6 Koşullu Önerme ve Çeşitleri

Matematiksel teoremlerin neredeyse tamamı “eğer … ise …” biçiminde kurulur. Bu yüzden “ise” işlemi, mantığın matematiğe en doğrudan bakan yüzüdür. Bu bölümde koşullu önermeyi tanımlıyor, diğer işlemler cinsinden yazıyor ve bir koşullu önermeden türetilen üç yeni önermeyi inceliyoruz.

6.1 “İse” İşlemi

Tanım 6.1 (Koşullu Önerme) $p$ ve $q$ gibi iki önermenin arasına “ise” bağlacı konulmak suretiyle elde edilen bileşik önerme “$p$ ise $q$” şeklinde okunur ve $p \Rightarrow q$ şeklinde gösterilir.

Aksiyom

“$p \Rightarrow q$” bileşik önermesi sadece $p$ doğru, $q$ yanlış iken yanlış değer alır. Diğer tüm durumlarda doğru değer alır.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

$p \Rightarrow q$ önermesi aşağıdaki biçimlerin hepsiyle okunabilir:

“$p$ ise $q$’dur”
“$p$, $q$’yu gerektirir”
“$p$, $q$’nun yeter şartıdır”
“$q$, $p$’nin gerek şartıdır”

Bileşenlerin adları

$p$ ile $q$ önermeleri, $p \Rightarrow q$ bileşik önermesinin bileşenleridir. $p \Rightarrow q$ önermesine koşullu önerme veya gerektirme adı verilir.

Bu koşullu önermede $p$’ye öncül (varsayım, hipotez), $q$’ya sonuç (hüküm) denir.

Öncül yanlışsa önerme doğrudur

Tablonun son iki satırı ilk bakışta yadırgatıcıdır: $p$ yanlış olduğunda $q$ ne olursa olsun $p \Rightarrow q$ doğru kabul edilir.

Bunu bir söz verme gibi düşünebilirsiniz: “Sınavı geçersem sana kitap alacağım.” Sınavı geçemediyseniz, kitap alsanız da almasanız da sözünüzü çiğnememiş olursunuz. Söz ancak sınavı geçip kitap almadığınızda çiğnenir — tablonun tek $0$ satırı budur.

6.2 Diğer İşlemler Cinsinden Yazılışı

Teorem 6.1 (İse İşleminin Açılımı) Her $p, q$ önermesi için

\[p \Rightarrow q \equiv p' \vee q\]

İspat

$p$	$p'$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p' \vee q$
$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$

Son iki sütun bütün satırlarda çakışmaktadır.

$\blacksquare$

Bu denklik bölümün en önemli aracıdır: “ise” içeren her ifadeyi $\wedge$, $\vee$ ve $'$ diline çevirip önceki bölümlerde kurduğumuz bütün cebiri kullanabiliriz.

Örnek 6.1 (Koşullu Önermenin Değili) $(p \Rightarrow q)'$ önermesini sadeleştiriniz.

Çözüm

\[ \begin{aligned} (p \Rightarrow q)' &\equiv (p' \vee q)' && \text{(ise açılımı)} \\[2pt] &\equiv (p')' \wedge q' && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv p \wedge q' \end{aligned} \]

$\blacksquare$

Teorem 6.2 (Koşullu Önermenin Değili) \[(p \Rightarrow q)' \equiv p \wedge q'\]

Sözle: “$p$ ise $q$” önermesini çürütmenin tek yolu, $p$’nin sağlandığı ama $q$’nun sağlanmadığı bir durum göstermektir. Matematikte buna karşı örnek vermek denir.

6.3 Tersi, Karşıtı ve Karşıt Tersi

Tanım 6.2 (Bir Koşullu Önermenin Türevleri) Bir $p \Rightarrow q$ koşullu önermesi verilsin.

i) $p' \Rightarrow q'$ önermesine $p \Rightarrow q$ önermesinin tersi,

ii) $q \Rightarrow p$ önermesine $p \Rightarrow q$ önermesinin karşıtı,

iii) $q' \Rightarrow p'$ önermesine $p \Rightarrow q$ önermesinin karşıt tersi denir.

Teorem 6.3 (Karşıt Ters Denkliği) Her koşullu önerme, karşıt tersine denktir:

\[p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p'\]

İspat

$p$	$q$	$p'$	$q'$	$p \Rightarrow q$	$q' \Rightarrow p'$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$

Son iki sütun çakışmaktadır.

Aynı sonuç cebirsel olarak da elde edilir:

\[p \Rightarrow q \equiv p' \vee q \equiv q \vee p' \equiv (q')' \vee p' \equiv q' \Rightarrow p'\]

$\blacksquare$

Yalnızca karşıt ters denktir

Bir koşullu önerme kendi tersine ve karşıtına denk değildir:

\[p \Rightarrow q \;\not\equiv\; p' \Rightarrow q', \qquad p \Rightarrow q \;\not\equiv\; q \Rightarrow p\]

Örneğin “Bir sayı $4$ ile bölünüyorsa çifttir” önermesi doğrudur; ama karşıtı olan “Bir sayı çiftse $4$ ile bölünür” yanlıştır ($6$ sayısı). Karşıt tersi olan “Bir sayı çift değilse $4$ ile bölünmez” ise yine doğrudur.

