12 Durum İncelemeli İspat
Bazı önermelerde değişken hakkında tek bir hipotez yoktur; önerme “her tam sayı için” gibi bütün değerleri kapsar. Böyle durumlarda değişkenin alabileceği hâlleri birbirini dışlayan ve hepsini kapsayan gruplara ayırıp her grubu ayrı ayrı incelemek en pratik yoldur.
12.1 Yöntem
Tanım 12.1 (Durum İncelemeli İspat Yöntemi) Bir \(p(x)\) açık önermesi verilmiş olsun. Bu açık önermenin bir \(x\) değeri için doğruluğu, \(x\)’in özelliklerini içeren tüm durumlar göz önüne alınarak ispat edilirse, buna durum incelemeli ispat yöntemi adı verilir.
Durum ayrımının geçerli olması için iki koşul gerekir:
- Eksiksizlik: her \(x\) değeri en az bir durumun içinde olmalıdır. Bir durum atlanırsa ispat eksik kalır.
- Ayrıklık: durumlar çakışmasa iyi olur; çakışma ispatı bozmaz ama gereksiz tekrar yaratır.
Tam sayılarda en güvenilir ayrım, bir \(m\) sayısına bölümden kalana göre yapılandır: \(m = 2\) için tek/çift, \(m = 3\) için kalan \(0\), \(1\), \(2\) olmak üzere üç durum.
12.2 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 12.1 (İki Durumlu Ayrım) \(n\) bir tam sayı ise \(n^2 + 5n + 2\) tam sayısının çift olduğunu ispat ediniz.
Çözüm
Bir tam sayı ya tek ya da çifttir; iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.
1. durum: \(n\) tek olsun. O hâlde \(n = 2k + 1\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) vardır.
\[ \begin{aligned} n^2 + 5n + 2 &= (2k+1)^2 + 5(2k+1) + 2 \\ &= 4k^2 + 4k + 1 + 10k + 5 + 2 \\ &= 4k^2 + 14k + 8 \\ &= 2\underbrace{(2k^2 + 7k + 4)}_{\in\, \mathbb{Z}} \end{aligned} \]
\(t = 2k^2 + 7k + 4 \in \mathbb{Z}\) dersek \(n^2 + 5n + 2 = 2t\) olur; yani ifade çifttir.
2. durum: \(n\) çift olsun. O hâlde \(n = 2\ell\) olacak şekilde bir \(\ell \in \mathbb{Z}\) vardır.
\[ \begin{aligned} n^2 + 5n + 2 &= (2\ell)^2 + 5 \cdot 2\ell + 2 \\ &= 4\ell^2 + 10\ell + 2 \\ &= 2\underbrace{(2\ell^2 + 5\ell + 1)}_{\in\, \mathbb{Z}} \end{aligned} \]
\(m = 2\ell^2 + 5\ell + 1 \in \mathbb{Z}\) dersek \(n^2 + 5n + 2 = 2m\) olur; yani ifade yine çifttir.
Her iki durumda da \(n^2 + 5n + 2\) çift olduğundan, önerme her \(n \in \mathbb{Z}\) için doğrudur.
\(\blacksquare\)
Örnek 12.2 (Üç Durumlu Ayrım) \(n\) bir tam sayı ise \(n^3 - 4n\) tam sayısının \(3\) ile tam bölündüğünü ispat ediniz.
Çözüm
Bir tam sayının \(3\) ile bölümünden kalan \(0\), \(1\) veya \(2\) olabilir; üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.
1. durum: \(n\) sayısı \(3\) ile tam bölünsün. O hâlde \(n = 3k\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) vardır.
\[n^3 - 4n = (3k)^3 - 4(3k) = 27k^3 - 12k = 3\underbrace{(9k^3 - 4k)}_{\in\, \mathbb{Z}}\]
2. durum: \(n\) sayısının \(3\) ile bölümünden kalan \(1\) olsun. O hâlde \(n = 3\ell + 1\) olacak şekilde bir \(\ell \in \mathbb{Z}\) vardır.
\[ \begin{aligned} n^3 - 4n &= (3\ell+1)^3 - 4(3\ell+1) \\ &= 27\ell^3 + 27\ell^2 + 9\ell + 1 - 12\ell - 4 \\ &= 27\ell^3 + 27\ell^2 - 3\ell - 3 \\ &= 3\underbrace{(9\ell^3 + 9\ell^2 - \ell - 1)}_{\in\, \mathbb{Z}} \end{aligned} \]
3. durum: \(n\) sayısının \(3\) ile bölümünden kalan \(2\) olsun. O hâlde \(n = 3r + 2\) olacak şekilde bir \(r \in \mathbb{Z}\) vardır.
\[ \begin{aligned} n^3 - 4n &= (3r+2)^3 - 4(3r+2) \\ &= 27r^3 + 54r^2 + 36r + 8 - 12r - 8 \\ &= 27r^3 + 54r^2 + 24r \\ &= 3\underbrace{(9r^3 + 18r^2 + 8r)}_{\in\, \mathbb{Z}} \end{aligned} \]
Üç durumda da \(n^3 - 4n\) ifadesi \(3\)’ün bir katı olarak yazıldığından, her \(n \in \mathbb{Z}\) için \(3 \mid (n^3 - 4n)\)’dir.
