24 Alt Diziler ve Bolzano–Weierstrass Teoremi
Önceki bölümde monoton dizilerin ne kadar “uslu” olduğunu gördük: sınırlıysa yakınsar, değilse sonsuza gider (Teorem 23.1, Teorem 23.2). Oysa çoğu dizi monoton değildir. \((-1)^n\) dizisi sınırlıdır ama yakınsamaz; terimleri \(-1\) ile \(1\) arasında gidip gelir. Yine de bu dizinin içinde düzenli parçalar saklıdır: çift indisli terimler hep \(1\), tek indisli terimler hep \(-1\)’dir. Bir diziden bazı terimleri (sırayı bozmadan, sonsuz tane) seçerek elde edilen yeni diziye alt dizi denir ve bu bölümün ana fikri şudur: her dizinin içinde monoton bir alt dizi vardır; dizi sınırlıysa bu alt dizi yakınsar. Bu, analizin en çok kullanılan araçlarından biri olan Bolzano–Weierstrass teoremidir.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: alt dizi tanımı ve \(n_k \ge k\) eşitsizliği; yakınsak bir dizinin her alt dizisinin aynı limite gittiği ve bunun ıraksaklığı göstermede nasıl kullanıldığı; tek ve çift indisli alt dizilerle yakınsaklık ölçütü; dizinin kuyruğu ve \(\lim a_n = \lim a_{n+1}\) eşitliği; monoton alt dizi teoremi ve Bolzano–Weierstrass teoremi; sınırsız diziler için karşılığı; iç içe aralıklar teoreminin dizilerle ispatı; son olarak dizisel kompaktlık ve kompaktlığın üç denk biçimi.
24.1 Alt Diziler
\((a_n) = (a_1, a_2, a_3, \dots)\) dizisinden sonsuz tane terimi, soldan sağa sırayı koruyarak seçelim: örneğin \(a_2, a_5, a_9, a_{14}, \dots\). Seçilen terimler yeni bir dizi oluşturur. Önemli olan iki şeydir: seçilen terim sayısı sonsuzdur ve indisler kesin artar; yani geriye dönüp daha önceki bir terimi alamayız, aynı terimi iki kez de kullanamayız.
Tanım 24.1 (Alt Dizi) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi ve \((n_k)_{k \in \mathbb{N}}\) kesin artan bir doğal sayı dizisi olsun:
\[n_1 < n_2 < n_3 < \cdots < n_k < n_{k+1} < \cdots.\]
\(b_k = a_{n_k}\) ile tanımlanan \((b_k)\) dizisine \((a_n)\) dizisinin bir alt dizisi (subsequence) denir ve genellikle \((a_{n_k})\) ile gösterilir. Terimleri açık yazarsak
\[(a_{n_k}) = (a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \dots, a_{n_k}, \dots).\]
Tanımda iki dizi vardır: ana dizi \((a_n)\) ve hangi terimlerin seçildiğini söyleyen indis dizisi \((n_k)\). Alt dizinin \(k\)-ıncı terimi, ana dizinin \(n_k\)-ıncı terimidir. Alt dizi de bir dizidir (Tanım 19.1), çünkü \(k \mapsto a_{n_k}\) kuralı \(\mathbb{N}\)’den \(\mathbb{R}\)’ye bir fonksiyondur.
\((a_2, a_1, a_4, a_3, \dots)\) bir alt dizi değildir: \(n_1 = 2 > 1 = n_2\) olduğundan indisler kesin artan değildir. \((a_1, a_1, a_1, \dots)\) de alt dizi değildir; aynı indis tekrar edilemez. \((a_1, a_2, \dots, a_{10})\) sonlu listesi de alt dizi değildir; alt dizi sonsuz sayıda terim içerir. Buna karşılık \((a_n)\) dizisinin kendisi bir alt dizidir: \(n_k = k\) alınır.
Örnek 24.1 (Alt Dizi Örnekleri) Aşağıdaki dizilerin belirtilen alt dizilerini indis dizisiyle birlikte yazınız.
\((a_n)\) herhangi bir dizi; tek indisli terimlerden oluşan alt dizi.
\((0, 1, 0, 1, \dots)\) dizisinin sabit alt dizileri.
\((a_n) = \left(1, \dfrac12, \dfrac13, \dots\right)\) dizisinin \(\left(\dfrac15, \dfrac16, \dfrac17, \dots\right)\) alt dizisi.
Çözüm
a) \(n_k = 2k - 1\) alalım: \(n_1 = 1 < n_2 = 3 < n_3 = 5 < \cdots\) kesin artandır. Alt dizi \((a_{2k-1}) = (a_1, a_3, a_5, \dots)\) olur. \(n_k = 2k + 1\) ile başlanırsa \((a_3, a_5, a_7, \dots)\) elde edilir; bu da tek indisli terimlerin bir alt dizisidir. Çift indisli terimler için \(n_k = 2k\) alınır: \((a_{2k}) = (a_2, a_4, a_6, \dots)\).
b) \(a_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{2}\) dizisinde çift indisli terimler \(1\), tek indisli terimler \(0\)’dır. \(n_k = 2k\) ile \((a_{2k}) = (1, 1, 1, \dots)\), \(n_k = 2k - 1\) ile \((a_{2k-1}) = (0, 0, 0, \dots)\) sabit alt dizileridir. Bu iki alt dizi farklı sayılara yakınsar; birazdan bunun ana dizinin ıraksak olduğunu kanıtladığını göreceğiz.
c) \(b_k = \dfrac{1}{k + 4} = a_{k+4}\) olduğundan \(n_k = k + 4\) alınır: \(n_1 = 5 < n_2 = 6 < \cdots\). Bu alt dizi, ana dizinin ilk dört terimi atılarak elde edilmiştir; böyle alt dizilere birazdan “kuyruk” diyeceğiz.
\(\blacksquare\)
Alt dizilerle çalışırken sürekli ihtiyaç duyacağımız basit bir gerçek var: \(k\)-ıncı seçilen terimin indisi en az \(k\)’dır. Çünkü ilk seçilen indis en az \(1\), ondan kesin büyük olan ikincisi en az \(2\)’dir ve bu böyle sürer.
Önerme 24.1 (Alt Dizi İndisleri En Az k’dır) \((n_k)\) kesin artan bir doğal sayı dizisi olsun. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(n_k \ge k\)’dır.
İspat
\(k\) üzerinden tümevarım yapalım (Teorem 9.1).
Taban. \(n_1\) bir doğal sayıdır ve her doğal sayı \(1\)’den küçük değildir (Önerme 9.3); dolayısıyla \(n_1 \ge 1\).
Adım. \(n_k \ge k\) olsun. \((n_k)\) kesin artan olduğundan \(n_{k+1} > n_k\); iki doğal sayı arasında kesin eşitsizlik varsa aralarındaki fark en az \(1\)’dir (Önerme 9.3), yani \(n_{k+1} \ge n_k + 1\). Tümevarım varsayımıyla \(n_{k+1} \ge n_k + 1 \ge k + 1\).
Böylece her \(k\) için \(n_k \ge k\).
\(\blacksquare\)
Bu önermenin bir sonucu şudur: \(k \to \infty\) iken \(n_k \to +\infty\); çünkü \(M\) ne olursa olsun \(k > M\) olan her \(k\) için \(n_k \ge k > M\) olur (Sonuç 12.1). Dolayısıyla bir alt dizinin limitine bakarken “\(k \to \infty\)” ile “\(n_k \to \infty\)” aynı şeyi söyler: alt dizi de ana dizi gibi sonsuza doğru ilerler, yalnızca bazı terimleri atlar.
24.2 Alt Dizilerin Yakınsaklığı
Bir dizi \(a\)’ya yakınsıyorsa terimleri bir yerden sonra \(a\)’nın istediğimiz kadar küçük komşuluğuna girer. Alt dizinin terimleri bu terimlerin arasından seçildiğine göre alt dizi de aynı komşuluğa girmek zorundadır. Tek dikkat edilecek nokta, alt dizinin indislerinin yeterince büyüdüğünden emin olmaktır; bunu Önerme 24.1 sağlar.
