8 Noktasal Limitler ve Yaklaşım
Bir fonksiyon dizisinin bir fonksiyona “yakınsaması” birçok farklı biçimde anlaşılabilir. Bu bölümde en doğal olanını, noktasal yakınsaklığı ele alıyoruz ve ölçülebilirliğin bu limit altında korunduğunu gösteriyoruz; süreklilik ve Riemann integrallenebilirlik için durum böyle değildir.
Ardından Lebesgue integralinin yapı taşlarını tanıtıyoruz: yalnız sonlu sayıda değer alan ölçülebilir fonksiyonlar, yani basit fonksiyonlar. Bölümün ana sonucu, her ölçülebilir fonksiyonun basit fonksiyonların noktasal limiti olduğudur.
8.1 Noktasal Yakınsaklık
Önce iki yakınsaklık kavramını ayıralım; ikincisi yalnız alıştırmalarda ve karşılaştırma için kullanılacak.
Tanım 8.1 (Noktasal Yakınsaklık) \(\{f_n \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\}\) bir fonksiyon dizisi ve \(f \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\) olsun. Her \(x \in E\) için \[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \] ise \(\{f_n\}\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\) ye noktasal yakınsar (converges pointwise) denir ve \(\{f_n\} \to f\) yazılır.
Yani her nokta ayrı ayrı incelenir; \(x\) sabitken \(\{f_n(x)\}\) sayı dizisi \(f(x)\) e yakınsar.
Tanım 8.2 (Düzgün Yakınsaklık) \(\{f_n \colon E \to \mathbb{R}\}\) ve \(f \colon E \to \mathbb{R}\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için bir \(N\) indisi varsa ki \[ n \ge N \text{ ve } x \in E \implies |f(x) - f_n(x)| < \varepsilon \] olur, \(\{f_n\}\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\) ye düzgün yakınsar (converges uniformly) denir.
Yani \(N\) yalnız \(\varepsilon\) a bağlıdır, noktaya bağlı değildir. Düzgün yakınsaklık noktasal yakınsaklığı gerektirir; tersi doğru değildir.
Örnek 8.1 (Süreksiz Noktasal Limit) \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x^n\) olsun. Noktasal limiti bulun; yakınsaklığın düzgün olmadığını ve limitin ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
Noktasal limit. \(0 \le x < 1\) ise \(x^n \to 0\), \(x = 1\) ise \(x^n = 1\) dir. Dolayısıyla \(\{f_n\}\) noktasal olarak \[ f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1, \\ 1, & x = 1 \end{cases} \] fonksiyonuna yakınsar. Her \(f_n\) sürekli olduğu hâlde \(f\), \(x = 1\) de süreksizdir.
Düzgün değil. \(x_n = 2^{-1/n} \in [0, 1)\) noktasında \(f_n(x_n) = \tfrac12\) ve \(f(x_n) = 0\) dır. Buna göre her \(n\) için \(\sup_{[0,1]} |f - f_n| \ge \tfrac12\) olur; \(\varepsilon = \tfrac12\) için uygun bir \(N\) bulunamaz.
Ölçülebilir. \(f = \chi_{\{1\}}\) dir. Her \(c\) için \(\{x \in [0,1] : f(x) > c\}\) kümesi \(\varnothing\), \(\{1\}\) ya da \([0,1]\) dir; üçü de ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Riemann integrallenebilirlik de noktasal limitte kaybolabilir: \([0,1]\) deki rasyonel sayılar \(q_1, q_2, \dots\) diye sıralanır ve \(f_n = \chi_{\{q_1, \dots, q_n\}}\) alınırsa her \(f_n\) Riemann integrallenebilir, ama limit \(\chi_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}\) değildir. Ölçülebilirlik ise korunur.
Teorem 8.1 (Ölçülebilir Fonksiyonların Noktasal Limiti) \(\{f_n \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\}\) ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun ve \(E\) üzerinde hemen her yerde (Tanım 4.2) \(f \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\) fonksiyonuna noktasal yakınsasın. O zaman \(f\) ölçülebilirdir.
İspat
Ölçülebilirliğin denk koşullarından (Teorem 7.1) her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\{x \in E : f(x) < c\}\) kümesinin ölçülebilir olduğunu göstermek yeter.
Adım 1: İstisna kümesini ayırmak. \(Z \subseteq E\), \(m(Z) = 0\) olan ve dışında \(f_n(x) \to f(x)\) olan küme olsun; \(E' = E \setminus Z\) ölçülebilirdir. \[ \{x \in E : f(x) < c\} = \{x \in E' : f(x) < c\} \cup \{x \in Z : f(x) < c\} \] yazalım. İkinci küme sıfır ölçülü \(Z\) nin alt kümesidir, dış ölçüsü sıfırdır ve bu yüzden ölçülebilirdir (Teorem 1.4). Geriye birinci kümeyi incelemek kalır.