Bu yüzden bir teoremi ispatlarken karşıt tersini ispatlamak serbesttir; karşıtını ispatlamak ise teoremi ispatlamaz.

6.4 “İse” İşleminin Dağılma Özellikleri

Teorem 6.4 (İse İşleminin Ve Üzerine Soldan Dağılması) Her $a, b, c$ önermesi için

\[a \Rightarrow (b \wedge c) \equiv (a \Rightarrow b) \wedge (a \Rightarrow c)\]

İspat

Sağ taraftan başlayalım:

\[ \begin{aligned} (a \Rightarrow b) \wedge (a \Rightarrow c) &\equiv (a' \vee b) \wedge (a' \vee c) && \text{(ise açılımı)} \\[2pt] &\equiv a' \vee (b \wedge c) && \text{($\vee$'nin $\wedge$ üzerine dağılması)} \\[2pt] &\equiv a \Rightarrow (b \wedge c) \end{aligned} \]

$\blacksquare$

Örnek 6.2 (Sağdan Dağılma Var mı?) Önermeler cebirinde “ise” işleminin “ve” işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği olup olmadığını, doğruluk tablosu kullanmadan gösteriniz.

Çözüm

$(b \wedge c) \Rightarrow a$ ile $(b \Rightarrow a) \wedge (c \Rightarrow a)$ önermelerini karşılaştıralım:

\[ \begin{aligned} (b \Rightarrow a) \wedge (c \Rightarrow a) &\equiv (b' \vee a) \wedge (c' \vee a) \\[2pt] &\equiv (b' \wedge c') \vee a && \text{(dağılma)} \\[2pt] &\equiv (b \vee c)' \vee a && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv (b \vee c) \Rightarrow a \end{aligned} \]

Elde ettiğimiz sonuç $(b \wedge c) \Rightarrow a$ değil, $(b \vee c) \Rightarrow a$’dır. O hâlde “ise” işleminin “ve” işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği yoktur.

$\blacksquare$

İki denklik bir arada

Son iki sonuç birlikte akılda tutulmalıdır:

\[a \Rightarrow (b \wedge c) \equiv (a \Rightarrow b) \wedge (a \Rightarrow c), \qquad (b \vee c) \Rightarrow a \equiv (b \Rightarrow a) \wedge (c \Rightarrow a)\]

Öncül tarafında “veya”, sonuç tarafında “ve” bulunduğunda ifade iki koşullu önermenin “ve”sine ayrılır. Öncüldeki “ve” ise ayrılmaz.

6.5 Çözümlü Uygulamalar

Örnek 6.3 (Öncüle Terim Taşıma) Temel özelliklerden faydalanarak

\[\big[a \Rightarrow (b \vee c)\big] \equiv \big[(a \wedge b') \Rightarrow c\big]\]

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\[ \begin{aligned} a \Rightarrow (b \vee c) &\equiv a' \vee (b \vee c) && \text{(ise açılımı)} \\[2pt] &\equiv (a' \vee b) \vee c && \text{(birleşme)} \\[2pt] &\equiv \big(a' \vee (b')'\big) \vee c \\[2pt] &\equiv (a \wedge b')' \vee c && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv (a \wedge b') \Rightarrow c \end{aligned} \]

$\blacksquare$

Bu denklik ne işe yarar?

Son örnek, ispat tekniklerinin temelini oluşturur: “$a$ ise $b$ veya $c$” biçimindeki bir teoremi ispatlamak yerine, “$a$ doğru ve $b$ yanlış ise $c$ doğrudur” iddiasını ispatlamak yeterlidir.

Yani sonuçtaki seçeneklerden birini yanlış varsayıp diğerini elde etmek serbesttir.

Örnek 6.4 (İç İçe Koşullu Önerme) \[\big[a' \Rightarrow (b \Rightarrow c')\big] \equiv \big[(b \wedge c) \Rightarrow a\big]\]

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\[ \begin{aligned} a' \Rightarrow (b \Rightarrow c') &\equiv a' \Rightarrow (b' \vee c') \\[2pt] &\equiv (a')' \vee (b' \vee c') && \text{(ise açılımı)} \\[2pt] &\equiv a \vee b' \vee c' && \text{(birleşme)} \\[2pt] &\equiv (b' \vee c') \vee a && \text{(değişme)} \\[2pt] &\equiv (b \wedge c)' \vee a && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv (b \wedge c) \Rightarrow a \end{aligned} \]

$\blacksquare$

Örnek 6.5 (Değilini Alıp Sadeleştirme) $p, q, r$ önermeleri verilsin. Aşağıdaki bileşik önermelerin değillerini yazınız ve sonuçtaki önermeleri sadeleştiriniz.

a) $(p \wedge q) \Rightarrow r$ b) $p \Rightarrow (q' \wedge r)$ c) $p \vee q \vee (p' \wedge q' \wedge r)$

