24 Bölünüşler ve Darboux Toplamları
Trigonometrik Dönüşümler ve Temel İntegral Biçimleri bölümüyle birlikte belirsiz integral konusunu tamamladık. Orada hep aynı soruyu sorduk: verilen bir \(f\) fonksiyonunun türevi olan bir \(F\) fonksiyonunu nasıl buluruz? Bu soru cebirseldi; yanıtı da cebirseldi, yani bir formülden başka bir formüle geçiyorduk. Şimdi bambaşka bir soruya geçiyoruz ve bu soru geometriktir: bir eğrinin altında kalan bölgenin alanı nedir?
Sorunun tarihi eskidir. Arşimet, bir parabol parçasının alanını içine çizilen üçgenlerle tüketerek hesaplamıştı. Ancak alan ile teğet arasındaki bağın, yani integral ile türevin ters işlemler olduğunun anlaşılması 17. yüzyılı buldu; bu birleştirmeyi birbirlerinden bağımsız olarak Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz yaptı. Buna karşın onların “sonsuz küçükler” diliyle kurdukları hesap, bugünkü ölçütlere göre bir tanım değildi; hangi fonksiyonların böyle bir alanının bulunduğu sorusu açıkta kalmıştı. Bugün kullandığımız kesin tanımı, 19. yüzyılda Alman matematikçi Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) verdi. Riemann’ın tanımını supremum ve infimumla yeniden düzenleyen, böylece limit almadan yalnızca sıralama kullanarak çalışan biçimi ise Jean Gaston Darboux’ya borçluyuz; bu bölümde kuracağımız yapı odur.
Fikir çok basittir. Alanını merak ettiğimiz bölgeyi ince dikey şeritlere ayırırız. Her şeridin içine, o şeride sığan en yüksek dikdörtgeni; her şeridin dışına ise şeridi örten en alçak dikdörtgeni çizeriz. İçteki dikdörtgenlerin toplam alanı aradığımız alanı aşamaz, dıştakilerin toplam alanı ise ondan küçük olamaz. Böylece alan, iki sayı arasına sıkıştırılmış olur. Şeritleri inceltirsek bu iki sayı birbirine yaklaşır; eğer aralarındaki boşluk sıfıra kadar kapanıyorsa, ortak değer “alan” adını hak eder. Kapanmıyorsa, fonksiyonun bir alanından söz etmenin anlamı yoktur. Bu son cümle şaşırtıcı gelebilir; ama göreceğimiz gibi boşluğun kapanmadığı fonksiyonlar gerçekten vardır.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: bir kapalı aralığın bölünüşü (partition) ve bölünüşün normu (norm, mesh); sınırlı bir fonksiyonun bir bölünüşe göre alt ve üst Darboux toplamları (lower and upper Darboux sums); bu toplamların her zaman \(m(b-a)\) ile \(M(b-a)\) arasında kaldığı; bir bölünüşe nokta eklendiğinde alt toplamın büyüyüp üst toplamın küçüldüğünü söyleyen incelme (refinement) teoremi; buradan çıkan ve hiç de bariz olmayan sonuç: herhangi bir alt toplam herhangi bir üst toplamı aşamaz; ve nihayet alt integral ile üst integral kavramları. Bölümü, bir sonraki adımın anahtarı olan salınım (oscillation) kavramıyla kapatacağız.
24.1 Bölünüşler
Her şey aralığı parçalara ayırmakla başlar. Parçalar, uç noktaları seçilerek belirlenir.
Tanım 24.1 (Bölünüş) \([a,b] \subseteq \mathbb{R}\) kapalı ve sınırlı bir aralık olsun (\(a < b\)). Sonlu bir
\[P = \{x_0, x_1, x_2, \dots, x_n\} \subseteq [a,b]\]
nokta kümesi
\[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b\]
koşulunu sağlıyorsa, \(P\) kümesine \([a,b]\) aralığının bir bölünüşü (partition) denir. \(P\)’nin belirlediği
\[I_k = [x_{k-1}, x_k], \qquad k = 1, 2, \dots, n\]
kapalı aralıklarına \(P\)’nin alt aralıkları, \(I_k\) aralığının
\[\Delta x_k = x_k - x_{k-1} > 0\]
uzunluğuna da \(k\)-inci alt aralık uzunluğu denir. \([a,b]\) aralığının bütün bölünüşlerinin oluşturduğu küme \(\mathcal{P}[a,b]\) ile gösterilir.
Bir bölünüşü belirtirken noktaları küçükten büyüğe sıralı yazmayı âdet ediniriz; nitekim \(P\) sonlu bir küme olduğundan noktalarını böyle sıralamanın tek bir yolu vardır. Ayrıca \(a\) ile \(b\)’nin \(P\)’ye ait olması zorunludur: bölünüş, aralığın tamamını kaplar.
Alt aralık uzunluklarının toplamı üzerine sık kullanacağımız basit ama önemli bir gözlemle başlayalım. Toplam teleskopiktir:
\[\sum_{k=1}^{n} \Delta x_k = (x_1 - x_0) + (x_2 - x_1) + \cdots + (x_n - x_{n-1}) = x_n - x_0 = b - a.\]
Ortadaki bütün terimler birbirini götürür; geriye yalnızca uçlar kalır. Yani bir bölünüş \([a,b]\) aralığının uzunluğunu \(n\) parçaya dağıtır, ama toplam uzunluğu değiştirmez. Bu eşitlik bölümdeki hemen her hesapta karşımıza çıkacak.
Bölünüşün “ne kadar ince” olduğunu ölçmek için tek bir sayı yeterlidir: en geniş parçanın uzunluğu.
Tanım 24.2 (Bölünüşün Normu ve Düzgün Bölünüş) \(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\), \([a,b]\) aralığının bir bölünüşü olsun.
\(P\)’nin normu (norm, mesh), en uzun alt aralığın uzunluğudur:
\[\|P\| = \max \{ \Delta x_k : k = 1, 2, \dots, n \}.\]
Bütün alt aralıklar aynı uzunluktaysa, yani her \(k\) için
\[\Delta x_k = \frac{b-a}{n}\]
ise \(P\)’ye düzgün bölünüş (uniform partition) denir. \(n\) parçalı düzgün bölünüşü \(P_n\) ile göstereceğiz; noktaları
\[x_k = a + k \cdot \frac{b-a}{n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n\]
ile verilir ve \(\|P_n\| = \dfrac{b-a}{n}\)’dir.
Norm sonlu bir kümenin maksimumu olduğundan her zaman vardır ve \(0 < \|P\| \le b-a\) eşitsizliğini sağlar. \(\|P\|\) küçüldükçe bölünüş “incelir”. Ama dikkat: norm en kötü parçaya bakar. Bir bölünüşün çok sayıda noktası olması normunun küçük olmasını gerektirmez; örneğin \([0,1]\) üzerinde \(Q = \left\{ 0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{51}{100}, \tfrac{52}{100}, \dots, 1 \right\}\) bölünüşünde elli iki nokta bulunmasına karşın \(\left[ 0, \tfrac{1}{2} \right]\) parçası hiç bölünmediğinden \(\|Q\| = \tfrac{1}{2}\)’dir.
24.2 Alt ve Üst Darboux Toplamları
Şimdi aralığın üzerine bir fonksiyon koyalım. Her alt aralıkta iki dikdörtgen çizeceğiz: biri fonksiyonun o aralıktaki en küçük değeri yüksekliğinde, öteki en büyük değeri yüksekliğinde. Ama “en küçük değer” ve “en büyük değer” her zaman alınmayabilir; bu yüzden maksimum ve minimum yerine infimum ve supremum kullanırız. Bunların var olması için de \(f\)’nin sınırlı olması gerekir.
\(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon ve \(P = \{x_0 < \cdots < x_n\}\) bir bölünüş olsun. Her \(k\) için \(f\)’nin \(I_k = [x_{k-1}, x_k]\) üzerindeki değerler kümesi
\[f(I_k) = \{ f(x) : x \in I_k \}\]
boş değildir (çünkü \(I_k\) boş değildir) ve sınırlıdır (çünkü \(f\) sınırlıdır). Supremumun varlık aksiyomu ve infimumun varlığı (bkz. Analiz 1) gereği bu kümenin hem infimumu hem supremumu vardır. Bunları
\[m_k = m_k(f) = \inf \{ f(x) : x \in [x_{k-1}, x_k] \}, \qquad M_k = M_k(f) = \sup \{ f(x) : x \in [x_{k-1}, x_k] \}\]
ile gösteririz. Tanımları gereği her \(x \in I_k\) için
\[m_k \le f(x) \le M_k\]
olur; yani \(m_k\) yüksekliğindeki dikdörtgen grafiğin altında, \(M_k\) yüksekliğindeki dikdörtgen grafiğin üstünde kalır.