Adım 2: Limit koşulunu kümelere çevirmek. \(x \in E'\) için şunu gösterelim: \[ f(x) < c \iff \exists\, n, k \text{ öyle ki } \forall j \ge k:\ f_j(x) < c - \tfrac1n . \] (\(\Rightarrow\)) \(f(x) < c\) ise \(f(x) < c - 1/n\) olacak bir \(n\) vardır (\(f(x) = -\infty\) ise her \(n\) uygundur). Limiti \(c - 1/n\) den küçük olan \(\{f_j(x)\}\) dizisinin terimleri bir \(k\) indisinden sonra \(c - 1/n\) den küçüktür. (\(\Leftarrow\)) Her \(j \ge k\) için \(f_j(x) < c - 1/n\) ise limite geçerek \(f(x) \le c - 1/n < c\) bulunur.
Adım 3: Ölçülebilirlik. Adım 2 şu eşitliği verir: \[ \{x \in E' : f(x) < c\} = \bigcup_{n, k \ge 1}\ \bigcap_{j = k}^{\infty} \{x \in E' : f_j(x) < c - \tfrac1n\}. \] Sağdaki her küme, ölçülebilir \(\{x \in E : f_j(x) < c - 1/n\}\) kümesiyle \(E'\) nün kesişimidir. Ölçülebilir kümeler bir σ-cebiri olduğundan (Teorem 2.4) sayılabilir kesişim ve birleşim de ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Yani sürekliliğin ve Riemann integrallenebilirliğin aksine ölçülebilirlik noktasal limitle, hatta sıfır ölçülü bir küme dışındaki noktasal limitle korunur.
8.2 Basit Fonksiyonlar
Riemann integrali basamak fonksiyonlarıyla kurulur. Lebesgue integralinde aynı rolü, ölçülebilir kümelerin karakteristik fonksiyonlarının doğrusal birleşimleri oynar.
Tanım 8.3 (Basamak Fonksiyonu) \(h \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) olsun. \([a, b]\) nin bir \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b\) bölüntüsü (partition) varsa ki \(h\) her \((x_{i-1}, x_i)\) açık aralığında sabittir, \(h\) ye basamak fonksiyonu (step function) denir.
Yani \(h\) sonlu sayıda aralık üzerinde sabittir; bölüntü noktalarındaki değerleri keyfidir.
Tanım 8.4 (Basit Fonksiyon) Ölçülebilir ve yalnız sonlu sayıda değer alan reel değerli bir \(\varphi \colon E \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna basit fonksiyon (simple function) denir.
Yani basit fonksiyon, \(E\) yi sonlu sayıda ölçülebilir parçaya bölüp her parçada sabit olan fonksiyondur. Her basamak fonksiyonu basittir, ama \(\chi_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}\) basit olup basamak fonksiyonu değildir.
Tanım 8.5 (Yarıbasit Fonksiyon) Ölçülebilir ve yalnız sayılabilir sayıda değer alan reel değerli bir fonksiyona yarıbasit (semisimple) denir.
Yani yarıbasit fonksiyonlar, basit fonksiyonlarda “sonlu” koşulunun “sayılabilir” diye gevşetilmesiyle elde edilir.
Önerme 8.1 (Basit Fonksiyonların Cebirsel Kapanışı) \(A \subseteq E\) ölçülebilirse \(\chi_A\) basittir. \(\varphi, \psi\) basit ve \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) ise \(\alpha\varphi + \beta\psi\), \(\varphi\psi\) ve \(\max\{\varphi, \psi\}\) de basittir. Özellikle ölçülebilir kümelerin karakteristik fonksiyonlarının doğrusal birleşimleri ve çarpımları basittir.
İspat
Karakteristik fonksiyon. \(\chi_A\) yalnız \(0\) ve \(1\) değerlerini alır. Her \(c\) için \(\{x \in E : \chi_A(x) > c\}\) kümesi, \(c < 0\) ise \(E\), \(0 \le c < 1\) ise \(A\), \(c \ge 1\) ise \(\varnothing\) dır; üçü de ölçülebilirdir.
Değer sayısı. \(\varphi\) nin değerleri \(\{a_1, \dots, a_p\}\), \(\psi\) ninkiler \(\{b_1, \dots, b_q\}\) ise \(\alpha\varphi + \beta\psi\), \(\varphi\psi\) ve \(\max\{\varphi, \psi\}\) nin değerleri sırasıyla \(\alpha a_i + \beta b_j\), \(a_i b_j\) ve \(\max\{a_i, b_j\}\) biçimindedir; en fazla \(pq\) tanedir.
Ölçülebilirlik. Doğrusal birleşim ve çarpım Teorem 7.4 ile ölçülebilirdir. Maksimum için her \(c\) de \[ \{\max\{\varphi, \psi\} > c\} = \{\varphi > c\} \cup \{\psi > c\} \] iki ölçülebilir kümenin birleşimidir.
\(\blacksquare\)
Bir basit fonksiyonu karakteristik fonksiyonlar cinsinden yazmanın tercih edilen bir yolu vardır.
Tanım 8.6 (Kanonik Gösterim) \(\varphi \colon E \to \mathbb{R}\) basit olsun ve birbirinden farklı \(c_1, \dots, c_n\) değerlerini alsın. \(E_k = \{x \in E : \varphi(x) = c_k\}\) için \[ \varphi = \sum_{k=1}^{n} c_k \, \chi_{E_k} \quad (E \text{ üzerinde}) \] yazılışına \(\varphi\) nin kanonik gösterimi (canonical representation) denir.
