19 Bağıntı Kavramı ve Özellikleri
Bir önceki bölümde \(A \times B\) kartezyen çarpımını kurmuştuk. Bu kümenin öğeleri, birinci bileşeni \(A\)’dan ikinci bileşeni \(B\)’den gelen bütün sıralı ikililerdi. Uygulamada ise genellikle bu ikililerin hepsi değil, belirli bir kurala uyan bir kısmı ilgilendirir bizi. İşte bu “kısım” bağıntı kavramını verir.
19.1 Bağıntı
Tanım 19.1 (Bağıntı) \(A, B \neq \varnothing\) kümeleri verilsin. \(A \times B\)’nin her alt kümesine \(A\)’dan \(B\)’ye bağıntı denir.
Bu tanıma göre \(A\)’dan \(B\)’ye bir \(\beta\) bağıntısı
\[\beta = \big\{(x, y) \mid x \in A, \; y \in B, \; p(x,y)\big\}\]
şeklinde yazılabilir. Burada \(p(x, y)\), \(x\) ile \(y\) arasındaki bağıntıyı belirten özelliktir.
\(A\) kümesinden \(B\) kümesine bir \(\beta\) bağıntısı verildiğinde, \((x,y) \in \beta\) ise “\(A\) kümesinin \(x\) öğesi, \(\beta\) bağıntısı ile \(B\) kümesinin \(y\) öğesine bağlıdır” denir ve bu durum
\[(x,y) \in \beta \;\Longleftrightarrow\; x \, \beta \, y \qquad \text{veya} \qquad (x,y) \in \beta \;\Longleftrightarrow\; y = \beta(x)\]
ile gösterilir.
\(y = \beta(x)\) yazımı fonksiyon gösterimini andırsa da, genel bir bağıntıda bir \(x\) öğesi birden çok \(y\) öğesine bağlı olabilir; hatta hiçbirine bağlı olmayabilir.
Her fonksiyon bir bağıntıdır, ancak her bağıntı bir fonksiyon değildir. Fonksiyon, her \(x \in A\) için bir ve yalnız bir \(y \in B\) bulunmasını isteyen özel bir bağıntıdır.
Örnek 19.1 (Bağıntı mıdır?) \(A = \{1, 2, 3\}\) ve \(B = \{a, b\}\) olsun.
\[\beta_1 = \big\{(1,a), \, (2,b), \, (3,b)\big\}, \qquad \beta_2 = \big\{(a,1), \, (2,b), \, (3,a)\big\}\]
kümeleri için aşağıdakileri cevaplayınız.
a) \(\beta_1\), \(A\)’dan \(B\)’ye bir bağıntı mıdır?
b) \(\beta_2\), \(A\)’dan \(B\)’ye bir bağıntı mıdır?
c) \(a = \beta_1(1)\), \(2 \, \beta_1 \, b\), \(b \, \beta_1 \, 3\) gösterimlerinden hangileri doğru, hangileri yanlıştır?
Çözüm
a) \(\beta_1\)’in bütün öğelerinin birinci bileşeni \(A\)’dan, ikinci bileşeni \(B\)’dendir; yani \(\beta_1 \subset A \times B\)’dir. O hâlde \(\beta_1\), \(A\)’dan \(B\)’ye bir bağıntıdır.
b) \((a, 1)\) ikilisinin birinci bileşeni \(a \notin A\)’dır; dolayısıyla \((a,1) \notin A \times B\)’dir. Buradan \(\beta_2 \nsubseteq A \times B\) olur. O hâlde \(\beta_2\), \(A\)’dan \(B\)’ye bir bağıntı değildir.
c)
- \(a = \beta_1(1) \Longleftrightarrow (1, a) \in \beta_1\) → doğrudur.
- \(2 \, \beta_1 \, b \Longleftrightarrow (2, b) \in \beta_1\) → doğrudur.
- \(b \, \beta_1 \, 3 \Longleftrightarrow (b, 3) \in \beta_1\) → yanlıştır.