Teorem 24.1 (Yakınsak Dizinin Her Alt Dizisi Aynı Limite Yakınsar) \((a_n)\) dizisi \(a \in \mathbb{R}\) sayısına yakınsıyorsa her \((a_{n_k})\) alt dizisi de \(a\)’ya yakınsar:
\[\lim_{n\to\infty} a_n = a \implies \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a.\]
Ayrıca \(\lim a_n = +\infty\) ise her alt dizinin limiti \(+\infty\), \(\lim a_n = -\infty\) ise her alt dizinin limiti \(-\infty\)’dur.
İspat
\((a_n) \to a\) olsun ve \((a_{n_k})\) herhangi bir alt dizi olsun. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Limit tanımı (Tanım 20.1) gereği öyle bir \(n_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır ki
\[n \ge n_\varepsilon \implies |a_n - a| < \varepsilon.\]
Şimdi \(k \ge n_\varepsilon\) olsun. Önerme 24.1 gereği \(n_k \ge k \ge n_\varepsilon\); dolayısıyla \(n = n_k\) için yukarıdaki gerektirme uygulanır ve \(|a_{n_k} - a| < \varepsilon\) elde edilir. Demek ki her \(\varepsilon > 0\) için, \(k \ge n_\varepsilon\) olduğunda \(|a_{n_k} - a| < \varepsilon\) sağlanır; bu tam olarak \(\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a\) demektir. (Alt dizi için işe yarayan indis, ana dizininkiyle aynı \(n_\varepsilon\)’dur.)
Sonsuz limit durumu aynı kalıpla gider. \(\lim a_n = +\infty\) olsun. \(M \in \mathbb{R}\) verilsin; Tanım 22.1 gereği \(n \ge n_M\) için \(a_n > M\) olacak biçimde bir \(n_M\) vardır. \(k \ge n_M\) için \(n_k \ge k \ge n_M\), dolayısıyla \(a_{n_k} > M\). Yani \(\lim a_{n_k} = +\infty\). \(-\infty\) durumu \(a_n < M\) ile aynıdır.
\(\blacksquare\)
Teoremin karşıtı da doğrudur, üstelik ispatı neredeyse hiç emek istemez: dizinin kendisi bir alt dizi olduğundan, “her alt dizi \(a\)’ya yakınsar” ifadesi dizinin kendisinin de \(a\)’ya yakınsadığını içerir.
Sonuç 24.1 (Yakınsaklığın Alt Dizilerle Karakterizasyonu) Bir \((a_n)\) dizisinin \(a \in \mathbb{R}\) sayısına yakınsaması için gerek ve yeter koşul, her alt dizisinin \(a\)’ya yakınsamasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) Teorem 24.1. (\(\Leftarrow\) yönü) Her alt dizi \(a\)’ya yakınsasın. \(n_k = k\) ile tanımlanan alt dizi \((a_n)\)’in kendisidir; dolayısıyla \((a_n) \to a\).
\(\blacksquare\)
Teoremin asıl gücü olumsuz yöndedir: bir dizinin ıraksak olduğunu göstermek için tanımla uğraşmak yerine, uygun iki alt dizi bulmak yeter.
Sonuç 24.2 (Alt Dizilerle Iraksaklık Ölçütü) \((a_n)\) bir dizi olsun.
- \((a_n)\)’in farklı limitlere yakınsayan iki alt dizisi varsa \((a_n)\) ıraksaktır.
- \((a_n)\)’in ıraksak bir alt dizisi varsa \((a_n)\) ıraksaktır.
İspat
(1) \((a_{n_k}) \to p\) ve \((a_{m_k}) \to q\) olsun, \(p \ne q\). \((a_n)\) bir \(a\) sayısına yakınsasaydı Teorem 24.1 gereği her iki alt dizi de \(a\)’ya yakınsardı; limitin tekliğinden (Teorem 20.1) \(p = a = q\) olurdu. Bu \(p \ne q\) ile çelişir. Demek ki \((a_n)\) yakınsak değildir (Tanım 20.2).
(2) \((a_n)\) yakınsak olsaydı Teorem 24.1 gereği her alt dizisi yakınsak olurdu; ıraksak bir alt dizinin varlığı bununla çelişir.
\(\blacksquare\)
Örnek 24.2 (Alt Dizilerle Iraksaklık) Aşağıdaki dizilerin ıraksak olduğunu alt diziler yardımıyla gösteriniz.
\(a_n = (-1)^n\)
\(a_n = (-1)^n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)\)
Çözüm
a) Çift indisli alt dizi \((a_{2k}) = (1, 1, 1, \dots)\) sabit dizisidir ve \(1\)’e yakınsar; tek indisli alt dizi \((a_{2k-1}) = (-1, -1, -1, \dots)\) ise \(-1\)’e yakınsar. \(1 \ne -1\) olduğundan Sonuç 24.2 gereği \((a_n)\) ıraksaktır. Bu, Örnek 20.6’ta \(\varepsilon\) tanımıyla iki kez gösterdiğimiz ıraksaklığın çok daha kısa bir üçüncü ispatıdır.
b) Çift indisler için \((-1)^{2k} = 1\), dolayısıyla
\[a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k} \longrightarrow 1 + 0 = 1\]
(Örnek 20.1 ve Teorem 21.1; \(\frac{1}{2k} \le \frac{1}{k}\) olduğundan \(\frac{1}{2k} \to 0\)). Tek indisler için \((-1)^{2k-1} = -1\), dolayısıyla
\[a_{2k-1} = -\left(1 + \frac{1}{2k - 1}\right) \longrightarrow -1.\]
İki alt dizi farklı limitlere gittiğinden dizi ıraksaktır. Grafikte çift indisli terimler yukarıdan \(1\)’e, tek indisli terimler aşağıdan \(-1\)’e yaklaşır; dizi iki ayrı sayıya “yığılır” ama hiçbirine yakınsamaz.
\(\blacksquare\)
Alt dizi teoremi olumlu yönde de iş görür: bilinen bir limitten yeni limitler türetir. Örneğin \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) olduğunu biliyoruz (Tanım 23.1); \(n_k = 2k\) alt dizisi için \(\left(1 + \frac{1}{2k}\right)^{2k} \to e\) olur, hesap gerekmez.
Tek ve Çift İndisli Alt Diziler
Yukarıdaki örneklerde diziyi hep çift ve tek indisli iki parçaya ayırdık. Bu iki parça birlikte dizinin bütün terimlerini kapsadığından, ikisi de aynı sayıya yakınsıyorsa dizinin kendisi de yakınsamalıdır. Bu, ıraksaklık ölçütünün tam bir karakterizasyona dönüşmesidir.
Teorem 24.2 (Tek ve Çift İndisli Alt Dizilerle Yakınsaklık) \((a_n)\) dizisinin \(a \in \mathbb{R}\) sayısına yakınsaması için gerek ve yeter koşul, çift indisli alt dizisi \((a_{2n})\) ile tek indisli alt dizisi \((a_{2n-1})\)’in her ikisinin de \(a\)’ya yakınsamasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \((a_n) \to a\) ise Teorem 24.1 gereği bütün alt dizileri, özel olarak \((a_{2n})\) ve \((a_{2n-1})\), \(a\)’ya yakınsar.
(\(\Leftarrow\) yönü) \(\lim a_{2n} = a\) ve \(\lim a_{2n-1} = a\) olsun. \(\varepsilon > 0\) verilsin. İki limit tanımından iki indis elde ederiz:
- öyle bir \(n_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır ki \(n \ge n_\varepsilon\) için \(|a_{2n} - a| < \varepsilon\);
- öyle bir \(n'_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır ki \(n \ge n'_\varepsilon\) için \(|a_{2n-1} - a| < \varepsilon\).
\(N = \max\{2n_\varepsilon,\ 2n'_\varepsilon - 1\}\) alalım (Tanım 7.4) ve \(n \ge N\) olsun. \(n\) ya çifttir ya tektir.
- \(n = 2k\) çift ise \(2k \ge N \ge 2n_\varepsilon\), dolayısıyla \(k \ge n_\varepsilon\); birinci koşuldan \(|a_n - a| = |a_{2k} - a| < \varepsilon\).
