35  Ara Değer Teoremi ve Weierstrass Teoremleri

Önceki iki bölümde sürekliliği tek bir nokta çevresinde inceledik: bir fonksiyon bir noktada süreklidir ya da değildir, süreksizse bunun türü şudur. Bu bölümde bakış açımız değişiyor. Artık soru, bir aralığın tamamında sürekli olan bir fonksiyonun bütün olarak nasıl davrandığıdır. Yanıt iki büyük teoremde toplanır. Ara değer teoremi, sürekli bir fonksiyonun grafiğinin “sıçrayamayacağını” söyler: fonksiyon iki değer alıyorsa aradaki her değeri de alır. Weierstrass ekstremum teoremi ise kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini gerçekten aldığını söyler; grafik sonsuza kaçamaz, en tepe noktasına da “yaklaşıp ulaşamama” durumunda kalamaz.

Her iki teoremin arkasında da reel sayıların tamlığı vardır: ilki supremum (ya da iç içe aralıklar) ile, ikincisi Bolzano–Weierstrass teoremiyle ispatlanır. Bu yüzden bu bölüm, Analiz 1’in başında kurduğumuz tamlık aksiyomunun (Bölüm 10.4) fonksiyonlar dünyasındaki karşılığı olarak okunabilir. Bölümün sonunda kompakt kümelerin sürekli görüntüsünün kompakt kaldığını göstererek bu sonuçların aralıklara özgü olmadığını da göreceğiz.

35.1 İşaret Koruma ve Bolzano Teoremi

Ara değer teoreminin ispatı, sürekli fonksiyonların basit ama çok kullanışlı bir özelliğine dayanır: bir noktada pozitif olan sürekli fonksiyon, o noktanın küçük bir komşuluğunda da pozitif kalır. Limitler için benzer bir sonucu Teorem 30.2 olarak görmüştük; şimdi aynı fikri süreklilik diliyle, noktanın kendisini de kapsayacak biçimde yazıyoruz.

Lemma 35.1 (Sürekli Fonksiyon İşaretini Korur) \(f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonu \(a \in A\) noktasında sürekli olsun.

1. \(f(a) > 0\) ise, öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\) ve \(|x - a| < \delta\) olan her \(x\) için \(f(x) > \dfrac{f(a)}{2} > 0\) olur.
2. \(f(a) < 0\) ise, öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\) ve \(|x - a| < \delta\) olan her \(x\) için \(f(x) < \dfrac{f(a)}{2} < 0\) olur.

İspat

(1) \(f(a) > 0\) olsun. Süreklilik tanımında (Tanım 33.1) \(\varepsilon = \dfrac{f(a)}{2} > 0\) alalım: öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(|x - a| < \delta\) iken

\[|f(x) - f(a)| < \frac{f(a)}{2}.\]

Bu eşitsizlik \(f(a) - \dfrac{f(a)}{2} < f(x) < f(a) + \dfrac{f(a)}{2}\) demektir; sol taraf \(f(x) > \dfrac{f(a)}{2} > 0\) verir.

(2) \(f(a) < 0\) ise \(g = -f\) fonksiyonu \(a\)’da süreklidir (Teorem 33.2) ve \(g(a) = -f(a) > 0\)’dır. (1) gereği bir \(\delta\) komşuluğunda \(g(x) > \dfrac{g(a)}{2}\), yani \(f(x) < \dfrac{f(a)}{2} < 0\) olur.

\(\blacksquare\)

Lemma, süreklilik için “yakındaki noktalarda değer fazla değişmez” sezgisinin sayısal biçimidir. Şimdi bunu, bir aralığın iki ucunda zıt işaretli olan sürekli bir fonksiyonun arada mutlaka sıfırlanması gerektiğini göstermek için kullanacağız. Bu sonuç Bernard Bolzano’nun 1817’de, süreklilik kavramını ilk kez kesin olarak tanımladığı çalışmasında ispatladığı teoremdir.

Teorem 35.1 (Bolzano Teoremi (Sıfır Yeri Teoremi)) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f(a)\) ve \(f(b)\) zıt işaretliyse, yani \(f(a) \cdot f(b) < 0\) ise, \(f(c) = 0\) olan bir \(c \in (a,b)\) vardır.

Bolzano teoremi: [a, b] üzerinde sürekli f için f(a) < 0 < f(b) ise grafik x eksenini bir c noktasında kesmek zorundadır. İspatta c, fonksiyonun negatif kaldığı S kümesinin supremumu olarak seçilir: eksende koyu çizilen parçanın sağ ucu.

İspat

\(f(a) < 0 < f(b)\) olduğunu varsayabiliriz; aksi hâlde \(f\) yerine \(-f\) alırız (\(-f\) de süreklidir ve sıfır yerleri aynıdır).

Adayın seçimi. Fonksiyonun negatif olduğu noktaların kümesini düşünelim:

\[S = \{ x \in [a,b] : f(x) < 0 \}.\]

\(f(a) < 0\) olduğundan \(a \in S\); yani \(S\) boş değildir. \(S \subseteq [a,b]\) olduğundan \(b\) bir üst sınırdır. Tamlık aksiyomu (Bölüm 10.4) gereği \(S\)’nin supremumu vardır; \(c = \sup S\) diyelim. \(a \in S\) ve \(b\) üst sınır olduğundan \(a \le c \le b\)’dir. İddiamız \(f(c) = 0\) olduğudur. Bunu, \(f(c) < 0\) ve \(f(c) > 0\) durumlarının her birinin çelişkiye götürdüğünü göstererek kanıtlayacağız.

Durum \(f(c) < 0\). \(f(b) > 0\) olduğundan \(c \ne b\), yani \(c < b\)’dir. Lemma 35.1 gereği öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in [a,b]\), \(|x - c| < \delta\) iken \(f(x) < 0\) olur. Gerekirse \(\delta\)’yı küçülterek \(\delta \le b - c\) alalım. O zaman \(x_1 = c + \dfrac{\delta}{2}\) noktası \([a,b]\) içindedir, \(|x_1 - c| < \delta\)’dır ve dolayısıyla \(f(x_1) < 0\), yani \(x_1 \in S\). Ama \(x_1 > c = \sup S\); bu, \(c\)’nin \(S\)’nin üst sınırı olmasıyla çelişir.

