8 Niceleme Mantığı: Açık Önermeler ve Niceleyiciler
Şimdiye kadar incelediğimiz bütün önermelerin doğruluk değeri sabitti. Oysa matematiğin gerçek cümleleri neredeyse hep değişken içerir: “\(x^2 \geq 0\) dır”, “\(n\) bir asal sayıdır” gibi. Bu bölümde değişken içeren ifadeleri önerme hâline getiren araçları, yani niceleyicileri inceliyoruz.
8.1 Açık Önerme
“\(x + 1\) bir doğal sayıdır” cümlesini ele alalım. Bu cümle ilk bakışta önerme tanımındaki şartları gerçeklememektedir. Çünkü \(x\)’in tam sayılar üzerinde değişmekte olduğunu kabul edersek bu ifade
- \(x \geq -1\) değerleri için doğru hüküm,
- \(x < -1\) değerleri için yanlış hüküm
bildirir. Bu şekildeki ifadelere açık önerme denir.
Tanım 8.1 (Açık Önerme) \(p\) hüküm bildiren bir cümle olsun. Eğer
a) \(p\), en az bir değişken içeriyorsa,
b) \(p\) bir önerme değil, fakat
c) değişkenlerin alabileceği değerler için önerme oluyor ise
\(p\)’ye açık önerme denir.
Tek değişkenli açık önermeler \(p(x), q(x), r(x)\) vb. şeklinde gösterilir. Benzer şekilde çok değişkenli açık önermeler, gerçel değerli fonksiyonlar gibi \(p(x, y)\) biçiminde gösterilebilir.
\(p(x): x + 1 \text{ bir doğal sayıdır}\) ifadesinin doğruluk değeri yoktur; ancak \(x\) yerine somut bir değer konulduğunda (\(p(3)\), \(p(-5)\) gibi) bir önerme elde edilir ve doğruluk değeri ortaya çıkar.
Açık bir önermeyi önermeye çevirmenin ikinci yolu ise değişkeni bir niceleyici ile bağlamaktır; bu bölümün konusu budur.
8.2 Niceleyiciler
Aşağıdaki cümlelere bakalım:
- “Bazı paralelkenarlar dikdörtgendir.”
- “En az bir \(x\) gerçel sayısı için \(x\)’in karesi kendisine eşittir.”
- “Her dikdörtgen bir karedir.”
Önermelerde olduğu gibi matematik dilinde de “bazı”, “en az bir”, “her” deyimleri kullanılır. Çokluk bildiren bu deyimlerden en anlamlı olanlar ayrılıp birer sembolle gösterilebilir.
Evrensel Niceleyici
Tanım 8.2 (Evrensel Niceleyici (Bildirici)) “Her” deyimi; “bütün”, “hepsi”, “ne olursa olsun” deyimleri ile eş anlamlıdır ve \(\forall\) ile gösterilir. Bu ifadeye evrensel niceleyici (bildirici) adı verilir.
Örnek 8.1 “Her \(x\) gerçel sayısı için \(x\)’in mutlak değeri kendisine eşittir” önermesi; “Bütün \(x\) gerçel sayıları için \(|x| = x\) dir” veya “\(x\) gerçel sayısı ne olursa olsun \(|x| = x\) dir” önermelerine eşittir.
Kısaca bu önerme
\[\forall x \in \mathbb{R}, \;\; |x| = x\]
şeklinde ifade edilir.
\(x\) değişkenine bağlı bir açık önerme \(p(x)\) ile gösterilirse, evrensel niceleyici içeren bir önerme
\[\forall x, \; p(x)\]
şeklinde yazılır ve “Her \(x\) için \(p(x)\) gerçeklenir” ya da “Her \(x\) için \(p(x)\) doğrudur” şeklinde ifade edilir.