Yani kanonik gösterimde \(E_k\) lar ayrıktır, birleşimleri \(E\) dir ve \(c_k\) lar farklıdır; bu üç özellik gösterimi (terim sırası dışında) tek kılar, çünkü \(\varphi\) tam \(E_k\) üzerinde \(c_k\) değerini alır. \(E_k = \{\varphi \ge c_k\} \cap \{\varphi \le c_k\}\) olduğundan her \(E_k\) ölçülebilirdir.
Örnek 8.2 (Kanonik Gösterimi Bulmak) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(\varphi = \chi_{[0,2]} + \chi_{[1,3]}\) basit fonksiyonunun kanonik gösterimini yazın.
Çözüm
Her \(x\) için \(\varphi(x)\), \(x\) i içeren aralık sayısıdır; değerler \(0\), \(1\), \(2\) dir. İki aralıkta birden bulunan noktalar \([1, 2]\), yalnız birinde bulunanlar \([0, 1) \cup (2, 3]\) tür. Buna göre \[ \varphi = 0 \cdot \chi_{E_0} + 1 \cdot \chi_{[0,1) \cup (2,3]} + 2 \cdot \chi_{[1,2]}, \qquad E_0 = \mathbb{R} \setminus [0, 3]. \] Verilen yazılışta \([0,2]\) ve \([1,3]\) ayrık olmadığından o yazılış kanonik değildir.
\(\blacksquare\)
8.3 Basit Yaklaşım
Sınırlı bir ölçülebilir fonksiyonu, değer kümesini küçük aralıklara bölerek alttan ve üstten basit fonksiyonlarla sıkıştırabiliriz. Riemann’ın tanım kümesini bölmesinin aksine burada bölünen, değer kümesidir.
Lemma 8.1 (Basit Yaklaşım Lemması) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir ve sınırlı olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(E\) üzerinde \[ \varphi_\varepsilon \le f \le \psi_\varepsilon \quad \text{ve} \quad 0 \le \psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon < \varepsilon \] koşullarını sağlayan \(\varphi_\varepsilon, \psi_\varepsilon \colon E \to \mathbb{R}\) basit fonksiyonları vardır. Ayrıca \(f \ge 0\) ise \(\varphi_\varepsilon \ge 0\) seçilebilir.
İspat
Adım 1: Değer aralığını bölmek. \(f(E) \subseteq [c, d)\) olacak şekilde bir sınırlı \([c, d)\) aralığı seçelim (\(f \ge 0\) ise \(c = 0\) alınır). \([c, d]\) nin \[ c = y_0 < y_1 < \dots < y_{n-1} < y_n = d, \qquad y_k - y_{k-1} < \varepsilon \quad (1 \le k \le n) \] bir bölüntüsünü alalım ve \(1 \le k \le n\) için \[ I_k = [y_{k-1}, y_k), \qquad E_k = f^{-1}(I_k) = \{y_{k-1} \le f < y_k\} \] tanımlayalım. \(f\) ölçülebilir olduğundan her \(E_k\) ölçülebilirdir; \(I_k\) lar ayrık olup \([c, d)\) yi örttüğünden \(E_k\) lar da ayrıktır ve birleşimleri \(E\) dir.
Adım 2: Alt ve üst fonksiyon. \[ \varphi_\varepsilon = \sum_{k=1}^{n} y_{k-1} \, \chi_{E_k}, \qquad \psi_\varepsilon = \sum_{k=1}^{n} y_k \, \chi_{E_k} \] olsun. Bunlar ölçülebilir kümelerin karakteristik fonksiyonlarının doğrusal birleşimleri olduğundan basittir (Önerme 8.1).
Adım 3: Yaklaşım. \(x \in E\) ise \(x\) tam bir \(E_k\) ya aittir ve orada \[ \varphi_\varepsilon(x) = y_{k-1} \le f(x) < y_k = \psi_\varepsilon(x) \] olur; dolayısıyla \(\psi_\varepsilon(x) - \varphi_\varepsilon(x) = y_k - y_{k-1}\) farkı negatif değildir ve \(\varepsilon\) dan küçüktür. \(c = 0\) seçildiyse \(\varphi_\varepsilon\) nin değerleri \(y_0, \dots, y_{n-1} \ge 0\) dır.
\(\blacksquare\)
Yani sınırlı ölçülebilir bir fonksiyon, istenen incelikte iki basit fonksiyonun arasına sıkıştırılabilir; \(f\) ile bu fonksiyonların farkı her yerde \(\varepsilon\) dan küçüktür.
Sınırsız fonksiyonlar ve sonsuz ölçülü tanım kümeleri için, sıfırdan farklı olduğu yeri küçük tutacağız.
Tanım 8.7 (Sonlu Destekli Fonksiyon) Ölçülebilir bir \(f \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\) fonksiyonu, sonlu ölçülü bir \(E_0 \subseteq E\) kümesinin dışında sıfırsa, yani \(m(E_0) < \infty\) ve \(E \setminus E_0\) üzerinde \(f = 0\) ise, \(f\) ye sonlu destekli (of finite support) denir.
