)’dir: pozitiflik Önerme 7.9 ile gelir; üst sınır için \(n = 1\)’de \(\dfrac{1}{n} = 1\), \(n > 1\)’de ise \(0 < 1 < n\) olduğundan Önerme 7.10 ile \(\dfrac{1}{n} < 1\). Dizi sınırlıdır; \(|a_n| \le 1\).
b) Her \(n\) için \(|(-1)^n| = 1 \le 1\). Dizi sınırlıdır.
c) \(0 < n < n + 1\) olduğundan \(0 < \dfrac{n}{n+1} < 1\); dizi sınırlıdır ve \(|c_n| < 1\).
d) Alttan sınırlıdır: \(n^2 \ge 1\). Üstten sınırlı değildir: herhangi bir \(M > 0\) verilsin. Sonuç 12.1 gereği \(n > M\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır; \(n \ge 1\) olduğundan \(n^2 = n \cdot n \ge n > M\). Demek ki hiçbir \(M\) üst sınır olamaz. Dizi sınırsızdır.
e) Terimler \(-1, 2, -3, 4, \dots\) biçimindedir. \(M > 0\) verilsin; Sonuç 12.1 ile \(k > M\) olan bir \(k \in \mathbb{N}\) seçelim. \(k\) çiftse \(n = k\), tekse \(n = k + 1\) alalım; \(n\) çift ve \(n > M\) olduğundan \(e_n = n > M\). Aynı yolla \(n\)’yi tek ve \(M\)’den büyük seçersek \(e_n = -n < -M\). Dizi ne üstten ne alttan sınırlıdır.
\(\blacksquare\)
Sınırlı bir dizinin terimler kümesi için supremum ve infimum hesabı, Bölüm 10’da öğrendiğimiz ölçütlerle yapılır. Bir örnekle hatırlayalım.
Örnek 19.5 (Bir Dizinin Supremumu ve İnfimumu) \(c_n = \dfrac{n}{n+1}\) dizisi için \(\inf_n c_n\) ve \(\sup_n c_n\) değerlerini bulunuz; dizinin en büyük ve en küçük terimi var mıdır?
Çözüm
Terimler \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dots\) biçimindedir. \(c_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) yazılışı işleri kolaylaştırır.
İnfimum. \(n \ge 1\) için \(\dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{2}\), dolayısıyla \(c_n \ge \dfrac{1}{2} = c_1\). Yani \(\dfrac{1}{2}\) hem alt sınırdır hem de kümenin elemanıdır: \(\inf_n c_n = \min_n c_n = \dfrac{1}{2}\) (Tanım 10.3).
Supremum. Her \(n\) için \(c_n < 1\) olduğundan \(1\) bir üst sınırdır. Teorem 10.1 ile \(1 = \sup_n c_n\) olduğunu gösterelim: \(\varepsilon > 0\) verilsin. Sonuç 12.2 gereği \(\dfrac{1}{n+1} < \varepsilon\) olacak bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır (önce \(\frac{1}{k} < \varepsilon\) olan \(k\) bulup \(n = k\) alınır; \(\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon\)). Bu \(n\) için
\[c_n = 1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \varepsilon.\]
Her iki koşul sağlandı: \(\sup_n c_n = 1\). Ama \(1\) hiçbir terime eşit değildir; dizinin en büyük terimi (maksimumu) yoktur.
\(\blacksquare\)
Sınırlılık, yakınsaklıkla yakından ilgilidir: bir sonraki bölümde her yakınsak dizinin sınırlı olduğunu (Teorem 20.2), ama sınırlı her dizinin yakınsak olmadığını (yine \((-1)^n\)!) göreceğiz.
19.3 Monoton Diziler
Dizinin ikinci temel davranış özelliği, terimlerin yönüdür. \(1/n\) dizisi hep küçülür, \(n/(n+1)\) hep büyür, \((-1)^n/n\) ise bir ileri bir geri gider. Hep aynı yönde ilerleyen dizilere monoton diyeceğiz.
