38 Kummer ve Raabe Testleri
Kök ve Oran Testleri bölümünde pozitif terimli serileri geometrik serilerle karşılaştırmayı öğrendik. Cauchy kök testi (Teorem 37.1) \(\sqrt[k]{a_k}\) niceliğine, d’Alembert oran testi (Teorem 37.2) ise \(a_{k+1}/a_k\) oranına bakar; her ikisi de bu nicelikler \(1\)’den kesin küçük ya da kesin büyük bir sayıya yaklaştığında kesin bir yanıt verir. Ayrıca kök testinin oran testinden gerçekten daha güçlü olduğunu, yani oran testinin karar verdiği her durumda kök testinin de karar verdiğini görmüştük (Teorem 37.3).
Ne var ki her iki testin de aynı yerde, sınır durumda sustuğunu fark ettik. \(a_{k+1}/a_k \to 1\) ya da \(\sqrt[k]{a_k} \to 1\) olduğunda seri yakınsak da olabilir, ıraksak da. En basit örnekler bunu hemen gösterir: \(\sum 1/k\) ıraksaktır, \(\sum 1/k^2\) yakınsaktır, ama her ikisinde de oran ve kök limitleri \(1\)’e eşittir. Üstelik bu sınır durum istisnai değildir; rasyonel ifadelerden, faktöriyel çarpanlardan ve kuvvet fonksiyonlarından kurulmuş serilerin çok büyük bir bölümü tam olarak burada yer alır. Dolayısıyla elimizde daha ince bir alete ihtiyaç vardır.
Bu bölümde bu aletleri kuracağız. Ana fikir, geometrik serilerle karşılaştırmayı bırakıp karşılaştırma ölçeğini serbest bırakmaktır: seriyi, bizim seçtiğimiz herhangi bir ıraksak \(\sum 1/c_k\) serisiyle karşılaştıracağız. Bu düşünceyi bir teoreme dönüştüren Alman matematikçi Ernst Eduard Kummer (1810–1893) olmuştur; ondan üretilen ve \(c_k = k\) seçimine karşılık gelen özel hâli ise İsviçreli matematikçi Joseph Ludwig Raabe’nin (1801–1859) adını taşır.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: Kummer testinin ifadesi, her iki şıkkının tam ispatı ve limit biçimi; \(c_k = 1\) seçiminin oran testini, \(c_k = k\) seçiminin Raabe testini, \(c_k = k\ln k\) seçiminin ise Bertrand testini verdiği; bu testlerin \(p\)-serileri, faktöriyel oranlı seriler ve logaritmik ölçekli seriler üzerinde nasıl çalıştığı; ve son olarak testler arasındaki kesin güç sıralaması. Bölümün sonunda elinizde, “oran testi sonuç vermedi” cümlesiyle biten bir hesabı sürdürmenin sistemli bir yolu olacak.
38.1 Oran Testi Neden ve Nerede Susar
Oran testinin arkasındaki karşılaştırma çok kabadır: \(a_{k+1}/a_k \le q < 1\) ise seri, \(q\) oranlı bir geometrik seriyle üstten sınırlanır. Sınır durumda ise oran \(1\)’e yaklaşır ve hiçbir sabit \(q < 1\) işe yaramaz. Ancak “oran \(1\)’e yaklaşıyor” cümlesi her şeyi söylemez; oranın \(1\)’e ne kadar hızlı yaklaştığı hâlâ ölçülebilir bir bilgidir.
Bunu \(p\)-serilerinde görelim. \(a_k = 1/k^p\) için
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{(k+1)^p}{k^p} = \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{p}\]
olur. \(k\) büyüdükçe bu ifade \(1\)’e gider; ama binom açılımının ilk iki terimi bize daha fazlasını söyler:
\[\left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{p} = 1 + \frac{p}{k} + (\text{daha küçük terimler}).\]
Yani oranın \(1\)’den sapması yaklaşık \(p/k\) kadardır ve serinin kaderini belirleyen sayı tam olarak bu \(p\)’dir (Teorem 36.2): \(p > 1\) ise yakınsak, \(p \le 1\) ise ıraksak. Sapma \(1/k\) mertebesinde olduğuna göre, onu \(k\) ile çarparsak sapmanın katsayısını okuyabiliriz. Bu gözlem doğrudan şu tanıma götürür: pozitif terimli bir seri için
\[R_k = k \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right), \qquad \text{yani} \qquad \frac{a_k}{a_{k+1}} = 1 + \frac{R_k}{k}.\]
\(R_k\) dizisi, oranın \(1\)’den sapmasının \(1/k\) ölçeğindeki katsayısıdır. \(p\)-serilerinde \(R_k \to p\) olacağını göreceğiz; dolayısıyla “\(R_k\)’nın limiti \(1\)’i geçiyor mu?” sorusu, oran testinin cevaplayamadığı soruyu cevaplar. Bu, Raabe testidir.
Kummer’in katkısı, aynı fikri tek bir ölçeğe bağlı kalmadan yapmaktır. \(k\) yerine herhangi bir pozitif \((c_k)\) dizisi koyar ve tek bir şey ister: \(\sum 1/c_k\) ıraksak olsun. Bu koşul, \((1/c_k)\) dizisinin “yakınsaklığın tam sınırında ya da onun ıraksak tarafında” bir ölçek olmasını güvence altına alır; testin gücü de zaten bu ölçeği seçme özgürlüğünden gelir.
38.2 Kummer Testi
Şimdi testi tam biçimiyle ifade edip ispatlayalım. Testin niceliği, \((c_k)\) ölçeğiyle ağırlıklandırılmış bir “oran farkı”dır.
Teorem 38.1 (Kummer Testi) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ve \(\sum_{k=1}^{\infty} c_k\) pozitif terimli seriler olsun ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{c_k}\]
serisi ıraksak olsun. Her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[K_k = c_k \, \frac{a_k}{a_{k+1}} - c_{k+1}\]
tanımlansın. O hâlde:
(i) Öyle bir \(r > 0\) reel sayısı ve \(N \in \mathbb{N}\) doğal sayısı varsa ki her \(k \ge N\) için \(K_k \ge r\) olsun, o hâlde \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi yakınsaktır.
(ii) Bir \(N \in \mathbb{N}\) için her \(k \ge N\) olduğunda \(K_k \le 0\) ise, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi ıraksaktır.
İspat
(i) şıkkının ispatı. Her \(k \ge N\) için \(K_k \ge r > 0\) olduğunu varsayalım. Tanım gereği bu,
\[c_k \, \frac{a_k}{a_{k+1}} - c_{k+1} \ge r\]
demektir. Seri pozitif terimli olduğundan \(a_{k+1} > 0\)’dır; eşitsizliğin iki yanını \(a_{k+1}\) ile çarpmak yönü değiştirmez ve
\[c_k a_k - c_{k+1} a_{k+1} \ge r \, a_{k+1} > 0, \qquad k \ge N \qquad (1)\]
elde ederiz.
Adım 1: \((c_k a_k)\) dizisi \(N\)’den sonra azalandır ve yakınsar. (1) eşitsizliğinin sağ yanı kesin pozitif olduğundan her \(k \ge N\) için
\[c_k a_k > c_{k+1} a_{k+1}\]
olur; yani \((c_k a_k)_{k \ge N}\) dizisi kesin azalandır. Ayrıca \(c_k > 0\) ve \(a_k > 0\) olduğundan bu dizinin bütün terimleri pozitiftir, dolayısıyla dizi \(0\) ile alttan sınırlıdır. Monoton yakınsaklık teoremi (bkz. Analiz 1) gereği \((c_k a_k)_{k \ge N}\) dizisi yakınsaktır; sonlu sayıda terimin durumu yakınsaklığı etkilemediğinden \((c_k a_k)\) dizisi de yakınsaktır. Limitine \(L\) diyelim; terimler pozitif olduğundan \(L \ge 0\)’dır.
Adım 2: Teleskopik seri yakınsaktır. \(b_k = c_k a_k - c_{k+1} a_{k+1}\) diyelim. (1) gereği \(k \ge N\) için \(b_k > 0\)’dır. \(\sum_{k \ge N} b_k\) serisinin kısmi toplamları teleskopiktir (Tanım 34.5): her \(n \ge N\) için
\[\sum_{k=N}^{n} b_k = \sum_{k=N}^{n} \big( c_k a_k - c_{k+1} a_{k+1} \big) = c_N a_N - c_{n+1} a_{n+1}.\]
Adım 1’e göre \(c_{n+1} a_{n+1} \to L\) olduğundan
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=N}^{n} b_k = c_N a_N - L\]
olur; yani \(\sum_{k \ge N} b_k\) serisi yakınsaktır ve toplamı \(c_N a_N - L\)’dir.
Adım 3: Karşılaştırma. (1) eşitsizliği, her \(k \ge N\) için
\[0 < r\, a_{k+1} \le b_k\]
diyor. Adım 2’de \(\sum_{k \ge N} b_k\) serisinin yakınsak olduğunu gösterdik; sonlu sayıda terim eklemek yakınsaklığı değiştirmediğinden \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) serisi de yakınsaktır. Eşitsizlik yalnızca \(k \ge N\) için geçerli olduğundan karşılaştırma testinin kuyruk biçimini (Önerme 35.1) kullanırız: \(\sum_{k=1}^{\infty} r \, a_{k+1}\) serisi yakınsaktır. \(r > 0\) sabit olduğundan bu seriyi \(\dfrac{1}{r}\) ile çarpmak (Teorem 34.4) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k+1}\) serisinin yakınsaklığını verir. Bu seri, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisinden ilk terimin atılmasıyla elde edilir; sonlu sayıda terimin atılması ya da eklenmesi yakınsaklığı değiştirmediğinden \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi yakınsaktır.