Darboux toplamlarının tanımlanabilmesi için \(f\)’nin \([a,b]\) üzerinde sınırlı olması şarttır. Örneğin \(f(0) = 0\) ve \(x \in (0,1]\) için \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) ile tanımlı fonksiyonda, \(0\)’ı içeren her alt aralıkta \(\sup f = +\infty\)’dur; \(M_1\) diye bir reel sayı yoktur, dolayısıyla \(U(P,f)\) hiç kurulamaz. Bu yüzden bu bölüm boyunca bütün fonksiyonlar sınırlı kabul edilir. Sınırsız fonksiyonlar için “genelleştirilmiş integral” adı verilen ayrı bir kuram gerekir.
Tanım 24.3 (Alt ve Üst Darboux Toplamları) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon, \(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\) ise \([a,b]\)’nin bir bölünüşü olsun. Yukarıdaki \(m_k\) ve \(M_k\) sayılarıyla
\[L(P, f) = \sum_{k=1}^{n} m_k \, \Delta x_k\]
sayısına \(f\)’nin \(P\) bölünüşüne göre alt Darboux toplamı (lower Darboux sum),
\[U(P, f) = \sum_{k=1}^{n} M_k \, \Delta x_k\]
sayısına da üst Darboux toplamı (upper Darboux sum) denir.
\(f \ge 0\) olduğunda bu iki sayının anlamı doğrudan geometriktir: \(L(P,f)\), tabanları \(I_k\) ve yükseklikleri \(m_k\) olan ve tamamı grafiğin altında kalan dikdörtgenlerin toplam alanıdır; \(U(P,f)\) ise tabanları yine \(I_k\), yükseklikleri \(M_k\) olan ve grafiği yukarıdan örten dikdörtgenlerin toplam alanıdır. Eğri altındaki bölgenin bir alanı varsa, bu alan zorunlu olarak
\[L(P,f) \;\le\; \text{eğri altındaki alan} \;\le\; U(P,f)\]
eşitsizliğini her \(P\) için sağlamalıdır. Şu anda “alan” henüz tanımlanmış bir kavram değildir; bu satır bir teorem değil, kurmakta olduğumuz tanımın hedefidir. Nitekim alanı, tam da bu iki toplamın kıstırdığı sayı olarak tanımlayacağız.
\(f\)’nin işaret değiştirdiği yerlerde dikdörtgenler ekseni altına iner ve katkıları negatif olur; bu durumda \(L\) ile \(U\) “işaretli alan” okumasına karşılık gelir. Tanım hiçbir yerde \(f \ge 0\) varsayımına dayanmadığından, kuram bütün sınırlı fonksiyonlar için aynı biçimde işler.
İlk teoremimiz, bu iki toplamın nereye hapsolduğunu söyler. Toplamların bir yerde birikmesini bekliyorsak, önce onların ortalıkta serbestçe dolaşamadığını bilmemiz gerekir.
Önerme 24.1 (Darboux Toplamlarının Sınırları) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon olsun ve
\[m = \inf \{ f(x) : x \in [a,b] \}, \qquad M = \sup \{ f(x) : x \in [a,b] \}\]
yazalım. O hâlde \([a,b]\)’nin her \(P\) bölünüşü için
\[m(b-a) \;\le\; L(P,f) \;\le\; U(P,f) \;\le\; M(b-a)\]
olur.
İspat
\(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\) olsun ve her zamanki gibi \(m_k\), \(M_k\), \(\Delta x_k\) yazalım. İspat üç gözlemden ibarettir.
Adım 1: Her \(k\) için \(m \le m_k \le M_k \le M\).
Bir \(k\) sabitleyelim. \(I_k = [x_{k-1},x_k] \subseteq [a,b]\) olduğundan \(f(I_k) \subseteq f([a,b])\)’dir. \(m\), \(f([a,b])\) kümesinin bir alt sınırı olduğundan, bu kümenin bir alt kümesi olan \(f(I_k)\)’nin de bir alt sınırıdır; \(m_k\) ise \(f(I_k)\)’nin en büyük alt sınırı olduğundan
\[m \le m_k\]
olur. Bakışımlı biçimde \(M\), \(f([a,b])\)’nin bir üst sınırıdır, dolayısıyla \(f(I_k)\)’nin de üst sınırıdır; \(M_k\) ise en küçük üst sınır olduğundan
\[M_k \le M\]
olur. Ortadaki eşitsizlik için \(I_k\) boş olmadığından bir \(x \in I_k\) seçelim; \(m_k \le f(x) \le M_k\) olduğundan \(m_k \le M_k\)’dir. Böylece
\[m \le m_k \le M_k \le M \qquad (k = 1, 2, \dots, n)\]
elde edilir.
Adım 2: \(\Delta x_k\) ile çarpıp toplama.
\(\Delta x_k > 0\) olduğundan, Adım 1’deki eşitsizlik zinciri \(\Delta x_k\) ile çarpıldığında yön değiştirmez:
\[m \, \Delta x_k \le m_k \, \Delta x_k \le M_k \, \Delta x_k \le M \, \Delta x_k.\]
Bu eşitsizlikleri \(k = 1\)’den \(n\)’ye kadar toplayalım. Sonlu sayıda eşitsizliğin taraf tarafa toplanması sıralamayı korur; dolayısıyla
\[\sum_{k=1}^{n} m \, \Delta x_k \;\le\; \sum_{k=1}^{n} m_k \, \Delta x_k \;\le\; \sum_{k=1}^{n} M_k \, \Delta x_k \;\le\; \sum_{k=1}^{n} M \, \Delta x_k\]
olur. Ortadaki iki toplam tam olarak \(L(P,f)\) ve \(U(P,f)\)’dir.
Adım 3: Uçtaki toplamların hesabı.
\(m\) ve \(M\) sabit sayılar olduğundan toplamın dışına çıkarılabilir; teleskopik toplam gereği \(\sum_{k=1}^{n} \Delta x_k = b-a\) olduğundan
\[\sum_{k=1}^{n} m \, \Delta x_k = m \sum_{k=1}^{n} \Delta x_k = m(b-a), \qquad \sum_{k=1}^{n} M \, \Delta x_k = M(b-a)\]
bulunur. Adım 2’deki zincirde bu değerleri yerine koyarsak
\[m(b-a) \;\le\; L(P,f) \;\le\; U(P,f) \;\le\; M(b-a)\]
elde ederiz. \(P\) keyfî olduğundan iddia bütün bölünüşler için doğrudur.
\(\blacksquare\)
Bu önermenin iki sonucunu şimdiden not edelim, çünkü alt ve üst integralleri tanımlarken tam olarak bunlara dayanacağız:
- Bütün alt toplamların kümesi \(\{ L(P,f) : P \in \mathcal{P}[a,b] \}\), \(M(b-a)\) sayısıyla yukarıdan sınırlıdır;
- Bütün üst toplamların kümesi \(\{ U(P,f) : P \in \mathcal{P}[a,b] \}\), \(m(b-a)\) sayısıyla aşağıdan sınırlıdır.
Ayrıca her iki küme de boş değildir; örneğin \(P = \{a, b\}\) bölünüşü her zaman kullanılabilir ve bu bölünüş için \(L(P,f) = m(b-a)\), \(U(P,f) = M(b-a)\) olur. Demek ki \(\{L(P,f)\}\) kümesinin supremumu ile \(\{U(P,f)\}\) kümesinin infimumu vardır.
24.3 Bölünüşün İncelmesi
Bir bölünüşe yeni noktalar eklemek ne yapar? Sezgi açıktır: parçalar küçüldükçe, infimumlar alındığı kümeler daraldığı için büyür, supremumlar ise küçülür. Yani alt toplam yükselir, üst toplam alçalır; iki toplam birbirine yaklaşır. Bu, kuramın motorudur.
\(P\) ve \(Q\), \([a,b]\)’nin iki bölünüşü olsun. \(P \subseteq Q\) ise, yani \(Q\) kümesi \(P\)’nin bütün noktalarını (ve belki fazladan noktalar) içeriyorsa, \(Q\)’ya \(P\)’nin bir incelmesi (refinement) denir. \(Q\), \(P\)’nin noktalarını koruyup arasına yeni noktalar serpiştirdiği için \(Q\)’nun alt aralıkları \(P\)’nin alt aralıklarının parçalarıdır; buradan hemen \(\|Q\| \le \|P\|\) çıkar.
Teorem 24.1 (İncelme Teoremi) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon, \(P\) ve \(Q\) ise \([a,b]\)’nin bölünüşleri olsun. \(P \subseteq Q\) ise
\[L(P,f) \le L(Q,f) \qquad \text{ve} \qquad U(Q,f) \le U(P,f)\]
olur. Kısacası bir bölünüş inceldikçe alt toplam azalmaz, üst toplam artmaz.
İspat
İspatı iki aşamada yapacağız: önce \(Q\)’nun \(P\)’den yalnızca bir nokta fazlası olduğu durumu çözeceğiz, sonra tümevarımla genel duruma geçeceğiz.
Aşama 1: Tek nokta eklenmesi.
