2 Önermeler ve Doğruluk Tabloları

Matematiksel mantığın üzerine kurulduğu en küçük yapı taşı önermedir. Bu bölümde bir cümlenin ne zaman önerme sayıldığını, önermelerin doğruluk değerlerini ve birden çok önermenin birlikte incelendiği doğruluk tablolarını ele alıyoruz.

2.1 Önerme Kavramı

Tanım 2.1 (Önerme) Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren, göreceli olmayan ve aynı zamanda hem doğru hem yanlış olmayan cümlelere önerme denir.

Önermeler genellikle \(p, q, r, \dots\) veya \(a, b, c, \dots\) şeklinde küçük harflerle gösterilir.

Örnek 2.1 (Önerme Olan Cümleler) Aşağıdaki cümlelerin her biri birer önermedir:

\(p:\) “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.”
\(q:\) “\(\sqrt{2}\) bir irrasyonel sayıdır.”
\(r:\) “Bir yıl 12 aydır.”
\(s:\) “\(4 + 5 > 17\) dir.”

Örnek 2.2 (Önerme Olmayan Cümleler) Aşağıdaki cümlelerin hiçbiri önerme değildir:

“Ne kadar güzel bir gün!” — ünlem, bir hüküm bildirmez.
“Sinemaya gidelim mi?” — soru cümlesidir.
“\(x\) yerine \(3\) yazın.” — emir cümlesidir.
“Ne kadar ilginç bir konu.” — görecelidir; kişiden kişiye değişir.

2.2 Doğruluk Değeri

Tanım 2.2 (Doğruluk Değeri) Verilen bir önermenin doğru veya yanlış olmasına önermenin doğruluk değeri denir.

Önerme doğru bir hüküm bildiriyorsa doğruluk değeri \(\mathbf{1}\),
yanlış bir hüküm bildiriyorsa doğruluk değeri \(\mathbf{0}\)’dır.

Örnek 2.3

\(p:\) “\(3 + 4 = 7\) dir.” \(\longrightarrow\) doğruluk değeri \(1\).
\(q:\) “\(\pi = 3{,}15\) tir.” \(\longrightarrow\) doğruluk değeri \(0\).

Örnek 2.4 (Önerme mi, Değil mi?) Aşağıdaki ifadelerin hangileri birer önermedir? Önerme olanların doğruluk değerlerini belirleyiniz.

a) “\(248\) sayısı bir asal sayıdır.” b) “\(3\) tam sayısı tektir.” c) “Ne kadar zor bir ders.”

d) “\(x^3 - 1 = 0\) dır.” e) “\(3x + 6\) ile \(5\) sayısını çarpınız.” f) “\(11 \cdot 12 = 132\) midir?”

Çözüm

a) Bir önermedir. \(248 = 8 \cdot 31\) olduğu için \(248\) asal değildir. Önerme yanlış olduğundan doğruluk değeri \(0\)’dır.

b) Bir önermedir; doğruluk değeri \(1\)’dir.

c) Görecelik kavramı içerdiği için önerme değildir.

d) Verilen ifade değişken içerdiğinden ve doğruluk değeri \(x\)’e verilen değerlere göre değiştiğinden önerme değildir.

e) Emir içeren bir ifade olup önerme değildir.

f) Soru cümlesi olduğundan önerme değildir.

\(\blacksquare\)

Değişken içeren ifadeler

\((d)\) şıkkındaki gibi değişken içeren ve doğruluğu değişkene bağlı olan ifadeler önerme değildir; bunlara açık önerme denir ve niceleme mantığı bölümünde ayrıca incelenirler.

2.3 Basit ve Bileşik Önermeler

Tanım 2.3 (Bileşik Önerme) İki veya daha fazla önermenin “ve”, “veya”, “ise” gibi bağlaçlarla birleştirilmesiyle veya bir önermenin sonuna “değil” eki konulması ile elde edilen önermelere bileşik önerme denir.

Bir bileşik önermeyi oluşturan her bir önermeye, o bileşik önermenin bileşeni adı verilir.

Tanım 2.4 (Basit Önerme) Hiçbir bileşeni olmayan, diğer bir ifadeyle yalnız bir hüküm bildiren cümlelere basit önerme adı verilir.

