16 Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Kümeler cebirinin iki temel işlemi birleşim ve kesişimdir. Bu işlemlerin tanımları doğrudan mantıktaki “veya” ile “ve” bağlaçlarına dayanır; bu yüzden özellikleri de önermeler cebirinin özelliklerini birebir yansıtır.

16.1 Tanımlar

Tanım 16.1 (Birleşim) $A, B \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi

\[A \cup B = \big\{x \mid (x \in A) \vee (x \in B)\big\}\]

biçiminde tanımlanır.

Tanım 16.2 (Kesişim) $A, B \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere $A$ ve $B$ kümelerinin kesişimi

\[A \cap B = \big\{x \mid (x \in A) \wedge (x \in B)\big\}\]

şeklinde tanımlanır.

Solda birleşim: iki kümeden en az birine ait olan öğeler. Sağda kesişim: her ikisine birden ait olan öğeler.

16.2 Temel Kapsama Teoremleri

Teorem 16.1 (Birleşim ve Kesişimin Kapsama İlişkileri) $A, B \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere aşağıdaki özellikler geçerlidir:

a) $A \subseteq A \cup B$ ve $B \subseteq A \cup B$

b) $A \cap B \subseteq A$ ve $A \cap B \subseteq B$

İspat

a) Herhangi bir $x \in A$ alalım. Birleşim kümesinin tanımından $x \in A$ olması $(x \in A) \vee (x \in B)$ önermesini doğru kılar; yani $x \in A \cup B$’dir.

O hâlde her $x \in A$ için $x \in A \cup B$’dir; yani $A \subseteq A \cup B$’dir. $B$ için de aynı akıl yürütme geçerlidir.

b) Herhangi bir $x \in A \cap B$ alalım. Kesişim kümesinin tanımından

\[x \in A \cap B \;\Longrightarrow\; (x \in A) \wedge (x \in B)\]

olur. “Ve” önermesinin her iki bileşeni de doğru olduğundan, her $x \in A \cap B$ için $x \in A$ ve her $x \in A \cap B$ için $x \in B$’dir. Buradan

\[A \cap B \subseteq A \qquad \text{ve} \qquad A \cap B \subseteq B\]

elde edilir.

$\blacksquare$

Teorem 16.2 (Kapsamanın İşlemlerle Korunması) $A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere aşağıdaki özellikler geçerlidir:

a) $A \subseteq B$ ise $A \cup C \subseteq B \cup C$’dir.

b) $A \subseteq B$ ise $A \cap C \subseteq B \cap C$’dir.

İspat

a) Kabul edelim ki $A \subseteq B$ olsun. Herhangi bir $x \in A \cup C$ alalım:

\[ \begin{aligned} x \in A \cup C &\Longrightarrow (x \in A) \vee (x \in C) \\[2pt] &\Longrightarrow (x \in B) \vee (x \in C) && \text{($A \subseteq B$ kabulünden)} \\[2pt] &\Longrightarrow x \in B \cup C \end{aligned} \]

O hâlde $A \cup C \subseteq B \cup C$’dir.

b) Benzer biçimde, herhangi bir $x \in A \cap C$ alalım:

\[ \begin{aligned} x \in A \cap C &\Longrightarrow (x \in A) \wedge (x \in C) \\[2pt] &\Longrightarrow (x \in B) \wedge (x \in C) && \text{($A \subseteq B$ kabulünden)} \\[2pt] &\Longrightarrow x \in B \cap C \end{aligned} \]

O hâlde $A \cap C \subseteq B \cap C$’dir.

$\blacksquare$

Sonuç

$A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere

\[A = B \;\Longrightarrow\; A \cup C = B \cup C \quad \text{ve} \quad A \cap C = B \cap C\]

Gerçekten $A = B$ ise hem $A \subseteq B$ hem $B \subseteq A$ olduğundan Teorem 16.2 iki yönde de uygulanır ve çift kapsama eşitliği verir.

Bu, kümeler cebirinde “eşitliğin her iki tarafını aynı kümeyle birleştirebiliriz” demenin kesin ifadesidir.

16.3 Birleşim İşleminin Özellikleri

Teorem 16.3 (Birleşimin Özellikleri) $A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere birleşim işlemi ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerlidir:

a) $A \cup A = A$ (eş güçlülük özelliği)

b) $A \cup B = B \cup A$ (değişme özelliği)

c) $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ (birleşme özelliği)

d) $B \subseteq A \;\Longleftrightarrow\; A \cup B = A$

e) $A \cup \varnothing = A$

f) $A \cup \mathcal{E} = \mathcal{E}$

İspat

$(a)$, $(b)$, $(c)$ özellikleri, tanımdaki “veya” işleminin eş güçlülük, değişme ve birleşme özelliklerinin doğrudan sonucudur. $(e)$ ve $(f)$ ise sırasıyla çelişkinin “veya” işleminde etkisiz, totolojinin ise yutan eleman olmasından gelir.