- \(n = 2k - 1\) tek ise \(2k - 1 \ge N \ge 2n'_\varepsilon - 1\), dolayısıyla \(k \ge n'_\varepsilon\); ikinci koşuldan \(|a_n - a| = |a_{2k-1} - a| < \varepsilon\).
Her iki durumda da \(|a_n - a| < \varepsilon\). Demek ki \(n \ge N\) için \(|a_n - a| < \varepsilon\) ve Tanım 20.1 gereği \(\lim a_n = a\).
\(\blacksquare\)
Tek indisli alt diziyi \((a_{2n+1}) = (a_3, a_5, \dots)\) olarak almak da aynı sonucu verir; \(a_1\) teriminin eksik olması limiti etkilemez. Teoremin olumsuz yönü, ıraksaklık göstermenin en pratik yoludur.
Sonuç 24.3 (Tek ve Çift İndislerle Iraksaklık Ölçütü) \((a_{2n})\) ve \((a_{2n-1})\) alt dizileri farklı limitlere yakınsıyorsa ya da bunlardan biri ıraksaksa \((a_n)\) dizisi ıraksaktır.
İspat
Farklı limitler durumu Sonuç 24.2 (1), ıraksak alt dizi durumu Sonuç 24.2 (2) ile çıkar.
\(\blacksquare\)
Örnek 24.3 (Tek ve Çift İndisli Alt Dizilerle İnceleme) Aşağıdaki dizilerin yakınsak olup olmadığını belirleyiniz.
\(a_n = \dfrac{3 + (-1)^n}{2}\)
\(a_n = n^2 (-1)^n\)
\(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\)
Çözüm
a) \(n\) çift ise \((-1)^n = 1\) ve \(a_n = \dfrac{3 + 1}{2} = 2\); \(n\) tek ise \((-1)^n = -1\) ve \(a_n = \dfrac{3 - 1}{2} = 1\). Yani \((a_{2n}) = (2, 2, 2, \dots) \to 2\) ve \((a_{2n-1}) = (1, 1, 1, \dots) \to 1\). Limitler farklı (\(2 \ne 1\)) olduğundan Sonuç 24.3 gereği dizi ıraksaktır.
b) Çift indisler için \(a_{2k} = (2k)^2 = 4k^2\). Bu alt dizi üstten sınırlı değildir: her \(M\) için \(k > M\) seçilirse (Sonuç 12.1) \(4k^2 \ge k > M\) olur. Sınırsız dizi yakınsak olamaz (Teorem 20.2), dolayısıyla \((a_{2k})\) ıraksaktır ve Sonuç 24.3 gereği \((a_n)\) de ıraksaktır. (Aslında \((a_{2k}) \to +\infty\) ve \((a_{2k-1}) = (-(2k-1)^2) \to -\infty\)’dur; dizi sınırsızdır ama ne \(+\infty\)’a ne \(-\infty\)’a gider.)
c) \(a_{2k} = \dfrac{1}{2k} \to 0\) ve \(a_{2k-1} = -\dfrac{1}{2k-1} \to 0\); her iki alt dizi de \(0\)’a yakınsar. Teorem 24.2 gereği \((a_n) \to 0\). Bu kez alt diziler yakınsaklığı kanıtladı.
\(\blacksquare\)
24.3 Dizinin Kuyruğu
Bir dizinin yakınsaklığı, başındaki sonlu sayıda terime bağlı değildir; önemli olan “sonsuza giderken” ne olduğudur. İlk \(k\) terimi atınca elde edilen alt diziye kuyruk diyeceğiz.
Tanım 24.2 (Dizinin Kuyruğu) \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) bir dizi ve \(k \in \mathbb{N}\) sabit olsun. \(n_j = j + k\) indisleriyle elde edilen
\[(a_{n+k})_{n \in \mathbb{N}} = (a_{k+1}, a_{k+2}, a_{k+3}, \dots)\]
alt dizisine \((a_n)\) dizisinin \(k\)-kuyruğu (\(k\)-tail) ya da kısaca kuyruğu (tail) denir. \(k\)-kuyruk, dizinin \((k+1)\)-inci teriminden itibaren bütün terimlerini içerir.
Örneğin \(a_n = \dfrac{1}{n}\) dizisinin \(4\)-kuyruğu \((a_{n+4}) = \left(\dfrac15, \dfrac16, \dfrac17, \dots\right)\), \(1\)-kuyruğu \((a_{n+1}) = \left(\dfrac12, \dfrac13, \dfrac14, \dots\right)\)’tür. Kuyruk gerçekten bir alt dizidir, çünkü \(n_j = j + k\) kesin artan bir doğal sayı dizisidir. Kuyruk kavramının işlevi şu teoremdedir: dizi ile kuyruğu, yakınsaklık açısından birbirinden ayırt edilemez.
Teorem 24.3 (Kuyruk ile Yakınsaklık İlişkisi) \((a_n)\) bir dizi olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir:
- \((a_n)\) yakınsaktır.
- Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(k\)-kuyruğu \((a_{n+k})\) yakınsaktır.
- Bir \(k \in \mathbb{N}\) için \(k\)-kuyruğu \((a_{n+k})\) yakınsaktır.
Bu limitlerden biri varsa hepsi vardır ve eşittir:
\[\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} a_{n+k}.\]
İspat
(1) \(\Rightarrow\) (2). \((a_n) \to a\) olsun. Her \(k\) için \((a_{n+k})\) bir alt dizidir; Teorem 24.1 gereği \(a\)’ya yakınsar.
(2) \(\Rightarrow\) (3). Her \(k\) için doğru olan bir ifade, özel olarak \(k = 1\) için doğrudur.
(3) \(\Rightarrow\) (1). Bir \(k\) için \(b_n = a_{n+k}\) dizisi bir \(a\) sayısına yakınsasın. \(\varepsilon > 0\) verilsin; limit tanımından öyle bir \(n_\varepsilon\) vardır ki \(n \ge n_\varepsilon\) için \(|b_n - a| < \varepsilon\), yani \(|a_{n+k} - a| < \varepsilon\). Şimdi \(n'_\varepsilon = n_\varepsilon + k\) alalım ve \(m \ge n'_\varepsilon\) olsun. O zaman \(m - k \ge n_\varepsilon\) ve \(m - k \in \mathbb{N}\)’dir; dolayısıyla
\[|a_m - a| = |a_{(m-k)+k} - a| = |b_{m-k} - a| < \varepsilon.\]
Demek ki \(m \ge n'_\varepsilon\) için \(|a_m - a| < \varepsilon\); bu \((a_n) \to a\) demektir. Ana dizi için gereken indis, kuyruğunkinden yalnızca \(k\) kadar büyüktür.
Limitlerin eşitliği. (1) \(\Rightarrow\) (2) adımında kuyruğun limiti ana dizinin limiti \(a\) çıktı; (3) \(\Rightarrow\) (1) adımında ana dizinin limiti kuyruğun limiti \(a\) çıktı. Her iki yönde de limit aynıdır.
\(\blacksquare\)
Teorem, bir dizinin limiti için “dizinin hangi terimden başladığının” önemsiz olduğunu söyler: ilk bir milyon terimi silmek ya da değiştirmek limiti etkilemez. Aynı akıl yürütme sonsuz limitler için de geçerlidir: \((a_n) \to +\infty\) ancak ve ancak bir (her) kuyruğu \(+\infty\)’a ıraksarsa. En çok kullanılan özel durum \(k = 1\)’dir.
Sonuç 24.4 (Bir Adım Kaydırma Limiti Değiştirmez) \((a_n)\) yakınsak bir dizi ise \((a_{n+1})\) de yakınsaktır ve
\[\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} a_n.\]
İspat
Teorem 24.3’te \(k = 1\) alınır.
\(\blacksquare\)
Bu görünüşte basit eşitlik, özyineli dizilerin limitini bulmanın anahtarıydı: önceki bölümde \(a_{n+1} = \dfrac{a_n + 5}{3}\) bağıntısının iki yanında limite geçerken tam olarak bunu kullanmıştık (Örnek 23.5). Orada “kuyruk lemması” diye andığımız olgu, artık tam olarak ispatlanmış durumdadır.