Tanım 19.4 (Monoton Dizi) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi olsun. \(n < m\) olan her \(n, m \in \mathbb{N}\) indis çifti için
- \(a_n \le a_m\) ise \((a_n)\) dizisine artan (increasing),
- \(a_n \ge a_m\) ise azalan (decreasing),
- \(a_n < a_m\) ise kesin artan (strictly increasing),
- \(a_n > a_m\) ise kesin azalan (strictly decreasing)
dizi denir. Bu dört koşuldan herhangi birini sağlayan diziye monoton (monotonic), (3) ya da (4)’ü sağlayan diziye kesin monoton (strictly monotonic) dizi denir.
Bu tanımda “artan”, eşitliğe izin verir: \(a_n \le a_m\). Bazı kitaplar buna “azalmayan” (non-decreasing) der ve “artan” sözcüğünü bizim “kesin artan” dediğimiz kavram için kullanır. Biz bu derste yukarıdaki adlandırmayı kullanıyoruz; başka bir kitap okurken hangi anlamın kastedildiğine dikkat edin. Bu adlandırmayla:
- Kesin artan her dizi artandır; kesin azalan her dizi azalandır (çünkü \(a_n < a_m\) ise \(a_n \le a_m\)).
- Sabit dizi hem artan hem azalandır; ama kesin monoton değildir.
- Kesin artan bir dizi birebirdir: \(n \ne m\) iken \(a_n \ne a_m\).
Tanımdaki koşul, bütün indis çiftleri üzerinde konuşur; bu, doğrudan denetlemesi güç bir koşuldur. Neyse ki yalnızca ardışık terimlere bakmak yeterlidir.
Önerme 19.2 (Ardışık Terim Testi) \((a_n)\) bir dizi olsun.
- \((a_n)\) artandır ancak ve ancak her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n \le a_{n+1}\) ise.
- \((a_n)\) azalandır ancak ve ancak her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n \ge a_{n+1}\) ise.
- \((a_n)\) kesin artandır ancak ve ancak her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n < a_{n+1}\) ise.
- \((a_n)\) kesin azalandır ancak ve ancak her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n > a_{n+1}\) ise.
İspat
(1) (\(\Rightarrow\) yönü) Dizi artan olsun. Her \(n\) için \(n < n + 1\) olduğundan tanım gereği \(a_n \le a_{n+1}\).
(\(\Leftarrow\) yönü) Her \(n\) için \(a_n \le a_{n+1}\) olsun. \(n \in \mathbb{N}\) sabit tutalım ve
\[P(k):\ a_n \le a_{n+k}\]
önermesinin her \(k \in \mathbb{N}\) için doğru olduğunu tümevarımla (Teorem 9.1) gösterelim. \(P(1)\), hipotezin kendisidir. \(P(k)\) doğru olsun: \(a_n \le a_{n+k}\). Hipotezi \(n + k\) indisine uygularsak \(a_{n+k} \le a_{n+k+1}\) olur. Sıralamanın geçişlilik özelliğiyle (Bölüm 7.1)
\[a_n \le a_{n+k} \le a_{n+k+1},\]
yani \(P(k+1)\) doğrudur. Demek ki \(P(k)\) her \(k\) için doğrudur.
Şimdi \(n < m\) olan herhangi bir indis çifti alalım. Önerme 9.3 (4) gereği \(k = m - n\) bir doğal sayıdır. \(P(k)\) gereği \(a_n \le a_{n+k} = a_m\). Dizi artandır.
(2) Her \(x, y \in \mathbb{R}\) için \(x \le y \iff -y \le -x\)’tir: kesin eşitsizlik hâli Önerme 7.3’dir (\(x < y \iff -y < -x\)), eşitlik hâli ise \(x = y \iff -y = -x\) olmasından çıkar. Dolayısıyla \((a_n)\) azalandır ancak ve ancak \((-a_n)\) artansa. \((-a_n)\) dizisine (1)’i uygulamak yeter: her \(n\) için \(-a_n \le -a_{n+1}\) olması, her \(n\) için \(a_n \ge a_{n+1}\) olmasıyla denktir.