\(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\) ve \(Q = P \cup \{x^*\}\) olsun; burada \(x^* \notin P\)’dir. \(x^* \in [a,b]\) ve \(x^* \ne x_j\) olduğundan, \(x^*\) tam olarak bir alt aralığın içine düşer: öyle bir \(i \in \{1, \dots, n\}\) vardır ki
\[x_{i-1} < x^* < x_i.\]
Alt toplamlar. \(L(P,f)\) ile \(L(Q,f)\) toplamlarında \(k \ne i\) olan bütün terimler aynıdır, çünkü o alt aralıklar ve dolayısıyla üzerlerindeki infimumlar hiç değişmemiştir. Fark yalnızca \(i\)-inci terimdedir. \(P\)’de bu terim
\[m_i (x_i - x_{i-1})\]
iken, \(Q\)’da onun yerine iki terim gelir:
\[t_1 (x^* - x_{i-1}) + t_2 (x_i - x^*), \qquad t_1 = \inf_{[x_{i-1}, x^*]} f, \quad t_2 = \inf_{[x^*, x_i]} f.\]
\([x_{i-1}, x^*] \subseteq [x_{i-1}, x_i]\) olduğundan, \(m_i\) sayısı \(f\big([x_{i-1},x^*]\big)\) kümesinin de bir alt sınırıdır; \(t_1\) ise bu kümenin en büyük alt sınırı olduğundan
\[m_i \le t_1\]
olur. Aynı gerekçeyle \(m_i \le t_2\)’dir. Şimdi \(x_i - x_{i-1} = (x^* - x_{i-1}) + (x_i - x^*)\) ayrışmasını kullanalım; iki uzunluk da pozitif olduğundan
\[m_i (x_i - x_{i-1}) = m_i (x^* - x_{i-1}) + m_i (x_i - x^*) \le t_1 (x^* - x_{i-1}) + t_2 (x_i - x^*)\]
elde ederiz. Öteki bütün terimler ortak olduğundan, bu eşitsizliği toplamlara taşıdığımızda
\[L(P,f) \le L(Q,f)\]
bulunur.
Üst toplamlar. Aynı \(i\) indisi için \(Q\)’daki iki terimin yükseklikleri
\[T_1 = \sup_{[x_{i-1}, x^*]} f, \qquad T_2 = \sup_{[x^*, x_i]} f\]
olsun. Bu kez \(M_i\), \(f\big([x_{i-1},x_i]\big)\) kümesinin en küçük üst sınırıdır ve alt kümeler \(f\big([x_{i-1},x^*]\big)\) ile \(f\big([x^*,x_i]\big)\) için de bir üst sınırdır; en küçük üst sınırlar bu üst sınırı aşamayacağından
\[T_1 \le M_i \qquad \text{ve} \qquad T_2 \le M_i\]
olur. Buradan
\[T_1 (x^* - x_{i-1}) + T_2 (x_i - x^*) \le M_i (x^* - x_{i-1}) + M_i (x_i - x^*) = M_i (x_i - x_{i-1})\]
çıkar. Öteki terimler yine ortak olduğundan
\[U(Q,f) \le U(P,f)\]
elde edilir. Aşama 1 tamamlandı.
Aşama 2: Tümevarım.
Şimdi genel duruma geçelim. \(P \subseteq Q\) olsun ve \(Q \setminus P\) kümesinin eleman sayısına \(p\) diyelim (\(p \ge 0\); her iki küme de sonlu olduğundan \(p\) bir doğal sayı ya da sıfırdır). İddiamız şu önermedir:
\[\mathcal{A}(p): \quad P \subseteq Q \ \text{ ve } \ |Q \setminus P| = p \ \Longrightarrow \ L(P,f) \le L(Q,f) \ \text{ ve } \ U(Q,f) \le U(P,f).\]
Temel adım. \(p = 0\) ise \(Q \setminus P = \varnothing\) ve \(P \subseteq Q\) olduğundan \(Q = P\)’dir. Bu durumda \(L(P,f) = L(Q,f)\) ve \(U(P,f) = U(Q,f)\) olduğundan iddia (eşitlik hâliyle) doğrudur.
Tümevarım adımı. \(\mathcal{A}(p)\)’nin doğru olduğunu varsayalım ve \(|Q \setminus P| = p+1\) olsun. \(Q \setminus P\) boş olmadığından bir \(y \in Q \setminus P\) seçelim ve
\[Q' = Q \setminus \{y\}\]
diyelim. \(y \notin P\) olduğundan \(P \subseteq Q'\)’dür; ayrıca \(a, b \in P \subseteq Q'\) olduğundan \(Q'\) da \([a,b]\)’nin bir bölünüşüdür. Üstelik
\[|Q' \setminus P| = |Q \setminus P| - 1 = p\]
olduğundan tümevarım varsayımı \(Q'\) için uygulanabilir:
\[L(P,f) \le L(Q',f), \qquad U(Q',f) \le U(P,f).\]
Öte yandan \(Q = Q' \cup \{y\}\) ve \(y \notin Q'\) olduğundan \(Q\), \(Q'\)’ye tek nokta eklenerek elde edilmiştir; Aşama 1 gereği
\[L(Q',f) \le L(Q,f), \qquad U(Q,f) \le U(Q',f).\]
İki eşitsizlik dizisini birleştirirsek
\[L(P,f) \le L(Q',f) \le L(Q,f), \qquad U(Q,f) \le U(Q',f) \le U(P,f)\]
olur; yani \(\mathcal{A}(p+1)\) doğrudur. Tümevarım ilkesi (bkz. Analiz 1) gereği \(\mathcal{A}(p)\) her \(p \ge 0\) için doğrudur, dolayısıyla teorem her incelme için geçerlidir.
\(\blacksquare\)
İncelme teoremi, aynı bölünüş ailesi içinde ilerledikçe alt toplamların yukarı, üst toplamların aşağı doğru hareket ettiğini söyler. Buna Önerme 24.1’ni eklersek şu resmi görürüz: bir bölünüşü sürekli inceltirsek \(L\) artan ve yukarıdan sınırlı, \(U\) ise azalan ve aşağıdan sınırlı olur. Ama şu ana kadar yalnızca birbirini içeren bölünüşleri karşılaştırabildik. Peki hiçbir ortak yanı olmayan iki bölünüşün toplamları arasında bir düzen var mıdır?
\(P = \left\{ 0, \tfrac{1}{3}, 1 \right\}\) ve \(Q = \left\{ 0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}, 1 \right\}\) bölünüşlerini düşünelim. Ne \(P \subseteq Q\) ne de \(Q \subseteq P\)’dir; incelme teoremi bu ikisi hakkında tek kelime söylemez. Buna karşın \(L(P,f) \le U(Q,f)\) olmasını bekleriz: \(L(P,f)\) “grafiğin altında kalan bir alan”, \(U(Q,f)\) ise “grafiği örten bir alan” olduğuna göre birincisi ikincisini aşmamalıdır. Bu beklentiyi ispata çevirmenin yolu, iki bölünüşü ortak bir incelmede buluşturmaktır.
Sonuç 24.1 (Her Alt Toplam Her Üst Toplamdan Küçüktür) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon olsun. \([a,b]\)’nin herhangi iki \(P\) ve \(Q\) bölünüşü için
\[L(P,f) \le U(Q,f)\]
olur.
İspat
\(R = P \cup Q\) diyelim. \(P\) ve \(Q\) sonlu kümeler olduğundan \(R\) de sonludur; \(a, b \in P \subseteq R\) olduğundan \(R\)’nin en küçük elemanı \(a\), en büyük elemanı \(b\)’dir ve \(R \subseteq [a,b]\)’dir. Öyleyse \(R\), \([a,b]\)’nin bir bölünüşüdür. \(R\)’ye \(P\) ile \(Q\)’nun ortak incelmesi denir.
Tanım gereği \(P \subseteq R\) ve \(Q \subseteq R\)’dir. Teorem 24.1’yi önce \(P \subseteq R\) çiftine (alt toplamlar için), sonra \(Q \subseteq R\) çiftine (üst toplamlar için) uygulayalım; arada Önerme 24.1’nin ortadaki \(L(R,f) \le U(R,f)\) eşitsizliğini kullanacağız:
\[L(P,f) \;\underset{P \subseteq R}{\le}\; L(R,f) \;\le\; U(R,f) \;\underset{Q \subseteq R}{\le}\; U(Q,f).\]
Zincirin iki ucunu okursak \(L(P,f) \le U(Q,f)\) elde ederiz. \(P\) ile \(Q\) keyfî seçildiğinden iddia ispatlanmıştır.
\(\blacksquare\)
Bu sonucun anlamı şudur: alt toplamlar kümesinin tamamı, üst toplamlar kümesinin tamamının solundadır. Sayı doğrusunda alt toplamlar bir bölgeyi, üst toplamlar başka bir bölgeyi doldurur ve bu iki bölge birbirinin içine geçmez. Aralarında bir boşluk olabilir; olmayabilir de. İntegrallenebilirlik sorusu, tam olarak bu boşluğun genişliğiyle ilgilidir.
