2 Sigma Cebiri ve Borel Kümeleri
Carathéodory koşulunu sağlayan kümeleri (Tanım 1.6) ölçülebilir diye adlandırdık ve bunların tümleyen ile sonlu birleşim altında korunduğunu gördük (Teorem 1.5). Bir ölçü kuramı için bu yetmez: limit işlemleri sayılabilir birleşim ve kesişim ister.
Bu bölümde sayılabilir işlemlere kapalı küme ailelerini, yani σ-cebirlerini tanıtıyor, açık kümelerin ürettiği Borel σ-cebirini kuruyor ve ölçülebilir kümelerin bu σ-cebirini içeren bir σ-cebiri olduğunu ispatlıyoruz. Sonunda dış ölçüyü ölçülebilir kümelere kısıtlayarak Lebesgue ölçüsünü tanımlıyoruz.
2.1 Cebirler ve σ-Cebirleri
Bir \(X\) kümesinin alt kümelerinden oluşan ve olağan küme işlemleri altında kapalı kalan aileleri iki düzeyde ele alıyoruz: sonlu işlemler ve sayılabilir işlemler.
Tanım 2.1 (Cebir) \(X\) bir küme olsun. \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir \(\mathcal{A}\) topluluğu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa \(\mathcal{A}\)’ya (\(X\)’in alt kümelerinin) bir cebiri (algebra) denir:
- \(\varnothing \in \mathcal{A}\);
- \(A \in \mathcal{A}\) ise \(X \setminus A \in \mathcal{A}\);
- \(A_1, \dots, A_n \in \mathcal{A}\) ise \(A_1 \cup \dots \cup A_n \in \mathcal{A}\).
Yani cebir, tümleyen ve sonlu birleşim alındığında dışına çıkılmayan bir ailedir. De Morgan özdeşlikleriyle sonlu kesişimlere de kapalıdır.
Tanım 2.2 (σ-Cebiri) \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir \(\mathcal{A}\) topluluğu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa \(\mathcal{A}\)’ya (\(X\)’in alt kümelerinin) bir σ-cebiri (σ-algebra) denir:
- \(\varnothing \in \mathcal{A}\);
- \(A \in \mathcal{A}\) ise \(X \setminus A \in \mathcal{A}\);
- \(\{A_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathcal{A}\) ise \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{A}\).
Yani σ-cebiri, tümleyen ve sayılabilir birleşim altında kapalı bir ailedir. Uç örnekler iki tanedir: \(\{\varnothing, X\}\) her σ-cebirinin içinde kalan en küçük σ-cebiridir; \(X\)’in bütün alt kümelerinden oluşan \(2^X\) ise her σ-cebirini içeren en büyük σ-cebiridir.
Önerme 2.1 (σ-Cebirinin Kapalılık Özellikleri) \(\mathcal{A}\), \(X\)’in alt kümelerinin bir σ-cebiri olsun. O zaman \(X \in \mathcal{A}\)’dır ve \(\mathcal{A}\) şu işlemler altında kapalıdır: sayılabilir kesişim, sonlu birleşim, sonlu kesişim ve bağıl tümleyen \(A_1 \setminus A_2\). Özel olarak her σ-cebiri bir cebirdir.
İspat
\(X = X \setminus \varnothing\) olduğundan \(X \in \mathcal{A}\)’dır.
Sayılabilir kesişim. \(A_n \in \mathcal{A}\) olsun. De Morgan özdeşliğiyle \[ \bigcap_{n=1}^\infty A_n = X \setminus \bigcup_{n=1}^\infty (X \setminus A_n). \] Her \(X \setminus A_n\) tümleyen koşuluyla \(\mathcal{A}\)’dadır; birleşimleri sayılabilir birleşim koşuluyla, onun tümleyeni de yine tümleyen koşuluyla \(\mathcal{A}\)’dadır.
Sonlu birleşim ve kesişim. \(A_1, \dots, A_n \in \mathcal{A}\) verilsin. \(k > n\) için \(A_k = \varnothing\) alırsak \(A_1 \cup \dots \cup A_n = \bigcup_{k=1}^\infty A_k \in \mathcal{A}\) olur. \(k > n\) için \(A_k = X\) alıp sayılabilir kesişime başvurunca sonlu kesişim de \(\mathcal{A}\)’da kalır.
Bağıl tümleyen. \(A_1 \setminus A_2 = A_1 \cap (X \setminus A_2)\) iki elemanın kesişimidir, dolayısıyla \(\mathcal{A}\)’dadır.
Son olarak ilk iki koşul ortak, üçüncüsü de sonlu birleşim kapalılığından geldiği için \(\mathcal{A}\) bir cebirdir (Tanım 2.1).
\(\blacksquare\)
Bir aileyi içeren σ-cebirleri her zaman vardır (\(2^X\) bunlardan biridir). Hepsinin kesişimi, o aileyi içeren en ekonomik σ-cebirini verir.
