10 Riemann İntegraline Karşı Lebesgue İntegrali
Lebesgue integralini kurmamızın asıl nedeni limitlerle iyi geçinen bir integral elde etmektir: \(E\) üzerinde noktasal olarak \(f_n \to f\) ise, oldukça genel koşullar altında \[ \lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E \lim_{n \to \infty} f_n = \int_E f \] olmasını istiyoruz. Buna integral işareti altında limite geçiş denir. Bu kısımda bu geçişi güvenceye alan üç sonuç kanıtlanacak: Sınırlı Yakınsaklık Teoremi, Monoton Yakınsaklık Teoremi ve Lebesgue Baskın Yakınsaklık Teoremi.
Başlamadan önce Riemann integraline bir kez daha, bu kez basamak fonksiyonları gözüyle bakıyoruz. Bu bakış hem Lebesgue integralinin tanımına doğrudan örnek olacak hem de Riemann integralinin nerede yetersiz kaldığını açıkça gösterecek.
10.1 Darboux Toplamları ve Riemann İntegrali
Riemann integralinin kuruluşu Analiz 2’de ayrıntılı işlendi (bkz. Analiz 2: Bölünüşler ve Darboux Toplamları); burada yalnız ihtiyaç duyacağımız tanımları, bu kitabın gösterimiyle topluyoruz.
Tanım 10.1 (Bölüntü) \([a, b]\) aralığının bir bölüntüsü (partition), \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\) koşulunu sağlayan sonlu bir \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\) kümesidir. \(x_i\) noktalarına bölüntü noktaları, \((x_{i-1}, x_i)\) aralıklarına bölüntünün alt aralıkları denir.
Tanım 10.2 (Bölüntünün İncelmesi) \(P\) ve \(P'\), \([a, b]\) nin iki bölüntüsü olsun. \(P \subseteq P'\) ise, yani \(P\) nin her bölüntü noktası \(P'\) nün de bölüntü noktasıysa, \(P'\) ye \(P\) nin bir incelmesi (refinement) denir.
Yani incelme, var olan noktalara yenilerini ekleyerek alt aralıkları küçültmektir. İki bölüntünün birleşimi ikisinin de incelmesidir; buna ortak incelme denir.
Tanım 10.3 (Alt ve Üst Darboux Toplamları) \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı ve \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\), \([a, b]\) nin bir bölüntüsü olsun. \(1 \le i \le n\) için \[ m_i = \inf\{f(x) : x_{i-1} < x < x_i\}, \qquad M_i = \sup\{f(x) : x_{i-1} < x < x_i\} \] diyelim. \(f\) nin \(P\) ye göre alt ve üst Darboux toplamları \[ L(f, P) = \sum_{i=1}^n m_i\,(x_i - x_{i-1}), \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n M_i\,(x_i - x_{i-1}) \] sayılarıdır.
Yani \(L(f, P)\) ve \(U(f, P)\), grafiğin altına ve üstüne her alt aralıkta birer dikdörtgen yerleştirerek elde edilen alanlardır. İnfimum ve supremum açık alt aralıklar üzerinden alındığı için \(f\) nin bölüntü noktalarındaki değerleri bu toplamları etkilemez. Her alt aralıkta \(m_i \le M_i\) olduğundan \(L(f, P) \le U(f, P)\) dir. Daha fazlası da doğrudur: incelme alt toplamı büyütür, üst toplamı küçültür (Alıştırma 10.2) ve bu nedenle her alt toplam her üst toplamdan küçük ya da ona eşittir (Alıştırma 10.3).
Tanım 10.4 (Riemann İntegrali) \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı olsun. \([a, b]\) nin bütün \(P\) bölüntüleri üzerinden \[ \underline{I}(f) = \sup_P L(f, P), \qquad \overline{I}(f) = \inf_P U(f, P) \] sayılarına \(f\) nin alt ve üst Riemann integrali denir. \(f\), \[ \sup_P L(f, P) = \inf_P U(f, P) \tag{1} \] eşitliği sağlandığında Riemann integrallenebilir olarak adlandırılır; bu ortak değer \(f\) nin Riemann integralidir ve \(\int_a^b f(x)\,dx\) ile gösterilir.