(ii) şıkkının ispatı. Her \(k \ge N\) için \(K_k \le 0\) olsun. Bu,
\[c_k \, \frac{a_k}{a_{k+1}} \le c_{k+1}\]
demektir. \(c_{k+1} > 0\) ve \(a_k > 0\) olduğundan iki yanı \(c_{k+1} a_k\) ile bölerek
\[\frac{a_{k+1}}{a_k} \ge \frac{c_k}{c_{k+1}}, \qquad k \ge N \qquad (2)\]
elde ederiz.
Şimdi \(m > N\) olsun ve (2) eşitsizliğini \(k = N, N+1, \dots, m-1\) değerleri için yazıp taraf tarafa çarpalım. Bütün taraflar pozitif olduğundan çarpma yönü korur:
\[\frac{a_{N+1}}{a_N} \cdot \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}} \cdots \frac{a_{m}}{a_{m-1}} \; \ge \; \frac{c_N}{c_{N+1}} \cdot \frac{c_{N+1}}{c_{N+2}} \cdots \frac{c_{m-1}}{c_{m}}.\]
Her iki tarafta da ara çarpanlar sadeleşir ve
\[\frac{a_m}{a_N} \ge \frac{c_N}{c_m}\]
kalır. Buradan, her \(m \ge N\) için (eşitlik \(m = N\)’de de sağlandığından)
\[a_m \ge c_N a_N \cdot \frac{1}{c_m} \qquad (3)\]
bulunur. Burada \(c_N a_N\) sayısı \(m\)’den bağımsız, kesin pozitif bir sabittir.
Varsayım gereği \(\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{1}{c_m}\) serisi ıraksaktır. Öyleyse \(\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{c_N a_N}{c_m}\) serisi de ıraksaktır: yakınsak olsaydı, onu pozitif \(c_N a_N\) sayısının tersiyle çarparak (Teorem 34.4) \(\sum 1/c_m\)’in yakınsaklığı çıkardı ve bu varsayımla çelişirdi. (3) eşitsizliği her \(m \ge N\) için \(a_m \ge \dfrac{c_N a_N}{c_m} \ge 0\) dediğinden, karşılaştırma testinin kuyruk biçimi (Önerme 35.1) gereği \(\sum_{m=1}^{\infty} a_m\) serisi ıraksaktır.
\(\blacksquare\)
İspatın (i) şıkkını okurken şunu fark etmiş olabilirsiniz: \(\sum 1/c_k\)’nın ıraksaklığı hiçbir yerde kullanılmadı. Bu bir gözden kaçırma değildir; hipotez yalnızca (ii) şıkkı için gereklidir ve orada vazgeçilmezdir.
\(\sum 1/c_k\)’nın ıraksaklığı (ii) şıkkında kaldırılamaz. Örneğin \(a_k = 2^{-k}\) ve \(c_k = 4^k\) alalım. Bu seçimde
\[K_k = 4^k \cdot \frac{2^{-k}}{2^{-(k+1)}} - 4^{k+1} = 2 \cdot 4^k - 4 \cdot 4^k = -2 \cdot 4^k \le 0\]
olur, yani (ii) şıkkının eşitsizlik koşulu her \(k\) için sağlanır. Buna karşın \(\sum 2^{-k}\) serisi yakınsak bir geometrik seridir (Teorem 34.5). Çelişki yoktur: burada \(\sum 1/c_k = \sum 4^{-k}\) yakınsaktır, dolayısıyla testin hipotezi sağlanmamaktadır.
Sezgisel açıklama şudur: (ii) şıkkı, \(a_k\)’yı alttan \(\text{sabit} \cdot 1/c_k\) ile sınırlar. Bu bilgi ancak \(\sum 1/c_k\) ıraksaksa işe yarar; yakınsak bir seriyle alttan sınırlamak hiçbir şey söylemez.
Limit Biçimi
Uygulamada \(K_k\) için sabit bir \(r\) aramak yerine doğrudan \(\lim K_k\) hesaplanır. Aşağıdaki sonuç, teoremi bu kullanışlı biçime sokar. Limitin \(+\infty\) ya da \(-\infty\) olmasına da izin veriyoruz; bu, ileride testleri karşılaştırırken işimize yarayacak.
Sonuç 38.1 (Kummer Testinin Limit Biçimi) Teorem 38.1’nin hipotezleri altında \((K_k)\) dizisinin genişletilmiş anlamda bir limiti olsun:
\[\lim_{k \to \infty} K_k = K \in [-\infty, +\infty].\]
O hâlde:
- \(K > 0\) ise (\(K = +\infty\) dâhil) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi yakınsaktır.
- \(K < 0\) ise (\(K = -\infty\) dâhil) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi ıraksaktır.
- \(K = 0\) ise test sonuçsuzdur: bu durumda hem yakınsak hem ıraksak seriler vardır.
İspat
Durum 1: \(0 < K < +\infty\). \(\varepsilon = \dfrac{K}{2} > 0\) alalım. Limit tanımı gereği öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(k \ge N\) için \(|K_k - K| < \dfrac{K}{2}\) olur. Özellikle
\[K_k > K - \frac{K}{2} = \frac{K}{2}, \qquad k \ge N.\]
\(r = \dfrac{K}{2} > 0\) alırsak her \(k \ge N\) için \(K_k \ge r\) (hatta \(K_k > r\)) sağlanır. Teorem 38.1 (i) gereği seri yakınsaktır.
Durum 2: \(K = +\infty\). Tanım gereği öyle bir \(N\) vardır ki her \(k \ge N\) için \(K_k > 1\) olur. \(r = 1 > 0\) alıp Teorem 38.1 (i) uygulanır; seri yakınsaktır.
Durum 3: \(-\infty < K < 0\). Bu kez \(\varepsilon = -\dfrac{K}{2} > 0\) alalım (\(K < 0\) olduğundan bu sayı pozitiftir). Öyle bir \(N\) vardır ki her \(k \ge N\) için \(|K_k - K| < -\dfrac{K}{2}\), dolayısıyla
\[K_k < K + \left( -\frac{K}{2} \right) = \frac{K}{2} < 0\]
olur. Özellikle her \(k \ge N\) için \(K_k \le 0\)’dır ve Teorem 38.1 (ii) gereği seri ıraksaktır.
Durum 4: \(K = -\infty\). Öyle bir \(N\) vardır ki her \(k \ge N\) için \(K_k < 0\), dolayısıyla \(K_k \le 0\) olur; Teorem 38.1 (ii) uygulanır ve seri ıraksaktır.
Durum 5: \(K = 0\). Testin bu durumda hiçbir bilgi vermediğini, aynı \(K\) değerini veren biri yakınsak biri ıraksak iki seri kurarak gösterelim. \(c_k = 1\) alalım; \(\sum 1/c_k = \sum 1\) serisinin genel terimi \(0\)’a gitmediğinden bu seri ıraksaktır (Teorem 34.2), yani hipotez sağlanır. Bu seçimde
\[K_k = \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1\]
olur.
- \(a_k = \dfrac{1}{k}\) alırsak \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} = \dfrac{k+1}{k}\) ve \(K_k = \dfrac{1}{k} \to 0\)’dır. Oysa harmonik seri \(\sum 1/k\) ıraksaktır (Teorem 36.2).
- \(a_k = \dfrac{1}{k^2}\) alırsak \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} = \left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)^2\) ve \(K_k = \dfrac{2}{k} + \dfrac{1}{k^2} \to 0\)’dır. Oysa \(\sum 1/k^2\) yakınsaktır (Teorem 36.2).
Her iki seride de \(K = 0\) çıkmasına karşın sonuçlar zıttır; demek ki \(K = 0\) hâlinde test karar veremez.
\(\blacksquare\)
Ölçeğin Seçimi: Kummer Testi Neyi Kapsar
Kummer testinin bir test değil, bir test ailesi olduğunu vurgulamak gerekir: her \((c_k)\) seçimi ayrı bir test verir. En basit iki seçim, zaten bildiğimiz testleri geri verir.
Birinci seçim: \(c_k = 1\). Bu durumda \(\sum 1/c_k = \sum 1\) ıraksaktır, yani hipotez sağlanır. Test niceliği
\[K_k = \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1\]
olur. Şimdi şıkları çevirelim. \(K_k \ge r > 0\) koşulu
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} \ge 1 + r \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{a_{k+1}}{a_k} \le \frac{1}{1+r} =: q < 1\]
demektir; bu tam olarak oran testinin yakınsaklık koşuludur. Öte yandan \(K_k \le 0\) koşulu
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} \le 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a_{k+1} \ge a_k\]
demektir; yani terimler bir yerden sonra azalmayan bir dizidir, dolayısıyla \(a_k \not\to 0\) olur ve seri genel terim testiyle (Teorem 34.2) ıraksar. Limit biçiminde de \(L = \lim a_{k+1}/a_k\) varsa ve \(L > 0\) ise \(K = \dfrac{1}{L} - 1\)’dir; buradan
\[K > 0 \iff L < 1, \qquad K < 0 \iff L > 1, \qquad K = 0 \iff L = 1\]
çıkar. Kısacası \(c_k = 1\) seçimi d’Alembert oran testidir (Teorem 37.2).
