10 Karşıt Ters ile İspat
Bazı önermelerde öncülden yola çıkıp sonuca ulaşmak zordur; çünkü öncül “şu sayı tektir” gibi olumlu değil, “şu sayı bölünmez” gibi olumsuz bir bilgi verir. Böyle durumlarda önermeyi doğrudan değil, kendisine denk olan karşıt tersi üzerinden ispatlarız.
10.1 Yöntemin Dayanağı
Koşullu önerme bölümünde her koşullu önermenin karşıt tersine denk olduğunu ispatlamıştık:
\[p \Rightarrow q \;\equiv\; q' \Rightarrow p'\]
Bu denklik, bir teoremi ispatlarken iki eşdeğer hedeften istediğimizi seçme özgürlüğü verir.
Tanım 10.1 (Karşıt Ters (Dolaylı) İspat Yöntemi) \(p(x) \Rightarrow q(x)\) biçimindeki bir önermenin ispatında, önermenin karşıt tersi olan
\[q'(x) \Rightarrow p'(x)\]
önermesi doğrudan ispat yöntemiyle ispatlanırsa, kullanılan yönteme karşıt ters ile ispat veya dolaylı ispat yöntemi denir.
\(p \Rightarrow q\) önermesinin
- karşıtı \(q \Rightarrow p\),
- tersi \(p' \Rightarrow q'\),
- karşıt tersi \(q' \Rightarrow p'\)
önermesidir. Bunlardan yalnızca karşıt ters özgün önermeye denktir. Karşıtı ya da tersi ispatlanırsa teorem ispatlanmış olmaz.
10.2 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 10.1 (Tekten Çifte) \(n\) bir tam sayı olmak üzere, \(7n - 3\) bir tek tam sayı ise \(n\)’nin bir çift tam sayı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Karşıt ters ispat yöntemini kullanalım. Önermenin bileşenleri
\[p(n): 7n - 3 \text{ bir tek tam sayıdır}, \qquad q(n): n \text{ bir çift tam sayıdır}\]
olduğuna göre, ispatlayacağımız karşıt ters önerme
\[q'(n) \Rightarrow p'(n): \quad n \text{ bir tek tam sayı ise } 7n - 3 \text{ bir çift tam sayıdır}\]
biçimindedir.
\(n\) bir tek tam sayı olsun; yani \(n = 2k + 1\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) vardır. Buna göre
\[7n - 3 = 7(2k + 1) - 3 = 14k + 7 - 3 = 14k + 4 = 2\underbrace{(7k + 2)}_{\in\, \mathbb{Z}}\]
olur. \(t = 7k + 2 \in \mathbb{Z}\) dersek \(7n - 3 = 2t\) yazılır; yani \(7n - 3\) bir çift tam sayıdır.
Karşıt ters önerme doğru olduğundan, kendisine denk olan asıl önerme de doğrudur.
\(\blacksquare\)
Örnek 10.2 (İkinci Dereceden Bir İfade) \(x\) bir tam sayı olmak üzere, \(x^2 - 6x + 5\) çift bir tam sayı ise \(x\)’in tek bir tam sayı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Verilen önermenin karşıt tersi olan
\[x \text{ çift ise } x^2 - 6x + 5 \text{ tektir}\]
önermesini ispatlayalım.
Kabul edelim ki \(x\) çift olsun. \(x = 2a\) olacak şekilde bir \(a \in \mathbb{Z}\) vardır. Buna göre
\[ \begin{aligned} x^2 - 6x + 5 &= (2a)^2 - 6 \cdot 2a + 5 \\ &= 4a^2 - 12a + 5 \\ &= 4a^2 - 12a + 4 + 1 \\ &= 2\underbrace{(2a^2 - 6a + 2)}_{\in\, \mathbb{Z}} + 1 \end{aligned} \]
yazılır. O hâlde \(x^2 - 6x + 5\) tek sayıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 10.3 (Bir Sıralama Eşitsizliği) Herhangi \(x, y \in \mathbb{R}\) verilsin. Eğer \(y^3 + yx^2 \leq x^3 + xy^2\) ise \(y \leq x\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Karşıt ters ispat yöntemini kullanalım. İspatlayacağımız karşıt ters önerme
\[x < y \;\Longrightarrow\; x^3 + xy^2 < y^3 + yx^2\]
biçimindedir.