(3) ve (4) (1) ve (2)’nin ispatları, \(\le\) yerine \(<\) (ve \(\ge\) yerine \(>\)) yazılarak kelimesi kelimesine tekrarlanır; çünkü kesin eşitsizlik de geçişlidir: \(a_n < a_{n+k}\) ve \(a_{n+k} < a_{n+k+1}\) ise \(a_n < a_{n+k+1}\).
\(\blacksquare\)
Bu önerme, monotonluk ispatlarının tamamının dayandığı sonuçtur: sonsuz çoklukta indis çifti yerine tek bir \(n\) için \(a_n\) ile \(a_{n+1}\)’i karşılaştırmak yeter. Karşılaştırmanın iki standart yolu vardır.
Sonuç 19.1 (Fark ve Oran Testi) \((a_n)\) bir dizi olsun.
- Fark testi. Her \(n\) için \(a_{n+1} - a_n \ge 0\) ise dizi artan, \(\le 0\) ise azalandır. Eşitsizlik kesinse (\(> 0\) ya da \(< 0\)) dizi kesin artan ya da kesin azalandır.
- Oran testi. Dizinin bütün terimleri pozitif olsun (\(a_n > 0\)). Her \(n\) için \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1\) ise dizi artan, \(\le 1\) ise azalandır. Eşitsizlik kesinse dizi kesin artan ya da kesin azalandır.
Her iki testte de koşullar yalnızca yeterli değil, aynı zamanda gereklidir.
İspat
1. Sıralamanın toplamayla uyumu (O3, Bölüm 7.1) ile \(a_n < a_{n+1} \iff 0 < a_{n+1} - a_n\) (\(\Rightarrow\) yönünde iki yana \(-a_n\), \(\Leftarrow\) yönünde iki yana \(a_n\) eklenir); eşitlik durumu \(a_n = a_{n+1} \iff a_{n+1} - a_n = 0\) ise açıktır. İkisi birlikte \(a_n \le a_{n+1} \iff 0 \le a_{n+1} - a_n\) verir. Sonuç Önerme 19.2 ile gelir.
2. \(a_n > 0\) olduğundan Önerme 7.9 ile \(\dfrac{1}{a_n} > 0\)’dır. Bir eşitsizliğin iki yanını pozitif bir sayıyla çarpmak yönü korur (O4). \(a_n \le a_{n+1}\) eşitsizliğini \(\dfrac{1}{a_n}\) ile çarpınca \(1 \le \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\); tersine \(1 \le \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) eşitsizliğini \(a_n\) ile çarpınca \(a_n \le a_{n+1}\) elde edilir. Yani
\[a_n \le a_{n+1} \iff \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1.\]
Diğer üç durum aynı biçimdedir. Sonuç yine Önerme 19.2 ile gelir.
\(\blacksquare\)
Terimler negatifse eşitsizliğin yönü tersine döner; terimler işaret değiştiriyorsa oran hiçbir şey söylemez. Örneğin \(a_n = (-1)^n\) için oran hep \(-1\)’dir ve dizi monoton değildir. Emin olmadığınız durumlarda fark testine dönün: fark testinin ön koşulu yoktur.
Örnek 19.6 (Bir Bölü n Dizisi Kesin Azalandır) \(a_n = \dfrac{1}{n}\) dizisinin kesin azalan olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Önerme 19.2 (4) gereği her \(n\) için \(a_{n+1} < a_n\), yani \(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n}\) olduğunu göstermek yeter. \(n < n + 1\) eşitsizliğinin iki yanını pozitif \(\dfrac{1}{n(n+1)}\) sayısıyla çarpalım (Önerme 7.9 ve O4):
\[\frac{n}{n(n+1)} < \frac{n+1}{n(n+1)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}.\]
Aynı sonuç fark testiyle de görülür: \(a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n(n+1)} < 0\).