Durum \(f(c) > 0\). \(f(a) < 0\) olduğundan \(c \ne a\), yani \(c > a\)’dır. Yine Lemma 35.1 gereği öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in [a,b]\), \(|x - c| < \delta\) iken \(f(x) > 0\) olur. Öte yandan \(c = \sup S\) olduğundan, supremumun \(\varepsilon\)-karakterizasyonu (Teorem 10.1) ile \(c - \delta < s \le c\) olan bir \(s \in S\) vardır. Bu \(s\) için \(|s - c| < \delta\), dolayısıyla \(f(s) > 0\); ama \(s \in S\) demek \(f(s) < 0\) demektir. Çelişki.

Sonuç. Geriye yalnızca \(f(c) = 0\) seçeneği kalır. \(f(a) \ne 0\) ve \(f(b) \ne 0\) olduğundan \(c \ne a\) ve \(c \ne b\), yani \(c \in (a,b)\)’dir.

\(\blacksquare\)

Teorem sıfır yerinin varlığını söyler, yerini söylemez; birden fazla sıfır yeri de olabilir. Ama ispat, sıfır yerini aramak için bir yöntem de vermiştir: “negatif kalınan son nokta” aranır. Aşağıdaki ikinci ispat ise sıfır yerini gerçekten hesaplamaya yarayan bir yöntemdir.

Notİkinci yol: ikiye bölme yöntemi

Bolzano teoremi, supremum yerine iç içe aralıklar teoremiyle (Teorem 10.5) de ispatlanabilir. \(f(a) < 0 < f(b)\) olsun ve \(I_1 = [a_1, b_1] = [a,b]\) diyelim. Aralığın orta noktası \(m_1 = \dfrac{a_1 + b_1}{2}\) olsun.

• \(f(m_1) = 0\) ise sıfır yeri bulunmuştur, dururuz.
• \(f(m_1) < 0\) ise \(I_2 = [m_1, b_1]\); \(f(m_1) > 0\) ise \(I_2 = [a_1, m_1]\) alırız.

Her iki hâlde de \(I_2 = [a_2, b_2]\) aralığının sol ucunda \(f\) negatif, sağ ucunda pozitiftir ve uzunluğu \(\dfrac{b-a}{2}\)’dir. Aynı işlemi \(I_2\)’ye uygulayarak \(I_3\)’ü, sonra \(I_4\)’ü, … elde ederiz. Süreç bir yerde durmazsa

\[I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots, \qquad f(a_n) < 0 < f(b_n), \qquad b_n - a_n = \frac{b-a}{2^{\,n-1}}\]

olur. Uzunluklar \(0\)’a gider: \(b_n - a_n = 2(b-a) \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \to 0\) (Teorem 22.8, Teorem 21.1). Özel olarak her \(\varepsilon > 0\) için \(b_n - a_n < \varepsilon\) olan bir \(n\) vardır; Teorem 10.5 (2) gereği kesişim tek bir \(c\) noktasıdır ve her \(n\) için \(a_n \le c \le b_n\)’dir. \(0 \le c - a_n \le b_n - a_n \to 0\) olduğundan sıkıştırma teoremiyle (Teorem 21.6) \(a_n \to c\), benzer biçimde \(b_n \to c\). \(f\) sürekli olduğundan dizisel ölçüt (Teorem 33.1) ile \(f(a_n) \to f(c)\) ve \(f(b_n) \to f(c)\). Her \(n\) için \(f(a_n) < 0\) olduğundan limit sıralama teoremi (Teorem 21.3) \(f(c) \le 0\) verir; \(f(b_n) > 0\) olduğundan da \(f(c) \ge 0\). Öyleyse \(f(c) = 0\).

Bu yöntemin pratik değeri büyüktür: \(I_n\) aralığı \(n-1\) ikiye bölme adımından sonra elde edildiğinden, \(n\) adım sonra sıfır yeri uzunluğu \(\dfrac{b-a}{2^{\,n}}\) olan \(I_{n+1}\) aralığına hapsedilmiştir; yani her adımda bir ikili basamak kazanılır. Bilgisayarla kök bulmanın en basit algoritması budur.

Örnek 35.1 (Üç Reel Kökü Olan Bir Polinom) \(p(x) = x^3 - 3x + 1\) polinomunun üç farklı reel kökü olduğunu gösteriniz ve her birini uzunluğu \(1\) olan bir aralığa yerleştiriniz.

Çözüm

Polinomlar \(\mathbb{R}\)’de süreklidir (Sonuç 33.2). Birkaç değer hesaplayalım:

\[p(-2) = -8 + 6 + 1 = -1, \quad p(-1) = -1 + 3 + 1 = 3, \quad p(0) = 1, \quad p(1) = 1 - 3 + 1 = -1, \quad p(2) = 8 - 6 + 1 = 3.\]

İşaret üç kez değişiyor:

• \([-2, -1]\) üzerinde \(p(-2) < 0 < p(-1)\); Teorem 35.1 gereği bir \(c_1 \in (-2,-1)\) kökü vardır.
• \([0, 1]\) üzerinde \(p(0) > 0 > p(1)\); bir \(c_2 \in (0,1)\) kökü vardır.
• \([1, 2]\) üzerinde \(p(1) < 0 < p(2)\); bir \(c_3 \in (1,2)\) kökü vardır.

Aralıklar ayrık olduğundan \(c_1 < c_2 < c_3\) üç farklı köktür. Cebirden bildiğimiz gibi üçüncü dereceden bir polinomun en çok üç kökü olabilir; demek ki başka kök yoktur.

İkiye bölme yöntemiyle \(c_2\)’yi biraz daha daraltalım: \(p(0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 + 1 = -0{,}375 < 0\), demek ki \(c_2 \in (0, 0{,}5)\). \(p(0{,}25) = 0{,}015625 - 0{,}75 + 1 > 0\), demek ki \(c_2 \in (0{,}25,\, 0{,}5)\). Devam edilirse \(c_2 \approx 0{,}347\) bulunur.

\(\blacksquare\)

35.2 Ara Değer Teoremi

Bolzano teoremi \(0\) değeri hakkındadır; ama \(0\)’ın özel bir yanı yoktur. Fonksiyondan bir sabit çıkararak aynı sonucu her ara değer için elde ederiz.

