17 Tümleyen, Fark ve Simetrik Fark
Birleşim ve kesişim iki kümeyi birleştiren işlemlerdi. Bu bölümde bir kümenin dışında kalanları konu alan işlemleri tanımlıyoruz: tümleyen, fark ve simetrik fark.
17.1 Tümleyen
Tanım 17.1 (Tümleyen) \(A \subseteq \mathcal{E}\) olmak üzere \(A\) kümesine ait olmayan ama \(\mathcal{E}\) kümesine ait elemanların oluşturduğu kümeye \(A\)’nın \(\mathcal{E}\)’ye göre tümleyeni denir ve
\[A' = A^{c} = \big\{x \mid (x \in \mathcal{E}) \wedge (x \notin A)\big\}\]
ile gösterilir.
Teorem 17.1 (De Morgan Kuralları) \(A, B \subseteq \mathcal{E}\) olmak üzere:
\[\textbf{a)} \;\; (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \qquad\qquad \textbf{b)} \;\; (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}\]
İspat
a) Bir öğenin sol taraftaki kümeye ait olma koşulunu yazalım:
\[ \begin{aligned} x \in (A \cup B)^{c} &\Longleftrightarrow (x \in \mathcal{E}) \wedge \big(x \notin A \cup B\big) \\[2pt] &\Longleftrightarrow (x \in \mathcal{E}) \wedge \Big[(x \in A) \vee (x \in B)\Big]' \\[2pt] &\Longleftrightarrow (x \in \mathcal{E}) \wedge (x \notin A) \wedge (x \notin B) && \text{(önermelerde De Morgan)} \\[2pt] &\Longleftrightarrow \big(x \in A^{c}\big) \wedge \big(x \in B^{c}\big) \\[2pt] &\Longleftrightarrow x \in A^{c} \cap B^{c} \end{aligned} \]
b) Aynı akıl yürütme, “ve”nin değilinin “veya” olması ile tekrarlanır.
\(\blacksquare\)
Teorem 17.2 (Tümleyenin Özellikleri) \(A, B \subseteq \mathcal{E}\) olmak üzere aşağıdaki özellikler geçerlidir:
a) \(\big(A^{c}\big)^{c} = A\) b) \(A \cup A^{c} = \mathcal{E}\) c) \(A \cap A^{c} = \varnothing\)
d) \(A \subseteq B\) ise \(B^{c} \subseteq A^{c}\)’dir e) \(A = B\) ise \(A^{c} = B^{c}\)’dir
f) \(\varnothing^{c} = \mathcal{E}\) g) \(\mathcal{E}^{c} = \varnothing\)
\((d)\) şıkkı özellikle dikkat gerektirir: \(A \subseteq B\) iken \(A^{c} \subseteq B^{c}\) değil, \(B^{c} \subseteq A^{c}\) olur.
Bu, mantıktaki karşıt ters denkliğinin küme karşılığıdır: \(\big(x \in A \Rightarrow x \in B\big) \equiv \big(x \notin B \Rightarrow x \notin A\big)\). Küme ne kadar büyükse tümleyeni o kadar küçüktür.
17.2 Ayrık Kümeler
Tanım 17.2 (Ayrık Kümeler) \(A, B \subseteq \mathcal{E}\) olsun. Eğer
\[A \cap B = \varnothing\]
ise \(A\) ve \(B\) kümelerine ayrık kümeler denir.
Teorem 17.3 (Ayrıklık Ölçütü) \(A, B \subseteq \mathcal{E}\) olmak üzere
\[A \cap B = \varnothing \;\Longleftrightarrow\; A \subseteq B^{c} \quad \text{(veya } B \subseteq A^{c}\text{)}\]
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(A \cap B = \varnothing\) olsun. Keyfi bir \(x \in A\) alalım. Eğer \(x \in B\) olsaydı \(x \in A \cap B\) olurdu; oysa \(A \cap B = \varnothing\)’dir. O hâlde \(x \notin B\), yani \(x \in B^{c}\)’dir. Buradan \(A \subseteq B^{c}\) elde edilir.