\(\blacksquare\)
Örnek 19.7 (n Bölü n Artı Bir Dizisi Kesin Artandır) \(c_n = \dfrac{n}{n+1}\) dizisinin kesin artan olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Fark testini kullanalım:
\[c_{n+1} - c_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.\]
Pay ve payda pozitif olduğundan fark her \(n\) için pozitiftir; Sonuç 19.1 ile dizi kesin artandır. Örnek 19.4 (c) ile birlikte: \((c_n)\) hem kesin artan hem sınırlıdır. Örnek 19.2 grafiğinde gördüğümüz “hep yukarı, ama \(1\)’i geçmeden” davranışı tam olarak budur.
\(\blacksquare\)
Örnek 19.8 (Oran Testiyle Monotonluk)
\(a_n = \dfrac{2^n}{n!}\) dizisinin azalan olduğunu, \(n \ge 2\) için kesin azalan olduğunu gösteriniz.
\(b_n = \dfrac{n}{2^n}\) dizisinin azalan olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Bütün terimler pozitiftir. Oran:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}.\]
\(n \ge 1\) için \(n + 1 \ge 2\), yani \(\dfrac{2}{n+1} \le 1\); Sonuç 19.1 ile dizi azalandır. Eşitlik yalnızca \(n = 1\)’de olur (\(a_1 = a_2 = 2\)); \(n \ge 2\) için \(\dfrac{2}{n+1} < 1\), dolayısıyla \(a_2 > a_3 > a_4 > \cdots\) kesin azalandır. İlk terimler: \(2, 2, \dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{15}, \dots\)
b) Terimler pozitiftir. Oran:
\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}.\]
\(n \ge 1\) için \(\dfrac{1}{2n} \le \dfrac{1}{2}\), dolayısıyla oran \(\le 1\)’dir; dizi azalandır. Yine eşitlik yalnızca \(n = 1\)’de (\(b_1 = b_2 = \frac{1}{2}\)), sonrası kesin azalandır.
Her iki dizide de oran testi, faktöriyel ve üstel ifadelerin sadeleşmesi sayesinde fark testinden çok daha kısa bir yol verdi. Genel kural: toplam ve fark içeren dizilerde fark testi, çarpım, kuvvet ve faktöriyel içeren dizilerde oran testi daha elverişlidir.
\(\blacksquare\)
Monoton olmadığını göstermek için tek bir “bozulma” yeter; çünkü Tanım 19.4’deki her koşul, bütün indis çiftleri üzerinde bir tümel önermedir ve tek bir karşıt örnekle çürütülür.
Örnek 19.9 (Monoton Olmayan Diziler)
\(a_n = n + (-1)^n\) dizisinin monoton olmadığını gösteriniz.
\(b_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) dizisinin monoton olmadığını gösteriniz.
Çözüm
a) İlk terimler: \(a_1 = 0\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 2\), \(a_4 = 5\), \(a_5 = 4\). \(a_1 < a_2\) olduğundan dizi azalan değildir; \(a_2 > a_3\) olduğundan artan da değildir. Monoton değildir. (Dizinin “genel eğilimi” büyümek olsa da, tanım her adımda aynı yönü ister.)
b) \(b_1 = -1\), \(b_2 = \dfrac{1}{2}\), \(b_3 = -\dfrac{1}{3}\). \(b_1 < b_2\) ve \(b_2 > b_3\): dizi ne artan ne azalandır. Buna karşılık \(|b_n| = \dfrac{1}{n}\) dizisi kesin azalandır; monotonluk mutlak değer alınca değişebilir.
\(\blacksquare\)
Özyineli dizilerde genel terim elimizde olmadığından fark ve oranı doğrudan hesaplayamayız; bunun yerine sınırlılık ve monotonluk tümevarımla gösterilir. Bu, ilerideki bölümlerde sık kullanacağımız bir tekniktir; şimdi bir örnekle öğrenelim.