Yani \(f\) nin Riemann integrallenebilmesi, alttan ve üstten dikdörtgenlerle yapılan yaklaşımların aynı sayıda buluşmasıdır. Her zaman \(\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\) dir (Alıştırma 10.3); integrallenebilirlik bu eşitsizliğin eşitlik olmasıdır. Sürekli bir fonksiyon \([a, b]\) üzerinde düzgün sürekli olduğundan Riemann integrallenebilirdir (Alıştırma 10.5); artan fonksiyonlar da öyledir (Alıştırma 10.7).
10.2 Basamak Fonksiyonları
Darboux toplamlarındaki dikdörtgenler aslında birer fonksiyonun grafiğidir: her alt aralıkta sabit olan fonksiyonların. Bu fonksiyonlar Riemann integralinin yapı taşlarıdır.
Tanım 10.5 (Basamak Fonksiyonu) \(\eta : [a, b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonu için \([a, b]\) nin bir \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\) bölüntüsü ve \(c_1, \dots, c_n\) sayıları \[ x_{i-1} < x < x_i \implies \eta(x) = c_i \qquad (1 \le i \le n) \] olacak biçimde varsa, \(\eta\) ya bir basamak fonksiyonu (step function) denir.
Yani basamak fonksiyonu, açık alt aralıkların her birinde sabittir; bölüntü noktalarındaki değerleri keyfidir.
Teorem 10.1 (Basamak Fonksiyonunun İntegrali) Tanımdaki gibi bir \(\eta\) basamak fonksiyonu Riemann integrallenebilirdir ve \[ \int_a^b \eta(x)\,dx = \sum_{i=1}^n c_i\,(x_i - x_{i-1}) \] dir.
İspat
\(\eta\) sonlu sayıda değer aldığından sınırlıdır. \(P\) nin her açık alt aralığında \(\eta \equiv c_i\) olduğundan \(m_i = M_i = c_i\), dolayısıyla \[ L(\eta, P) = U(\eta, P) = \sum_{i=1}^n c_i\,(x_i - x_{i-1}) =: S \] dir. Alt Riemann integrali bir supremum, üst Riemann integrali bir infimum olduğundan ve her zaman \(\underline{I}(\eta) \le \overline{I}(\eta)\) olduğundan (Alıştırma 10.3) \[ S = L(\eta, P) \le \underline{I}(\eta) \le \overline{I}(\eta) \le U(\eta, P) = S \] bulunur. Bütün eşitsizlikler eşitliktir; (1) sağlanır ve integral \(S\) dir.
\(\blacksquare\)
Özel olarak, integralin değeri basamak fonksiyonunu temsil etmek için seçilen bölüntüye bağlı değildir: hangi bölüntü kullanılırsa kullanılsın, toplam aynı sayıya, yani Riemann integraline eşittir.
Örnek 10.1 (Bir Basamak Fonksiyonunun İntegrali) \([0, 3]\) üzerinde \(0 < x < 1\) için \(\eta(x) = 2\), \(1 < x < 1{,}5\) için \(\eta(x) = -1\), \(1{,}5 < x < 3\) için \(\eta(x) = 4\) olsun; \(\eta\) nın \(0\), \(1\), \(1{,}5\) ve \(3\) noktalarındaki değerleri keyfi olsun. \(\int_0^3 \eta(x)\,dx\) integralini bulun.
Çözüm
\(P = \{0;\ 1;\ 1{,}5;\ 3\}\) bölüntüsünün açık alt aralıklarında \(\eta\) sabittir; yani \(\eta\) bir basamak fonksiyonudur. Teorem 10.1 gereği \[ \int_0^3 \eta(x)\,dx = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 1{,}5 = 7{,}5 \] dir. Bölüntü noktalarındaki değerler sonucu etkilemez.
\(\blacksquare\)
Şimdi Darboux toplamlarını basamak fonksiyonlarının integralleri olarak okuyabiliriz. Aşağıda \(\varphi \le f\) yazımı, \([a, b]\) nin her noktasında \(\varphi(x) \le f(x)\) demektir.