Yani sonlu destekli bir fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu küme sonlu ölçülü bir kümenin içinde kalır.
Teorem 8.2 (Basit Yaklaşım Teoremi) \(f \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\) ölçülebilir olsun. \(E\) üzerinde \(f\) ye noktasal yakınsayan ve her \(n\) için \[ |\varphi_n| \le |f| \quad (E \text{ üzerinde}) \] koşulunu sağlayan, sonlu destekli basit fonksiyonlardan oluşan bir \(\{\varphi_n \colon E \to \mathbb{R}\}\) dizisi vardır. \(f \ge 0\) ise \(\{\varphi_n\}\) ayrıca artan ve her \(\varphi_n \ge 0\) seçilebilir.
İspat
Önce \(f \ge 0\) durumunu kanıtlayıp genel durumu ona indirgeyeceğiz.
Adım 1: Kesme ve lemma (\(f \ge 0\)). Her \(n\) için \(E_n = \{x \in E : f(x) \le n\}\) ölçülebilirdir. Kısıtlama ile parçalara ayırma önermesine göre \(f\) nin \(E_n\) ye kısıtlaması ölçülebilirdir ve \(0 \le f \le n\) sağladığından sınırlıdır. Basit yaklaşım lemmasını (Lemma 8.1) \(\varepsilon = 1/n\) ile uygulayıp, \(f \ge 0\) olduğundan \(\varphi_n \ge 0\) seçerek \(E_n\) üzerinde \(0 \le \varphi_n \le f \le \psi_n\) ve \(\psi_n - \varphi_n < 1/n\) olan basit \(\varphi_n, \psi_n\) buluruz. Buradan \[ 0 \le \varphi_n \le f \quad \text{ve} \quad 0 \le f - \varphi_n \le \psi_n - \varphi_n < \tfrac1n \qquad (E_n \text{ üzerinde}). \tag{1} \] \(\varphi_n\) yi \(f(x) > n\) olan noktalarda \(\varphi_n(x) = n\) diyerek bütün \(E\) ye genişletelim. Genişletilmiş \(\varphi_n\) sonlu sayıda değer alır ve her \(c\) için \(\{\varphi_n > c\}\) kümesi, \(E_n\) deki ölçülebilir \(\{\varphi_n > c\}\) kümesiyle (\(n > c\) ise) ölçülebilir \(\{f > n\}\) kümesinin birleşimidir; yani \(\varphi_n\), \(E\) üzerinde basittir. Ayrıca \(E\) üzerinde \(0 \le \varphi_n \le f\) dir.
Adım 2: Noktasal yakınsaklık. \(x \in E\) olsun. \(f(x) = \infty\) ise her \(n\) için \(\varphi_n(x) = n \to \infty\). \(f(x) < \infty\) ise her \(n \ge f(x)\) için \(x \in E_n\) olur ve (1) den \(0 \le f(x) - \varphi_n(x) < 1/n\) bulunur. Her iki durumda \(\varphi_n(x) \to f(x)\).
Adım 3: Artanlık ve sonlu destek. Her \(n\) için \[ \theta_n = \max\{\varphi_1, \dots, \varphi_n\} \cdot \chi_{E \cap [-n, n]} \] tanımlayalım. Önerme 8.1 gereği \(\theta_n\) basittir. İki çarpan da negatif olmayıp \(n\) ile artan olduğundan \(\{\theta_n\}\) artandır ve \(0 \le \theta_n \le f\) dir. \(\theta_n\), ölçüsü en çok \(2n\) olan \(E \cap [-n, n]\) dışında sıfırdır; yani sonlu desteklidir. Son olarak sabit bir \(x\) için \(n \ge |x|\) olunca \[ \varphi_n(x) \le \theta_n(x) \le f(x) \] olur ve Adım 2’den \(\theta_n(x) \to f(x)\) çıkar. Böylece \(\{\theta_n\}\), \(f \ge 0\) için istenen dizidir.
Adım 4: Genel durum. \(f^+ = \max\{f, 0\}\) ve \(f^- = \max\{-f, 0\}\) olsun. Her \(c\) için \(\{f^+ > c\}\) kümesi \(c \ge 0\) ise \(\{f > c\}\), \(c < 0\) ise \(E\) dir; \(f^-\) için de benzer olduğundan ikisi de negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlardır ve \[ f = f^+ - f^-, \qquad |f| = f^+ + f^- \] dir. Adım 3’ü \(f^+\) ve \(f^-\) ye uygulayarak \(0 \le \theta_n^{\pm} \le f^{\pm}\), \(\theta_n^{\pm} \to f^{\pm}\) olan sonlu destekli basit \(\theta_n^+, \theta_n^-\) bulalım ve \(\varphi_n = \theta_n^+ - \theta_n^-\) diyelim. \(\varphi_n\) basittir ve iki sonlu ölçülü kümenin birleşimi dışında sıfırdır. Her \(x\) te \(f^+(x)\) ile \(f^-(x)\) ten en az biri sıfırdır; o zaman karşılık gelen \(\theta_n^{\pm}(x)\) de sıfırdır. Dolayısıyla \(\infty - \infty\) belirsizliği doğmaz, \[ \varphi_n(x) \to f^+(x) - f^-(x) = f(x) \quad \text{ve} \quad |\varphi_n| \le \theta_n^+ + \theta_n^- \le |f|. \]
\(\blacksquare\)
Yani her ölçülebilir fonksiyon, sonlu destekli basit fonksiyonların noktasal limitidir; negatif olmayan fonksiyonlara alttan artarak yaklaşılabilir. Lebesgue integrali tam da bu yaklaşım üzerine kurulacak.