Örnek 19.10 (Özyineli Dizide Tümevarımla Sınırlılık ve Monotonluk) \(a_1 = 1\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2} + 1\) olsun. \((a_n)\) dizisinin üstten \(2\) ile sınırlı ve kesin artan olduğunu gösteriniz.
Çözüm
İlk terimler: \(1, \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{15}{8}, \dots\) Terimler büyüyor ve \(2\)’nin altında kalıyor gibi; bunu ispatlayalım.
Sınırlılık. \(P(n): a_n < 2\) önermesini tümevarımla gösterelim. \(P(1)\): \(a_1 = 1 < 2\), doğru. \(P(n)\) doğru olsun, yani \(a_n < 2\). O zaman
\[a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + 1 < \frac{2}{2} + 1 = 2,\]
yani \(P(n+1)\) doğrudur. Teorem 9.1 ile her \(n\) için \(a_n < 2\). Ayrıca aynı yolla \(a_n > 0\) olduğu da görülür (\(a_1 = 1 > 0\) ve \(a_n > 0 \Rightarrow a_{n+1} > 1 > 0\)); dizi sınırlıdır.
Monotonluk. Fark testi için özyineleme bağıntısını kullanalım:
\[a_{n+1} - a_n = \frac{a_n}{2} + 1 - a_n = 1 - \frac{a_n}{2} = \frac{2 - a_n}{2}.\]
Az önce \(a_n < 2\) olduğunu gösterdik; dolayısıyla \(2 - a_n > 0\) ve \(a_{n+1} - a_n > 0\). Sonuç 19.1 ile dizi kesin artandır.
Dikkat edin: monotonluk ispatı, sınırlılık ispatına dayandı. Özyineli dizilerde bu iki adım çoğu zaman birbirine bağlıdır ve önce sınırın bulunması gerekir. Bu dizinin gerçekten \(2\)’ye yakınsadığı, Monoton Yakınsaklık Teoremi ve e Sayısı bölümündeki monoton yakınsaklık teoremi (artan ve üstten sınırlı her dizi yakınsar) ve orada özyineli diziler için göstereceğimiz “bağıntıda limite geçme” yöntemiyle görülecektir.
\(\blacksquare\)
Monoton diziler için sınırlılığın yarısı bedavadır: artan bir dizinin en küçük terimi, azalan bir dizinin en büyük terimi ilk terimidir.
Önerme 19.3 (Monoton Diziler Bir Yandan Sınırlıdır)
- Artan her dizi alttan sınırlıdır; \(a_1\) bir alt sınırdır. Dolayısıyla artan bir dizi sınırlıdır ancak ve ancak üstten sınırlıysa.
- Azalan her dizi üstten sınırlıdır; \(a_1\) bir üst sınırdır. Dolayısıyla azalan bir dizi sınırlıdır ancak ve ancak alttan sınırlıysa.
İspat
1. \((a_n)\) artan olsun. \(n = 1\) için \(a_1 \le a_1\) açıktır; \(n > 1\) için \(1 < n\) olduğundan Tanım 19.4 ile \(a_1 \le a_n\). Demek ki \(a_1\) bir alt sınırdır. Dizi zaten alttan sınırlı olduğundan, sınırlı olması için gerek ve yeter koşul üstten sınırlı olmasıdır (Tanım 19.3).
2. Aynı ispat \(\le\) yerine \(\ge\) ile tekrarlanır: \(n \ge 1\) için \(a_n \le a_1\).
\(\blacksquare\)
Bir dizinin monoton olduğunu göstermek için Önerme 19.2 gereği yalnızca \(a_n\) ile \(a_{n+1}\)’i karşılaştırmak yeter. Bunun için:
- Fark: \(a_{n+1} - a_n\) hesaplanır ve işareti belirlenir (her dizi için geçerli; toplam/fark içeren dizilerde elverişli).
- Oran: Terimler pozitifse \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) hesaplanıp \(1\) ile karşılaştırılır (çarpım, kuvvet, faktöriyel içeren dizilerde elverişli).