Teorem 35.2 (Ara Değer Teoremi) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli ve \(f(a) \ne f(b)\) olsun. \(f(a)\) ile \(f(b)\) arasındaki her \(y\) sayısı için, yani \(f(a) < y < f(b)\) ya da \(f(b) < y < f(a)\) olan her \(y\) için, \(f(c) = y\) olan bir \(c \in (a,b)\) vardır.

İspat

\(g : [a,b] \to \mathbb{R}\), \(g(x) = f(x) - y\) olsun. Sabit fonksiyon süreklidir ve sürekli fonksiyonların farkı süreklidir (Teorem 33.2); dolayısıyla \(g\) süreklidir. \(y\) sayısı \(f(a)\) ile \(f(b)\) arasında olduğundan \(g(a) = f(a) - y\) ve \(g(b) = f(b) - y\) zıt işaretlidir: \(f(a) < y < f(b)\) ise \(g(a) < 0 < g(b)\), öteki hâlde \(g(b) < 0 < g(a)\). Her iki durumda da \(g(a) \cdot g(b) < 0\). Teorem 35.1 gereği \(g(c) = 0\), yani \(f(c) = y\) olan bir \(c \in (a,b)\) vardır.

\(\blacksquare\)

Teoremi şöyle özetleyebiliriz: kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyon, aldığı iki değer arasındaki her değeri alır. Grafiğin diliyle: \(y\) yüksekliğindeki yatay doğru, grafiğin altından üstüne geçilirken mutlaka kesilir. \(y = f(a)\) ya da \(y = f(b)\) durumları zaten aşikâr olduğundan (\(c = a\) ya da \(c = b\) alınır), \(f(a)\) ile \(f(b)\) arasındaki (uçlar dâhil) her değer alınır.

UyarıSüreklilik vazgeçilmezdir; karşıtı yanlıştır

Taban fonksiyonu \(f(x) = \lfloor x \rfloor\), \([0,1]\) üzerinde \(f(0) = 0\) ve \(f(1) = 1\) değerlerini alır ama arada hiçbir değeri, örneğin \(\dfrac{1}{2}\)’yi almaz: \(1\) noktasındaki sıçrama ara değerleri atlatır. (Süreksizlik türlerinin tanımı noktanın bir delinmiş komşuluğunun tanım kümesinde olmasını ister; \(1\), \([0,1]\)’in uç noktası olduğundan bu sınıflandırma taban fonksiyonu bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde düşünüldüğünde uygulanır: Tanım 34.1 (2) ve Örnek 34.2 gereği \(1\) bir sıçrama noktasıdır.) Demek ki teoremdeki süreklilik koşulu kaldırılamaz.

Teoremin karşıtı da doğru değildir: ara değer özelliğini taşıyan her fonksiyon sürekli olmak zorunda değildir. \(g(x) = \sin\dfrac{1}{x}\) (\(x \ne 0\)), \(g(0) = 0\) fonksiyonu \(0\)’da sürekli değildir (Örnek 28.2); ama yine de ara değer özelliğini taşır. \(0\)’ı içermeyen bir aralıkta \(g\) süreklidir ve Teorem 35.2 uygulanır. \(0\)’ı içeren bir \([x_1, x_2]\) aralığında ise \(g\), \([-1,1]\)’deki bütün değerleri sonsuz kez alır; \(g(x_1)\) ve \(g(x_2)\) de \([-1,1]\)’de olduğundan aralarındaki her değer alınır. Bu tür fonksiyonlara “Darboux özellikli” denir ve Analiz 2’de türevlerin bu özelliği taşıdığı görülecektir.

Şimdi ara değer teoreminin klasik uygulamalarını görelim. Her birinde şablon aynıdır: uygun bir sürekli fonksiyon kur, iki ucunda işaret değiştirdiğini göster.

Örnek 35.2 (Tek Dereceli Polinomun Reel Kökü Vardır) Derecesi tek olan her reel katsayılı polinomun en az bir reel kökü olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\), \(a_n \ne 0\) ve \(n\) tek olsun. \(p\)’nin kökleri \(\dfrac{1}{a_n} p\)’nin kökleriyle aynı olduğundan, baş katsayının \(1\) olduğunu varsayabiliriz:

\[p(x) = x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_1 x + b_0, \qquad b_k = \frac{a_k}{a_n}.\]

Fikir şudur: \(|x|\) çok büyükken \(x^n\) terimi ötekilerin toplamını ezer, dolayısıyla \(p(x)\)’in işareti \(x^n\)’nin işaretidir; \(n\) tek olduğundan bu işaret \(x > 0\) için \(+\), \(x < 0\) için \(-\)’dir. Bunu kesinleştirelim.

\(M = 1 + |b_{n-1}| + |b_{n-2}| + \cdots + |b_0|\) olsun; \(M \ge 1\)’dir. \(|x| = M\) için, \(|x| \ge 1\) olduğundan \(k \le n-1\) iken \(|x|^k \le |x|^{n-1}\) olur ve genel üçgen eşitsizliğiyle (Teorem 9.7)

\[\left| b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right| \le \big( |b_{n-1}| + \cdots + |b_0| \big) |x|^{n-1} = (M - 1) M^{n-1}.\]

Bu kalan kısma \(r(x)\) diyelim; \(p(x) = x^n + r(x)\) ve \(|r(\pm M)| \le (M-1) M^{n-1}\). Şimdi

\[p(M) = M^n + r(M) \ge M^n - (M-1) M^{n-1} = M^{n-1} > 0,\]

\[p(-M) = (-M)^n + r(-M) = -M^n + r(-M) \le -M^n + (M-1) M^{n-1} = -M^{n-1} < 0.\]

İkinci satırda \(n\) tek olduğu için \((-M)^n = -M^n\) yazdık. Polinom sürekli olduğundan (Sonuç 33.2) Teorem 35.1, \([-M, M]\) aralığında bir kök verir.

Derece çift olduğunda sonuç yanlıştır: \(x^2 + 1\) polinomunun reel kökü yoktur, çünkü her \(x\) için \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\) (Önerme 7.12 (1)).

