13 Küme Kavramı ve Gösterim Yöntemleri
Matematiğin birçok dalında çalışırken küme kavramını kullanırız. Özellikle yeni bir yapı inşa ederken ya da bir konuyu çalışırken küme kavramı ile karşılaşırız. Bu sık kullanımına karşın küme kavramını tanımlamak hiç kolay değildir.
13.1 Küme Kuramının Doğuşu
Küme kavramı ilk defa Georg Cantor (1845–1918) tarafından sonsuz büyüklüklerin tanımlanması ve karşılaştırılması amacı ile ortaya atılmıştır.
Cantor’un yaptığı gibi kümeyi “nesnelerin bir topluluğu” biçiminde tanımlamanın daha sonra paradokslara yol açtığı ortaya çıkmıştır. Bu paradokslardan kurtulabilmek için ilk olarak Ernst Zermelo (1871–1953) tarafından aksiyomatik bir yaklaşım gerçekleştirilmiştir. Daha sonra Abraham Fraenkel (1891–1965), Zermelo’nun aksiyomlarının uyarlanmasını yapmıştır. Günümüzde Zermelo–Fraenkel (ZF) aksiyomatik kümeler kuramı bu çalışmaların ürünüdür.
Diğer birçok matematikçi de kümeler kuramı üzerine farklı yaklaşımlar geliştirmiştir. Ancak bu yaklaşımları tartışmak bu dersin amacını aşmaktadır. Bizim amacımız kümeler cebirini, yani kümeler üzerinde birleşim, kesişim vb. işlemleri ve bunların özelliklerini incelemektir.
Kümeler cebirini incelerken kümeyi sezgisel olarak “nesnelerin bir topluluğu” biçiminde tanımlamak bu inceleme için hem yeterli hem de aksiyomatik yönteme göre çok daha kolay anlaşılırdır.
Bu tanımsız terimlerin, kümeler kuramının aksiyomatik kuruluşu için eksiksiz olmadığını ve yapıyı paradokslardan arındırmaya yetmediğini belirtelim. Buna karşın kümeler cebirini incelememiz için yeterli alt yapıyı sağlayacaktır.
13.2 Kümenin Sezgisel Tanımı
Kümeler cebirini incelemek için aşağıdaki dört tanımsız terime ihtiyaç duymaktayız:
- Küme
- Öğe (eleman)
- Öğesi olma (elemanı olma, içerilme)
- Nicelik sayısı
Bu terimler yardımıyla aşağıdaki özellikleri verebiliriz:
- Küme, belirli nesnelerin oluşturduğu bir topluluktur.
- Kümeyi oluşturan nesneler, kümenin öğeleri olarak adlandırılır.
- Bir öğe, küme içinde bir kez yer alır.
Tanım 13.1 (Kümenin İyi Tanımlanması) Bir kümenin bütün öğelerinin kesinlikle belirli olacak biçimde tanımlanmasına kümenin iyi tanımlanması denir.
Öğeleri belirsiz olan veya bir öğenin o kümeye ait olup olmadığı anlaşılmayan bir küme var olamaz.
Örnek 13.1 (İyi Tanımlı mı?) “En çok beğendiğimiz meyveler” ile bir küme oluşturmak istersek, bu topluluk kişilere bağlı olarak farklı biçimlerde oluşturulabilir. Öğeleri belirli ve iyi anlaşılır olmadığından bu bir küme değildir.
Ancak “birden küçük gerçel sayılar” iyi tanımlı bir kümedir; çünkü verilen bir gerçel sayının bu kümeye ait olup olmadığı kesin bir şekilde belirlenebilir.
13.3 Öğelik Bağıntısının Gösterimi
Kümeleri genellikle \(A, B, \dots, X, Y, \dots\) gibi büyük harflerle, kümenin öğelerini ise \(a, b, \dots, x, y, \dots\) gibi küçük harflerle göstereceğiz.
- Bir \(a\) öğesi \(A\) kümesine aitse \(a \in A\) ya da \(A \ni a\) ile gösterilir ve “\(a\) öğesi \(A\) kümesine aittir”, “\(a\) öğesi \(A\) kümesinin öğesidir” veya “\(A\) kümesi \(a\) öğesini içerir” biçiminde okunur.