Teorem 2.1 (Üretilen σ-Cebiri) \(\mathcal{F}\), \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir topluluk olsun. \(\mathcal{F}\)’yi içeren bütün σ-cebirlerinin kesişimi \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{F}\)’yi içeren bir σ-cebiridir. Üstelik \(\mathcal{F}\)’yi içeren her σ-cebiri \(\mathcal{A}\)’yı da içerir; yani \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{F}\)’yi içeren en küçük σ-cebiridir.
İspat
\(\Sigma\), \(\mathcal{F}\)’yi içeren σ-cebirlerinin topluluğu olsun; \(2^X \in \Sigma\) olduğundan \(\Sigma\) boş değildir ve \(\mathcal{A} = \bigcap_{\mathcal{C} \in \Sigma} \mathcal{C}\) anlamlıdır.
σ-cebiri koşulları. Her \(\mathcal{C} \in \Sigma\) σ-cebiri olduğundan \(\varnothing \in \mathcal{C}\)’dir; o hâlde \(\varnothing \in \mathcal{A}\). \(A \in \mathcal{A}\) ise \(A\) her \(\mathcal{C}\)’dedir, dolayısıyla \(X \setminus A\) de her \(\mathcal{C}\)’dedir ve \(X \setminus A \in \mathcal{A}\) olur. Aynı akıl yürütme sayılabilir birleşimler için de geçerlidir: \(A_n \in \mathcal{A}\) ise bütün \(A_n\)’ler her \(\mathcal{C}\)’dedir, birleşimleri de öyledir.
\(\mathcal{F}\)’yi içerme. Her \(\mathcal{C} \in \Sigma\) için \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}\) olduğundan \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{A}\)’dır.
En küçüklük. \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{F}\)’yi içeren bir σ-cebiri ise \(\mathcal{C} \in \Sigma\) olur ve kesişimin tanımı gereği \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{C}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Tanım 2.3 (Bir Ailenin Ürettiği σ-Cebiri) \(\mathcal{F}\)’yi içeren en küçük σ-cebirine \(\mathcal{F}\)’nin ürettiği σ-cebiri (generated σ-algebra) denir ve \(\sigma(\mathcal{F})\) ile gösterilir.
Yani \(\sigma(\mathcal{F})\), \(\mathcal{F}\)’nin elemanlarından tümleyen ve sayılabilir birleşim işlemlerini tekrar tekrar uygulayarak ulaşılabilecek her şeyi içerir; fazlasını içermez. Bir \(\mathcal{A}\) σ-cebirinin \(\sigma(\mathcal{F})\)’yi içerdiğini göstermek için \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{A}\) olduğunu göstermek yeter.
Sayılabilir işlemlerin tipik bir ürünü, bir küme dizisinin üst ve alt limitidir.
Tanım 2.4 (Küme Dizisinin Üst ve Alt Limiti) \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\), \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir dizi olsun. Bu dizinin üst limiti (limit superior) ve alt limiti (limit inferior) \[ \limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{k=1}^\infty \Big[\, \bigcup_{n=k}^\infty A_n \Big] \] ve \[ \liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{k=1}^\infty \Big[\, \bigcap_{n=k}^\infty A_n \Big] \] kümeleridir.
Önerme 2.2 (Üst ve Alt Limitin Anlamı) \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\), \(X\)’in alt kümelerinden oluşan bir dizi olsun.
- \(\limsup A_n\), sonsuz çoklukta \(n\) indisi için \(A_n\)’ye ait olan noktaların kümesidir.
- \(\liminf A_n\), sonlu çoklukta \(n\) indisi dışında bütün \(A_n\)’lere ait olan noktaların kümesidir.
Ayrıca bütün \(A_n\)’ler bir \(\mathcal{A}\) σ-cebirindeyse \(\limsup A_n\) ve \(\liminf A_n\) de \(\mathcal{A}\)’dadır.
İspat
Üst limit. \(x \in \limsup A_n\) demek, her \(k\) için \(x \in \bigcup_{n \ge k} A_n\), yani her \(k\) için \(x \in A_n\) olan bir \(n \ge k\) bulunması demektir. Bu tam olarak \(\{n : x \in A_n\}\) kümesinin üstten sınırsız, yani sonsuz olmasıdır.
Alt limit. \(x \in \liminf A_n\) demek, bir \(k\) için \(x \in \bigcap_{n \ge k} A_n\), yani \(n \ge k\) olan her \(n\) için \(x \in A_n\) olması demektir. Bu da \(x\)’in ait olmadığı \(A_n\)’lerin indislerinin \(\{1, \dots, k-1\}\) içinde, yani sonlu olmasıdır.
σ-cebirinde kalma. Her \(k\) için \(\bigcup_{n \ge k} A_n\) sayılabilir birleşim olarak, \(\bigcap_{n \ge k} A_n\) sayılabilir kesişim olarak (Önerme 2.1) \(\mathcal{A}\)’dadır. Bunların sayılabilir kesişimi ve sayılabilir birleşimi de aynı gerekçeyle \(\mathcal{A}\)’dadır.