(\(\Leftarrow\)) \(A \subseteq B^{c}\) olsun. Eğer \(A \cap B \neq \varnothing\) olsaydı, bir \(x \in A \cap B\) öğesi bulunurdu. \(x \in A \subseteq B^{c}\) olduğundan \(x \notin B\) olurdu; oysa \(x \in A \cap B\) olması \(x \in B\) demektir. Bu bir çelişkidir. O hâlde \(A \cap B = \varnothing\)’dir.
\(B \subseteq A^{c}\) hâli de benzer biçimde gösterilir.
\(\blacksquare\)
\(A \cap B = \varnothing\) olsun. Her iki tarafı \(B^{c}\) ile birleştirelim:
\[(A \cap B) \cup B^{c} = \varnothing \cup B^{c} = B^{c}\]
Sol tarafa dağılma özelliğini uygulayalım:
\[\big(A \cup B^{c}\big) \cap \underbrace{\big(B \cup B^{c}\big)}_{\mathcal{E}} = \big(A \cup B^{c}\big) \cap \mathcal{E} = A \cup B^{c}\]
O hâlde \(A \cup B^{c} = B^{c}\)’dir. Teorem 16.3’nin \((d)\) şıkkı gereği bu, tam olarak \(A \subseteq B^{c}\) demektir.
17.3 Fark İşlemi
Tanım 17.3 (İki Kümenin Farkı) \(A, B \subseteq \mathcal{E}\) kümeleri için
\[A \setminus B = A - B = \big\{x \mid (x \in A) \wedge (x \notin B)\big\}\]
biçiminde tanımlı kümeye \(B\)’nin \(A\) içindeki tümleyeni denir ve “\(A\) fark \(B\)” şeklinde ifade edilir.
Teorem 17.4 (Farkın Kesişimle İfadesi) \(A, B \subseteq \mathcal{E}\) kümeleri için
\[A \setminus B = A \cap B^{c}\]
İspat
\(A \setminus B \subseteq A \cap B^{c}\) olduğunu gösterelim. Her \(x \in A \setminus B\) için \(x \in A\) ve \(x \notin B\)’dir. \(x \notin B\) olması \(x \in B^{c}\) demek olduğundan \(x \in A \cap B^{c}\) elde edilir. \(\tag{\)\(}\)
\(A \cap B^{c} \subseteq A \setminus B\) olduğunu gösterelim. Her \(x \in A \cap B^{c}\) için \(x \in A\) ve \(x \in B^{c}\), yani \(x \notin B\)’dir. Böylece \(x \in A \setminus B\) elde edilir. \(\tag{\)\(}\)
\((\ast)\) ve \((\ast\ast)\)’dan \(A \setminus B = A \cap B^{c}\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Bu teorem çok işlevseldir: fark işlemini kesişim ve tümleyen cinsinden yazarak, önceki bölümlerde kurduğumuz bütün cebiri fark içeren ifadelere de uygulayabiliriz.
Tanım 17.4 (Simetrik Fark) \(A, B \subseteq \mathcal{E}\) kümeleri için
\[A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\]
biçiminde tanımlı kümeye \(A\) ile \(B\)’nin simetrik farkı denir.
Keyfi kümeler için
\[B \setminus C \neq C \setminus B\]
olur. Örneğin \(B = \{2,4,6,8\}\) ve \(C = \{3,4,5,6\}\) için \(B \setminus C = \{2,8\}\) iken \(C \setminus B = \{3,5\}\)’tir.
Simetrik fark ise değişmelidir: tanımındaki \((A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) ifadesi \(A\) ile \(B\) yer değiştirdiğinde aynı kalır.
17.4 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 17.1 (Sayısal Bir Uygulama) \(\mathcal{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) evrensel kümesinde
\[A = \{1,2,3,4\}, \qquad B = \{2,4,6,8\}, \qquad C = \{3,4,5,6\}\]
kümeleri veriliyor. \(A \setminus B\), \(B^{c}\), \(A \cap B^{c}\), \(B \setminus C\) ve \(C \setminus B\) kümelerini bulunuz.
