39 Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık
Kummer ve Raabe Testleri bölümüyle birlikte, negatif olmayan terimli seriler için elimizde epey zengin bir araç takımı birikti: karşılaştırma testleri, yoğunlaştırma testi, integral testi, kök testi, oran testi, Kummer ve Raabe testleri. Bütün bu testlerin ortak bir varsayımı vardı — terimler negatif değildi. Bu varsayım göründüğünden çok daha derin bir rol oynuyordu: terimler negatif olmayınca kısmi toplamlar dizisi artan oluyor, artan bir dizinin yakınsaklığı da yalnızca sınırlılığa indirgeniyordu (Teorem 35.1). Bütün testler, aslında bu tek gözlemin farklı kılıklardaki yansımalarıydı.
Şimdi bu güvenli bölgenin dışına çıkıyoruz. Terimleri hiçbir kurala bağlı olmaksızın pozitif ve negatif değerler alabilen serilere keyfi terimli seriler diyeceğiz. Böyle bir seride kısmi toplamlar dizisi bir ileri bir geri gidebilir; monotonluk kaybolur, dolayısıyla “sınırlıysa yakınsar” kestirmesi de elimizden gider. Üstelik, birazdan somut bir örnekte göreceğimiz gibi, negatif olmayan seriler için kusursuz işleyen karşılaştırma testi keyfi terimli serilere olduğu gibi taşınamaz.
Bu çıkmazdan kurtaran fikir şaşırtıcı ölçüde basittir: bir seriyi incelemek yerine, terimlerinin mutlak değerlerinden kurulan seriyi inceleriz. Bu ikinci seri negatif olmayan terimlidir; ona bütün eski testleri uygulayabiliriz. Sonra da “mutlak değerler serisi yakınsaksa, asıl seri de yakınsaktır” biçiminde bir köprü kurarız. Bu köprüyü kuran teorem, elimizdeki bütün pozitif terimli seri testlerini bir çırpıda keyfi terimli serilere taşır.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: mutlak yakınsaklık (absolute convergence) ve şartlı yakınsaklık (conditional convergence) kavramlarının tanımı; mutlak yakınsak her serinin yakınsak olduğu ve karşıtının yanlış olduğu; bir serinin pozitif kısmı ile negatif kısmının ayrıştırılması ve bu ayrıştırmanın şartlı yakınsaklığı nasıl “iki sonsuzluğun ince dengesi” olarak açığa çıkardığı; keyfi terimli seriler için karşılaştırma testi; ve son olarak kök ile oran testlerinin keyfi terimli serilerde nasıl okunacağı — özellikle üst limitin (limsup) neden vazgeçilmez olduğu.
39.1 Keyfi Terimli Seriler: Karşılaştırma Neden Yetmez
Önce sorunun ne olduğunu açıkça görelim. Negatif olmayan terimli seriler için karşılaştırma testi (Teorem 35.2) şunu söylüyordu: \(0 \le a_k \le b_k\) ve \(\sum b_k\) yakınsak ise \(\sum a_k\) da yakınsaktır. Alt sınırdaki \(0 \le a_k\) koşulunu kaldırırsak ne olur?
Bir bakalım. Her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[a_k = -1, \qquad b_k = \frac{1}{k^2}\]
alalım. Kuşkusuz \(a_k \le b_k\)’dır ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}\) serisi yakınsaktır (\(p = 2 > 1\); Teorem 36.2). Buna karşın \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)\) serisinin kısmi toplamları \(s_n = -n\)’dir ve bu dizi \(-\infty\)’a ıraksar. Demek ki “üstten yakınsak bir seriyle sınırlı olmak” keyfi terimli bir seri için hiçbir şey söylemiyor: terimler aşağı doğru serbestçe kaçabildiği sürece seri istediği gibi ıraksayabilir.
Ters yönde de durum aynı ölçüde kötüdür. \(a_k = \dfrac{(-1)^k}{k}\) ve \(b_k = \dfrac{1}{k}\) alalım. Her \(k\) için \(a_k \le b_k\)’dır ve \(\sum b_k\) harmonik seri olarak ıraksaktır; ama bu, \(\sum a_k\) hakkında hiçbir bilgi vermez. Nitekim bu bölümün sonunda göreceğimiz üzere \(\sum \dfrac{(-1)^k}{k}\) serisi yakınsaktır.
Öyleyse keyfi terimli serilerde “büyüklük karşılaştırması” tek başına çalışmaz; çalışan şey mutlak büyüklük karşılaştırmasıdır. Bunun nedenini bir sonraki başlıkta göreceğiz. Şimdilik şu stratejiyi aklımızda tutalım:
Keyfi terimli bir \(\sum a_k\) serisini incelerken önce negatif olmayan terimli \(\sum |a_k|\) serisine bakarız; ona elimizdeki bütün testleri uygulayabiliriz.
39.2 Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık
Bu strateji iki yeni kavramı doğurur.
Tanım 39.1 (Mutlak Yakınsaklık) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) keyfi terimli bir seri olsun (Tanım 34.1). Terimlerin mutlak değerlerinden kurulan
\[\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\]
serisi yakınsak ise, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisine mutlak yakınsak (absolutely convergent) seri denir.
Tanım 39.2 (Şartlı Yakınsaklık) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi yakınsak, buna karşın \(\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\) serisi ıraksak ise, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisine şartlı yakınsak (conditionally convergent) seri denir.
İki tanım arasındaki ilişkiye dikkat edelim. Mutlak yakınsaklık, \(\sum |a_k|\) hakkında bir hükümdür; şartlı yakınsaklık ise hem \(\sum a_k\) hem \(\sum |a_k|\) hakkında iki ayrı hüküm içerir. Birazdan ispatlayacağımız teorem sayesinde bu iki kavram, yakınsak serileri birbirini dışlayan iki sınıfa ayıracaktır: yakınsak bir seri ya mutlak yakınsaktır ya da şartlı yakınsaktır, üçüncü bir olasılık yoktur.
Negatif olmayan terimli bir seri için \(|a_k| = a_k\) olduğundan mutlak yakınsaklıkla yakınsaklık aynı şeydir; şartlı yakınsak bir negatif olmayan seri yoktur (Tanım 35.1). Yani bu bölümdeki ayrım yalnızca terimleri işaret değiştiren seriler için anlamlıdır.
Şimdi iki temel örneği görelim. Bu iki örnek, iki kavramın da prototipidir; bölüm boyunca onlara geri döneceğiz.
Örnek 39.1 (Mutlak Yakınsak Bir Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k^3}\]
serisinin mutlak yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Serinin genel terimi \(a_k = (-1)^k \dfrac{1}{k^3}\)’tür; \(k\) tek iken \(a_k < 0\), \(k\) çift iken \(a_k > 0\) olduğundan bu gerçekten keyfi terimli bir seridir.