\(\blacksquare\)

Örnek 35.3 (Bir Denklemin Çözümü) \(x = \cos x\) denkleminin tam olarak bir reel çözümü olduğunu ve bu çözümün \((0,1)\) aralığında bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(g(x) = x - \cos x\) olsun. Kosinüs \(\mathbb{R}\)’de süreklidir (Önerme 33.4); \(x \mapsto x\) de sürekli olduğundan \(g\) süreklidir (Teorem 33.2). Aşağıda kosinüsün \([0, \pi/2]\) üzerinde azalan olması ve \(|\cos x| \le 1\) gibi temel trigonometri olgularını da kullanacağız.

Varlık. \(g(0) = 0 - \cos 0 = -1 < 0\). \(g(1) = 1 - \cos 1\) ve \(0 < 1 < \dfrac{\pi}{2}\) olduğundan \(0 < \cos 1 < 1\), dolayısıyla \(g(1) > 0\). Teorem 35.1 gereği \(g(c) = 0\), yani \(c = \cos c\) olan bir \(c \in (0,1)\) vardır.

Teklik. Önce \([0,1]\) üzerinde: \(0 \le x < y \le 1\) ise, kosinüs \([0, \pi/2]\) üzerinde azalan olduğundan \(\cos x \ge \cos y\) ve

\[g(y) - g(x) = (y - x) + (\cos x - \cos y) > 0.\]

Yani \(g\), \([0,1]\) üzerinde kesin artandır ve en çok bir kez sıfırlanır. Aralığın dışında sıfırlanamaz: \(x > 1\) ise \(\cos x \le 1 < x\) olduğundan \(g(x) > 0\); \(x < 0\) ise ya \(-1 \le x < 0\) olur ve \(\cos x > 0 > x\), ya da \(x < -1\) olur ve \(x < -1 \le \cos x\); her iki hâlde \(g(x) < 0\). Demek ki denklemin \(\mathbb{R}\)’deki tek çözümü \(c\)’dir.

İkiye bölme yöntemiyle \(g(0{,}5) < 0\) ve \(g(0{,}75) > 0\) bulunur; devam edildiğinde \(c \approx 0{,}739\) elde edilir.

\(\blacksquare\)

Örnek 35.4 (Sabit Nokta Teoremi) \(f : [0,1] \to [0,1]\) sürekli olsun. \(f(c) = c\) olan bir \(c \in [0,1]\) (bir sabit nokta) bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm

Sezgi: grafik, \([0,1] \times [0,1]\) karesinin sol kenarından sağ kenarına kalem kaldırmadan çizilen bir eğridir; köşegen \(y = x\) kareyi ikiye böldüğünden eğri köşegeni kesmek zorundadır.

\(g(x) = f(x) - x\) olsun; \(g\) süreklidir. \(f\)’nin değerleri \([0,1]\)’de olduğundan

\[g(0) = f(0) - 0 = f(0) \ge 0, \qquad g(1) = f(1) - 1 \le 0.\]

\(g(0) = 0\) ise \(c = 0\), \(g(1) = 0\) ise \(c = 1\) bir sabit noktadır. Aksi hâlde \(g(0) > 0 > g(1)\) olur ve Teorem 35.1 gereği \(g(c) = 0\), yani \(f(c) = c\) olan bir \(c \in (0,1)\) vardır.

Sürekli f: [0, 1] → [0, 1] fonksiyonunun grafiği kareyi sol kenardan sağ kenara geçerken y = x köşegenini kesmek zorundadır; kesişim noktası c, f(c) = c sabit noktasıdır. g(x) = f(x) − x farkı 0'da ≥ 0, 1'de ≤ 0 olduğundan Bolzano teoremi arada bir sıfır verir.

Aynı akıl yürütme herhangi bir \([a,b]\) aralığı için de geçerlidir: \(f : [a,b] \to [a,b]\) sürekliyse sabit noktası vardır. Fakat aralığın kapalı olması şarttır: \(f : (0,1) \to (0,1)\), \(f(x) = \dfrac{x}{2}\) sürekli olduğu hâlde sabit noktası yoktur (\(\frac{x}{2} = x\) yalnız \(x = 0\) için sağlanır, \(0 \notin (0,1)\)).

\(\blacksquare\)

Örnek 35.5 (Köklerin Varlığı Yeniden) Ara değer teoremini kullanarak \(c^2 = 2\) olan bir \(c > 0\) bulunduğunu, daha genel olarak her \(a > 0\) ve \(n \in \mathbb{N}\) için \(c^n = a\) olan bir \(c > 0\) bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(\sqrt{2}\)’nin varlığını Teorem 13.1’te doğrudan supremum ile, \(n\)-inci kökleri Teorem 13.2’te binom açılımıyla ispatlamıştık. Ara değer teoremi bu işi neredeyse zahmetsiz hâle getirir.

\(f(x) = x^2 - 2\) sürekli bir polinomdur; \(f(1) = -1 < 0\) ve \(f(2) = 2 > 0\). Teorem 35.1 gereği \(c^2 = 2\) olan bir \(c \in (1,2)\) vardır. \(0 < x < y\) iken \(x^2 < y^2\) olduğundan (Önerme 7.12 (4)) pozitif böyle bir sayı tektir; ona \(\sqrt{2}\) deriz.

Genel hâl: \(f(x) = x^n - a\) olsun. \(f(0) = -a < 0\). Bernoulli eşitsizliği (Teorem 9.5) ile \((1 + a)^n \ge 1 + na > a\) olduğundan \(f(1+a) > 0\). Öyleyse \([0, 1+a]\) aralığında \(c^n = a\) olan bir \(c \in (0, 1+a)\) vardır.

Elbette bu ispat, tamlığı daha derinde kullanıyor: ara değer teoremi supremumun varlığına dayanmaktadır. Yeni bir şey kazanmadık; ama tamlığın bir kez sürekli fonksiyonlar diline çevrilmesi, sonsuz çeşitlilikte varlık sorusunu tek bir kalıba indirger.

\(\blacksquare\)

Ara değer teoreminin başka bir okuması da vardır: sürekli fonksiyon aralıkları aralıklara götürür. Bunu, kapalı sınırlı aralıklar için daha kesin bir biçimde aşağıda (Sonuç 35.1) göreceğiz; genel aralıklar için ifade şudur.