Çözüm

\[ \begin{aligned} \big[(p \wedge q) \Rightarrow r\big]' &\equiv \big[(p \wedge q)' \vee r\big]' \\[2pt] &\equiv \Big(\big(p \wedge q\big)'\Big)' \wedge r' && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv (p \wedge q) \wedge r' \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \big[p \Rightarrow (q' \wedge r)\big]' &\equiv \big[p' \vee (q' \wedge r)\big]' \\[2pt] &\equiv (p')' \wedge (q' \wedge r)' && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv p \wedge (q \vee r') \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \big[(p \vee q) \vee (p' \wedge q' \wedge r)\big]' &\equiv (p \vee q)' \wedge (p' \wedge q' \wedge r)' && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv (p \vee q)' \wedge \big[(p \vee q) \vee r'\big] && \text{(De Morgan)} \\[2pt] &\equiv \Big[(p \vee q)' \wedge (p \vee q)\Big] \vee \Big[(p \vee q)' \wedge r'\Big] && \text{(dağılma)} \\[2pt] &\equiv c \vee \Big[(p \vee q)' \wedge r'\Big] \\[2pt] &\equiv (p \vee q)' \wedge r' \\[2pt] &\equiv p' \wedge q' \wedge r' && \text{(De Morgan)} \end{aligned} \]

$\blacksquare$

Örnek 6.6 (Doğruluk Değerlerini Belirleme) $p$ ve $q$, $p \Rightarrow q$ önermesi yanlış olacak şekilde ilkel önermeler olsun. Aşağıdaki her bir önermenin doğruluk değerini belirleyiniz.

a) $p \wedge q$ b) $p' \vee q$ c) $q \Rightarrow p$ d) $q' \Rightarrow p'$

e) $q \Leftrightarrow p$ f) $q \Leftrightarrow p'$ g) $p' \Leftrightarrow q'$

Çözüm

$p \Rightarrow q$ önermesi yalnızca $p$ doğru ve $q$ yanlış iken $0$ olur. O hâlde

\[p \equiv 1, \qquad q \equiv 0\]

Bu değerleri yerine koyalım:

	Önerme	Hesap	Değer
a)	$p \wedge q$	$1 \wedge 0$	$0$
b)	$p' \vee q$	$0 \vee 0$	$0$
c)	$q \Rightarrow p$	$0 \Rightarrow 1$	$1$
d)	$q' \Rightarrow p'$	$1 \Rightarrow 0$	$0$
e)	$q \Leftrightarrow p$	$0 \Leftrightarrow 1$	$0$
f)	$q \Leftrightarrow p'$	$0 \Leftrightarrow 0$	$1$
g)	$p' \Leftrightarrow q'$	$0 \Leftrightarrow 1$	$0$

$\Leftrightarrow$ işlemi mantıksal gerektirme bölümünde tanımlanacaktır; burada yalnızca “iki taraf aynı değerdeyse $1$” kuralını kullandık.

$\blacksquare$

Örnek 6.7 (Bileşenlerin Değerlerini Bulma) Aşağıdaki önermenin yanlış olduğu bilindiğine göre $p, q, r, s$ ilkel önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyiniz.

\[\big[(p \wedge q) \wedge r\big] \Rightarrow (s \wedge r)\]

Çözüm

Bir koşullu önerme yalnızca öncül doğru, sonuç yanlış iken $0$ olur:

\[(p \wedge q) \wedge r \equiv 1, \qquad s \wedge r \equiv 0\]

Birinci eşitlikte birleşme özelliğinden

\[(p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge q \wedge r \equiv 1\]

olur. Bir “ve” önermesinin doğru olması için bütün bileşenleri doğru olmalıdır:

\[p \equiv 1, \qquad q \equiv 1, \qquad r \equiv 1\]

İkinci eşitlikte $r \equiv 1$ bilgisini kullanalım:

\[s \wedge r \equiv s \wedge 1 \equiv s \equiv 0\]

Sonuç: $p \equiv q \equiv r \equiv 1$ ve $s \equiv 0$.

$\blacksquare$

Bir sonraki bölümde, iki bileşik önerme arasındaki “biri diğerini zorunlu kılar” ilişkisini, yani mantıksal gerektirme ve çıkarım kurallarını inceleyeceğiz.

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)

\(p\)	\(p'\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)	\(p' \vee q\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)

\(p\)	\(q\)	\(p'\)	\(q'\)	\(p \Rightarrow q\)	\(q' \Rightarrow p'\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

	Önerme	Hesap	Değer
a)	\(p \wedge q\)	\(1 \wedge 0\)	\(0\)
b)	\(p' \vee q\)	\(0 \vee 0\)	\(0\)
c)	\(q \Rightarrow p\)	\(0 \Rightarrow 1\)	\(1\)
d)	\(q' \Rightarrow p'\)	\(1 \Rightarrow 0\)	\(0\)
e)	\(q \Leftrightarrow p\)	\(0 \Leftrightarrow 1\)	\(0\)
f)	\(q \Leftrightarrow p'\)	\(0 \Leftrightarrow 0\)	\(1\)
g)	\(p' \Leftrightarrow q'\)	\(0 \Leftrightarrow 1\)	\(0\)