Varlık Niceleyicisi
Tanım 8.3 (Varlık Niceleyicisi (Bildirici)) Matematikte “bazı” deyimini “en az bir var” veya “hiç olmazsa bir var” anlamında kullanırız. “Bazı” deyimi \(\exists\) ile gösterilir ve varlık bildirici veya varlık niceleyicisi olarak ifade edilir.
Örnek 8.2 \(x\) gerçel sayı olmak üzere, “Bazı \(x\) sayıları için \(x^2 = x\) dir” önermesi, “En az bir \(x\) gerçel sayısı vardır ki \(x^2 = x\) dir” şeklinde ifade edilebilir.
Bu önermeyi kısaca
\[\exists x \in \mathbb{R} \ni x^2 = x\]
şeklinde ifade edebiliriz.
Varlık bildirici içeren açık önermelerde, varlık bildirici sembolünden sonra genellikle \(\ni\) sembolü kullanılır ve bu sembolün önermeye kattığı anlam “öyle ki” ifadesidir:
\[\exists x \in \mathbb{R} \ni x^2 = x\]
\(x\) değişkenine bağlı bir açık önerme \(p(x)\) ile gösterilirse, varlık bildirici kapsayan önermeyi \(\exists x, \; p(x)\) veya \(\exists x \ni p(x)\) şeklinde gösteririz.
8.3 Niceleyici İçeren Önermelerin Doğruluğu
\(p(x)\) önerme fonksiyonunu sağlayan, diğer bir ifadeyle doğru kılan bütün \(x\)’ler, \(x\)’in tanımlandığı kümeye eşitse “\(\forall x, \; p(x)\) dir” önermesi doğrudur.
Başka bir ifadeyle \(x\)’in tanımlandığı kümedeki bütün \(x\) değerleri \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ise, \(p(x_1), p(x_2), \dots, p(x_n)\) aynı anda doğru olduğunda “\(\forall x, \; p(x)\)” önermesi doğru olur:
\[\forall x, \; p(x) \;\equiv\; p(x_1) \wedge p(x_2) \wedge \cdots \wedge p(x_n)\]
\(x\)’in tanımlandığı kümenin en az bir değeri için \(p(x)\) doğru oluyorsa “\(\exists x, \; p(x)\)” önermesi doğrudur. Hiçbiri doğru değilse yanlıştır:
\[\exists x, \; p(x) \;\equiv\; p(x_1) \vee p(x_2) \vee \cdots \vee p(x_n)\]
Bu iki denklik, niceleyicilerin ne olduğunu tek cümlede anlatır: \(\forall\) uzun bir “ve” zinciri, \(\exists\) ise uzun bir “veya” zinciridir.
Bu yüzden değilleme kuralları da De Morgan kurallarının doğrudan genellemesi olacaktır.
Örnek 8.3 (Evrensel Önermelerin Doğruluk Değerleri) a) \(\forall x \in \mathbb{R}, \; |x| = x\) b) \(\forall x \in \mathbb{R}, \; (x+1)(x-1) = x^2 - 1\)
Çözüm
a) \(x = -1\) için \(|-1| = 1 \neq -1\)’dir. Bir tek karşı örnek yeterlidir; önerme yanlıştır (doğruluk değeri \(0\)).
b) Çarpanları açarsak her \(x\) gerçel sayısı için \((x+1)(x-1) = x^2 - 1\) olduğu görülür. Önerme doğrudur (doğruluk değeri \(1\)).
\(\blacksquare\)
Örnek 8.4 (Varlık Önermelerinin Doğruluk Değerleri) a) \(\exists x \in \mathbb{R} \ni x^2 + 1 = 0\) b) \(\exists x \in \mathbb{R} \ni x^2 = x\)
Çözüm
a) \(x^2 + 1 = 0\) denkleminin diskriminantı
\[\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4 < 0\]
olduğundan gerçel kök yoktur. Yani \(x^2 = -1\) eşitliğini sağlayan bir gerçel sayı bulunmaz; önerme yanlıştır.
b) \(x = 1 \in \mathbb{R}\) için \(1^2 = 1\) olduğundan önerme doğrudur. (\(x = 0\) da bir örnektir.)
