34 Serilere Giriş

Belirli İntegralin Uygulamaları bölümünde alan, yay uzunluğu ve hacim gibi büyüklükleri hesaplarken hep aynı fikri kullandık: aranan büyüklüğü küçük parçalara böl, her parçayı basit bir nesneyle yaklaşık olarak hesapla, sonlu bir toplam kur ve sonra parçaları inceltirken bu sonlu toplamların limitine bak. Şimdi aynı fikrin bir başka yüzüne, belki de analizin en verimli aracına geçiyoruz: sonsuz çok sayıda sayıyı toplamak.

“Sonsuz çok sayıyı toplamak” ifadesi, olduğu gibi alındığında anlamsızdır; toplama ikili bir işlemdir ve tümevarımla ancak sonlu çok terime genişletilebilir. Bu yüzden sonsuz toplamı doğrudan tanımlamayız. Bunun yerine Analiz 1’de kurduğumuz en güçlü aracı, dizi limitini (bkz. Analiz 1) çağırırız: önce sonlu toplamlardan oluşan bir dizi kurar, sonra “sonsuz toplam” dediğimiz şeyi bu dizinin limiti olarak tanımlarız. Böylece seriler kuramı, baştan sona diziler kuramının bir uygulaması hâline gelir; limit aritmetiği (bkz. Analiz 1), Cauchy ölçütü (bkz. Analiz 1), monoton dizilerin davranışı (bkz. Analiz 1, Sınırsız Monoton Diziler Sonsuza Iraksar) ve geometrik dizi (bkz. Analiz 1) bu bölümde art arda iş başında olacak.

Konunun ne kadar ince olduğunu bir örnekle sezelim: $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ toplamını terimleri $(1-1) + (1-1) + \cdots$ diye gruplayarak $0$, $1 - (1-1) - (1-1) - \cdots$ diye gruplayarak $1$, toplama $s$ deyip $s = 1 - s$ denklemini çözerek de $\tfrac{1}{2}$ buluruz. Üç yanıt da “makul” görünür, üçü de farklıdır. Demek ki sezgilerimize güvenemeyiz; işe sağlam bir tanımla başlamak zorundayız.

Bu bölümde şunları öğreneceğiz: seri ve kısmi toplamlar dizisi tanımı; yakınsaklık, toplam ve ıraksaklığın $\varepsilon$–$N$ diliyle anlamı; serinin kalanı (kuyruğu) ve yakınsak serilerde kalanın sıfıra gitmesi; yakınsaklığın gerek koşulu olan “genel terim sıfıra gider” kuralı ve bunun yeter koşul olmadığını gösteren harmonik seri; ıraksaklık testi; seriler için Cauchy ölçütü; serilerin toplanması ve sabitle çarpılması; geometrik ve teleskopik seriler; sonlu sayıda terimi değiştirmenin yakınsaklığı bozmadığı, ama toplamı değiştirdiği gerçeği.

34.1 Seri ve Kısmi Toplamlar Dizisi

Bir $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ reel sayı dizisi (bkz. Analiz 1) verildiğinde ondan yeni bir dizi üretelim: ilk terim $a_1$, ikinci terim $a_1 + a_2$, üçüncü terim $a_1 + a_2 + a_3$ ve böyle sürsün; yani yeni dizinin $k$’ıncı terimi $(a_n)$ dizisinin ilk $k$ teriminin toplamı olsun. Bu diziyi $(s_n)$ ile gösterirsek $k > 1$ için $a_k = s_k - s_{k-1}$ eşitliği geçerlidir; yani yeni diziden eski diziye geri dönebiliyoruz. Demek ki $(a_n)$ ile $(s_n)$ birbirini belirler; ikisi birlikte tek bir nesne oluşturur ve bu nesneye seri diyeceğiz.

Tanım 34.1 (Seri ve Kısmi Toplamlar Dizisi) $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ bir reel sayı dizisi olsun. Her $n \in \mathbb{N}$ için

\[s_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\]

ile tanımlanan $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dizisine $(a_n)$ dizisinin kısmi toplamlar dizisi (sequence of partial sums) denir. $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ve $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dizilerinden oluşan sıralı ikiliye, yani

\[\big( (a_n)_{n \in \mathbb{N}},\ (s_n)_{n \in \mathbb{N}} \big)\]

nesnesine bir sonsuz seri (infinite series) ya da kısaca seri denir ve

\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k\]

ile gösterilir. Bu gösterimde $a_k$ sayısına serinin $k$’ıncı terimi ya da genel terimi (general term) denir.

Serilerin indisi genellikle $1$’den başlar. Seri $a_m$ teriminden başlıyorsa $\sum_{k=m}^{\infty} a_k$ gösterimi kullanılır; örneğin $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ ya da $\sum_{k=5}^{\infty} a_k$. Bölümün sonunda göreceğimiz gibi, başlangıç indisinin değiştirilmesi serinin yakınsak olup olmamasını etkilemez; yalnızca toplamını değiştirir. Toplama sınırları bağlamdan belliyse kısaca $\sum a_k$ de yazacağız.

Şimdi asıl tanıma, yani “sonsuz toplam” ifadesine anlam veren tanıma geçelim.

Tanım 34.2 (Serinin Yakınsaklığı ve Toplamı) $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisinin kısmi toplamlar dizisi $(s_n)$ olsun.

Eğer $(s_n)$ dizisi bir $s \in \mathbb{R}$ sayısına yakınsıyorsa, $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisine yakınsak (convergent) denir. Bu durumda $s$ sayısına serinin toplamı (sum) denir ve

\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s \qquad \text{ya da} \qquad \lim_{n \to \infty} s_n = s\]

yazılır. Bu, matematiksel olarak şu demektir:

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N_\varepsilon: \qquad |s_n - s| = \left| \sum_{k=1}^{n} a_k - s \right| < \varepsilon.\]

Eğer kısmi toplamlar dizisi $(s_n)$ yakınsak değilse, $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisine ıraksak (divergent) denir.

Tanımın söylediğini vurgulayalım: bir serinin yakınsaklığı terimlerin kendisiyle değil, kısmi toplamlar dizisinin davranışıyla ilgilidir; “seri yakınsıyor” cümlesi “$(s_n)$ dizisi yakınsıyor” cümlesinin kısaltmasıdır. Bölümün başındaki $1 - 1 + 1 - \cdots$ bulmacası da böylece çözülür: o serinin kısmi toplamlar dizisi $1, 0, 1, 0, \ldots$ olduğundan yakınsak değildir ve seriye herhangi bir toplam atanamaz.

Gösterimin iki anlamı

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ simgesi hem seriyi (yani $(a_n)$ ve $(s_n)$ ikilisini) hem de — seri yakınsaksa — serinin toplamı olan reel sayıyı gösterir. Hangi anlamın kastedildiği bağlamdan anlaşılır; ama ıraksak bir seride simgenin hiçbir sayı belirtmediğini unutmamak gerekir. Bu yüzden “$\sum a_k$ toplamı” demeden önce serinin yakınsak olduğunu bilmek şarttır.

Kısmi toplamlar dizisi yakınsamıyorsa da elimizde bir bilgi olabilir: dizi $+\infty$ ya da $-\infty$’a ıraksıyor olabilir. Bu durumu ayrıca adlandırmak yararlıdır.

Sonsuza ıraksama

$\lim_{n \to \infty} s_n = +\infty$ ise seri $+\infty$’a ıraksar deriz ve $\sum_{k=1}^{\infty} a_k = +\infty$ yazarız; benzer biçimde $\lim_{n \to \infty} s_n = -\infty$ ise seri $-\infty$’a ıraksar. Her iki durumda da seri (tanım gereği) ıraksaktır; $+\infty$ ve $-\infty$ birer reel sayı olmadığından bu yazımlar bir “toplam” belirtmez, yalnızca ıraksamanın biçimini anlatır. Bir serinin ıraksaması için sonsuza gitmesi de gerekmez: kısmi toplamlar dizisi salınarak da yakınsamayabilir.