Teorem 10.2 (Basamak Fonksiyonlarıyla Riemann İntegrali) \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı olsun. Supremum ve infimum \([a, b]\) üzerindeki basamak fonksiyonları üzerinden alınmak üzere \[ \underline{I}(f) = \sup_{\varphi \le f} \int_a^b \varphi(x)\,dx, \qquad \overline{I}(f) = \inf_{\psi \ge f} \int_a^b \psi(x)\,dx \] dir. Dolayısıyla \(f\) nin Riemann integrallenebilmesi için gerek ve yeter koşul \[ \sup_{\varphi \le f} \int_a^b \varphi(x)\,dx = \inf_{\psi \ge f} \int_a^b \psi(x)\,dx \] olmasıdır.
İspat
Alt integral için yapalım; üst integral aynı biçimde (eşitsizlikler ters çevrilerek) gösterilir. Sağdaki supremuma \(A\) diyelim.
Adım 1 (\(A \ge \underline{I}(f)\)). \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\) rastgele bir bölüntü olsun. \(\varphi\) yi, \(x_{i-1} < x < x_i\) için \(\varphi(x) = m_i\) ve bölüntü noktalarında \(\varphi(x_i) = f(x_i)\) olarak tanımlayalım. \(\varphi\) bir basamak fonksiyonudur ve \(m_i\) nin tanımından \(\varphi \le f\) dir. Teorem 10.1 gereği \(\int_a^b \varphi = L(f, P)\), dolayısıyla \(A \ge L(f, P)\). \(P\) rastgele olduğundan \(A \ge \underline{I}(f)\).
Adım 2 (\(A \le \underline{I}(f)\)). \(\varphi \le f\) bir basamak fonksiyonu olsun; \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\) ona eşlik eden bölüntü ve \(c_i\) açık alt aralıklardaki değerleri olsun. \(x_{i-1} < x < x_i\) için \(c_i = \varphi(x) \le f(x)\) olduğundan \(c_i\), bu aralıkta \(f\) nin bir alt sınırıdır; yani \(c_i \le m_i\). Buradan \[ \int_a^b \varphi(x)\,dx = \sum_{i=1}^n c_i\,(x_i - x_{i-1}) \le L(f, P) \le \underline{I}(f) \] çıkar. \(\varphi\) üzerinden supremum alınarak \(A \le \underline{I}(f)\) bulunur.
İki adım \(A = \underline{I}(f)\) verir. Son önerme, (1) eşitliğinin bu iki ifadeyle yeniden yazılmasıdır.
\(\blacksquare\)
Yani Riemann integrali, \(f\) yi alttan ve üstten basamak fonksiyonlarıyla sıkıştırmaktır. Lebesgue integralinde aynı fikri koruyacağız, ama basamak fonksiyonlarının yerine çok daha esnek olan basit fonksiyonları (Tanım 8.4) koyacağız: bir basit fonksiyon aralıklar üzerinde değil, rastgele ölçülebilir kümeler üzerinde sabittir.
10.3 Dirichlet Fonksiyonu
Basamak fonksiyonlarının yetersizliğini gösteren klasik örnek, rasyonel sayılarda \(1\), irrasyonel sayılarda \(0\) değerini alan fonksiyondur.
Örnek 10.2 (Dirichlet Fonksiyonu) \(E = \mathbb{Q} \cap [0, 1]\) ve \(f = \chi_E : [0, 1] \to \mathbb{R}\) olsun. \(f\) nin Riemann integrallenebilir olmadığını gösterin.
Çözüm
\(P = \{x_0, \dots, x_n\}\), \([0, 1]\) in rastgele bir bölüntüsü olsun. Rasyonel sayılar da irrasyonel sayılar da \(\mathbb{R}\) de yoğundur; bu yüzden her \((x_{i-1}, x_i)\) aralığı hem rasyonel hem irrasyonel bir nokta içerir. Dolayısıyla her \(i\) için \(m_i = 0\) ve \(M_i = 1\), yani \[ L(f, P) = 0, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) = 1 \] dir. \(P\) rastgele olduğundan \(\underline{I}(f) = 0 \ne 1 = \overline{I}(f)\); (1) sağlanmaz ve \(f\) Riemann integrallenebilir değildir.