Her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[|a_k| = \left| (-1)^k \frac{1}{k^3} \right| = |(-1)^k| \cdot \frac{1}{k^3} = \frac{1}{k^3}\]
olur. Böylece mutlak değerler serisi
\[\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}\]
serisidir. Bu bir \(p\)-serisidir ve \(p = 3 > 1\) olduğundan Teorem 36.2 gereği yakınsaktır.
Tanım 39.1 gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \dfrac{1}{k^3}\) serisi mutlak yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Örnek 39.2 (Şartlı Yakınsak Bir Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k}\]
serisinin mutlak yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Genel terim \(a_k = (-1)^k \dfrac{1}{k}\)’dır ve her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[|a_k| = \frac{1}{k}\]
olur. Öyleyse mutlak değerler serisi
\[\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\]
harmonik serisidir. Harmonik seri \(p = 1\) olan bir \(p\)-serisidir ve Teorem 36.2 gereği ıraksaktır. Demek ki \(\sum (-1)^k \dfrac{1}{k}\) mutlak yakınsak değildir.
Öte yandan serinin kendisi yakınsaktır. Bunu burada ispatlamıyoruz; Abel, Dirichlet ve Leibniz Testleri bölümünde Leibniz testiyle göstereceğiz. Bu yakınsaklığı kabul edersek, Tanım 39.2 gereği
\[\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k}\]
serisi şartlı yakınsaktır.
Kısmi toplamların davranışı bu iki olguyu yan yana koyduğumuzda çarpıcıdır: \(\sum \dfrac{1}{k}\) serisinin kısmi toplamları sınırsızca büyürken, aynı terimlere dönüşümlü olarak işaret verildiğinde kısmi toplamlar giderek daralan salınımlarla tek bir sayıya oturur. Yakınsaklığı sağlayan şey terimlerin küçüklüğü değil, işaretlerin yarattığı karşılıklı yok etmedir; “şartlı” sıfatı da tam olarak bunu anlatır.
\(\blacksquare\)
39.3 Mutlak Yakınsaklık Yakınsaklığı Gerektirir
Şimdi bölümün eksen teoremine geliyoruz. Bu teorem, mutlak değerler serisine bakma stratejisini meşru kılan sonuçtur: \(\sum |a_k|\) yakınsaksa, \(\sum a_k\) hakkında da bir şey söyleyebiliriz — üstelik en çok istediğimiz şeyi, yakınsaklığını.
İspatın anahtarı, yakınsaklığı limit hesabıyla değil, Cauchy ölçütüyle kontrol etmektir. Nedeni şudur: Cauchy ölçütü serinin toplamından hiç söz etmez, yalnızca ardışık terim öbeklerinin küçüklüğüne bakar; üçgen eşitsizliği de tam olarak böyle öbekler üzerinde çalışır. Yani ölçüt ile eşitsizlik birbirine tam oturur.
Teorem 39.1 (Mutlak Yakınsak Her Seri Yakınsaktır) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) mutlak yakınsak bir seri ise, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsaktır. Ayrıca
\[\left| \sum_{k=1}^{\infty} a_k \right| \le \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\]
eşitsizliği geçerlidir.
İspat
Adım 1: Cauchy ölçütünü \(\sum |a_k|\) serisine uygulayalım. Varsayım gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\) serisi yakınsaktır. Seriler için Cauchy yakınsaklık ölçütü (Teorem 34.3) gereği, verilen her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\) vardır ki \(m > n \ge N_{\varepsilon}\) olan her \(m, n\) için
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| \right| = \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| < \varepsilon\]
olur. (Ortadaki mutlak değeri kaldırabildik, çünkü \(|a_k| \ge 0\) olduğundan toplam da negatif değildir.)
Adım 2: Üçgen eşitsizliğiyle \(\sum a_k\) serisine geçelim. Sonlu sayıda terim için üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1), tümevarımla herhangi bir sonlu toplama genişler: her \(m > n\) için
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| \le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k|.\]
Bunu 1. Adım’daki eşitsizlikle birleştirirsek, \(m > n \ge N_{\varepsilon}\) olan her \(m, n\) için
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| \le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| < \varepsilon\]
elde ederiz.
Adım 3: Ölçütü ters yönde okuyalım. Son eşitsizlik tam olarak \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisinin Cauchy ölçütünü sağladığını söyler. Teorem 34.3 gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi yakınsaktır.
Adım 4: Eşitsizliğin ispatı. \(s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\) ve \(t_n = \sum_{k=1}^{n} |a_k|\) kısmi toplamlarını alalım. Üçgen eşitsizliği gereği her \(n\) için
\[|s_n| \le t_n\]
olur. Yukarıda \(s_n \to s = \sum_{k=1}^{\infty} a_k\) olduğunu gösterdik; varsayım gereği \(t_n \to t = \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\)’dır. Ters üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) gereği
\[\big| |s_n| - |s| \big| \le |s_n - s| \longrightarrow 0\]
olduğundan \(|s_n| \to |s|\)’dir. \(|s_n| \le t_n\) eşitsizliğinde limite geçersek — yakınsak dizilerde sıralamanın korunması gereği — \(|s| \le t\), yani
\[\left| \sum_{k=1}^{\infty} a_k \right| \le \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Bu teorem, “seri toplamının mutlak değeri, mutlak değerlerin toplamını aşamaz” biçiminde okunabilir; yani üçgen eşitsizliği sonsuz toplamlara da taşınır. Ama asıl kazancımız ilk kısımdır: artık negatif olmayan seriler için kurduğumuz bütün testler, \(\sum |a_k|\) üzerinden keyfi terimli serilere uygulanabilir.
Teorem 39.1’in karşıtı yanlıştır: yakınsak her seri mutlak yakınsak değildir.
Karşı örnek elimizde hazır: Örnek 39.2’te gördüğümüz
\[\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k}\]
serisi yakınsaktır, ama mutlak değerler serisi harmonik seri olduğundan ıraksaktır. Yani “yakınsak” ile “mutlak yakınsak” kesinlikle aynı şey değildir; mutlak yakınsaklık, yakınsaklıktan kesin olarak daha güçlü bir koşuldur.
Bunun pratikteki karşılığı şudur: \(\sum |a_k|\) ıraksak çıktığında hiçbir sonuca varamayız. \(\sum a_k\) yakınsak da olabilir, ıraksak da. Böyle durumlarda bir sonraki bölümün araçlarına (Leibniz, Dirichlet, Abel testleri) başvurmak gerekir.
Teorem 39.1 sayesinde şu sınıflandırmayı yapabiliriz. Herhangi bir \(\sum a_k\) serisi tam olarak şu üç kutudan birine düşer:
- mutlak yakınsak (\(\sum |a_k|\) yakınsak; bu durumda \(\sum a_k\) de yakınsak),
- şartlı yakınsak (\(\sum a_k\) yakınsak, \(\sum |a_k|\) ıraksak),
- ıraksak (\(\sum a_k\) ıraksak; bu durumda \(\sum |a_k|\) de zorunlu olarak ıraksaktır, çünkü aksi hâlde teorem gereği \(\sum a_k\) yakınsak olurdu).
