9 Doğrudan İspat Yöntemi
Bir matematiksel önermenin doğru olduğunu göstermeye ispat denir. Mantık bölümünde teoremlerin neredeyse tamamının
\[p(x) \Rightarrow q(x)\]
biçiminde kurulduğunu görmüştük. Bu bölümden itibaren, böyle bir önermenin doğruluğunu göstermek için kullanılan yöntemleri tek tek ele alıyoruz.
9.1 İspat Yöntemleri
Bir \(p(x) \Rightarrow q(x)\) önermesini ispatlamanın başlıca dört yolu vardır:
- Doğrudan ispat: \(p(x)\)’in doğru olduğu kabul edilip \(q(x)\)’in doğruluğuna ulaşılır.
- Karşıt ters ile ispat: \(q'(x) \Rightarrow p'(x)\) önermesi ispatlanır.
- Çelişki ile ispat: önermenin yanlış olduğu varsayılıp bir çelişkiye ulaşılır.
- Durum incelemeli ispat: \(x\)’in bütün olası hâlleri ayrı ayrı incelenir.
Çözüme başlarken hangi ispat yönteminin kullanılacağı mutlaka belirtilmelidir. Okuyucu, “kabul edelim ki…” ile başlayan bir cümlede neyin kabul edildiğini ancak yöntemi bilirse doğru yorumlayabilir.
9.2 Doğrudan İspat
Tanım 9.1 (Doğrudan (Direkt) İspat Yöntemi) \(p(x) \Rightarrow q(x)\) biçimindeki bir önermenin ispatında, \(p(x)\) açık önermesinin doğru olduğu kabul edilerek \(q(x)\) açık önermesinin de doğru olduğu gösterilirse, kullanılan yönteme doğrudan ispat yöntemi denir.
Bu yöntem, koşullu önermenin doğruluk tablosuna dayanır: \(p \Rightarrow q\) önermesi yalnızca \(p\) doğru ve \(q\) yanlış iken yanlıştır. O hâlde \(p\)’nin doğru olduğu durumda \(q\)’nun da doğru olduğunu göstermek yeterlidir; \(p\)’nin yanlış olduğu durumlarda önerme zaten doğrudur.
9.3 Tek ve Çift Sayılarla İlgili İspatlar
Bir \(n\) tam sayısı için:
- \(n = 2k\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) varsa \(n\) çift,
- \(n = 2k + 1\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) varsa \(n\) tek sayıdır.
Örnek 9.1 (Çiftten Teke) \(n\) bir çift tam sayı ise \(3n + 5\) sayısının bir tek tam sayı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Doğrudan ispat yöntemini kullanacağız.
\(n\) çift bir tam sayı olsun. Bu durumda \(n = 2k\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) vardır. Buna göre
\[3n + 5 = 3 \cdot 2k + 5 = 6k + 5 = 6k + 4 + 1 = 2\underbrace{(3k + 2)}_{\in\, \mathbb{Z}} + 1\]
olur. \(t = 3k + 2\) dersek \(t \in \mathbb{Z}\)’dir ve
\[3n + 5 = 2t + 1\]
yazılır. O hâlde \(3n + 5\) bir tek tam sayıdır.
\(\blacksquare\)
9.4 Eşitsizliklerle İlgili İspatlar
Eşitsizlik ispatlarında izlenecek yol genellikle şudur: daima doğru olan bir eşitsizlikten yola çıkıp (\(u^2 \geq 0\) gibi) cebirsel işlemlerle istenen eşitsizliğe ulaşmak.
Örnek 9.2 (Tam Kareye Tamamlama) Her \(x\) gerçel sayısı için \(x^2 - 6x + 10 \geq 1\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Doğrudan ispat yöntemini kullanalım. İfadeyi tam kareye tamamlayalım:
\[x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1\]
Her \(x \in \mathbb{R}\) için \((x-3)^2 \geq 0\) olduğundan
\[x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1 \geq 0 + 1 = 1\]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.3 (Karekök Sıralamayı Korur) \(x\) ve \(y\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \(x \leq y\) ise \(\sqrt{x} \leq \sqrt{y}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x \leq y\) olsun; yani \(x - y \leq 0\)’dır. \(x\) ve \(y\) pozitif olduğundan \(\sqrt{x}\) ve \(\sqrt{y}\) tanımlıdır ve
\[x - y = \left(\sqrt{x}\right)^2 - \left(\sqrt{y}\right)^2 = \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right) \leq 0\]
yazılır. \(\sqrt{x} + \sqrt{y} > 0\) olduğundan eşitsizliğin her iki tarafını bu pozitif sayıya bölebiliriz:
\[\sqrt{x} - \sqrt{y} \leq 0 \;\Longrightarrow\; \sqrt{x} \leq \sqrt{y}\]
\(\blacksquare\)
Son adımda bölmenin eşitsizlik yönünü koruması, \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\)’nin pozitif olmasına dayanır. Negatif bir sayıya bölünseydi eşitsizlik yön değiştirirdi. Eşitsizlik ispatlarında bir çarpanla bölerken veya çarparken işaretini her seferinde gerekçelendirin.