\(\blacksquare\)
\(n^3 - 4n\) ifadesi çarpanlarına ayrılabilir:
\[n^3 - 4n = n(n^2 - 4) = (n-2)\,n\,(n+2)\]
Modülo \(3\)’te \(-2 \equiv 1\) olduğundan \(n - 2 \equiv n + 1\)’dir. O hâlde üç çarpan sırasıyla
\[n + 1, \quad n, \quad n + 2 \pmod 3\]
değerlerine denktir; bunlar birbirini izleyen üç kalan olduğundan \(0\), \(1\), \(2\) kalanlarının hepsini kapsar. Dolayısıyla çarpanlardan tam olarak biri \(3\) ile bölünür ve çarpım da \(3\) ile bölünür.
Bu ikinci yol daha kısadır, ancak durum incelemesi hiçbir yaratıcılık gerektirmediği için her zaman güvenle uygulanabilir.
12.3 Dört Yöntemin Karşılaştırılması
Aynı teoremi farklı yöntemlerle ispatlamak, hangi yöntemin ne zaman kolaylık sağladığını görmenin en iyi yoludur.
Örnek 12.3 (Bir Teorem, Üç İspat) “\(x\) gerçel sayısı \(0 < x \leq 1\) eşitsizliğini sağlıyorsa \(x + \dfrac{1}{x} \geq 2\) dir.”
teoremini a) doğrudan ispat, b) karşıt ters ispat ve c) çelişki ile ispat yöntemleriyle ispat ediniz.
Çözüm
a) Doğrudan ispat.
\(0 < x \leq 1\) olsun. Her gerçel sayının karesi negatif olmadığından
\[(x - 1)^2 \geq 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 2x + 1 \geq 0 \;\Longrightarrow\; x^2 + 1 \geq 2x\]
yazılır. Hipotezden \(x > 0\) olduğundan eşitsizliğin her iki tarafını \(x\)’e bölebiliriz ve yön değişmez:
\[\frac{x^2 + 1}{x} \geq 2 \;\Longrightarrow\; x + \frac{1}{x} \geq 2\]
b) Karşıt ters ile ispat.
İspatlayacağımız karşıt ters önerme
\[x + \frac{1}{x} < 2 \;\Longrightarrow\; \big(0 < x \leq 1\big) \text{ sağlanmaz}\]
biçimindedir. Kabul edelim ki \(x + \dfrac{1}{x} < 2\) olsun (\(x \neq 0\)). İfadeyi tek kesir hâline getirelim:
\[x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}\]
Hipotezden bu kesir negatiftir:
\[\frac{(x-1)^2}{x} < 0\]
Payda bulunan \((x-1)^2\) ifadesi hiçbir zaman negatif olmadığından, kesrin negatif olabilmesi için paydanın negatif olması, yani
\[x < 0\]
olması gerekir. \(x < 0\) ise \(0 < x \leq 1\) koşulu sağlanmaz. Karşıt ters önerme doğru olduğundan asıl önerme de doğrudur.
c) Çelişki ile ispat.
Kabul edelim ki önerme yanlış olsun; yani hem \(0 < x \leq 1\) hem de
\[x + \frac{1}{x} < 2\]
sağlansın. \(x > 0\) olduğundan eşitsizliğin her iki tarafını \(x\) ile çarpabiliriz ve yön değişmez:
\[x^2 + 1 < 2x \;\Longrightarrow\; x^2 - 2x + 1 < 0 \;\Longrightarrow\; (x - 1)^2 < 0\]
Bu ise bir çelişkidir; çünkü bir gerçel sayının karesi negatif olamaz. Çelişki kabulümüzden kaynaklandığına göre kabulümüz yanlıştır ve teorem doğrudur.
\(\blacksquare\)
Dikkat edilirse üç ispat da aynı özdeşliğe dayandı:
\[x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{(x-1)^2}{x}\]
Yöntemler yalnızca bu özdeşliğe hangi kapıdan girdiğimizi değiştirdi. Bir teoremin “asıl fikri” genellikle yöntemden bağımsızdır; yöntem, o fikri sunma biçimidir.
Bu teoremin \(0 < x \leq 1\) koşuluna da aslında ihtiyacı yoktur: ispatların üçünde de kullanılan tek şey \(x > 0\) olmasıdır.
Bu bölümle ispat yöntemlerini tamamladık. Bir sonraki bölümden itibaren, bu yöntemleri kullanarak kümeler kuramının temel sonuçlarını kuracağız.