Çözüm
\(A \setminus B\) kümesi, \(A\)’da olup \(B\)’de olmayan öğelerden oluşur. \(A\)’nın \(2\) ve \(4\) öğeleri \(B\)’de de bulunduğundan bunlar çıkarılır:
\[A \setminus B = \{1, 3\}\]
\(B^{c}\) kümesi, \(\mathcal{E}\)’de olup \(B\)’de olmayanlardır:
\[B^{c} = \{1, 3, 5, 7, 9\}\]
Teorem 17.4’i sağlamak için kesişimi hesaplayalım:
\[A \cap B^{c} = \{1,2,3,4\} \cap \{1,3,5,7,9\} = \{1,3\} = A \setminus B \;\checkmark\]
Son olarak
\[B \setminus C = \{2, 8\}, \qquad C \setminus B = \{3, 5\}\]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 17.2 (Birleşimi Boş Olan Kümeler) \(A \cup B = \varnothing \;\Longleftrightarrow\; A = B = \varnothing\) olduğunu ispatlayınız.
Çözüm
Gereklilik (\(\Rightarrow\)). \(A \cup B = \varnothing\) olsun; \(A = B = \varnothing\) olduğunu gösterelim.
Birleşim tanımından \(A \subseteq A \cup B\) olduğunu biliyoruz. Hipotezden
\[A \subseteq \varnothing\]
elde edilir. Diğer taraftan her zaman \(\varnothing \subseteq A\) olduğundan çift kapsamadan \(A = \varnothing\) bulunur.
Benzer şekilde \(B \subseteq A \cup B = \varnothing\) olup \(\varnothing \subseteq B\) olduğundan \(B = \varnothing\) elde edilir.
Yeterlik (\(\Leftarrow\)). \(A = B = \varnothing\) olsun.
\[A \cup B = \varnothing \cup \varnothing = \varnothing\]
olduğundan ispat tamamlanır.
\(\blacksquare\)
Örnek 17.3 (İfadeleri Sadeleştirme) \(\mathcal{E}\) evrensel küme olmak üzere aşağıdaki kümeleri en sade hâlde yazınız.
a) \((B \cap A) \cup (A \cap \mathcal{E})\) b) \(\big(\varnothing \cup A^{c}\big) \cup (A \cap \mathcal{E})\)
Çözüm
a) Kesişimin değişme özelliğini ve ardından dağılma özelliğini kullanalım:
\[ \begin{aligned} (B \cap A) \cup (A \cap \mathcal{E}) &= (A \cap B) \cup (A \cap \mathcal{E}) && \text{(değişme)} \\[2pt] &= A \cap (B \cup \mathcal{E}) && \text{(dağılma)} \\[2pt] &= A \cap \mathcal{E} && \text{($\mathcal{E}$, birleşimin yutan elemanı)} \\[2pt] &= A \end{aligned} \]
b) \(\varnothing\) birleşimin etkisiz, \(\mathcal{E}\) kesişimin etkisiz elemanıdır:
\[\big(\varnothing \cup A^{c}\big) \cup (A \cap \mathcal{E}) = A^{c} \cup A = \mathcal{E}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 17.4 (Fark ile İlgili Özdeşlikler) Her \(A, B, C\) kümesi için aşağıdaki eşitlikleri gösteriniz.