$(d)$ şıkkını ayrıntılı ispatlayalım.

($\Rightarrow$) Gereklilik: $B \subseteq A \Rightarrow A \cup B = A$.

$B \subseteq A$ olsun. Teorem 16.2 gereği eşitsizliğin her iki tarafını $A$ ile birleştirebiliriz:

\[A \cup B \subseteq A \cup A = A \;\Longrightarrow\; A \cup B \subseteq A \tag{$\ast$}\]

Diğer taraftan Teorem 16.1 gereği birleşim kümesi olmanın tanımından

\[A \subseteq A \cup B \tag{$\ast\ast$}\]

$(\ast)$ ve $(\ast\ast)$ birlikte çift kapsamayı verdiğinden $A \cup B = A$ elde edilir.

($\Leftarrow$) Yeterlik: $A \cup B = A \Rightarrow B \subseteq A$.

$A \cup B = A$ olsun. $B \nsubseteq A$ olduğunu kabul edelim. Bu takdirde $x \notin A$ olacak şekilde bir $x \in B$ vardır.

Diğer taraftan Teorem 16.1 gereği $B \subseteq A \cup B$ her zaman geçerli olduğundan

\[x \in B \;\Longrightarrow\; x \in A \cup B = A\]

olur ki bu, $x \notin A$ olması ile çelişir. O hâlde $B \subseteq A$’dır.

$\blacksquare$

16.4 Kesişim İşleminin Özellikleri

Teorem 16.4 (Kesişimin Özellikleri) $A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere kesişim işlemi ile aşağıdaki özellikler geçerlidir:

a) $A \cap A = A$ (eş güçlülük özelliği)

b) $A \cap B = B \cap A$ (değişme özelliği)

c) $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (birleşme özelliği)

d) $B \subseteq A \;\Longleftrightarrow\; A \cap B = B$

e) $A \cap \varnothing = \varnothing$

f) $A \cap \mathcal{E} = A$

İki tablo aynı, roller yer değiştirmiş

Birleşim ile kesişimin özellikleri karşılaştırıldığında $\varnothing$ ile $\mathcal{E}$’nin rollerinin takas edildiği görülür:

	birleşim	kesişim
$\varnothing$	etkisiz eleman	yutan eleman
$\mathcal{E}$	yutan eleman	etkisiz eleman

Bu, önermeler cebirindeki $c$ (çelişki) ile $t$ (totoloji) arasındaki ilişkinin birebir yansımasıdır: $\varnothing$ kümesi $c$’ye, $\mathcal{E}$ kümesi $t$’ye karşılık gelir.

16.5 Dağılma Özellikleri

Teorem 16.5 (Dağılma Özellikleri) $A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere aşağıdaki özellikler geçerlidir:

a) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

b) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

İspat

a) Bir öğenin her iki kümeye ait olma koşulunu yazıp önermeler cebirinin dağılma özelliğini kullanalım:

\[ \begin{aligned} x \in A \cap (B \cup C) &\Longleftrightarrow (x \in A) \wedge \big[(x \in B) \vee (x \in C)\big] \\[2pt] &\Longleftrightarrow \big[(x \in A) \wedge (x \in B)\big] \vee \big[(x \in A) \wedge (x \in C)\big] \\[2pt] &\Longleftrightarrow (x \in A \cap B) \vee (x \in A \cap C) \\[2pt] &\Longleftrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{aligned} \]

Bütün adımlar denklik olduğundan iki küme aynı öğelere sahiptir; yani eşittirler.

b) Aynı akıl yürütme, “veya”nın “ve” üzerine dağılma özelliği ile tekrarlanır.

$\blacksquare$

Küme özdeşliklerinin kaynağı önermeler cebiridir

Bu bölümdeki bütün özellikler aynı şablonla ispatlandı:

$x \in (\text{küme ifadesi})$ koşulunu önermeye çevir.
Önermeler cebirinde bilinen bir denkliği uygula.
Sonucu tekrar küme diline çevir.

Bu yüzden kümeler cebirinde ayrı bir kural listesi ezberlemeye gerek yoktur: $\cup \leftrightarrow \vee$, $\cap \leftrightarrow \wedge$, tümleyen $\leftrightarrow$ değil, $\varnothing \leftrightarrow c$, $\mathcal{E} \leftrightarrow t$ karşılıklarını bilmek yeterlidir.

Bir sonraki bölümde tümleyen, fark ve simetrik fark işlemlerini tanımlayıp De Morgan kurallarının küme karşılıklarını inceleyeceğiz.