15 Boş Küme, Kuvvet Kümesi ve Nicelik Sayısı
Kümeler ile çalışırken bazı durumlarda hiçbir öğe içermeyen kümeler ile karşılaşırız. Örneğin \(2x - 1 = 0\) denkleminin tam sayı çözümlerinin kümesi hiçbir öğe içermez. Bu bölümde önce böyle kümeleri, ardından bir kümenin bütün alt kümelerini toplayan kuvvet kümesini ele alıyoruz.
15.1 Boş Küme
Tanım 15.1 (Boş Küme) Hiçbir öğe içermeyen kümeye boş küme denir ve \(\varnothing\) ya da \(\{\;\}\) ile gösterilir.
Örnek 15.1 \[A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}, \qquad B = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 - 2 = 0\}\]
kümeleri birer boş kümedir.
Gerçekten \(x^2 + 1 = 0\) denkleminin gerçel kökü yoktur; \(x^2 - 2 = 0\) denkleminin kökleri ise \(\pm\sqrt{2}\) olup \(\sqrt{2}\) irrasyonel olduğundan bu kökler \(\mathbb{Q}\)’da bulunmaz.
\(\{\varnothing\}\) kümesi bir öğeli bir kümedir (öğesi boş kümedir); oysa \(\varnothing\) hiç öğesi olmayan kümedir. Bu ikisi boş küme ile karıştırılmamalıdır:
\[\{\varnothing\} \neq \varnothing\]
Aynı şekilde \(|\varnothing| = 0\) iken \(\big|\{\varnothing\}\big| = 1\)’dir. Boş bir kutu ile içinde boş bir kutu bulunan kutu farklı şeylerdir.
Teorem 15.1 (Boş Küme Her Kümenin Alt Kümesidir) Herhangi bir \(A \subseteq \mathcal{E}\) için \(\varnothing \subseteq A\)’dır. Eğer \(A \neq \varnothing\) ise, bu durumda \(\varnothing \subset A\)’dır.
İspat
İlk kısmı çelişki ile ispat yöntemini kullanarak kanıtlayalım.
Kabul edelim ki \(\varnothing \nsubseteq A\) olsun. Bu durumda alt küme olmama ölçütü gereği öyle bir \(x \in \mathcal{E}\) vardır ki
\[x \in \varnothing \quad \text{ve} \quad x \notin A\]
sağlanır. Ancak \(\varnothing\) hiçbir öğe içermediğinden \(x \in \varnothing\) olması mümkün değildir; bu bir çelişkidir. Böylece kabulümüz yanlıştır ve sonuç olarak \(\varnothing \subseteq A\)’dır.
İkinci kısım için ilk kısımdaki \(\varnothing \subseteq A\) bilgisini kullanalım. \(A \neq \varnothing\) olduğundan \(A\)’nın en az bir öğesi vardır; bu öğeye \(x\) diyelim. \(x \in A\) ve \(x \notin \varnothing\) olduğundan \(A\), \(\varnothing\)’de bulunmayan en az bir öğe içerir. Öz alt küme tanımı gereği \(\varnothing \subset A\)’dır.
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki örnekte hem \(A\) kümesinin hem de \(B\) kümesinin boş küme olduğunu söyledik. Bu iki küme boş kümenin yalnızca iki farklı ifadesi olup birden fazla boş küme vardır anlamına gelmemektedir.
Gerçekten \(A\) ve \(B\) gibi birden fazla boş küme olsa, Teorem 15.1 gereği \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq A\) olacağından, çift kapsama ölçütüne göre \(A = B\) bulunur.