Örnek 9.4 (Aritmetik–Geometrik Ortalama Eşitsizliği) \(x\) ve \(y\) pozitif gerçel sayılar ise \(2\sqrt{xy} \leq x + y\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Her gerçel sayının karesi negatif olmadığından
\[(x - y)^2 \geq 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 2xy + y^2 \geq 0\]
yazılır. Her iki tarafa \(4xy\) ekleyelim:
\[x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy \;\Longrightarrow\; (x + y)^2 \geq 4xy\]
\(x, y > 0\) olduğundan \(x + y > 0\) ve \(4xy > 0\)’dır. Bir önceki örnekte ispatladığımız “karekök sıralamayı korur” özelliğini kullanarak her iki tarafın karekökünü alalım:
\[x + y \geq \sqrt{4xy} = 2\sqrt{xy}\]
\(\blacksquare\)
İspatın çıkış noktası \((x-y)^2 \geq 0\) olduğundan, eşitlik yalnızca \(x = y\) iken gerçekleşir. Yani iki pozitif sayının geometrik ortalaması \(\sqrt{xy}\), aritmetik ortalaması \(\tfrac{x+y}{2}\)’yi ancak sayılar eşitken yakalar.
Örnek 9.5 (Katsayılı Bir Eşitsizlik) \(x\) ve \(y\) gerçel sayılar olmak üzere
\[\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{4}y^2 \geq xy\]
midir? Araştırınız.
Çözüm
Doğrudan ispat yöntemini kullanalım. Her gerçel sayının karesi negatif olmadığından
\[(2x - 3y)^2 \geq 0 \;\Longrightarrow\; 4x^2 - 12xy + 9y^2 \geq 0 \;\Longrightarrow\; 4x^2 + 9y^2 \geq 12xy\]
yazılır. Her iki tarafı pozitif olan \(12\) sayısına bölelim:
\[\frac{4x^2}{12} + \frac{9y^2}{12} \geq xy \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{4}y^2 \geq xy\]
O hâlde verilen eşitsizlik her \(x, y \in \mathbb{R}\) için doğrudur.
\(\blacksquare\)
Bu tür sorularda asıl iş, işe yarayacak tam kareyi seçmektir. \(\alpha x^2 + \beta y^2 \geq xy\) biçimindeki bir eşitsizlik için \((ax - by)^2 \geq 0\) denenir ve açılımdaki orta terimin \(-2ab\,xy\) olduğu kullanılır; burada \(a = 2\), \(b = 3\) seçimi \(12xy\) verdiği için işe yaramıştır.
9.5 Bölünebilme ve Kongrüans
Tanım 9.2 (Bölünebilme) \(a, b \in \mathbb{Z}\) ve \(a \neq 0\) olsun. \(b = a \cdot k\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) varsa, “\(a\) sayısı \(b\) sayısını böler” denir ve \(a \mid b\) ile gösterilir.
Örnek 9.6 (Bölünebilmenin Geçişme Özelliği) \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) için \(a \mid b\) ve \(b \mid c\) ise \(a \mid c\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Doğrudan ispat yöntemini kullanalım. \(a \mid b\) olduğundan \(b = a \cdot k\) olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\), \(b \mid c\) olduğundan \(c = b \cdot t\) olacak şekilde bir \(t \in \mathbb{Z}\) vardır. Birincisini ikincisinde yerine yazalım:
\[c = b \cdot t = (a \cdot k) \cdot t = a \cdot \underbrace{(k \cdot t)}_{\in\, \mathbb{Z}}\]
\(r = kt\) dersek \(r \in \mathbb{Z}\) ve \(c = a \cdot r\) olur. Bölünebilme tanımı gereği \(a \mid c\)’dir.
\(\blacksquare\)
Tanım 9.3 (Kongrüans (Modüler Denklik)) \(a, b \in \mathbb{Z}\) ve \(n\) pozitif bir tam sayı olsun. \(n \mid (a - b)\) ise “\(a\) ile \(b\), modülo \(n\)’ye göre denktir” denir ve
\[a \equiv b \pmod n\]
ile gösterilir.
Örnek 9.7 (Kongrüansın Karesi) \(a \equiv b \pmod n\) ise \(a^2 \equiv b^2 \pmod n\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Doğrudan ispat yöntemini kullanalım. \(a \equiv b \pmod n\) olduğundan \(n \mid (a-b)\)’dir; yani
\[a - b = n \cdot k\]
olacak şekilde bir \(k \in \mathbb{Z}\) vardır. Her iki tarafı \((a+b)\) ile çarpalım:
\[(a + b)(a - b) = (a + b) \cdot n \cdot k \;\Longrightarrow\; a^2 - b^2 = n \cdot \underbrace{\big(k(a+b)\big)}_{\in\, \mathbb{Z}}\]
O hâlde \(n \mid (a^2 - b^2)\), yani \(a^2 \equiv b^2 \pmod n\)’dir.
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki bütün örnekler aynı üç adımı izledi:
- Öncülü tanıma çevir. “\(n\) çifttir” yerine \(n = 2k\), “\(a \mid b\)” yerine \(b = ak\) yaz. Sözel hipotez bir denkleme dönüşmeden hesap yapılamaz.
- Hedefi tanıma çevir. Nereye varmak istediğinizi de aynı biçimde yazın; böylece hangi cebirsel düzenlemeyi arayacağınızı bilirsiniz.
- Aradaki cebiri yap ve ortaya çıkan ifadenin tam sayı, kare, çarpan vb. olduğunu açıkça belirtin.
Bir sonraki bölümde, doğrudan gitmenin zor olduğu durumlarda başvurulan karşıt ters ile ispat yöntemini inceleyeceğiz.