Tanımı ilk örneklerde çalıştıralım. Her üç örnekte de yapılacak iş aynıdır: kısmi toplamı kapalı biçimde yaz, sonra dizinin limitine bak.

Örnek 34.1 (İlk Iraksak Seriler) Aşağıdaki serilerin ıraksak olduğunu gösteriniz.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 1$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}$

Çözüm

a) Genel terim $a_k = k$’dır. İlk $n$ doğal sayının toplamı için bilinen formülü kullanalım:

\[s_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\]

(Formül tümevarımla kanıtlanır: $n = 1$ için doğrudur ve $s_{n+1} = s_n + (n+1)$ olduğundan $\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ olur.)

$n \to \infty$ iken $\frac{n(n+1)}{2} \ge \frac{n^2}{2} \to +\infty$ olduğundan $(s_n)$ artan ve üstten sınırsızdır; Sınırsız Monoton Diziler Sonsuza Iraksar gereği $+\infty$’a ıraksar. Demek ki seri ıraksaktır ve $\sum_{k=1}^{\infty} k = +\infty$’dur.

b) Burada her $k$ için $a_k = 1$’dir, dolayısıyla $s_n = n$’dir. $(n)$ dizisi sınırsız olduğundan yakınsak değildir (bkz. Analiz 1); yani seri ıraksaktır ve $\sum_{k=1}^{\infty} 1 = +\infty$’dur.

c) Şimdi $a_k = (-1)^{k+1}$, yani terimler sırayla $+1, -1, +1, -1, \ldots$’dir. Terimleri ikişerli gruplayınca her grup $1 + (-1) = 0$ verir; $2n$ terim tam $n$ grup oluşturduğundan $s_{2n} = 0$’dır. Tek indisli kısmi toplamda ise bir fazla terim vardır:

\[s_{2n-1} = s_{2n} - a_{2n} = 0 - (-1)^{2n+1} = 1.\]

Böylece $(s_{2n})$ alt dizisi $0$’a, $(s_{2n-1})$ alt dizisi $1$’e yakınsar. Yakınsak bir dizinin bütün alt dizileri aynı limite yakınsamak zorunda olduğundan (bkz. Analiz 1), iki alt dizinin farklı limitlere gitmesi $(s_n)$’nin yakınsak olmadığını gösterir. Öyleyse $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}$ serisi ıraksaktır.

Bu üçüncü örnek, ıraksamanın “sonsuza gitmek” demek olmadığının somut kanıtıdır: burada $(s_n)$ dizisi $0$ ile $1$ arasında sınırlı kalmış, ama yine de yakınsamamıştır.

$\blacksquare$

34.2 Serinin Kalanı

Yakınsak bir seride toplamı ilk $n$ terimle yaklaşık olarak hesaplarsak yaptığımız hata, “geriye kalan” terimlerin toplamıdır. Bu nesneye ayrı bir ad vermek hem sayısal hesaplarda hem de sonraki testlerde işimize yarayacak.

Tanım 34.3 (Serinin Kalanı) $n$ bir doğal sayı olmak üzere

\[R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} + \cdots\]

serisine $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisinin $n$’inci kalanı ya da kuyruğu (remainder, tail) denir. Kalan serisi yakınsak olduğunda toplamı da yine $R_n$ ile gösterilir; bu durumda

\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s_n + R_n\]

yazılır.

Bu eşitliğin bir tanım değil, ispatlanması gereken bir önerme olduğuna dikkat edelim: sağdaki $R_n$’nin bir sayı olabilmesi için kuyruk serisinin yakınsak olması gerekir. Aşağıdaki teorem hem bu yakınsaklığı hem de kalanın sıfıra gittiğini gösteriyor.

Teorem 34.1 (Yakınsak Serinin Kalanı Sıfıra Gider) $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi yakınsak olsun. O hâlde her $n \in \mathbb{N}$ için $R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k$ kuyruk serisi de yakınsaktır, $R_n = s - s_n$ eşitliği geçerlidir ve

\[\lim_{n \to \infty} R_n = 0\]

olur. Burada $s$ serinin toplamı, $s_n$ ise $n$’inci kısmi toplamdır.

İspat

Adım 1: Kuyruk serisi yakınsaktır. $n$ sabit bir doğal sayı olsun. $R_n$ kuyruk serisinin kısmi toplamlarını yazalım: $p \in \mathbb{N}$ için bu serinin $p$’inci kısmi toplamı

\[\sigma_p = \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k = (a_1 + \cdots + a_{n+p}) - (a_1 + \cdots + a_n) = s_{n+p} - s_n\]

olur; burada $n$ sabit olduğundan $s_n$ sabit bir sayıdır. $(s_{n+p})_{p \in \mathbb{N}}$ dizisi yakınsak $(s_m)$ dizisinin bir alt dizisi olduğundan $\lim_{p \to \infty} s_{n+p} = s$’dir (bkz. Analiz 1); limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği

\[\lim_{p \to \infty} \sigma_p = \lim_{p \to \infty} \big( s_{n+p} - s_n \big) = s - s_n.\]

Demek ki kuyruk serisi yakınsaktır ve toplamı $R_n = s - s_n$’dir. Buradan doğrudan $s = s_n + R_n$ elde edilir; Tanım 34.3’ndeki eşitlik böylece doğrulanmış olur.

Adım 2: Limit. $s$ sabit bir sayı ve $s_n \to s$ olduğundan, yine limit aritmetiği gereği

\[\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} (s - s_n) = s - s = 0\]

bulunur.

$\blacksquare$

Bu sonucun pratik anlamı şudur: yakınsak bir seride toplamı istediğimiz doğrulukla elde etmek için yeterince çok terimi toplamak yeterlidir; ihmal ettiğimiz kuyruk istendiği kadar küçültülebilir.

34.3 Yakınsaklığın Gerek Koşulu

Bir serinin yakınsaklığını her seferinde kısmi toplamı kapalı biçimde yazarak anlamaya çalışmak umutsuz bir iştir; çoğu seride $s_n$ için kapalı bir formül yoktur. Bu yüzden serinin terimlerine bakarak karar vermeyi sağlayan ölçütler ararız. Bunların en basiti aşağıdaki gerek koşuldur.

Teorem 34.2 (Yakınsaklığın Gerek Koşulu) $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi yakınsak ise genel teriminin limiti sıfırdır:

\[\lim_{k \to \infty} a_k = 0.\]

İspat

Serinin $n$’inci kısmi toplamı $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ olsun. Yakınsak seri tanımı (Tanım 34.2) gereği $(s_n)$ dizisi bir $s \in \mathbb{R}$ sayısına yakınsar.

Şimdi kaydırılmış diziye bakalım: $n \ge 2$ için $u_n = s_{n-1}$ olsun. Bu dizi de $s$’ye yakınsar. Gerçekten $\varepsilon > 0$ verilsin; $(s_n) \to s$ olduğundan öyle bir $N \in \mathbb{N}$ vardır ki $m \ge N$ için $|s_m - s| < \varepsilon$’dur. $n \ge N + 1$ alırsak $n - 1 \ge N$ olur, dolayısıyla $|u_n - s| = |s_{n-1} - s| < \varepsilon$ elde edilir; yani $\lim_{n \to \infty} s_{n-1} = s$’dir.

Öte yandan Tanım 34.1 gereği $n > 1$ için serinin $n$’inci terimi ardışık iki kısmi toplamın farkıdır: $a_n = s_n - s_{n-1}$. Yakınsak iki dizinin farkının limiti, limitlerin farkıdır (bkz. Analiz 1); öyleyse

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} s_n - \lim_{n \to \infty} s_{n-1} = s - s = 0.\]

Bu, genel terimin $n \to \infty$ iken sıfıra gitmesi demektir.