8.4 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar düzgün yakınsaklığı, basit yaklaşımın çeşitlerini ve ölçülebilirliğin limitlerle korunmasını pekiştiriyor.
Alıştırma 8.1 (Dini Teoremi) \(\{f_n \colon [a, b] \to \mathbb{R}\}\) sürekli fonksiyonların artan bir dizisi olsun ve sürekli bir \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna noktasal yakınsasın. Yakınsaklığın \([a, b]\) üzerinde düzgün olduğunu gösterin. (İpucu: \(\varepsilon > 0\) için \(E_n = \{x \in [a, b] : f(x) - f_n(x) < \varepsilon\}\) kümelerini inceleyin ve Heine–Borel teoremini kullanın.)
Çözüm
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Dizi artan ve \(f\) ye yakınsak olduğundan her \(x\) ve her \(n\) için \(f_n(x) \le f(x)\) dir.
Adım 1: Açık örtü. Her \(n\) için \[ E_n = \{x \in [a, b] : f(x) - f_n(x) < \varepsilon\} \] olsun. \(f - f_n\) sürekli olduğundan \(E_n\), \((-\infty, \varepsilon)\) açık aralığının ters görüntüsüdür; yani bir \(\mathcal{O}_n\) açık kümesi için \(E_n = \mathcal{O}_n \cap [a, b]\) dir (bkz. Analiz 1: Süreklilik). \(f_n \le f_{n+1}\) olduğundan \(f - f_{n+1} \le f - f_n\) ve \(E_n \subseteq E_{n+1}\) dir. Her \(x\) için \(f_n(x) \to f(x)\) olduğundan bir \(n\) de \(f(x) - f_n(x) < \varepsilon\), yani \(x \in E_n\) olur. Buna göre \(\{\mathcal{O}_n\}\), \([a, b]\) nin açık bir örtüsüdür.
Adım 2: Sonlu alt örtü. \([a, b]\) kapalı ve sınırlı olduğundan Heine–Borel teoremine göre kompakttır (bkz. Analiz 1: Kompaktlık ve Heine–Borel); dolayısıyla sonlu tane \(\mathcal{O}_{n_1}, \dots, \mathcal{O}_{n_p}\) kümesi \([a, b]\) yi örter. \(N = \max\{n_1, \dots, n_p\}\) alırsak \(E_n\) ler artan olduğundan \[ [a, b] = E_{n_1} \cup \dots \cup E_{n_p} = E_N . \]
Adım 3: Düzgünlük. \(n \ge N\) ve \(x \in [a, b]\) için \(f_N(x) \le f_n(x) \le f(x)\) ve \(x \in E_N\) olduğundan \[ 0 \le f(x) - f_n(x) \le f(x) - f_N(x) < \varepsilon . \] \(N\) yalnız \(\varepsilon\) a bağlıdır; yakınsaklık düzgündür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.2 (Yarıbasit Fonksiyonlarla Düzgün Yaklaşım) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir olsun. \(E\) üzerinde \(f\) ye düzgün yakınsayan yarıbasit fonksiyonlardan oluşan bir dizi bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Fikir, değer eksenini \(1/n\) uzunluklu aralıklara bölmektir; \(f\) sınırsız olabileceğinden sayılabilir sonsuz aralık gerekir.
Adım 1: Tanım. \(n \ge 1\) ve \(k \in \mathbb{Z}\) için \[ E_{n,k} = \Big\{x \in E : \tfrac{k}{n} \le f(x) < \tfrac{k+1}{n}\Big\}, \qquad f_n = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \tfrac{k}{n} \, \chi_{E_{n,k}} \] olsun. \(f\) reel değerli olduğundan her \(x\), \(k = \lfloor n f(x) \rfloor\) için tam bir \(E_{n,k}\) ya aittir; toplam her noktada tek terimlidir ve \(f_n = \lfloor n f \rfloor / n\) dir.
Adım 2: Yarıbasitlik. Her \[ E_{n,k} = \{f \ge k/n\} \cap \{f < (k+1)/n\} \] kümesi ölçülebilirdir. \(f_n\) nin değerleri \(\{k/n : k \in \mathbb{Z}\}\) sayılabilir kümesindedir. Her \(c\) için \[ \{x \in E : f_n(x) < c\} = \bigcup_{k \,:\, k/n < c} E_{n,k} \] ölçülebilir kümelerin sayılabilir birleşimidir; dolayısıyla \(f_n\) ölçülebilir ve yarıbasittir.