Örnek 15.2 (Hangileri Boş Küme Değildir?) Aşağıdaki kümelerin hangileri boş küme değildir, belirleyiniz.
a) \(A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, \; 2x + 7 = 3\}\) b) \(B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, \; 3x + 5 = 9\}\)
c) \(C = \{x \mid x \in \mathbb{Q}, \; x^2 + 4 = 6\}\) d) \(D = \{x \mid x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 4 = 6\}\)
e) \(E = \{x \mid x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 3x + 3 = 0\}\) f) \(F = \{x \mid x \in \mathbb{C}, \; x^2 + 3x + 3 = 0\}\)
Çözüm
Bir kümenin boş olduğunu göstermek için istenen koşulu sağlayan değerin, kümenin tanımlandığı sayı kümesinde bulunmadığını göstermek gerekir.
a) \(2x + 7 = 3 \Rightarrow x = -2\). Ancak \(-2 \notin \mathbb{N}\)’dir. O hâlde \(A = \varnothing\).
b) \(3x + 5 = 9 \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}\). Ancak \(\dfrac{4}{3} \notin \mathbb{Z}\)’dir. O hâlde \(B = \varnothing\).
c) \(x^2 + 4 = 6 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\). Ancak \(\pm\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)’dur. O hâlde \(C = \varnothing\).
d) Aynı denklemin kökleri \(\mathbb{R}\)’de bulunur:
\[D = \left\{-\sqrt{2}, \; \sqrt{2}\right\} \neq \varnothing\]
e) \(x^2 + 3x + 3 = 0\) denkleminin diskriminantı
\[\Delta = b^2 - 4ac = 9 - 12 = -3 < 0\]
olduğundan gerçel kök yoktur. O hâlde \(E = \varnothing\).
f) Aynı denklemi karmaşık sayılarda çözelim. Tam kareye tamamlayalım:
\[\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4} = \frac{3}{4}i^2 \;\Longrightarrow\; x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
Buradan
\[F = \left\{-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \;\; -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right\} \neq \varnothing\]
Sonuç. Yalnızca \(D\) ve \(F\) kümeleri boş küme değildir.
\(\blacksquare\)
\((c)\)–\((d)\) ve \((e)\)–\((f)\) çiftleri aynı denklemi farklı sayı kümelerinde çözmektedir. Bir kümenin boş olup olmaması, tanımlandığı evrensel kümeye bağlıdır; denklemin kendisine değil.
15.2 Kuvvet Kümesi
Tanım 15.2 (Kuvvet Kümesi) Herhangi bir \(A \subseteq \mathcal{E}\) için, \(A\) kümesinin bütün alt kümelerinden oluşan kümeye \(A\) kümesinin kuvvet kümesi denir ve \(P(A)\) ile gösterilir.
Örnek 15.3 \(A = \{1, 2, 3\}\) kümesinin kuvvet kümesi
\[P(A) = \Big\{\varnothing, \; \{1\}, \; \{2\}, \; \{3\}, \; \{1,2\}, \; \{1,3\}, \; \{2,3\}, \; \underbrace{\{1,2,3\}}_{A}\Big\}\]
biçimindedir; sekiz öğesi vardır.
Örnek 15.4 (Boş Küme İçeren Kuvvet Kümeleri) \(A = \varnothing\) ise \(P(A) = \{\varnothing\}\)’dir.
\(B = \big\{\varnothing, \{\varnothing\}\big\}\) ise \(P(B)\) kümesini yazınız ve \(B\) ile ilgili kapsama–öğelik ilişkilerini belirleyiniz.
Çözüm
\(B\) kümesinin iki öğesi vardır: \(\varnothing\) ve \(\{\varnothing\}\). Buna göre
\[P(B) = \Big\{\varnothing, \; \{\varnothing\}, \; \big\{\{\varnothing\}\big\}, \; \underbrace{\big\{\varnothing, \{\varnothing\}\big\}}_{B}\Big\}\]
biçimindedir. Buradan \(\varnothing\), \(\{\varnothing\}\) ve \(\big\{\{\varnothing\}\big\}\) kümeleri birbirinden farklıdır.