\(\blacksquare\)
2.2 Borel Kümeleri
Açık ve kapalı kümeleri Analiz 1’den biliyoruz (bkz. Analiz 1: Komşuluklar ve Açık Kümeler ve Analiz 1: Kapalı Kümeler): açık kümelerin her birleşimi ve sonlu kesişimi açıktır, bir küme ancak ve ancak tümleyeni açıksa kapalıdır. Açık kümelerin sayılabilir kesişimi ise açık olmak zorunda değildir: Arşimet özelliğiyle \[ \bigcap_{n=1}^\infty \Big(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\Big) = \{0\} \] olur ve \(\{0\}\) açık değildir. Ölçü kuramında çalışacağımız doğal aile, açık kümeleri içeren ve sayılabilir işlemlere kapalı olan en küçük ailedir.
Tanım 2.5 (Borel Kümeleri) \(\mathbb{R}\)’nin bütün açık kümelerinin ürettiği σ-cebirine Borel σ-cebiri denir ve \(\mathcal{B}\) ile gösterilir. \(\mathcal{B}\)’nin elemanlarına Borel kümeleri (Borel sets) denir.
Yani Borel kümeleri, açık kümelerden tümleyen ve sayılabilir birleşim alarak (ve bunları sayılabilir kez tekrarlayarak) elde edilen kümelerdir.
Önerme 2.3 (Kapalı ve Sayılabilir Kümeler Borel Kümesidir) Her açık küme, her kapalı küme ve her sayılabilir küme bir Borel kümesidir.
İspat
Açık kümeler tanım gereği \(\mathcal{B}\)’dedir. Kapalı bir \(F\) kümesinin tümleyeni \(\mathbb{R} \setminus F\) açıktır; \(\mathcal{B}\) tümleyene kapalı olduğundan \(F = \mathbb{R} \setminus (\mathbb{R} \setminus F) \in \mathcal{B}\) olur.
Her tek noktalı küme \(\{x\}\) kapalıdır, dolayısıyla Borel kümesidir. Sayılabilir bir \(C = \{x_1, x_2, \dots\}\) kümesi \(C = \bigcup_n \{x_n\}\) biçiminde sayılabilir bir birleşimdir, dolayısıyla \(\mathcal{B}\)’dedir (\(C = \varnothing\) ise zaten \(\varnothing \in \mathcal{B}\)’dir).
\(\blacksquare\)
Açık ile Borel arasındaki ilk basamak, açık kümelerin sayılabilir kesişimleri ve kapalı kümelerin sayılabilir birleşimleridir.
Tanım 2.6 (\(F_\sigma\) ve \(G_\delta\) Kümeleri) Açık kümelerin sayılabilir bir topluluğunun kesişimi olan kümeye \(G_\delta\) kümesi, kapalı kümelerin sayılabilir bir topluluğunun birleşimi olan kümeye \(F_\sigma\) kümesi denir.
Yani \(G_\delta\) “sayılabilir çoklukta açık kümenin kesişimi”, \(F_\sigma\) “sayılabilir çoklukta kapalı kümenin birleşimi” demektir. De Morgan özdeşlikleri gereği bir \(G_\delta\) kümesinin tümleyeni \(F_\sigma\), bir \(F_\sigma\) kümesinin tümleyeni \(G_\delta\) kümesidir. Yukarıdaki \(\{0\}\) örneği, açık olmayan bir \(G_\delta\) kümesidir.
Önerme 2.4 (\(F_\sigma\) ve \(G_\delta\) Kümeleri Borel Kümesidir) Her \(G_\delta\) kümesi ve her \(F_\sigma\) kümesi bir Borel kümesidir. Ayrıca her biri açık ya da kapalı olan kümelerden oluşan bir \(\{A_n\}_{n=1}^\infty\) dizisi için \(\limsup A_n\) ve \(\liminf A_n\) Borel kümeleridir.
İspat
Açık ve kapalı kümeler Borel kümesidir (Önerme 2.3). \(\mathcal{B}\) bir σ-cebiri olduğundan sayılabilir birleşimlere ve sayılabilir kesişimlere kapalıdır (Önerme 2.1); dolayısıyla her \(G_\delta\) ve her \(F_\sigma\) kümesi \(\mathcal{B}\)’dedir. Son iddia, bütün \(A_n\)’lerin \(\mathcal{B}\)’de olmasından ve Önerme 2.2’den çıkar.
\(\blacksquare\)
Örnek 2.1 (Kapalı Küme Bir \(G_\delta\) Kümesidir) Her kapalı \(F \subseteq \mathbb{R}\) kümesinin bir \(G_\delta\) kümesi olduğunu gösterin.
Çözüm
\(F = \varnothing\) ise \(F\) açıktır ve \(F = \bigcap_n \varnothing\) yazılabilir. \(F \neq \varnothing\) olsun ve her \(n\) için \[ \mathcal{O}_n = \bigcup_{y \in F} \Big(y - \frac{1}{n},\, y + \frac{1}{n}\Big) \] tanımlayalım. \(\mathcal{O}_n\) açık aralıkların birleşimi olduğundan açıktır ve \(F \subseteq \mathcal{O}_n\)’dir. Dolayısıyla \(F \subseteq \bigcap_n \mathcal{O}_n\) olur.
