4 Totoloji ve Çelişki
Önermeler cebirinde iki özel önerme vardır: bileşenleri ne olursa olsun daima doğru olan ve daima yanlış olan önermeler. Bunlar sayılardaki \(0\) ve \(1\)’in rolüne çok benzer bir iş görür ve sadeleştirme yaparken en çok başvurulan araçlardır.
4.1 Tanımlar
Tanım 4.1 (Totoloji) Bileşenlerinin bütün doğruluk değerleri için daima doğru (\(1\)) olan bileşik önermeye totoloji denir ve \(t\) ile gösterilir.
Tanım 4.2 (Çelişki) Bileşenlerinin bütün doğruluk değerleri için daima yanlış (\(0\)) olan bileşik önermeye çelişki denir ve \(c\) ile gösterilir.
Totoloji ve çelişki birer bileşik önermedir. Totolojinin doğruluk değeri daima \(1\), çelişkinin doğruluk değeri ise daima \(0\)’dır.
Bu yüzden hesaplarda \(t\) yerine \(1\), \(c\) yerine \(0\) yazmak serbesttir; iki gösterim de aynı anlama gelir.
4.2 Temel Örnek: \(p \vee p'\) ve \(p \wedge p'\)
Teorem 4.1 (Üçüncü Hâlin İmkânsızlığı) Her \(p\) önermesi için \(p \vee p'\) bir totoloji, \(p \wedge p'\) ise bir çelişkidir:
\[p \vee p' \equiv t, \qquad p \wedge p' \equiv c\]
İspat
Her iki önerme için de doğruluk tablosu iki satırdan oluşur:
| \(p\) | \(p'\) | \(p \vee p'\) | \(p \wedge p'\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
\(p \vee p'\) sütunu bütün satırlarda \(1\) olduğundan totoloji, \(p \wedge p'\) sütunu bütün satırlarda \(0\) olduğundan çelişkidir.
\(\blacksquare\)
Bu iki denklik ders boyunca sürekli kullanılacaktır. Sözle ifade edersek: bir önerme ile değilinden en az biri daima doğrudur, ikisi birden asla doğru olamaz.
4.3 \(t\) ve \(c\) ile İşlemler
Totoloji ve çelişki, “ve” ile “veya” işlemlerinde birbirinin zıddı roller üstlenir.
Teorem 4.2 (Etkisiz ve Yutan Elemanlar) Her \(a\) önermesi için aşağıdaki denklikler sağlanır:
| İşlem | Denklik | \(t\) ve \(c\)’nin rolü |
|---|---|---|
| “ve” | \(t \wedge a \equiv a \wedge t \equiv a\) | \(t\), “ve” işleminin etkisiz elemanıdır |
| “ve” | \(c \wedge a \equiv a \wedge c \equiv c\) | \(c\), “ve” işleminin yutan elemanıdır |
| “veya” | \(t \vee a \equiv a \vee t \equiv t\) | \(t\), “veya” işleminin yutan elemanıdır |
| “veya” | \(c \vee a \equiv a \vee c \equiv a\) | \(c\), “veya” işleminin etkisiz elemanıdır |
İspat
Dört denklik de iki satırlık doğruluk tablolarıyla görülür. \(t\) sütunu daima \(1\), \(c\) sütunu daima \(0\)’dır.
“Ve” işlemi için:
| \(t\) | \(a\) | \(t \wedge a\) | \(a \wedge t\) | \(c\) | \(a\) | \(c \wedge a\) | \(a \wedge c\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
İlk tabloda \(t \wedge a\) sütunu \(a\) sütunuyla, ikinci tabloda \(c \wedge a\) sütunu \(c\) sütunuyla çakışmaktadır.
“Veya” işlemi için:
| \(t\) | \(a\) | \(a \vee t\) | \(t \vee a\) | \(c\) | \(a\) | \(c \vee a\) | \(a \vee c\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
Burada da \(a \vee t\) sütunu \(t\) ile, \(c \vee a\) sütunu \(a\) ile çakışmaktadır.