\(\blacksquare\)
Oysa \(E\) sayılabilir olduğundan \(m(E) = 0\) dır (Teorem 1.4); ileride Lebesgue integralinin \(f\) ye doğal olarak \(0\) değerini verdiğini göreceğiz. Daha da çarpıcı olanı, \(f\) nin çok iyi fonksiyonların limiti olmasıdır.
Örnek 10.3 (Basamak Fonksiyonlarının İntegrallenemeyen Limiti) \(\{q_k\}_{k=1}^\infty\), \(E = \mathbb{Q} \cap [0, 1]\) kümesinin bir numaralaması olsun ve her \(n\) için \(f_n = \chi_{\{q_1, \dots, q_n\}} : [0, 1] \to \mathbb{R}\) tanımlansın. Her \(f_n\) nin integrali \(0\) olan bir basamak fonksiyonu olduğunu, \(\{f_n\}\) nin artan ve \(|f_n| \le 1\) olduğunu ve \([0, 1]\) üzerinde noktasal olarak Dirichlet fonksiyonu \(f = \chi_E\) ye yakınsadığını gösterin.
Çözüm
Basamak fonksiyonu. \(q_1, \dots, q_n\) noktalarını ve \(0, 1\) i sıralayarak \([0, 1]\) in bir \(P\) bölüntüsünü elde ederiz. \(P\) nin açık alt aralıkları hiçbir \(q_k\) (\(k \le n\)) içermez; bu aralıklarda \(f_n \equiv 0\) dır. O hâlde \(f_n\) bir basamak fonksiyonudur ve Teorem 10.1 gereği \(\int_0^1 f_n(x)\,dx = 0\) dır.
Monotonluk ve sınırlılık. \(\{q_1, \dots, q_n\} \subseteq \{q_1, \dots, q_{n+1}\}\) olduğundan \(f_n \le f_{n+1}\); ayrıca \(f_n\) yalnız \(0\) ve \(1\) değerlerini aldığından \(|f_n| \le 1\).
Noktasal yakınsaklık. \(x\) irrasyonelse her \(n\) için \(f_n(x) = 0 = f(x)\). \(x \in E\) ise bir \(k\) için \(x = q_k\) dır; \(n \ge k\) için \(f_n(x) = 1 = f(x)\). Her iki durumda \(f_n(x) \to f(x)\).
\(\blacksquare\)
Yani Riemann integrallenebilir fonksiyonların düzgün sınırlı, artan bir dizisi, Riemann integrallenebilir olmayan bir fonksiyona noktasal olarak yakınsayabilir. Burada \(\int_0^1 f_n = 0\) integralleri bir limite gider, ama bu limiti karşılayacak bir Riemann integrali yoktur. Yakınsaklık düzgün olsaydı böyle bir şey olamazdı (Alıştırma 10.8); nitekim bu dizi düzgün yakınsamaz (Alıştırma 10.1).
10.4 Riemann İntegralinin Sınırlılıkları
Dirichlet örneği Riemann integralinin iki zayıflığını birden gösterir: integrallenebilir fonksiyonların sınıfı noktasal limitler altında kapalı değildir ve bu yüzden limit ile integralin yer değiştirmesi, limit fonksiyonunun integrallenebilir olduğu önceden bilinmedikçe anlamsızdır.