Örnek 2.5

\(p:\) “Bir hafta \(7\) gündür.” — basit
\(q:\) “Bugün perşembedir ve ayın \(1\)’idir.” — bileşik
\(r:\) “Paris, Fransa’da değildir.” — bileşik
\(s:\) “Bugün pazar ise ayın biri değildir.” — bileşik
\(t:\) “Paris Fransa’dadır veya \(2 + 11 = 13\) tür.” — bileşik

2.4 Doğruluk Tabloları

Tanım 2.5 (Doğruluk Tablosu) Bir bileşik veya basit önermenin çeşitli durumlardaki doğruluğunu belirtmek üzere düzenlenen çizelgelere doğruluk tablosu adı verilir.

Herhangi bir \(p\) önermesi için iki durum vardır: \(p\) ya doğrudur ya da yanlıştır.

\(p\)
\(1\)
\(0\)

Neden yalnızca iki değer?

Bu derste kullandığımız mantık, doğruluk değerlerinin yalnızca \(0\) ve \(1\) olduğu iki değerli (Aristo) mantıktır.

Matematikte doğruluk değerinin \(0\) ile \(1\) arasındaki ara değerleri de (\(\tfrac12\), \(\tfrac13\) gibi) alabildiği çok değerli ve bulanık mantıklar da tanımlanmıştır; ancak bu derste bunları kullanmayacağız.

\(p\) ve \(q\) gibi iki önermenin doğruluklarının birbirlerine göre durumunu inceleyen tablo dört satırdan oluşur:

\(p\)	\(q\)
\(1\)	\(1\)	\(p\) doğru ise \(q\) doğrudur
\(1\)	\(0\)	\(p\) doğru ise \(q\) yanlıştır
\(0\)	\(1\)	\(p\) yanlış ise \(q\) doğrudur
\(0\)	\(0\)	\(p\) yanlış ise \(q\) yanlıştır

Teorem 2.1 (Satır Sayısı) Birbirinden farklı \(n\) tane önermenin doğrulukları birbirlerine göre \(2^n\) değişik durum olarak ortaya çıkar.

Örnek 2.6 (Üç Önermenin Doğruluk Tablosu) \(p, q, r\) gibi üç önerme için \(2^3 = 8\) satır oluşur:

\(p\)	\(q\)	\(r\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)

Tabloyu şaşmadan doldurmak

Sütunları soldan sağa yarıya bölerek doldurun: \(n\) önerme için ilk sütun \(2^{n-1}\) tane \(1\) ve \(2^{n-1}\) tane \(0\), ikinci sütun \(2^{n-2}\)’lik bloklar hâlinde \(1\) ve \(0\)… biçiminde gider. Son sütun daima \(1, 0, 1, 0, \dots\) olarak değişir.

Böylece hiçbir durumu atlamadığınızdan ve hiçbirini iki kez yazmadığınızdan emin olursunuz.

2.5 Denk Önermeler

Tanım 2.6 (Denk Önermeler) İki önerme veya bileşik önerme, mümkün olan tüm durumlarda aynı doğruluk değerini alıyorsa bu iki önermeye denk önermeler denir.

\(p\) ve \(q\) önermeleri birbirine denk ise \(p \equiv q\) şeklinde gösterilir ve “\(p\) denktir \(q\)” veya “\(p\), \(q\)’ya denktir” şeklinde okunur.

Örnek 2.7 Aşağıdaki iki tabloyu karşılaştıralım.

\(p\)	\(q\)
\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)

Bütün satırlarda doğruluk değerleri aynı olduğundan \(p \equiv q\)’dur.

\(s\)	\(t\)
\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)

İkinci satırda doğruluk değerleri farklı olduğundan \(s \not\equiv t\)’dir.

Denk olmamak için bir satır yeter

En az bir durumda doğrulukları aynı olmayan önermeler denk değildir. Denkliği göstermek için bütün satırların uyuşması gerekirken, denk olmadığını göstermek için tek bir karşı satır bulmak yeterlidir.

Bir sonraki bölümde önermeleri birbirine bağlayan temel işlemleri ve bunların cebirsel özelliklerini inceleyeceğiz.