\(\blacksquare\)
Bir evrensel önermeyi çürütmek için tek bir karşı örnek yeter; ispatlamak için bütün değerlerin sağladığını göstermek gerekir.
Bir varlık önermesini ispatlamak için tek bir örnek yeter; çürütmek için hiçbir değerin sağlamadığını göstermek gerekir.
8.4 Niceleyici İçeren Önermelerin Değillenmesi
Teorem 8.1 (Niceleyicilerin Değillenmesi) \[\big[\forall x, \; p(x)\big]' \equiv \exists x, \; \big[p(x)\big]' \qquad\qquad \big[\exists x, \; p(x)\big]' \equiv \forall x, \; \big[p(x)\big]'\]
İspat
\(x\) değerleri \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\) kümesinden alınıyor olsun.
Evrensel niceleyici için:
\[ \begin{aligned} \big[\forall x, \; p(x)\big]' &\equiv \big[p(x_1) \wedge p(x_2) \wedge \cdots \wedge p(x_n)\big]' \\[2pt] &\equiv p'(x_1) \vee p'(x_2) \vee \cdots \vee p'(x_n) && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv \exists x, \; p'(x) \end{aligned} \]
Varlık niceleyicisi için:
\[ \begin{aligned} \big[\exists x, \; p(x)\big]' &\equiv \big[p(x_1) \vee p(x_2) \vee \cdots \vee p(x_n)\big]' \\[2pt] &\equiv p'(x_1) \wedge p'(x_2) \wedge \cdots \wedge p'(x_n) && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv \forall x, \; p'(x) \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Kısaca: değil işareti niceleyicinin içine girerken niceleyiciyi çevirir. “Her” ile “en az bir” yer değiştirir.
Örnek 8.5 (İfade Etme, Doğruluk ve Değilleme) Aşağıdaki önermeleri ifade ediniz, doğruluklarını belirtiniz ve değillerini yazınız.
a) \(\forall x \in \mathbb{R}, \; \sqrt{x^2} = x\) b) \(\exists x \in \mathbb{R} \ni x^2 - 3x + 2 > 0\)
Çözüm
a) “Her \(x\) gerçel sayısı için \(x\)’in karesinin karekökü kendisine eşittir.”
\(x \geq 0\) değerleri için sağlanıyor, fakat \(x < 0\) değerleri için sağlanmıyor (örneğin \(x = -2\) için \(\sqrt{4} = 2 \neq -2\)). Bu nedenle yanlıştır.
Değili:
\[\exists x \in \mathbb{R} \ni \sqrt{x^2} \neq x\]
ve bu önerme doğrudur.
b) “En az bir \(x\) gerçel sayısı vardır öyle ki karesinden üç katını çıkarıp iki eklediğimizde sıfırdan büyük olur.”
\(x = 0 \in \mathbb{R}\) için \(p(0) = 0 - 0 + 2 = 2 > 0\) olduğundan önerme doğrudur.
Değili:
\[\forall x \in \mathbb{R}, \;\; x^2 - 3x + 2 \leq 0\]
\(\blacksquare\)
Örnek 8.6 (Bileşik Nicelenmiş Önerme) \[\Big[\big(\forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 1 \geq 2x\big) \;\vee\; \big(\exists y \in \mathbb{R} \ni y^2 + 1 = 0\big)\Big]\]
önermesini ifade ediniz, doğruluk değerini belirleyiniz ve değilini alınız.
Çözüm
İfade. “Her \(x\) gerçel sayısı için \(x\)’in karesinin bir fazlası, \(x\)’in iki katından büyük ve eşittir; veya en az bir \(y\) gerçel sayısı vardır öyle ki \(y\)’nin karesinin bir fazlası sıfıra eşit olur.”