$\blacksquare$

Gerek koşul yeter koşul değildir

Teorem yalnızca tek yönlü bir bilgi verir: yakınsaklık, genel terimin sıfıra gitmesini gerektirir. Tersi doğru değildir; $\lim_{k \to \infty} a_k = 0$ olması serinin yakınsayacağını garanti etmez. Yani

\[\sum a_k \text{ yakınsak} \;\Longrightarrow\; a_k \to 0, \qquad \text{ama} \qquad a_k \to 0 \;\not\Longrightarrow\; \sum a_k \text{ yakınsak}.\]

Bunun klasik karşı örneği harmonik seridir; hemen aşağıda inceliyoruz. Bu yüzden “terimler sıfıra gidiyor, öyleyse seri yakınsar” akıl yürütmesi yanlıştır ve serilerde en sık yapılan hatadır.

Örnek 34.2 (Harmonik Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\]

serisine harmonik seri (harmonic series) denir. Genel terimi sıfıra gittiği hâlde bu serinin ıraksak olduğunu, hatta $+\infty$’a ıraksadığını gösteriniz.

Çözüm

Önce genel terime bakalım: $a_k = \dfrac{1}{k}$ ve Arşimet özelliğinin bir sonucu olarak (bkz. Analiz 1)

\[\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0\]

olur. Yani Teorem 34.2’nin gerek koşulu sağlanıyor. Buna karşın seri yakınsak değildir.

Adım 1: Kısmi toplamlar dizisi artandır. Her $n$ için $s_{n+1} - s_n = \frac{1}{n+1} > 0$ olduğundan $(s_n)$ kesin artandır.

Adım 2: $2^m$ indisli kısmi toplamların alttan kestirimi. Şimdi $n = 2^m$ seçelim ($m \in \mathbb{N}$) ve terimleri ikinin kuvvetlerine göre gruplayalım:

\[s_{2^m} = 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2^{m-1}+1} + \cdots + \frac{1}{2^m} \right).\]

Burada $j = 1, 2, \ldots, m-1$ için $j$’inci grup, indisleri $2^{j}+1$ ile $2^{j+1}$ arasında olan terimlerden oluşur. Bu grupta tam $2^{j+1} - 2^{j} = 2^{j}$ terim vardır ve grubun en küçük terimi sonuncusu, yani $\dfrac{1}{2^{j+1}}$’dir; çünkü $k \le 2^{j+1}$ iken $\dfrac{1}{k} \ge \dfrac{1}{2^{j+1}}$ olur. Öyleyse her grup için

\[\frac{1}{2^{j}+1} + \cdots + \frac{1}{2^{j+1}} \ \ge \ 2^{j} \cdot \frac{1}{2^{j+1}} = \frac{1}{2}.\]

Bu kestirimleri toplarsak

\[s_{2^m} \ \ge \ 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}}_{m-1 \text{ tane}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{m-1}{2} = 1 + \frac{m}{2}\]

elde ederiz.

Adım 3: Sınırsızlık ve sonuç. $M > 0$ herhangi bir sayı olsun. Arşimet özelliği gereği $m > 2M$ olacak biçimde bir $m \in \mathbb{N}$ vardır (bkz. Analiz 1) ve bu $m$ için $s_{2^m} \ge 1 + \frac{m}{2} > M$ olur; demek ki $(s_n)$ üstten sınırlı değildir. Artan ve üstten sınırsız bir dizi $+\infty$’a ıraksadığından (bkz. Analiz 1) $\lim_{n \to \infty} s_n = +\infty$’dur. Öyleyse harmonik seri ıraksaktır ve $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = +\infty$ yazarız.

$\blacksquare$

Harmonik serinin ıraksaması ilk bakışta şaşırtıcıdır, çünkü ıraksama çok yavaştır: yukarıda bulduğumuz $s_{2^m} \ge 1 + \frac{m}{2}$ kestirimi, kısmi toplamın $100$’ü aşmasını güvenceye almak için $m = 199$, yani $n = 2^{199}$ terim toplamanın yettiğini söyler. Gerçek eşik bundan küçüktür — $s_n$ ilk kez $n$ kabaca $1{,}5 \cdot 10^{43}$ olduğunda $100$’ü aşar — ama o da astronomik bir sayıdır. Bu, serilerde “sayısal olarak deneyerek” karar vermenin ne kadar aldatıcı olabileceğini de gösterir.

Şimdi Teorem 34.2’ni ters çevirerek kullanışlı bir ıraksaklık ölçütü elde edelim. Bir gerektirmenin karşıt tersi (kontrapozitifi) her zaman ona denk olduğundan ispat tek satırlıktır.

Sonuç 34.1 (Iraksaklık Testi) Eğer $\lim_{k \to \infty} a_k$ limiti yoksa ya da varsa bile sıfırdan farklıysa, yani

\[\lim_{k \to \infty} a_k \ne 0\]

ise, $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi ıraksaktır. Bu ölçüte ıraksaklık testi (divergence test) ya da $n$’inci terim testi denir.

İspat

Olmayana ergi yapalım: $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisinin yakınsak olduğunu varsayalım. O hâlde Teorem 34.2 gereği $\lim_{k \to \infty} a_k$ limiti vardır ve sıfıra eşittir. Bu ise hipotezle, yani limitin ya var olmadığı ya da sıfırdan farklı olduğu varsayımıyla çelişir. Demek ki seri yakınsak olamaz; ıraksaktır.

$\blacksquare$

Testin yönü tek taraflıdır

$\lim_{k \to \infty} a_k \ne 0$ koşulu yalnızca ıraksaklığı kanıtlamak için kullanılır. $a_k \to 0$ bulunduğunda test hiçbir şey söylemez: seri yakınsak da olabilir ($\sum \frac{1}{k(k+1)}$ gibi), ıraksak da ($\sum \frac{1}{k}$ gibi). Böyle durumlarda sonraki bölümlerin daha ince testlerine başvurmak gerekir.

Örnek 34.3 (Iraksaklık Testinin Uygulanışı) Aşağıdaki serilerin ıraksak olduğunu ıraksaklık testiyle gösteriniz.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 1$ ve $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k+1}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ ve $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 1^n$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k}$

Çözüm

a) Birinci seride $a_k = 1$ olduğundan $\lim_{k \to \infty} a_k = 1 \ne 0$’dır; Sonuç 34.1 gereği seri ıraksaktır. (Bunu Örnek 34.1’de kısmi toplamları hesaplayarak da görmüştük; ıraksaklık testi aynı sonuca tek satırda ulaştırıyor.) İkinci seride pay ve paydayı $k$’ya bölersek $a_k = \frac{1}{1 + 1/k} \to 1 \ne 0$ olur (bkz. Analiz 1); seri ıraksaktır.

b) $a_n = (-1)^n$ dizisinde $(a_{2n}) \to 1$ ve $(a_{2n-1}) \to -1$ olduğundan, iki alt dizi farklı limitlere gittiği için $\lim_{n \to \infty} a_n$ yoktur (bkz. Analiz 1). Limit sıfıra eşit olmadığından (yok olduğundan) Sonuç 34.1 uygulanır ve seri ıraksar. İkinci seride her $n$ için $1^n = 1$’dir; yani bu seri aslında (a) şıkkındaki $\sum 1$ serisinin kendisidir ve ıraksaktır.

c) Genel terim $a_k = \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k}$’dır ve bu dizinin limiti $e$ sayısıdır (bkz. Analiz 1). $e \approx 2{,}718 \ne 0$ olduğundan seri ıraksaktır.

$\blacksquare$

34.4 Seriler için Cauchy Ölçütü

Yakınsaklığı sorgularken çoğu zaman limitin değerini bilmeyiz; bilseydik zaten sorun kalmazdı. Dizilerde bu güçlüğü Cauchy ölçütüyle aşmıştık: bir reel dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, terimlerinin ileride birbirine keyfî ölçüde yaklaşmasıdır (bkz. Analiz 1). Aynı ölçütü kısmi toplamlar dizisine uygulayınca serilerin kendi diliyle yazılmış kullanışlı bir sonuç elde ederiz.

Teorem 34.3 (Seriler için Cauchy Ölçütü) $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi yakınsaktır ancak ve ancak her $\varepsilon > 0$ için öyle bir $N_\varepsilon \in \mathbb{N}$ vardır ki, $m > n \ge N_\varepsilon$ olan her $m, n$ doğal sayı ikilisi için

\[|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon\]

olur.