Tersine \(x \in \bigcap_n \mathcal{O}_n\) olsun. Her \(n\) için \(|x - y_n| < 1/n\) olan bir \(y_n \in F\) vardır. Bu durumda \(x\)’i içeren her açık aralık, yeterince büyük \(n\) için \(y_n\)’yi, yani \(F\)’den bir noktayı içerir; \(x\), \(F\)’nin bir kapanış noktasıdır. \(F\) kapalı olduğundan \(x \in F\)’dir. Böylece \(F = \bigcap_n \mathcal{O}_n\) bir \(G_\delta\) kümesidir.
Tümleyen alarak şunu da elde ederiz: her açık küme bir \(F_\sigma\) kümesidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 2.2 (Rasyonel Sayılar Bir \(F_\sigma\) Kümesidir) \(\mathbb{Q}\)’nun bir \(F_\sigma\) kümesi, \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)’nun bir \(G_\delta\) kümesi olduğunu gösterin.
Çözüm
\(\mathbb{Q}\) sayılabilir olduğundan bir numaralaması \(\mathbb{Q} = \{q_1, q_2, \dots\}\) vardır (bkz. Analiz 1: Sayılabilir Kümeler). Böylece \[ \mathbb{Q} = \bigcup_{n=1}^\infty \{q_n\} \] olur. Her \(\{q_n\}\) kapalıdır, dolayısıyla \(\mathbb{Q}\) kapalı kümelerin sayılabilir birleşimi, yani bir \(F_\sigma\) kümesidir. De Morgan özdeşliğiyle \[ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcap_{n=1}^\infty \big(\mathbb{R} \setminus \{q_n\}\big) \] olur ve her \(\mathbb{R} \setminus \{q_n\}\) açıktır; \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) bir \(G_\delta\) kümesidir. Öte yandan \(\mathbb{Q}\) açık değildir, çünkü her \(q \in \mathbb{Q}\) ve \(r > 0\) için \((q - r, q + r)\) aralığı bir irrasyonel sayı içerir. Kapalı da değildir, çünkü her reel sayı rasyonel sayıların bir limitidir; örneğin \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) olduğu hâlde \(\sqrt{2}\)’ye yakınsayan rasyonel diziler vardır. Yani \(F_\sigma\) sınıfı açık ve kapalı kümelerden gerçekten daha geniştir.
\(\blacksquare\)
2.3 Ölçülebilir Kümelerin Cebiri
Şimdi Carathéodory anlamında ölçülebilir kümelerin topluluğu \(\mathcal{M}\)’ye dönüyoruz (Tanım 1.6). Tanım \(E\) ile \(\mathbb{R} \setminus E\) arasında simetrik olduğundan \(E \in \mathcal{M}\) ancak ve ancak \(\mathbb{R} \setminus E \in \mathcal{M}\)’dir; ayrıca \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}\) ölçülebilirdir. Önce dış ölçünün ölçülebilir kümeler üzerindeki iki kolay özelliğini kaydedelim.
Önerme 2.5 (Çıkarma Özelliği) \(E_0 \subseteq E\), \(E_0\) ölçülebilir ve \(m^*(E_0) < \infty\) ise \[ m^*(E \setminus E_0) = m^*(E) - m^*(E_0) \] olur.
İspat
\(E_0\) ölçülebilir olduğundan Carathéodory koşulunu \(A = E\) test kümesiyle uygularız: \[ m^*(E) = m^*(E \cap E_0) + m^*(E \setminus E_0) = m^*(E_0) + m^*(E \setminus E_0), \] çünkü \(E_0 \subseteq E\)’dir. \(m^*(E_0)\) sonlu olduğundan onu iki taraftan çıkarabiliriz. (\(m^*(E) = \infty\) ise eşitliğin iki tarafı da \(\infty\)’dur.)
\(\blacksquare\)
Bu özelliğe çıkarma özelliği (excision property) denir. \(m^*(E_0) < \infty\) koşulu, \(\infty - \infty\) gibi anlamsız bir ifadeden kaçınmak içindir.
Sonuç 2.1 (Ölçülebilir Kümeler Bir Cebirdir) \(\mathcal{M}\), \(\mathbb{R}\)’nin alt kümelerinin bir cebiridir.
İspat
\(\varnothing \in \mathcal{M}\)’dir, \(\mathcal{M}\) tümleyene kapalıdır ve Teorem 1.5 gereği sonlu birleşimlere kapalıdır. Bunlar Tanım 2.1’deki üç koşuldur.
\(\blacksquare\)
Carathéodory koşulunun asıl kazancı toplamsallıktır: ayrık ölçülebilir kümeler bir test kümesini dış ölçüsünü bölmeden parçalar.
Lemma 2.1 (Sonlu Toplamsallık) \(A\) herhangi bir küme ve \(\{E_k\}_{k=1}^n\) ölçülebilir kümelerin sonlu, ayrık bir topluluğu ise \[ m^*\Big(A \cap \Big[\, \bigcup_{k=1}^n E_k \Big]\Big) = \sum_{k=1}^n m^*(A \cap E_k) \] olur. Özel olarak (\(A = \mathbb{R}\) alınarak) \[ m^*\Big(\bigcup_{k=1}^n E_k\Big) = \sum_{k=1}^n m^*(E_k). \]
İspat
\(n\) üzerinde tümevarım yapıyoruz. \(n = 1\) için eşitlik açıktır. İddia \(n - 1\) küme için doğru olsun ve \(U = \bigcup_{k=1}^n E_k\) diyelim.