a) \(A \cup (B \setminus A) = A \cup B\) b) \((A - B) \cap (A - C) = A - (B \cup C)\)
Çözüm
a) Farkı kesişim cinsinden yazıp dağılma özelliğini kullanalım:
\[ \begin{aligned} A \cup (B \setminus A) &= A \cup \big(B \cap A^{c}\big) && \text{(fark = kesişim)} \\[2pt] &= (A \cup B) \cap \big(A \cup A^{c}\big) && \text{($\cup$'nun $\cap$ üzerine dağılması)} \\[2pt] &= (A \cup B) \cap \mathcal{E} \\[2pt] &= A \cup B \end{aligned} \]
b)
\[ \begin{aligned} (A - B) \cap (A - C) &= \big(A \cap B^{c}\big) \cap \big(A \cap C^{c}\big) \\[2pt] &= A \cap \big(B^{c} \cap C^{c}\big) && \text{(birleşme ve eş güçlülük)} \\[2pt] &= A \cap (B \cup C)^{c} && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &= A - (B \cup C) \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Örnek 17.5 (A Kümesinin İkiye Ayrılması) \(A - B\) ve \(A \cap B\) kümelerinin birleşiminin \(A\), kesişiminin ise \(\varnothing\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Birleşim:
\[ \begin{aligned} (A - B) \cup (A \cap B) &= \big(A \cap B^{c}\big) \cup (A \cap B) \\[2pt] &= A \cap \big(B^{c} \cup B\big) && \text{(dağılma)} \\[2pt] &= A \cap \mathcal{E} = A \end{aligned} \]
Kesişim:
\[ \begin{aligned} (A - B) \cap (A \cap B) &= \big(A \cap B^{c}\big) \cap (A \cap B) \\[2pt] &= A \cap \big(B \cap B^{c}\big) && \text{(birleşme ve değişme)} \\[2pt] &= A \cap \varnothing = \varnothing \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Son örnek, \(A\) kümesinin ayrık iki parçaya bölündüğünü söyler: \(B\) ile ortak olan kısım ve olmayan kısım. Eleman sayısı hesaplarında sık kullanılan
\[|A| = |A \cap B| + |A - B|\]
eşitliği doğrudan buradan gelir; çünkü ayrık kümelerin birleşiminin eleman sayısı, eleman sayılarının toplamıdır.
Örnek 17.6 (Simetrik Fark Özdeşlikleri) Her \(A, B\) kümesi için aşağıdakileri gösteriniz.
a) \((A \triangle B) \cap A = A - B\) b) \(A - B = A - (A \cap B)\)
Çözüm
a) Simetrik farkın tanımını yazıp kesişimin birleşim üzerine dağılımını kullanalım:
\[ \begin{aligned} (A \triangle B) \cap A &= \Big[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)\Big] \cap A \\[2pt] &= \Big[(A \setminus B) \cap A\Big] \cup \Big[(B \setminus A) \cap A\Big] \\[2pt] &= \Big[\big(A \cap B^{c}\big) \cap A\Big] \cup \Big[\big(B \cap A^{c}\big) \cap A\Big] \\[2pt] &= \big(A \cap B^{c}\big) \cup \Big[B \cap \underbrace{\big(A^{c} \cap A\big)}_{\varnothing}\Big] \\[2pt] &= \big(A \cap B^{c}\big) \cup \varnothing = A \cap B^{c} = A - B \end{aligned} \]
b)
\[ \begin{aligned} A - (A \cap B) &= A \cap (A \cap B)^{c} \\[2pt] &= A \cap \big(A^{c} \cup B^{c}\big) && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &= \big(A \cap A^{c}\big) \cup \big(A \cap B^{c}\big) && \text{(dağılma)} \\[2pt] &= \varnothing \cup \big(A \cap B^{c}\big) = A \cap B^{c} = A - B \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Örnek 17.7 (Simetrik Farkın Tümleyeni) Her \(A, B\) kümesi için \((A \triangle B)^{c} = (A \cap B) \cup (A \cup B)^{c}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\[ \begin{aligned} (A \triangle B)^{c} &= \Big[(A - B) \cup (B - A)\Big]^{c} \\[2pt] &= \Big[\big(A \cap B^{c}\big) \cup \big(B \cap A^{c}\big)\Big]^{c} \\[2pt] &= \big(A^{c} \cup B\big) \cap \big(B^{c} \cup A\big) && \text{(De Morgan, iki kez)} \\[2pt] &= \Big[\big(A^{c} \cup B\big) \cap B^{c}\Big] \cup \Big[\big(A^{c} \cup B\big) \cap A\Big] && \text{(dağılma)} \\[2pt] &= \Big[\big(A^{c} \cap B^{c}\big) \cup \underbrace{\big(B \cap B^{c}\big)}_{\varnothing}\Big] \cup \Big[\underbrace{\big(A^{c} \cap A\big)}_{\varnothing} \cup \big(B \cap A\big)\Big] \\[2pt] &= \big(A^{c} \cap B^{c}\big) \cup (A \cap B) \\[2pt] &= (A \cup B)^{c} \cup (A \cap B) && \text{(De Morgan)} \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
\(A \triangle B\), tam olarak birine ait olan öğelerdi. Tümleyeni ise geriye kalan iki bölgedir: ikisine birden ait olanlar (\(A \cap B\)) ve hiçbirine ait olmayanlar (\((A \cup B)^{c}\)). Venn diyagramında bu üç bölge evrensel kümeyi tam olarak kaplar.
