3 Bağlaçlar ve Önermeler Cebiri
Önermeleri birbirine bağlayan üç temel işlem vardır: ve (\(\wedge\)), veya (\(\vee\)) ve değil (\('\)). Bu bölümde önce bu işlemlerin doğruluk tablolarını, ardından toplama ve çarpmaya çok benzeyen cebirsel özelliklerini kuruyoruz. Bu özellikler, ilerideki bölümlerde karmaşık önermeleri doğruluk tablosu kurmadan sadeleştirmemizi sağlayacak.
3.1 “Ve” İşlemi
İki veya daha fazla önermenin aralarına “ve” koyarak bileşik önermeler oluşturabiliriz. \(p\) ile \(q\) önermelerinin arasına “ve” bağlacı konulursa “\(p\) ve \(q\)” bileşik önermesi elde edilir; \(p \wedge q\) ile gösterilir.
\(p\) ve \(q\) gibi iki önerme verildiğinde, “\(p \wedge q\)” önermesi her ikisi de doğru olduğunda doğru değerini alır; diğer tüm durumlarda ise bu önerme yanlış doğruluk değerini alır.
| \(p\) | \(q\) | \(p \wedge q\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
Örnek 3.1 (Doğruluk Değerleri Nelerdir?) a) \(p:\) “\((-2 < 0)\) ve \((0 < 3)\) tür.” b) \(q:\) “\(\sqrt{-1}\) bir gerçel sayıdır ve \((-1 < -2)\) dir.”
Çözüm
a) Her iki bileşen de doğrudur:
\[1 \wedge 1 \equiv 1\]
b) \(\sqrt{-1}\) bir gerçel sayı değildir; ayrıca \(-1 < -2\) de yanlıştır:
\[0 \wedge 0 \equiv 0\]
\(\blacksquare\)
Teorem 3.1 (Ve İşleminin Özellikleri) \(p, q, r\) önermeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) \(p \wedge p \equiv p\) (eş güçlülük özelliği)
b) \(p \wedge q \equiv q \wedge p\) (değişme özelliği)
c) \(p \wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge q \wedge r\) (birleşme özelliği)
Alıştırma 3.1 (Doğruluk Tablosuyla İspat) Yukarıdaki üç özelliği doğruluk tablosu kurarak ispatlayınız. Birleşme özelliği için \(2^3 = 8\) satırlık tablo gerekir; \(q \wedge r\), \(p \wedge q\), \((p \wedge q) \wedge r\) ve \(p \wedge (q \wedge r)\) sütunlarını sırayla doldurup son iki sütunun çakıştığını gösteriniz.
3.2 “Veya” İşlemi
İki veya daha fazla önermenin “veya” bağlacı ile birleştirilmesinden bileşik önermeler elde edilir. \(p\) ve \(q\) önermeleri için “\(p\) veya \(q\)”, \(p \vee q\) ile gösterilir.
\(p\) ve \(q\) önermelerinden en az biri doğru olduğunda “\(p \vee q\)” bileşik önermesi doğru, bu iki önerme aynı anda yanlış olduğunda ise yanlıştır.
| \(p\) | \(q\) | \(p \vee q\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
Örnek 3.2 (Doğruluk Değerleri Nelerdir) a) \(p:\) “\((3 + 9 = 12)\) veya \(\left(-3 < -\tfrac92\right)\) dir.”
b) \(q:\) “\(4\) bir asal sayıdır veya \(9\) sayısının \(3\) tane asal böleni vardır.”