Adım 1. Kümeler ayrık olduğundan \[ (A \cap U) \cap E_n = A \cap E_n, \qquad (A \cap U) \setminus E_n = A \cap \Big[\, \bigcup_{k=1}^{n-1} E_k \Big]. \]
Adım 2. \(E_n\) ölçülebilir olduğundan Carathéodory koşulunu \(A \cap U\) test kümesiyle uygularız ve tümevarım varsayımını kullanırız: \[ \begin{aligned} m^*(A \cap U) &= m^*(A \cap E_n) + m^*\Big(A \cap \Big[\, \bigcup_{k=1}^{n-1} E_k \Big]\Big) \\[1mm] &= m^*(A \cap E_n) + \sum_{k=1}^{n-1} m^*(A \cap E_k) = \sum_{k=1}^{n} m^*(A \cap E_k). \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Sayılabilir birleşimlere geçmek için birleşimi ayrık parçalara bölmek işimize yarayacak.
Tanım 2.7 (Ölçülebilir Ayrışma) \(E\)’nin ölçülebilir alt kümelerinden oluşan sayılabilir, ayrık bir \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) topluluğu \(E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k\) koşulunu sağlıyorsa bu topluluğa \(E\)’nin bir ölçülebilir ayrışması (measurable disjoint decomposition) denir.
Yani \(E\)’yi, her biri ölçülebilir ve ikişer ikişer ayrık, sayılabilir çoklukta parçaya bölüyoruz.
Lemma 2.2 (Birleşimi Ayrık Parçalara Bölme) \(E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k\), ölçülebilir kümelerin sayılabilir bir birleşimi olsun. O zaman her \(k\) için \(E_k' \subseteq E_k\) olan bir \(\{E_k'\}_{k=1}^\infty\) ölçülebilir ayrışması vardır.
İspat
\(E_1' = E_1\) ve \(k \ge 2\) için \[ E_k' = E_k \setminus \bigcup_{j=1}^{k-1} E_j \] tanımlayalım.
Ölçülebilirlik. \(\bigcup_{j<k} E_j\) ölçülebilir kümelerin sonlu birleşimi olarak ölçülebilirdir. \(\mathcal{M}\) bir cebir olduğundan (Sonuç 2.1) \(E_k' = E_k \cap (\mathbb{R} \setminus \bigcup_{j<k} E_j)\) de ölçülebilirdir.
Ayrıklık. \(j < k\) ise \(E_j' \subseteq E_j\) ve \(E_k' \cap E_j = \varnothing\) olduğundan \(E_j' \cap E_k' = \varnothing\)’dir.
Birleşim. \(E_k' \subseteq E_k\) olduğundan \(\bigcup_k E_k' \subseteq E\)’dir. Tersine \(x \in E\) ise \(x \in E_k\) olan en küçük \(k\)’yı alalım; \(x\) hiçbir \(E_j\) (\(j < k\)) kümesinde olmadığından \(x \in E_k'\)’dir.
\(\blacksquare\)
2.4 Ölçülebilir Kümeler Bir σ-Cebiridir
Cebir olmaktan σ-cebiri olmaya geçmek için geriye yalnız sayılabilir birleşimler kalıyor.
Teorem 2.2 (Sayılabilir Birleşimin Ölçülebilirliği) Ölçülebilir kümelerin sayılabilir bir topluluğunun birleşimi ölçülebilirdir.
İspat
\(E\), ölçülebilir kümelerin sayılabilir bir birleşimi olsun. Lemma 2.2 gereği \(E\)’nin bir \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) ölçülebilir ayrışması vardır. \(A \subseteq \mathbb{R}\) rastgele bir küme olsun; Carathéodory koşulunun zor yarısı olan \[ m^*(A) \ge m^*(A \cap E) + m^*(A \setminus E) \] eşitsizliğini göstermek yeter (öbür yarısı alt toplamsallıktan gelir, Teorem 1.3).
Adım 1. Her \(n\) için \(F_n = \bigcup_{k=1}^n E_k\) ölçülebilirdir (Teorem 1.5) ve \(F_n \subseteq E\)’dir, yani \(A \setminus E \subseteq A \setminus F_n\). Dış ölçünün monotonluğuyla \[ m^*(A) = m^*(A \cap F_n) + m^*(A \setminus F_n) \ge m^*(A \cap F_n) + m^*(A \setminus E). \]
Adım 2. Lemma 2.1 gereği \[ m^*(A \cap F_n) = \sum_{k=1}^n m^*(A \cap E_k) \] olur. Böylece her \(n\) için \[ m^*(A) \ge \sum_{k=1}^n m^*(A \cap E_k) + m^*(A \setminus E). \] Sol taraf \(n\)’ye bağlı olmadığından \(n \to \infty\) için \[ m^*(A) \ge \sum_{k=1}^\infty m^*(A \cap E_k) + m^*(A \setminus E). \]
Adım 3. \(A \cap E = \bigcup_k (A \cap E_k)\) olduğundan sayılabilir alt toplamsallıkla (Teorem 1.3) \(\sum_k m^*(A \cap E_k) \ge m^*(A \cap E)\)’dir. Bunu Adım 2’de yerine koyunca istenen eşitsizlik çıkar; \(E\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Açık kümelerin ölçülebilirliğine geçmeden önce onların yapısını belirleyelim: her açık küme, ayrık açık aralıklara ayrışır.