İspat

Her şeyden önce $m > n$ için

\[s_m - s_n = \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{m} a_k \tag{$*$}\]

eşitliğini not edelim; ispatın tamamı bu gözleme dayanır.

($\Rightarrow$) Yakınsaksa koşul sağlanır. $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ yakınsak olsun. Tanım gereği kısmi toplamlar dizisi $(s_n)$ yakınsaktır; yakınsak her dizi Cauchy dizisidir (bkz. Analiz 1), yani $(s_n)$ bir Cauchy dizisidir (bkz. Analiz 1). Öyleyse verilen $\varepsilon > 0$ için öyle bir $N_\varepsilon \in \mathbb{N}$ vardır ki $m, n \ge N_\varepsilon$ olduğunda $|s_m - s_n| < \varepsilon$ olur. Özel olarak $m > n \ge N_\varepsilon$ alırsak, $(*)$ gereği

\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| = |s_m - s_n| < \varepsilon\]

elde ederiz. İstenen koşul sağlanmıştır.

($\Leftarrow$) Koşul sağlanıyorsa seri yakınsar. Teoremdeki koşulun sağlandığını varsayıp $(s_n)$ dizisinin Cauchy olduğunu gösterelim. $\varepsilon > 0$ verilsin, koşuldaki $N_\varepsilon$ sayısını alalım ve $m, n \ge N_\varepsilon$ olan iki doğal sayı seçelim.

$m = n$ ise $|s_m - s_n| = 0 < \varepsilon$’dur.
$m > n$ ise $(*)$ ve varsayım gereği $|s_m - s_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon$’dur.
$m < n$ ise iki indisin rolünü değiştirmek yeterlidir: $|s_m - s_n| = |s_n - s_m| = \left| \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right| < \varepsilon$.

Her üç durumda da $|s_m - s_n| < \varepsilon$ olduğundan $(s_n)$ bir Cauchy dizisidir; $\mathbb{R}$ tam olduğundan (bkz. Analiz 1) $(s_n)$ yakınsaktır. Tanım 34.2 gereği bu, serinin yakınsak olması demektir.

$\blacksquare$

Ölçütün gücü şuradadır: serinin toplamını bilmeye gerek yoktur, yalnızca ardışık terim bloklarının toplamının küçüklüğü sınanır. Aynı ölçütü kuyruklar diliyle yazmak da yararlıdır.

Sonuç 34.2 (Cauchy Ölçütünün Kuyruk Biçimi) $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi yakınsak olsun. O hâlde her $\varepsilon > 0$ için öyle bir $N \in \mathbb{N}$ vardır ki her $p \ge N$ için $\sum_{k=p}^{\infty} a_k$ kuyruk serisi yakınsar ve

\[\left| \sum_{k=p}^{\infty} a_k \right| \le \varepsilon\]

olur. Tersine, bir $p_0 \in \mathbb{N}$ için $\sum_{k=p_0}^{\infty} a_k$ kuyruk serisi yakınsaksa $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi de yakınsaktır.

İspat

Birinci kısım. Seri yakınsak olsun ve $\varepsilon > 0$ verilsin. Teorem 34.3 gereği öyle bir $N_0$ vardır ki $m > n \ge N_0$ için $\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon$’dur. $N = N_0 + 1$ alalım ve $p \ge N$ olsun. $n = p - 1 \ge N_0$ olduğundan, her $m \ge p$ için

\[\left| \sum_{k=p}^{m} a_k \right| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon.\]

Öte yandan Teorem 34.1 gereği $\sum_{k=p}^{\infty} a_k$ kuyruk serisi yakınsaktır ve toplamı kısmi toplamlarının limitidir. Limit sıralamayı koruduğundan yukarıdaki kesin eşitsizlik limitte $\le$ hâline gelir:

\[\left| \sum_{k=p}^{\infty} a_k \right| = \lim_{m \to \infty} \left| \sum_{k=p}^{m} a_k \right| \le \varepsilon.\]

İkinci kısım. $\sum_{k=p_0}^{\infty} a_k$ yakınsak ve toplamı $T$ olsun. $n \ge p_0$ için $s_n = C + \sum_{k=p_0}^{n} a_k$ yazılır; burada $C = \sum_{k=1}^{p_0-1} a_k$ sabittir ve sağdaki toplam kuyruk serisinin kısmi toplamı olarak $T$’ye yakınsar. Öyleyse $\lim_{n \to \infty} s_n = C + T$ olur; yani $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ yakınsaktır.

$\blacksquare$

34.5 Serilerde Cebirsel İşlemler

Yakınsak dizilerin toplamı ve sabitle çarpımı yine yakınsaktır; kısmi toplamlar dizisi üzerinden bu, doğrudan serilere taşınır.

Teorem 34.4 (Serilerde Cebirsel İşlemler) $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ ve $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ yakınsak seriler, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ olsun. O hâlde $\sum_{k=1}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k)$ serisi de yakınsaktır ve

\[\sum_{k=1}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \beta \sum_{k=1}^{\infty} b_k\]

olur.

İspat

$\sum a_k$ serisinin toplamı $s$, $\sum b_k$ serisinin toplamı $t$ olsun; kısmi toplamlar dizileri $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ ve $t_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$ için varsayım gereği $s_n \to s$ ve $t_n \to t$’dir.

Şimdi $\sum (\alpha a_k + \beta b_k)$ serisinin kısmi toplamlarına bakalım. Sonlu toplamlarda birleşme, değişme ve dağılma özellikleri geçerli olduğundan

\[u_n = \sum_{k=1}^{n} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=1}^{n} a_k + \beta \sum_{k=1}^{n} b_k = \alpha s_n + \beta t_n\]

yazabiliriz. (Bu adım yalnızca sonlu toplamlar için serbestçe yapılabilir; sonsuz toplamlarda terimleri yeniden düzenlemenin ne kadar tehlikeli olduğunu ileride göreceğiz.) Yakınsak dizilerde limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği

\[\lim_{n \to \infty} u_n = \alpha \lim_{n \to \infty} s_n + \beta \lim_{n \to \infty} t_n = \alpha s + \beta t\]

olur. Demek ki $(u_n)$ yakınsaktır; yani $\sum (\alpha a_k + \beta b_k)$ serisi yakınsaktır ve toplamı $\alpha s + \beta t$’dir.

$\blacksquare$

$\alpha = \beta = 1$ almak yakınsak iki serinin toplamının, $\beta = 0$ almak ise yakınsak bir serinin sabitle çarpımının yakınsak olduğunu söyler. Peki serilerden biri ıraksaksa ne olur?

Önerme 34.1 (Yakınsak ile Iraksağın Toplamı)

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ yakınsak, $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ ıraksak ise $\sum_{k=1}^{\infty} (a_k + b_k)$ serisi ıraksaktır.
$\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ ıraksak ve $\alpha \ne 0$ ise $\sum_{k=1}^{\infty} \alpha b_k$ serisi de ıraksaktır.

İspat

(1) Olmayana ergi yöntemini kullanalım: $\sum (a_k + b_k)$ serisinin yakınsak olduğunu varsayalım. $\sum a_k$ da varsayım gereği yakınsaktır; Teorem 34.4’i bu iki seriye $\alpha = 1$, $\beta = -1$ katsayılarıyla uygularsak $\sum_{k=1}^{\infty} \big( (a_k + b_k) - a_k \big) = \sum_{k=1}^{\infty} b_k$ serisinin yakınsak olduğu çıkar. Bu, $\sum b_k$’nin ıraksaklığıyla çelişir.

(2) Yine olmayana ergi. $\sum \alpha b_k$ yakınsak olsun; $\alpha \ne 0$ olduğundan $\frac{1}{\alpha}$ tanımlıdır. Şimdi Teorem 34.4’i iki yakınsak seriye uygulayalım: birincisi varsayım gereği yakınsak olan $\sum \alpha b_k$, ikincisi ise bütün terimleri sıfır olan ve kısmi toplamları sabit sıfır olduğundan yakınsak olan $\sum 0$ serisi. Katsayıları $\frac{1}{\alpha}$ ve $0$ seçersek $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\alpha} \cdot \alpha b_k = \sum_{k=1}^{\infty} b_k$ serisinin yakınsak olduğu çıkar. Bu da varsayımla çelişir.

