14 Alt Küme ve Küme Eşitliği

Kümeler arasındaki en temel ilişki, birinin öğelerinin tamamının diğerinde bulunmasıdır. Bu bölümde bu ilişkiyi kesin biçimde tanımlıyor ve küme eşitliğini bunun üzerine kuruyoruz.

14.1 Alt Küme

Tanım 14.1 (Alt Küme) $A$ ve $B$, aynı $\mathcal{E}$ evrensel kümesinde tanımlı iki küme olmak üzere

\[\forall x, \;\; x \in A \Rightarrow x \in B\]

gerçekleniyorsa, $A$ kümesine $B$ kümesinin alt kümesi (ya da $B$, $A$’yı kapsar) denir ve

\[A \subseteq B \qquad \text{(ya da } B \supseteq A\text{)}\]

ile gösterilir.

Tanım 14.2 (Öz Alt Küme) Eğer $A \subseteq B$ ve $B$ kümesi $A$’da olmayan en az bir tane eleman içerirse, $A$ kümesine $B$ kümesinin öz alt kümesi denir ve

\[A \subset B \qquad \text{(ya da } A \subsetneq B\text{)}\]

ile gösterilir.

Tanım 14.3 (Alt Kümesi Olmama) Eğer $A$ kümesinin en az bir tane elemanı $B$ kümesine ait değilse, $A$ kümesine $B$ kümesinin alt kümesi değildir denir ve

\[A \nsubseteq B \qquad \text{(ya da } B \nsupseteq A\text{)}\]

ile gösterilir.

⊂ sembolü kaynaktan kaynağa değişir

Bu derste $\subset$ sembolü öz alt küme anlamında kullanılmaktadır: $A \subset B$ demek $A \subseteq B$ ve $A \neq B$ demektir.

Bazı kaynaklarda ise $\subset$ ile $\subseteq$ eş anlamlı kullanılır, yani $A \subset A$ yazılabilir. Karışıklığı önlemek için öz alt kümeyi $\subsetneq$ ile yazmak en güvenli yoldur.

14.2 İlk Sonuçlar

Teorem 14.1 (Alt Kümenin Temel Sonuçları) $A, B \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere:

Sonuç 1. $A \subset B \;\Longrightarrow\; A \subseteq B$

Sonuç 2. $A \subseteq A$ (her $A \subseteq \mathcal{E}$ için)

Sonuç 3. $A \nsubseteq B \;\Longleftrightarrow\; \exists x, \; (x \in A \wedge x \notin B)$

İspat

Sonuç 3. Alt küme tanımını mantık diline çevirelim:

\[A \subseteq B \;\Longleftrightarrow\; \forall x, \; (x \in A \Rightarrow x \in B)\]

Her iki tarafın değilini alalım:

\[ \begin{aligned} A \nsubseteq B &\Longleftrightarrow \Big[\forall x, \; (x \in A \Rightarrow x \in B)\Big]' \\[2pt] &\Longleftrightarrow \exists x, \; \big(x \in A \Rightarrow x \in B\big)' && \text{(niceleyicinin değili)} \\[2pt] &\Longleftrightarrow \exists x, \; \Big(\big(x \in A\big)' \vee \big(x \in B\big)\Big)' && \text{(ise açılımı)} \\[2pt] &\Longleftrightarrow \exists x, \; \big(x \in A\big) \wedge \big(x \notin B\big) && \text{(De Morgan)} \end{aligned} \]

$\blacksquare$

Sözle: bir kümenin başka bir kümenin alt kümesi olmadığını göstermek için, birincide bulunup ikincide bulunmayan bir tek eleman göstermek yeterlidir.