Kabul edelim ki \(x < y\) olsun; buradan \(y - x > 0\)’dır. Ayrıca \(x < y\) olduğundan \(x\) ile \(y\) aynı anda sıfır olamaz, dolayısıyla
\[x^2 + y^2 > 0\]
sağlanır. Eşitsizliğin her iki tarafını bu pozitif sayı ile çarparsak
\[(x^2 + y^2)(y - x) > 0\]
bulunur. Sol tarafı açalım:
\[yx^2 + y^3 - x^3 - xy^2 > 0 \;\Longrightarrow\; x^3 + xy^2 < y^3 + yx^2\]
elde edilir. Karşıt ters önerme doğru olduğundan asıl önerme de doğrudur.
\(\blacksquare\)
İspatın anahtarı şu özdeşliktir:
\[y^3 + yx^2 - x^3 - xy^2 = (y - x)(x^2 + y^2)\]
Buradan görülür ki \(x^2 + y^2 > 0\) olduğu sürece iki tarafın karşılaştırılması tamamen \(y - x\)’in işaretine bağlıdır.
\(x = y\) alındığında iki taraf eşit olur; yani hipotez \(\leq\) olarak sağlanır ama \(y < x\) sağlanmaz. Bu yüzden sonuç ancak \(y \leq x\) olarak yazılabilir. Hipotezdeki \(\leq\) işareti \(<\) ile değiştirilirse sonuç da \(y < x\)’e güçlenir.
Örnek 10.4 (Bölünmeyen Çarpım) Herhangi \(x, y \in \mathbb{Z}\) verilsin. Eğer \(5 \nmid xy\) ise \(5 \nmid x\) ve \(5 \nmid y\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Karşıt ters ispat yöntemini kullanalım. Sonuç bir “ve” önermesi olduğundan, değilini alırken De Morgan kuralı devreye girer:
\[\big(5 \nmid x \;\wedge\; 5 \nmid y\big)' \equiv \big(5 \mid x \;\vee\; 5 \mid y\big)\]
O hâlde ispatlayacağımız karşıt ters önerme
\[\big(5 \mid x \;\text{ veya }\; 5 \mid y\big) \;\Longrightarrow\; 5 \mid xy\]
biçimindedir. İki durumu ayrı ayrı ele alalım.
1. durum: \(5 \mid x\) olsun. Tanımdan \(x = 5a\) olacak şekilde bir \(a \in \mathbb{Z}\) vardır. Buna göre
\[xy = (5a) \cdot y = 5 \cdot \underbrace{(a y)}_{\in\, \mathbb{Z}}\]
bulunur; yani \(5 \mid xy\)’dir.
2. durum: \(5 \mid y\) olsun. Tanımdan \(y = 5b\) olacak şekilde bir \(b \in \mathbb{Z}\) vardır. Buna göre
\[xy = x \cdot (5b) = 5 \cdot \underbrace{(x b)}_{\in\, \mathbb{Z}}\]
bulunur; yani yine \(5 \mid xy\)’dir.
Her iki durumda da sonuç sağlandığından karşıt ters önerme doğrudur; dolayısıyla asıl önerme de doğrudur.
\(\blacksquare\)
Karşıt ters yöntemi özellikle şu iki durumda işe yarar:
- Öncül olumsuzsa. “\(5 \nmid xy\)” hipotezinden hesaba başlayacak bir denklem çıkmaz; oysa değili olan “\(5 \mid xy\)” doğrudan \(xy = 5k\) verir.
- Sonuç olumsuzsa. “\(x\) tektir” gibi bir sonuca varmak için genellikle \(x\)’in çift olduğunu varsayıp ilerlemek daha kolaydır.
Kısacası: hangi tarafta çarpan çıkarılabilecek bir bilgi varsa, o tarafı hipotez yapın.
Bir sonraki bölümde, önermenin yanlış olduğunu varsayıp çelişkiye ulaşan çelişki ile ispat yöntemini inceleyeceğiz.