$\blacksquare$

İki serinin de ıraksak olduğu durumda ise hiçbir genel şey söylenemez; toplam seri yakınsak da olabilir, ıraksak da. Bütün durumları tek bir örnekte toplayalım.

Örnek 34.4 (Toplam Serilerin Davranışı) Aşağıdaki durumları inceleyiniz.

(Biri yakınsak, biri ıraksak.) $a_k = \dfrac{1}{2^k}$ ve $b_k = 1$ olsun.
(İkisi de ıraksak, toplam yakınsak.) $a_k = k$ ve $b_k = -k$ olsun.
(İkisi de ıraksak, toplam ıraksak.) $a_k = b_k = \dfrac{1}{k}$ olsun.

Çözüm

a) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}$ serisi yakınsaktır (birazdan Teorem 34.5 ile göreceğimiz gibi toplamı $1$’dir), $\sum_{k=1}^{\infty} 1$ serisi ise Örnek 34.1 gereği ıraksaktır. Toplam seri $\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^k} + 1 \right)$ biçimindedir ve genel terimi $\frac{1}{2^k} + 1 \to 1 \ne 0$ olduğundan Sonuç 34.1 gereği ıraksaktır. Aynı sonuca Önerme 34.1 (1) ile de doğrudan varılır; bu durum her zaman böyledir.

b) $\sum_{k=1}^{\infty} k$ serisi ıraksaktır (Örnek 34.1); $\sum_{k=1}^{\infty} (-k)$ serisi de ıraksaktır, çünkü genel terimi $-k \to -\infty$ olduğundan sıfıra gitmez (Sonuç 34.1). Buna karşın her $k$ için $a_k + b_k = k + (-k) = 0$ olduğundan toplam seri $\sum_{k=1}^{\infty} 0$ serisidir; kısmi toplamları $s_n = 0$’dır, yani seri yakınsaktır ve toplamı $0$’dır.

c) Harmonik seri $\sum \frac{1}{k}$ ıraksaktır (Örnek 34.2) ve toplam seri $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k}$’dır. Önerme 34.1 (2) gereği ıraksak bir serinin sıfırdan farklı sabitle çarpımı da ıraksaktır ($\alpha = 2$); öyleyse toplam seri ıraksaktır.

Sonuç. (b) ve (c) şıkları birlikte şunu gösterir: iki ıraksak serinin toplamı hakkında genel bir kural yoktur; her durum ayrıca incelenmelidir.

$\blacksquare$

34.6 Geometrik Seriler

Toplamı kapalı biçimde hesaplayabildiğimiz seriler azdır; bunların en önemlisi, terimleri sabit bir oranla çarpılarak elde edilen geometrik seridir. Sonraki bölümlerdeki karşılaştırma, kök ve oran testlerinde “ölçü serisi” olarak kullanılacağı için bu aileyi iyi tanımak gerekir.

Tanım 34.4 (Geometrik Seri) $a, r \in \mathbb{R}$ ve $a \ne 0$ olmak üzere

\[\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots\]

biçiminde tanımlanan seriye geometrik seri (geometric series) denir. Burada $a$ sayısına serinin ilk terimi, $r$ sayısına da ortak oranı (ya da kısaca oranı) denir.

Geometrik serinin ayrıcalığı, kısmi toplamlarının kapalı bir formüle sahip olmasıdır. Bu formülü türetelim. $r \ne 1$ olsun ve

\[s_n = \sum_{k=0}^{n} a r^{k} = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n}\]

yazalım (dikkat: indis $0$’dan başladığından bu toplamda $n+1$ terim vardır). Her iki yanı $r$ ile çarparsak $r s_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n+1}$ olur; iki eşitliği taraf tarafa çıkarınca ortadaki bütün terimler sadeleşir:

\[s_n - r s_n = a - a r^{n+1}, \qquad \text{yani} \qquad (1 - r) s_n = a \big( 1 - r^{n+1} \big).\]

$r \ne 1$ olduğundan $1 - r \ne 0$’dır ve iki yanı $1-r$’ye bölebiliriz:

\[s_n = \frac{a \big( 1 - r^{n+1} \big)}{1 - r}, \qquad r \ne 1.\]

$r = 1$ durumunda ise bütün terimler $a$’ya eşittir ve $s_n = a(n+1)$ olur. Artık yakınsaklığı tartışabiliriz.

Teorem 34.5 (Geometrik Serinin Yakınsaklığı) $a, r \in \mathbb{R}$ ve $a \ne 0$ olsun.

$|r| < 1$ ise $\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}$ geometrik serisi yakınsaktır ve toplamı

\[\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1 - r}\]

olur.
$|r| \ge 1$ ise geometrik seri ıraksaktır.

İspat

(1) $|r| < 1$ durumu. $|r| < 1$ olduğundan $r \ne 1$’dir ve yukarıda türettiğimiz formül geçerlidir:

\[s_n = \frac{a \big( 1 - r^{n+1} \big)}{1 - r} = \frac{a}{1-r} - \frac{a}{1-r} \, r^{n+1}.\]

Geometrik dizinin davranışı (bkz. Analiz 1) gereği $|r| < 1$ iken $\lim_{n \to \infty} r^{n} = 0$’dır; $(r^{n+1})$ dizisi $(r^n)$ dizisinin bir kaydırılmışı olduğundan onun da limiti $0$’dır. Öyleyse limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği

\[\lim_{n \to \infty} s_n = \frac{a}{1-r} - \frac{a}{1-r} \cdot 0 = \frac{a}{1-r}.\]

Kısmi toplamlar dizisi yakınsak olduğundan seri yakınsaktır ve toplamı $\dfrac{a}{1-r}$’dir.

(2) $|r| \ge 1$ durumu. Üç alt durumu ayrı ayrı ele alalım.

Durum $r = 1$. Her terim $a$’ya eşittir ve $s_n = a(n+1)$ olur. $a \ne 0$ olduğundan $|s_n| = |a|(n+1) \to +\infty$’dur; $(s_n)$ sınırsız olduğundan yakınsak değildir (bkz. Analiz 1). ($a > 0$ ise $s_n \to +\infty$, $a < 0$ ise $s_n \to -\infty$’dur.)

Durum $r = -1$. Terimler sırayla $a, -a, a, -a, \ldots$’dır. $n$ tek sayı ise terimler ikişerli tam gruplanır ve her grup $a - a = 0$ verdiğinden $s_n = 0$ olur; $n$ çift sayı ise bir terim artar ve $s_n = a$ bulunur. Yani $(s_{2n})$ alt dizisi $a$’ya, $(s_{2n+1})$ alt dizisi $0$’a yakınsar. $a \ne 0$ olduğundan bu iki limit farklıdır; yakınsak bir dizinin bütün alt dizileri aynı limite gitmek zorunda olduğundan (bkz. Analiz 1) $(s_n)$ yakınsak değildir.

Durum $|r| > 1$. Bu kez genel terime bakalım. Geometrik Dizinin Limiti gereği $|r| > 1$ iken $|r|^{n} \to +\infty$’dur, dolayısıyla $|a r^{k}| = |a| \, |r|^{k} \to +\infty$ olur. Genel terim sıfıra gitmediğinden Sonuç 34.1 gereği seri ıraksaktır.

Üç durumda da seri ıraksaktır; ispat tamamlanmıştır.

$\blacksquare$

Üç durumu tek hamlede görmek

$|r| \ge 1$ olan bütün durumlar tek bir gözlemle de halledilebilir: $|r| \ge 1$ iken her $k$ için $|a r^{k}| = |a| \, |r|^{k} \ge |a| > 0$ olur, yani genel terim $|a|$’nın altına hiç inmez ve sıfıra yakınsayamaz; Sonuç 34.1 ıraksaklığı verir. Yine de yukarıdaki ayrıntılı inceleme öğreticidir: $r = 1$’de kısmi toplamlar sonsuza gider, $r = -1$’de sınırlı kalıp salınır, $|r| > 1$’de ise büyüklükleri patlar.