Örnek 24.4 (Başı Bozuk Bir Dizi) \(a_1 = 100\), \(a_2 = -7\), \(a_3 = 3\) ve \(n \ge 4\) için \(a_n = \dfrac{1}{n}\) ile tanımlanan dizinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
Çözüm
Dizinin \(3\)-kuyruğu \((a_{n+3}) = \left(\dfrac14, \dfrac15, \dfrac16, \dots\right)\), yani \(b_n = \dfrac{1}{n+3}\) dizisidir. \(0 < \dfrac{1}{n+3} < \dfrac{1}{n}\) ve \(\dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan (Örnek 20.1) sıkıştırma teoremiyle (Teorem 21.6) \(b_n \to 0\). Kuyruk yakınsak olduğundan Teorem 24.3 gereği \((a_n)\) de yakınsaktır ve \(\lim a_n = \lim b_n = 0\). İlk üç terimin ne kadar “yanlış yerde” olduğunun bir önemi yoktur.
\(\blacksquare\)
24.4 Monoton Alt Diziler
Şimdi bölümün ana hedefine, Bolzano–Weierstrass teoremine hazırlanıyoruz. Temel fikir şudur: bir dizi yakınsak olmasa bile, sınırlıysa içinden yakınsak bir alt dizi çıkarılabilir. Bunun için önce her diziden monoton bir alt dizi çıkarılabileceğini göstereceğiz; sonra monoton yakınsaklık teoremi gerisini halledecek. Önce basit bir gözlem.
Önerme 24.2 (Monoton Dizinin Alt Dizileri Monotondur) Artan bir dizinin her alt dizisi artandır; azalan bir dizinin her alt dizisi azalandır. Aynı ifadeler “kesin artan” ve “kesin azalan” için de geçerlidir.
İspat
\((a_n)\) artan ve \((a_{n_k})\) bir alt dizisi olsun. \(k < l\) olan \(k, l \in \mathbb{N}\) alalım. İndis dizisi kesin artan olduğundan \(n_k < n_l\); \((a_n)\) artan olduğundan (Tanım 19.4) \(a_{n_k} \le a_{n_l}\). Demek ki alt dizi artandır. Azalan ve kesin durumlarda yalnızca eşitsizliğin yönü ya da türü değişir.
\(\blacksquare\)
Asıl teorem çok daha şaşırtıcıdır: dizi ne kadar düzensiz olursa olsun, içinden monoton bir parça ayıklanabilir. İspat, “zirve” fikrine dayanır: bir terim kendinden sonra gelen bütün terimlerden kesin büyükse ona zirve diyelim. Sonsuz tane zirve varsa zirveler azalan bir alt dizi oluşturur; sonlu tane varsa, son zirveden sonraki her terimin ilerisinde, yani daha büyük indisli terimler arasında, kendinden küçük olmayan bir terim bulunur ve bunları zincirleyerek artan bir alt dizi kurarız.
Teorem 24.4 (Monoton Alt Dizi Teoremi) Her reel sayı dizisinin monoton bir alt dizisi vardır.
İspat
\((a_n)\) bir dizi olsun. Bir \(n \in \mathbb{N}\) indisine, kendinden sonraki bütün terimler \(a_n\)’den kesin küçükse zirve (peak) diyelim ve zirvelerin kümesini
\[Z = \{n \in \mathbb{N} : \text{her } m > n \text{ için } a_m < a_n\}\]
ile gösterelim. \(Z\) ya sonsuz ya sonludur; iki durumu ayrı inceleyelim.
Durum 1: \(Z\) sonsuz. Sonsuz bir doğal sayı kümesinin elemanları küçükten büyüğe sıralanabilir: \(n_1 = \min Z\) (Teorem 9.2), \(n_2 = \min\left(Z \setminus \{n_1\}\right)\), genel olarak \(n_{k+1} = \min\left(Z \setminus \{n_1, \dots, n_k\}\right)\). \(Z\) sonsuz olduğundan her adımda geriye boş olmayan bir küme kalır ve bu minimumlar vardır. Kuruluş gereği \(n_1 < n_2 < n_3 < \cdots\) kesin artandır: \(n_{k+1}\), \(n_k\)’nın minimumu olarak seçildiği \(Z \setminus \{n_1, \dots, n_{k-1}\}\) kümesinin de bir elemanıdır, dolayısıyla \(n_{k+1} \ge n_k\); \(n_{k+1} \ne n_k\) olduğundan \(n_{k+1} > n_k\). Şimdi \(n_k \in Z\) bir zirvedir ve \(n_{k+1} > n_k\) olduğundan zirve tanımı gereği \(a_{n_{k+1}} < a_{n_k}\). Böylece
\[a_{n_1} > a_{n_2} > a_{n_3} > \cdots\]
kesin azalan bir alt dizi elde ederiz.
Durum 2: \(Z\) sonlu (boş olabilir). \(Z\) boş değilse \(N = \max Z\), boşsa \(N = 0\) olsun. Her \(n > N\) için \(n \notin Z\)’dir. \(n \notin Z\) olmasının anlamı, zirve koşulunun olumsuzlanmasıdır (Teorem 2.1):
\[n \notin Z \iff \text{öyle bir } m > n \text{ vardır ki } a_m \ge a_n.\]
Yani \(N\)’den sonraki her terimin ilerisinde, yani indisi ondan büyük olan terimler arasında, ondan küçük olmayan bir terim bulunur. Alt diziyi özyineli olarak kuralım. \(n_1 = N + 1\) alalım; \(n_1 > N\) olduğundan \(n_1 \notin Z\), dolayısıyla \(a_{n_2} \ge a_{n_1}\) olacak biçimde bir \(n_2 > n_1\) vardır. \(n_2 > n_1 > N\) olduğundan \(n_2 \notin Z\); öyleyse \(a_{n_3} \ge a_{n_2}\) olacak biçimde bir \(n_3 > n_2\) vardır. Genel olarak \(n_k > N\) seçilmişse \(n_k \notin Z\)’dir ve \(a_{n_{k+1}} \ge a_{n_k}\) sağlayan bir \(n_{k+1} > n_k\) bulunur; bu yeni indis de \(N\)’den büyüktür, dolayısıyla süreç hiç durmaz. Böylece kesin artan bir \((n_k)\) indis dizisi ve
\[a_{n_1} \le a_{n_2} \le a_{n_3} \le \cdots\]
artan bir alt dizi elde ederiz.
Her iki durumda da monoton bir alt dizi bulunmuştur.
\(\blacksquare\)
Teorem, “kaos”un içinden düzen çıkarır: hangi diziyi alırsanız alın, terimlerinin sonsuz tanesi ya hep yükselir ya hep alçalır. Örneğin \((-1)^n\) için bütün çift indisler zirvedir mi? \(a_{2k} = 1\) ve sonraki çift terimler de \(1\) olduğundan (kesin küçük değil) hayır; tek indisler de zirve değildir, çünkü \(-1\)’den sonra \(1\) gelir. Bu dizide hiç zirve yoktur: \(Z = \varnothing\), \(N = 0\) ve \(n_1 = 1\). İspatın ikinci durumu \(a_1 = -1\) ile başlayıp \(a_{n_1} \le a_{n_2} \le \cdots\) biçiminde, örneğin \(n_2 = 2, n_3 = 4, n_4 = 6, \dots\) seçimiyle \((-1, 1, 1, 1, \dots)\) alt dizisini üretir.
24.5 Bolzano–Weierstrass Teoremi
Monoton alt dizi teoremiyle monoton yakınsaklık teoremini birleştirince analizin en önemli sonuçlarından biri neredeyse kendiliğinden çıkar.
Teorem 24.5 (Bolzano–Weierstrass Teoremi (Dizi Sürümü)) Sınırlı her reel sayı dizisinin yakınsak bir alt dizisi vardır.
İspat
\((a_n)\) sınırlı olsun: her \(n\) için \(|a_n| \le M\) olacak biçimde bir \(M > 0\) vardır (Tanım 19.3, Önerme 19.1). Teorem 24.4 gereği \((a_n)\)’in monoton bir \((a_{n_k})\) alt dizisi vardır. Bu alt dizinin terimleri ana dizinin terimleri arasından seçildiğinden her \(k\) için \(|a_{n_k}| \le M\); yani alt dizi de sınırlıdır. Sınırlı ve monoton bir dizi Teorem 23.1 gereği (bkz. Sonuç 23.3) yakınsaktır. Demek ki \((a_{n_k})\) yakınsak bir alt dizidir.