Lemma 2.3 (Açık Kümelerin Yapısı) Boş olmayan her açık \(\mathcal{O} \subseteq \mathbb{R}\) kümesi, açık aralıklardan oluşan sayılabilir, ayrık bir topluluğun birleşimidir.
İspat
Adım 1: Her noktanın en büyük aralığı. \(x \in \mathcal{O}\) olsun. \(\mathcal{O}\) açık olduğundan \((x - r, x + r) \subseteq \mathcal{O}\) olan bir \(r > 0\) vardır. Genişletilmiş reel sayılarda \[ a_x = \inf\{a < x : (a, x] \subseteq \mathcal{O}\}, \qquad b_x = \sup\{b > x : [x, b) \subseteq \mathcal{O}\} \] tanımlayalım ve \(I_x = (a_x, b_x)\) diyelim. \(a_x < y \le x\) ise \(a < y\) ve \((a, x] \subseteq \mathcal{O}\) olan bir \(a\) vardır, dolayısıyla \(y \in \mathcal{O}\)’dur; sağ taraf için de aynısı geçerlidir. Böylece \(x \in I_x \subseteq \mathcal{O}\)’dur.
Adım 2: Uç noktalar \(\mathcal{O}\)’da değildir. \(a_x\) sonlu olsun ve \(a_x \in \mathcal{O}\) varsayalım. Bir \(s > 0\) için \((a_x - s, a_x + s) \subseteq \mathcal{O}\)’dur; infimum tanımından \((a, x] \subseteq \mathcal{O}\) olan bir \(a < a_x + s\) vardır. O zaman \((a_x - s, x] \subseteq \mathcal{O}\) olur ve bu \(a_x\)’in infimum olmasıyla çelişir. Aynı akıl yürütmeyle sonlu bir \(b_x\) de \(\mathcal{O}\)’da değildir.
Adım 3: Ayrıklık. \(x, y \in \mathcal{O}\) ve \(I_x \cap I_y \neq \varnothing\) olsun. \(a_y < a_x\) olsaydı, \(I_y\) aralığı \(a_x\)’in solunda bir nokta ile \(I_x\)’e ait (dolayısıyla \(a_x\)’in sağında kalan) bir nokta içerdiğinden \(a_x \in I_y \subseteq \mathcal{O}\) olurdu; bu Adım 2 ile çelişir. Simetrik olarak \(a_x < a_y\) de olamaz; \(a_x = a_y\)’dir. Aynı biçimde \(b_x = b_y\) ve \(I_x = I_y\) bulunur. Yani iki aralık ya aynıdır ya ayrıktır.
Adım 4: Sayılabilirlik. Farklı aralıkların topluluğu \(\{I_x : x \in \mathcal{O}\}\) ayrıktır ve birleşimi \(\mathcal{O}\)’dur. Her aralıkta bir rasyonel sayı seçelim (rasyoneller yoğundur); ayrıklık nedeniyle farklı aralıklar farklı rasyonellere gider. Bu bire-bir eşleme \(\mathbb{Q}\)’ya gittiğinden topluluk sayılabilirdir (bkz. Analiz 1: Sayılabilir Kümeler).
\(\blacksquare\)
Teorem 2.3 (Aralıklar Ölçülebilirdir) Her aralık ölçülebilirdir.
İspat
Adım 1: \(E = (a, \infty)\) ölçülebilirdir. \(A\) rastgele bir küme olsun; \[ m^*(A) \ge m^*(A \cap E) + m^*(A \setminus E) \] göstereceğiz. \(m^*(A) = \infty\) ise söylenecek bir şey yoktur; \(m^*(A) < \infty\) olsun.
Önce \(a \notin A\) olduğunu varsayalım. \(A_1 = A \cap (-\infty, a) = A \setminus E\) ve \(A_2 = A \cap (a, \infty) = A \cap E\) diyelim. \(A\)’yı örten açık, sınırlı aralıklardan oluşan sayılabilir bir \(\{I_k\}_{k=1}^\infty\) topluluğu alalım ve \[ I_k' = I_k \cap (-\infty, a), \qquad I_k'' = I_k \cap (a, \infty) \] diyelim. Bunlar açık, sınırlı aralıklardır (boş olabilirler; boş olanların uzunluğu \(0\)’dır ve atılabilirler). \(I_k\) ile \(I_k' \cup I_k''\) en çok \(a\) noktasında ayrıldığından \(\ell(I_k) = \ell(I_k') + \ell(I_k'')\)’dir. \(\{I_k'\}\) ailesi \(A_1\)’i, \(\{I_k''\}\) ailesi \(A_2\)’yi örttüğünden dış ölçünün tanımıyla (Tanım 1.5) \[ \begin{aligned} m^*(A_1) + m^*(A_2) &\le \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k') + \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k'') \\[1mm] &= \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k). \end{aligned} \] Bu her örtü için geçerli olduğundan örtüler üzerinden infimum alınca \(m^*(A_1) + m^*(A_2) \le m^*(A)\) bulunur.