24.4 Toplamların Hesabı: Üç Örnek
Tanımları somutlaştırmak için üç fonksiyonda toplamları elle hesaplayalım. Her üçünde de düzgün bölünüşü kullanacağız; düzgün bölünüşün üstünlüğü, \(\Delta x_k\)’nin toplamın dışına çıkabilmesidir.
Örnek 24.1 (Birim Fonksiyon) \(f(x) = x\) fonksiyonunun \([0,1]\) aralığındaki alt ve üst Darboux toplamlarını, \(n\) parçalı düzgün bölünüş \(P_n\) için hesaplayınız ve \(n \to \infty\) iken davranışlarını belirleyiniz.
Çözüm
\(P_n\)’nin noktaları \(x_k = \dfrac{k}{n}\) \((k = 0, 1, \dots, n)\) ve alt aralık uzunlukları \(\Delta x_k = \dfrac{1}{n}\)’dir.
Adım 1: \(m_k\) ve \(M_k\). \(f(x) = x\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde kesin artandır (Tanım 1.1). Artan bir fonksiyon \([x_{k-1}, x_k]\) aralığında en küçük değerini sol uçta, en büyük değerini sağ uçta alır; her ikisi de gerçekten alındığından infimum ile minimum, supremum ile maksimum çakışır:
\[m_k = f(x_{k-1}) = \frac{k-1}{n}, \qquad M_k = f(x_k) = \frac{k}{n}.\]
Adım 2: Alt toplam. Tanımı yazıp \(\dfrac{1}{n}\) çarpanlarını dışarı alalım:
\[L(P_n, f) = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} (k-1) = \frac{1}{n^2} \big( 0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1) \big).\]
İlk \(n-1\) doğal sayının toplamı \(\dfrac{(n-1)n}{2}\) olduğundan
\[L(P_n, f) = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n-1}{2n}.\]
Adım 3: Üst toplam. Benzer biçimde
\[U(P_n, f) = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n}.\]
Adım 4: Değerlendirme. İki toplamı yan yana yazalım:
\[L(P_n, f) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n}, \qquad U(P_n, f) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}.\]
Buradan her \(n\) için
\[L(P_n,f) < \frac{1}{2} < U(P_n,f), \qquad U(P_n,f) - L(P_n,f) = \frac{1}{n}\]
olur. \(n \to \infty\) iken \(\dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan (bkz. Analiz 1) her iki dizi de \(\dfrac{1}{2}\) sayısına yakınsar:
\[\lim_{n \to \infty} L(P_n, f) = \lim_{n \to \infty} U(P_n, f) = \frac{1}{2}.\]
Alt toplamlar aşağıdan, üst toplamlar yukarıdan \(\dfrac{1}{2}\) sayısına sokulur ve aradaki boşluk \(\dfrac{1}{n}\) hızıyla kapanır. Bu hesabın \(\dfrac{1}{2}\) sayısını neden “\(f(x) = x\) fonksiyonunun \([0,1]\) üzerindeki integrali” yapmaya yettiğini, alt ve üst integralleri tanımladıktan sonra Önerme 24.2 ile göreceğiz.
\(\blacksquare\)
Örnek 24.2 (Kare Fonksiyonu) \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun \([0,1]\) aralığındaki alt ve üst toplamlarını \(n\) parçalı düzgün bölünüş için hesaplayınız.
Çözüm
Yine \(x_k = \dfrac{k}{n}\) ve \(\Delta x_k = \dfrac{1}{n}\)’dir.
Adım 1: \(m_k\) ve \(M_k\). \(f(x) = x^2\) fonksiyonu \([0,1]\) üzerinde artandır: \(0 \le u < v \le 1\) ise \(v^2 - u^2 = (v-u)(v+u) > 0\)’dır. Dolayısıyla
\[m_k = f(x_{k-1}) = \left( \frac{k-1}{n} \right)^2, \qquad M_k = f(x_k) = \left( \frac{k}{n} \right)^2.\]
Adım 2: Kareler toplamı formülü. Hesaplarda
\[\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
eşitliğini kullanacağız (tümevarımla kolayca doğrulanır).
Adım 3: Üst toplam.
\[U(P_n, f) = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.\]
Payı açarsak
\[U(P_n, f) = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}.\]
Adım 4: Alt toplam. Toplamda \(j = k-1\) değişken değişimi yapalım; \(k\) \(1\)’den \(n\)’ye giderken \(j\) \(0\)’dan \(n-1\)’e gider:
\[L(P_n, f) = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k-1}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{j=0}^{n-1} j^2 = \frac{1}{n^3} \sum_{j=1}^{n-1} j^2.\]
Kareler toplamı formülünü \(n\) yerine \(n-1\) ile uygularsak
\[\sum_{j=1}^{n-1} j^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\]
olur, dolayısıyla
\[L(P_n, f) = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}.\]
Adım 5: Değerlendirme. \(n \to \infty\) iken \(\dfrac{1}{2n} \to 0\) ve \(\dfrac{1}{6n^2} \to 0\) olduğundan
\[\lim_{n \to \infty} L(P_n, f) = \lim_{n \to \infty} U(P_n, f) = \frac{1}{3}.\]
İki toplamın farkı ise
\[U(P_n,f) - L(P_n,f) = \frac{(2n^2+3n+1) - (2n^2-3n+1)}{6n^2} = \frac{6n}{6n^2} = \frac{1}{n}\]
olur; birim fonksiyondaki farkla aynı çıkması rastlantı değildir, bunun nedenini Önerme 24.3’dan sonra göreceğiz. Ayrıca her \(n\) için \(L(P_n,f) < \dfrac{1}{3} < U(P_n,f)\) olduğuna dikkat edelim.
\(\blacksquare\)
Örnek 24.3 (Sabit Fonksiyon) \(c \in \mathbb{R}\) olmak üzere \(f(x) = c\) fonksiyonunun \([a,b]\) aralığındaki bütün alt ve üst toplamlarını belirleyiniz.
Çözüm
\(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\) herhangi bir bölünüş olsun. Her \(k\) için \(f\)’nin \([x_{k-1},x_k]\) üzerindeki değerler kümesi tek noktalı \(\{c\}\) kümesidir; tek noktalı bir kümenin hem infimumu hem supremumu o noktanın kendisidir:
\[m_k = c, \qquad M_k = c.\]
Buradan teleskopik toplam gereği
\[L(P,f) = \sum_{k=1}^{n} c \, \Delta x_k = c \sum_{k=1}^{n} \Delta x_k = c(b-a)\]
ve aynı hesapla
\[U(P,f) = \sum_{k=1}^{n} c \, \Delta x_k = c(b-a)\]
bulunur. Yani sabit bir fonksiyon için her bölünüş aynı iki sayıyı verir ve bu iki sayı birbirine eşittir:
\[L(P,f) = U(P,f) = c(b-a) \qquad \text{(her } P \text{ için)}.\]
Alt toplamlar kümesi ile üst toplamlar kümesi tek noktalı \(\{c(b-a)\}\) kümesine indiğinden, supremum ve infimum da \(c(b-a)\)’dır. Bu, bir dikdörtgenin alanının taban çarpı yükseklik olması gerektiği yolundaki en temel beklentiyi doğrular. (\(c < 0\) ise \(c(b-a) < 0\) çıkar; bu, işaretli alan okumasına uygundur.)
\(\blacksquare\)
24.5 Alt İntegral ve Üst İntegral
Her bölünüş bize bir alt toplam ve bir üst toplam veriyor. Alt toplamlar alttan yaklaşan tahminler, üst toplamlar üstten yaklaşan tahminlerdir. Doğal olarak en iyi tahminleri arıyoruz: alt tahminlerin en büyüğünü ve üst tahminlerin en küçüğünü. Bunlar birer maksimum ya da minimum olmayabilir; bu yüzden supremum ve infimum kullanırız. Önerme 24.1’nin ardından not ettiğimiz sınırlılık gözlemleri sayesinde bu supremum ve infimum gerçekten vardır.
Tanım 24.4 (Alt İntegral ve Üst İntegral) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon olsun.
\(f\)’nin \([a,b]\) üzerindeki alt integrali (lower integral), bütün alt toplamların supremumudur:
\[\underline{I}(f) = \sup \big\{ L(P,f) : P \in \mathcal{P}[a,b] \big\}.\]
\(f\)’nin \([a,b]\) üzerindeki üst integrali (upper integral), bütün üst toplamların infimumudur:
\[\overline{I}(f) = \inf \big\{ U(P,f) : P \in \mathcal{P}[a,b] \big\}.\]
Gösterim. Bu kitapta alt integral \(\underline{I}(f)\), üst integral \(\overline{I}(f)\) simgeleriyle yazılır. Aralık vurgulanmak istendiğinde \(\underline{I}_a^b(f)\) ve \(\overline{I}_a^b(f)\) yazılır. Bazı kaynaklarda bu iki sayı, integral işaretinin altına ve üstüne çizgi konarak gösterilir; biz her yerde \(\underline{I}(f)\) ve \(\overline{I}(f)\) gösterimini kullanacağız.