- Tümevarım: Özyineli dizilerde önce uygun bir sınır tümevarımla bulunur, sonra \(a_{n+1} - a_n\)’nin işareti bu sınırdan çıkarılır.
Bir de şu gözlem sık işe yarar: kimi diziler ilk birkaç terimden sonra monoton olur (“bir yerden sonra monoton”). Yakınsaklık dizinin başındaki sonlu sayıda terime bağlı olmadığından, ileride bu da yeterli olacaktır.
Peki monoton ve sınırlı bir dizi hakkında ne söyleyebiliriz? Sezgi açıktır: hep yukarı giden ama bir tavanı aşamayan bir dizi “sıkışıp” bir sayıya yaklaşmak zorundadır. Bu sezgi doğrudur, ispatı tamlık aksiyomuna dayanır ve monoton yakınsaklık teoremi adıyla Teorem 23.1 olarak karşımıza çıkacak. Önce “yaklaşmak” sözcüğünü kesinleştirmeliyiz; bu da bir sonraki bölümün konusu.
19.4 Alıştırmalar
Alıştırma 19.1 (Diziler Üzerine Alıştırmalar)
\(a_n = \dfrac{2n - 1}{n + 3}\) dizisinin ilk üç terimini yazınız; dizinin sınırlı ve kesin artan olduğunu gösteriniz.
\(b_n = (-1)^n \dfrac{n}{n+1}\) dizisinin sınırlı olduğunu, ama monoton olmadığını gösteriniz.
\(c_n = \dfrac{3^n}{n!}\) dizisinin monoton olmadığını, ama \(n \ge 2\) için azalan olduğunu gösteriniz. Dizi sınırlı mıdır?
Fibonacci dizisi \((F_n)\) için her \(n \in \mathbb{N}\)’de \(F_n \ge 1\) olduğunu, dizinin artan olduğunu ve \(n \ge 2\) için \(F_n \ge n - 1\) sağlandığını tümevarımla gösteriniz. Buradan dizinin üstten sınırsız olduğunu çıkarınız.
\(d_n = \dfrac{n^2}{2^n}\) dizisinin ilk beş terimini hesaplayınız ve dizinin \(n \ge 3\) için kesin azalan olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(a_1 = \dfrac{1}{4}\), \(a_2 = \dfrac{3}{5}\), \(a_3 = \dfrac{5}{6}\).
Sınırlılık. Pay ve payda pozitif olduğundan \(a_n > 0\). Üstten: \(2n - 1 < 2n + 6 = 2(n+3)\) olduğundan \(a_n < 2\). Böylece \(0 < a_n < 2\); dizi sınırlıdır.
Monotonluk. Fark testi:
\[a_{n+1} - a_n = \frac{2n+1}{n+4} - \frac{2n-1}{n+3} = \frac{(2n+1)(n+3) - (2n-1)(n+4)}{(n+3)(n+4)}.\]
Payı açalım: \((2n+1)(n+3) = 2n^2 + 7n + 3\) ve \((2n-1)(n+4) = 2n^2 + 7n - 4\); fark \(7\)’dir. Demek ki
\[a_{n+1} - a_n = \frac{7}{(n+3)(n+4)} > 0,\]
ve Sonuç 19.1 ile dizi kesin artandır.
b) \(|b_n| = \dfrac{n}{n+1} < 1\) olduğundan Önerme 19.1 ile dizi sınırlıdır. İlk üç terim \(b_1 = -\dfrac{1}{2}\), \(b_2 = \dfrac{2}{3}\), \(b_3 = -\dfrac{3}{4}\)’tür. \(b_1 < b_2\) olduğundan azalan değil, \(b_2 > b_3\) olduğundan artan değildir; dizi monoton değildir.