Aşağıdaki ilişkilerin hepsi geçerlidir:
| İlişki | Gerekçe |
|---|---|
| \(\varnothing \subseteq B\) | boş küme her kümenin alt kümesidir |
| \(\varnothing \subset B\) | \(B \neq \varnothing\) olduğundan kapsama özdür |
| \(\varnothing \in B\) | \(\varnothing\), \(B\)’nin listelenmiş bir öğesidir |
| \(\{\varnothing\} \subset B\) | tek öğesi olan \(\varnothing\), \(B\)’ye aittir; \(\{\varnothing\} \neq B\) |
| \(\{\varnothing\} \in B\) | \(\{\varnothing\}\), \(B\)’nin listelenmiş bir öğesidir |
| \(\big\{\{\varnothing\}\big\} \subseteq B\) | tek öğesi olan \(\{\varnothing\}\), \(B\)’ye aittir |
| \(\big\{\{\varnothing\}\big\} \notin B\) | \(B\)’nin öğeleri yalnızca \(\varnothing\) ve \(\{\varnothing\}\)’dir |
| \(\big\{\{\varnothing\}\big\} \in P(B)\) | \(B\)’nin bir alt kümesidir |
\(\blacksquare\)
Kuvvet kümesinin tanımı gereği
\[X \subseteq A \;\Longleftrightarrow\; X \in P(A)\]
denkliği her zaman geçerlidir. Bu, kapsama sorularını öğelik sorularına çevirmenin kısa yoludur: son satırda \(\big\{\{\varnothing\}\big\} \subseteq B\) olduğu için \(\big\{\{\varnothing\}\big\} \in P(B)\) yazabildik.
15.3 Nicelik Sayısı
Tanım 15.3 (Nicelik Sayısı) Bir \(A\) kümesinin öğelerinin sayısına \(A\) kümesinin nicelik sayısı denir ve \(|A|\) ile gösterilir.
Bir kümenin öğeleri sayılabiliyorsa sayma sonucunda elde edilen sayı o kümenin nicelik sayısı olur. Ancak kümelerin çoğunun öğeleri sayılabilir değildir. Böyle olsa bile, her kümenin öğelerinin sayısını belirtmek için aşağıdaki aksiyomu varsayacağız.
Her kümenin bir ve yalnız bir nicelik sayısı vardır. Sayılabilen bir kümenin nicelik sayısı, kümenin öğelerinin sayısıdır.
Tanım 15.4 (Sonlu ve Sonsuz Küme) Nicelik sayısı bir doğal sayıya eşit olan kümeye sonlu küme denir. Sonlu olmayan kümeye sonsuz küme denir.
Örnek 15.5 \[A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \qquad B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} = \{1, 2\}, \qquad \varnothing\]
kümeleri birer sonlu küme iken \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\) kümeleri sonsuz kümelerdir.
Teorem 15.2 (Kuvvet Kümesinin Nicelik Sayısı) \(|A| = n\) ise \(|P(A)| = 2^n\)’dir.
Bu teoremin ispatı tümevarım yöntemi ile yapılabilir. Tümevarım yöntemini daha sonra ele alacağımız için teoremi şimdilik ispatlamadan ifade ediyoruz.
Sezgisel gerekçe şudur: bir alt küme kurarken \(A\)’nın her öğesi için “alırım / almam” biçiminde iki bağımsız seçim yaparız. \(n\) öğe için toplam seçim sayısı \(2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^n\)’dir.
Örnek 15.6 Yukarıdaki \(A = \{1, 2, 3\}\) kümesinin nicelik sayısı \(|A| = 3\) ve kuvvet kümesinin nicelik sayısı
\[|P(A)| = 2^3 = 8\]
olup gerçekten \(P(A)\)’da sekiz küme listelenmiştir.
15.4 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 15.7 (Boş Küme ile İlgili Önermeler) Aşağıdaki önermelerden hangilerinin doğru olduğunu belirleyiniz.
a) \(\varnothing \in \varnothing\) b) \(\varnothing \subset \varnothing\) c) \(\varnothing \subseteq \varnothing\) d) \(\varnothing \in \{\varnothing\}\) e) \(\varnothing \subset \{\varnothing\}\)
Çözüm
a) \(\varnothing\) hiçbir öğe içermediğinden hiçbir şey ona ait olamaz. Yanlış.
b) Öz alt küme olmak için \(\varnothing\)’in, \(\varnothing\)’de bulunmayan bir öğe içermesi gerekirdi. Yanlış.
c) Teorem 15.1 gereği boş küme her kümenin, özel olarak kendisinin de alt kümesidir. Doğru.
d) \(\{\varnothing\}\) kümesinin tek öğesi \(\varnothing\)’dir. Doğru.
e) \(\varnothing \subseteq \{\varnothing\}\)’dir; ayrıca \(\{\varnothing\} \neq \varnothing\) olduğundan kapsama özdür. Doğru.