- Bir \(b\) öğesi \(A\) kümesine ait değilse \(b \notin A\) ya da \(A \not\ni b\) ile gösterilir ve “\(b\) öğesi \(A\) kümesine ait değildir” biçiminde okunur.
13.4 Russell Paradoksu
Bütün kümelerin kümesini
a) kendi kendini içeren kümeler, b) kendi kendini içermeyen kümeler
diye ikiye ayıralım. \(P(X): X \notin X\) açık önermesini tanımlayalım ve \(P\)’nin tanımladığı kümeye bakalım:
\[A = \{X \mid X \notin X\}\]
Bu durumda “\(A\) kümesi kendini içerir mi?” sorusunu yanıtlamaya çalışalım:
- Eğer \(A\) kümesi kendini içerirse, yani \(A \in A\) ise, \(A\)’nın tanımı gereği \(A \notin A\) olur ki bu bir çelişkidir.
- Eğer \(A\) kümesi kendini içermezse, yani \(A \notin A\) ise, \(A\)’nın tanımı gereği \(A \in A\) olur ki bu da yine bir çelişkidir.
Her iki hâlde de çelişkiye düşülür. Russell paradoksu olarak bilinen bu durum, “her özelliğin bir küme tanımladığı” varsayımının sürdürülemeyeceğini gösterir.
Evrensel kümeyi “her şeyi içine alan küme” ya da “bütün kümelerin kümesi” biçiminde düşünmek yaygın bir hatadır. Çünkü bütün kümelerin kümesi adı verilen bir kümenin varlığı bizi sonuçta yukarıdaki gibi bir çelişkiye götürür.
Bunun yerine, belirli bir konuda çalışırken gerekli olan bütün kümeleri ve gerekli bütün öğeleri içine alan küme olarak düşünmek yeterli olacaktır.
Tanım 13.2 (Evrensel Küme) Bir konuda çalışırken ele alınabilecek bütün öğeleri ve kümeleri içeren kümeye evrensel küme denir ve \(\mathcal{E}\) ile gösterilir.
Bir tek evrensel kümenin varlığını değil, çalışılan konuya göre bir evrensel kümenin belirlenmesinin yeterli olacağını söylüyoruz. Dolayısıyla çalışılan konuda öncelikle evrensel kümenin ne olduğunun bilinmesi önemlidir.
Örneğin \(A = \{x \mid 2 \leq x \leq 5\}\) gösteriminde \(A\) kümesinin öğeleri, \(x\)’in neler olduğuna bağlı olarak tamamen farklılık gösterir:
\[\mathcal{E} = \mathbb{Z} \;\Longrightarrow\; A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 2 \leq x \leq 5\} = \{2,\, 3,\, 4,\, 5\}\]
\[\mathcal{E} = \mathbb{R} \;\Longrightarrow\; A = \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x \leq 5\} = [2,\, 5]\]
Birincisi dört öğeli sonlu bir kümedir; ikincisi ise sonsuz öğeli bir kapalı aralıktır. Aynı gösterim, evrensel küme değiştiğinde bambaşka bir kümeyi ifade etmektedir.
Kümelerin gösterimi için üç yöntem vardır. Şimdi bunları ele alalım.
13.5 Niteleme Yöntemi
Tanım 13.3 (Niteleme (Ortak Özellik Belirleme) Yöntemi) Bir kümenin öğesinin belirleyici niteliklerini bir önerme olarak ifade ederek gösterme yöntemine niteleme yöntemi denir.
Bu gösterimde kümenin öğesini temsil eden \(x\) değişkeni ile bu öğelerin niteliklerini ifade eden \(p(x)\) önermesi bir ayraç içinde ve aralarına \(\mid\) ya da \(:\) konularak gösterilir.
Örnek 13.2 \[A = \{x \mid x \text{ pozitif gerçel sayıdır}\}, \qquad B = \{x : x \text{ tek tam sayıdır}\}\]
kümeleri, niteleme yöntemi ile gösterilmiş iki kümedir.
Niteleme yöntemi ile gösterilen en bilindik küme örnekleri gerçel sayı aralıklarıdır.
Tanım 13.4 (Gerçel Sayı Aralıkları) \(a, b \in \mathbb{R}\) ve \(a < b\) için:
\[(a, b) = \{x \mid x \in \mathbb{R}, \; a < x < b\}\]
kümesine açık aralık;
\[[a, b) = \{x \mid x \in \mathbb{R}, \; a \leq x < b\}, \qquad (a, b] = \{x \mid x \in \mathbb{R}, \; a < x \leq b\}\]
kümelerine yarı açık aralık;
\[[a, b] = \{x \mid x \in \mathbb{R}, \; a \leq x \leq b\}\]
kümesine ise kapalı aralık denir.
Aralık gösteriminde köşeli ayraç (\([\) veya \(]\)) uç noktanın kümeye dâhil olduğunu, yuvarlak ayraç (\((\) veya \()\)) ise dâhil olmadığını belirtir. Eşitsizlikteki \(\leq\) ile \(<\) ayrımı tam olarak buna karşılık gelir.
13.6 Listeleme Yöntemi
Tanım 13.5 (Listeleme Yöntemi) Kümenin öğelerini tek tek ya da belirli bir kurala göre sıralı bir biçimde, ayraç içinde ve aralarına virgül konularak belirtilmesi yöntemine listeleme yöntemi adı verilir.
Kümenin öğelerinin sırasının bir önemi yoktur; diğer bir deyişle öğelerin yerlerinin değiştirilmesi aynı önermeyi ifade eder. Örneğin \(a, b, c, d\) elemanlarından oluşan küme
\[\{a, b, c, d\} \quad \text{ya da} \quad \{c, a, b, d\} \quad \text{ya da} \quad \{b, a, d, c\}\]
kümelerinden herhangi biri ile gösterilebilir.
Kümelerle çalışırken bazı işlemler sonucunda aynı öğeler liste içinde birden fazla görünebilse de, bu öğeler bir kez var sayılır; yani \(\{a, a, b, c\}\) kümesi \(\{a, b, c\}\) kümesi olarak yazılır.
Sık kullanılan bazı sayı kümelerinin listeleme yöntemiyle gösterilişlerini verelim:
| Küme | Gösterim |
|---|---|
| Doğal sayılar | \(\mathbb{N} = \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \dots\}\) |
| Tam sayılar | \(\mathbb{Z} = \{\dots,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, \dots\}\) |
| Pozitif tam sayılar | \(\mathbb{Z}^{+} = \{1,\, 2,\, 3,\, \dots\}\) |
| Çift tam sayılar | \(\text{Ç} = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\} = \{\dots,\, -2,\, 0,\, 2,\, 4,\, \dots\}\) |
| Tek tam sayılar | \(\text{T} = \{2k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\} = \{\dots,\, -1,\, 1,\, 3,\, 5,\, \dots\}\) |
| Rasyonel sayılar | \(\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z},\; b \neq 0\right\}\) |
Bu derste \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\) kabul ediyoruz; böylece \(\mathbb{Z}^{+}\) ile \(\mathbb{N}\) farklı kümeler olur.
Bazı kaynaklarda \(\mathbb{N}\) birden başlatılır; o kaynaklarda \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\)’dır. Bir soruya başlamadan önce hangi kabulün geçerli olduğunu kontrol etmek gerekir.
Bazı kümeler yalnız bir yönteme göre gösterilebildiği gibi bazıları da her iki yönteme göre gösterilebilir:
- \(\mathbb{Q}\) kümesi yalnız niteleme yöntemiyle gösterilebilir; rasyonel sayıları bir liste hâlinde sıralamak mümkün değildir.
- Ç ve T kümeleri hem niteleme hem listeleme yöntemiyle gösterilebilir.
13.7 Venn Diyagramı Yöntemi
Tanım 13.6 (Venn Diyagramı) İngiliz matematikçi John Venn (1834–1923) tarafından ortaya atılan ve kümelerin daire, elips gibi düzlemsel gösterilme yöntemlerine Venn diyagramı adı verilir.
Örneğin \(a, b, c, d\) elemanlarından oluşan \(A\) kümesinin Venn diyagramı aşağıdaki gibidir.
Her küme Venn diyagramı yöntemi ile gösterilemediğinden Venn diyagramını kullanmayı tercih etmeyiz. Buna karşın kümeler arasındaki ilişkileri görselleştirmek için sonraki bölümlerde sık sık başvuracağız.
Bir sonraki bölümde kümeler arasındaki en temel ilişkiyi, yani alt küme ve eşitlik kavramlarını inceleyeceğiz.