Şimdi teoremin tipik bir kullanımını görelim.
Örnek 39.3 (Sinüslü Bir Serinin Yakınsaklığı) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin k}{k^2}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Genel terim \(a_k = \dfrac{\sin k}{k^2}\)’dir. Burada \(k\) doğal sayısı radyan olarak alınmaktadır ve \(\sin k\) değerleri hiçbir düzenli kurala uymadan pozitif ya da negatif olabilir: örneğin \(\sin 1 > 0\), \(\sin 4 < 0\), \(\sin 7 > 0\)’dır. Yani bu, tam anlamıyla keyfi terimli bir seridir ve terimlerin işaretlerini izleyerek ilerlemek umutsuzdur.
Bunun yerine mutlak değerlere geçelim. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(|\sin x| \le 1\) olduğundan, her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[|a_k| = \left| \frac{\sin k}{k^2} \right| = \frac{|\sin k|}{k^2} \le \frac{1}{k^2}\]
olur. \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}\) serisi \(p = 2 > 1\) olan bir \(p\)-serisidir ve Teorem 36.2 gereği yakınsaktır. Hem \(\left( |a_k| \right)\) hem \(\left( \dfrac{1}{k^2} \right)\) negatif olmayan terimli olduğundan karşılaştırma testi (Teorem 35.2) uygulanabilir ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{\sin k}{k^2} \right|\]
serisi yakınsaktır.
Demek ki Tanım 39.1 gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin k}{k^2}\) serisi mutlak yakınsaktır; Teorem 39.1 gereği de yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Bu örneğin yöntemi son derece tipiktir ve şu üç adıma indirgenir: (i) terimleri mutlak değere al, (ii) elde ettiğin negatif olmayan seriyi bilinen bir testle incele, (iii) yakınsaklık çıktıysa Teorem 39.1 ile asıl seriye dön.
39.4 Bir Serinin Pozitif ve Negatif Kısımları
Mutlak ve şartlı yakınsaklık arasındaki farkı gerçekten anlamak için, keyfi terimli bir seriyi negatif olmayan iki seriye ayrıştırmak çok işe yarar. Fikir basittir: her terimin ya pozitif kısmını ya da negatif kısmını alırız, ötekini sıfıra çeviririz.
Tanım 39.3 (Bir Terimin Pozitif ve Negatif Kısmı) \(a \in \mathbb{R}\) olsun.
\[a^{+} = \max\{a, 0\}, \qquad a^{-} = \max\{-a, 0\}\]
sayılarına sırasıyla \(a\)’nın pozitif kısmı (positive part) ve negatif kısmı (negative part) denir. Bir \((a_k)\) dizisi için \(a_k^{+}\) ve \(a_k^{-}\) terim terim tanımlanır ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-}\]
serilerine \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisinin pozitif kısmı ve negatif kısmı denir.
Adlandırmada bir tuzağa dikkat edelim: \(a^{-}\) negatif değildir, tersine \(a^{-} \ge 0\)’dır. “Negatif kısım” adı, \(a\)’nın negatif olduğu durumda devreye girmesinden gelir. Örneğin \(a = -5\) için \(a^{+} = 0\), \(a^{-} = 5\)’tir; \(a = 3\) için \(a^{+} = 3\), \(a^{-} = 0\)’dır.
Bu iki büyüklüğün bize gereken bütün özellikleri şu dört eşitlikte toplanır. Her \(a \in \mathbb{R}\) için
\[a^{+} \ge 0, \qquad a^{-} \ge 0, \qquad a = a^{+} - a^{-}, \qquad |a| = a^{+} + a^{-}.\]
Doğrulaması iki duruma ayrılır. \(a \ge 0\) ise \(a^{+} = a\) ve \(-a \le 0\) olduğundan \(a^{-} = 0\)’dır; böylece \(a^{+} - a^{-} = a\) ve \(a^{+} + a^{-} = a = |a|\) olur. \(a < 0\) ise \(a^{+} = 0\) ve \(a^{-} = -a > 0\)’dır; böylece \(a^{+} - a^{-} = -(-a) = a\) ve \(a^{+} + a^{-} = -a = |a|\) olur. Her iki durumda da eşitlikler sağlanır.
Bu iki eşitliği birlikte çözersek çok kullanışlı iki formül daha çıkar:
\[a^{+} = \frac{|a| + a}{2}, \qquad a^{-} = \frac{|a| - a}{2}.\]
Ayrıca \(a^{+} \le a^{+} + a^{-} = |a|\) ve benzer biçimde \(a^{-} \le |a|\) olduğundan
\[0 \le a^{+} \le |a|, \qquad 0 \le a^{-} \le |a|\]
sınırlarına sahibiz. Bunlar karşılaştırma testine doğrudan yem olacaktır.
Somut bir örnek üzerinde çalışalım: \(a_k = \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\) olsun. \(k\) tek iken \(a_k = \dfrac{1}{k} > 0\), \(k\) çift iken \(a_k = -\dfrac{1}{k} < 0\)’dır. Öyleyse
\[a_k^{+} = \begin{cases} \dfrac{1}{k}, & k \text{ tek} \\[2mm] 0, & k \text{ çift,} \end{cases} \qquad a_k^{-} = \begin{cases} 0, & k \text{ tek} \\[2mm] \dfrac{1}{k}, & k \text{ çift.} \end{cases}\]
Yani pozitif kısım seri “tek indisli terimleri”, negatif kısım seri “çift indisli terimleri” toplar. Birazdan ikisinin de \(+\infty\)’a ıraksadığını göreceğiz.
Şimdi bu ayrıştırmanın mutlak yakınsaklıkla ilişkisini kuralım.
Teorem 39.2 (Mutlak Yakınsaklığın Pozitif ve Negatif Kısımlarla Ölçütü) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) keyfi terimli bir seri olsun. O hâlde
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k \ \text{mutlak yakınsaktır} \iff \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} \ \text{ve} \ \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-} \ \text{serilerinin ikisi de yakınsaktır.}\]
Bu durumda ayrıca
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} - \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| = \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-}\]
eşitlikleri geçerlidir.
İspat
(\(\Rightarrow\)) Mutlak yakınsaklıktan iki kısmın yakınsaklığına. \(\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\) yakınsak olsun. Yukarıda kurduğumuz sınırlar gereği her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[0 \le a_k^{+} \le |a_k|, \qquad 0 \le a_k^{-} \le |a_k|\]
olur. \(\left( a_k^{+} \right)\), \(\left( a_k^{-} \right)\) ve \(\left( |a_k| \right)\) dizilerinin hepsi negatif olmayan terimlidir; karşılaştırma testi (Teorem 35.2) her iki eşitsizliğe de uygulanır ve \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+}\) ile \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-}\) serilerinin ikisinin de yakınsak olduğu çıkar.