Önerme 35.1 (Sürekli Fonksiyon Aralığı Aralığa Götürür) \(I \subseteq \mathbb{R}\) bir aralık ve \(f : I \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f(I)\) görüntü kümesi, içerdiği herhangi iki sayı arasındaki her sayıyı da içerir; yani \(f(I)\) bir aralıktır (tek noktalı olabilir).

İspat

\(y_1, y_2 \in f(I)\), \(y_1 < y < y_2\) olsun. \(y_1 = f(x_1)\), \(y_2 = f(x_2)\) olan \(x_1, x_2 \in I\) seçelim; \(y_1 \ne y_2\) olduğundan \(x_1 \ne x_2\). \(x_1 < x_2\) ise \([x_1, x_2] \subseteq I\)’dır (\(I\) aralık; Tanım 7.3) ve \(f\) bu kapalı aralıkta süreklidir; Teorem 35.2 gereği \(f(c) = y\) olan bir \(c \in (x_1, x_2)\) vardır. \(x_2 < x_1\) ise aynı şey \([x_2, x_1]\) için yapılır. Her iki hâlde \(y \in f(I)\).

Gösterdiğimiz özellik, tam olarak aralık tanımındaki koşuldur (Tanım 7.3); \(J = f(I)\) boş olmadığından \(J\) bir aralıktır.

Uçlarını da belirleyebiliriz. \(J\) üstten sınırlıysa \(\beta = \sup J\), değilse \(\beta = +\infty\); alttan sınırlıysa \(\alpha = \inf J\), değilse \(\alpha = -\infty\) olsun. \(\alpha < y < \beta\) olan bir \(y\) alalım. \(\beta\) sonluysa Teorem 10.1 (\(\varepsilon = \beta - y\) ile), sonsuzsa üstten sınırsızlık, \(y < y_2\) olan bir \(y_2 \in J\) verir; benzer biçimde (\(\alpha\) sonluysa Teorem 10.2 ile) \(y_1 < y\) olan bir \(y_1 \in J\) vardır. Yukarıdaki özellik gereği \(y \in J\). Demek ki \(\alpha\) ile \(\beta\) arasındaki her sayı \(J\)’dedir; \(J\)’nin hiçbir elemanı da \(\alpha\)’nın altına ya da \(\beta\)’nın üstüne çıkamaz. O hâlde \(J\), uçları \(\alpha\) ve \(\beta\) olan bir aralıktır; uçların kümeye ait olup olmamasına göre açık, kapalı ya da yarı açıktır (sonsuz uçlarda köşeli ayraç kullanılmaz).

\(\blacksquare\)

Görüntünün türü değişebilir: \(f(x) = x^2\) fonksiyonu açık \((-1,1)\) aralığını yarı açık \([0,1)\) aralığına, \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) ise \((0,1]\) aralığını sınırsız \([1,\infty)\) aralığına götürür. Kapalı sınırlı aralıklarda böyle bir şey olmaz; bu da bir sonraki kısmın konusudur.

35.3 Sınırlılık ve Weierstrass Ekstremum Teoremi

\(f(x) = \dfrac{1}{x}\) fonksiyonu \((0,1]\) üzerinde süreklidir ama sınırsızdır; \(f(x) = x\) fonksiyonu \([0,1)\) üzerinde süreklidir, sınırlıdır ama en büyük değerini almaz: değerler \(1\)’e istediğimiz kadar yaklaşır, \(1\) hiçbir zaman alınmaz. Bu iki örnekte aralık kapalı ve sınırlı değildir. Şimdi göreceğimiz iki teorem, aralık kapalı ve sınırlı olduğunda bu iki aksaklığın da ortadan kalktığını söyler. İspatların her ikisinde de ana araç Bolzano–Weierstrass teoremidir (Teorem 24.5): sınırlı her dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır.

Teorem 35.3 (Kapalı Aralıkta Sürekli Fonksiyon Sınırlıdır) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli ise \(f\) sınırlıdır; yani her \(x \in [a,b]\) için \(|f(x)| \le M\) olacak bir \(M > 0\) vardır.

İspat

Olmayana ergi yöntemini kullanalım: \(f\) sınırsız olsun. O zaman hiçbir sayı \(|f|\) için üst sınır değildir; özel olarak her \(n \in \mathbb{N}\) için

\[|f(x_n)| > n\]

olan bir \(x_n \in [a,b]\) seçilebilir. Böylece \([a,b]\) içinde bir \((x_n)\) dizisi elde ettik. Bu dizi sınırlıdır (\(a \le x_n \le b\)); Teorem 24.5 gereği yakınsak bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır. Limitine \(x_0\) diyelim. Her \(k\) için \(a \le x_{n_k} \le b\) olduğundan limit sıralama teoremiyle (Teorem 21.3) \(a \le x_0 \le b\), yani \(x_0 \in [a,b]\).

\(f\), \(x_0\) noktasında süreklidir. Sürekliliğin dizisel ölçütü (Teorem 33.1) gereği \(f(x_{n_k}) \to f(x_0)\). Yakınsak diziler sınırlıdır (Teorem 20.2); demek ki \((f(x_{n_k}))_k\) dizisi sınırlıdır. Ama seçimimiz gereği

\[|f(x_{n_k})| > n_k \ge k \qquad (k \in \mathbb{N})\]

(alt dizi indisleri için \(n_k \ge k\) eşitsizliğini Önerme 24.1’te görmüştük). Yani \((f(x_{n_k}))\) sınırsızdır. Çelişki. Öyleyse \(f\) sınırlıdır.

\(\blacksquare\)

İspatın kilit noktası, \([a,b]\) içindeki her dizinin \([a,b]\) içinde kalan bir limite sahip alt dizisinin olmasıdır; bunun için hem sınırlılık (Bolzano–Weierstrass için) hem de kapalılık (limitin aralıkta kalması için) gerekir. Şimdi bir adım daha atıp sınırın gerçekten alındığını gösterelim.

Teorem 35.4 (Weierstrass Ekstremum Teoremi) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f\) en büyük ve en küçük değerini alır: öyle \(x_M, x_m \in [a,b]\) noktaları vardır ki her \(x \in [a,b]\) için

\[f(x_m) \le f(x) \le f(x_M).\]

Başka bir deyişle \(f(x_M) = \max f([a,b])\) ve \(f(x_m) = \min f([a,b])\); supremum ve infimum birer maksimum ve minimumdur.