Adım 3: Düzgün yakınsaklık. \(x \in E_{n,k}\) ise \(f_n(x) = k/n \le f(x) < (k+1)/n\), yani \[ 0 \le f(x) - f_n(x) < \tfrac1n \qquad (x \in E). \] Sınır \(x\) ten bağımsızdır; \(\{f_n\}\), \(E\) üzerinde \(f\) ye düzgün yakınsar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.3 (Büyük Bir Kümede Sınırlılık) \(m(E) < \infty\) ve \(f \colon E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(f\) nin \(E_0\) üzerinde sınırlı olduğu ve \(m(E \setminus E_0) < \varepsilon\) sağlayan ölçülebilir bir \(E_0 \subseteq E\) bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Artan kümeler. Her \(k\) için \[ E_k = \{x \in E : |f(x)| \le k\} = \{f \le k\} \cap \{f \ge -k\} \] ölçülebilirdir ve \(E_k \subseteq E_{k+1}\) dir. \(f\) reel değerli olduğundan her \(x\) için \(|f(x)| \le k\) olacak bir \(k\) vardır; yani \(\bigcup_k E_k = E\).
Adım 2: Süreklilik. Ölçünün sürekliliğinden (Teorem 4.3) \(m(E_k) \to m(E)\) dir. \(m(E) < \infty\) olduğundan çıkarma özelliği \[ m(E \setminus E_k) = m(E) - m(E_k) \to 0 \] verir.
Adım 3: Seçim. \(m(E \setminus E_k) < \varepsilon\) olan bir \(k\) seçip \(E_0 = E_k\) alalım. \(E_0\) üzerinde \(|f| \le k\), yani \(f\) sınırlıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.4 (Büyük Bir Kümede Düzgün Basit Yaklaşım) \(m(E) < \infty\) ve \(f \colon E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(m(E \setminus E_0) < \varepsilon\) olan ölçülebilir bir \(E_0 \subseteq E\) ve \(E_0\) üzerinde \(f\) ye düzgün yakınsayan basit fonksiyonlardan oluşan bir \(\{\varphi_n \colon E \to \mathbb{R}\}\) dizisi bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Sınırlı parça. Önceki alıştırmaya (Alıştırma 8.3) göre \(m(E \setminus E_0) < \varepsilon\) olan ve üzerinde \(f\) nin sınırlı olduğu ölçülebilir bir \(E_0 \subseteq E\) vardır.
Adım 2: Lemma. \(f\) nin \(E_0\) ya kısıtlaması sınırlı ve ölçülebilirdir. Basit yaklaşım lemmasını (Lemma 8.1) \(\varepsilon = 1/n\) ile uygulayarak \(E_0\) üzerinde \(\tilde\varphi_n \le f \le \tilde\psi_n\) ve \(\tilde\psi_n - \tilde\varphi_n < 1/n\) olan basit \(\tilde\varphi_n, \tilde\psi_n\) buluruz. Buradan \(E_0\) üzerinde \(0 \le f - \tilde\varphi_n < 1/n\).
Adım 3: \(E\) ye genişletme. \(\varphi_n\), \(E_0\) üzerinde \(\tilde\varphi_n\) ye, \(E \setminus E_0\) üzerinde \(0\) a eşit olsun. \(\varphi_n\) sonlu sayıda değer alır ve her \(c\) için \(\{\varphi_n > c\}\) kümesi \(\{\tilde\varphi_n > c\}\) ile (yalnız \(c < 0\) iken) \(E \setminus E_0\) kümesinin birleşimidir; yani \(\varphi_n\), \(E\) üzerinde basittir.
Adım 4: Düzgünlük. \(\sup_{x \in E_0} |f(x) - \varphi_n(x)| \le 1/n \to 0\); yani \(\{\varphi_n\}\), \(E_0\) üzerinde \(f\) ye düzgün yakınsar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.5 (Karakteristik Fonksiyonun Basamak Fonksiyonuyla Yaklaşımı) \(E \subseteq [a, b]\) ölçülebilir ve \(f = \chi_E \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(E_0\) üzerinde \(h = f\) ve \(m([a, b] \setminus E_0) < \varepsilon\) olacak şekilde ölçülebilir bir \(E_0 \subseteq [a, b]\) ve bir \(h \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) basamak fonksiyonu bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Aralıklarla yaklaşım. \(m(E) \le b - a < \infty\) dir. Teorem 3.3 gereği ayrık, sınırlı, açık \(I_1, \dots, I_n\) aralıkları vardır ki \(\mathcal{U} = \bigcup_{k=1}^n I_k\) için \[ m(E \,\triangle\, \mathcal{U}) < \varepsilon . \]
Adım 2: Basamak fonksiyonu. \(h = \chi_{\mathcal{U}}\) nun \([a, b]\) ye kısıtlaması olsun. \(a\), \(b\) ve \((a, b)\) ye düşen bütün \(I_k\) uç noktalarını sıralayarak \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b\) bölüntüsünü kuralım. Bir \(J = (x_{i-1}, x_i)\) açık aralığı hiçbir \(I_k = (\alpha, \beta)\) uç noktasını içermez. \(J\) bir \(I_k\) yı keserse \(\alpha \le x_{i-1}\) ve \(x_i \le \beta\) olmak zorundadır, yani \(J \subseteq I_k\) dır. Dolayısıyla \(J\) ya \(\mathcal{U}\) nun içindedir ya da onunla ayrıktır; \(h\), \(J\) üzerinde sabittir. Demek ki \(h\) bir basamak fonksiyonudur.