Lebesgue integrali bu durumu açıklar. Sınırlı bir \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun Riemann integrallenebilmesi için gerek ve yeter koşul, süreksizlik noktalarının kümesinin sıfır ölçülü olmasıdır (Lebesgue’ün Riemann integrallenebilirlik ölçütü; kanıtı bu kitabın kapsamı dışındadır). Dirichlet fonksiyonu her noktada süreksizdir. Ayrıca Riemann integrallenebilir fonksiyonların Lebesgue integrallenebilir olduğunu ve iki integralin çakıştığını (Teorem 11.4), sınırlı fonksiyonlar için de Sınırlı Yakınsaklık Teoremi’ni (Teorem 11.5) kanıtlayacağız. Bu ikisi birlikte Riemann integrali için Arzelà’nın Sınırlı Yakınsaklık Teoremi’ni verir: \(\{f_n : [a, b] \to \mathbb{R}\}\) Riemann integrallenebilir fonksiyonların düzgün sınırlı bir dizisi olsun ve noktasal olarak bir \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna yakınsasın. \(f\) nin Riemann integrallenebilir olduğu varsayılırsa \[ \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \] dir. Lebesgue integralinde bu varsayıma gerek kalmayacak: ölçülebilir fonksiyonların noktasal limiti yine ölçülebilirdir (Teorem 8.1).
10.5 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar Darboux toplamlarının temel özelliklerini ve bunların birkaç klasik sonucunu kanıtlatıyor.
Alıştırma 10.1 (Dirichlet Dizisi Düzgün Yakınsamaz) \(\{q_k\}_{k=1}^\infty\), \(\mathbb{Q} \cap [0, 1]\) in bir numaralaması, \(f_n = \chi_{\{q_1, \dots, q_n\}}\) ve \(f = \chi_{\mathbb{Q} \cap [0, 1]}\) olsun (Örnek 10.3). \(\{f_n\}\) nin \([0, 1]\) üzerinde \(f\) ye düzgün olarak yakınsamadığını gösterin.
Çözüm
Düzgün yakınsaklık, \(\sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f(x)| \to 0\) demektir. Bu supremumun her \(n\) için \(1\) olduğunu gösterelim.
\(n\) rastgele olsun. Numaralama birebir olduğundan \(q_{n+1} \notin \{q_1, \dots, q_n\}\), dolayısıyla \(f_n(q_{n+1}) = 0\). Öte yandan \(q_{n+1}\) rasyoneldir, yani \(f(q_{n+1}) = 1\). Buradan \[ \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f(x)| \ge |f_n(q_{n+1}) - f(q_{n+1})| = 1 \] çıkar; fonksiyonlar yalnız \(0\) ve \(1\) değerlerini aldığından supremum tam olarak \(1\) dir. Supremum sıfıra gitmediğinden yakınsaklık düzgün değildir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.2 (İncelme ve Darboux Toplamları) \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı olsun. \(P'\), \([a, b]\) nin bir \(P\) bölüntüsünün incelmesiyse \[ L(f, P) \le L(f, P') \quad \text{ve} \quad U(f, P') \le U(f, P) \] olduğunu, yani incelme altında alt Darboux toplamlarının azalmadığını ve üst Darboux toplamlarının artmadığını gösterin.
Çözüm
Adım 1: Tek nokta eklemek. Önce \(P' = P \cup \{y\}\) olduğunu, \(y\) nin \(P\) nin bir \((x_{j-1}, x_j)\) alt aralığında bulunduğunu varsayalım. İki toplam yalnız \(j\) indisli terimde ayrılır. \[ m' = \inf_{(x_{j-1},\, y)} f, \qquad m'' = \inf_{(y,\, x_j)} f \] diyelim. \((x_{j-1}, y)\) ve \((y, x_j)\) aralıkları \((x_{j-1}, x_j)\) nin alt kümeleridir; daha küçük bir kümenin infimumu daha büyük ya da eşit olduğundan \(m' \ge m_j\) ve \(m'' \ge m_j\). Buradan \[ \begin{aligned} m'(y - x_{j-1}) + m''(x_j - y) &\ge m_j (y - x_{j-1}) + m_j (x_j - y)\\[1mm] &= m_j (x_j - x_{j-1}) \end{aligned} \] bulunur; yani \(L(f, P') \ge L(f, P)\). Supremumlar için aynı akıl yürütme, daha küçük kümenin supremumu daha küçük ya da eşit olduğundan, \(U(f, P') \le U(f, P)\) verir.