İkinci seçim: \(c_k = k\). Bu durumda \(\sum 1/c_k = \sum 1/k\) harmonik seridir ve ıraksaktır (Teorem 36.2), yani hipotez yine sağlanır. Test niceliği
\[K_k = k \, \frac{a_k}{a_{k+1}} - (k+1) = k \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right) - 1 = R_k - 1\]
olur; burada \(R_k\), bölümün başında tanımladığımız niceliktir. Demek ki \(c_k = k\) seçimi, \(R_k\) dizisinin \(1\) ile karşılaştırılmasına karşılık gelir. Bu, Raabe testidir ve bir sonraki başlıkta ayrıntısıyla ele alacağız.
Kummer testinde tek serbestlik \((c_k)\) dizisidir ve testin gücü tümüyle bu seçime bağlıdır. Kabaca kural şudur: \((1/c_k)\) dizisi, incelediğiniz seriden “biraz daha yavaş azalan” ve toplamı hâlâ ıraksak olan bir ölçek olmalıdır. \(1\), \(k\), \(k \ln k\), \(k \ln k \ln(\ln k)\), … dizileri bu bakımdan giderek incelen bir ölçek merdiveni oluşturur; bunlara sırasıyla oran, Raabe ve Bertrand testleri karşılık gelir.
Kummer Testinin Uygulanışı
Şimdi testi somut serilerde çalıştıralım. Her iki örnekte de oran testi sessiz kalıyor; Kummer testi ise \(c_k = k\) seçimiyle kesin yanıt veriyor.
Örnek 38.1 (Kareler Serisi için Kummer Testi) \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}\) serisinin yakınsaklığını Kummer testiyle inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \dfrac{1}{k^2}\) olsun. Önce oran testinin neden yetmediğini görelim:
\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \frac{k^2}{(k+1)^2} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{k} \right)^2} = 1.\]
Limit \(1\) olduğundan Teorem 37.2 sonuç vermez.
Ölçek seçimi. \(c_k = k\) alalım. Testin hipotezi gereği \(\sum 1/c_k\) ıraksak olmalıdır; burada
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{c_k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\]
harmonik seridir ve ıraksaktır (Teorem 36.2). Hipotez sağlanıyor.
\(K_k\)’nın hesabı. Tanımdan
\[K_k = c_k \frac{a_k}{a_{k+1}} - c_{k+1} = k \cdot \frac{1/k^2}{1/(k+1)^2} - (k+1) = k \cdot \frac{(k+1)^2}{k^2} - (k+1) = \frac{(k+1)^2}{k} - (k+1).\]
Sağ taraftaki iki terimde de \((k+1)\) ortak çarpandır:
\[K_k = (k+1) \left( \frac{k+1}{k} - 1 \right) = (k+1) \cdot \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k} = 1 + \frac{1}{k}.\]
Sonuç. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(K_k = 1 + \dfrac{1}{k} > 1\) olduğundan, \(r = 1\) ve \(N = 1\) alarak doğrudan Teorem 38.1 (i) uygulanabilir: seri yakınsaktır. Limit biçimini kullanmak isterseniz
\[K = \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = 1 > 0\]
olduğundan Sonuç 38.1 de aynı sonucu verir.
Bu sonuç elbette \(p\)-serileri teoremiyle (\(p = 2 > 1\)) uyumludur; buradaki kazanç, sonucun bambaşka bir yoldan, yalnızca ardışık terimlerin oranına bakarak elde edilmiş olmasıdır.
\(\blacksquare\)
İkinci örnekte aynı ölçekle ıraksak bir seriye bakıyoruz. Bu kez limitin işareti negatif çıkacak. Hesabı yaklaşık açılımlara başvurmadan, tümüyle cebirsel olarak yapacağız.
Örnek 38.2 (Karekök Serisi için Kummer Testi) \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) serisinin yakınsaklığını Kummer testiyle inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) olsun. Yine oran testi sessizdir:
\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \sqrt{\frac{k}{k+1}} = 1.\]
Ölçek seçimi. Yine \(c_k = k\) alıyoruz; \(\sum 1/k\) ıraksak olduğundan hipotez sağlanır.
\(K_k\)’nın hesabı. Önce oranı sadeleştirelim:
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{1/\sqrt{k}}{1/\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} = \sqrt{\frac{k+1}{k}}.\]
Buradan
\[K_k = k \sqrt{\frac{k+1}{k}} - (k+1) = \sqrt{k^2 \cdot \frac{k+1}{k}} - (k+1) = \sqrt{k(k+1)} - (k+1) = \sqrt{k^2 + k} - (k+1).\]
İşaretin doğrudan belirlenmesi. \(k \ge 1\) için \(k^2 + k < k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2\) olduğundan, karekök fonksiyonu artan olduğu için \(\sqrt{k^2+k} < k+1\)’dir. Demek ki her \(k\) için
\[K_k < 0,\]
yani \(K_k \le 0\) koşulu \(N = 1\)’den itibaren sağlanır. Teorem 38.1 (ii) gereği seri ıraksaktır.
Limitin tam hesabı. Limit biçimini de kullanmak istersek \(K_k\)’nın limitini bulmamız gerekir. \(\infty - \infty\) belirsizliğini eşlenikle çarparak kaldıralım:
\[K_k = \sqrt{k^2+k} - (k+1) = \frac{\big( \sqrt{k^2+k} - (k+1) \big) \big( \sqrt{k^2+k} + (k+1) \big)}{\sqrt{k^2+k} + (k+1)} = \frac{(k^2+k) - (k+1)^2}{\sqrt{k^2+k} + k + 1}.\]
Payı açalım:
\[(k^2 + k) - (k^2 + 2k + 1) = -k - 1 = -(k+1).\]
Öyleyse
\[K_k = \frac{-(k+1)}{\sqrt{k^2+k} + k + 1}.\]
Şimdi pay ve paydayı \(k > 0\) ile bölelim. Paydadaki karekök için \(\sqrt{k^2+k} = k\sqrt{1 + \frac{1}{k}}\) olduğunu kullanırız:
\[K_k = \frac{-\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{k}} + 1 + \dfrac{1}{k}}.\]
\(\dfrac{1}{k} \to 0\) olduğundan (bkz. Analiz 1) ve karekök fonksiyonu sürekli olduğundan, limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği
\[K = \lim_{k \to \infty} K_k = \frac{-(1+0)}{\sqrt{1+0} + 1 + 0} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}.\]
\(K = -\dfrac{1}{2} < 0\) olduğundan Sonuç 38.1 de serinin ıraksak olduğunu söyler. Bu, \(p = \dfrac{1}{2} \le 1\) olan bir \(p\)-serisi olarak zaten bildiğimiz sonuçtur (Teorem 36.2).
\(\blacksquare\)
\(c_k = k\) ölçeğiyle \(\sum 1/k^2\) için \(K = 1\), \(\sum 1/\sqrt{k}\) için \(K = -\dfrac{1}{2}\) bulduk. Genel olarak \(a_k = 1/k^p\) için bu ölçeğin \(K = p - 1\) verdiğini göreceğiz (bölüm sonundaki alıştırmalara bakınız): \(p = 2\) için \(1\), \(p = \dfrac{1}{2}\) için \(-\dfrac{1}{2}\). \(K\)’nın işareti tam da \(p\)’nin \(1\)’i geçip geçmediğini okur; \(p = 1\)’de ise \(K = 0\) çıkar ve test —doğru biçimde— susar, çünkü harmonik seri yakınsaklığın tam sınırındadır.
38.3 Raabe Testi
\(c_k = k\) seçiminin ne kadar verimli olduğunu gördük. Bu seçimi bir kez ve herkes için yapıp elde edilen ifadeyi bağımsız bir test olarak kaydetmek doğaldır. Sonuç, Raabe testidir.
Teorem 38.2 (Raabe Testi) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) pozitif terimli bir seri olsun ve her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[R_k = k \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right)\]
tanımlansın. O hâlde:
(i) Öyle bir \(r > 1\) reel sayısı ve \(N \in \mathbb{N}\) doğal sayısı varsa ki her \(k \ge N\) için \(R_k \ge r\) olsun, o hâlde seri yakınsaktır.
(ii) Bir \(N \in \mathbb{N}\) için her \(k \ge N\) olduğunda \(R_k \le 1\) ise, seri ıraksaktır.
İspat
Kummer testini \(c_k = k\) seçimiyle uygulayacağız. Önce hipotezi doğrulayalım: \((c_k) = (k)\) dizisi pozitif terimlidir ve
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{c_k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\]
harmonik serisi ıraksaktır (Teorem 36.2). Öyleyse Teorem 38.1 uygulanabilir.
Bu seçimde test niceliği
\[K_k = c_k \frac{a_k}{a_{k+1}} - c_{k+1} = k \, \frac{a_k}{a_{k+1}} - (k+1) = k \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right) + k - (k+1) = R_k - 1\]
olur. Demek ki her \(k\) için
\[K_k = R_k - 1 \qquad (4)\]
bağıntısı geçerlidir. Artık iki şık da doğrudan çevrilir.
(i) Her \(k \ge N\) için \(R_k \ge r > 1\) olsun. (4) gereği her \(k \ge N\) için
\[K_k = R_k - 1 \ge r - 1 > 0\]
olur. \(r' = r - 1 > 0\) alırsak Teorem 38.1 (i) hipotezi sağlanır ve seri yakınsaktır.