Örnek 14.1 (Hangileri Doğrudur?) $A = \{a, b, c\}$ ve $B = \big\{a, \, b, \, 3, \, 4, \, \{a, b, c\}\big\}$ olsun. Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

a) $A \notin B$ b) $\{A\} \subseteq B$ c) $A \subseteq B$ d) $A \subset B$

Çözüm

Önce $B$ kümesinin öğelerini tek tek belirleyelim: $a$, $b$, $3$, $4$ ve kümenin kendisi bir öğe olarak $\{a,b,c\}$. Yani $B$’nin beş öğesi vardır.

a) $A = \{a,b,c\}$ olduğuna ve $\{a,b,c\}$ öğesi $B$’nin bir elemanı olduğuna göre $A \in B$’dir. O hâlde $A \notin B$ önermesi yanlıştır.

b) $\{A\} = \big\{\{a,b,c\}\big\}$ kümesinin tek öğesi $\{a,b,c\}$’dir ve bu öğe $B$’ye aittir. O hâlde $\{A\} \subseteq B$ önermesi doğrudur.

c) $c \in A$ olmasına karşın $c \notin B$’dir ($B$’nin öğeleri arasında $c$ tek başına yer almaz). Teorem 14.1 gereği $A \nsubseteq B$’dir; önerme yanlıştır.

d) Öz alt küme olmak için önce alt küme olmak gerekir; $(c)$ şıkkından $A \nsubseteq B$ olduğundan önerme yanlıştır.

$\blacksquare$

Öğe olmak ile alt küme olmak farklı şeylerdir

Yukarıdaki örnek bu ayrımı çok net gösterir:

\[A \in B \quad \text{ama} \quad A \nsubseteq B\]

$A$, $B$’nin bir öğesidir; ama $A$’nın öğeleri $B$’nin öğeleri değildir. Bir kümenin öğesi olmak ($\in$) ile alt kümesi olmak ($\subseteq$) birbirinden tamamen bağımsız iki ilişkidir.

Kural: $x \in B$ sorusunda $x$’in kendisini $B$’nin öğeleri arasında ararız; $X \subseteq B$ sorusunda ise $X$’in her öğesini $B$’nin öğeleri arasında ararız.

14.3 Eşit Kümeler

Tanım 14.4 (Eşit Kümeler) $A, B \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere

\[\forall x, \;\; \big(x \in A \Leftrightarrow x \in B\big)\]

gerçekleniyor ise $A$ ve $B$ kümelerine eşittir denir ve $A = B$ ile gösterilir.

Teorem 14.2 (Eşitliğin Çift Kapsama ile İfadesi) $A, B \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere

\[A = B \;\Longleftrightarrow\; (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)\]

İspat

Tanımdan başlayalım ve $p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$ denkliğini kullanalım:

\[ \begin{aligned} A = B &\Longleftrightarrow \forall x, \; \big(x \in A \Leftrightarrow x \in B\big) \\[2pt] &\Longleftrightarrow \forall x, \; \Big[\big(x \in A \Rightarrow x \in B\big) \wedge \big(x \in B \Rightarrow x \in A\big)\Big] \\[2pt] &\Longleftrightarrow \underbrace{\forall x, \; \big(x \in A \Rightarrow x \in B\big)}_{A \,\subseteq\, B} \;\wedge\; \underbrace{\forall x, \; \big(x \in B \Rightarrow x \in A\big)}_{B \,\subseteq\, A} \\[2pt] &\Longleftrightarrow (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A) \end{aligned} \]

Üçüncü adımda, evrensel niceleyicinin “ve” işlemi üzerine dağılabilmesi kullanılmıştır.

$\blacksquare$

Küme eşitliği ispatlarının standart kalıbı

Teorem 14.2, iki kümenin eşit olduğunu göstermenin standart yolunu verir: iki kapsamayı ayrı ayrı ispatlamak.

Keyfi bir $x \in A$ alıp $x \in B$ olduğunu göster $\;\Rightarrow\; A \subseteq B$.
Keyfi bir $x \in B$ alıp $x \in A$ olduğunu göster $\;\Rightarrow\; B \subseteq A$.

Bu iki adım tamamlandığında $A = B$ elde edilir. Kümeler cebirindeki hemen her özdeşlik böyle ispatlanır.