Adım 2: Genel durum. \(P' \setminus P\) sonlu bir kümedir, elemanları \(y_1, \dots, y_k\) olsun. \(P\) ye bu noktaları birer birer ekleyerek \[ P = Q_0 \subseteq Q_1 \subseteq \cdots \subseteq Q_k = P' \] bölüntülerini elde ederiz; her \(Q_r\), \(Q_{r-1}\) e tek nokta eklenerek bulunur. Adım 1 her geçişte alt toplamın azalmadığını, üst toplamın artmadığını söyler: \[ L(f, P) \le L(f, Q_1) \le \cdots \le L(f, P'), \qquad U(f, P') \le \cdots \le U(f, P). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.3 (Alt İntegral Üst İntegrali Aşmaz) \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı olsun. \(\sup_P L(f, P) \le \inf_P U(f, P)\) olduğunu, yani (1) eşitliğinin sol tarafının sağ tarafından büyük olamayacağını gösterin.
Çözüm
Adım 1: Her alt toplam her üst toplamı aşmaz. \(P_1\) ve \(P_2\) iki bölüntü olsun ve \(P' = P_1 \cup P_2\) ortak incelmelerini alalım. Her alt aralıkta infimum supremumu aşmadığından \(L(f, P') \le U(f, P')\). Alıştırma 10.2 gereği \[ L(f, P_1) \le L(f, P') \le U(f, P') \le U(f, P_2) \] dir.
Adım 2: Supremum ve infimum. \(P_2\) yi sabit tutalım. Adım 1’e göre \(U(f, P_2)\), bütün alt toplamların bir üst sınırıdır; dolayısıyla \(\sup_P L(f, P) \le U(f, P_2)\). Bu, her \(P_2\) için doğru olduğundan \(\sup_P L(f, P)\) bütün üst toplamların bir alt sınırıdır ve \[ \sup_P L(f, P) \le \inf_P U(f, P) \] bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.4 (Bölüntü Dizisiyle İntegrallenebilirlik) \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı olsun. \(f\) nin Riemann integrallenebilmesi için gerek ve yeter koşulun, her \(P_{n+1}\) in \(P_n\) nin bir incelmesi olduğu ve \[ \lim_{n \to \infty} \big[\, U(f, P_n) - L(f, P_n) \,\big] = 0 \] eşitliğini sağlayan bir \(\{P_n\}\) bölüntü dizisinin var olması olduğunu gösterin.
Çözüm
Kısaca \(\underline{I} = \sup_P L(f, P)\) ve \(\overline{I} = \inf_P U(f, P)\) yazalım; Alıştırma 10.3 gereği \(\underline{I} \le \overline{I}\).
Yeterlilik. Böyle bir \(\{P_n\}\) varsa her \(n\) için \(L(f, P_n) \le \underline{I} \le \overline{I} \le U(f, P_n)\), dolayısıyla \[ 0 \le \overline{I} - \underline{I} \le U(f, P_n) - L(f, P_n). \] Sağ taraf sıfıra gider, sol taraf \(n\) den bağımsızdır; demek ki \(\overline{I} = \underline{I}\) ve \(f\) Riemann integrallenebilirdir. (Bu yönde incelme koşuluna gerek yoktur.)
Gereklilik. \(f\) Riemann integrallenebilir olsun; \(I = \underline{I} = \overline{I}\). Her \(n\) için supremum ve infimumun tanımından \[ L(f, Q_n) > I - \frac{1}{n}, \qquad U(f, R_n) < I + \frac{1}{n} \] olan \(Q_n\), \(R_n\) bölüntüleri vardır. Tümevarımla \(P_1 = Q_1 \cup R_1\) ve \(P_n = P_{n-1} \cup Q_n \cup R_n\) tanımlayalım. \(P_n \supseteq P_{n-1}\) olduğundan her \(P_n\), \(P_{n-1}\) in incelmesidir. Ayrıca \(P_n\), hem \(Q_n\) nin hem \(R_n\) nin incelmesidir; Alıştırma 10.2 gereği \[ U(f, P_n) - L(f, P_n) \le U(f, R_n) - L(f, Q_n) < \frac{2}{n} \] dir. Fark negatif olmadığından \(U(f, P_n) - L(f, P_n) \to 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.5 (Sürekli Fonksiyonlar İntegrallenebilir) Alıştırma 10.4 ve düzgün sürekliliği kullanarak sürekli her \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun Riemann integrallenebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Sınırlılık ve düzgün süreklilik. Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olan \(f\) sınırlıdır ve düzgün süreklidir (bkz. Analiz 1: Düzgün Süreklilik ve Cantor Teoremi). Dolayısıyla Darboux toplamları tanımlıdır.