(ii) Her \(k \ge N\) için \(R_k \le 1\) olsun. (4) gereği her \(k \ge N\) için
\[K_k = R_k - 1 \le 0\]
olur; Teorem 38.1 (ii) gereği seri ıraksaktır.
\(\blacksquare\)
Kummer testinde olduğu gibi burada da uygulamada kullanılan biçim limit biçimidir.
Sonuç 38.2 (Raabe Testinin Limit Biçimi) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) pozitif terimli bir seri, \(R_k = k \left( \dfrac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right)\) ve
\[\lim_{k \to \infty} R_k = R \in [-\infty, +\infty]\]
olsun. O hâlde:
- \(R > 1\) ise (\(R = +\infty\) dâhil) seri yakınsaktır.
- \(R < 1\) ise (\(R = -\infty\) dâhil) seri ıraksaktır.
- \(R = 1\) ise test sonuçsuzdur.
İspat
Teorem 38.2’nin ispatındaki (4) bağıntısına göre \(K_k = R_k - 1\)’dir; burada \(K_k\), \(c_k = k\) seçimine karşılık gelen Kummer niceliğidir. Limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği \(R\) sonluysa
\[K = \lim_{k \to \infty} K_k = R - 1\]
olur; \(R = +\infty\) ise \(K = +\infty\), \(R = -\infty\) ise \(K = -\infty\)’dur. Öyleyse
\[R > 1 \iff K > 0, \qquad R < 1 \iff K < 0, \qquad R = 1 \iff K = 0\]
denklikleri geçerlidir ve iddianın ilk iki maddesi doğrudan Sonuç 38.1’nden çıkar.
Üçüncü madde için \(R = 1\) olan biri yakınsak biri ıraksak iki seri göstermek yeterlidir. \(a_k = \dfrac{1}{k}\) alalım: \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} = \dfrac{k+1}{k}\) olduğundan
\[R_k = k \left( \frac{k+1}{k} - 1 \right) = k \cdot \frac{1}{k} = 1\]
ve dolayısıyla \(R = 1\)’dir; oysa harmonik seri ıraksaktır. Öte yandan, aşağıda Örnek 38.5’da tam hesabıyla göstereceğimiz gibi, \(k \ge 2\) için \(a_k = \dfrac{1}{k \ln^2 k}\) alındığında da \(R = 1\) çıkar; oysa bu seri yakınsaktır (Örnek 36.3). Aynı \(R\) değeri iki zıt sonuç verdiğinden \(R = 1\) hâlinde test karar veremez.
\(\blacksquare\)
Oran testinde karşılaştırma sayısı \(1\), Kummer testinde \(0\), Raabe testinde ise yine \(1\)’dir. \(R_k = K_k + 1\) kaymasını unutmak en sık yapılan hatadır: \(R = \dfrac{1}{2}\) bulan biri “pozitif, öyleyse yakınsak” derse yanılır; \(\dfrac{1}{2} < 1\) olduğundan seri ıraksaktır. Ayrıca (ii) şıkkındaki koşulun \(R_k \le 1\) olduğuna, yani eşitlik hâlinin de ıraksaklık tarafında bulunduğuna dikkat ediniz — harmonik seride tam olarak \(R_k = 1\) çıkması bunun tipik örneğidir.
Raabe Testinin Uygulanışı
Örnek 38.3 (Raabe Testiyle Bir Rasyonel Seri) \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k(2k-1)}\) serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \dfrac{1}{k(2k-1)}\) olsun. \(k \ge 1\) için \(2k - 1 \ge 1 > 0\) olduğundan seri pozitif terimlidir.
Önce oran testi. Genel terimin bir sonrakine oranı
\[\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{k(2k-1)}{(k+1)(2k+1)} = \frac{2k^2 - k}{2k^2 + 3k + 1}\]
olur. Pay ve paydayı \(k^2\)’ye bölersek
\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{k}}{2 + \frac{3}{k} + \frac{1}{k^2}} = \frac{2}{2} = 1\]
bulunur. Limit \(1\) olduğundan Teorem 37.2 sonuç vermez. (Aynı biçimde kök testi de sessizdir; rasyonel bir ifadenin \(k\)-inci kökü daima \(1\)’e gider.)
Şimdi Raabe testi. Terimlerin ters oranı
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{(k+1)(2k+1)}{k(2k-1)}\]
olduğundan
\[R_k = k \left( \frac{(k+1)(2k+1)}{k(2k-1)} - 1 \right) = k \cdot \frac{(k+1)(2k+1) - k(2k-1)}{k(2k-1)} = \frac{(k+1)(2k+1) - k(2k-1)}{2k-1}\]
olur. Payı açalım:
\[(k+1)(2k+1) = 2k^2 + 3k + 1, \qquad k(2k-1) = 2k^2 - k,\]
\[(2k^2 + 3k + 1) - (2k^2 - k) = 4k + 1.\]
Öyleyse
\[R_k = \frac{4k+1}{2k-1}.\]
Pay ve paydayı \(k\)’ye bölerek
\[R = \lim_{k \to \infty} R_k = \lim_{k \to \infty} \frac{4 + \frac{1}{k}}{2 - \frac{1}{k}} = \frac{4}{2} = 2\]
buluruz. \(R = 2 > 1\) olduğundan Sonuç 38.2 gereği seri yakınsaktır.
Bir ek gözlem. Aslında \(k \ge 1\) için \(R_k = \dfrac{4k+1}{2k-1} > 2\) olduğu doğrudan görülebilir: bu eşitsizlik \(4k + 1 > 4k - 2\), yani \(1 > -2\) ile denktir. Öyleyse \(r = 2 > 1\) ve \(N = 1\) alarak limit hesabına hiç girmeden Teorem 38.2 (i)’yi uygulamak da mümkündür.
Yakınsaklık ayrıca doğrudan karşılaştırmayla da görülebilirdi: \(k \ge 1\) için \(2k - 1 \ge k\) olduğundan \(a_k \le \dfrac{1}{k^2}\)’dir ve Teorem 35.2 ile Teorem 36.2 sonucu verir. Raabe testinin üstünlüğü, uygun bir karşılaştırma serisi aramaya gerek bırakmamasıdır.
\(\blacksquare\)
Sıradaki örnek, Raabe testinin asıl doğal ortamını gösterir: faktöriyellerden ve çift/tek çarpanlardan kurulmuş, oranı \(1\)’e \(1/k\) hızıyla yaklaşan seriler.
Örnek 38.4 (Merkezî Binom Katsayılarının Serisi) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k)!}{4^k (k!)^2}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \dfrac{(2k)!}{4^k (k!)^2}\) olsun. Bütün çarpanlar pozitif olduğundan seri pozitif terimlidir. Genel terimi tanımak için şunu gözleyelim:
\[\frac{(2k)!}{(k!)^2} = \binom{2k}{k}, \qquad \text{yani} \qquad a_k = \frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}.\]
Ayrıca \((2k)!\)’i tek ve çift çarpanlara ayırırsak \((2k)! = \big( 1 \cdot 3 \cdots (2k-1) \big) \cdot \big( 2 \cdot 4 \cdots (2k) \big)\) ve \(2 \cdot 4 \cdots (2k) = 2^k k!\) olduğundan
\[a_k = \frac{\big( 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1) \big) \cdot 2^k k!}{4^k (k!)^2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k)}\]
yazılabilir. Yani incelediğimiz seri, “tek sayıların çarpımı bölü çift sayıların çarpımı” serisidir.
Ardışık terimlerin oranı. \((2k+2)! = (2k+2)(2k+1)(2k)!\) ve \(\big( (k+1)! \big)^2 = (k+1)^2 (k!)^2\) olduğundan
\[\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(2k+2)(2k+1)}{4 (k+1)^2} = \frac{2(k+1)(2k+1)}{4(k+1)^2} = \frac{2k+1}{2(k+1)} = \frac{2k+1}{2k+2}.\]
Oran testi susar. Gerçekten,
\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} \frac{2k+1}{2k+2} = \lim_{k \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{k}}{2 + \frac{2}{k}} = 1\]
olduğundan Teorem 37.2 sonuç vermez. (Oranın her \(k\) için \(1\)’den küçük olması, yani \((a_k)\) dizisinin kesin azalan olması bir şey söylemez: harmonik serinin terimleri de kesin azalandır ama seri ıraksaktır.)
Raabe testi. Ters oran
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{2k+2}{2k+1}\]
olduğundan
\[R_k = k \left( \frac{2k+2}{2k+1} - 1 \right) = k \cdot \frac{(2k+2) - (2k+1)}{2k+1} = \frac{k}{2k+1}.\]
Limiti alalım:
\[R = \lim_{k \to \infty} \frac{k}{2k+1} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{k}} = \frac{1}{2}.\]
\(R = \dfrac{1}{2} < 1\) olduğundan Sonuç 38.2 gereği seri ıraksaktır.
Limitsiz yol. Her \(k \ge 1\) için \(\dfrac{k}{2k+1} < \dfrac{k}{2k} = \dfrac{1}{2} < 1\) olduğundan \(R_k \le 1\) koşulu \(N = 1\)’den itibaren sağlanır; Teorem 38.2 (ii) doğrudan ıraksaklığı verir.