Tanımın anlamlı olduğunu bir kez daha vurgulayalım. \(\mathcal{P}[a,b]\) boş değildir (\(\{a,b\}\) bir bölünüştür), dolayısıyla söz konusu iki küme de boş değildir. Önerme 24.1 gereği alt toplamlar kümesi \(M(b-a)\) ile yukarıdan, üst toplamlar kümesi \(m(b-a)\) ile aşağıdan sınırlıdır. Supremumun varlığı ve infimumun varlığı (bkz. Analiz 1) gereği \(\underline{I}(f)\) ile \(\overline{I}(f)\) birer reel sayıdır. Ayrıca \(\{a,b\}\) bölünüşünün verdiği değerlerle karşılaştırırsak
\[m(b-a) \le \underline{I}(f) \qquad \text{ve} \qquad \overline{I}(f) \le M(b-a)\]
olduğunu da görürüz.
Tanımın doğrudan iki sonucunu, sık kullanacağımız için ayrıca yazalım. Supremum bir üst sınır, infimum bir alt sınır olduğundan her \(P\) bölünüşü için
\[L(P,f) \le \underline{I}(f) \qquad \text{ve} \qquad \overline{I}(f) \le U(P,f).\]
Şimdi bu iki sayı arasındaki ilişkiyi kuralım. Adlarından beklediğimiz sıralamanın gerçekten geçerli olduğunu görmek, Sonuç 24.1’nin ilk ciddi meyvesidir.
Teorem 24.2 (Alt İntegral Üst İntegrali Aşmaz) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon olsun. O hâlde
\[\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\]
olur. Dahası
\[m(b-a) \;\le\; \underline{I}(f) \;\le\; \overline{I}(f) \;\le\; M(b-a)\]
geçerlidir; burada \(m = \inf_{[a,b]} f\) ve \(M = \sup_{[a,b]} f\)’dir.
İspat
Adım 1: Sabit bir \(Q\) için supremum alma.
\(Q\) bir bölünüş olsun ve şimdilik sabit tutalım. Sonuç 24.1 gereği her \(P\) bölünüşü için
\[L(P,f) \le U(Q,f)\]
olur. Bu, \(U(Q,f)\) sayısının \(\big\{ L(P,f) : P \in \mathcal{P}[a,b] \big\}\) kümesinin bir üst sınırı olduğunu söyler. Supremum, en küçük üst sınır olduğundan hiçbir üst sınırı aşamaz:
\[\underline{I}(f) = \sup_{P} L(P,f) \le U(Q,f).\]
Adım 2: Şimdi \(Q\) üzerinde infimum alma.
Adım 1’de \(Q\) keyfîydi; dolayısıyla elde ettiğimiz eşitsizlik her \(Q\) bölünüşü için geçerlidir. Bu, \(\underline{I}(f)\) sayısının \(\big\{ U(Q,f) : Q \in \mathcal{P}[a,b] \big\}\) kümesinin bir alt sınırı olduğunu söyler. İnfimum, en büyük alt sınır olduğundan hiçbir alt sınırın altına inmez:
\[\underline{I}(f) \le \inf_{Q} U(Q,f) = \overline{I}(f).\]
Adım 3: Uçtaki eşitsizlikler.
\(P_0 = \{a,b\}\) bölünüşünü alalım. Bu bölünüşün tek bir alt aralığı vardır: \(I_1 = [a,b]\) ve \(\Delta x_1 = b-a\)’dır. Bu alt aralık üzerindeki infimum ile supremum, bütün aralıktaki \(m\) ve \(M\) sayılarının kendisi olduğundan
\[L(P_0,f) = m_1 \, \Delta x_1 = m(b-a), \qquad U(P_0,f) = M_1 \, \Delta x_1 = M(b-a)\]
olur. Supremum ve infimum tanımları gereği
\[m(b-a) = L(P_0,f) \le \underline{I}(f), \qquad \overline{I}(f) \le U(P_0,f) = M(b-a).\]
Bu üç eşitsizliği birleştirirsek istenen zincir elde edilir.
\(\blacksquare\)
Böylece her sınırlı fonksiyona iki sayı iliştirmiş olduk: \(\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\). Bu iki sayı eşitse fonksiyona integrallenebilir diyeceğiz ve ortak değere integral adını vereceğiz; farklıysa fonksiyonun integrali yoktur. Bu ayrımın ayrıntılı incelemesi bir sonraki bölümün konusudur; burada, bu iki sayıyı somut fonksiyonlarda nasıl bulacağımıza odaklanacağız.
Alt ve üst integrali doğrudan tanımdan hesaplamak zordur; çünkü tanım, bütün bölünüşler üzerinde bir supremum/infimum ister ve bölünüşler sınıfı çok büyüktür. Neyse ki tek bir bölünüş dizisi çoğu zaman yeter.
Önerme 24.2 (Bölünüş Dizisiyle Sıkıştırma) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon ve \((P_n)\) de \([a,b]\)’nin bölünüşlerinden oluşan bir dizi olsun. Eğer
\[\lim_{n \to \infty} L(P_n, f) = \lim_{n \to \infty} U(P_n, f) = A\]
ise
\[\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = A\]
olur.
İspat
Her \(n\) için, tanımın doğrudan sonuçları ve Teorem 24.2 bir araya getirilirse
\[L(P_n, f) \;\le\; \underline{I}(f) \;\le\; \overline{I}(f) \;\le\; U(P_n, f)\]
zinciri elde edilir. Buradaki \(\underline{I}(f)\) ve \(\overline{I}(f)\) sayıları \(n\)’den bağımsız sabitlerdir.
Şimdi \(n \to \infty\) limitine geçelim. Yakınsak dizilerde sıralama korunduğundan, soldaki eşitsizlikten
\[A = \lim_{n \to \infty} L(P_n,f) \le \underline{I}(f),\]
sağdaki eşitsizlikten de
\[\overline{I}(f) \le \lim_{n \to \infty} U(P_n,f) = A\]
elde ederiz. Ortadaki \(\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\) eşitsizliğiyle birlikte
\[A \le \underline{I}(f) \le \overline{I}(f) \le A\]
olur; bir zincirin iki ucu eşitse bütün ara terimler de eşittir. Öyleyse \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = A\)’dır.
\(\blacksquare\)
Bu önerme, yaptığımız hesapları anında sonuca bağlar.
Örnek 24.1’nda \(f(x) = x\) için \(L(P_n,f) \to \dfrac{1}{2}\) ve \(U(P_n,f) \to \dfrac{1}{2}\) bulmuştuk. Öyleyse
\[\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = \frac{1}{2}.\]
Örnek 24.2’nda \(f(x) = x^2\) için her iki limit de \(\dfrac{1}{3}\) çıkmıştı. Öyleyse
\[\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = \frac{1}{3}.\]
Örnek 24.3’da \(f \equiv c\) için bütün toplamlar \(c(b-a)\)’ya eşitti; sabit bir dizi kendi değerine yakınsadığından
\[\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = c(b-a).\]
Üç fonksiyonda da alt ve üst integral çakıştı. Bu üç fonksiyon, bir sonraki bölümde tanımlayacağımız anlamda integrallenebilirdir ve integralleri sırasıyla \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{3}\) ve \(c(b-a)\)’dır. Şimdi işlerin ters gittiği bir fonksiyona bakalım.
Önerme 24.2’da iki limitin aynı sayıya gitmesi şarttır. Yalnızca \(L(P_n,f)\)’nin bir limiti olması ya da yalnızca \(\|P_n\| \to 0\) olması hiçbir şey söylemez: az sonra göreceğimiz Dirichlet fonksiyonunda her iki dizi de yakınsar (biri \(0\)’a, öteki \(1\)’e) ve normlar sıfıra gider; buna karşın alt ve üst integraller farklıdır. Sıkıştırma, ancak boşluk kapandığında çalışır.
Örnek 24.4 (Dirichlet Fonksiyonu) \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) fonksiyonu
\[f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \cap [0,1] \\[1mm] 0, & x \in [0,1] \setminus \mathbb{Q} \end{cases}\]
ile tanımlansın (Dirichlet fonksiyonu). \(f\)’nin alt ve üst integrallerini hesaplayınız.
Çözüm
\(f\) sınırlıdır: bütün değerleri \(\{0,1\}\) kümesinde olduğundan \(0 \le f(x) \le 1\)’dir. Dolayısıyla Darboux toplamları tanımlıdır.
Adım 1: Bir alt aralıkta infimum ve supremum. \(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\) herhangi bir bölünüş ve \([x_{k-1}, x_k]\) herhangi bir alt aralığı olsun. \(x_{k-1} < x_k\) olduğundan \((x_{k-1}, x_k)\) boş olmayan bir açık aralıktır. Rasyonel sayıların yoğunluğu (bkz. Analiz 1) gereği bu aralıkta bir \(r \in \mathbb{Q}\) vardır; irrasyonel sayıların yoğunluğu (bkz. Analiz 1) gereği bir \(s \notin \mathbb{Q}\) vardır. O hâlde
\[f(r) = 1 \quad \text{ve} \quad f(s) = 0\]
olduğundan \(f\)’nin \([x_{k-1},x_k]\) üzerindeki değerler kümesi tam olarak \(\{0,1\}\)’dir. Buradan
\[m_k = \inf \{0,1\} = 0, \qquad M_k = \sup \{0,1\} = 1\]
çıkar. Dikkat: bu, hangi bölünüşü aldığımızdan ve alt aralıkların ne kadar küçük olduğundan tümüyle bağımsızdır. Bölünüşü ne kadar incelttiğimiz bir şeyi değiştirmez; rasyoneller ve irrasyoneller her aralıkta iç içedir.