Adım 2: Bölüntü dizisi. \(P_n\), \([a, b]\) yi \(2^n\) eşit parçaya bölen bölüntü olsun. \(P_n\) nin noktaları \(P_{n+1}\) in de noktalarıdır (her alt aralık ikiye bölünür); yani \(P_{n+1}\), \(P_n\) nin incelmesidir. \(P_n\) nin alt aralıklarının uzunluğu \((b - a)/2^n\) dir.
Adım 3: Farkın tahmini. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Düzgün süreklilikten, \(|x - y| < \delta\) iken \(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\) olacak biçimde bir \(\delta > 0\) vardır. \((b - a)/2^N < \delta\) olan bir \(N\) seçelim ve \(n \ge N\) alalım. \(P_n\) nin bir \((x_{i-1}, x_i)\) alt aralığındaki her \(x, y\) için \(|x - y| < \delta\), dolayısıyla \(f(x) < f(y) + \varepsilon\). Önce \(x\) üzerinden supremum, sonra \(y\) üzerinden infimum alırsak \(M_i \le m_i + \varepsilon\) buluruz. Böylece \[ U(f, P_n) - L(f, P_n) = \sum_{i=1}^{2^n} (M_i - m_i)(x_i - x_{i-1}) \le \varepsilon\,(b - a) \] dir.
Adım 4: Sonuç. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(U(f, P_n) - L(f, P_n) \to 0\). \(\{P_n\}\) ardışık incelmelerden oluştuğundan Alıştırma 10.4 gereği \(f\) Riemann integrallenebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.6 (Artan Fonksiyonun Darboux Farkı) \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) artan olsun ve \(P_n\), \([0, 1]\) in \(1/n\) uzunluklu \(n\) alt aralığa bölüntüsü olsun. \[ U(f, P_n) - L(f, P_n) \le \frac{1}{n}\,\big[f(1) - f(0)\big] \] olduğunu gösterin.
Çözüm
\(P_n = \{x_0, \dots, x_n\}\), \(x_i = i/n\) olsun. \(f\) artan olduğundan \(f(0) \le f(x) \le f(1)\); yani \(f\) sınırlıdır ve Darboux toplamları tanımlıdır.
Adım 1: Alt aralıkta sınırlar. \(x_{i-1} < x < x_i\) için artanlıktan \(f(x_{i-1}) \le f(x) \le f(x_i)\). Dolayısıyla \(f(x_i)\) bu aralıkta bir üst sınır, \(f(x_{i-1})\) bir alt sınırdır: \[ M_i \le f(x_i), \qquad m_i \ge f(x_{i-1}). \]
Adım 2: Teleskopik toplam. Her alt aralığın uzunluğu \(1/n\) olduğundan \[ \begin{aligned} U(f, P_n) - L(f, P_n) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (M_i - m_i)\\[1mm] &\le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \big[f(x_i) - f(x_{i-1})\big] \end{aligned} \] dir. Toplam açıldığında ardışık terimler birbirini götürür: \[ \sum_{i=1}^n \big[f(x_i) - f(x_{i-1})\big] = f(x_n) - f(x_0) = f(1) - f(0). \] Böylece \(U(f, P_n) - L(f, P_n) \le \frac{1}{n}[f(1) - f(0)]\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.7 (Artan Fonksiyonlar İntegrallenebilir) \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) artan olsun. Alıştırma 10.6 ve Alıştırma 10.4 yardımıyla \(f\) nin Riemann integrallenebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
Alıştırma 10.4 ardışık incelmelerden oluşan bir dizi ister; \(1/n\) uzunluklu bölüntüler bu koşulu sağlamaz (\(P_3\), \(P_2\) nin incelmesi değildir). Bu yüzden yalnız \(n = 2^k\) indislerini kullanırız.