Çözüm
a) İlk bileşen doğrudur (\(3 + 9 = 12\)). “Veya” işleminde bir bileşenin doğru olması yeterli olduğundan diğerine bakmaya gerek yoktur:
\[1 \vee 0 \equiv 1\]
(İkinci bileşen \(-3 < -4{,}5\) olduğundan yanlıştır.)
b) \(4 = 2^2\) olduğundan asal değildir; ilk bileşen yanlıştır. \(9 = 3^2\) olduğundan \(9\)’un yalnızca bir asal böleni vardır; ikinci bileşen de yanlıştır:
\[0 \vee 0 \equiv 0\]
\(\blacksquare\)
Teorem 3.2 (Veya İşleminin Özellikleri) \(p, q, r\) önermeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) \(p \vee p \equiv p\) (eş güçlülük)
b) \(p \vee q \equiv q \vee p\) (değişme)
c) \(p \vee (q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee r \equiv p \vee q \vee r\) (birleşme)
3.3 Dağılma Özelliği
Teorem 3.3 (Dağılma Özellikleri) \(p, q, r\) önermeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) \(p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\) (\(\wedge\)’nin \(\vee\) üzerine soldan dağılması)
b) \((q \vee r) \wedge p \equiv (q \wedge p) \vee (r \wedge p)\) (\(\wedge\)’nin \(\vee\) üzerine sağdan dağılması)
c) \(p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)\) (\(\vee\)’nin \(\wedge\) üzerine dağılması)
Bir işlemin diğer işlem üzerine hem sağdan hem soldan dağılma özelliği varsa, bu iki özellik kısaca “birinci işlemin ikinci işlem üzerine dağılma özelliği vardır” şeklinde ifade edilir.
\(\wedge\) ve \(\vee\) değişme özelliğine sahip olduğundan, bu ikisi için soldan dağılma sağdan dağılmayı doğrudan verir. Ancak koşullu önerme bölümünde göreceğimiz “ise” işlemi değişmeli değildir; orada iki yönü ayrı ayrı incelemek gerekecek.
\[p \wedge (q \vee r) \;\not\equiv\; (p \wedge q) \vee r\]
Dağıtırken \(p\)’nin her iki terime de dağıtılması gerekir. Doğrusu \((p \wedge q) \vee (p \wedge r)\)’dir.
3.4 “Değil” İşlemi
Tanım 3.1 (Bir Önermenin Değili) Bir \(p\) önermesinin doğruluk değerinin değiştirilmesiyle elde edilen bileşik önermeye “\(p\)’nin değili” denir.
\(p'\), \(\neg p\) veya \(\sim p\) ile gösterilir.
| \(p\) | \(p'\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) |
Örnek 3.3
- \(p:\) “\(7\) asal sayıdır.” \(\longrightarrow\) \(p':\) “\(7\) asal sayı değildir.”
- \(q:\) “\(3 < 8\) dir.” \(\longrightarrow\) \(q':\) “\(3 \geq 8\) dir.”
- \(r:\) “\(7 \times 5 = 40\) tır.” \(\longrightarrow\) \(r':\) “\(7 \times 5 \neq 40\) tır.”
Teorem 3.4 (Değil İşleminin Özellikleri) a) Doğru bir önermenin değili yanlıştır.
b) Yanlış bir önermenin değili doğrudur.
c) Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir:
\[(p')' \equiv p\]
\(q: 3 < 8\) önermesinin değili \(3 > 8\) değil, \(3 \geq 8\)’dir. “Küçüktür”ün değili “büyüktür” değil, “büyük veya eşittir”dir; çünkü eşitlik durumu da \(<\) ilişkisini bozar.
3.5 Yutma Özelliği
Teorem 3.5 (Yutma (Absorpsiyon) Özelliği) Her \(p, q\) önermesi için
\[p \wedge (p \vee q) \equiv p, \qquad p \vee (p \wedge q) \equiv p\]
sağlanır.
Bu özellik sadeleştirme yaparken en çok işe yarayan kurallardan biridir: bir ifadede \(p\) ile başlayan bir parantez görürseniz, parantezin geri kalanı yutulur.