Şimdi \(a \in A\) olsun ve \(A' = A \setminus \{a\}\) diyelim. \(a \notin E\) olduğundan \(A \cap E = A' \cap E\)’dir. Ayrıca \(A \setminus E = (A' \setminus E) \cup \{a\}\) ve her \(\varepsilon > 0\) için \(\{a\}\) kümesi uzunluğu \(2\varepsilon\) olan \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) aralığıyla örtüldüğünden \(m^*(\{a\}) = 0\)’dır (Tanım 1.5). Buradan alt toplamsallıkla \(m^*(A \setminus E) \le m^*(A' \setminus E)\) olur. \(A'\) için kanıtlanan eşitsizlik ve monotonlukla \[ m^*(A \cap E) + m^*(A \setminus E) \le m^*(A' \cap E) + m^*(A' \setminus E) \le m^*(A') \le m^*(A). \]
Adım 2: Bütün aralıklar. \(\mathcal{M}\) bir σ-cebiridir: Sonuç 2.1 ile bir cebirdir ve Teorem 2.2 ile sayılabilir birleşimlere kapalıdır. Tümleyen alarak \((-\infty, b] \in \mathcal{M}\), sayılabilir birleşimle \[ (-\infty, b) = \bigcup_{n=1}^\infty \Big(-\infty,\, b - \frac{1}{n}\Big] \in \mathcal{M}, \] yeniden tümleyen alarak \([a, \infty) \in \mathcal{M}\) bulunur. Sınırlı aralıklar bunların kesişimleridir, örneğin \((a, b) = (-\infty, b) \cap (a, \infty)\) ve \([a, b] = [a, \infty) \cap (-\infty, b]\); yarı açık aralıklar da benzer biçimde yazılır. \(\mathbb{R}\) ve \(\varnothing\) zaten ölçülebilirdir. Kesişimler Önerme 2.1 gereği \(\mathcal{M}\)’de kalır.
\(\blacksquare\)
Artık bölümün ana sonucunu toplayabiliriz.
Teorem 2.4 (Ölçülebilir Kümelerin σ-Cebiri) Ölçülebilir kümelerin topluluğu \(\mathcal{M}\), Borel σ-cebiri \(\mathcal{B}\)’yi ve dış ölçüsü sıfır olan bütün kümeleri içeren bir σ-cebiridir.
İspat
σ-cebiri. \(\mathcal{M}\) bir cebirdir (Sonuç 2.1) ve sayılabilir birleşimlere kapalıdır (Teorem 2.2); bu, Tanım 2.2’deki koşullardır.
Açık kümeler. Boş olmayan açık bir küme, açık aralıkların sayılabilir birleşimidir (Lemma 2.3). Her aralık ölçülebilir (Teorem 2.3) ve \(\mathcal{M}\) sayılabilir birleşimlere kapalı olduğundan her açık küme ölçülebilirdir.
Borel kümeleri. \(\mathcal{M}\), bütün açık kümeleri içeren bir σ-cebiridir. \(\mathcal{B}\) bu özellikteki en küçük σ-cebiri olduğundan (Teorem 2.1) \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}\)’dir.
Sıfır ölçülü kümeler. Dış ölçüsü sıfır olan her küme ölçülebilirdir (Teorem 1.4).
\(\blacksquare\)
Yani ölçülebilirlik, pratikte karşılaşılan her kümeyi kapsayacak kadar geniştir: açık ve kapalı kümeler, \(F_\sigma\) ve \(G_\delta\) kümeleri, onların sayılabilir birleşim ve kesişimleri. İki kapsama da kesindir: Borel kümesi olmayan ölçülebilir kümeler vardır (Teorem 6.4) ve ölçülebilir olmayan kümeler vardır (Teorem 5.1).
Sonuç 2.2 (\(F_\sigma\) ve \(G_\delta\) Kümeleri Ölçülebilirdir) Her açık küme, her kapalı küme, her \(F_\sigma\) kümesi ve her \(G_\delta\) kümesi ölçülebilirdir.
İspat
Bu kümelerin hepsi Borel kümesidir (Önerme 2.3, Önerme 2.4) ve \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}\)’dir (Teorem 2.4).
\(\blacksquare\)
Dış ölçü ötelemeyle değişmiyordu (Teorem 1.2). Carathéodory koşulu yalnız dış ölçüyle yazıldığından ölçülebilirlik de ötelemeyle bozulmaz.