(\(\Leftarrow\)) İki kısmın yakınsaklığından mutlak yakınsaklığa. \(\sum a_k^{+}\) ve \(\sum a_k^{-}\) serilerinin ikisi de yakınsak olsun. Her \(k\) için
\[|a_k| = a_k^{+} + a_k^{-}\]
olduğundan, \(\sum |a_k|\) serisi yakınsak iki serinin terim terim toplamıdır. Serilerin cebirsel işlemleri (Teorem 34.4) gereği bu toplam seri de yakınsaktır ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| = \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-}\]
olur. Böylece \(\sum a_k\) mutlak yakınsaktır.
Toplam formülü. Yukarıdaki durumda, her \(k\) için \(a_k = a_k^{+} - a_k^{-}\) olduğundan yine Teorem 34.4 gereği \(\sum a_k\) serisi yakınsak iki serinin farkıdır ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} - \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-}\]
elde edilir. (Bu, Teorem 39.1’in bu özel durumdaki ikinci bir ispatını da vermiş olur.)
\(\blacksquare\)
Teoremi şöyle özetleyebiliriz: mutlak yakınsaklık, serinin pozitif katkısının ve negatif katkısının ayrı ayrı sonlu olması demektir. Toplam, bu iki sonlu büyüklüğün farkıdır ve terimlerin hangi sırayla toplandığı hiç fark etmez — bu son gözlem, Serilerin Yeniden Düzenlenmesi ve Gruplanması bölümünün başlangıç noktası olacaktır.
Peki şartlı yakınsaklıkta durum nedir? Sonuç çarpıcıdır: her iki kısım da sonsuza gider, ama birbirlerini öyle ince bir dengede yok ederler ki fark sonlu kalır.
Sonuç 39.1 (Yakınsak Seriler İçin Mutlak Yakınsaklığın Denk Biçimleri) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak bir seri olsun. O hâlde aşağıdaki üç önerme denktir:
- (i) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) mutlak yakınsaktır;
- (ii) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+}\) yakınsaktır;
- (iii) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-}\) yakınsaktır.
Dolayısıyla \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) şartlı yakınsak ise
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} = +\infty \qquad \text{ve} \qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-} = +\infty\]
olur; yani pozitif ve negatif kısımların ikisi de \(+\infty\)’a ıraksar.
İspat
(i) \(\Rightarrow\) (ii) ve (i) \(\Rightarrow\) (iii). Bu, Teorem 39.2’in (\(\Rightarrow\)) yönüdür.
(ii) \(\Rightarrow\) (iii). \(\sum a_k^{+}\) yakınsak olsun. \(a_k = a_k^{+} - a_k^{-}\) eşitliğinden
\[a_k^{-} = a_k^{+} - a_k\]
yazılır. Sağ taraf, yakınsak olduğu varsayılan \(\sum a_k^{+}\) serisi ile hipotez gereği yakınsak olan \(\sum a_k\) serisinin terim terim farkıdır; Teorem 34.4 gereği \(\sum a_k^{-}\) yakınsaktır. (Serinin yakınsaklığı hipotezinin tam olarak burada kullanıldığına dikkat edelim.)
(iii) \(\Rightarrow\) (ii). Bakışımlı olarak \(a_k^{+} = a_k + a_k^{-}\) eşitliğinden, \(\sum a_k\) ve \(\sum a_k^{-}\) yakınsak olduğundan \(\sum a_k^{+}\) de yakınsaktır.
(ii) ve (iii) \(\Rightarrow\) (i). Yukarıdaki iki adım (ii) ile (iii)’ün denk olduğunu gösterdi; öyleyse ikisinden biri doğruysa ikisi birden doğrudur ve Teorem 39.2’in (\(\Leftarrow\)) yönü (i)’i verir.
Böylece üç önermenin denkliği kurulmuş oldu.
Şartlı yakınsak durum. \(\sum a_k\) şartlı yakınsak olsun. Tanım gereği \(\sum a_k\) yakınsaktır ama \(\sum |a_k|\) ıraksaktır; yani (i) yanlıştır. Denklik gereği (ii) ve (iii) de yanlıştır: \(\sum a_k^{+}\) ve \(\sum a_k^{-}\) serilerinin ikisi de ıraksaktır.
Bu iki seri negatif olmayan terimlidir; negatif olmayan terimli bir serinin kısmi toplamlar dizisi artandır ve Teorem 35.1 gereği böyle bir seri ancak kısmi toplamları sınırsız olduğunda ıraksar. Artan ve sınırsız bir dizi ise \(+\infty\)’a ıraksar. Öyleyse
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} = +\infty, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-} = +\infty\]
olur.
\(\blacksquare\)
Sonuç 39.1, şartlı yakınsaklığın neden bu kadar kırılgan bir olgu olduğunu açıklar. Şartlı yakınsak bir seride pozitif terimlerin toplamı da negatif terimlerin toplamı da sonsuzdur; seri yalnızca bu iki sonsuzluğun belirli bir sırayla birbirini yeme biçimi sayesinde sonlu bir değere oturur.
Sıra değişirse denge de bozulur. Nitekim şartlı yakınsak bir serinin terimleri uygun biçimde yeniden sıralanarak önceden verilmiş herhangi bir gerçek sayıya yakınsatılabilir; hatta \(+\infty\)’a ya da \(-\infty\)’a ıraksatılabilir. Riemann’ın yeniden düzenleme teoremi adıyla bilinen bu sonucu Serilerin Yeniden Düzenlenmesi ve Gruplanması bölümünde ispatlayacağız; ispatın motoru tam olarak burada kurduğumuz “iki kısım da \(+\infty\)” olgusudur.
Buna karşılık mutlak yakınsak bir seride pozitif ve negatif katkıların her biri ayrı ayrı sonludur; toplam, sıralamadan hiç etkilenmez.
39.5 Keyfi Terimli Seriler İçin Karşılaştırma Testi
Bölümün başında, karşılaştırma testinin keyfi terimli serilere olduğu gibi taşınamadığını görmüştük. Şimdi doğru biçimini yazabiliriz: karşılaştırma, terimlerin kendileriyle değil mutlak değerleriyle yapılmalıdır.
Teorem 39.3 (Keyfi Terimli Seriler İçin Karşılaştırma Testi) \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) negatif olmayan terimli bir seri, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ise keyfi terimli bir seri olsun.
1. \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsak ve öyle bir \(K \in \mathbb{N}\) varsa ki \(k \ge K\) olan her \(k\) için
\[|a_k| \le b_k\]
sağlanıyorsa, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi mutlak yakınsaktır (dolayısıyla yakınsaktır).