Başlangıç indisi ve formül

Toplam formülündeki $a$, serinin ilk yazılan terimidir; indisin $0$’dan başlaması şart değildir. Örneğin $\sum_{k=1}^{\infty} a r^{k} = ar + ar^2 + \cdots$ serisi ilk terimi $ar$, oranı $r$ olan bir geometrik seridir ve $|r| < 1$ için toplamı $\dfrac{ar}{1-r}$’dir. Kısacası: toplam $=$ (ilk terim) $/$ ($1 -$ oran). Formülü ezberlemek yerine hangi terimin “ilk” olduğunu her seferinde denetlemek en sık yapılan hataları önler.

Örnek 34.5 (Geometrik Serilerle Hesaplar) Aşağıdaki serilerin yakınsaklığını inceleyiniz; yakınsak olanların toplamını bulunuz.

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}$ ve $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3}{4^k}$ ve $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{2}{3} \right)^{k}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^{k+1}}$ ve $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{5}{4} \right)^{k}$
$0{,}999\ldots$ devirli ondalık sayısını bir geometrik seri olarak yazıp toplamını hesaplayınız.
$0{,}121212\ldots$ sayısını rasyonel sayı olarak yazınız.

Çözüm

a) Birinci seride ilk terim $a = 1$ (yani $k = 0$ terimi), oran $r = \frac{1}{2}$’dir. $|r| < 1$ olduğundan Teorem 34.5 gereği seri yakınsaktır ve toplamı $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$’dir. İkinci seri, birincisinden yalnızca $k = 0$ terimi olan $1$ sayısı eksiktir; öyleyse $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 2 - 1 = 1$’dir. Aynı sonuca “ilk terim bölü $1 -$ oran” kuralıyla da varılır: $\frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$.

b) Birinci seride ilk terim $\frac{3}{4}$, oran $\frac14$’tür; ikincisinde ilk terim $1$, oran $r = -\frac{2}{3}$’tür ve $|r| = \frac23 < 1$’dir:

\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3}{4^k} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = 1, \qquad \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{2}{3} \right)^{k} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{5}.\]

c) Birinci seride genel terimi $\frac{2^k}{3^{k+1}} = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3} \right)^{k}$ biçiminde düzenleyelim. Teorem 34.4 gereği sabiti dışarı alabiliriz; $\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac23 \right)^k$ serisinin ilk terimi ve oranı $\frac23$ olduğundan toplamı $\frac{2/3}{1 - 2/3} = 2$’dir. Öyleyse $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^{k+1}} = \frac{2}{3}$’tür.

İkinci seride $r = \frac54$ ve $|r| > 1$’dir; Teorem 34.5 (2) gereği seri ıraksaktır.

d) $0{,}999\ldots$ yazımı, tanımı gereği ondalık basamakların oluşturduğu serinin toplamıdır:

\[0{,}999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{9}{10^{k}} = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1.\]

Burada ilk terim $\frac{9}{10}$, oran $r = \frac{1}{10}$’dur ve $|r| < 1$ olduğundan seri yakınsaktır. Demek ki $0{,}999\ldots = 1$’dir; bu bir “yaklaşıklık” değil, tam bir eşitliktir. Kısmi toplamlar $0{,}9;\ 0{,}99;\ 0{,}999;\ \ldots$ hiçbir zaman $1$’e eşit olmaz, ama limitleri $1$’dir ve serinin toplamı tanım gereği bu limittir.

e) İki basamaklı devir için terimleri ikişer basamak alalım:

\[0{,}121212\ldots = \frac{12}{100} + \frac{12}{100^2} + \frac{12}{100^3} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{12}{100^{k}}.\]

İlk terim $\frac{12}{100}$, oran $\frac{1}{100}$’dür:

\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{12}{100^{k}} = \frac{\frac{12}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{12}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}.\]

Devir hemen virgülden sonra başlamıyorsa devretmeyen kısım ayrılır. Örneğin $0{,}1666\ldots$ sayısı için hesap şöyle yürür:

\[0{,}1666\ldots = \frac{1}{10} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{6}{10^{k}} = \frac{1}{10} + \frac{6/100}{9/10} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}\]

Bu hesap, her devirli ondalık açılımın bir rasyonel sayı olduğunu gösteren genel yöntemin ta kendisidir: devreden kısım her zaman bir geometrik seri oluşturur ve oranı $10^{-p}$ ($p$ devir uzunluğu) olduğundan mutlak değerce $1$’den küçüktür.

$\blacksquare$

34.7 Teleskopik Seriler

Toplamı doğrudan hesaplanabilen ikinci aile, kısmi toplamlarında terimlerin karşılıklı sadeleştiği serilerdir. “Teleskopik” adı, açılıp kapanan bir teleskobun boruları gibi ara terimlerin birbirinin içine girip yok olmasından gelir.

Tanım 34.5 (Teleskopik Seri) $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ bir reel sayı dizisi olsun. Genel terimi bu dizinin ardışık iki teriminin farkı biçiminde yazılabilen, yani

\[\sum_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1}) \qquad \text{ya da} \qquad \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k+1} - a_k)\]

biçimindeki serilere teleskopik seri (telescoping series) denir. Daha genel olarak, sabit bir $p \in \mathbb{N}$ için genel terimi $a_k - a_{k+p}$ biçiminde olan seriler de teleskopiktir.

Teleskopik serilerin kısmi toplamı her zaman sonlu sayıda terimle ifade edilir. Örneğin $\sum (a_k - a_{k+1})$ serisinde ortadaki $a_2, \ldots, a_n$ terimlerinin her biri bir kez artı, bir kez eksi işaretiyle görünüp sadeleştiğinden

\[s_n = (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \cdots + (a_n - a_{n+1}) = a_1 - a_{n+1}\]

olur; böylece serinin yakınsaklığı $(a_{n+1})$ dizisinin yakınsaklığına indirgenir. Aynı fikri iki örnekte çalıştıralım.

Örnek 34.6 (Logaritmik Teleskopik Seri) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right)$ serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Logaritmanın bölme kuralı gereği genel terim teleskopik biçime girer:

\[\ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \ln \left( \frac{k+1}{k} \right) = \ln(k+1) - \ln k.\]

Öyleyse $n$’inci kısmi toplamda ara terimlerin tümü sadeleşir ve geriye yalnızca uçlar kalır:

\[\begin{aligned} s_n &= \sum_{k=1}^{n} \big( \ln(k+1) - \ln k \big) \\[1mm] &= \big( \ln 2 - \ln 1 \big) + \big( \ln 3 - \ln 2 \big) + \cdots + \big( \ln(n+1) - \ln n \big) = \ln(n+1). \end{aligned}\]

Şimdi $(s_n) = \big( \ln(n+1) \big)$ dizisinin sınırsız olduğunu görelim. $M > 0$ verilsin; $n + 1 > e^{M}$ olacak biçimde bir $n \in \mathbb{N}$ seçebiliriz (bkz. Analiz 1) ve logaritma kesin artan olduğundan bu $n$ için $\ln(n+1) > M$ olur. Demek ki $(s_n)$ artan ve üstten sınırsızdır; Sınırsız Monoton Diziler Sonsuza Iraksar gereği $s_n \to +\infty$’dur. Seri ıraksaktır ve $\sum_{k=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = +\infty$ yazarız.

Bu örnek de Teorem 34.2’nin karşıtının yanlışlığına bir tanıktır: genel terim $\ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \to \ln 1 = 0$ olduğu hâlde seri ıraksamıştır.

$\blacksquare$

Örnek 34.7 (Basit Kesirlerle Teleskoplama) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}$ serisinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve toplamını bulunuz.