Doğruluk değeri. “\(\vee\)” işlemi olduğu için en az birinin doğru olması, önermenin doğru olması için yeterlidir.
Birinci bileşeni inceleyelim. Her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[x^2 + 1 \geq 2x \;\Longleftrightarrow\; x^2 - 2x + 1 \geq 0 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^2 \geq 0\]
Bir gerçel sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşit olduğundan birinci bileşen doğrudur.
İkinci bileşende \(y^2 = -1\) olmalıdır; bunu sağlayan bir gerçel sayı yoktur, yani ikinci bileşen yanlıştır.
O hâlde \(1 \vee 0 \equiv 1\); verilen önerme doğrudur.
Değili.
\[ \begin{aligned} &\Big[\big(\forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 1 \geq 2x\big) \vee \big(\exists y \in \mathbb{R} \ni y^2 + 1 = 0\big)\Big]' \\[4pt] &\equiv \big(\forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 1 \geq 2x\big)' \wedge \big(\exists y \in \mathbb{R} \ni y^2 + 1 = 0\big)' && \text{(De Morgan)} \\[4pt] &\equiv \big(\exists x \in \mathbb{R} \ni x^2 + 1 < 2x\big) \wedge \big(\forall y \in \mathbb{R}, \; y^2 + 1 \neq 0\big) \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki \((a)\) bileşeninde \(x = 0\) koyup \(1 \geq 0\) sonucunu görmek, önermenin doğru olduğunu ispatlamaz; yalnızca o tek değer için sağlandığını gösterir.
\(\forall\) ile başlayan bir önermeyi doğrulamak için bütün \(x\) değerlerini kapsayan bir akıl yürütme gerekir — burada bunu \((x-1)^2 \geq 0\) eşitsizliğiyle yaptık. Tek bir değer, ancak önermeyi çürütmek için (karşı örnek olarak) yeterlidir.
8.5 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 8.7 (Üç Açık Önerme) \(p(x) := x \leq 3\), \(q(x) := x + 1 \text{ bir tek tam sayıdır}\), \(r(x) := x > 0\) şeklinde tam sayılar üzerinde tanımlı açık önermeler olsun.
a) Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini belirleyiniz.
i) \(p(3) \vee \big[q(3) \vee (r(3))'\big]\) ii) \(p(2) \Rightarrow \big[q(2) \Rightarrow (r(2))'\big]\)
iii) \(\big[p(2) \wedge q(2)\big] \Rightarrow r(2)\) iv) \(p(0) \Rightarrow \big[(q(-1))' \Leftrightarrow r(1)\big]\)
b) \(\big[p(x) \wedge q(x)\big] \wedge r(x)\) önermesini doğru yapacak şekilde tüm \(x\) değerlerini belirleyiniz.
Çözüm
a) i) \(p(3): 3 \leq 3\) doğru \(\to 1\). \(q(3): 4\) tek değildir \(\to 0\). \(r(3): 3 > 0\) doğru \(\to 1\), dolayısıyla \((r(3))' \to 0\).
\[1 \vee (0 \vee 0) \equiv 1 \vee 0 \equiv 1\]
Doğruluk değeri \(1\)’dir.
ii) \(p(2): 2 \leq 3 \to 1\). \(q(2): 3\) tektir \(\to 1\). \(r(2): 2 > 0 \to 1\), dolayısıyla \((r(2))' \to 0\).
\[1 \Rightarrow (1 \Rightarrow 0) \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0\]
Doğruluk değeri \(0\)’dır.
iii)
\[(1 \wedge 1) \Rightarrow 1 \equiv 1 \Rightarrow 1 \equiv 1\]
Doğruluk değeri \(1\)’dir.
iv) \(p(0): 0 \leq 3 \to 1\). \(q(-1): -1 + 1 = 0\) tek değildir \(\to 0\), dolayısıyla \((q(-1))' \to 1\). \(r(1): 1 > 0 \to 1\).
\[1 \Rightarrow (1 \Leftrightarrow 1) \equiv 1 \Rightarrow 1 \equiv 1\]
Doğruluk değeri \(1\)’dir.
b) \(p(x) \wedge r(x)\) koşulu \(0 < x \leq 3\) demektir; tam sayılarda \(x \in \{1, 2, 3\}\) olur. Ayrıca \(q(x)\)’in de doğru olması, yani \(x + 1\)’in tek tam sayı olması gerekir; bu da \(x\)’in çift olmasını gerektirir.