Adım 3: Eşitlik kümesi. \(E_0 = [a, b] \setminus (E \,\triangle\, \mathcal{U})\) ölçülebilirdir. \(x \in E_0\) ise \(x \in E \iff x \in \mathcal{U}\) dur, yani \(h(x) = \chi_E(x) = f(x)\). Ayrıca \[ m([a, b] \setminus E_0) = m\big([a, b] \cap (E \,\triangle\, \mathcal{U})\big) \le m(E \,\triangle\, \mathcal{U}) < \varepsilon . \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.6 (Kesişimin Karakteristik Fonksiyonu) \(A\) ve \(B\) aynı bir kümenin alt kümeleri olsun. \(\chi_{A \cap B} = \chi_A \cdot \chi_B\) olduğunu gösterin.
Çözüm
İki taraf da yalnız \(0\) ve \(1\) değerlerini alır. \(\chi_A(x)\chi_B(x) = 1\) ancak ve ancak iki çarpan da \(1\), yani \(x \in A\) ve \(x \in B\) ise sağlanır; bu da \(x \in A \cap B\), yani \(\chi_{A \cap B}(x) = 1\) demektir. Diğer bütün noktalarda iki taraf da \(0\) dır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.7 (Birleşimin Karakteristik Fonksiyonu) \(A\) ve \(B\) aynı bir kümenin alt kümeleri olsun. \(\chi_{A \cup B} = \chi_A + \chi_B - \chi_A \cdot \chi_B\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Bir \(x\) noktasının dört olası konumunda sağ tarafı hesaplayalım:
| Konum | \(\chi_A\) | \(\chi_B\) | \(\chi_A + \chi_B - \chi_A\chi_B\) | \(\chi_{A \cup B}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x \in A \cap B\) | \(1\) | \(1\) | \(1 + 1 - 1 = 1\) | \(1\) |
| \(x \in A \setminus B\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(x \in B \setminus A\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(x \notin A \cup B\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
Her durumda iki taraf eşittir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.8 (Farkın Karakteristik Fonksiyonu) \(A\) ve \(B\) aynı bir kümenin alt kümeleri olsun. \(\chi_{A \setminus B} = [\chi_A - \chi_B] \cdot \chi_A\) olduğunu gösterin.
Çözüm
\(x \notin A\) ise \(\chi_A(x) = 0\) olduğundan sağ taraf \(0\) dır; \(x \notin A \setminus B\) olduğundan sol taraf da \(0\) dır. \(x \in A\) ise sağ taraf \(1 - \chi_B(x)\) olur. Bu değer \(x \in B\) iken \(0\), \(x \notin B\) iken \(1\) dir. Sol taraf da tam olarak \(x \in A \setminus B\), yani \(x \notin B\) iken \(1\) dir. Her durumda iki taraf eşittir. (Başka bir yazılışla sağ taraf \(\chi_A - \chi_A\chi_B = \chi_A - \chi_{A \cap B}\) dir.)
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.9 (Dizinin İnfimum ve Supremumu) \(\{f_n \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\}\) ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun. \(\inf_n f_n\) ve \(\sup_n f_n\) fonksiyonlarının ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
\(g = \inf_n f_n\) ve \(h = \sup_n f_n\) genişletilmiş reel değerli fonksiyonlardır. Ölçülebilirliğin denk koşullarına (Teorem 7.1) göre \(h\) için \(\{h > c\}\), \(g\) için \(\{g < c\}\) kümelerinin her \(c \in \mathbb{R}\) için ölçülebilir olduğunu göstermek yeter.
Supremum. \(h(x) > c\) ancak ve ancak \(c\) sayısı \(\{f_n(x)\}\) in bir üst sınırı değilse, yani bir \(n\) için \(f_n(x) > c\) ise sağlanır. Dolayısıyla \[ \{x \in E : h(x) > c\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{x \in E : f_n(x) > c\}. \]
İnfimum. Aynı biçimde \(g(x) < c\) ancak ve ancak bir \(n\) için \(f_n(x) < c\) ise sağlanır: \[ \{x \in E : g(x) < c\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{x \in E : f_n(x) < c\}. \]
Sağ taraflar ölçülebilir kümelerin sayılabilir birleşimidir ve Teorem 2.4 gereği ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.10 (Genel Durumun Pozitif Durumdan Elde Edilmesi) \(f \colon E \to \overline{\mathbb{R}}\) ölçülebilir olsun; \(E_+ = \{x \in E : f(x) \ge 0\}\) ve \(E_- = \{x \in E : f(x) \le 0\}\) diyelim. \(f\) nin \(E_+\) ve \(E_-\) ye kısıtlamalarını kullanarak, basit yaklaşım teoreminin genel hâlini negatif olmayan fonksiyonlar için olan hâlinden türetin.