Teorem 14.3 (Eşit Olmama ve Öz Alt Küme) $A, B \subseteq \mathcal{E}$ olmak üzere:

\[\textbf{a)} \;\; A \neq B \;\Longleftrightarrow\; \big(A \nsubseteq B \;\vee\; B \nsubseteq A\big)\]

\[\textbf{b)} \;\; A \subset B \;\Longleftrightarrow\; \big(A \subseteq B \;\wedge\; A \neq B\big)\]

İspat

a) Teorem 14.2’nın değillenmesinden De Morgan kuralı ile:

\[A \neq B \Longleftrightarrow \Big[(A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)\Big]' \Longleftrightarrow \big(A \nsubseteq B\big) \vee \big(B \nsubseteq A\big)\]

b) Öz alt küme tanımı mantıksal denklik olarak

\[A \subset B \Longleftrightarrow \Big[A \subseteq B \;\wedge\; \exists x \, \big(x \notin A \wedge x \in B\big)\Big]\]

biçiminde yazılır. Teorem 14.1’ın üçüncü sonucu kullanılırsa köşeli ayraç içindeki varlık önermesi $B \nsubseteq A$ olur:

\[A \subset B \Longleftrightarrow \big(A \subseteq B \;\wedge\; B \nsubseteq A\big)\]

Şimdi sağ tarafı düzenleyelim. $\big(A \subseteq B \wedge A \nsubseteq B\big)$ bir çelişki olduğundan, “veya” işleminin etkisiz elemanı olarak eklenebilir:

\[ \begin{aligned} \big(A \subseteq B \wedge B \nsubseteq A\big) &\equiv \big(A \subseteq B \wedge B \nsubseteq A\big) \vee c \\[2pt] &\equiv \big(A \subseteq B \wedge B \nsubseteq A\big) \vee \big(A \subseteq B \wedge A \nsubseteq B\big) \\[2pt] &\equiv A \subseteq B \wedge \big(B \nsubseteq A \vee A \nsubseteq B\big) && \text{(dağılma)} \\[2pt] &\equiv A \subseteq B \wedge A \neq B && \text{($(a)$ şıkkı)} \end{aligned} \]

$\blacksquare$

14.4 Kapsamanın Geçişme Özellikleri

Teorem 14.4 (Kapsamanın Geçişme Özellikleri) $A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olsun.

a) $A \subseteq B$ ve $B \subseteq C$ ise $A \subseteq C$’dir.

b) $A \subset B$ ve $B \subset C$ ise $A \subset C$’dir.

c) $A \subseteq B$ ve $B \subset C$ ise $A \subset C$’dir.

d) $A \subset B$ ve $B \subseteq C$ ise $A \subset C$’dir.

İspat

a) $A \subseteq C$ kapsamasını göstermek için her $x \in A$ için $x \in C$ olduğunu göstermeliyiz.

$A \subseteq B$ olduğundan her $x \in A$ için $x \in B$ olur. Benzer biçimde $B \subseteq C$ olduğundan her $x \in B$ için $x \in C$ elde edilir. İkisini birleştirirsek her $x \in A$ için $x \in C$ bulunur; yani $A \subseteq C$’dir.

b) Öz alt küme tanımından, $A \subset C$ olduğunu göstermek için hem her $x \in A$ için $x \in C$ olduğunu, hem de $y \notin A$ olacak şekilde bir $y \in C$ bulunduğunu göstermeliyiz.

İlk olarak $A \subset B$ olduğundan her $x \in A$ için $x \in B$ olur. Benzer biçimde $B \subset C$ olduğundan her $x \in B$ için $x \in C$ elde edilir; böylece $A \subseteq C$’dir.

İkinci olarak $A \subset B$ olduğundan $y \notin A$ olacak şekilde bir $y \in B$ vardır. Ayrıca $B \subset C$ olduğundan bu $y$ öğesi için $y \in C$ geçerlidir. Sonuçta $y \notin A$ olacak şekilde bir $y \in C$ bulunur. Bundan dolayı $A \subset C$’dir.

c) ve d) şıkları benzer biçimde yapılabileceğinden alıştırma olarak bırakılmıştır.