O hâlde \(x = 2\) olmalıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.8 (x² = 2x Açık Önermesi) Evrenimiz tam sayılar olmak üzere \(p(x) := x^2 = 2x\) açık önermesini göstersin. Aşağıdaki önermelerin doğru ya da yanlış olduğunu belirleyiniz.
a) \(p(0)\) b) \(p(1)\) c) \(p(2)\) d) \(p(-2)\) e) \(\exists x, \; p(x)\) f) \(\forall x, \; p(x)\)
Çözüm
a) \(0^2 = 0\) ve \(2 \cdot 0 = 0\); doğru.
b) \(1^2 = 1\) fakat \(2 \cdot 1 = 2\); yanlış.
c) \(2^2 = 4\) ve \(2 \cdot 2 = 4\); doğru.
d) \((-2)^2 = 4\) fakat \(2 \cdot (-2) = -4\); yanlış.
e) \(x = 0\) için \(p(0)\) doğru olduğundan, \(p(x)\)’i doğru kılan en az bir \(x\) vardır; doğru.
f) \(x = 5\) için \(p(5)\) yanlıştır; her \(x\) için \(p(x)\) doğru değildir. Yanlış.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.9 (Sembolik Yazım ve Yorumlama) Tam sayılar üzerinde tanımlı aşağıdaki açık önermeler verilsin:
\[p(x) := x > 0, \qquad q(x) := x \text{ bir çift tam sayıdır}, \qquad r(x) := x \text{ bir tam karedir}\]
\[s(x) := x, \; 4 \text{ ile tam bölünür}, \qquad t(x) := x, \; 5 \text{ ile tam bölünür}\]
a) Aşağıdaki önermeleri sembolik olarak yazınız.
i) En az bir tam sayı çifttir. ii) Çift bir pozitif tam sayı vardır. iii) Eğer \(x\) bir çift tam sayı ise \(5\) ile bölünmez. iv) \(5\) ile bölünen bir çift tam sayı yoktur. v) Eğer \(x\) bir çift tam sayı ve tam kare ise, o zaman \(x\), \(4\) ile tam bölünür.
b) \((a)\) şıkkında verilen önermelerin doğru ya da yanlış olduğunu belirleyiniz. Yanlış önerme için aksine bir örnek veriniz.
c) Aşağıdaki sembolik temsillerin her birini kelimelerle ifade ediniz.
i) \(\forall x, \; r(x) \Rightarrow p(x)\) ii) \(\forall x, \; s(x) \Rightarrow q(x)\) iii) \(\forall x, \; s(x) \wedge p(x)\)
Çözüm
a) i) \(\exists x, \; q(x)\)
ii) \(\exists x, \; \big(p(x) \wedge q(x)\big)\)
iii) \(\forall x, \; q(x) \Rightarrow \big(t(x)\big)'\)
iv) \(\Big[\exists x, \; \big(q(x) \wedge t(x)\big)\Big]' \equiv \forall x, \; \Big(\big(q(x)\big)' \vee \big(t(x)\big)'\Big)\)
v) \(\forall x, \; \big[q(x) \wedge r(x)\big] \Rightarrow s(x)\)
b) i) Doğru (\(x = 2\)).
ii) Doğru (\(x = 2\)).
iii) Yanlış; \(x = 10\) çifttir ve \(5\) ile bölünür.