Çözüm

Serinin kısmi toplamı $s_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$’dir. Genel terimi basit kesirlere ayıralım:

\[\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\]

(doğrulaması doğrudandır: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$). Bu ayrışımla $n$’inci kısmi toplam

\[\begin{aligned} s_n &= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\[1mm] &= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\[1mm] &= 1 - \frac{1}{n+1} \end{aligned}\]

olur. Şimdi limite geçelim: $\frac{1}{n+1} \to 0$ olduğundan (bkz. Analiz 1)

\[\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - 0 = 1.\]

Demek ki seri yakınsaktır ve

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\]

olur.

Kısmi toplamların davranışına dikkat edelim: $(s_n)$ artandır ve her $n$ için $s_n < 1$’dir; yani dizi $1$’e alttan yaklaşır ve toplamına hiçbir zaman ulaşmaz. Kalan da doğrudan okunur: $R_n = 1 - s_n = \frac{1}{n+1} \to 0$; bu, Teorem 34.1’i somut bir örnekte doğrular.

Bir serinin yakınsaklığı, kısmi toplamlar dizisinin yakınsaklığıdır. Solda ∑1/k²: kısmi toplamlar artan ve üstten sınırlı olduğundan π²/6'ya yakınsar. Sağda harmonik seri: genel terim sıfıra gitse de kısmi toplamlar sınırsızdır. Genel terimin sıfıra gitmesi gerek koşuldur, yeter değil.

$\blacksquare$

Bu iki örnekteki hesap, genel bir teoremin özel hâlidir. Teleskoplamayı bir kez ve son kez yapıp sonucu kayda geçirelim.

Teorem 34.6 (Teleskopik Serilerin Toplamı) $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ yakınsak bir dizi ve $\lim_{k \to \infty} a_k = a$ olsun. O hâlde:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1})$ serisi yakınsaktır ve toplamı $a_1 - a$’dır: \[\sum_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1}) = a_1 - a.\]
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+2})$ serisi yakınsaktır ve toplamı $a_1 + a_2 - 2a$’dır: \[\sum_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+2}) = a_1 + a_2 - 2a.\]

İspat

Önce her iki kısımda kullanacağımız gözlemi kaydedelim: $(a_k) \to a$ ise kaydırılmış diziler $(a_{n+1})$ ve $(a_{n+2})$ de $a$’ya yakınsar. Gerçekten $\varepsilon > 0$ için $k \ge N$ olduğunda $|a_k - a| < \varepsilon$ olacak biçimde bir $N$ vardır; $n \ge N$ alındığında $n+1 \ge N$ ve $n+2 \ge N$ olduğundan $|a_{n+1} - a| < \varepsilon$ ve $|a_{n+2} - a| < \varepsilon$ olur.

(1) Kısmi toplamı iki parçaya ayırıp indis kaydıralım:

\[s_n = \sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{j=2}^{n+1} a_j = a_1 - a_{n+1};\]

çünkü iki toplamda da ortak olan $a_2, \ldots, a_n$ terimleri çıkarmada yok olur. Limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) ve yukarıdaki gözlem gereği $\lim_{n \to \infty} s_n = a_1 - a$ olur; kısmi toplamlar dizisi yakınsak olduğundan seri yakınsaktır ve toplamı $a_1 - a$’dır.

(2) Aynı yöntemi iki adım kaydırmayla uygulayalım:

\[s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{j=3}^{n+2} a_j = a_1 + a_2 - a_{n+1} - a_{n+2}.\]

Burada birinci toplamda $a_1, a_2$, ikincisinde $a_{n+1}, a_{n+2}$ fazladan bulunur; ortak olan $a_3, \ldots, a_n$ terimleri sadeleşir. ($n = 1$ için de formül doğrudur: $s_1 = a_1 - a_3$ ve $a_1 + a_2 - a_2 - a_3 = a_1 - a_3$.) $(a_{n+1}) \to a$ ve $(a_{n+2}) \to a$ olduğundan limit $a_1 + a_2 - 2a$ çıkar.

$\blacksquare$

Teoremi kullanmanın püf noktası, genel terimi uygun bir $(a_k)$ dizisinin farkı biçiminde tanımaktır.

Örnek 34.8 (İki Kesirli Teleskopik Toplam) Aşağıdaki serilerin toplamlarını bulunuz.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

Çözüm

a) $\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{A}{k} + \dfrac{B}{k+2}$ yazıp payda eşitlersek $1 = A(k+2) + Bk$ olur; $k = 0$ için $A = \frac12$, $k = -2$ için $B = -\frac12$ bulunur. Öyleyse

\[\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right).\]

Şimdi $a_k = \dfrac{1}{k}$ diyelim. Bu dizi yakınsaktır ve $a = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0$’dır (bkz. Analiz 1). Teorem 34.6 (2) gereği

\[\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) = a_1 + a_2 - 2a = 1 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{3}{2}.\]

Sabiti dışarı almak için Teorem 34.4’i kullanırsak

\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\]

elde ederiz. Kısmi toplamı doğrudan yazarak da doğrulanabilir: $s_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \to \frac{3}{4}$.

b) Aynı biçimde $1 = A(2k+1) + B(2k-1)$ eşitliğinden $A = \frac12$, $B = -\frac12$ bulunur:

\[\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right).\]

Bu kez $a_k = \dfrac{1}{2k-1}$ diyelim; $a_{k+1} = \dfrac{1}{2k+1}$ olduğundan parantez içindeki ifade tam olarak $a_k - a_{k+1}$’dir. $(a_k)$ dizisi $0$’a yakınsar, çünkü $0 < \frac{1}{2k-1} \le \frac{1}{k}$ ve sıkıştırma teoremi (bkz. Analiz 1) uygulanır. Teorem 34.6 (1) gereği

\[\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = a_1 - a = 1 - 0 = 1,\]

ve sabiti geri koyarsak

\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\]

bulunur.

$\blacksquare$

34.8 Sonlu Sayıda Terimin Değiştirilmesi

Bölümün başında serilerin başlangıç indisinin yakınsaklığı etkilemediğini söylemiştik. Şimdi bunu ve daha genelini — sonlu sayıda terimi keyfî biçimde değiştirmenin yakınsaklığı bozmadığını — kanıtlayalım. Bu, seri testlerinin neden hep “yeterince büyük $k$ için” biçiminde hipotez koyduğunu açıklayan temel gerçektir.

Önerme 34.2 (Sonlu Sayıda Terimin Değiştirilmesi) $(a_k)$ ve $(b_k)$ reel sayı dizileri olsun ve öyle bir $m \in \mathbb{N}$ bulunsun ki her $k > m$ için

\[a_k = b_k\]

olsun. O hâlde:

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi yakınsaktır ancak ve ancak $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ serisi yakınsaktır.
İkisi de yakınsaksa toplamları arasında \[\sum_{k=1}^{\infty} b_k - \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{m} (b_k - a_k)\] bağıntısı vardır. Yani yakınsaklık korunur, ama toplam genel olarak değişir.
Özel olarak, her $m \in \mathbb{N}$ için $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ serisi yakınsaktır ancak ve ancak $\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k$ serisi yakınsaktır.

İspat

$(s_n)$ ve $(t_n)$ sırasıyla $\sum a_k$ ve $\sum b_k$ serilerinin kısmi toplamlar dizileri olsun.

(1) ve (2). $n \ge m$ olsun. Her iki kısmi toplamı ilk $m$ terim ile geri kalanlar diye ikiye ayıralım:

\[s_n = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k, \qquad t_n = \sum_{k=1}^{m} b_k + \sum_{k=m+1}^{n} b_k.\]

Varsayım gereği $k > m$ için $a_k = b_k$ olduğundan sağdaki ikinci toplamlar birbirine eşittir; öyleyse $n \ge m$ için

\[t_n - s_n = \sum_{k=1}^{m} (b_k - a_k) =: C\]

olur ve $C$, $n$’den bağımsız sabit bir sayıdır. Şimdi (1) hemen çıkar: $(s_n)$ yakınsaksa, sabit eklemek yakınsaklığı bozmadığından (bkz. Analiz 1) $t_n = s_n + C$ de yakınsaktır; simetrik olarak $(t_n)$ yakınsaksa $s_n = t_n - C$ yakınsaktır. (Bir dizinin yakınsaklığı sonlu sayıda teriminden bağımsız olduğundan, eşitliğin yalnızca $n \ge m$ için geçerli olması yeterlidir.) İkisi de yakınsak olduğunda limit alırsak

\[\sum_{k=1}^{\infty} b_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{m} (b_k - a_k)\]

elde edilir; bu da (2)’dir.