\(\blacksquare\)
Teorem, sınırlılık ile yakınsaklık arasındaki köprüdür. “Sınırlı \(\Rightarrow\) yakınsak” yanlıştır; ama “sınırlı \(\Rightarrow\) yakınsak bir alt dizi var” her zaman doğrudur. İleride süreklilikle ilgili büyük teoremlerin (bir kapalı aralıkta sürekli fonksiyonun en büyük değerini alması gibi) ispatlarında bu teorem sürekli devreye girecektir.
Teorem yakınsak bir alt dizinin varlığını söyler, tekliğini değil. Farklı alt diziler farklı limitlere gidebilir; nitekim \((-1)^n\) dizisinde bir alt dizi \(1\)’e, bir başkası \(-1\)’e yakınsar. Teorem, limitin ne olduğu hakkında da bir şey söylemez.
Örnek 24.5 (Bolzano–Weierstrass Teoreminin Uygulamaları)
\(a_n = \sin n\) dizisinin yakınsak bir alt dizisi olduğunu gösteriniz.
\(a_n = (-1)^n\) dizisinin yakınsak alt dizilerini bulunuz.
\(a_n = n\) dizisinin yakınsak alt dizisi var mıdır?
Çözüm
a) Her \(n\) için \(-1 \le \sin n \le 1\), yani \(|a_n| \le 1\); dizi sınırlıdır. Teorem 24.5 gereği yakınsak bir alt dizisi vardır. Bu alt dizinin hangi terimlerden oluştuğunu ya da limitinin ne olduğunu bulmak hiç kolay değildir (aslında \([-1, 1]\) aralığındaki her sayı böyle bir alt dizinin limitidir; bunun ispatı bu notların kapsamı dışındadır); ama varlığını biliyoruz. Teoremin tipik kullanımı budur: nesneyi göstermeden var olduğunu kanıtlamak.
b) Dizi sınırlıdır (\(|a_n| = 1\)). Yakınsak alt dizilerini biliyoruz: \((a_{2k}) = (1, 1, \dots) \to 1\) ve \((a_{2k-1}) = (-1, -1, \dots) \to -1\). Genel olarak bir alt dizi ancak bir yerden sonra yalnızca çift ya da yalnızca tek indisler içeriyorsa yakınsar; aksi hâlde hem \(1\)’e hem \(-1\)’e giden alt-alt dizileri olur ve Sonuç 24.2 gereği ıraksar.
c) Hayır. \((a_{n_k}) = (n_k)\) herhangi bir alt dizi olsun; Önerme 24.1 gereği \(n_k \ge k\), dolayısıyla alt dizi üstten sınırlı değildir ve Teorem 20.2 gereği yakınsak olamaz. Bu, teoremdeki sınırlılık hipotezinin vazgeçilmez olduğunu gösterir.
\(\blacksquare\)
Bolzano–Weierstrass teoremini daha önce kümeler diliyle görmüştük (Teorem 17.5): sonsuz ve sınırlı her kümenin bir yığılma noktası vardır. İki ifade birbirine denktir; her biri diğerinden çıkar.
Önerme 24.3 (Küme ve Dizi Sürümlerinin Denkliği) Aşağıdaki iki ifade birbirine denktir:
- (Küme sürümü) \(\mathbb{R}\)’nin sonsuz ve sınırlı her alt kümesinin bir yığılma noktası vardır.
- (Dizi sürümü) Sınırlı her reel sayı dizisinin yakınsak bir alt dizisi vardır.
İspat
(1) \(\Rightarrow\) (2). \((a_n)\) sınırlı bir dizi olsun ve \(A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) görüntü kümesini alalım. \(A\) sınırlıdır (Tanım 10.2). İki durum vardır.
\(A\) sonlu ise sonsuz tane indis sonlu tane değere dağıldığından, en az bir \(c \in A\) değeri sonsuz çoklukta \(n\) için \(a_n = c\) sağlar. Bu indisleri küçükten büyüğe \(n_1 < n_2 < \cdots\) diye sıralarsak \((a_{n_k}) = (c, c, c, \dots)\) sabit alt dizisi \(c\)’ye yakınsar.
\(A\) sonsuz ise (1) gereği \(A\)’nın bir \(c\) yığılma noktası vardır. Teorem 17.1 gereği \(c\)’nin her komşuluğu \(A\)’nın sonsuz çoklukta elemanını içerir; farklı elemanlar farklı indislere karşılık geldiğinden her komşulukta sonsuz çoklukta \(n\) indisi için \(a_n\) bulunur. Alt diziyi adım adım kuralım: \(|a_{n_1} - c| < 1\) olan bir \(n_1\) seçelim. \(n_k\) seçilmişse, \((c - \frac{1}{k+1}, c + \frac{1}{k+1})\) komşuluğuna düşen sonsuz çoklukta indis arasından \(n_k\)’dan büyük bir \(n_{k+1}\) seçelim (sonsuz çoklukta indisin hepsi \(n_k\)’dan küçük olamaz). Böylece kesin artan \((n_k)\) ve her \(k\) için \(|a_{n_k} - c| < \dfrac{1}{k}\) elde ederiz. \(0 \le |a_{n_k} - c| < \dfrac{1}{k} \to 0\) olduğundan sıkıştırma teoremiyle (Teorem 21.6) \(a_{n_k} \to c\).
(2) \(\Rightarrow\) (1). \(A\) sonsuz ve sınırlı olsun. Sonsuz bir kümeden birbirinden farklı terimli bir dizi seçilebilir: \(a_1 \in A\) al, \(a_2 \in A \setminus \{a_1\}\) al ve böyle sürdür. Bu özyineli seçim hiçbir adımda tıkanmaz: \(a_1, \dots, a_n\) birbirinden farklı olarak seçilmişken \(A \setminus \{a_1, \dots, a_n\}\) boş olsaydı \(A = \{a_1, \dots, a_n\}\) olur, yani \(A\) sonlu olurdu (Tanım 14.2); oysa \(A\) sonsuzdur. (Bu özyineli seçim, Önerme 14.3 ile tıpatıp aynı kuruluştur.) \((a_n)\) dizisi \(A\)’da kaldığından sınırlıdır; (2) gereği yakınsak bir \((a_{n_k})\) alt dizisi vardır, \(a_{n_k} \to c\) olsun. \(c\)’nin \(A\)’nın yığılma noktası olduğunu gösterelim (Tanım 17.1): \(\varepsilon > 0\) verilsin. Yakınsaklık gereği bir yerden sonra bütün \(a_{n_k}\) terimleri \((c - \varepsilon, c + \varepsilon)\) komşuluğundadır; bu terimler birbirinden farklı olduğundan en çok biri \(c\)’ye eşittir, geri kalan sonsuz tanesi \(c\)’den farklıdır ve \(A\)’dadır. Demek ki \(c\)’nin her delinmiş komşuluğu \(A\) ile kesişir; \(c\) bir yığılma noktasıdır.
\(\blacksquare\)
Böylece Teorem 17.5 için verdiğimiz ikiye bölme ispatı ile bu bölümdeki monoton alt dizi ispatı, aynı gerçeğin iki farklı yüzüdür. Her ikisinin de kökünde tamlık aksiyomu (Bölüm 10.4) yatar.
Sınırsız Diziler
Sınırlı dizilerde yakınsak alt dizi bulduk. Sınırsız dizilerde yakınsak alt dizi olmayabilir; ama sonsuza giden monoton bir alt dizi her zaman vardır.
Teorem 24.6 (Sınırsız Dizinin Sonsuza Giden Alt Dizisi) Sınırsız her dizinin, limiti \(+\infty\) ya da \(-\infty\) olan monoton bir alt dizisi vardır. Daha kesin olarak: üstten sınırlı olmayan bir dizinin \(+\infty\)’a ıraksayan kesin artan bir alt dizisi, alttan sınırlı olmayan bir dizinin \(-\infty\)’a ıraksayan kesin azalan bir alt dizisi vardır.