\(Q_k = P_{2^k}\), yani \([0, 1]\) i \(2^k\) eşit parçaya bölen bölüntü olsun. \(Q_k\) nin her noktası \(j/2^k = 2j/2^{k+1}\) biçimindedir ve \(Q_{k+1}\) e aittir; yani \(Q_{k+1}\), \(Q_k\) nin incelmesidir. Alıştırma 10.6 gereği \[ 0 \le U(f, Q_k) - L(f, Q_k) \le \frac{f(1) - f(0)}{2^k} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0 \] dır. Alıştırma 10.4 gereği \(f\) Riemann integrallenebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.8 (Düzgün Limitin Riemann İntegrali) \(\{f_n : [a, b] \to \mathbb{R}\}\), bir \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna düzgün olarak yakınsayan, Riemann integrallenebilir fonksiyonların düzgün sınırlı bir dizisi olsun. \(f\) nin de Riemann integrallenebilir olduğunu ve \[ \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \] olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: \(f\) sınırlıdır. Dizi düzgün sınırlı olduğundan her \(n\) ve her \(x\) için \(|f_n(x)| \le K\) olacak bir \(K\) vardır; \(n \to \infty\) için \(|f(x)| \le K\). Dolayısıyla \(f\) nin Darboux toplamları tanımlıdır.
Adım 2: Toplamların karşılaştırılması. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Düzgün yakınsaklıktan, \(n \ge N\) iken her \(x \in [a, b]\) için \[ f_n(x) - \varepsilon < f(x) < f_n(x) + \varepsilon \] olacak bir \(N\) vardır. \(n \ge N\) ve \(P\) rastgele bir bölüntü olsun. Bir alt aralıkta \(f < f_n + \varepsilon\) eşitsizliğinden supremumlar için \(M_i(f) \le M_i(f_n) + \varepsilon\), benzer biçimde \(m_i(f) \ge m_i(f_n) - \varepsilon\) çıkar. Uzunluklarla çarpıp toplarsak \[ U(f, P) \le U(f_n, P) + \varepsilon(b - a), \qquad L(f, P) \ge L(f_n, P) - \varepsilon(b - a) \] bulunur.
Adım 3: \(f\) integrallenebilir. \(f_N\) Riemann integrallenebilir olduğundan Alıştırma 10.4 (ya da doğrudan tanım) gereği \(U(f_N, P) - L(f_N, P) < \varepsilon\) olan bir \(P\) vardır. Adım 2 deki eşitsizlikleri \(n = N\) için kullanırsak \[ \overline{I}(f) - \underline{I}(f) \le U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon + 2\varepsilon(b - a) \] dir. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(\overline{I}(f) = \underline{I}(f)\); \(f\) Riemann integrallenebilirdir.
Adım 4: İntegrallerin yakınsaklığı. \(n \ge N\) olsun. Her \(P\) için Adım 2 deki eşitsizliklerden \[ L(f_n, P) - \varepsilon(b - a) \le L(f, P) \le \int_a^b f(x)\,dx \le U(f, P) \le U(f_n, P) + \varepsilon(b - a) \] dir. Soldaki eşitsizlikte \(P\) üzerinden supremum, sağdakinde infimum alırsak, \(f_n\) integrallenebilir olduğundan \[ \int_a^b f_n(x)\,dx - \varepsilon(b - a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b f_n(x)\,dx + \varepsilon(b - a) \] bulunur. Yani \(n \ge N\) için \[ \Big|\int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx\Big| \le \varepsilon(b - a). \] \(\varepsilon\) keyfi olduğundan integraller \(\int_a^b f(x)\,dx\) e yakınsar.
\(\blacksquare\)
Riemann integralinin sınırlarını gördük. Sıradaki bölüm Sınırlı Fonksiyonların İntegrali, basamak fonksiyonlarının yerine basit fonksiyonları koyarak Lebesgue integralinin ilk adımını atıyor.