(3). $n > m$ için $s_n = D + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$ yazılır; burada $D = \sum_{k=1}^{m} a_k$ sabittir ve sağdaki toplam $\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k$ serisinin kısmi toplamıdır. Sabit farkla ayrılan iki dizi ancak ve ancak birlikte yakınsadığından iddia elde edilir (bu gözlemi Sonuç 34.2’un ikinci kısmında da kullanmıştık).

$\blacksquare$

Ne korunur, ne korunmaz

Sonlu sayıda terimin değiştirilmesi (silinmesi, eklenmesi, başka sayılarla değiştirilmesi) serinin yakınsak olup olmadığını değiştirmez, ama toplamını genel olarak değiştirir. Örneğin $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 1$’dir; ilk terimi $\frac12$ yerine $5$ yaparsak seri hâlâ yakınsaktır, ama toplamı $1 - \frac12 + 5 = \frac{11}{2}$ olur. Buna karşılık harmonik seriden ilk bir milyon terimi atsak bile kalan seri hâlâ ıraksaktır. Bu yüzden “yakınsaklık serinin kuyruğunun bir özelliğidir” denir.

34.9 Alıştırmalar

Alıştırma 34.1 (Serilerin Temel Kavramları Üzerine)

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ serisinin yakınsak olduğunu gösterip toplamını bulunuz.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k + 3^k}{6^k}$ serisinin toplamını hesaplayınız.
Aşağıdaki serilerden hangilerinin ıraksak olduğu ıraksaklık testiyle söylenebilir? $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2k+1}$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \cos \frac{1}{k}$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$.
Harmonik serinin ıraksaklığını, gruplama yapmadan, doğrudan Cauchy ölçütünü kullanarak yeniden kanıtlayınız.
$0{,}\overline{123} = 0{,}123123123\ldots$ sayısını rasyonel sayı olarak yazınız.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^k} + \frac{1}{k} \right)$ serisinin ıraksak olduğunu, genel terim testine başvurmadan gösteriniz.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \ln \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}$ serisinin yakınsak olduğunu gösterip toplamını bulunuz.

Çözüm

a) $b_k = \dfrac{1}{k(k+1)}$ diyelim. O hâlde

\[b_k - b_{k+1} = \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+2) - k}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2}{k(k+1)(k+2)},\]

yani $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}(b_k - b_{k+1})$’dir. $(b_k)$ dizisi $0$’a yakınsar; gerçekten $0 < b_k \le \frac{1}{k}$ ve sıkıştırma teoremi (bkz. Analiz 1) uygulanır. Teorem 34.6 (1) gereği $\sum_{k=1}^{\infty} (b_k - b_{k+1}) = b_1 = \frac{1}{2}$’dir; Teorem 34.4 ile sabiti dışarı alırsak

\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\]

b) Genel terimi $\dfrac{2^k + 3^k}{6^k} = \left( \frac{1}{3} \right)^{k} + \left( \frac{1}{2} \right)^{k}$ biçiminde ayıralım. Her iki seri de $|r| < 1$ oranlı geometrik seridir (Teorem 34.5):

\[\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{k} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{k} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1.\]

Teorem 34.4 ($\alpha = \beta = 1$) gereği toplam seri yakınsaktır ve toplamı $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$’dir.

c) Birinci seride $\dfrac{k}{2k+1} = \dfrac{1}{2 + 1/k} \to \dfrac{1}{2} \ne 0$ olduğundan Sonuç 34.1 seriyi ıraksak ilan eder. İkinci seride $\frac1k \to 0$ ve kosinüs sürekli olduğundan $\cos \frac{1}{k} \to 1 \ne 0$’dır; bu seri de ıraksaklık testiyle ıraksaktır. Üçüncü seride $\frac{1}{\sqrt{k}} \to 0$’dır; genel terim sıfıra gittiğinden ıraksaklık testi hiçbir sonuç vermez. (Bu serinin gerçekte ıraksak olduğu sonraki bölümde karşılaştırma testiyle görülecektir; ama bu bilgi ıraksaklık testinden çıkmaz.)

d) Teorem 34.3’ne göre seri yakınsak olsaydı, her $\varepsilon > 0$ için öyle bir $N_\varepsilon$ bulunurdu ki $m > n \ge N_\varepsilon$ için $\left| \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k} \right| < \varepsilon$ olurdu. Bunun yanlış olduğunu gösterelim: $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$ alalım ve herhangi bir $N \in \mathbb{N}$ verilsin. $n = N$, $m = 2N$ seçersek $m > n \ge N$ olur; bu blokta $N$ tane terim vardır ve her biri en küçükleri olan $\frac{1}{2N}$’den küçük değildir:

\[\sum_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} \ \ge \ N \cdot \frac{1}{2N} = \frac{1}{2} = \varepsilon_0.\]

Demek ki hiçbir $N$ için Cauchy koşulu $\varepsilon_0 = \frac12$ ile sağlanamaz; harmonik seri ıraksaktır.

e) Devir uzunluğu üçtür; terimleri üçer basamak alalım:

\[0{,}123123123\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{123}{1000^{k}} = \frac{\frac{123}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}.\]

Burada ilk terim $\frac{123}{1000}$, oran $\frac{1}{1000}$’dir ve $|r| < 1$ olduğundan Teorem 34.5 uygulanır; son adımda pay ve payda $3$ ile sadeleştirilmiştir.

f) $a_k = \dfrac{1}{2^k}$ ve $b_k = \dfrac{1}{k}$ diyelim. $\sum a_k$ serisi, oranı $\frac12$ olan bir geometrik seri olduğundan yakınsaktır (Teorem 34.5); $\sum b_k$ ise harmonik seridir ve ıraksaktır (Örnek 34.2). Önerme 34.1 (1) gereği toplam seri ıraksaktır.

Genel terim testinin burada işe yaramayacağını da not edelim: $\frac{1}{2^k} + \frac{1}{k} \to 0$ olduğundan Sonuç 34.1 hiçbir şey söylemez.

g) Logaritmanın çarpma ve bölme kurallarıyla genel terimi düzenleyelim:

\[\ln \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = \ln \frac{k}{k+1} + \ln \frac{k+2}{k+1} = \ln \frac{k}{k+1} - \ln \frac{k+1}{k+2}.\]

$a_k = \ln \dfrac{k}{k+1}$ diyelim; o hâlde $a_{k+1} = \ln \dfrac{k+1}{k+2}$ olur ve genel terim tam olarak $a_k - a_{k+1}$’dir. $\dfrac{k}{k+1} \to 1$ ve logaritma sürekli olduğundan $a = \lim_{k \to \infty} a_k = \ln 1 = 0$’dır. Teorem 34.6 (1) gereği seri yakınsaktır ve toplamı

\[\sum_{k=1}^{\infty} \ln \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = a_1 - a = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2\]

olur. Doğrulama olarak kısmi toplam da yazılabilir: $s_n = \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{n+1}{n+2} \to -\ln 2$.

$\blacksquare$

Bu bölümde serilerin dilini kurduk: kısmi toplamlar dizisi, yakınsaklık, toplam, kalan, genel terim testi, Cauchy ölçütü ve iki temel seri ailesi. Elimizdeki araçların ortak zayıflığı ortadadır: geometrik ve teleskopik seriler dışında kısmi toplamı kapalı biçimde yazamayız, genel terim testi de yalnızca ıraksaklık gösterebilir. Bundan sonraki bölümlerde toplamı hesaplamadan yakınsaklığa karar verdiren ölçütler geliştireceğiz; ilk adım, terimleri işaret değiştirmeyen serilerde kısmi toplamlar dizisinin monoton olması gerçeğinden yararlanmak olacak: Pozitif Terimli Seriler ve Karşılaştırma Testleri.