2. \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) ıraksak ve öyle bir \(K \in \mathbb{N}\) varsa ki \(k \ge K\) olan her \(k\) için
\[b_k \le |a_k|\]
sağlanıyorsa, \(\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\) serisi ıraksaktır.
İspat
(1) \(c_k = |a_k|\) yazalım. \(\left( c_k \right)\) ve \(\left( b_k \right)\) dizilerinin ikisi de negatif olmayan terimlidir ve \(k \ge K\) olan her \(k\) için \(|c_k| = |a_k| \le b_k\)’dır. \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsak olduğundan, karşılaştırma testinin kuyruk biçimi (Önerme 35.1, birinci madde) \(k_0 = K\) ile uygulanır ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} c_k = \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\]
serisinin yakınsak olduğunu verir. Eşitsizliğin ilk \(K - 1\) terimde sağlanmaması sonucu etkilemez: bir serinin yakınsaklığı yalnızca kuyruğuna bağlıdır.
Tanım 39.1 gereği \(\sum a_k\) mutlak yakınsaktır ve Teorem 39.1 gereği yakınsaktır.
(2) Bu kez \(k \ge K\) olan her \(k\) için \(|a_k| \ge b_k \ge 0\)’dır ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) ıraksaktır. Karşılaştırma testinin kuyruk biçiminin ikinci maddesi (Önerme 35.1) \(k_0 = K\) ile, terimleri \(|a_k|\) olan seriye doğrudan uygulanır ve \(\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\) serisinin ıraksak olduğunu verir.
İsteyen bu maddeyi (1)’e dayanarak da görebilir: \(\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\) yakınsak olsaydı, (1)’deki akıl yürütme — bu kez üstten \(|a_k|\) ile bastırılan \(\sum b_k\) için — \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) serisinin yakınsak olduğunu verirdi; bu ise \(\sum b_k\)’nın ıraksak olduğu varsayımıyla çelişir.
\(\blacksquare\)
Teoremin ikinci maddesinin ne söyleyip ne söylemediğine çok dikkat etmek gerekir.
Teorem 39.3 (2), yalnızca mutlak değerler serisinin ıraksadığını söyler; \(\sum a_k\) serisinin kendisi hakkında hiçbir hüküm içermez.
Örnek olarak \(a_k = \dfrac{(-1)^k}{k}\) ve \(b_k = \dfrac{1}{k}\) alalım. \(\sum b_k\) harmonik seri olarak ıraksaktır ve her \(k\) için \(b_k \le |a_k|\) — hatta eşitlik — sağlanır. Teorem gereği \(\sum |a_k|\) ıraksaktır; nitekim öyledir. Ama \(\sum a_k\) serisinin kendisi yakınsaktır. Yani bu maddeden çıkan tek sonuç “seri mutlak yakınsak değildir”; seri şartlı yakınsak olabilir.
Aynı şekilde Teorem 39.3 (1)’de \(|a_k| \le b_k\) yerine \(a_k \le b_k\) yazmak testi geçersiz kılar: bölümün başındaki \(a_k = -1\), \(b_k = \frac{1}{k^2}\) örneği bunu gösteriyordu.
Testin tipik bir uygulaması, sınırlı bir “salınım çarpanı” içeren serilerdir.
Örnek 39.4 (Sınırlı Çarpanlı Bir Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin k}{k^{3/2}}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \dfrac{\sin k}{k^{3/2}}\) ve \(b_k = \dfrac{1}{k^{3/2}}\) alalım. \(\left( b_k \right)\) negatif olmayan terimlidir ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\), \(p = \dfrac{3}{2} > 1\) olan bir \(p\)-serisi olduğundan Teorem 36.2 gereği yakınsaktır.
Öte yandan her \(k \in \mathbb{N}\) için \(|\sin k| \le 1\) olduğundan
\[|a_k| = \frac{|\sin k|}{k^{3/2}} \le \frac{1}{k^{3/2}} = b_k\]
sağlanır; burada \(K = 1\) alınabilir. Teorem 39.3 (1) gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin k}{k^{3/2}}\) serisi mutlak yakınsak, dolayısıyla yakınsaktır.
Bu örnekte \(p = \dfrac{3}{2}\) üssünün \(1\)’den büyük olması belirleyicidir. Örneğin \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin k}{k}\) serisinde aynı karşılaştırma \(|a_k| \le \dfrac{1}{k}\) verir; ama \(\sum \dfrac{1}{k}\) ıraksak olduğundan bu eşitsizlik hiçbir sonuç doğurmaz. O seri gerçekten de mutlak yakınsak değildir ve yakınsaklığı ancak bir sonraki bölümün Dirichlet testiyle kurulabilir.
\(\blacksquare\)
39.6 Kök ve Oran Testleri Mutlak Yakınsaklık Testleridir
Kök testi (Teorem 37.1) negatif olmayan terimli, d’Alembert oran testi (Teorem 37.2) ise pozitif terimli seriler için kurulmuştu. Bu testler keyfi terimli serilere doğal biçimde taşınır; taşınırken iki ayarlama gerekir.
Birinci ayarlama: mutlak değer. Testleri \(\sum |a_k|\) serisine uygularız; yani kök testinde \(\sqrt[n]{|a_n|}\), oran testinde \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) nicelikleri kullanılır. Terimler negatif olabildiğinden mutlak değer olmadan \(\sqrt[n]{a_n}\) ifadesi tanımsız bile olabilir (örneğin \(n\) çift ve \(a_n < 0\) iken).
İkinci ayarlama: üst limit. \(\left( \sqrt[n]{|a_n|} \right)\) dizisinin limiti var olmayabilir. Örneğin
\[a_n = \begin{cases} 2^{-n}, & n \text{ tek} \\[1mm] 3^{-n}, & n \text{ çift} \end{cases}\]
için \(\sqrt[n]{|a_n|}\) dizisi \(\dfrac{1}{2}\) ile \(\dfrac{1}{3}\) değerleri arasında salınır ve yakınsamaz. Oysa üst limit (bkz. Analiz 1) her sınırlı dizi için vardır. Bu yüzden testin genel biçiminde limit değil üst limit kullanılır.
Keyfi terimli bir \(\sum a_n\) serisi için:
- Kök testinde \(L = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\) alınır.
- Oran testinde \(\limsup\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) ve \(\liminf\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) nicelikleri birlikte göz önüne alınır: yakınsaklık için üst limite, ıraksaklık için alt limite bakılır.
Terimlerin hepsi pozitifse mutlak değerler zaten gereksizdir; limit varsa üst ve alt limit ona eşit olduğundan bilinen biçimler geri gelir.
Şimdi bu iki testi keyfi terimli seriler için tam olarak ifade edip ispatlayalım.
Önerme 39.1 (Keyfi Terimli Seriler İçin Kök ve Oran Testleri) \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) keyfi terimli bir seri olsun.
(A) Kök testi. \(L = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\) olsun.
- \(L < 1\) ise \(\sum a_n\) mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsaktır.