3.6 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 3.4 (Verilen Tabloları Tamamlama) Aşağıda verilen doğruluk tablolarını tamamlayınız.
a) \(p \vee q'\) ve \(p' \wedge q\) b) \((p' \vee q) \wedge r'\)
Çözüm
a)
| \(p\) | \(q\) | \(p'\) | \(q'\) | \(p \vee q'\) | \(p' \wedge q\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
Son iki sütun satır satır birbirinin tersidir; yani \(p' \wedge q \equiv (p \vee q')'\) olduğu görülür.
b)
| \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(p'\) | \(q'\) | \(r'\) | \(p' \vee q\) | \((p' \vee q) \wedge r'\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
\(p' \vee q\) sütunu yalnızca \(p'\) ve \(q\)’nun ikisi de \(0\) olduğunda \(0\) olur; yani sadece \(p = 1\) ve \(q = 0\) olan üçüncü ve dördüncü satırlarda.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.5 (Tablodan Önerme Yazma) Aşağıda verilen doğruluk tablosunu kullanarak, soru işareti bulunan yere \(\wedge\), \(\vee\) ve \('\) bağlaçlarını içeren uygun bir önerme yazınız.
| \(p\) | \(q\) | \(?\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) |
Çözüm
Sonuç yalnızca üçüncü satırda \(0\)’dır; yani \(p = 0\) ve \(q = 1\) olduğunda. Bir “veya” önermesi tam olarak bir satırda \(0\) oluyorsa, o satırda her iki bileşen de \(0\) olmalıdır. \(p = 0\) olduğu için birinci bileşen \(p\), \(q = 1\) olduğu için ikinci bileşen \(q'\) seçilir:
| \(p\) | \(q\) | \(q'\) | \(p \vee q'\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) |
Aranan önerme \(p \vee q'\)’dür.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.6 (Tablodan Önerme Yazma (İki Sıfırlı)) Aşağıdaki doğruluk tablosunu sağlayan bir önerme yazınız.
| \(p\) | \(q\) | \(?\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
Çözüm
Sonuç, \(p\) ile \(q\) farklı olduğunda \(1\), aynı olduğunda \(0\)’dır. Bu davranışı iki koşulun kesişimi olarak kurabiliriz: “en az biri doğru” ve “en az biri yanlış”.
| \(p\) | \(q\) | \(p'\) | \(q'\) | \(p' \vee q'\) | \(p \vee q\) | \((p \vee q) \wedge (p' \vee q')\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
Aranan önerme \((p \vee q) \wedge (p' \vee q')\)’dür.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.7 (Dört Önermeli Dağıtma) Her \(p, q, r, s\) önermesi için
\[(p \vee q) \wedge (r \vee s) \equiv (p \wedge r) \vee (q \wedge r) \vee (p \wedge s) \vee (q \wedge s)\]
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm
Doğruluk tablosu \(2^4 = 16\) satır gerektirir; bunun yerine cebirsel özellikleri kullanalım.
\[ \begin{aligned} (p \vee q) \wedge (r \vee s) &\equiv \big[(p \vee q) \wedge r\big] \vee \big[(p \vee q) \wedge s\big] && \text{(dağılma)} \\[2pt] &\equiv \big[r \wedge (p \vee q)\big] \vee \big[s \wedge (p \vee q)\big] && \text{(değişme)} \\[2pt] &\equiv \big[(r \wedge p) \vee (r \wedge q)\big] \vee \big[(s \wedge p) \vee (s \wedge q)\big] && \text{(dağılma)} \\[2pt] &\equiv (r \wedge p) \vee (r \wedge q) \vee (s \wedge p) \vee (s \wedge q) && \text{(birleşme)} \\[2pt] &\equiv (p \wedge r) \vee (q \wedge r) \vee (p \wedge s) \vee (q \wedge s) && \text{(değişme)} \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Bir sonraki bölümde bu cebire iki özel önerme ekleyeceğiz: daima doğru olan totoloji ile daima yanlış olan çelişki. Bunlar sadeleştirmeyi çok kısaltır; ayrıntısı için totoloji ve çelişki bölümüne bakınız.