\(\blacksquare\)
\(1\)’i “kesin doğru”, \(0\)’ı “kesin yanlış” diye okuyun:
- “Kesin doğru ve \(a\)” \(\to\) her şey \(a\)’ya bağlıdır \(\to\) \(a\).
- “Kesin yanlış ve \(a\)” \(\to\) zaten çökmüştür \(\to\) \(c\).
- “Kesin doğru veya \(a\)” \(\to\) zaten kazanılmıştır \(\to\) \(t\).
- “Kesin yanlış veya \(a\)” \(\to\) her şey \(a\)’ya bağlıdır \(\to\) \(a\).
4.4 Sadeleştirmede Kullanımı
Aşağıdaki iki örnek, bir bileşik önermenin totoloji olduğunu doğruluk tablosu kurmadan, yalnızca cebirsel özelliklerle nasıl gösterebileceğimizi anlatıyor. Aynı teknik bir sonraki bölümde çok daha karmaşık ifadelerde kullanılacak.
Örnek 4.1 (Cebirsel Yolla Totoloji Göstermek) \(\big[(p \wedge q) \vee (p \wedge q')\big] \vee p'\) bileşik önermesinin bir totoloji olduğunu, önermeler cebirinin özelliklerini kullanarak ispat ediniz.
Çözüm
\[ \begin{aligned} \big[(p \wedge q) \vee (p \wedge q')\big] \vee p' &\equiv \big[p \wedge (q \vee q')\big] \vee p' && \text{(dağılma, ters yönde)} \\[2pt] &\equiv (p \wedge t) \vee p' && \text{($q \vee q' \equiv t$)} \\[2pt] &\equiv p \vee p' && \text{($t$, "ve"nin etkisiz elemanı)} \\[2pt] &\equiv t \end{aligned} \]
O hâlde verilen önerme bir totolojidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.2 (En Sade Hâle Getirme) \(p \equiv (a \vee b) \wedge a'\) bileşik önermesini, işlem özelliklerinden faydalanarak en sade hâle getiriniz.
Çözüm
\[ \begin{aligned} p &\equiv (a \vee b) \wedge a' \\[2pt] &\equiv (a \wedge a') \vee (b \wedge a') && \text{($\wedge$'nin $\vee$ üzerine dağılması)} \\[2pt] &\equiv c \vee (b \wedge a') && \text{($a \wedge a' \equiv c$)} \\[2pt] &\equiv b \wedge a' && \text{($c$, "veya"nın etkisiz elemanı)} \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Örnek 4.3 (Bir ve Sıfır İçeren İfade) Her \(p\) önermesi için
\[\big[(1 \wedge p') \vee (p \wedge p')\big] \vee p\]
önermesini en sade hâlde yazınız.
Çözüm
\[ \begin{aligned} \big[(1 \wedge p') \vee (p \wedge p')\big] \vee p &\equiv (p' \vee c) \vee p && \text{($1 \wedge p' \equiv p'$, $\; p \wedge p' \equiv c$)} \\[2pt] &\equiv p' \vee p && \text{($c$, "veya"nın etkisiz elemanı)} \\[2pt] &\equiv t \end{aligned} \]
Verilen önerme bir totolojidir.
\(\blacksquare\)
Bir bileşik önermeyi sadeleştirdiğinizde üç sonuçtan biri çıkar:
- \(t\) (veya \(1\)) çıkarsa önerme bir totolojidir.
- \(c\) (veya \(0\)) çıkarsa önerme bir çelişkidir.
- \(q' \vee p\) gibi hâlâ değişken içeren bir ifade çıkarsa önerme ikisi de değildir; doğruluk değeri bileşenlere bağlıdır.
Üçüncü durum bir hata değildir; çoğu bileşik önerme bu sınıfa girer.
Bir sonraki bölümde, bileşik bir önermenin değilini almanın kuralını, yani De Morgan kurallarını inceleyeceğiz.