Solda kapalı [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon: en büyük değer x_M'de, en küçük değer x_m'de gerçekten alınır. Sağda (0, 1] üzerinde f(x) = 1/x: aralık kapalı olmadığından fonksiyon sınırsızdır ve en büyük değer yoktur; en küçük değer f(1) = 1 ise alınır.

İspat

Maksimum. \(f([a,b]) = \{ f(x) : x \in [a,b] \}\) görüntü kümesi boş değildir ve Teorem 35.3 gereği üstten sınırlıdır. Tamlık aksiyomu (Bölüm 10.4) ile supremumu vardır; \(M = \sup f([a,b])\) diyelim. Göstereceğimiz şey \(M\)’nin alındığı, yani \(f(x_M) = M\) olan bir \(x_M\) bulunduğudur.

Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(M - \dfrac{1}{n} < M\) sayısı \(f([a,b])\)’nin üst sınırı değildir (Teorem 10.1, \(\varepsilon = \frac{1}{n}\) ile); dolayısıyla

\[M - \frac{1}{n} < f(x_n) \le M\]

olan bir \(x_n \in [a,b]\) seçebiliriz. \(\dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan (Örnek 20.1) sıkıştırma teoremi (Teorem 21.6) \(f(x_n) \to M\) verir.

\((x_n)\) dizisi \([a,b]\) içinde olduğundan sınırlıdır; Teorem 24.5 gereği yakınsak bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır, \(x_{n_k} \to x_M\) diyelim. Önceki ispattaki gibi \(a \le x_{n_k} \le b\) olduğundan \(x_M \in [a,b]\) (Teorem 21.3).

Şimdi \((f(x_{n_k}))_k\) dizisine iki gözle bakalım:

• \(f\), \(x_M\)’de sürekli olduğundan Teorem 33.1 ile \(f(x_{n_k}) \to f(x_M)\).
• \((f(x_{n_k}))\), \(M\)’ye yakınsayan \((f(x_n))\) dizisinin bir alt dizisidir; Teorem 24.1 gereği \(f(x_{n_k}) \to M\).

Limit tektir (Teorem 20.1); öyleyse \(f(x_M) = M\). \(M\) bir üst sınır olduğundan her \(x\) için \(f(x) \le M = f(x_M)\).

Minimum. \(g = -f\) fonksiyonu \([a,b]\)’de süreklidir. İlk kısma göre \(g\) maksimumunu bir \(x_m\) noktasında alır: her \(x\) için \(-f(x) \le -f(x_m)\), yani \(f(x_m) \le f(x)\).

\(\blacksquare\)

Teoremin gücü şuradadır: bir “en iyi” noktanın var olduğunu, onu bulmadan söyler. Analiz 2’de türevle ekstremum ararken önce bu teoremle ekstremumun var olduğu garantiye alınır, sonra “türevin sıfır olduğu noktalar” arasında aranır. Weierstrass’ın adını taşımasının nedeni, bu tür varlık teoremlerinin titiz ispatlarının onun 1860’lardaki Berlin derslerinde ortaya konmuş olmasıdır.

Örnek 35.6 (Hipotezlerin Her Biri Gereklidir) Aşağıdaki fonksiyonların her birinin maksimumunu almadığını gösteriniz ve Weierstrass teoreminin hangi hipotezinin bozulduğunu belirtiniz.

1. \(f_1 : (0,1] \to \mathbb{R}\), \(f_1(x) = \dfrac{1}{x}\).

2. \(f_2 : [0,1) \to \mathbb{R}\), \(f_2(x) = x\).

3. \(f_3 : [0,1] \to \mathbb{R}\), \(f_3(x) = x\) (\(0 \le x < 1\)), \(f_3(1) = 0\).

4. \(f_4 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f_4(x) = \dfrac{x}{1 + |x|}\).

Çözüm

a) \(f_1\) süreklidir (Teorem 33.2) ama sınırsızdır: \(K > 0\) verilsin; \(x = \dfrac{1}{K+1} \in (0,1]\) için \(f_1(x) = K + 1 > K\). Sınırsız fonksiyonun maksimumu olamaz. Bozulan hipotez: aralık kapalı değil (\(0\) ucu eksik). Kapalılık kaldırılınca sürekli fonksiyonun sınırlı olması bile garanti edilemez.

b) \(f_2\) sürekli ve sınırlıdır; görüntü kümesi \([0,1)\), supremumu \(1\)’dir. Ama hiçbir \(x \in [0,1)\) için \(f_2(x) = 1\) olmaz. Bozulan hipotez: aralık kapalı değil.

c) Tanım kümesi \([0,1]\) kapalı ve sınırlıdır; \(f_3\) sınırlıdır, görüntüsü yine \([0,1)\)’dir ve \(1\) alınmaz. Bozulan hipotez: süreklilik — \(f_3\), \(1\) noktasında süreksizdir, çünkü \(x_n = 1 - \frac{1}{n} \to 1\) iken \(f_3(x_n) = 1 - \frac{1}{n} \to 1 \ne 0 = f_3(1)\) (Teorem 33.1).

d) \(f_4\), \(\mathbb{R}\)’de süreklidir (Önerme 33.3 ve Teorem 33.2; payda hiç sıfırlanmaz). Her \(x\) için \(|f_4(x)| = \dfrac{|x|}{1+|x|} < 1\), yani sınırlıdır. \(x > 0\) için \(f_4(x) = \dfrac{x}{1+x} = 1 - \dfrac{1}{1+x}\) ifadesi \(1\)’e istenildiği kadar yaklaşır ama \(1\)’e ulaşmaz; dolayısıyla \(\sup f_4(\mathbb{R}) = 1\) ve maksimum yoktur (benzer biçimde minimum da yoktur). Bozulan hipotez: tanım kümesi sınırlı değil. \(\mathbb{R}\) kapalıdır; kapalılık tek başına yetmez.

\(\blacksquare\)

Ara değer teoremi ile Weierstrass teoremini birleştirince kapalı aralığın görüntüsü tam olarak belirlenir.