İspat
\((a_n)\) sınırsız olsun; o zaman ya üstten ya alttan sınırlı değildir (Tanım 19.3). Üstten sınırlı olmadığını varsayalım; öteki durum simetriktir.
Üstten sınırlı olmamak şu demektir: her \(M \in \mathbb{R}\) için \(a_n > M\) olan bir \(n\) vardır. Alt diziyi özyineli olarak kuralım. \(M = 1\) için \(a_{n_1} > 1\) olan bir \(n_1\) seçelim. \(n_k\) seçilmiş olsun ve
\[M_k = \max\{a_1, a_2, \dots, a_{n_k},\ k + 1\}\]
alalım (sonlu bir kümenin maksimumu vardır). \(a_n > M_k\) olan bir \(n\) vardır; bu \(n\) için \(n > n_k\) olmalıdır, çünkü \(n \le n_k\) olsaydı \(a_n \le M_k\) olurdu. Bu indisi \(n_{k+1}\) olarak alalım. Kuruluş gereği
\[n_{k+1} > n_k, \qquad a_{n_{k+1}} > M_k \ge a_{n_k}, \qquad a_{n_{k+1}} > M_k \ge k + 1.\]
Demek ki \((n_k)\) kesin artan, \((a_{n_k})\) kesin artan ve her \(k\) için \(a_{n_k} > k\)’dır (ilk terim için \(a_{n_1} > 1\)).
Son olarak \(a_{n_k} \to +\infty\) olduğunu görelim (Tanım 22.1): \(M \in \mathbb{R}\) verilsin. Sonuç 12.1 gereği \(k_M > M\) olan bir \(k_M \in \mathbb{N}\) vardır; \(k \ge k_M\) için \(a_{n_k} > k \ge k_M > M\). Öyleyse \(\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = +\infty\).
Alttan sınırlı olmayan durumda \(M_k = \min\{a_1, \dots, a_{n_k},\ -(k+1)\}\) ile \(a_{n_{k+1}} < M_k\) seçilir; \(a_{n_k} < -k\) ve \(a_{n_k} \to -\infty\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Teorem 24.5 ile bu teorem birleşince şu tam tablo ortaya çıkar: her dizinin, limiti bir reel sayı ya da \(\pm\infty\) olan monoton bir alt dizisi vardır. Sınırlı dizi reel limitli bir alt dizi, sınırsız dizi sonsuz limitli bir alt dizi verir. Örneğin \(a_n = n^2(-1)^n\) dizisinde \((a_{2k}) = (4k^2) \to +\infty\) ve \((a_{2k-1}) \to -\infty\)’dur (Örnek 24.3).
24.6 İç İçe Aralıklar: Dizilerle Yeni Bir İspat
Tamlığın bir başka yüzü olan iç içe aralıklar teoremini (Teorem 10.5) supremum diliyle ispatlamıştık. Orada uzunluk koşulunu “her \(\varepsilon > 0\) için \(b_n - a_n < \varepsilon\) olan bir \(n\) vardır” biçiminde yazmak zorunda kalmıştık, çünkü dizi limiti henüz yoktu. Şimdi teoremi dizi diliyle yeniden ifade edip monoton yakınsaklık teoremiyle ispatlayabiliriz.
Teorem 24.7 (İç İçe Aralıklar Teoremi (Dizi Sürümü)) \(I_n = [a_n, b_n]\) kapalı ve sınırlı aralıkları iç içe olsun: \(I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots\). O zaman
\((a_n)\) artan, \((b_n)\) azalandır; ikisi de yakınsaktır ve \(a = \lim a_n \le \lim b_n = b\) olmak üzere
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = [a, b] \ne \varnothing;\]
ayrıca \(\lim_{n\to\infty}(b_n - a_n) = 0\) ise kesişim tek noktadır: \(\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \{a\}\).
İspat
Monotonluk ve sınırlılık. \(I_{n+1} \subseteq I_n\) olması, \(a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n\) demektir: sol uçlar sağa, sağ uçlar sola kayar. Dolayısıyla \((a_n)\) artan, \((b_n)\) azalandır. Her \(n\) için \(a_n \le b_n \le b_1\) olduğundan \((a_n)\) üstten \(b_1\) ile sınırlıdır; benzer biçimde \(a_1 \le a_n \le b_n\) olduğundan \((b_n)\) alttan \(a_1\) ile sınırlıdır.
Limitler. Teorem 23.1 gereği her iki dizi yakınsaktır:
\[a = \lim_{n\to\infty} a_n = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}, \qquad b = \lim_{n\to\infty} b_n = \inf\{b_n : n \in \mathbb{N}\}.\]
Her \(n\) için \(a_n \le b_n\) olduğundan limitlerde sıralama teoremiyle (Teorem 21.3) \(a \le b\).
Kesişim \([a, b]\)’dir. \(a\) bir supremum olduğundan her \(n\) için \(a_n \le a\); \(b\) bir infimum olduğundan \(b \le b_n\) (Tanım 10.4). Dolayısıyla her \(n\) için \(a_n \le a \le b \le b_n\), yani \([a, b] \subseteq I_n\); buradan \([a, b] \subseteq \bigcap I_n\). Tersine \(x \in \bigcap I_n\) olsun; her \(n\) için \(a_n \le x \le b_n\). O zaman \(x\), \(\{a_n\}\) kümesinin bir üst sınırıdır ve supremum en küçük üst sınır olduğundan \(a \le x\); benzer biçimde \(x\), \(\{b_n\}\)’nin bir alt sınırıdır ve \(x \le b\). Yani \(x \in [a, b]\). İki kapsama birlikte \(\bigcap I_n = [a, b]\) verir; \(a \le b\) olduğundan bu küme boş değildir.
Tek nokta. \(b_n - a_n \to 0\) olsun. Limit aritmetiği (Teorem 21.1) ile \(b - a = \lim(b_n - a_n) = 0\), yani \(a = b\) ve \(\bigcap I_n = [a, a] = \{a\}\).
\(\blacksquare\)
Bu ispat, Teorem 10.5’ın ispatıyla aynı iskelete sahiptir: orada \(a = \sup\{a_n\}\) doğrudan tamlık aksiyomundan alınmıştı, burada monoton yakınsaklık teoreminden geldi; ikisi aynı sayıdır. Uzunluk koşulları da denktir: \((b_n - a_n)\) azalan ve alttan \(0\) ile sınırlı bir dizidir, dolayısıyla “her \(\varepsilon\) için bir \(n\)’de \(b_n - a_n < \varepsilon\)” demek, “\(b_n - a_n \to 0\)” demektir.
\(I_n = \left(0, \dfrac{1}{n}\right)\) açık aralıkları iç içedir ve uzunlukları \(0\)’a gider; ama kesişimleri boştur. Gerçekten \(x > 0\) ise Sonuç 12.2 gereği \(\dfrac{1}{n} < x\) olan bir \(n\) vardır ve \(x \notin I_n\); \(x \le 0\) ise zaten hiçbir \(I_n\)’de değildir. İspatın neresi bozuldu? Sol uçlar \(a_n = 0\) ve \(a = 0\)’dır; ama \(0\) hiçbir \(I_n\)’e ait değildir, çünkü aralıklar uçlarını içermez. Kapalılık, limitin aralıkta kalmasını garanti eden koşuldur.
Aynı fikir aralıklar yerine genel kapalı ve sınırlı kümeler için de geçerlidir; bu kez Bolzano–Weierstrass teoremi devreye girer.
Önerme 24.4 (İç İçe Kapalı ve Sınırlı Kümeler) \(C_1 \supseteq C_2 \supseteq C_3 \supseteq \cdots\) boş olmayan, kapalı ve sınırlı kümeler olsun. O zaman \(\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n \ne \varnothing\).