Yorum. Bulunan \(R = \dfrac{1}{2}\) değeri, terimlerin kabaca \(1/\sqrt{k}\) mertebesinde davrandığını haber verir: \(R\), \(p\)-serilerinde tam olarak \(p\) üssünü ölçtüğünden (Örnek 38.2 ile karşılaştırınız), \(R = \dfrac{1}{2}\) değeri seriyi \(\sum 1/\sqrt{k}\) ile aynı sınıfa yerleştirir. Gerçekten de \(k\) büyüdükçe \(a_k \big/ \dfrac{1}{\sqrt{\pi k}}\) oranı \(1\)’e gider, yani \(a_k\) ile \(\dfrac{1}{\sqrt{\pi k}}\) asimptotik olarak denktir; ama Raabe testi bu asimptotik bilgiyi hiç kullanmadan, yalnızca ardışık terimlerin oranından sonuca varır.
\(\blacksquare\)
38.4 Bertrand Testi
Raabe testinin sessiz kaldığı yer \(R = 1\)’dir ve tıpkı oran testinin \(L = 1\) hâlinde olduğu gibi, bu sınır da tek bir seri değil koca bir seri ailesi barındırır. Bu ailenin doğal temsilcileri logaritmik ölçekli serilerdir:
\[\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln^p k}.\]
Bu serilerin \(p > 1\) için yakınsak, \(p \le 1\) için ıraksak olduğunu yoğunlaştırma testiyle (Teorem 36.1) daha önce belirlemiştik (Örnek 36.3). Birazdan göreceğimiz gibi bu serilerin hepsinde \(R = 1\) çıkar; yani Raabe testi bu ailenin hiçbir üyesi hakkında konuşamaz.
Çare, Kummer ölçeğini bir basamak daha inceltmektir: \(c_k = k\) yerine \(c_k = k \ln k\) almak. Bu seçimden doğan test, Fransız matematikçi Joseph Bertrand’ın (1822–1900) adını taşır. Testin niceliği, Raabe niceliğinin \(1\)’den sapmasını \(\ln k\) ile büyüterek okur:
\[B_k = \ln k \cdot (R_k - 1).\]
Testi ifade etmeden önce, ispatta iki kez kullanacağımız temel bir eşitsizliği ayrı bir adım olarak hazırlayalım.
Her \(k \ge 1\) için
\[1 < (k+1) \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right) < 1 + \frac{1}{k}\]
eşitsizlikleri geçerlidir. Gerçekten, \(\ln\) fonksiyonuna \([k, k+1]\) aralığında ortalama değer teoremini (Teorem 8.2) uygularsak, öyle bir \(\xi \in (k, k+1)\) vardır ki
\[\ln(k+1) - \ln k = \frac{1}{\xi} \cdot \big( (k+1) - k \big) = \frac{1}{\xi}.\]
Sol taraf \(\ln \dfrac{k+1}{k} = \ln\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)\) olduğundan
\[\lambda_k := (k+1) \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \frac{k+1}{\xi}\]
yazılır. \(k < \xi < k+1\) olduğundan \(\dfrac{k+1}{k+1} < \dfrac{k+1}{\xi} < \dfrac{k+1}{k}\), yani \(1 < \lambda_k < 1 + \dfrac{1}{k}\) olur. Sıkıştırma teoremi (bkz. Analiz 1) gereği ayrıca
\[\lim_{k \to \infty} \lambda_k = 1\]
sonucu çıkar.
Teorem 38.3 (Bertrand Testi) \(\sum_{k=2}^{\infty} a_k\) pozitif terimli bir seri, \(R_k = k \left( \dfrac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right)\) ve \(k \ge 2\) için
\[B_k = \ln k \cdot (R_k - 1)\]
olsun. O hâlde:
(i) Öyle bir \(r > 1\) ve \(N \ge 2\) varsa ki her \(k \ge N\) için \(B_k \ge r\) olsun, o hâlde seri yakınsaktır.
(ii) Bir \(N \ge 2\) için her \(k \ge N\) olduğunda \(B_k \le 1\) ise, seri ıraksaktır.
Ayrıca \(\lim_{k \to \infty} B_k = B \in [-\infty, +\infty]\) varsa: \(B > 1\) ise seri yakınsak, \(B < 1\) ise ıraksaktır; \(B = 1\) hâlinde test sonuçsuzdur.
İspat
Adım 1: Ölçek ve hipotezin doğrulanması. \(k \ge 2\) için \(c_k = k \ln k\) alalım. \(k \ge 2\) olduğundan \(\ln k \ge \ln 2 > 0\)’dır, yani \(c_k > 0\)’dır. Hipotez gereği \(\sum 1/c_k\) ıraksak olmalıdır; bunu yoğunlaştırma testiyle (Teorem 36.1) görelim. \(f(k) = \dfrac{1}{k \ln k}\) dizisi \(k \ge 2\) için pozitif ve azalandır. Yoğunlaştırılmış seri
\[\sum_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot \frac{1}{2^n \ln 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]
olur ve harmonik seri ıraksak olduğundan (Teorem 36.2) bu seri de ıraksaktır. Öyleyse \(\sum_{k \ge 2} \dfrac{1}{k \ln k}\) ıraksaktır ve Teorem 38.1 uygulanabilir.
Adım 2: \(K_k\) ile \(B_k\) arasındaki bağıntı. Bu ölçekte Kummer niceliği
\[K_k = c_k \frac{a_k}{a_{k+1}} - c_{k+1} = k \ln k \cdot \frac{a_k}{a_{k+1}} - (k+1) \ln (k+1)\]
olur. Öte yandan \(B_k\)’nın tanımında \(R_k\)’yı açarsak
\[B_k = \ln k \cdot (R_k - 1) = \ln k \cdot \left( k \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right) - 1 \right) = k \ln k \cdot \frac{a_k}{a_{k+1}} - (k+1) \ln k.\]
İki ifadeyi çıkaralım:
\[K_k - B_k = -(k+1)\ln(k+1) + (k+1)\ln k = -(k+1) \ln \frac{k+1}{k} = -(k+1)\ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right) = -\lambda_k.\]
Demek ki her \(k \ge 2\) için
\[K_k = B_k - \lambda_k, \qquad 1 < \lambda_k < 1 + \frac{1}{k} \qquad (5)\]
bağıntısı geçerlidir; \(\lambda_k\) için kullanılan sınırlar yukarıdaki logaritma eşitsizliğinden gelir.
Adım 3: (i) şıkkı. Her \(k \ge N\) için \(B_k \ge r > 1\) olsun. (5) gereği
\[K_k = B_k - \lambda_k > r - \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = (r - 1) - \frac{1}{k}.\]
\(r - 1 > 0\) olduğundan Arşimet özelliği gereği (bkz. Analiz 1) öyle bir \(N_1 \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(k \ge N_1\) için \(\dfrac{1}{k} < \dfrac{r-1}{2}\) olur. \(N_2 = \max\{N, N_1\}\) alalım; her \(k \ge N_2\) için
\[K_k > (r-1) - \frac{r-1}{2} = \frac{r-1}{2} > 0\]
olur. \(r' = \dfrac{r-1}{2} > 0\) alıp Teorem 38.1 (i) uygulanır: seri yakınsaktır.
Adım 4: (ii) şıkkı. Her \(k \ge N\) için \(B_k \le 1\) olsun. (5) ve \(\lambda_k > 1\) eşitsizliği gereği
\[K_k = B_k - \lambda_k < B_k - 1 \le 0\]
olur; Teorem 38.1 (ii) gereği seri ıraksaktır.
Adım 5: Limit biçimi. \(B_k \to B\) olsun. \(\lambda_k \to 1\) olduğundan (5) ve limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği, \(B\) sonluysa
\[K = \lim_{k \to \infty} K_k = B - 1;\]
\(B = +\infty\) ise, \(\lambda_k < 2\) sınırlı olduğundan \(K_k > B_k - 2 \to +\infty\), yani \(K = +\infty\); benzer biçimde \(B = -\infty\) ise \(K_k < B_k - 1 \to -\infty\), yani \(K = -\infty\)’dur. Her üç durumda da
\[B > 1 \iff K > 0, \qquad B < 1 \iff K < 0, \qquad B = 1 \iff K = 0\]
olur ve iddia Sonuç 38.1’nden çıkar. \(B = 1\) hâlinin sonuçsuz olduğu, hemen aşağıdaki örnekte \(p = 1\) alınarak görülür: \(\sum \dfrac{1}{k \ln k}\) serisi ıraksaktır ve \(B = 1\)’dir; buna karşın \(B = 1\) veren yakınsak seriler de vardır; örneğin \(k \ge 3\) için \(a_k = \dfrac{1}{k \ln k \, \ln^2(\ln k)}\) böyledir. Bu serinin yakınsaklığı Örnek 36.4’nin \(p = 2\) hâlidir; \(B = 1\) olduğu ise aşağıdaki notta hesaplanmıştır.
\(\blacksquare\)
Örnek 38.5 (Logaritmik Ölçekli Seriler) \(p > 0\) olmak üzere
\[\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln^p k}\]
serisi için Raabe ve Bertrand niceliklerinin limitlerini hesaplayınız ve serinin yakınsaklığı hakkında ne söylediklerini belirleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \dfrac{1}{k \ln^p k}\) olsun (\(k \ge 2\); bu aralıkta \(\ln k > 0\) olduğundan terimler pozitiftir).