Örnek 17.8 (Kesişimin Simetrik Fark Üzerine Dağılması) Kümelerde kesişimin simetrik fark üzerine sağdan dağılma özelliği vardır; yani
\[(B \triangle C) \cap A = (B \cap A) \triangle (C \cap A)\]
olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Sağ taraftan başlayalım:
\[ \begin{aligned} (B \cap A) \triangle (C \cap A) &= \Big[(B \cap A) - (C \cap A)\Big] \cup \Big[(C \cap A) - (B \cap A)\Big] \\[2pt] &= \Big[(B \cap A) \cap (C \cap A)^{c}\Big] \cup \Big[(C \cap A) \cap (B \cap A)^{c}\Big] \\[2pt] &= \Big[(B \cap A) \cap \big(C^{c} \cup A^{c}\big)\Big] \cup \Big[(C \cap A) \cap \big(B^{c} \cup A^{c}\big)\Big] \\[2pt] &= \Big[(B \cap A) \cap C^{c}\Big] \cup \underbrace{\Big[(B \cap A) \cap A^{c}\Big]}_{\varnothing} \cup \Big[(C \cap A) \cap B^{c}\Big] \cup \underbrace{\Big[(C \cap A) \cap A^{c}\Big]}_{\varnothing} \\[2pt] &= \Big[\big(B \cap C^{c}\big) \cap A\Big] \cup \Big[\big(C \cap B^{c}\big) \cap A\Big] \\[2pt] &= \Big[\big(B \cap C^{c}\big) \cup \big(C \cap B^{c}\big)\Big] \cap A && \text{(dağılma)} \\[2pt] &= \Big[(B - C) \cup (C - B)\Big] \cap A \\[2pt] &= (B \triangle C) \cap A \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
17.5 Eleman Sayısı: İçerme–Dışarma
Örnek 17.9 (Üç Küme İçin Eleman Sayısı) \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\) olduğu bilgisini kullanarak, \(A\), \(B\), \(C\) sonlu kümeleri için \(A \cup B \cup C\) kümesinin eleman sayısını veren formülü ifade ediniz.
Çözüm
\(A \cup B\) kümesini tek bir küme gibi düşünüp verilen formülü uygulayalım:
\[ \begin{aligned} s(A \cup B \cup C) &= s\big((A \cup B) \cup C\big) \\[2pt] &= s(A \cup B) + s(C) - s\big((A \cup B) \cap C\big) \end{aligned} \]
İlk terime formülü bir kez daha uygulayalım ve son terimde dağılma özelliğini kullanalım:
\[s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\]
\[(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\]
Son ifadenin eleman sayısını yine aynı formülle hesaplayalım:
\[ \begin{aligned} s\big((A \cap C) \cup (B \cap C)\big) &= s(A \cap C) + s(B \cap C) - s\big((A \cap C) \cap (B \cap C)\big) \\[2pt] &= s(A \cap C) + s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C) \end{aligned} \]
Hepsini yerine koyarsak
\[\boxed{\;s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A \cap B) - s(A \cap C) - s(B \cap C) + s(A \cap B \cap C)\;}\]
elde edilir.
\(\blacksquare\)
Tekli kümeler artı, ikili kesişimler eksi, üçlü kesişim artı işaretle girer. Genel olarak \(n\) küme için işaretler \((-1)^{k+1}\) deseniyle sıralanır. Bu kurala içerme–dışarma ilkesi denir.
Bir sonraki bölümde kümelerden yeni kümeler üreten bir başka işlemi, kartezyen çarpımı inceleyeceğiz.