\(\blacksquare\)
Örnek 19.2 (Bağıntıları İkililerle Yazma) \(A = \{1, 7, 10, 19\}\) kümesinde tanımlı \(\beta_1\) ve \(\beta_2\) bağıntıları
\[\beta_1 = \{(x,y) : x \in A, \; y \in A, \; x - 2y \geq 5\}, \qquad \beta_2 = \{(x,y) : x \in A, \; y \in A, \; 9 \mid x - y\}\]
şeklinde tanımlansın.
a) \(\beta_1\) ve \(\beta_2\) bağıntılarını ikililerle yazınız. b) \(\beta_1 \cap \beta_2\)’yi belirleyiniz. c) \(\beta_1(x) = 1\) için \(x \in A\)’yı bulunuz.
Çözüm
a) \(\beta_1\) için: \(y \in A\) olduğundan en küçük \(y\) değeri \(1\)’dir; \(x - 2y \geq 5\) koşulundan \(x \geq 5 + 2y \geq 7\) olmalıdır. O hâlde \(x = 1\) hiçbir ikili vermez. Kalan değerleri deneyelim:
- \(x = 7\) için \(7 - 2y \geq 5 \Rightarrow 2y \leq 2 \Rightarrow y \leq 1 \Rightarrow y = 1\)
- \(x = 10\) için \(10 - 2y \geq 5 \Rightarrow 2y \leq 5 \Rightarrow y \leq 2{,}5 \Rightarrow y = 1\)
- \(x = 19\) için \(19 - 2y \geq 5 \Rightarrow 2y \leq 14 \Rightarrow y \leq 7 \Rightarrow y = 1\) veya \(y = 7\)
Buradan
\[\beta_1 = \big\{(7,1), \; (10,1), \; (19,1), \; (19,7)\big\}\]
\(\beta_2\) için farkı \(9\)’un katı olan ikilileri arayalım. Köşegen ikililerin farkı \(0\) olduğundan hepsi bağıntıya girer; ayrıca \(10 - 1 = 9\), \(19 - 1 = 18\), \(19 - 10 = 9\) farkları da \(9\)’un katıdır:
\[\beta_2 = \big\{(1,1), \, (7,7), \, (10,10), \, (19,19), \, (1,10), \, (10,1), \, (1,19), \, (19,1), \, (10,19), \, (19,10)\big\}\]
b) \(\beta_1\)’in dört öğesini tek tek \(\beta_2\) koşuluna göre sınayalım: \(7 - 1 = 6\) ve \(19 - 7 = 12\) sayıları \(9\) ile bölünmez; \(10 - 1 = 9\) ve \(19 - 1 = 18\) ise bölünür. O hâlde
\[\beta_1 \cap \beta_2 = \big\{(10, 1), \; (19, 1)\big\}\]
c) \(\beta_1(x) = 1 \Longleftrightarrow (x, 1) \in \beta_1\) olduğundan \(\beta_1\)’in ikinci bileşeni \(1\) olan öğelerine bakarız:
\[x = 7, \qquad x = 10, \qquad x = 19\]
\(\blacksquare\)
\((b)\) şıkkında \(\beta_1 \cap \beta_2\) kesişimini alabildik; çünkü bağıntılar \(A \times A\)’nın alt kümeleridir. Aynı şekilde \(\beta_1 \cup \beta_2\), \(\beta_1 \setminus \beta_2\) ve \(\beta_1^{c}\) de tanımlıdır ve yine birer bağıntıdır.
19.2 Ters (Karşıt) Bağıntı
Tanım 19.2 (Ters Bağıntı) \(A\) kümesinden \(B\) kümesine bir \(\beta\) bağıntısı verildiğinde, \(\beta\)’daki bütün sıralı ikililerin birinci ve ikinci terimlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen \(B\)’den \(A\)’ya bağıntıya, \(\beta\) bağıntısının ters bağıntısı adı verilir ve \(\beta^{-1}\) ile gösterilir.
Bu tanımdan, \(\beta \subseteq A \times B\) ve \(\beta = \{(x,y) \mid x \in A, \, y \in B, \, p(x,y)\}\) olmak üzere
\[\beta^{-1} \subseteq B \times A, \qquad \beta^{-1} = \big\{(y, x) \mid (x,y) \in \beta\big\}\]
yazabiliriz.