$\blacksquare$

14.5 Çözümlü Uygulamalar

Örnek 14.2 (Kapsama İlişkilerini Belirleme) $\mathcal{E} = \{a, b, c, d, e\}$ olsun. $A = \{a, b, c, d\}$, $B = \{a, b, c\}$ ve $C = \{c, d\}$ ise aşağıdakilerin hepsi geçerlidir:

1) $B \subseteq A$ 2) $B \subset A$ 3) $C \subset A$ 4) $C \nsubseteq B$ 5) $A \subseteq A$

Gerçekten $B$’nin bütün öğeleri $A$’dadır ve $d \in A$, $d \notin B$ olduğundan kapsama özdür. Benzer biçimde $C$’nin öğeleri $A$’dadır ve $a \in A$, $a \notin C$’dir. Öte yandan $d \in C$ fakat $d \notin B$ olduğundan $C$, $B$’nin alt kümesi değildir.

Örnek 14.3 (Öğe mi, Alt Küme mi?) $A = \big\{1, \, \{1\}, \, \{2\}\big\}$ olsun. Aşağıdaki önermelerden hangilerinin doğru olduğunu belirleyiniz.

a) $1 \in A$ b) $\{1\} \in A$ c) $\{1\} \subseteq A$ d) $\big\{\{1\}\big\} \subseteq A$

e) $\{2\} \in A$ f) $\{2\} \subseteq A$ g) $\big\{\{2\}\big\} \subseteq A$ h) $\big\{\{2\}\big\} \subset A$

Çözüm

$A$ kümesinin üç öğesi vardır: $1$, $\{1\}$ ve $\{2\}$. Dikkat edilirse $2$ sayısı $A$’nın bir öğesi değildir.

a) $1$, $A$’nın öğeleri arasındadır. Doğru.

b) $\{1\}$, $A$’nın öğeleri arasındadır. Doğru.

c) $\{1\}$ kümesinin tek öğesi olan $1$, $A$’ya aittir. Doğru.

d) $\big\{\{1\}\big\}$ kümesinin tek öğesi olan $\{1\}$, $A$’ya aittir. Doğru.

e) $\{2\}$, $A$’nın öğeleri arasındadır. Doğru.

f) $\{2\}$ kümesinin tek öğesi $2$’dir; ancak $2 \notin A$’dır. Yanlış.

g) $\big\{\{2\}\big\}$ kümesinin tek öğesi olan $\{2\}$, $A$’ya aittir. Doğru.

h) $(g)$ şıkkından kapsama vardır; ayrıca $1 \in A$ fakat $1 \notin \big\{\{2\}\big\}$ olduğundan kapsama özdür. Doğru.

$\blacksquare$

Örnek 14.4 (İç İçe Kümeler) $A \in X$ ve $X \in Y$ olan, ancak $A \notin Y$ şartını sağlayan $X$, $Y$, $A$ kümelerine bir örnek veriniz.

Çözüm

\[A = \{1, 2\}, \qquad X = \{A\} = \big\{\{1,2\}\big\}, \qquad Y = \{X\} = \Big\{\big\{\{1,2\}\big\}\Big\}\]

kümelerini alalım.

$X$ kümesinin tek öğesi $A$ olduğundan $A \in X$’tir.
$Y$ kümesinin tek öğesi $X$ olduğundan $X \in Y$’dir.
$Y$’nin tek öğesi $X = \big\{\{1,2\}\big\}$’dir; oysa $A = \{1,2\}$’dir ve $A \neq X$ olduğundan $A \notin Y$’dir.

Bu örnekte $A \in X$, $X \in Y$ ancak $A \notin Y$ sağlanmış olur.

$\blacksquare$

Öğelik bağıntısı geçişmeli değildir

Son örnek şunu gösterir: $A \in X$ ve $X \in Y$ olması $A \in Y$ olmasını gerektirmez. Yani $\in$ bağıntısı geçişme özelliğine sahip değildir.