\(\blacksquare\)
Örnek 15.8 (Kuvvet Kümesi ve Nicelik Sayısı) Aşağıda verilen kümeler için \(P(A)\) ve \(|P(A)|\) değerlerini belirleyiniz.
a) \(A = \big\{1, \{1,4\}\big\}\) b) \(B = \Big\{\big\{\{\varnothing\}\big\}, \; \{\pi\}, \; \pi\Big\}\) c) \(C = \big\{0, \, \varnothing, \, \{\varnothing\}\big\}\)
Çözüm
a) \(A\)’nın iki öğesi vardır: \(1\) ve \(\{1,4\}\). O hâlde \(|P(A)| = 2^2 = 4\) ve
\[P(A) = \Big\{\varnothing, \; \{1\}, \; \big\{\{1,4\}\big\}, \; \underbrace{\big\{1, \{1,4\}\big\}}_{A}\Big\}\]
b) \(B\)’nin üç öğesi vardır: \(\big\{\{\varnothing\}\big\}\), \(\{\pi\}\) ve \(\pi\). O hâlde \(|P(B)| = 2^3 = 8\) ve
\[P(B) = \Big\{\varnothing, \;\; \Big\{\big\{\{\varnothing\}\big\}\Big\}, \;\; \big\{\{\pi\}\big\}, \;\; \{\pi\}, \;\; \Big\{\big\{\{\varnothing\}\big\}, \{\pi\}\Big\}, \;\; \Big\{\big\{\{\varnothing\}\big\}, \pi\Big\}, \;\; \big\{\{\pi\}, \pi\big\}, \;\; B\Big\}\]
c) \(C\)’nin üç öğesi vardır: \(0\), \(\varnothing\) ve \(\{\varnothing\}\). O hâlde \(|P(C)| = 2^3 = 8\) ve
\[P(C) = \Big\{\varnothing, \;\; \{0\}, \;\; \{\varnothing\}, \;\; \big\{\{\varnothing\}\big\}, \;\; \{0, \varnothing\}, \;\; \big\{0, \{\varnothing\}\big\}, \;\; \big\{\varnothing, \{\varnothing\}\big\}, \;\; C\Big\}\]
\(\blacksquare\)
\((c)\) şıkkında \(\varnothing\) hem \(P(C)\)’nin birinci öğesidir (çünkü \(\varnothing \subseteq C\)), hem de \(\{\varnothing\}\) öğesinin içinde görünür (çünkü \(\varnothing \in C\) olduğundan \(\{\varnothing\} \subseteq C\)).
Bu ikisi karıştırılmamalıdır: birincisi “\(C\)’nin boş alt kümesi”, ikincisi “\(C\)’nin \(\varnothing\) öğesinden oluşan tek öğeli alt kümesi”dir.
Örnek 15.9 (Kuvvet Kümesinin Kuvvet Kümesi) \(P\big(P(\{1\})\big)\) kümesini belirleyiniz ve bu kümenin eleman sayısını hesaplayınız.
Çözüm
\(A = \{1\}\) diyelim. \(|A| = 1\) olduğundan
\[|P(A)| = 2^1 = 2, \qquad P(A) = \big\{\varnothing, \{1\}\big\}\]
Şimdi \(P(A)\) iki öğeli bir küme olduğundan
\[\big|P\big(P(A)\big)\big| = 2^2 = 4\]
ve
\[P\big(P(A)\big) = \Big\{\varnothing, \;\; \{\varnothing\}, \;\; \big\{\{1\}\big\}, \;\; \underbrace{\big\{\varnothing, \{1\}\big\}}_{P(A)}\Big\}\]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Bir sonraki bölümde kümeler üzerindeki ilk iki işlemi, birleşim ve kesişimi ele alacağız.