Adım 2: Toplamlar. Teleskopik toplamla
\[L(P,f) = \sum_{k=1}^{n} 0 \cdot \Delta x_k = 0, \qquad U(P,f) = \sum_{k=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_k = \sum_{k=1}^{n} \Delta x_k = 1 - 0 = 1.\]
Yani her bölünüş için \(L(P,f) = 0\) ve \(U(P,f) = 1\)’dir.
Adım 3: Alt ve üst integral. Alt toplamlar kümesi \(\{0\}\), üst toplamlar kümesi \(\{1\}\) olduğundan
\[\underline{I}(f) = \sup \{0\} = 0, \qquad \overline{I}(f) = \inf \{1\} = 1.\]
Sonuç. \(0 \ne 1\) olduğundan Dirichlet fonksiyonunda alt ve üst integral çakışmaz; aralarındaki boşluk hiçbir bölünüşle daraltılamaz, hep \(1\) genişliğinde kalır. Bu fonksiyon bir sonraki bölümde tanımlayacağımız anlamda integrallenebilir değildir; kurduğumuz kuramda “integrali olmayan sınırlı fonksiyon” diye bir şeyin gerçekten var olduğunu gösteren ilk örnektir. Not edelim ki Teorem 24.2 burada da doğrudur: \(\underline{I}(f) = 0 \le 1 = \overline{I}(f)\).
\(\blacksquare\)
Dirichlet fonksiyonu bize önemli bir ders verir: alt ve üst integralin çakışması, fonksiyonun düzenliliğiyle ilgili bir koşuldur. Her alt aralıkta \(M_k - m_k\) farkı büyük kaldığı sürece boşluk kapanmaz. İşte bu fark, bölümün son kavramıdır.
24.6 Salınım
Alt ve üst toplamların farkına bakmak, integrallenebilirliği incelemenin en pratik yoludur; çünkü bu fark, iki ayrı toplamı karşılaştırmak yerine tek bir toplam olarak yazılabilir.
Tanım 24.5 (Bir Küme Üzerinde Salınım) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon ve \(A \subseteq [a,b]\) boş olmayan bir alt küme olsun. \(f\)’nin \(A\) üzerindeki salınımı (oscillation)
\[\omega(f, A) = \sup_{x \in A} f(x) - \inf_{x \in A} f(x)\]
sayısıdır. \(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\) bir bölünüş olduğunda, \(f\)’nin \(k\)-inci alt aralıktaki salınımı için kısaca
\[\omega_k = \omega\big( f, [x_{k-1}, x_k] \big) = M_k - m_k\]
yazarız.
\(m_k \le M_k\) olduğundan her zaman \(\omega_k \ge 0\)’dır. Salınım, “fonksiyon bu alt aralıkta ne kadar oynuyor?” sorusunun sayısal yanıtıdır: \(\omega_k = 0\) demek \(f\)’nin o alt aralıkta sabit olması, \(\omega_k\)’nin büyük olması ise fonksiyonun orada geniş bir aralığa yayılması demektir.
Salınımın en kullanışlı özelliği, supremum ve infimumu tek tek bilmeye gerek kalmadan, yalnızca değer farklarıyla ifade edilebilmesidir. Bir sonraki bölümde integrallenebilirliği süreklilikle bağlarken tam olarak bu biçimi kullanacağız: düzgün süreklilik bize \(|f(s) - f(t)|\) üzerinde denetim verir, salınım da doğrudan bu farklardan okunur.
Önerme 24.3 (Üst ve Alt Toplamın Farkı) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon olsun.
- Boş olmayan her \(A \subseteq [a,b]\) için
\[\omega(f,A) = \sup \big\{ |f(s) - f(t)| : s, t \in A \big\}.\]
- \([a,b]\)’nin her \(P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}\) bölünüşü için
\[U(P,f) - L(P,f) = \sum_{k=1}^{n} \omega_k \, \Delta x_k = \sum_{k=1}^{n} (M_k - m_k) \, \Delta x_k \;\ge\; 0.\]
İspat
(a) \(\alpha = \sup_{A} f\), \(\beta = \inf_{A} f\) ve
\[S = \sup \big\{ |f(s) - f(t)| : s, t \in A \big\}\]
yazalım. Önce \(S\)’nin var olduğunu görelim: \(A\) boş olmadığından söz konusu küme boş değildir; ayrıca her \(s,t \in A\) için \(\beta \le f(s) \le \alpha\) ve \(\beta \le f(t) \le \alpha\) olduğundan \(|f(s)-f(t)| \le \alpha - \beta\)’dır, yani küme yukarıdan sınırlıdır. Öyleyse \(S\) bir reel sayıdır. İki yönlü eşitsizlik göstereceğiz.
Yön 1: \(S \le \alpha - \beta\). Yukarıdaki gözlemi tekrarlayalım. \(s,t \in A\) olsun. Genelliği bozmadan \(f(s) \ge f(t)\) diyebiliriz (aksi hâlde \(s\) ile \(t\)’nin rollerini değiştiririz; \(|f(s)-f(t)|\) bu değişimden etkilenmez). O hâlde
\[|f(s) - f(t)| = f(s) - f(t) \le \alpha - \beta,\]
çünkü \(f(s) \le \alpha\) ve \(-f(t) \le -\beta\)’dır. Demek ki \(\alpha - \beta\) sayısı \(\big\{ |f(s)-f(t)| : s,t \in A \big\}\) kümesinin bir üst sınırıdır; supremum en küçük üst sınır olduğundan \(S \le \alpha - \beta\) olur.
Yön 2: \(\alpha - \beta \le S\). \(\varepsilon > 0\) verilsin. Supremumun \(\varepsilon\)-nitelemesi (bkz. Analiz 1) gereği öyle bir \(s \in A\) vardır ki
\[f(s) > \alpha - \frac{\varepsilon}{2};\]
infimumun \(\varepsilon\)-nitelemesi (bkz. Analiz 1) gereği de öyle bir \(t \in A\) vardır ki
\[f(t) < \beta + \frac{\varepsilon}{2}.\]
Bu iki eşitsizliği taraf tarafa çıkarırsak
\[f(s) - f(t) > \left( \alpha - \frac{\varepsilon}{2} \right) - \left( \beta + \frac{\varepsilon}{2} \right) = \alpha - \beta - \varepsilon\]
olur. \(|f(s)-f(t)| \ge f(s)-f(t)\) ve \(S \ge |f(s)-f(t)|\) olduğundan
\[S > \alpha - \beta - \varepsilon\]
elde ederiz. \(\varepsilon > 0\) keyfî olduğundan \(S \ge \alpha - \beta\)’dır: gerçekten de \(S < \alpha - \beta\) olsaydı, \(\varepsilon = \alpha - \beta - S > 0\) seçildiğinde \(S > \alpha - \beta - \varepsilon = S\) gibi bir saçmalık çıkardı.
İki yön birleşince \(S = \alpha - \beta = \omega(f,A)\) bulunur.
(b) Tanımları yazıp toplamları birleştirelim. Her iki toplam da \(k=1\)’den \(n\)’ye gittiğinden
\[U(P,f) - L(P,f) = \sum_{k=1}^{n} M_k \, \Delta x_k - \sum_{k=1}^{n} m_k \, \Delta x_k = \sum_{k=1}^{n} (M_k - m_k) \, \Delta x_k = \sum_{k=1}^{n} \omega_k \, \Delta x_k\]
olur. Her \(k\) için \(\omega_k \ge 0\) ve \(\Delta x_k > 0\) olduğundan toplamın her terimi negatif değildir; dolayısıyla \(U(P,f) - L(P,f) \ge 0\)’dır. (Bu eşitsizliği Önerme 24.1’nde başka bir yoldan da elde etmiştik.)
\(\blacksquare\)
(b) maddesindeki formül, bir sonraki bölümün anahtarıdır. \(U(P,f) - L(P,f)\) farkını küçültmek istiyorsak, \(\omega_k \, \Delta x_k\) çarpımlarının toplamını küçültmemiz gerekir. Bunun iki yolu vardır ve pratikte ikisi birden kullanılır:
- Salınımları küçültmek. \(f\) düzgün sürekliyse, alt aralıklar yeterince kısa olduğunda bütün \(\omega_k\)’ler istediğimiz kadar küçük yapılabilir; \(\sum \Delta x_k = b-a\) sabit olduğundan toplam da küçülür.