- \(L > 1\) ise \(\sum a_n\) ıraksaktır.
- \(L = 1\) ise test sonuç vermez.
(B) Oran testi. Her \(n\) için \(a_n \ne 0\) olsun.
- \(\limsup\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1\) ise \(\sum a_n\) mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsaktır.
- Öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) varsa ki \(n \ge N\) olan her \(n\) için \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \ge 1\) oluyorsa, \(\sum a_n\) ıraksaktır. Özel olarak \(\liminf\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1\) ise seri ıraksaktır.
Kök testinin tersine, oran testinde \(\limsup\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1\) olması tek başına ıraksaklık vermez; ıraksaklık için oranların bir yerden sonra \(1\)’in altına hiç inmemesi gerekir.
İspat
(A) Yakınsaklık durumu. \(L < 1\) olsun. \(\left( |a_n| \right)\) negatif olmayan terimli bir dizidir ve \(\limsup \sqrt[n]{|a_n|} = L < 1\)’dir. Kök testi (Teorem 37.1) doğrudan \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\) serisine uygulanır ve bu seri yakınsaktır. Tanım 39.1 gereği \(\sum a_n\) mutlak yakınsak, Teorem 39.1 gereği yakınsaktır.
(A) Iraksaklık durumu. \(L > 1\) olsun. \(1 < q < L\) olacak biçimde bir \(q\) seçelim. Üst limitin alt dizi karakterizasyonu (bkz. Analiz 1) gereği \(\left( \sqrt[n]{|a_n|} \right)\) dizisinin \(L\)’ye yakınsayan bir alt dizisi vardır (\(L = +\infty\) ise \(+\infty\)’a ıraksayan bir alt dizi). Her iki durumda da bu alt dizinin terimleri bir yerden sonra \(q\)’yu aşar; yani sonsuz çoklukta \(n\) için
\[\sqrt[n]{|a_n|} > q > 1\]
olur. Bu \(n\)’ler için her iki tarafın \(n\)’inci kuvvetini alırsak
\[|a_n| > q^n > 1\]
bulunur.
Demek ki \(\left( a_n \right)\) dizisinin sonsuz çoklukta terimi mutlak değerce \(1\)’den büyüktür. Eğer \(a_n \to 0\) olsaydı, \(\varepsilon = 1\) için bir yerden sonra \(|a_n| < 1\) olması gerekirdi; oysa \(|a_n| > 1\) eşitsizliği sonsuz çoklukta \(n\) için sağlanıyor. Öyleyse \(a_n \not\to 0\)’dır. Genel terim testi (Teorem 34.2) gereği yakınsak bir serinin genel terimi sıfıra gitmek zorunda olduğundan — eşdeğer olarak Sonuç 34.1 gereği — \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) serisi ıraksaktır.
Burada dikkat edilecek nokta şudur: ıraksaklık sonucu doğrudan \(\sum a_n\) serisinin kendisi için elde edilmiştir, yalnızca \(\sum |a_n|\) için değil. Bunu sağlayan da genel terimin sıfıra gitmemesidir.
(A) Belirsiz durum. \(L = 1\) için test sonuç vermez: \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) alırsak \(\sqrt[n]{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1\) olur ve seri (şartlı) yakınsaktır; \(a_n = (-1)^n\) alırsak \(\sqrt[n]{|a_n|} = 1\) olur ve seri ıraksaktır. İki durumda da \(L = 1\)’dir.
(B) Yakınsaklık durumu. \(\limsup \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \ell < 1\) olsun. \(\left( |a_n| \right)\) pozitif terimli bir dizidir ve ardışık terimlerinin oranı \(\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)’dir. Oran testi (Teorem 37.2) \(\sum |a_n|\) serisine uygulanır ve bu seri yakınsaktır; dolayısıyla \(\sum a_n\) mutlak yakınsak ve yakınsaktır.
(B) Iraksaklık durumu. \(n \ge N\) için \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \ge 1\), yani \(|a_{n+1}| \ge |a_n|\) olsun. O hâlde \(\left( |a_n| \right)_{n \ge N}\) dizisi artandır ve her \(n \ge N\) için
\[|a_n| \ge |a_N| > 0\]
olur (\(a_N \ne 0\) varsayımı gereği \(|a_N| > 0\)’dır). Öyleyse \(a_n \to 0\) olamaz; Teorem 34.2 gereği \(\sum a_n\) ıraksaktır.
Son olarak \(\liminf \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lambda > 1\) olsun. \(1 < q < \lambda\) seçelim. Alt limitin tanımı gereği öyle bir \(N\) vardır ki \(n \ge N\) için \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| > q > 1\) olur; bu da bir önceki durumun koşulunu sağlar ve seri ıraksaktır. (Dahası bu durumda \(|a_n| \ge |a_N| \, q^{\, n - N} \to \infty\) olduğundan genel terim mutlak değerce sonsuza gider.)
\(\blacksquare\)
Elde ettiğimiz mesajı bir kez daha vurgulayalım: kök ve oran testleri, keyfi terimli seriler için birer mutlak yakınsaklık testidir. Yakınsaklık koşulu sağlandığında öğrendiğimiz şey serinin yalnızca yakınsak değil, mutlak yakınsak olduğudur; bu, salt yakınsaklıktan daha güçlü bir bilgidir. Iraksaklık koşulu sağlandığında ise sonuç yine serinin kendisi için geçerlidir, çünkü ıraksaklık genel terimin sıfıra gitmemesinden gelir. Testlerin sonuç vermediği tek yer \(L = 1\) sınır durumudur; orada Raabe ya da Kummer testleri, ya da bir sonraki bölümün Leibniz–Dirichlet–Abel araçları devreye girer.
Şimdi üç örnekle çalıştıralım.
Örnek 39.5 (Kosinüslü Faktöriyel Serisi) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k\pi}{k!}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Önce genel terimi sadeleştirelim. Her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[\cos k\pi = (-1)^k\]
olduğundan (nitekim \(\cos \pi = -1\), \(\cos 2\pi = 1\), \(\cos 3\pi = -1\), … biçiminde ilerler), seri aslında
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}\]
serisidir. Terimler dönüşümlü olarak işaret değiştirdiğinden bu keyfi terimli bir seridir.
Şimdi d’Alembert oran testini mutlak değerlerle uygulayalım. \(a_k = \dfrac{\cos k\pi}{k!}\) olduğundan, \(|\cos k\pi| = 1\) olduğunu kullanarak
\[\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{k! \, |\cos (k+1)\pi|}{(k+1)! \, |\cos k\pi|} = \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{1}{k+1}\]
buluruz. Öyleyse
\[\limsup_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} = 0 < 1\]
olur (limit var olduğundan üst limit ona eşittir). Önerme 39.1 (B) gereği seri mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsaktır.