Teorem 19.1 (Ters Bağıntının Temel Özellikleri) \(\beta \subseteq A \times B\) olsun.
i) \((x, y) \in \beta \;\Longleftrightarrow\; (y, x) \in \beta^{-1}\)
ii) \(\beta(x) = y \;\Longleftrightarrow\; \beta^{-1}(y) = x\)
Örnek 19.3 (Ters Bağıntı Bulma) \(A = \{2, 3, 4\}\) kümesinden \(B = \{5, 6, 7, 8\}\) kümesine bir \(\beta\) bağıntısı
\[\beta = \{(x, y) : x \in A, \; y \in B, \; x \mid y\}\]
şeklinde tanımlansın. \(\beta\)’nın ters bağıntısını yazınız.
Çözüm
Önce \(\beta\)’yı belirleyelim; \(A\)’nın her öğesi için \(B\)’de böldüğü sayıları arayalım:
- \(x = 2\): \(2 \mid 6\) ve \(2 \mid 8\) → \((2,6), \, (2,8)\)
- \(x = 3\): \(3 \mid 6\) → \((3,6)\)
- \(x = 4\): \(4 \mid 8\) → \((4,8)\)
O hâlde
\[\beta = \big\{(2,6), \; (2,8), \; (3,6), \; (4,8)\big\}\]
\((x,y) \in \beta \Leftrightarrow (y,x) \in \beta^{-1}\) olduğundan, bütün ikililerin bileşenlerini yer değiştirelim:
\[\beta^{-1} = \big\{(6,2), \; (8,2), \; (6,3), \; (8,4)\big\}\]
\(\blacksquare\)
19.3 Birim Bağıntı
Tanım 19.3 (Birim Bağıntı) \(A \neq \varnothing\) kümesi verilsin. \(A \times A\) kümesinde birinci ve ikinci terimleri aynı olan bütün sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye \(A\)’da birim bağıntı adı verilir ve \(I_A\) veya \(\Delta_A\) ile gösterilir:
\[I_A = \big\{(x, x) \mid x \in A\big\}\]
19.4 Bir Kümede Tanımlı Bağıntıların Özellikleri
Bundan sonraki özellikler yalnızca \(\beta \subseteq A \times A\) biçimindeki, yani aynı küme üzerinde tanımlı bağıntılar için anlamlıdır.
Yansıma Özelliği
Tanım 19.4 (Yansıma Özelliği ve Yansıyan Bağıntı) \(A\) kümesinde tanımlı bir \(\beta\) bağıntısı verildiğinde, \(A\) kümesinin her elemanı \(\beta\) bağıntısı ile kendisine bağlı ise, başka bir deyişle \(A\)’daki her \(x\) için \((x,x) \in \beta\) ise, \(\beta\) bağıntısının \(A\) üzerinde yansıma özelliği vardır veya \(\beta\), \(A\)’da yansıyan bağıntıdır denir.
Kısaca:
\[\big(\beta \subseteq A \times A \text{ yansıyan bağıntı}\big) \;\Longleftrightarrow\; \big(\forall x \in A\big); \; (x, x) \in \beta\]
\(\beta\) bağıntısının yansıyan olması, tam olarak
\[I_A \subseteq \beta\]
demektir. Yani yansıyan bir bağıntı, birim bağıntının bütün ikililerini içermek zorundadır.
Örnek 19.4 (Yansıyan mı?) a) Düzlemde tüm üçgenlerin kümesi \(P\) olsun. \(P\)’de bir \(R\) bağıntısı
\[R = \{(x,y) : x \text{ üçgeni ile } y \text{ üçgeni birbirinin benzeri}\}\]
şeklinde tanımlansın. \(R\) bağıntısı yansıyan bağıntı mıdır?
b) Düzlemde tüm doğruların oluşturduğu \(E\) kümesinde bir \(\beta\) bağıntısı, doğrular arasındaki diklik bağıntısı olsun. \(\beta\) yansıyan bağıntı mıdır?
Çözüm
a) Her üçgen kendisi ile benzerdir (burada benzerlik oranı \(1\)’dir). O hâlde her \(x \in P\) için \((x,x) \in R\) olduğundan \(R\) yansıyan bir bağıntıdır.
b) Hiçbir doğru kendisine dik değildir. O hâlde düzlemde doğrular arasındaki diklik bağıntısı yansıyan bağıntı değildir.
