1 Mantığa Giriş ve Temel Kavramlar
Mantık sözlüklerde “doğru düşünme sanatı veya bilimi”, “doğru düşünme yöntemi” ya da “gerçeği aramaya yönelik zihin işlemlerinden hangilerinin doğru hangilerinin yanlış olduğunu açıklayan ilkeleri yöntemli olarak inceleyen bilim” olarak tanımlanır.
Matematiğin temelleri dersinde mantığı bu geniş anlamıyla değil, matematiksel akıl yürütmenin dili olarak ele alacağız: hangi cümlelerin bir hüküm bildirdiğini, bu hükümlerin nasıl birleştirileceğini ve bir sonucun öncüllerinden gerçekten çıkıp çıkmadığını kesin kurallarla inceleyeceğiz.
1.1 Mantığın Kısa Tarihi
Mantığın bir bilim olarak Aristoteles tarafından kurulduğu kabul edilir. Aristoteles’ten önce de mantıksal düşünme konusunda çabalar ve dağınık bilgiler vardır; ancak mantığı sistemli bir bilgi alanı hâline getiren odur. Dolayısıyla Aristoteles, mantığı bulan değil, mantığı sistemli ve düzenli hâle getiren ilk kişidir.
Aristoteles’in mantık üzerine yazdığı altı kitap, kendisinden sonra Organon adı altında toplanmıştır:
- Kategoriler
- Önermeler (De Interpretatione)
- Birinci Analitikler
- İkinci Analitikler
- Topikler
- Sofistik Deliller
Orta Çağ boyunca Aristoteles mantığı batıda olduğu gibi doğuda da büyük önem taşımıştır. İslam dünyasında Aristoteles’in etkisi, Organon’un Arapçaya çevrilmesiyle başlamıştır. Önemli İslam mantıkçıları arasında Fârâbî, İbn-i Sînâ ve Râzî yer alır.
Aristoteles mantığı sıklıkla eleştirilse de tek araç olarak varlığını yüzyıllarca sürdürmüştür. Eleştirilerin en önemli gerekçesi şudur: bu mantık, öncüllerden tümdengelim (dedüktif) bir yolla yine öncüllerde zaten mevcut olan bilgiyi verir.
Örneğin “Bütün insanlar ölümlüdür” ve “Sokrates bir insandır” öncüllerinden “Sokrates ölümlüdür” sonucu çıkarılır. Oysa bu sonuç, aslında öncüllerin içerisinde zaten mevcuttur; akıl yürütme yeni bir bilgi üretmemiş, var olanı açığa çıkarmıştır.
19. yüzyılın ortalarında George Cantor, Bertrand Russell ve Gottlob Frege gibi matematikçi ve mantıkçıların çabalarıyla modern (sembolik, matematiksel) mantık oluşturulmuştur. Modern mantık, Aristoteles mantığına göre çok daha karmaşık çıkarımları ifade etme ve denetleme imkânı veren yeni bir sembolik dildir.
1.2 Matematiğin Temelleri Üzerine Üç Okul
20. yüzyılın başlarında matematiğin temellerinin ne olduğu üzerine yürütülen tartışmalar, üç okulun ortaya çıkmasını sağlamıştır.
Sezgicilik (intuitionism). “Sayılar ve genel olarak matematik, insan aklının bir ürünüdür; insan aklı olmasaydı onlar asla olmazdı” görüşünü savunur. Bu okul, matematiğin bir buluş değil bir icat olduğunu öne sürer. En büyük temsilcisi L. E. J. Brouwer’dır.
Biçimcilik (formalizm). Matematiğin bir dil olduğunu savunur. Temsilcisi David Hilbert’tir. Hilbert’e göre matematiksel önermeler, biçimsel mantık kuralları kullanılarak aksiyomlardan elde edilmelidir. Hilbert, Brouwer’ın aksine, matematikte gerçekliğin değil tutarlılığın önemli olduğunu savunmuştur.
Platonculuk (realizm). Sayıların, insan aklından bağımsız olarak var olan soyut varlıklar olduğunu savunur. Matematik insan aklının bir icadı değil, bir buluşudur; yani nesneler önceden vardır, insanlar sonradan fark etmiştir. Bu okulun en önemli temsilcisi Kurt Gödel’dir.
1.3 Temel Tanım ve Kavramlar
Bu bölümde hem bu derste hem de genel olarak matematik biliminde sıklıkla kullanılan temel terimleri belirliyoruz.
Tanım 1.1 (Tanım) Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirten veya açıklayan ifadeye tanım denir.
Tanım 1.2 (Öncül) Araştırılması gerekli olmayan, doğru olduğu varsayılan önermedir.
Tanım 1.3 (Aksiyom (Belit)) Bir tanım veya teori ile ilişkili olan bir öncüldür. Diğer bir ifadeyle, doğruluğu ispatlanmadan doğru olduğu kabul edilen önermelere aksiyom denir.
Aksiyom, diğer önermelerin en dayanağı sayılan temel önermedir.
Tanım 1.4 (Postülat) Belirli bir alana özgü olan, kanıtlanmasına veya ispatlanmasına gerek olmayan önermelerdir.
Tanım 1.5 (Teorem (Hipotez)) Mantık kuralları ile kanıtlanabilen/ispatlanabilen matematiksel önermelerdir.
Tanım 1.6 (Yardımcı Teorem (Lemma)) Bir teoremin ispatlanması için gerekli olan daha basit önermelerdir.
İspatlanması uzun ve karmaşık olan teoremler lemmalara bölünerek, lemmalar ispatlandıktan sonra ana teoremin ispatında bu lemmalara atıf yapılır. Böylelikle ana teoremin ispatını anlamak daha kolay bir hâle gelir.
- Sonuç (corollary): İspatlanmış bir teoremden neredeyse doğrudan, kısa bir akıl yürütmeyle elde edilen önermedir.
- Sanı (conjecture): Doğru olduğu düşünülen, ancak henüz ispatlanmamış önermedir. İspatlandığı anda teorem adını alır.
İkisi de ispatsız kabul edilir; aradaki fark kapsamdır. Aksiyom bütün matematiğe ortak, en genel kabuldür; postülat ise belirli bir alana (örneğin Öklid geometrisine) özgü kabuldür.
Modern matematikte bu ayrım büyük ölçüde silinmiş, her ikisi de “aksiyom” adıyla anılır olmuştur.
Bir sonraki bölümde bu kavramların üzerine kurulacağı en temel yapı taşını, yani önerme kavramını inceleyeceğiz.