İspat
Her \(n\) için \(C_n \ne \varnothing\) olduğundan bir \(x_n \in C_n\) seçelim. Her \(n\) için \(C_n \subseteq C_1\) ve \(C_1\) sınırlı olduğundan \((x_n)\) sınırlı bir dizidir. Teorem 24.5 gereği yakınsak bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır; \(x_{n_k} \to x\) olsun. \(x\)’in her \(C_m\)’de olduğunu gösterelim. \(m \in \mathbb{N}\) sabit olsun. \(k \ge m\) için \(n_k \ge k \ge m\) (Önerme 24.1), dolayısıyla \(x_{n_k} \in C_{n_k} \subseteq C_m\). Yani \((x_{n_k})\) dizisinin \(m\)-kuyruğu tamamen \(C_m\) içindedir ve Teorem 24.3 gereği \(x\)’e yakınsar. \(C_m\) kapalı olduğundan Teorem 21.10 gereği \(x \in C_m\). \(m\) keyfi olduğundan \(x \in \bigcap C_n\).
\(\blacksquare\)
24.7 Dizisel Kompaktlık
Kompakt kümeleri açık örtülerle tanımlamıştık (Tanım 18.2) ve Heine–Borel teoremi (Teorem 18.5) bunların tam olarak kapalı ve sınırlı kümeler olduğunu söylüyordu. Bolzano–Weierstrass teoremi, kompaktlığın diziler diliyle üçüncü bir tanımını olanaklı kılar: bir kümede kalan her dizinin, limiti yine o kümede olan yakınsak bir alt dizisi vardır.
Tanım 24.3 (Dizisel Kompakt Küme) \(K \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(K\) içindeki her \((x_n)\) dizisinin, limiti \(K\)’ya ait olan yakınsak bir alt dizisi varsa — yani her \((x_n)\), \(x_n \in K\), dizisi için \(x_{n_k} \to c\) ve \(c \in K\) olacak biçimde bir \((x_{n_k})\) alt dizisi bulunuyorsa — \(K\)’ya dizisel kompakt (sequentially compact) denir.
Tanımda iki koşul iç içedir: yakınsak bir alt dizi olmalı (bu, sınırlılıkla ilgilidir) ve limiti kümeden kaçmamalı (bu, kapalılıkla ilgilidir). Boş küme, içinde hiç dizi olmadığından dizisel kompakttır.
Örnek 24.6 (Dizisel Kompakt Olan ve Olmayan Kümeler)
\((0, 1]\) kümesinin dizisel kompakt olmadığını gösteriniz.
\(\mathbb{N}\) kümesinin dizisel kompakt olmadığını gösteriniz.
\(K = \left\{\dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\} \cup \{0\}\) kümesinin dizisel kompakt olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(x_n = \dfrac{1}{n}\) dizisinin her terimi \((0, 1]\) içindedir ve \(x_n \to 0\) (Örnek 20.1). Teorem 24.1 gereği her alt dizisi de \(0\)’a yakınsar; ama \(0 \notin (0, 1]\). Demek ki bu dizinin limiti kümede olan hiçbir alt dizisi yoktur; küme dizisel kompakt değildir. Sorun kapalılığın eksikliğidir.
b) \(x_n = n\) dizisi \(\mathbb{N}\) içindedir ve Örnek 24.5 (c) gereği hiçbir alt dizisi yakınsamaz. Küme dizisel kompakt değildir; bu kez sorun sınırsızlıktır.
c) \((x_n)\), \(K\) içinde bir dizi olsun. \(0 \le x_n \le 1\) olduğundan dizi sınırlıdır; Teorem 24.5 gereği yakınsak bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır, \(x_{n_k} \to c\) olsun. \(c \in K\) olduğunu gösterelim. \(c \ne 0\) ise \(c > 0\)’dır (terimler negatif değil, Sonuç 21.2). \(c\)’nin yalnızca sonlu tane \(\dfrac{1}{m}\) içeren küçük bir komşuluğunu alalım: \(\varepsilon = \dfrac{c}{2}\) için \(\dfrac{1}{m} > \dfrac{c}{2}\) ancak \(m < \dfrac{2}{c}\) iken olur, sonlu tane \(m\). Alt dizi bir yerden sonra bu komşulukta kaldığından terimleri sonlu bir küme içinde dolaşır; sonlu bir kümede kalan yakınsak bir dizi bir yerden sonra sabit olmak zorundadır (aksi hâlde en az iki farklı değer sonsuz kez tekrar eder ve iki farklı limitli alt dizi verir), dolayısıyla \(c\) bu sonlu kümenin, yani \(K\)’nın bir elemanıdır. \(c = 0\) ise \(0 \in K\). Her durumda \(c \in K\); küme dizisel kompakttır.
\(\blacksquare\)
Örneklerdeki gözlemler genel bir teoreme dönüşür: dizisel kompaktlık, kompaktlık ve “kapalı ve sınırlı” olmak, \(\mathbb{R}\)’de aynı şeydir.
Teorem 24.8 (Kompaktlığın Üç Denk Biçimi) \(K \subseteq \mathbb{R}\) olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir:
- \(K\) kompakttır (her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır).
- \(K\) dizisel kompakttır (\(K\)’daki her dizinin, limiti \(K\)’da olan yakınsak bir alt dizisi vardır).
- \(K\) kapalı ve sınırlıdır.
İspat
(1) \(\Leftrightarrow\) (3). Bu tam olarak Heine–Borel teoremidir (Teorem 18.5).
(3) \(\Rightarrow\) (2). \(K\) kapalı ve sınırlı olsun; \((x_n)\), \(K\) içinde bir dizi olsun. \(K\) sınırlı olduğundan \((x_n)\) sınırlı bir dizidir; Teorem 24.5 gereği yakınsak bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır, \(x_{n_k} \to c\) olsun. Alt dizinin bütün terimleri \(K\)’dadır ve \(K\) kapalıdır; kapalılığın dizisel karakterizasyonu (Teorem 21.10) gereği \(c \in K\). Demek ki \(K\) dizisel kompakttır.
(2) \(\Rightarrow\) (3). \(K\) dizisel kompakt olsun. \(K = \varnothing\) ise kapalı ve sınırlıdır; \(K \ne \varnothing\) olsun.
\(K\) sınırlıdır. Aksini varsayalım: \(K\) sınırlı olmasın. O zaman hiçbir \(n \in \mathbb{N}\) için \(K \subseteq [-n, n]\) olamaz; yani her \(n\) için \(|x_n| > n\) olan bir \(x_n \in K\) seçebiliriz. \((x_n)\), \(K\) içinde bir dizidir; dizisel kompaktlık gereği yakınsak bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır. Ama \(|x_{n_k}| > n_k \ge k\) (Önerme 24.1), dolayısıyla alt dizi sınırsızdır: her \(M\) için \(k > M\) alınırsa \(|x_{n_k}| > M\). Sınırsız bir dizi yakınsak olamaz (Teorem 20.2). Çelişki; \(K\) sınırlıdır.
\(K\) kapalıdır. Teorem 21.10’yi kullanalım: \((x_n)\), \(K\) içinde yakınsak bir dizi ve \(x_n \to x\) olsun; \(x \in K\) göstermeliyiz. Dizisel kompaktlık gereği \((x_n)\)’in limiti \(K\)’da olan bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır: \(x_{n_k} \to c \in K\). Öte yandan \((x_n) \to x\) olduğundan Teorem 24.1 gereği \(x_{n_k} \to x\). Limitin tekliğinden (Teorem 20.1) \(x = c \in K\). Demek ki \(K\)’daki her yakınsak dizinin limiti \(K\)’dadır; \(K\) kapalıdır.
Böylece (1) \(\Leftrightarrow\) (3) \(\Leftrightarrow\) (2) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Bu teorem, kompaktlık için elimize üç ayrı araç verir. Bir kümenin kompakt olduğunu göstermek için “kapalı ve sınırlı” en kolayıdır; kompaktlığı kullanmak içinse dizisel biçim çoğu zaman en elverişlisidir. Nitekim süreklilik bölümlerinde “kompakt kümede sürekli fonksiyon en büyük ve en küçük değerini alır” gibi teoremler, kümeden bir dizi seçip yakınsak bir alt dizi çıkararak ispatlanacaktır. Ayrıca Teorem 18.5’in ispatında kullandığımız ikiye bölme yöntemi ile bu bölümdeki iç içe aralıklar teoremi arasındaki bağ da artık daha görünürdür: her ikisi de daralan kapalı aralıkların ortak noktasını yakalar.