c) Terimler pozitiftir; oran
\[\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}.\]
\(n = 1\) için oran \(\dfrac{3}{2} > 1\), yani \(c_1 = 3 < c_2 = \dfrac{9}{2}\); \(n = 2\) için oran \(1\), yani \(c_3 = c_2 = \dfrac{9}{2}\); \(n \ge 3\) için oran \(< 1\). Dizi, \(c_1 < c_2\) olduğundan azalan değildir; \(c_3 = \dfrac{9}{2} > c_4 = \dfrac{27}{8}\) olduğundan artan da değildir. Yani monoton değildir. Ama \(n \ge 2\) için \(\dfrac{c_{n+1}}{c_n} \le 1\) olduğundan \((c_n)_{n \ge 2}\) azalandır ve \(n \ge 3\)’ten itibaren kesin azalandır. Sınırlılık: \(c_n > 0\) ve \(n \ge 2\) için \(c_n \le c_2 = \dfrac{9}{2}\), ayrıca \(c_1 = 3 \le \dfrac{9}{2}\); dolayısıyla \(0 < c_n \le \dfrac{9}{2}\) ve dizi sınırlıdır.
d) \(F_n \ge 1\). İki terime birden bakan bir tümevarımla: \(F_1 = F_2 = 1 \ge 1\). \(F_n \ge 1\) ve \(F_{n+1} \ge 1\) ise \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \ge 2 \ge 1\). (Burada \(P(n)\) olarak “\(F_n \ge 1\) ve \(F_{n+1} \ge 1\)” alınıp Teorem 9.1 uygulanır.)
Artanlık. Her \(n\) için \(F_{n+2} - F_{n+1} = F_n \ge 1 > 0\); ayrıca \(F_2 - F_1 = 0 \ge 0\). Yani her \(n\) için \(F_{n+1} - F_n \ge 0\) ve Sonuç 19.1 ile dizi artandır (kesin artan değildir: \(F_1 = F_2\); ama \(n \ge 2\) için kesin artandır).
\(F_n \ge n - 1\) (\(n \ge 2\)). \(n = 2\): \(F_2 = 1 \ge 1\). \(n \ge 2\) için doğru olsun: \(F_n \ge n - 1\). O zaman \(F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \ge (n-1) + 1 = n\); çünkü \(F_{n-1} \ge 1\). Tümevarımla her \(n \ge 2\) için doğrudur.
Sınırsızlık. \(M > 0\) verilsin. Sonuç 12.1 ile \(n > M + 1\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır; \(n \ge 2\)’dir ve \(F_n \ge n - 1 > M\). Hiçbir \(M\) üst sınır olamaz; dizi üstten sınırsızdır.
e) \(d_1 = \dfrac{1}{2}\), \(d_2 = 1\), \(d_3 = \dfrac{9}{8}\), \(d_4 = 1\), \(d_5 = \dfrac{25}{32}\). Dizi önce artıp sonra azalıyor; \(d_2 < d_3 > d_4\) olduğundan monoton değildir. Oran:
\[\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{2n^2}.\]
Bu oranın \(1\)’den küçük olması için \((n+1)^2 < 2n^2\), yani \(n^2 + 2n + 1 < 2n^2\), yani \(n^2 - 2n - 1 > 0\) gerekir. \(n \ge 3\) için \(n^2 - 2n - 1 = n(n-2) - 1 \ge 3 \cdot 1 - 1 = 2 > 0\). Demek ki \(n \ge 3\) için \(\dfrac{d_{n+1}}{d_n} < 1\) ve Sonuç 19.1 ile \((d_n)_{n \ge 3}\) kesin azalandır. (Kontrol: \(d_3 = \frac{9}{8} > d_4 = 1 > d_5 = \frac{25}{32}\).)
\(\blacksquare\)
Dizilerin dilini ve iki temel davranış özelliğini öğrendik. Şimdi asıl soruya geçiyoruz: bir dizinin terimleri bir sayıya “yaklaşır” derken tam olarak ne demek istiyoruz? Bunun kesin tanımı ve ilk sonuçları için: Dizilerde Yakınsaklık ve Limit.