iv) Yanlış; \(x = 10\) hem çift hem \(5\) ile bölünür, yani böyle bir sayı vardır.
v) Doğru. Gerçekten, \(x = 2k\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) ve \(x = m^2\) (\(m \in \mathbb{Z}\)) olsun. \(m^2 = 2k\) olduğundan \(m^2\) çifttir. \(2\) asal sayı olduğu için \(m\) de çifttir; o hâlde \(m = 2s\) (\(s \in \mathbb{Z}\)) yazılabilir. Buradan
\[x = m^2 = (2s)^2 = 4s^2, \qquad s^2 \in \mathbb{Z}\]
bulunur; yani \(x\), \(4\) ile tam bölünür.
c) i) “Her \(x\) tam sayısı için, eğer \(x\) bir tam kare ise \(x\) pozitiftir.”
ii) “Her \(x\) tam sayısı için, eğer \(x\), \(4\) ile tam bölünüyorsa \(x\) bir çift tam sayıdır.”
iii) “Her \(x\) tam sayısı hem \(4\) ile tam bölünür hem de pozitiftir.”
\(\blacksquare\)
\((c)\) şıkkının son iki maddesi bu farkı iyi gösterir:
- \(\forall x, \; \big(s(x) \Rightarrow p(x)\big)\): “\(4\) ile bölünen her sayı pozitiftir.” — yalnızca \(4\)’ün katları hakkında bir iddiadır.
- \(\forall x, \; \big(s(x) \wedge p(x)\big)\): “Her tam sayı hem \(4\) ile bölünür hem pozitiftir.” — bütün tam sayılar hakkında bir iddiadır ve \(x = 3\) yüzünden yanlıştır.
Koşullu önermede öncül yanlışsa ifade doğru sayılır; “ve” ise her iki tarafın da sağlanmasını ister.
Örnek 8.10 (Denklem Kökleriyle Niceleyiciler) \(p(x), q(x), r(x)\) aşağıda verilen açık önermeler olsun:
\[p(x) := x^2 - 7x + 10 = 0, \qquad q(x) := x^2 - 2x - 3 = 0, \qquad r(x) := x < 0\]
Tam sayılar üzerinde aşağıda verilen önermelerin doğru ya da yanlış olduğunu belirleyiniz.
i) \(\forall x, \; p(x) \Rightarrow \big(r(x)\big)'\) ii) \(\forall x, \; q(x) \Rightarrow r(x)\)
iii) \(\exists x, \; q(x) \Rightarrow r(x)\) iv) \(\exists x, \; p(x) \Rightarrow r(x)\)
Çözüm
Önce açık önermeleri çarpanlarına ayıralım:
\[p(x) := (x-5)(x-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \text{ ve } x = 5 \text{ için doğrudur.}\]
\[q(x) := (x-3)(x+1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3 \text{ ve } x = -1 \text{ için doğrudur.}\]
i) Doğrudur. Verilen önermenin yanlış olabilmesi için, \(p(x)\)’in doğru olduğu bir \(x\)’te \(\big(r(x)\big)'\) yanlış olmalıdır. \(p(x)\)’in doğru olduğu \(x = 2\) ve \(x = 5\) için \(r(x)\) yanlıştır (ikisi de negatif değildir), yani \(\big(r(x)\big)'\) doğrudur. Diğer bütün \(x\) değerlerinde öncül yanlış olduğundan koşullu önerme doğrudur.
ii) Yanlıştır. \(q(x)\)’in doğru olduğu her \(x\) tam sayısı için \(r(x)\) doğru değildir. Örneğin \(x = 3\) için \(q(3)\) doğru, ancak \(r(3): 3 < 0\) yanlıştır; yani \(1 \Rightarrow 0 \equiv 0\) olur.
iii) Doğrudur. \(q(x) \Rightarrow r(x)\) önermesini doğru yapacak en az bir \(x\) tam sayısı vardır: \(x = -1\) için \(q(-1)\) doğru ve \(r(-1): -1 < 0\) de doğrudur, yani \(1 \Rightarrow 1 \equiv 1\)’dir.