Adım 1: Ters oranın düzenlenmesi. \(\ln(k+1) = \ln k + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)\) olduğunu kullanarak
\[t_k := \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)}{\ln k} > 0, \qquad \ln(k+1) = \ln k \, (1 + t_k)\]
yazalım. O hâlde \(\ln^p(k+1) = \ln^p k \, (1+t_k)^p\) olur ve
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{(k+1) \ln^p (k+1)}{k \ln^p k} = \frac{k+1}{k} \, (1+t_k)^p\]
elde edilir.
Adım 2: \(R_k\) ve \(R_k - 1\). Tanımdan
\[R_k = k \left( \frac{k+1}{k} (1+t_k)^p - 1 \right) = (k+1)(1+t_k)^p - k,\]
dolayısıyla
\[R_k - 1 = (k+1)(1+t_k)^p - (k+1) = (k+1) \big[ (1+t_k)^p - 1 \big]. \qquad (6)\]
Adım 3: \(B_k\)’nın kapalı biçimi. (6) ifadesini \(\ln k\) ile çarpalım. Buradaki püf nokta \(\ln k \cdot t_k = \ln\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)\) olmasıdır:
\[B_k = \ln k \, (R_k - 1) = (k+1) \cdot \ln k \cdot \big[ (1+t_k)^p - 1 \big] = (k+1) \, \ln k \, t_k \cdot \frac{(1+t_k)^p - 1}{t_k},\]
yani
\[B_k = \underbrace{(k+1) \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)}_{= \, \lambda_k} \cdot \; g(t_k), \qquad \text{burada} \quad g(t) = \frac{(1+t)^p - 1}{t} \;\; (t > 0). \qquad (7)\]
Adım 4: Limitler. İki çarpanı ayrı ayrı inceleyelim.
Yukarıdaki logaritma eşitsizliğinde gördüğümüz gibi \(\lambda_k \to 1\)’dir.
\(t_k \to 0\)’dır: pay \(\ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right) \to 0\), payda \(\ln k \to +\infty\)’dur. Öte yandan \(h(t) = (1+t)^p\) fonksiyonunun \(t = 0\) noktasındaki türevi \(h'(0) = p\) olduğundan, türev tanımı gereği
\[\lim_{t \to 0} g(t) = \lim_{t \to 0} \frac{h(t) - h(0)}{t - 0} = h'(0) = p\]
olur. \(t_k \to 0\) ve \(t_k \ne 0\) olduğundan, fonksiyon limiti için dizisel ölçüt (bkz. Analiz 1) gereği \(g(t_k) \to p\)’dir.
(7) ve limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği
\[B = \lim_{k \to \infty} B_k = 1 \cdot p = p.\]
Adım 5: Raabe testi ne diyor? (6) ve (7) birlikte \(R_k - 1 = \dfrac{B_k}{\ln k}\) verir. \(B_k \to p\) sonlu ve \(\ln k \to +\infty\) olduğundan
\[\lim_{k \to \infty} (R_k - 1) = 0, \qquad \text{yani} \qquad R = 1.\]
Bu, her \(p > 0\) için geçerlidir. Demek ki Raabe testi bu ailenin hiçbir üyesi hakkında karar veremez (Sonuç 38.2, üçüncü madde). Özellikle \(p = 2\) alırsak, Sonuç 38.2’nin ispatında sözü edilen “yakınsak ama \(R = 1\)” örneği elde edilmiş olur.
Adım 6: Bertrand testi ne diyor? \(B = p\) olduğundan Teorem 38.3:
- \(p > 1\) ise \(B > 1\): seri yakınsaktır.
- \(p < 1\) ise \(B < 1\): seri ıraksaktır.
- \(p = 1\) ise \(B = 1\): test sonuçsuzdur. Bu tek durumda başka bir araca başvurmak gerekir; yoğunlaştırma testi (Teorem 36.1) \(\sum \dfrac{1}{k \ln k}\) serisinin ıraksak olduğunu söyler (bu hesabı Teorem 38.3’nin ispatının 1. adımında zaten yapmıştık).
Sonuçlar, bu serilerin yakınsaklığı için bilinen ölçütle tam olarak uyuşur: seri ancak ve ancak \(p > 1\) iken yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
\(B = 1\) hâlinde testin susmasının nedeni, bu değeri hem yakınsak hem ıraksak serilerin vermesidir. \(p \in \mathbb{R}\) ve \(k \ge 3\) için
\[a_k = \frac{1}{k \ln k \, \ln^p (\ln k)}\]
alalım; Örnek 36.4 gereği bu seri \(p > 1\) iken yakınsak, \(p \le 1\) iken ıraksaktır. Buna karşın her \(p\) değerinde \(B = 1\) çıkar.
Hesap, yukarıdaki örneğin adımlarını bir basamak yukarıda tekrarlar. \(t_k\) yine yukarıdaki gibi olmak üzere \(\ln(k+1) = \ln k \, (1 + t_k)\)’dir; her iki yanın logaritmasını alırsak
\[\ln(\ln(k+1)) = \ln(\ln k) \, (1 + s_k), \qquad s_k := \frac{\ln(1 + t_k)}{\ln(\ln k)} > 0\]
olur. Buradan
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{k+1}{k} \, (1 + t_k)(1 + s_k)^p, \qquad R_k - 1 = (k+1) \big[ (1+t_k)(1+s_k)^p - 1 \big]\]
bulunur. Köşeli parantezi \(t_k + (1+t_k)\big[ (1+s_k)^p - 1 \big]\) biçiminde ayırıp \(\ln k\) ile çarparsak
\[B_k = \lambda_k + (1 + t_k) \cdot \underbrace{\lambda_k \cdot \frac{\ln(1+t_k)}{t_k} \cdot \frac{1}{\ln (\ln k)}}_{= \; (k+1) \ln k \; s_k} \cdot \frac{(1+s_k)^p - 1}{s_k}\]
elde ederiz; burada \((k+1) \ln k \, t_k = \lambda_k\) olduğu kullanıldı. Şimdi \(\lambda_k \to 1\), \(t_k \to 0\), \(\dfrac{\ln(1+t_k)}{t_k} \to 1\) ve \(\ln(\ln k) \to +\infty\)’dur; dolayısıyla ortadaki çarpan \(0\)’a gider. Ayrıca \(s_k \to 0\) olduğundan son çarpan, örnekteki \(g\) hesabının aynısıyla \(p\)’ye yakınsar. Öyleyse
\[B = 1 + 1 \cdot 0 \cdot p = 1.\]
38.5 Testler Arasındaki Güç Sıralaması
Şu ana kadar dört test gördük: oran, Raabe, Bertrand ve —hepsini üreten— Kummer. Bunların gücünün kesin bir sıra oluşturduğunu, yani her testin bir öncekinin karar verdiği her durumda aynı kararı verdiğini gösterelim. Bu, uygulamada izlenecek yolu da belirler: önce en ucuz testi dene, susarsa bir üst basamağa çık.
Önerme 38.1 (Oran, Raabe ve Bertrand Testlerinin Sıralanışı) \(\sum a_k\) pozitif terimli bir seri olsun; \(L = \lim_{k \to \infty} \dfrac{a_{k+1}}{a_k}\), \(R = \lim_{k \to \infty} R_k\) ve \(B = \lim_{k \to \infty} B_k\) limitleri (var olduklarında, genişletilmiş anlamda) yukarıdaki gibi tanımlansın. O hâlde:
(a) \(L\) varsa ve \(L \ne 1\) ise, \(R\) de genişletilmiş anlamda vardır ve
\[L < 1 \implies R = +\infty, \qquad L > 1 \implies R = -\infty.\]
Özellikle oran testinin karar verdiği her durumda Raabe testi de aynı kararı verir.
(b) \(R\) varsa ve \(R \ne 1\) ise, \(B\) de genişletilmiş anlamda vardır ve
\[R > 1 \implies B = +\infty, \qquad R < 1 \implies B = -\infty.\]
Özellikle Raabe testinin karar verdiği her durumda Bertrand testi de aynı kararı verir.
(c) Oran, Raabe ve Bertrand testleri, Kummer testinin sırasıyla \(c_k = 1\), \(c_k = k\) ve \(c_k = k \ln k\) seçimlerinden ibarettir.
Üstelik bu kapsamaların hepsi kesindir: bir üst basamağın karar verip alt basamağın sustuğu seriler vardır.
İspat
(a) Önce \(0 < L < 1\) olsun. \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k} \to L > 0\) olduğundan, limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \left( \frac{a_{k+1}}{a_k} \right)^{-1} \longrightarrow \frac{1}{L} > 1,\]
dolayısıyla \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \to \dfrac{1}{L} - 1 =: \alpha > 0\)’dır. \(k \to \infty\) ve \(\alpha > 0\) olduğundan
\[R_k = k \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right) \longrightarrow +\infty\]
olur (yeterince büyük \(k\) için \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} - 1 > \dfrac{\alpha}{2}\), dolayısıyla \(R_k > \dfrac{\alpha k}{2} \to +\infty\)).
\(L = 0\) hâlinde \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k} \to 0\) olduğundan \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} \to +\infty\)’dur; yeterince büyük \(k\) için \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} - 1 > 1\) olur ve \(R_k > k \to +\infty\) bulunur. Her iki hâlde de \(R = +\infty > 1\)’dir ve Raabe testi yakınsaklığı verir — oran testinin \(L < 1\) için verdiği kararın aynısı.