Çözüm
Adım 1: İki pozitif problem. \(E_+ = \{f \ge 0\}\) ve \(E_- = \{f \le 0\}\) ölçülebilirdir (Teorem 7.1) ve \(E_+ \cup E_- = E\) dir. Kısıtlama ile parçalara ayırma önermesine göre \(f|_{E_+}\) ve \(f|_{E_-}\) ölçülebilirdir. \(-f|_{E_-}\) de ölçülebilirdir, çünkü her \(c\) için \[ \{x \in E_- : -f(x) < c\} = \{x \in E_- : f(x) > -c\} \] ölçülebilirdir. Böylece \(f|_{E_+}\) ve \(-f|_{E_-}\) negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlardır. Basit yaklaşım teoreminin (Teorem 8.2) negatif olmayan hâline göre \[ 0 \le \theta_n \le f \ (E_+ \text{ üzerinde}), \qquad 0 \le \eta_n \le -f \ (E_- \text{ üzerinde}) \] olan, sırasıyla \(f\) ye ve \(-f\) ye noktasal yakınsayan sonlu destekli basit \(\theta_n \colon E_+ \to \mathbb{R}\) ve \(\eta_n \colon E_- \to \mathbb{R}\) fonksiyonları vardır.
Adım 2: Yapıştırma. \(x \in E_+\) ise \(\varphi_n(x) = \theta_n(x)\), \(x \in E_-\) ise \(\varphi_n(x) = -\eta_n(x)\) olsun. İki küme \(\{f = 0\}\) üzerinde kesişir; orada \(0 \le \theta_n \le f = 0\) ve \(0 \le \eta_n \le -f = 0\) olduğundan iki tanım da \(0\) verir ve \(\varphi_n\) iyi tanımlıdır.
Adım 3: Basitlik ve sonlu destek. \(\varphi_n\) sonlu sayıda değer alır. Her \(c\) için \[ \{x \in E : \varphi_n(x) > c\} = \{x \in E_+ : \theta_n(x) > c\} \cup \{x \in E_- : -\eta_n(x) > c\} \] ölçülebilir iki kümenin birleşimidir; yani \(\varphi_n\) basittir. \(\varphi_n \ne 0\) olan küme, \(\theta_n\) ve \(\eta_n\) nin sonlu ölçülü destek kümelerinin birleşiminde kalır; \(\varphi_n\) sonlu desteklidir.
Adım 4: Yaklaşım koşulları. \(E_+\) üzerinde \(|\varphi_n| = \theta_n \le f = |f|\) ve \(\varphi_n = \theta_n \to f\); \(E_-\) üzerinde \(|\varphi_n| = \eta_n \le -f = |f|\) ve \(\varphi_n = -\eta_n \to f\). Böylece \(\{\varphi_n\}\), \(E\) üzerinde \(f\) ye noktasal yakınsar ve \(|\varphi_n| \le |f|\) sağlar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.11 (Artan Fonksiyonun Ölçülebilirliği) \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) artan olsun. Önce her \(n\) için \(x \mapsto f(x) + x/n\) kesin artan fonksiyonunun ölçülebilir olduğunu gösterip ardından noktasal limit alarak \(f\) nin ölçülebilir olduğunu kanıtlayın.
Çözüm
Adım 1: Kesin artanlık. \(g_n(x) = f(x) + x/n\) olsun. \(x < y\) ise \(f(x) \le f(y)\) ve \(x/n < y/n\) olduğundan \(g_n(x) < g_n(y)\) dir.
Adım 2: \(g_n\) ölçülebilir. \(c \in \mathbb{R}\) ve \(S = \{x \in [a, b] : g_n(x) < c\}\) olsun. \(x \in S\) ve \(a \le x' < x\) ise \(g_n(x') < g_n(x) < c\), yani \(x' \in S\) dir. Demek ki \(S\) boş değilse \(a\) yı içeren ve sola doğru “delik” içermeyen bir kümedir: \(s = \sup S\) için \(S = [a, s)\) ya da \(S = [a, s]\) dir. Her durumda \(S\) bir aralıktır (ya da boştur) ve aralıklar ölçülebilirdir (Teorem 2.3). Ölçülebilirliğin denk koşullarından (Teorem 7.1) \(g_n\) ölçülebilirdir.
Adım 3: Limit. Her \(x \in [a, b]\) için \(|x/n| \le \max\{|a|, |b|\}/n \to 0\) olduğundan \(g_n(x) \to f(x)\) dir. Ölçülebilir fonksiyonların noktasal limiti ölçülebilir olduğundan (Teorem 8.1) \(f\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Noktasal yakınsaklık ölçülebilirliği korur, ama çoğu zaman düzgün yakınsaklığın sağladığı kontrolü vermez. Sıradaki bölüm Littlewood’un Üç İlkesi, Egoroff ve Lusin Teoremleri, sonlu ölçülü kümelerde noktasal yakınsaklığın küçük bir küme dışında düzgün olduğunu gösteriyor.