iv) Doğrudur. Burada aranan, \(p(x) \Rightarrow r(x)\) önermesini doğru yapan en az bir \(x\) tam sayısıdır. \(x = 0\) alalım: \(p(0) = 10 \neq 0\) olduğundan öncül yanlıştır ve öncülü yanlış olan bir koşullu önerme doğrudur:
\[p(0) \Rightarrow r(0) \equiv 0 \Rightarrow 0 \equiv 1\]
O hâlde böyle bir \(x\) vardır; önerme doğrudur.
\(\blacksquare\)
Son örneğin \((iv)\) şıkkı, niceleme mantığındaki en çok karıştırılan noktadır. Şu iki önermeyi ayırmak gerekir:
\[\exists x, \; \big(p(x) \Rightarrow r(x)\big) \qquad \text{ile} \qquad \forall x, \; \big(p(x) \Rightarrow r(x)\big)\]
Birincisi için öncülü yanlış olan tek bir \(x\) bulmak bile yeterlidir; bu yüzden \(p(x)\)’in en az bir yerde yanlış olduğu her durumda birinci önerme otomatik olarak doğrudur.
İkincisi ise çok daha güçlü bir iddiadır: \(p(x)\)’in doğru olduğu bütün \(x\)’lerde \(r(x)\)’in de doğru olmasını ister. Bu örnekte \(\forall x, \; \big(p(x) \Rightarrow r(x)\big)\) yanlıştır, çünkü \(x = 2\) için \(p(2)\) doğru ama \(r(2)\) yanlıştır.
Örnek 8.11 (Değilini Alıp Basitleştirme) Aşağıdaki her bir önermeyi değilleyiniz ve basitleştiriniz.
i) \(\exists x, \; p(x) \vee q(x)\) ii) \(\exists x, \; p(x) \wedge \big(q(x)\big)'\)
iii) \(\forall x, \; p(x) \Rightarrow q(x)\) iv) \(\exists x, \; \big(p(x) \vee q(x)\big) \Rightarrow r(x)\)
Çözüm
i)
\[\big[\exists x, \; p(x) \vee q(x)\big]' \equiv \forall x, \; \big(p(x)\big)' \wedge \big(q(x)\big)'\]
ii)
\[\big[\exists x, \; p(x) \wedge \big(q(x)\big)'\big]' \equiv \forall x, \; \big(p(x)\big)' \vee q(x)\]
iii)
\[ \begin{aligned} \big[\forall x, \; p(x) \Rightarrow q(x)\big]' &\equiv \Big[\forall x, \; \big(p(x)\big)' \vee q(x)\Big]' \\[2pt] &\equiv \exists x, \; p(x) \wedge \big(q(x)\big)' \end{aligned} \]
iv)
\[ \begin{aligned} \Big[\exists x, \; \big(p(x) \vee q(x)\big) \Rightarrow r(x)\Big]' &\equiv \Big[\exists x, \; \big(p(x) \vee q(x)\big)' \vee r(x)\Big]' \\[2pt] &\equiv \forall x, \; \Big[\big(p(x) \vee q(x)\big)' \vee r(x)\Big]' \\[2pt] &\equiv \forall x, \; \big(p(x) \vee q(x)\big) \wedge \big(r(x)\big)' \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Uzun bir nicelenmiş önermenin değilini almak için soldan sağa yürüyün:
- Her \(\forall\)’i \(\exists\), her \(\exists\)’i \(\forall\) yapın.
- En içteki açık önermeye ulaşınca \(\wedge \leftrightarrow \vee\) çevirin ve her bileşeni değilleyin.
- Koşullu önerme varsa önce \(p \Rightarrow q \equiv p' \vee q\) ile açın; değili \(p \wedge q'\) olur.