Şimdi \(L > 1\) olsun. Aynı biçimde \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} \to \dfrac{1}{L} < 1\) olur (bu \(L = +\infty\) hâlinde \(0\)’dır). Öyleyse \(\beta := 1 - \dfrac{1}{L} > 0\) almak üzere yeterince büyük \(k\) için \(\dfrac{a_k}{a_{k+1}} - 1 < -\dfrac{\beta}{2}\) ve
\[R_k < -\frac{\beta k}{2} \longrightarrow -\infty\]
olur. Demek ki \(R = -\infty < 1\)’dir ve Raabe testi ıraksaklığı verir — yine oran testiyle aynı karar.
(b) \(R > 1\) olsun (\(R = +\infty\) dâhil). O hâlde yeterince büyük \(k\) için \(R_k - 1 > \gamma\) olacak biçimde bir \(\gamma > 0\) vardır: \(R\) sonluysa \(\gamma = \dfrac{R-1}{2}\), \(R = +\infty\) ise \(\gamma = 1\) alınabilir. \(\ln k \to +\infty\) olduğundan
\[B_k = \ln k \, (R_k - 1) > \gamma \ln k \longrightarrow +\infty,\]
yani \(B = +\infty > 1\)’dir ve Bertrand testi yakınsaklığı verir. \(R < 1\) hâlinde ise benzer biçimde bir \(\gamma > 0\) için yeterince büyük \(k\)’lerde \(R_k - 1 < -\gamma\) olur ve \(B_k < -\gamma \ln k \to -\infty\), yani \(B = -\infty < 1\) çıkar; Bertrand testi ıraksaklığı verir.
(c) Bu, “Ölçeğin Seçimi” başlığında \(c_k = 1\) için yapılan çevirinin, Teorem 38.2’nin ispatındaki \(K_k = R_k - 1\) bağıntısının ve Teorem 38.3’nin ispatındaki \(K_k = B_k - \lambda_k\) bağıntısının bir özetidir. Üç ölçek için de \(\sum 1/c_k\) serilerinin (\(\sum 1\), \(\sum 1/k\), \(\sum 1/(k \ln k)\)) ıraksak olduğu ilgili yerlerde gösterilmişti.
Kapsamaların kesinliği.
- \(\sum \dfrac{1}{k^2}\) serisinde \(L = 1\)’dir (oran testi susar) ama Örnek 38.1’nde \(K = 1\), yani \(R = K + 1 = 2 > 1\) bulunmuştu; Raabe testi karar verir.
- \(\sum \dfrac{1}{k \ln^2 k}\) serisinde Örnek 38.5 gereği \(R = 1\)’dir (Raabe susar) ama \(B = 2 > 1\)’dir; Bertrand testi karar verir.
- Bertrand testinin sustuğu \(\sum \dfrac{1}{k \ln k}\) serisini ise Kummer testi bir başka ölçekle çözer: \(k \ge 3\) için \(c_k = k \ln k \, \ln(\ln k)\) alalım. Bu ölçekte \(\sum 1/c_k\) ıraksaktır (Örnek 36.4’nin \(p = 1\) hâli) ve \(a_k = \dfrac{1}{k \ln k}\) için \(c_k \dfrac{a_k}{a_{k+1}} = (k+1)\ln(k+1) \ln(\ln k)\) olduğundan \(K_k = (k+1)\ln(k+1) \big[ \ln(\ln k) - \ln(\ln (k+1)) \big] < 0\) çıkar; köşeli parantez negatiftir, çünkü \(\ln\) artandır. Teorem 38.1 (ii) gereği seri ıraksaktır. Merdivenin bir sonraki basamağı budur.
\(\blacksquare\)
Pozitif terimli bir seriyle karşılaştığınızda sıralama şudur:
- Genel terim \(0\)’a gitmiyorsa iş biter (Teorem 34.2).
- Terimlerde \(k\)-inci kuvvet varsa kök testi (Teorem 37.1), faktöriyel ya da ardışık çarpanlar varsa oran testi (Teorem 37.2) doğal seçimdir.
- Oran limiti \(1\) çıkıyorsa hemen Raabe testine geçin: \(R_k = k \left( \dfrac{a_k}{a_{k+1}} - 1 \right)\) hesabı, oran hesabının küçük bir eklentisidir.
- Raabe limiti de \(1\) çıkıyorsa, terimlerde logaritma bulunması kuvvetle muhtemeldir; Bertrand testini deneyin.
- Bunların hiçbiri işe yaramıyorsa Kummer testine dönüp probleme uygun bir \((c_k)\) ölçeği tasarlayın ya da bütünüyle başka bir araca (yoğunlaştırma testi, integral testi, doğrudan karşılaştırma) başvurun.
Her basamak bir öncekinin sınır durumunu çözer, ama kendi sınır durumunu yaratır: oran testi \(L = 1\)’de, Raabe testi \(R = 1\)’de, Bertrand testi \(B = 1\)’de susar. Bu zincirin sonu yoktur; her testi susturan bir seri her zaman bulunabilir. Bu yüzden “bütün pozitif terimli serileri çözen tek bir test” aramak boşunadır. Kummer testinin değeri, her seride sonuç vermesinde değil, uygun ölçek seçildiğinde sonucu verebilmesinde ve bütün klasik testleri tek bir çatı altında toplamasındadır.
38.6 Alıştırmalar
Alıştırma 38.1 (Kummer ve Raabe Testleri Üzerine)
\(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k(k+1)}\) serisini Raabe testiyle inceleyiniz. Sonucu, seriyi teleskopik toplamla değerlendirerek doğrulayınız.
\(p > 0\) olmak üzere \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^p}\) serisi için \(R_k\)’nın limitini hesaplayınız ve Raabe testinin \(p\)-serileri hakkında ne söylediğini belirleyiniz.
\(\alpha > 0\) olmak üzere
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+k)}\]
serisinin hangi \(\alpha\) değerleri için yakınsak olduğunu Raabe testiyle belirleyiniz. Testin sustuğu durumu ayrıca inceleyiniz.
- \(p \in \mathbb{R}\) olmak üzere
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k)} \cdot \frac{1}{k^{p}}\]
serisi için \(R_k\)’nın limitini hesaplayınız ve serinin hangi \(p\) değerlerinde yakınsak olduğunu belirleyiniz.
\(\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{\ln k}{k^2}\) serisini Raabe testiyle inceleyiniz.
Bir öğrenci \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^3}\) serisine Kummer testini \(c_k = k^2\) seçimiyle uygulamak istiyor. Bu seçimin neden geçersiz olduğunu açıklayınız ve geçerli bir seçimle seriyi inceleyiniz.
Çözüm
a) \(a_k = \dfrac{1}{k(k+1)}\) olsun. Ters oran
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{(k+1)(k+2)}{k(k+1)} = \frac{k+2}{k}\]
olduğundan
\[R_k = k \left( \frac{k+2}{k} - 1 \right) = k \cdot \frac{2}{k} = 2.\]
Yani \(R_k\) dizisi sabit olarak \(2\)’ye eşittir; \(R = 2 > 1\) olduğundan Sonuç 38.2 gereği seri yakınsaktır. (Aynı sonuç, \(r = 2\) ve \(N = 1\) ile doğrudan Teorem 38.2 (i)’den de çıkar.) Oran testi bu seride sonuç vermezdi, çünkü \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \dfrac{k}{k+2} \to 1\)’dir.
Doğrulama. \(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\) olduğundan kısmi toplamlar teleskopiktir (Tanım 34.5):
\[s_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1} \longrightarrow 1.\]
Demek ki seri yakınsaktır ve toplamı \(1\)’dir; Raabe testinin yanıtı doğrulanmış olur.
b) \(a_k = \dfrac{1}{k^p}\) olsun. Ters oran
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{(k+1)^p}{k^p} = \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{p}\]
olduğundan
\[R_k = k \left[ \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{p} - 1 \right] = \frac{\left( 1 + t \right)^{p} - 1}{t} \Bigg|_{\, t \, = \, 1/k}.\]
\(h(t) = (1+t)^p\) fonksiyonunun \(t = 0\)’daki türevi \(h'(0) = p\) olduğundan
\[\lim_{t \to 0} \frac{(1+t)^p - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{h(t) - h(0)}{t - 0} = h'(0) = p\]
olur. \(t_k = \dfrac{1}{k} \to 0\) ve \(t_k \ne 0\) olduğundan, dizisel ölçüt (bkz. Analiz 1) gereği
\[R = \lim_{k \to \infty} R_k = p.\]
Demek ki Raabe testi \(p\)-serilerinde doğrudan \(p\) üssünü okur: Sonuç 38.2 gereği \(p > 1\) ise seri yakınsak, \(p < 1\) ise ıraksaktır. \(p = 1\) hâlinde \(R = 1\) olduğundan test susar; nitekim harmonik seri yakınsaklığın tam sınırındadır ve ıraksaktır (Teorem 36.2). Kummer diliyle söylersek, \(c_k = k\) ölçeğinde \(K = R - 1 = p - 1\)’dir; bu, bölümün ortasındaki gözlemi doğrular.
c) \(a_k = \dfrac{k!}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+k)}\) olsun. \(\alpha > 0\) olduğundan bütün çarpanlar pozitiftir. Ardışık terimlerin oranını yazalım: paydaya bir çarpan, paya bir çarpan eklenir:
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{k!}{(k+1)!} \cdot \frac{(\alpha+1)\cdots(\alpha+k)(\alpha+k+1)}{(\alpha+1)\cdots(\alpha+k)} = \frac{\alpha+k+1}{k+1}.\]
Oran testi için
\[\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{k+1}{\alpha+k+1} \longrightarrow 1\]
olduğundan Teorem 37.2 hiçbir \(\alpha\) için sonuç vermez. Raabe niceliği ise
\[R_k = k \left( \frac{\alpha+k+1}{k+1} - 1 \right) = k \cdot \frac{(\alpha + k + 1) - (k+1)}{k+1} = \frac{\alpha k}{k+1}\]
olur ve
\[R = \lim_{k \to \infty} \frac{\alpha k}{k+1} = \lim_{k \to \infty} \frac{\alpha}{1 + \frac{1}{k}} = \alpha\]
bulunur. Sonuç 38.2 gereği:
- \(\alpha > 1\) ise seri yakınsaktır.