24.8 Alıştırmalar
Alıştırma 24.1 (Alt Diziler ve Bolzano–Weierstrass Alıştırmaları)
\(a_n = (-1)^n \dfrac{n}{n+1}\) dizisinin ıraksak olduğunu gösteriniz. Bu dizinin yakınsak alt dizilerinin limitleri hangi sayılar olabilir?
\((a_{2n})\), \((a_{2n-1})\) ve \((a_{3n})\) alt dizilerinin üçü de yakınsaksa \((a_n)\) dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
\(a_n = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)\), yani \((0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, \dots)\) dizisinin yakınsak alt dizilerinin bütün limitlerini bulunuz ve dizinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
\((a_n)\) sınırlı bir dizi olsun ve bütün yakınsak alt dizileri aynı \(a\) sayısına yakınsasın. \((a_n) \to a\) olduğunu gösteriniz. Sınırlılık hipotezi kaldırılırsa sonucun bozulduğunu bir örnekle gösteriniz.
\([0, 1] \cup \{2\}\) ve \(\left\{\dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}\) kümelerinin dizisel kompakt olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm
a) Çift indisler için \(a_{2k} = \dfrac{2k}{2k+1} = 1 - \dfrac{1}{2k+1} \to 1\); tek indisler için \(a_{2k-1} = -\dfrac{2k-1}{2k} = -1 + \dfrac{1}{2k} \to -1\) (Teorem 21.1 ve \(\frac{1}{n} \to 0\)). Limitler farklı olduğundan Sonuç 24.3 gereği dizi ıraksaktır.
Yakınsak bir \((a_{n_k})\) alt dizisi alalım. İndisleri arasında hem sonsuz tane çift hem sonsuz tane tek sayı olsaydı, çift indisli terimleri \((a_{2n})\)’in bir alt dizisi olarak \(1\)’e, tek indisli terimleri \(-1\)’e yakınsayan iki alt-alt dizi oluştururdu; Sonuç 24.2 gereği \((a_{n_k})\) ıraksak olurdu. Demek ki indisler bir yerden sonra ya hep çift ya hep tektir; o zaman alt dizinin bir kuyruğu \((a_{2n})\)’in ya da \((a_{2n-1})\)’in alt dizisidir ve Teorem 24.1 ile Teorem 24.3 gereği limiti \(1\) ya da \(-1\)’dir. Olası limitler yalnızca \(1\) ve \(-1\)’dir; ikisi de gerçekleşir.
b) \(a_{2n} \to p\), \(a_{2n-1} \to q\) ve \(a_{3n} \to r\) olsun. \((a_{6n})\) dizisine bakalım: \(6n = 2(3n)\) olduğundan \((a_{6n})\), \((a_{2n})\)’in \(k_n = 3n\) indisli alt dizisidir ve Teorem 24.1 gereği \(p\)’ye yakınsar; \(6n = 3(2n)\) olduğundan aynı dizi \((a_{3n})\)’in de alt dizisidir ve \(r\)’ye yakınsar. Limitin tekliğinden (Teorem 20.1) \(p = r\). Şimdi \((a_{6n-3})\) dizisine bakalım: \(6n - 3 = 3(2n-1)\) olduğundan \((a_{3n})\)’in bir alt dizisidir, limiti \(r\); \(6n - 3 = 2(3n-1) - 1\) olduğundan \((a_{2n-1})\)’in \(k_n = 3n - 1\) indisli alt dizisidir, limiti \(q\). Yine teklikten \(q = r\). Böylece \(p = q\); tek ve çift indisli alt diziler aynı limite yakınsadığından Teorem 24.2 gereği \((a_n)\) yakınsaktır (limiti \(p\)).
c) Dizi \(4\) periyotludur: \(a_{4k} = 1\), \(a_{4k-1} = 0\), \(a_{4k-2} = -1\), \(a_{4k-3} = 0\). Bu dört alt dizi sabittir; limitleri \(1\), \(0\), \(-1\), \(0\)’dır. Yakınsak bir alt dizi, terimleri \(\{-1, 0, 1\}\) sonlu kümesinde dolaştığından bir yerden sonra sabit olmalıdır (iki farklı değer sonsuz kez tekrar etseydi iki farklı limitli alt-alt dizi ortaya çıkardı); dolayısıyla limiti \(-1\), \(0\) ya da \(1\)’dir ve üçü de gerçekleşir. \((a_{4k}) \to 1\) ve \((a_{4k-2}) \to -1\) farklı limitlere gittiğinden Sonuç 24.2 gereği dizi ıraksaktır.
d) Olmayana ergi ile \((a_n)\)’in \(a\)’ya yakınsamadığını varsayalım. Yakınsaklığın olumsuzlaması (Teorem 2.1): öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(N\) için \(|a_n - a| \ge \varepsilon_0\) olan bir \(n \ge N\) bulunur. Yani \(|a_n - a| \ge \varepsilon_0\) eşitsizliğini sağlayan sonsuz çoklukta indis vardır; bunları küçükten büyüğe sıralayıp \((a_{n_k})\) alt dizisini kuralım. Her \(k\) için \(|a_{n_k} - a| \ge \varepsilon_0\)’dır. Bu alt dizi, sınırlı \((a_n)\)’in alt dizisi olarak sınırlıdır; Teorem 24.5 gereği yakınsak bir \((a_{n_{k_j}})\) alt dizisi vardır, \(a_{n_{k_j}} \to b\) olsun. \((a_{n_{k_j}})\), \((a_n)\)’in de bir alt dizisidir (kesin artan indislerin kesin artan alt seçimi yine kesin artandır), dolayısıyla hipotez gereği \(b = a\). Öte yandan \(|a_{n_{k_j}} - a| \ge \varepsilon_0\) olduğundan mutlak değerin limiti (Teorem 20.3) ve sıralama (Teorem 21.3) ile \(|b - a| \ge \varepsilon_0 > 0\), yani \(b \ne a\). Çelişki. Demek ki \((a_n) \to a\).
Sınırlılık gereklidir: \((1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots)\), yani \(a_{2k-1} = 1\) ve \(a_{2k} = k\) dizisini alalım. Yakınsak bir alt dizi, \((a_{2k}) = (k)\)’dan yalnızca sonlu tane terim içerebilir (sonsuz tane içerseydi sınırsız olurdu), dolayısıyla bir yerden sonra sabit \(1\)’dir ve \(1\)’e yakınsar. Bütün yakınsak alt diziler \(1\)’e gittiği hâlde dizi sınırsız olduğundan yakınsak değildir (Teorem 20.2).
e) \([0, 1] \cup \{2\}\) kümesi kapalıdır (iki kapalı kümenin birleşimi, Teorem 16.1) ve \([0, 2]\) içinde kaldığından sınırlıdır; Teorem 24.8 gereği dizisel kompakttır. Doğrudan da görülebilir: kümedeki bir dizi ya sonsuz kez \(2\) değerini alır (o zaman sabit \(2\) alt dizisi vardır) ya da bir kuyruğu \([0, 1]\)’de kalır; ikinci durumda Bolzano–Weierstrass yakınsak bir alt dizi verir ve \(0 \le a_{n_k} \le 1\) olduğundan limit \([0, 1]\)’dedir (Sonuç 21.2).
\(\left\{\dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}\) kümesi dizisel kompakt değildir: \(x_n = \dfrac{1}{n}\) dizisi kümede kalır, \(0\)’a yakınsar, dolayısıyla her alt dizisi \(0\)’a yakınsar (Teorem 24.1); ama \(0\) kümeye ait değildir. Küme sınırlıdır ama kapalı değildir; Örnek 24.6 (c)’deki gibi \(0\) eklenince dizisel kompakt olur.
\(\blacksquare\)
Bolzano–Weierstrass teoremi, sınırlı bir dizinin yakınsamasa bile “bir yerlere yığılmak” zorunda olduğunu söyler. Bir sonraki bölümde bu yığılma yerlerini kesin olarak tanımlayacak, bir dizinin yığılma noktalarını ve bunların en büyüğü ile en küçüğü olan üst limit ve alt limit kavramlarını inceleyeceğiz: Dizilerin Yığılma Noktaları, Üst Limit ve Alt Limit.