- Toplam uzunluğu küçültmek. \(\omega_k\)’nin büyük kaldığı alt aralıklar varsa (örneğin \(f\)’nin sıçradığı noktaların çevresinde), bu aralıkların toplam uzunluğunu küçük tutmak yeterlidir; oradaki katkı \(\omega_k \Delta x_k \le \omega(f,[a,b]) \cdot \Delta x_k\) ile sınırlanır.
Dirichlet fonksiyonunda ise her iki yol da tıkanır: her alt aralıkta \(\omega_k = 1 - 0 = 1\)’dir, dolayısıyla bölünüş ne olursa olsun
\[U(P,f) - L(P,f) = \sum_{k=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_k = 1\]
çıkar ve fark asla küçülmez. Örnek 24.4’te bulduğumuz \(\overline{I}(f) - \underline{I}(f) = 1\) değerinin nedeni tam olarak budur.
Buna karşılık monoton fonksiyonlarda hesap çok temizdir; Örnek 24.1 ile Örnek 24.2’nda farkın ikisinde de \(\dfrac{1}{n}\) çıkmasının nedeni de budur. \(f\), \([a,b]\) üzerinde artansa (bkz. Analiz 1) her alt aralıkta \(m_k = f(x_{k-1})\), \(M_k = f(x_k)\) olur, dolayısıyla \(\omega_k = f(x_k) - f(x_{k-1})\)’dir. \(n\) parçalı düzgün bölünüş için \(\Delta x_k = \dfrac{b-a}{n}\) sabit olduğundan toplam teleskopik hâle gelir:
\[U(P_n,f) - L(P_n,f) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} \big( f(x_k) - f(x_{k-1}) \big) = \frac{(b-a) \big( f(b) - f(a) \big)}{n}.\]
Her iki örnekte de \(b - a = 1\) ve \(f(1) - f(0) = 1\) olduğundan fark \(\dfrac{1}{n}\) çıkar. Bu gözlem, monoton fonksiyonların integrallenebilirliğinin ispatının tamamıdır; alıştırmalarda bunu ayrıntılandıracağız.
24.7 Alıştırmalar
Alıştırma 24.1 (Bölünüşler ve Darboux Toplamları Üzerine)
\(f(x) = x\) fonksiyonunun \([0,2]\) aralığındaki \(n\) parçalı düzgün bölünüşe göre alt ve üst toplamlarını hesaplayınız, farklarını bulunuz ve \(\underline{I}(f)\) ile \(\overline{I}(f)\) değerlerini belirleyiniz.
\(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) artan bir fonksiyon olsun. \(n\) parçalı düzgün bölünüş \(P_n\) için
\[U(P_n,f) - L(P_n,f) = \frac{(b-a)\big( f(b) - f(a) \big)}{n}\]
olduğunu gösteriniz ve buradan \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f)\) sonucunu çıkarınız. (Artan bir fonksiyonun sınırlı olduğunu da doğrulayınız.)
\(f(x) = x^3\) fonksiyonunun \([0,1]\) aralığındaki düzgün bölünüşe göre alt ve üst toplamlarını, \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\) formülünü kullanarak hesaplayınız ve alt ile üst integrali bulunuz.
\(g : [0,1] \to \mathbb{R}\) fonksiyonu, \(x\) rasyonel ise \(g(x) = 1\), irrasyonel ise \(g(x) = -1\) olarak tanımlansın. Her bölünüş için \(L(P,g)\), \(U(P,g)\) ve \(\omega_k\) değerlerini bulunuz; \(\underline{I}(g)\) ile \(\overline{I}(g)\)’yi belirleyiniz.
\(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sınırlı ve her \(x\) için \(|f(x)| \le K\) olsun. \(P\) bir bölünüş olsun ve \(Q\) bölünüşü, \(P\)’ye \(p\) tane nokta eklenerek elde edilsin. O hâlde
\[0 \le U(P,f) - U(Q,f) \le 2Kp\|P\|\]
olduğunu gösteriniz.
- \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun \([0,1]\) aralığındaki \(n\) parçalı düzgün bölünüşe göre \(\omega_k\) salınımlarını hesaplayınız ve \(\sum_{k=1}^{n} \omega_k \Delta x_k\) toplamının Önerme 24.3 ile uyumlu olduğunu doğrulayınız. Ayrıca Önerme 24.3 (a) maddesini bu örnekte, \(\sup \{ |f(s)-f(t)| \}\) hesabını doğrudan yaparak sınayınız.
Çözüm
a) \(P_n\)’nin noktaları \(x_k = \dfrac{2k}{n}\) ve alt aralık uzunlukları \(\Delta x_k = \dfrac{2}{n}\)’dir. \(f(x) = x\) artan olduğundan
\[m_k = \frac{2(k-1)}{n}, \qquad M_k = \frac{2k}{n}.\]
Alt toplam:
\[L(P_n,f) = \sum_{k=1}^{n} \frac{2(k-1)}{n} \cdot \frac{2}{n} = \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^{n} (k-1) = \frac{4}{n^2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{2(n-1)}{n} = 2 - \frac{2}{n}.\]
Üst toplam:
\[U(P_n,f) = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n} \cdot \frac{2}{n} = \frac{4}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(n+1)}{n} = 2 + \frac{2}{n}.\]
Fark \(U(P_n,f) - L(P_n,f) = \dfrac{4}{n}\)’dir. Her iki dizi de \(2\)’ye yakınsadığından Önerme 24.2 gereği
\[\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = 2.\]
Bu, tabanı \(2\) ve yüksekliği \(2\) olan dik üçgenin alanı \(\dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2\) ile uyumludur.
b) Önce sınırlılık: \(f\) artan olduğundan her \(x \in [a,b]\) için \(a \le x \le b\) eşitsizliği \(f(a) \le f(x) \le f(b)\) verir; öyleyse \(f\) sınırlıdır ve Darboux toplamları tanımlıdır. Ayrıca \(m = f(a)\), \(M = f(b)\)’dir.
\(P_n\) düzgün bölünüş olsun; \(\Delta x_k = \dfrac{b-a}{n}\)’dir. \(f\) artan olduğundan \([x_{k-1},x_k]\) üzerinde en küçük değer sol uçta, en büyük değer sağ uçta alınır:
\[m_k = f(x_{k-1}), \qquad M_k = f(x_k), \qquad \omega_k = f(x_k) - f(x_{k-1}).\]
Önerme 24.3 (b) gereği
\[U(P_n,f) - L(P_n,f) = \sum_{k=1}^{n} \omega_k \, \Delta x_k = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} \big( f(x_k) - f(x_{k-1}) \big).\]
Sondaki toplam teleskopiktir: ardışık terimlerde \(f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_{n-1})\) değerleri bir kez artı bir kez eksi işaretle görünüp götürülür, geriye yalnızca \(f(x_n) - f(x_0) = f(b) - f(a)\) kalır. Böylece
\[U(P_n,f) - L(P_n,f) = \frac{(b-a)\big(f(b)-f(a)\big)}{n}\]
bulunur.
Şimdi sonucu çıkaralım. Her \(n\) için
\[0 \le \overline{I}(f) - \underline{I}(f) \le U(P_n,f) - L(P_n,f) = \frac{(b-a)\big(f(b)-f(a)\big)}{n}\]
olur; soldaki eşitsizlik Teorem 24.2’ndan, sağdaki ise \(L(P_n,f) \le \underline{I}(f)\) ve \(\overline{I}(f) \le U(P_n,f)\) eşitsizliklerinden gelir. \(C = (b-a)\big(f(b)-f(a)\big) \ge 0\) sabit bir sayıdır ve \(\dfrac{C}{n} \to 0\)’dır. Negatif olmayan sabit bir sayı, sıfıra giden bir dizinin bütün terimlerinden küçük ya da onlara eşitse sıfırdır: \(\overline{I}(f) - \underline{I}(f) > 0\) olsaydı, Arşimet özelliği (bkz. Analiz 1) gereği \(\dfrac{C}{n} < \overline{I}(f) - \underline{I}(f)\) olacak bir \(n\) bulunur ve çelişki doğardı. Öyleyse
\[\underline{I}(f) = \overline{I}(f).\]
Yani artan her fonksiyon için alt ve üst integraller çakışır. Azalan bir \(f\) için ise her alt aralıkta \(m_k = f(x_k)\) ve \(M_k = f(x_{k-1})\) olur; aynı teleskopik hesap bu kez
\[U(P_n,f) - L(P_n,f) = \frac{(b-a)\big(f(a)-f(b)\big)}{n}\]
verir ve sağ taraf yine sıfıra gittiğinden yukarıdaki gerekçe olduğu gibi işler. Dolayısıyla monoton her fonksiyon bu özelliği taşır.