- \(\alpha < 1\) ise seri ıraksaktır.
- \(\alpha = 1\) ise test susar.
Son durumu elle çözelim. \(\alpha = 1\) için payda \(2 \cdot 3 \cdots (k+1) = (k+1)!\) olur ve
\[a_k = \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{1}{k+1}\]
çıkar. Bu ise harmonik serinin (ilk terimi atılmış hâlinin) ta kendisidir ve ıraksaktır (Teorem 36.2). Demek ki seri ancak ve ancak \(\alpha > 1\) iken yakınsaktır.
d) \(b_k = \dfrac{1 \cdot 3 \cdots (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2k)}\) ve \(a_k = \dfrac{b_k}{k^p}\) olsun. Örnek 38.4’da \(\dfrac{b_{k+1}}{b_k} = \dfrac{2k+1}{2k+2}\), yani
\[\frac{b_k}{b_{k+1}} = \frac{2k+2}{2k+1}\]
olduğunu hesaplamıştık. Buradan
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{b_k}{b_{k+1}} \cdot \frac{(k+1)^p}{k^p} = \underbrace{\frac{2k+2}{2k+1}}_{=: \, A_k} \cdot \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{p}}_{=: \, C_k}\]
olur. Şimdi \(R_k = k(A_k C_k - 1)\) ifadesini, limiti ayrı ayrı alınabilen iki parçaya bölelim:
\[k(A_k C_k - 1) = k(A_k - 1) C_k + k(C_k - 1).\]
(Eşitliği doğrulamak için sağ tarafı açmak yeterlidir: \(k A_k C_k - k C_k + k C_k - k = k(A_kC_k - 1)\).)
Birinci parça: \(A_k - 1 = \dfrac{(2k+2)-(2k+1)}{2k+1} = \dfrac{1}{2k+1}\) olduğundan
\[k(A_k - 1) = \frac{k}{2k+1} \longrightarrow \frac{1}{2}, \qquad C_k = \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^p \longrightarrow 1,\]
dolayısıyla \(k(A_k-1)C_k \to \dfrac{1}{2}\)’dir.
İkinci parça (b) şıkkında hesaplandı: \(k(C_k - 1) = k \left[ \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^p - 1 \right] \to p\).
Limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği
\[R = \frac{1}{2} + p.\]
Sonuç 38.2 gereği seri \(\dfrac{1}{2} + p > 1\), yani \(p > \dfrac{1}{2}\) iken yakınsak, \(p < \dfrac{1}{2}\) iken ıraksaktır. (\(p = 0\) alındığında \(R = \dfrac{1}{2} < 1\) çıkar; bu, Örnek 38.4’da bulduğumuz sonucun özel hâlidir.)
Sınır durumu \(p = \dfrac{1}{2}\). Bu değerde \(R = 1\) olduğundan limit biçimi susar; ama \(R_k\)’nın \(1\)’i hiç aşmadığını göstererek Teorem 38.2’nin ikinci şıkkını yine de uygulayabiliriz. Gerçekten \(p = \dfrac{1}{2}\) için \(C_k = \sqrt{1 + \dfrac{1}{k}}\)’dir ve
\[R_k \le 1 \iff k \big( A_k C_k - 1 \big) \le 1 \iff A_k C_k \le 1 + \frac{1}{k}\]
olur. Bu eşitsizlikte \(A_k = \dfrac{2k+2}{2k+1}\) yazıp sadeleştirelim:
\[\frac{2k+2}{2k+1} \sqrt{1 + \frac{1}{k}} \le \frac{k+1}{k} \iff \sqrt{1 + \frac{1}{k}} \le \frac{(k+1)(2k+1)}{k(2k+2)} = \frac{2k+1}{2k} = 1 + \frac{1}{2k}.\]
Son eşitsizliğin iki yanı da pozitif olduğundan kareleri karşılaştırmak yeterlidir:
\[\left( 1 + \frac{1}{2k} \right)^{2} - \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \frac{1}{4k^2} > 0.\]
Demek ki her \(k \ge 1\) için \(R_k < 1\)’dir; Teorem 38.2 (ii) gereği \(p = \dfrac{1}{2}\) hâlinde seri ıraksaktır. Toparlarsak: seri ancak ve ancak \(p > \dfrac{1}{2}\) iken yakınsaktır.
e) \(a_k = \dfrac{\ln k}{k^2}\) olsun (\(k \ge 2\)). Ters oran
\[\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{\ln k}{k^2} \cdot \frac{(k+1)^2}{\ln(k+1)} = \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{k} \right)^2}_{=: \, E_k} \cdot \underbrace{\frac{\ln k}{\ln (k+1)}}_{=: \, D_k}\]
olur. (d) şıkkındaki ayrıştırmayı kullanalım:
\[R_k = k(E_k D_k - 1) = k(E_k - 1) D_k + k(D_k - 1).\]
Birinci parça: \(E_k - 1 = \dfrac{2}{k} + \dfrac{1}{k^2}\) olduğundan \(k(E_k - 1) = 2 + \dfrac{1}{k} \to 2\)’dir. Ayrıca \(\ln(k+1) - \ln k = \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right) \to 0\) ve \(\ln k \to \infty\) olduğundan \(D_k = \dfrac{\ln k}{\ln(k+1)} \to 1\)’dir. Demek ki birinci parça \(2\)’ye gider.
İkinci parça:
\[k(D_k - 1) = k \cdot \frac{\ln k - \ln(k+1)}{\ln(k+1)} = - \frac{k \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)}{\ln (k+1)}.\]
Buradaki \(k \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)\) ifadesi \(1\)’e yakınsar: onu \(\dfrac{k}{k+1} \cdot \lambda_k\) biçiminde yazmak yeterlidir; \(\dfrac{k}{k+1} \to 1\)’dir ve bölümdeki logaritma eşitsizliğine göre \(\lambda_k = (k+1)\ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right) \to 1\)’dir. Paydadaki \(\ln(k+1)\) ise \(+\infty\)’a gider. Sınırlı bir dizinin sonsuza giden bir diziye bölümü \(0\)’a gittiğinden \(k(D_k - 1) \to 0\)’dır.
Öyleyse \(R = 2 + 0 = 2 > 1\)’dir ve Sonuç 38.2 gereği seri yakınsaktır. (Oran testi burada da susardı: \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k} \to 1\)’dir.)
f) Kummer testinin hipotezi, seçilen \((c_k)\) dizisi için \(\sum \dfrac{1}{c_k}\) serisinin ıraksak olmasıdır. \(c_k = k^2\) seçiminde
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{c_k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\]
serisi yakınsaktır (Teorem 36.2); dolayısıyla hipotez sağlanmaz ve testin hiçbir şıkkı uygulanamaz. (Hesap yapılırsa
\[K_k = k^2 \cdot \frac{(k+1)^3}{k^3} - (k+1)^2 = \frac{(k+1)^3}{k} - (k+1)^2 = (k+1)^2 \left( \frac{k+1}{k} - 1 \right) = \frac{(k+1)^2}{k} \to +\infty\]
bulunur ve bu, doğru cevaba —yakınsaklığa— işaret eder; ama teoremin hipotezi sağlanmadığı için bu hesap bir ispat değildir. Bölüm içindeki uyarı kutusunda görüldüğü gibi, hipotez atlandığında yanlış sonuçlar da üretilebilir.)
Geçerli bir seçim. \(c_k = k\) alalım; \(\sum 1/k\) ıraksak olduğundan hipotez sağlanır. \(a_k = \dfrac{1}{k^3}\) için
\[K_k = k \cdot \frac{(k+1)^3}{k^3} - (k+1) = \frac{(k+1)^3}{k^2} - (k+1) = (k+1) \left( \frac{(k+1)^2}{k^2} - 1 \right) = (k+1) \cdot \frac{2k+1}{k^2}\]
olur. Pay \(2k^2 + 3k + 1\), payda \(k^2\) olduğundan
\[K = \lim_{k \to \infty} \frac{2k^2 + 3k + 1}{k^2} = 2 > 0\]
ve Sonuç 38.1 gereği seri yakınsaktır. Bu, (b) şıkkının \(p = 3\) hâliyle uyumludur: \(K = R - 1 = 3 - 1 = 2\).
\(\blacksquare\)
Bu bölümde pozitif terimli seriler için elimizdeki test dağarcığını, oran testinin sustuğu sınır bölgeyi de kapsayacak biçimde genişlettik ve bütün bu testlerin tek bir çatı —Kummer testi— altında toplandığını gördük. Sıradaki bölümde artık pozitiflik varsayımını bırakıyor, terimleri işaret değiştiren serilere geçiyoruz; bu geçişi mümkün kılan kavram mutlak yakınsaklık olacak: Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık.