18 Kartezyen Çarpım ve Özellikleri

Şimdiye kadarki bütün işlemler ($\cup$, $\cap$, $\setminus$, tümleyen) aynı evrensel kümenin alt kümelerinden yine aynı evrende bir küme üretiyordu. Kartezyen çarpım ise farklıdır: öğeleri sıralı ikililer olan yeni bir küme üretir. Bu, analitik geometriden fonksiyonlara kadar pek çok yapının temelidir.

18.1 Sıralı İkili

Tanım 18.1 (Sıralı İkili) Verilen herhangi iki eleman belirli bir öncelik sırasına göre bir arada tek bir eleman gibi düşünülürse, bu iki elemanın oluşturduğu yeni elemana sıralı ikili adı verilir.

Tanım 18.2 (Sıralı İkililerin Eşitliği) İki sıralı ikilinin eşit olabilmesi için sırasıyla ilk ve ikinci bileşenleri birbirine eşit olmalıdır:

\[(a, b) = (c, d) \;\Longleftrightarrow\; (a = c) \wedge (b = d)\]

Sıralı ikili ile iki öğeli küme aynı şey değildir

Kümelerde öğelerin sırası önemsizdi: $\{a, b\} = \{b, a\}$’dır. Sıralı ikililerde ise sıra belirleyicidir:

\[(a, b) \neq (b, a) \qquad (a \neq b \text{ olduğunda})\]

Ayrıca kümede öğe tekrarı yok sayılırken $(a, a)$ geçerli bir sıralı ikilidir.

Sıralı üçlüler

Verilen herhangi üç eleman belirli bir öncelik sırasına göre tek bir eleman gibi düşünülürse buna sıralı üçlü denir. $a, b, c$ herhangi üç eleman olmak üzere $(a,b,c)$ sıralı üçlüsü için

\[(a, b, c) = \big((a,b), c\big) = \big(a, (b,c)\big)\]

kabul edilir. Bu bir anlaşmadır: sıralı üçlüyü iki farklı biçimde iç içe sıralı ikili olarak kurmak mümkündür ve bu ikisini özdeşleştiririz.

18.2 Kartezyen Çarpım

Tanım 18.3 (Kartezyen Çarpım) $A$ ve $B$ kümeleri verilsin. Birinci terimleri $A$’dan ve ikinci terimleri $B$’den alınmış bütün sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye $A$ kümesinin $B$ kümesi ile kartezyen çarpımı denir, $A \times B$ şeklinde yazılarak “$A$ kartezyen çarpım $B$” diye okunur:

\[A \times B = \big\{(x, y) \mid (x \in A) \wedge (y \in B)\big\}\]

Örnek 18.1 $A = \{1, 2\}$ ve $B = \{a, b, c\}$ olsun. Bu durumda

\[A \times B = \big\{(1,a), \, (1,b), \, (1,c), \, (2,a), \, (2,b), \, (2,c)\big\}\]

\[B \times A = \big\{(a,1), \, (b,1), \, (c,1), \, (a,2), \, (b,2), \, (c,2)\big\}\]

olur. Her iki kümenin de altı öğesi vardır.

Eleman sayısı

$A$ ve $B$ sonlu kümeler olmak üzere

\[|A \times B| = |A| \cdot |B|\]

Gerçekten birinci bileşen için $|A|$, ikinci bileşen için $|B|$ seçenek vardır ve bu seçimler bağımsızdır.

18.3 Değişme ve Birleşme

Teorem 18.1 (Kartezyen Çarpımın Değişme ve Birleşme Özellikleri) i) Kartezyen çarpım işlemi değişme özelliğine sahip değildir.

ii) Kartezyen çarpım işlemi birleşme özelliğine sahiptir.

İspat

i) Bir aksine örnek yeterlidir. $A = \{1,2\}$ ve $B = \{a,b,c\}$ olsun. Örnek 18.1’te hesapladığımız kümelere bakalım:

\[(1, a) \in A \times B \qquad \text{ama} \qquad (1, a) \notin B \times A\]

çünkü $B \times A$’nın öğelerinin birinci bileşeni $B$’den gelmelidir. Sıralı ikililerin eşitliği gereği $1 \neq a$ olduğundan $(1,a) \neq (a,1)$’dir. O hâlde $A \times B \neq B \times A$’dır.

ii) $A, B, C$ kümeleri verilsin. $D = A \times B$ diyelim:

\[ \begin{aligned} (A \times B) \times C &= \big\{(d, c) \mid (d \in A \times B) \wedge (c \in C)\big\} \\[2pt] &= \big\{\big((a,b), c\big) \mid \big((a \in A) \wedge (b \in B)\big) \wedge (c \in C)\big\} \\[2pt] &= \big\{\big(a, (b,c)\big) \mid (a \in A) \wedge \big((b \in B) \wedge (c \in C)\big)\big\} \\[2pt] &= \big\{\big(a, (b,c)\big) \mid (a \in A) \wedge \big((b,c) \in B \times C\big)\big\} \\[2pt] &= A \times (B \times C) \end{aligned} \]

Üçüncü adımda hem “ve” işleminin birleşme özelliği hem de sıralı üçlü için yaptığımız $\big((a,b),c\big) = \big(a,(b,c)\big)$ anlaşması kullanılmıştır.

$\blacksquare$

18.4 Dağılma Özellikleri

Teorem 18.2 (Kartezyen Çarpımın Dağılma Özellikleri) i) Kümelerde kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

ii) Kümelerde kartezyen çarpım işleminin birleşim işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

İspat

Birleşim üzerine soldan dağılmayı, yani $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ eşitliğini gösterelim:

\[ \begin{aligned} A \times (B \cup C) &= \big\{(x,y) \mid (x \in A) \wedge \big(y \in B \cup C\big)\big\} \\[2pt] &= \big\{(x,y) \mid (x \in A) \wedge \big[(y \in B) \vee (y \in C)\big]\big\} \\[2pt] &= \big\{(x,y) \mid \big[(x \in A) \wedge (y \in B)\big] \vee \big[(x \in A) \wedge (y \in C)\big]\big\} \\[2pt] &= \big\{(x,y) \mid \big[(x,y) \in A \times B\big] \vee \big[(x,y) \in A \times C\big]\big\} \\[2pt] &= (A \times B) \cup (A \times C) \end{aligned} \]

Üçüncü adımda “ve”nin “veya” üzerine dağılma özelliği kullanılmıştır. Diğer üç hâl de aynı şablonla, ilgili mantık özdeşliği kullanılarak gösterilir.

$\blacksquare$

Örnek 18.2 (Kesişim Üzerine Sağdan Dağılma) Kümelerde kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği var mıdır? İspat ediniz.

Çözüm

$(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$ olduğunu gösterelim.

\[ \begin{aligned} (A \cap B) \times C &= \big\{(x,y) \mid \big(x \in A \cap B\big) \wedge (y \in C)\big\} \\[2pt] &= \big\{(x,y) \mid \big[(x \in A) \wedge (x \in B)\big] \wedge (y \in C)\big\} \\[2pt] &= \big\{(x,y) \mid \big[(x \in A) \wedge (x \in B)\big] \wedge \big[(y \in C) \wedge (y \in C)\big]\big\} \\[2pt] &= \big\{(x,y) \mid \big[(x \in A) \wedge (y \in C)\big] \wedge \big[(x \in B) \wedge (y \in C)\big]\big\} \\[2pt] &= \big\{(x,y) \mid \big[(x,y) \in A \times C\big] \wedge \big[(x,y) \in B \times C\big]\big\} \\[2pt] &= (A \times C) \cap (B \times C) \end{aligned} \]

Üçüncü adımda “ve” işleminin eş güçlülük özelliği ($p \wedge p \equiv p$), dördüncü adımda ise değişme ve birleşme özellikleri kullanılmıştır.

$\blacksquare$

Örnek 18.3 (Fark Üzerine Dağılma) $\mathcal{E}$ evrensel küme olmak üzere $A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olsun. Kartezyen çarpım tanımını kullanarak

\[A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)\]

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

İki kapsamayı ayrı ayrı gösterelim.

1) $A \times (B \setminus C) \subseteq (A \times B) \setminus (A \times C)$.

$(x,y) \in A \times (B \setminus C)$ alalım. Tanımdan $x \in A$ ve $y \in B \setminus C$’dir; yani $x \in A$, $y \in B$ ve $y \notin C$’dir.

$x \in A$ ve $y \in B$ olduğundan $(x,y) \in A \times B$’dir.
$y \notin C$ olduğundan $(x,y) \notin A \times C$’dir.

Dolayısıyla $(x,y) \in (A \times B) \setminus (A \times C)$ elde edilir. $\tag{1}$

2) $(A \times B) \setminus (A \times C) \subseteq A \times (B \setminus C)$.

Keyfi bir $(x,y) \in (A \times B) \setminus (A \times C)$ alalım. Fark tanımından $(x,y) \in A \times B$ ve $(x,y) \notin A \times C$’dir.

Kartezyen çarpım tanımından $x \in A$ ve $y \in B$’dir. Ayrıca $x \in A$ olmasına karşın $(x,y) \notin A \times C$ olduğundan $y \notin C$ olmak zorundadır. O hâlde $y \in B \setminus C$’dir ve $(x,y) \in A \times (B \setminus C)$ yazılır. $\tag{2}$

$(1)$ ve $(2)$’den $A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)$ elde edilir.

$\blacksquare$

18.5 Kapsama ile İlişkisi

Teorem 18.3 (Kartezyen Çarpımda Kapsama) $A, B, C, D$ kümeleri verilsin.

\[\big[(A \subseteq B) \wedge (C \subseteq D)\big] \;\Longrightarrow\; (A \times C) \subseteq (B \times D)\]

İspat

Herhangi bir $(a, c) \in A \times C$ alalım:

\[ \begin{aligned} (a, c) \in A \times C &\Longrightarrow (a \in A) \wedge (c \in C) \\[2pt] &\Longrightarrow (a \in B) \wedge (c \in D) && \text{($A \subseteq B$ ve $C \subseteq D$ kabullerinden)} \\[2pt] &\Longrightarrow (a, c) \in B \times D \end{aligned} \]

O hâlde $(A \times C) \subseteq (B \times D)$’dir.

$\blacksquare$

Sonuçlar

Teorem 18.3’da özel seçimler yapılarak şunlar elde edilir. $A \subseteq B$ olsun:

Her $C$ kümesi için $A \times C \subseteq B \times C$ ($C \subseteq C$ alınarak).
$A \times A \subseteq A \times B$ (birinci çarpanda $A \subseteq A$, ikincide $A \subseteq B$ alınarak).
$A \times B \subseteq B \times B$ (birinci çarpanda $A \subseteq B$, ikincide $B \subseteq B$ alınarak).
$A \times A \subseteq B \times B$ (her iki çarpanda $A \subseteq B$ alınarak).

Bu bölümde kurduğumuz $A \times B$ kümesinin alt kümeleri, bir sonraki bölümün konusu olan bağıntı kavramını doğuracaktır.