c) \(x_k = \dfrac{k}{n}\), \(\Delta x_k = \dfrac{1}{n}\)’dir. \(f(x) = x^3\) fonksiyonu \([0,1]\) üzerinde artandır (çünkü \(0 \le u < v\) için \(v^3 - u^3 = (v-u)(v^2+uv+u^2) > 0\)’dır), dolayısıyla
\[m_k = \left( \frac{k-1}{n} \right)^3, \qquad M_k = \left( \frac{k}{n} \right)^3.\]
Üst toplam:
\[U(P_n,f) = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n} \right)^3 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{n^2 (n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{4n^2}.\]
Alt toplam (\(j = k-1\) değişimiyle):
\[L(P_n,f) = \frac{1}{n^4} \sum_{j=0}^{n-1} j^3 = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{(n-1)^2 n^2}{4} = \frac{(n-1)^2}{4n^2}.\]
Açık biçimde
\[U(P_n,f) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{4n^2}, \qquad L(P_n,f) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{4n^2}\]
olur; her iki dizi de \(\dfrac{1}{4}\)’e yakınsar. Önerme 24.2 gereği
\[\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = \frac{1}{4}.\]
Farkı da kontrol edelim: \(U(P_n,f) - L(P_n,f) = \dfrac{1}{n}\)’dir; bu, (b) şıkkındaki formülle uyumludur, çünkü \((b-a)\big(f(b)-f(a)\big) = 1 \cdot (1-0) = 1\)’dir.
d) \(P = \{x_0 < \cdots < x_n\}\) herhangi bir bölünüş olsun. Her \((x_{k-1},x_k)\) açık aralığında hem rasyonel hem irrasyonel sayı bulunduğundan (bkz. Analiz 1 ve İrrasyonel Sayıların Yoğunluğu), \(g\)’nin \([x_{k-1},x_k]\) üzerindeki değerler kümesi \(\{-1, 1\}\)’dir. Buradan
\[m_k = -1, \qquad M_k = 1, \qquad \omega_k = M_k - m_k = 2.\]
Toplamlar:
\[L(P,g) = \sum_{k=1}^{n} (-1) \Delta x_k = -\sum_{k=1}^{n} \Delta x_k = -1, \qquad U(P,g) = \sum_{k=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_k = 1.\]
Bu değerler bölünüşten bağımsız olduğundan alt toplamlar kümesi \(\{-1\}\), üst toplamlar kümesi \(\{1\}\)’dir ve
\[\underline{I}(g) = -1, \qquad \overline{I}(g) = 1.\]
Fark Önerme 24.3 ile de doğrulanır: \(\sum_{k=1}^{n} \omega_k \Delta x_k = 2 \sum_{k=1}^{n} \Delta x_k = 2 = U(P,g) - L(P,g)\). Aradaki boşluk hiçbir bölünüşle daraltılamadığından \(g\) de integrallenebilir değildir. (\(g = 2f - 1\) olduğuna dikkat ediniz; burada \(f\) Örnek 24.4’teki Dirichlet fonksiyonudur.)
e) Önce tek nokta eklenmesi durumunu inceleyelim. \(P = \{x_0 < \cdots < x_n\}\) ve \(Q = P \cup \{x^*\}\) olsun; \(x_{i-1} < x^* < x_i\) olsun. Teorem 24.1’nin ispatındaki gösterimlerle \(T_1 = \sup_{[x_{i-1},x^*]} f\), \(T_2 = \sup_{[x^*,x_i]} f\) diyelim. \(U(P,f)\) ile \(U(Q,f)\) arasında yalnızca \(i\)-inci terim farklı olduğundan
\[U(P,f) - U(Q,f) = M_i \Delta x_i - T_1 (x^* - x_{i-1}) - T_2 (x_i - x^*).\]
\(\Delta x_i = (x^* - x_{i-1}) + (x_i - x^*)\) ayrışmasını kullanıp terimleri gruplarsak
\[U(P,f) - U(Q,f) = (M_i - T_1)(x^* - x_{i-1}) + (M_i - T_2)(x_i - x^*)\]
elde ederiz. \(T_1 \le M_i\) ve \(T_2 \le M_i\) olduğundan bu ifade negatif değildir; öte yandan \(|f| \le K\) olduğundan \(-K \le T_j \le M_i \le K\) ve dolayısıyla \(0 \le M_i - T_j \le 2K\)’dır \((j=1,2)\). Buradan
\[0 \le U(P,f) - U(Q,f) \le 2K \big[ (x^* - x_{i-1}) + (x_i - x^*) \big] = 2K \Delta x_i \le 2K \|P\|\]
çıkar.
Şimdi \(p\) noktaya geçelim; \(p\) üzerinden tümevarım yapacağız. \(p = 0\) için \(Q = P\) ve fark sıfırdır. İddianın \(p\) için doğru olduğunu varsayalım ve \(Q\), \(P\)’ye \(p+1\) nokta eklenerek elde edilmiş olsun. Eklenen noktalardan birini \(y\) ile gösterip \(Q' = Q \setminus \{y\}\) diyelim; \(Q'\), \(P\)’ye \(p\) nokta eklenerek elde edilmiştir ve \(Q = Q' \cup \{y\}\)’dir. Tümevarım varsayımıyla
\[0 \le U(P,f) - U(Q',f) \le 2Kp\|P\|.\]
\(Q'\) da \(P\)’nin bir incelmesi olduğundan \(\|Q'\| \le \|P\|\)’dir; tek nokta durumunu \(Q'\) ile \(Q\) çiftine uygularsak
\[0 \le U(Q',f) - U(Q,f) \le 2K \|Q'\| \le 2K \|P\|.\]
İki eşitsizliği toplayalım; sol taraflarda teleskopik sadeleşme olur:
\[0 \le U(P,f) - U(Q,f) = \big( U(P,f) - U(Q',f) \big) + \big( U(Q',f) - U(Q,f) \big) \le 2Kp\|P\| + 2K\|P\| = 2K(p+1)\|P\|.\]
Tümevarım ilkesi (bkz. Analiz 1) gereği iddia her \(p \ge 0\) için doğrudur. (Alt toplamlar için bakışımlı biçimde \(0 \le L(Q,f) - L(P,f) \le 2Kp\|P\|\) elde edilir.)
f) \(f(x) = x^2\), \(x_k = \dfrac{k}{n}\), \(\Delta x_k = \dfrac{1}{n}\)’dir. Örnek 24.2’nda \(m_k = \left( \dfrac{k-1}{n} \right)^2\) ve \(M_k = \left( \dfrac{k}{n} \right)^2\) bulmuştuk; öyleyse
\[\omega_k = \left( \frac{k}{n} \right)^2 - \left( \frac{k-1}{n} \right)^2 = \frac{k^2 - (k-1)^2}{n^2} = \frac{2k-1}{n^2}.\]
Salınımlar \(k\) büyüdükçe artar: parabol sağ tarafta daha dik olduğundan aynı genişlikteki alt aralıkta daha çok değişir. Şimdi toplamı hesaplayalım; ilk \(n\) tek sayının toplamının \(n^2\) olduğunu kullanacağız:
\[\sum_{k=1}^{n} \omega_k \, \Delta x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} (2k-1) = \frac{1}{n^3} \left( 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n \right) = \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n}.\]
Bu, Örnek 24.2’nda doğrudan hesapladığımız \(U(P_n,f) - L(P_n,f) = \dfrac{1}{n}\) değeriyle çakışır; Önerme 24.3 (b) doğrulanmış oldu.
Son olarak (a) maddesini sınayalım. \(A = [x_{k-1}, x_k] = \left[ \dfrac{k-1}{n}, \dfrac{k}{n} \right]\) alalım. Her \(s, t \in A\) için \(m_k \le s^2 \le M_k\) ve \(m_k \le t^2 \le M_k\) olduğundan iki değerin farkı \([m_k, M_k]\) aralığının boyunu aşamaz:
\[|f(s) - f(t)| = |s^2 - t^2| \le M_k - m_k = \frac{2k-1}{n^2}.\]
Demek ki \(\dfrac{2k-1}{n^2}\) sayısı söz konusu kümenin bir üst sınırıdır. Üstelik bu üst sınıra ulaşılır: \(s = \dfrac{k}{n}\) ve \(t = \dfrac{k-1}{n}\) seçildiğinde \(|s - t| = \dfrac{1}{n}\) ve \(s + t = \dfrac{2k-1}{n}\) olduğundan
\[|f(s)-f(t)| = |s-t| \, (s+t) = \frac{1}{n} \cdot \frac{2k-1}{n} = \frac{2k-1}{n^2}\]
değeri gerçekten alınır. Demek ki
\[\sup \big\{ |f(s)-f(t)| : s,t \in A \big\} = \frac{2k-1}{n^2} = \omega_k,\]
yani supremum burada bir maksimumdur ve (a) maddesiyle uyuşur.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde belirli integralin bütün altyapısını kurduk: bölünüşler, Darboux toplamları, incelme, alt ve üst integral. Elimizde artık her sınırlı fonksiyona iliştirilmiş \(\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\) çifti var; geriye bu ikisinin ne zaman çakıştığını belirlemek kalıyor. Sıradaki bölümde bu soruyu, salınım toplamı üzerinden verilen tek bir koşula indirgeyeceğiz ve sürekli fonksiyonların bu koşulu her zaman sağladığını göreceğiz: Riemann İntegrallenebilirlik Ölçütü.