Sonuç 35.1 (Kapalı Aralığın Sürekli Görüntüsü) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli, \(m = \min f([a,b])\) ve \(M = \max f([a,b])\) olsun. O zaman

\[f([a,b]) = [m, M].\]

Yani kapalı sınırlı bir aralığın sürekli görüntüsü, kapalı sınırlı bir aralıktır (ya da \(m = M\) ise tek noktadır).

İspat

\(m\) ve \(M\)’nin varlığı Teorem 35.4’dan gelir; \(m = f(x_m)\), \(M = f(x_M)\) diyelim.

(\(\subseteq\)) Her \(x \in [a,b]\) için \(m \le f(x) \le M\) olduğundan \(f([a,b]) \subseteq [m, M]\).

(\(\supseteq\)) \(y \in [m, M]\) olsun. \(y = m\) ise \(y = f(x_m)\), \(y = M\) ise \(y = f(x_M)\) görüntüdedir. \(m < y < M\) ise \(x_m \ne x_M\)’dir; \(f\), uçları \(x_m\) ve \(x_M\) olan kapalı aralıkta süreklidir ve bu uçlarda \(m\) ve \(M\) değerlerini alır. Teorem 35.2 gereği bu aralıkta \(f(c) = y\) olan bir \(c\) vardır; \(c \in [a,b]\) olduğundan \(y \in f([a,b])\).

\(\blacksquare\)

Örnek 35.7 (Bir Görüntü Kümesi Hesabı) \(f : [0,3] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - 2x\) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

Çözüm

\(f\) bir polinom olduğundan süreklidir; Sonuç 35.1 gereği \(f([0,3]) = [m, M]\)’dir ve iş, minimum ile maksimumu bulmaya kalır. Türev bilmeden de yapabiliriz: kareye tamamlayalım,

\[f(x) = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1.\]

\((x-1)^2 \ge 0\) ve eşitlik yalnız \(x = 1\)’de olduğundan \(m = f(1) = -1\). Maksimum için: \(x \in [0,3]\) iken \(|x - 1| \le 2\), dolayısıyla \((x-1)^2 \le 4\) ve \(f(x) \le 3\); eşitlik \(x = 3\)’te sağlanır. Öyleyse \(M = f(3) = 3\) ve

\[f([0,3]) = [-1, 3].\]

Uç noktalardaki değerlere bakmak yetmezdi: \(f(0) = 0\) ve \(f(3) = 3\) olduğu hâlde görüntü \([0,3]\) değildir; minimum aralığın içinde, \(x = 1\)’de alınır.

\(\blacksquare\)

35.4 Kompakt Kümelerin Sürekli Görüntüsü

Sınırlılık ve ekstremum teoremlerinin ispatlarında \([a,b]\)’nin kullandığımız tek özelliği şuydu: aralıktaki her dizinin, limiti yine aralıkta olan yakınsak bir alt dizisi vardır. Bu tam olarak dizisel kompaktlık (Tanım 24.3) tanımıdır ve Teorem 24.8 gereği kompaktlıkla, dolayısıyla kapalı ve sınırlı olmakla denktir. Öyleyse sonuçlar kapalı sınırlı bütün kümelere taşınmalıdır. Gerçekten de daha fazlası doğrudur: kompaktlık süreklilik altında korunur.

Teorem 35.5 (Kompakt Kümenin Sürekli Görüntüsü Kompakttır) \(K \subseteq \mathbb{R}\) kompakt ve \(f : K \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. O zaman \(f(K)\) kompakttır.

İspat

Teorem 24.8 gereği kompaktlık ile dizisel kompaktlık aynı şeydir; \(f(K)\)’nin dizisel kompakt olduğunu göstereceğiz. \((y_n)\), \(f(K)\) içinde herhangi bir dizi olsun. Her \(y_n\) bir görüntü olduğundan \(f(x_n) = y_n\) olan bir \(x_n \in K\) seçelim. \(K\) dizisel kompakt olduğundan \((x_n)\) dizisinin, limiti \(K\)’de olan yakınsak bir alt dizisi vardır: \(x_{n_k} \to x_0 \in K\). \(f\), \(x_0\)’da süreklidir; dizisel ölçüt (Teorem 33.1) ile

\[y_{n_k} = f(x_{n_k}) \to f(x_0) \in f(K).\]

Demek ki \((y_n)\)’nin, limiti \(f(K)\) içinde olan yakınsak bir alt dizisi vardır. \((y_n)\) keyfi olduğundan \(f(K)\) dizisel kompakt, dolayısıyla kompakttır.

\(\blacksquare\)

Sonuç 35.2 (Kompakt Kümede Sürekli Fonksiyon Ekstremumlarını Alır) \(K \ne \varnothing\) kompakt ve \(f : K \to \mathbb{R}\) sürekli ise \(f\) sınırlıdır ve en büyük ile en küçük değerini alır.

İspat

Teorem 35.5 gereği \(f(K)\) kompakttır; dolayısıyla sınırlı (Teorem 18.1) ve kapalıdır (Teorem 18.2). Boş olmayan, kapalı ve sınırlı bir kümenin maksimumu ve minimumu vardır (Sonuç 17.5); yani \(\sup f(K)\) ve \(\inf f(K)\) sayıları \(f(K)\)’nin elemanıdır. Bu da tam olarak \(f\)’nin en büyük ve en küçük değerlerini alması demektir.

\(\blacksquare\)

\([a,b]\) aralığı kapalı ve sınırlı olduğundan Heine–Borel teoremi (Teorem 18.5) gereği kompakttır; böylece Teorem 35.4 bu sonucun özel hâli olarak yeniden elde edilmiş olur. Yeni olan şey, sonucun örneğin \(K = [0,1] \cup [2,3]\) ya da \(K = \{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}\}\) gibi aralık olmayan kümelerde de geçerli olmasıdır.

Kompakt olmayan kümelerde görüntü kompakt olmak zorunda değildir: \((0,1]\) kompakt değildir ve \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) onu sınırsız \([1, \infty)\) kümesine götürür; \((0,1)\)’i ise \(x \mapsto x\) yine \((0,1)\)’e, kapalı olmayan bir kümeye götürür. Öte yandan ters yön de doğru değildir: kompakt olmayan bir kümenin sürekli görüntüsü kompakt olabilir; sabit fonksiyon \(\mathbb{R}\)’yi tek noktaya götürür.

İpucuBölümün özeti

\(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli olsun.