Bu örnekte serinin toplamını da söyleyebiliriz: üstel fonksiyonun kuvvet serisi açılımından \(\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!} = e^{-1}\) olduğu bilinir; \(k = 0\) terimi \(1\) olduğundan
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k\pi}{k!} = e^{-1} - 1\]
bulunur. Bu açılımın kanıtını kuvvet serileri kısmında vereceğiz; buradaki yakınsaklık incelemesi ondan bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 39.6 (Oran Testiyle Bir İnceleme) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-2)^k}{k!}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \dfrac{(-2)^k}{k!}\) olsun. \(k\) tek iken \(a_k < 0\), \(k\) çift iken \(a_k > 0\)’dır; ayrıca hiçbir \(k\) için \(a_k = 0\) değildir. Mutlak değerlerin oranını hesaplayalım:
\[\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{|(-2)^{k+1}|}{(k+1)!} \cdot \frac{k!}{|(-2)^k|} = \frac{2^{k+1}}{2^k} \cdot \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{2}{k+1}.\]
Bu dizinin limiti vardır ve
\[\limsup_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{2}{k+1} = 0 < 1\]
olur. Önerme 39.1 (B) gereği seri mutlak yakınsak, dolayısıyla yakınsaktır.
İlk birkaç terime bakmak öğreticidir: \(a_1 = -2\), \(a_2 = 2\), \(a_3 = -\dfrac{4}{3}\), \(a_4 = \dfrac{2}{3}\), \(a_5 = -\dfrac{4}{15}\). Terimler önce büyüyüp sonra hızla küçülmektedir; oran \(\dfrac{2}{k+1}\) ancak \(k \ge 2\)’den itibaren \(1\)’in altına iner. Oran testinin yalnızca limitle ilgilenmesi, baştaki bu düzensiz davranışın sonucu etkilemediğini gösterir.
Serinin toplamı, bir önceki örnekteki gibi, \(\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-2)^k}{k!} = e^{-2}\) açılımından \(e^{-2} - 1\) olarak bulunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 39.7 (Kök Testiyle Bir İnceleme) \[\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{k}{2^k}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = (-1)^k \dfrac{k}{2^k}\) olsun; \(|a_k| = \dfrac{k}{2^k}\)’dır. Kök testini uygulayalım:
\[\sqrt[k]{|a_k|} = \sqrt[k]{\frac{k}{2^k}} = \frac{\sqrt[k]{k}}{2}.\]
\(\sqrt[k]{k} \to 1\) olduğundan (bkz. Analiz 1) limit vardır ve
\[L = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} = \lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k}}{2} = \frac{1}{2} < 1\]
olur. Önerme 39.1 (A) gereği seri mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsaktır.
Aynı sonuca oran testiyle de varılabilirdi:
\[\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{k+1}{2^{k+1}} \cdot \frac{2^k}{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{k+1}{k} \longrightarrow \frac{1}{2} < 1.\]
İki test de aynı \(\dfrac{1}{2}\) değerini verdi; bu bir rastlantı değildir. Oran testinin limitinin var olduğu durumlarda kök testinin limiti de aynı sayıya eşittir (Teorem 37.3).
Serinin toplamının \(-\dfrac{2}{9}\) olduğu, kuvvet serileri kısmında öğreneceğimiz terim terim türev alma tekniğiyle hesaplanabilir; burada bizi ilgilendiren yalnızca yakınsaklıktı.
\(\blacksquare\)
Bölümü bir özetle kapatalım. Keyfi terimli bir seriyle karşılaştığımızda izleyeceğimiz yol şudur:
- Önce \(\sum |a_k|\) serisine bak. Negatif olmayan terimli olduğundan bütün eski testler kullanılabilir.
- \(\sum |a_k|\) yakınsaksa iş bitmiştir: seri mutlak yakınsak, dolayısıyla yakınsaktır (Teorem 39.1).
- \(\sum |a_k|\) ıraksaksa acele karar verme. Iraksaklık kök testinden \(L > 1\) biçiminde ya da oran testinden — bir yerden sonra \(\left| \dfrac{a_{k+1}}{a_k} \right| \ge 1\) olması biçiminde — geldiyse serinin kendisi de ıraksaktır (Önerme 39.1); ama ıraksaklık örneğin karşılaştırma testinden geldiyse seri şartlı yakınsak olabilir ve bir sonraki bölümün testlerine geçmek gerekir.
39.7 Alıştırmalar
Alıştırma 39.1 (Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık Üzerine)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2 + 1}\) serisinin mutlak yakınsak olduğunu gösteriniz.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-3)^k}{k \cdot 4^k}\) serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{k!}{k^k}\) serisinin mutlak yakınsak olduğunu gösteriniz.
\(a_k = \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\) olsun. \(a_k^{+}\) ve \(a_k^{-}\) dizilerini açıkça yazınız ve \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} = \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-} = +\infty\) olduğunu doğrudan gösteriniz.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) mutlak yakınsak ise \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2\) serisinin de yakınsak olduğunu gösteriniz. Karşıtının yanlış olduğunu bir örnekle belirtiniz.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) mutlak yakınsak ve \((b_k)\) sınırlı bir dizi ise \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k\) serisinin mutlak yakınsak olduğunu gösteriniz. \((b_k)\) sınırlı olmazsa sonucun bozulabileceğini bir örnekle gösteriniz.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ve \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) mutlak yakınsak ise \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (a_k + b_k)\) serisinin de mutlak yakınsak olduğunu gösteriniz. Aynı önerme “şartlı yakınsak” için doğru mudur?
Çözüm
a) \(a_k = \dfrac{(-1)^{k+1}}{k^2 + 1}\) için
\[|a_k| = \frac{1}{k^2 + 1}\]
olur. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(k^2 + 1 > k^2 > 0\) olduğundan
\[0 \le \frac{1}{k^2 + 1} < \frac{1}{k^2}\]
sağlanır. \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}\) serisi \(p = 2 > 1\) olduğundan Teorem 36.2 gereği yakınsaktır. Teorem 39.3 (1) gereği (\(b_k = \dfrac{1}{k^2}\), \(K = 1\) ile) seri mutlak yakınsaktır; Teorem 39.1 gereği yakınsaktır da.
b) \(a_k = \dfrac{(-3)^k}{k \cdot 4^k}\) olsun. Mutlak değeri
\[|a_k| = \frac{3^k}{k \cdot 4^k} = \frac{1}{k} \left( \frac{3}{4} \right)^k\]
biçiminde yazalım. Oran testini uygulayalım (\(a_k \ne 0\)’dır):
\[\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{\left( \frac{3}{4} \right)^{k+1}}{k+1} \cdot \frac{k}{\left( \frac{3}{4} \right)^{k}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{k}{k+1}.\]
\(\dfrac{k}{k+1} \to 1\) olduğundan
\[\limsup_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{3}{4} < 1\]
olur ve Önerme 39.1 (B) gereği seri mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsaktır.