\(\blacksquare\)
Simetri Özelliği
Tanım 19.5 (Simetri Özelliği ve Simetrik Bağıntı) \(A\) kümesinde tanımlı \(\beta\) bağıntısındaki her \((x,y)\) ikilisi için \((y,x)\) ikilisi de \(\beta\)’da ise, \(\beta\) bağıntısının \(A\)’da simetri özelliği vardır veya \(\beta\) bağıntısı \(A\)’da simetrik bağıntıdır denir.
Kısaca (\(x\) ve \(y\), \(A\)’nın elemanları olmak üzere):
\[\big(\beta, A\text{'da simetrik bağıntıdır}\big) \;\Longleftrightarrow\; \Big[\forall (x,y) \in \beta \;\Rightarrow\; (y,x) \in \beta\Big]\]
Tanımdaki \(\forall (x,y) \in \beta\) ifadesi, \(\beta\)’daki bütün \((x,y)\) ikililerini göstermektedir. \(A \times A\)’daki bütün \((x,y)\) ikililerinin \(\beta\)’da olma zorunluluğu yoktur.
Yani simetriklik “her ikili bağıntıda olsun” demek değil, “bağıntıda olan her ikilinin tersi de bağıntıda olsun” demektir.
Ters bağıntı diliyle simetriklik tek satırda ifade edilir:
\[\beta \text{ simetriktir} \;\Longleftrightarrow\; \beta = \beta^{-1}\]
Örnek 19.5 (Simetrik mi?) Aşağıdaki bağıntıların simetrik olup olmadığını araştırınız.
a) Kuvvet kümesinde kümeler arasında alt küme bağıntısı
b) Kuvvet kümesinde kümeler arasında ayrık olma bağıntısı
c) Düzlemde doğrular arasındaki diklik bağıntısı
d) Birimizin akrabalarının oluşturduğu kümede hala çocukları olma bağıntısı
Çözüm
a) \(P\) bir kuvvet kümesi olmak üzere
\[\beta_1 = \big\{(A, B) : A \in P, \; B \in P, \; A \subseteq B\big\}\]
bağıntısı \(P\) üzerinde tanımlı alt küme bağıntısıdır. \(A \subseteq B\) ve \(A \neq B\) olan kümeler için \(B \nsubseteq A\)’dır. O hâlde \((A,B) \in \beta_1\) iken \((B,A) \notin \beta_1\)’dir. Alt küme bağıntısı simetrik değildir.
b)
\[\beta_2 = \big\{(A, B) : A \in P, \; B \in P, \; A \cap B = \varnothing\big\}\]
olsun. \((A,B) \in \beta_2\) olsun; yani \(A \cap B = \varnothing\)’dir. Kesişimin değişme özelliğinden \(B \cap A = \varnothing\) olur, dolayısıyla \((B,A) \in \beta_2\)’dir. O hâlde kümeler arasında ayrık olma bağıntısı simetriktir.
c) \(E\) düzlemdeki doğruların kümesi olmak üzere
\[\beta_3 = \big\{(D_1, D_2) : D_1 \in E, \; D_2 \in E, \; D_1 \perp D_2\big\}\]
olsun. \(D_1 \perp D_2\) ise \(D_2 \perp D_1\) olduğundan \(\beta_3\) simetriktir.
d) \(A\) akrabaların kümesi olmak üzere
\[\beta_4 = \big\{(x, y) \mid x \in A, \; y \in A, \; y, \; x\text{'in hala çocuğudur}\big\}\]
olsun. \(y\), \(x\)’in hala çocuğu ise \(x\), \(y\)’nin dayı çocuğudur; hala çocuğu değildir. O hâlde \((x,y) \in \beta_4\) iken \((y,x) \notin \beta_4\) olduğundan \(\beta_4\) simetrik bağıntı değildir.
\(\blacksquare\)
\((c)\) şıkkındaki diklik bağıntısı ile Örnek 19.4’nın \((b)\) şıkkı birlikte okunduğunda, bir bağıntının simetrik olup yansıyan olmayabileceği görülür.
Aynı şekilde alt küme bağıntısı yansıyandır (\(A \subseteq A\)) ama simetrik değildir. İki özellik birbirinden bağımsızdır; bir bağıntı ikisine birden, yalnız birine ya da hiçbirine sahip olabilir.