Oysa Teorem 14.4 gereği $\subseteq$ bağıntısı geçişmelidir. İki bağıntının bu farkı, öğelik ile kapsamayı karıştırmamak için iyi bir hatırlatıcıdır.

Örnek 14.5 (Kapsama Aktarılır mı?) $\mathcal{E}$ bir evrensel küme ve $A, B, C \subseteq \mathcal{E}$ olsun. Eğer $A \subseteq B$ ve $B \nsubseteq C$ ise, o zaman $A \nsubseteq C$ midir? Araştırınız.

Çözüm

$A \subseteq B$ ve $B \nsubseteq C$ iken $A \nsubseteq C$ özelliği daima doğru değildir. Bir aksine örnek verelim:

\[A = \{1, 2\}, \qquad B = \{1, 2, 3, 4\}, \qquad C = \{1, 2, 3\}\]

alalım. Bu durumda:

$A$’nın bütün öğeleri $B$’de bulunduğundan $A \subseteq B$’dir.
$4 \in B$ fakat $4 \notin C$ olduğundan $B \nsubseteq C$’dir.
Ancak $A$’nın bütün öğeleri $C$’de bulunduğundan $A \subseteq C$ geçerlidir.

O hâlde hipotezler sağlandığı hâlde sonuç sağlanmamaktadır.

$\blacksquare$

Örnek 14.6 (Aynı Küme, Farklı Formül) $\mathbb{Z}$’nin aşağıda verilen alt kümelerini göz önüne alalım:

\[ \begin{aligned} A &= \{2m + 1 \mid m \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\} \\ B &= \{2n + 3 \mid n \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\} \\ C &= \{2p - 3 \mid p \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\} \\ D &= \{2r + 1 \mid r \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\} \\ E &= \{3s + 2 \mid s \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -4, -1, 2, 5, \dots\} \\ F &= \{2t - 2 \mid t \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\} \end{aligned} \]

Aşağıdaki önermelerin hangilerinin doğru olduğunu belirleyiniz.

a) $A = B$ b) $A = C$ c) $B = C$ d) $D = E$ e) $D = F$ f) $E = F$

Çözüm

Önce her kümenin ne olduğunu belirleyelim.

$m$ bütün tam sayıları dolaştığında $2m+1$ bütün tek tam sayıları verir. Aynı şekilde

\[2n + 3 = 2(n+1) + 1, \qquad 2p - 3 = 2(p-2) + 1, \qquad 2r + 1\]

yazılabildiğinden $B$, $C$ ve $D$ de tek tam sayılar kümesidir. O hâlde

\[A = B = C = D = \{\text{tek tam sayılar}\}\]

$E$ kümesi $3$ ile bölümünden kalan $2$ olan tam sayılardan, $F$ kümesi ise $2t - 2 = 2(t-1)$ olduğundan çift tam sayılardan oluşur.

a), b), c) Doğrudur; dördü de aynı kümedir.

d) Yanlıştır. Örneğin $1 \in D$ fakat $1 \notin E$’dir ($1$’in $3$ ile bölümünden kalan $1$’dir).

e) Yanlıştır. $D$ tek, $F$ çift tam sayılardan oluşur; ortak öğeleri bile yoktur.

f) Yanlıştır. Örneğin $2 \in E$ ve $2 \in F$’dir ama $5 \in E$ iken $5 \notin F$’dir.

$\blacksquare$

Formül farklı, küme aynı

Son örnek, bir kümenin gösteriminin kümenin kendisini belirlemediğini gösterir. $\{2m+1\}$, $\{2n+3\}$ ve $\{2p-3\}$ farklı formüllerdir ama parametre bütün $\mathbb{Z}$’yi dolaştığında üçü de aynı kümeyi üretir.

Bu tür sorularda formülleri karşılaştırmak yerine, her birini $2k + r$ biçimine (yani “$m$’ye bölümünden kalan $r$ olanlar” biçimine) indirgemek en güvenilir yoldur.

Bir sonraki bölümde hiç öğesi olmayan kümeyi ve bir kümenin bütün alt kümelerinden oluşan kuvvet kümesini inceleyeceğiz.