Aynı sonuca karşılaştırmayla da varılabilirdi: \(|a_k| \le \left( \dfrac{3}{4} \right)^k\) ve \(\sum \left( \dfrac{3}{4} \right)^k\) geometrik serisi \(\left| \dfrac{3}{4} \right| < 1\) olduğundan yakınsaktır (Teorem 34.5).
c) \(a_k = (-1)^k \dfrac{k!}{k^k}\) için \(|a_k| = \dfrac{k!}{k^k} > 0\)’dır. Oranı hesaplayalım:
\[\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} \cdot \frac{k^k}{k!} = \frac{(k+1) \, k^k}{(k+1)^{k+1}} = \frac{k^k}{(k+1)^k} = \frac{1}{\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)^k}.\]
\(\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)^k \to e\) olduğundan (bkz. Analiz 1)
\[\limsup_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{1}{e} \approx 0{,}368 < 1\]
olur. Önerme 39.1 (B) gereği seri mutlak yakınsak, dolayısıyla yakınsaktır.
d) \(a_k = \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\)’dır; \(k\) tek iken \(a_k = \dfrac{1}{k} > 0\), \(k\) çift iken \(a_k = -\dfrac{1}{k} < 0\)’dır. Tanım 39.3 gereği
\[a_k^{+} = \begin{cases} \dfrac{1}{k}, & k \text{ tek} \\[2mm] 0, & k \text{ çift,} \end{cases} \qquad a_k^{-} = \begin{cases} 0, & k \text{ tek} \\[2mm] \dfrac{1}{k}, & k \text{ çift.} \end{cases}\]
Pozitif kısım. Sıfır olan terimler toplamı değiştirmediğinden
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2j-1}\]
yazabiliriz. Her \(j \in \mathbb{N}\) için \(2j - 1 < 2j\) olduğundan
\[\frac{1}{2j-1} > \frac{1}{2j} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{j}\]
olur. \(\sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{j}\) harmonik serisi ıraksak olduğundan \(\sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{2j}\) de ıraksaktır (Teorem 34.4 gereği sıfırdan farklı bir sabitle çarpmak yakınsaklık durumunu değiştirmez). Karşılaştırma testi (Teorem 35.2) gereği \(\sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{2j-1}\) ıraksaktır. Bu seri negatif olmayan terimli olduğundan kısmi toplamları artandır; ıraksaklık ancak sınırsızlıkla mümkündür (Teorem 35.1) ve artan sınırsız dizi \(+\infty\)’a gider:
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{+} = +\infty.\]
Negatif kısım. Benzer biçimde
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-} = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2j} = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j} = +\infty\]
olur.
Bu sonuç Sonuç 39.1 ile tam uyumludur: \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\) serisi şartlı yakınsaktır ve pozitif ile negatif kısımlarının ikisi de \(+\infty\)’a ıraksar.
e) \(\sum |a_k|\) yakınsak olsun. Genel terim testi (Teorem 34.2) gereği \(|a_k| \to 0\)’dır. Öyleyse \(\varepsilon = 1\) için öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki \(k \ge N\) için \(|a_k| < 1\) olur. Bu \(k\)’ler için
\[a_k^2 = |a_k|^2 = |a_k| \cdot |a_k| \le |a_k| \cdot 1 = |a_k|\]
olur. Eşitsizlik bütün \(k\)’lar için değil ancak \(k \ge N\) için geçerli olduğundan karşılaştırma testinin kuyruk biçimini (Önerme 35.1, birinci madde) \(k_0 = N\) ile uygularız: \(\left| a_k^2 \right| = a_k^2 \le |a_k|\) ve \(\sum |a_k|\) yakınsak olduğundan \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2\) serisi yakınsaktır.
Karşıtı yanlıştır. \(a_k = \dfrac{1}{k}\) alalım. \(\sum a_k^2 = \sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsaktır (\(p = 2 > 1\)), ama \(\sum |a_k| = \sum \dfrac{1}{k}\) ıraksaktır. Demek ki \(\sum a_k^2\)’nin yakınsaklığı \(\sum a_k\)’nın mutlak yakınsaklığını gerektirmez.
f) \((b_k)\) sınırlı olsun; yani öyle bir \(M > 0\) vardır ki her \(k\) için \(|b_k| \le M\)’dir. O hâlde her \(k\) için
\[|a_k b_k| = |a_k| \, |b_k| \le M |a_k|\]
olur. \(\sum |a_k|\) yakınsak olduğundan \(\sum M |a_k| = M \sum |a_k|\) de yakınsaktır (Teorem 34.4). Karşılaştırma testi (Teorem 35.2) gereği \(\sum |a_k b_k|\) yakınsaktır; yani \(\sum a_k b_k\) mutlak yakınsaktır ve Teorem 39.1 gereği yakınsaktır.
Sınırlılık gereklidir. \(a_k = \dfrac{1}{k^2}\) ve \(b_k = k^2\) alalım. \(\sum a_k\) mutlak yakınsaktır, ama \((b_k)\) sınırlı değildir ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k = \sum_{k=1}^{\infty} 1\]
serisi ıraksaktır (genel terim \(1 \not\to 0\); Sonuç 34.1).
g) \(\sum |a_k|\) ve \(\sum |b_k|\) yakınsak olsun. Üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) gereği her \(k\) için
\[0 \le |a_k + b_k| \le |a_k| + |b_k|\]
olur. Sağ taraftaki \(\sum \left( |a_k| + |b_k| \right)\) serisi, yakınsak iki serinin toplamı olarak yakınsaktır (Teorem 34.4). Karşılaştırma testi (Teorem 35.2) gereği \(\sum |a_k + b_k|\) yakınsaktır; yani \(\sum (a_k + b_k)\) mutlak yakınsaktır.
Şartlı yakınsaklık için doğru değildir. İki şartlı yakınsak serinin toplamı mutlak yakınsak olabilir. Örneğin
\[a_k = \frac{(-1)^{k+1}}{k}, \qquad b_k = \frac{(-1)^{k}}{k}\]
alalım. Her ikisi de şartlı yakınsaktır (Örnek 39.2), ama \(a_k + b_k = 0\) olduğundan \(\sum (a_k + b_k)\) serisi sıfıra yakınsar ve mutlak yakınsaktır. Toplamın yakınsaklığı ise her zaman korunur: yakınsak iki serinin toplamı Teorem 34.4 gereği yakınsaktır; korunmayan şey yalnızca “şartlılık” niteliğidir.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde, negatif olmayan seriler için kurduğumuz bütün testleri mutlak değerler üzerinden keyfi terimli serilere taşıdık; ama şartlı yakınsak seriler bu köprünün ulaşamadığı bir bölgede kaldı. Sıradaki bölümde tam olarak o bölgeye giren araçları kuracağız — işaret değişimlerinin yarattığı yok etmeyi doğrudan kullanan testleri: Abel, Dirichlet ve Leibniz Testleri.