Sonuç	Söylediği	Dayandığı araç
Teorem 35.1	uçlarda zıt işaret \(\Rightarrow\) arada sıfır yeri	supremum / iç içe aralıklar
Teorem 35.2	aldığı iki değer arasındaki her değeri alır	Bolzano teoremi
Teorem 35.3	sınırlıdır	Bolzano–Weierstrass
Teorem 35.4	max ve min alınır	supremum + Bolzano–Weierstrass
Sonuç 35.1	\(f([a,b]) = [m, M]\)	ikisinin birleşimi
Teorem 35.5	kompaktın görüntüsü kompakt	dizisel kompaktlık

Hepsinin ortak paydası: tanım kümesi “kaçış noktası bırakmayan” bir kümedir ve süreklilik, dizilerin limitini fonksiyonun içinden geçirmemize izin verir.

35.5 Alıştırmalar

Alıştırma 35.1 (Ara Değer ve Weierstrass Teoremleri Üzerine)  

1. \(x^5 + 2x - 1 = 0\) denkleminin \((0,1)\) aralığında bir çözümü olduğunu gösteriniz.

2. \(p(x) = x^4 - 4x + 1\) polinomunun en az iki farklı reel kökü olduğunu gösteriniz.

3. \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli ve her \(x \in [a,b]\) için \(f(x) \in \mathbb{Q}\) olsun. \(f\)’nin sabit olduğunu gösteriniz.

4. \(f, g : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli, \(f(a) < g(a)\) ve \(f(b) > g(b)\) olsun. \(f(c) = g(c)\) olan bir \(c \in (a,b)\) bulunduğunu gösteriniz.

5. \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli ve her \(x \in [a,b]\) için \(f(x) > 0\) olsun. Her \(x \in [a,b]\) için \(f(x) \ge \delta\) olacak bir \(\delta > 0\) bulunduğunu gösteriniz. Aynı sonucun \((0,1]\) aralığında \(f(x) = x\) için yanlış olduğunu açıklayınız.

Çözüm

a) \(h(x) = x^5 + 2x - 1\) bir polinomdur, süreklidir (Sonuç 33.2). \(h(0) = -1 < 0\) ve \(h(1) = 1 + 2 - 1 = 2 > 0\). Teorem 35.1 gereği \(h(c) = 0\) olan bir \(c \in (0,1)\) vardır. (Ayrıca \(x < y\) iken \(x^5 < y^5\) ve \(2x < 2y\) olduğundan \(h\) kesin artandır; çözüm tektir.)

b) \(p(0) = 1 > 0\), \(p(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0\), \(p(2) = 16 - 8 + 1 = 9 > 0\). \([0,1]\) ve \([1,2]\) aralıklarında işaret değiştiğinden Teorem 35.1 iki kök verir: \(c_1 \in (0,1)\) ve \(c_2 \in (1,2)\). Aralıklar ayrık olduğundan \(c_1 \ne c_2\). (Derece çift olduğu için Örnek 35.2’teki sonuç uygulanamazdı; kökleri elle bulmak zorunda kaldık.)

c) \(f\) sabit olmasın; \(f(x_1) \ne f(x_2)\) olan \(x_1, x_2 \in [a,b]\) vardır, diyelim \(f(x_1) < f(x_2)\). İrrasyonel sayılar yoğun olduğundan (Teorem 13.6) \(f(x_1) < t < f(x_2)\) olan bir irrasyonel \(t\) vardır. \(f\), uçları \(x_1\) ve \(x_2\) olan kapalı aralıkta süreklidir; Teorem 35.2 gereği \(f(c) = t\) olan bir \(c\) vardır. Ama bu, \(f(c) \in \mathbb{Q}\) varsayımıyla çelişir. Öyleyse \(f\) sabittir.

Aynı akıl yürütme, değerleri \(\mathbb{Z}\)’de ya da herhangi bir “boşluklu” kümede olan sürekli fonksiyonların sabit olduğunu gösterir. Örneğin \([a,b]\)’de sürekli ve yalnız \(\pm 1\) değerlerini alan bir fonksiyon sabittir.

d) \(h = f - g\) fonksiyonu süreklidir (Teorem 33.2). \(h(a) = f(a) - g(a) < 0\) ve \(h(b) = f(b) - g(b) > 0\). Teorem 35.1 gereği \(h(c) = 0\), yani \(f(c) = g(c)\) olan bir \(c \in (a,b)\) vardır. Geometrik anlam: biri diğerinin altından başlayıp üstünde biten iki sürekli grafik kesişmek zorundadır. Örnek 35.4 bunun \(g(x) = x\) özel hâlidir.

e) Teorem 35.4 gereği \(f\) minimumunu bir \(x_m\) noktasında alır: her \(x\) için \(f(x) \ge f(x_m)\). \(\delta = f(x_m)\) diyelim; hipotez gereği \(\delta > 0\)’dır ve her \(x \in [a,b]\) için \(f(x) \ge \delta\).

Sonuç şunu söyler: kapalı aralıkta sürekli ve hep pozitif olan fonksiyon \(0\)’a “yaklaşamaz”, \(0\)’dan pozitif bir uzaklıkta kalır. \((0,1]\) üzerinde \(f(x) = x\) hep pozitiftir ama hiçbir \(\delta > 0\) işe yaramaz: Sonuç 12.2 gereği \(\dfrac{1}{n} < \delta\) olan bir \(n\) vardır ve \(f\!\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} < \delta\). Aralık kapalı olmadığından minimum yoktur, infimum \(0\)’dır ve alınmaz.

\(\blacksquare\)

Bu bölümde sürekliliğin bir aralık boyunca ne kadar güçlü sonuçlar verdiğini gördük. Ama süreklilik tanımındaki \(\delta\) hâlâ noktaya bağlıdır: aynı \(\varepsilon\) için aralığın bir yerinde geniş, başka bir yerinde çok dar bir \(\delta\) gerekebilir. Bir sonraki bölümde, bütün aralık için tek bir \(\delta\)’nın yettiği durumu, düzgün sürekliliği inceleyecek ve Cantor teoremiyle kapalı sınırlı aralıkta sürekliliğin bunu otomatik olarak sağladığını göreceğiz: Düzgün Süreklilik ve Cantor Teoremi.