Teorem 2.5 (Ölçülebilirliğin Öteleme Altında Korunması) \(E\) ölçülebilir ve \(c \in \mathbb{R}\) ise \(E + c = \{x + c : x \in E\}\) kümesi de ölçülebilirdir.
İspat
\(A\) rastgele bir küme olsun. Öteleme bire-bir ve örten olduğundan \[ (A - c) \cap E = \big(A \cap [E + c]\big) - c, \qquad (A - c) \setminus E = \big(A \setminus [E + c]\big) - c \] olur. Dış ölçünün öteleme değişmezliğini (Teorem 1.2) ve \(E\)’nin ölçülebilirliğini \(A - c\) test kümesiyle kullanırsak \[ \begin{aligned} m^*(A) &= m^*(A - c) = m^*\big([A - c] \cap E\big) + m^*\big([A - c] \setminus E\big) \\[1mm] &= m^*\big(A \cap [E + c]\big) + m^*\big(A \setminus [E + c]\big) \end{aligned} \] bulunur. Bu, \(E + c\) için Carathéodory koşuludur.
\(\blacksquare\)
2.5 Lebesgue Ölçüsü
Dış ölçü bütün kümelerde tanımlı ama toplamsal değildir; ölçülebilir kümelere kısıtlandığında ise sonlu toplamsaldır (Lemma 2.1). Bu kısıtlamaya ayrı bir ad veriyoruz.
Tanım 2.8 (Lebesgue Ölçüsü) Dış ölçünün ölçülebilir kümelerin σ-cebiri \(\mathcal{M}\)’ye kısıtlanmasına Lebesgue ölçüsü (Lebesgue measure) ya da kısaca ölçü denir ve \(m\) ile gösterilir: \(E \in \mathcal{M}\) için \[ m(E) = m^*(E). \]
Yani \(m\), \(m^*\)’ın ta kendisidir; yalnız tanım kümesi ölçülebilir kümelerle sınırlanmıştır. Şimdiye kadar gördüklerimizden \(m\)’nin şu özellikleri hemen çıkar: her \(I\) aralığı için \(m(I) = \ell(I)\) (Teorem 2.3 ve Teorem 1.1); her ölçülebilir \(E\) ve \(c \in \mathbb{R}\) için \(m(E + c) = m(E)\) (Teorem 2.5 ve Teorem 1.2); ayrık ölçülebilir kümelerin sonlu birleşiminde ölçüler toplanır (Lemma 2.1); ve Önerme 2.5’daki çıkarma özelliği geçerlidir. Sayılabilir toplamsallık Toplamsallık ve Süreklilik bölümünde gelecek.
Örnek 2.3 (Bir Aralıktaki İrrasyonellerin Ölçüsü) \(E = [0, 2] \setminus \mathbb{Q}\) kümesinin ölçülebilir olduğunu gösterin ve \(m(E)\)’yi bulun.
Çözüm
\(E_0 = [0, 2] \cap \mathbb{Q}\) sayılabilir bir kümedir, dolayısıyla Borel kümesidir (Önerme 2.3) ve ölçülebilirdir (Teorem 2.4). \([0, 2]\) de ölçülebilir olduğundan (Teorem 2.3), \(\mathcal{M}\) bağıl tümleyene kapalı olduğu için (Önerme 2.1) \(E = [0, 2] \setminus E_0\) ölçülebilirdir.
Sayılabilir bir kümenin dış ölçüsü sıfırdır: \(E_0 = \{q_1, q_2, \dots\}\) ise alt toplamsallıkla (Teorem 1.3) \(m^*(E_0) \le \sum_n m^*(\{q_n\}) = 0\) olur; burada her \(n\) için \(m^*(\{q_n\}) = 0\)’dır, çünkü \(\{q_n\}\) her \(\varepsilon > 0\) için uzunluğu \(2\varepsilon\) olan bir aralıkla örtülür (Tanım 1.5). \(m(E_0) = 0 < \infty\) olduğundan çıkarma özelliği (Önerme 2.5) uygulanır: \[ m(E) = m([0, 2]) - m(E_0) = 2 - 0 = 2. \] Yani \([0,2]\)’nin bütün “uzunluğu” irrasyonellerde toplanmıştır.
\(\blacksquare\)
2.6 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar σ-cebirlerinin kapalılık özelliklerini ve ölçülebilir kümelerle hesap yapmayı pekiştirir.
Alıştırma 2.1 (Sağ Işınları İçeren σ-Cebiri) \(\mathbb{R}\)’nin alt kümelerinin bir σ-cebiri \((a, \infty)\) biçimindeki bütün aralıkları içeriyorsa bütün aralıkları içerdiğini gösterin.
Çözüm
\(\mathcal{A}\) böyle bir σ-cebiri olsun. \(\mathcal{A}\) tümleyene, sayılabilir birleşime ve sayılabilir kesişime kapalıdır (Önerme 2.1). Aralıkları adım adım elde edelim; \(a < b\) reel sayılardır.
Adım 1: Sol kapalı ışınlar. \((-\infty, b] = \mathbb{R} \setminus (b, \infty)\) olduğundan \((-\infty, b] \in \mathcal{A}\)’dır.
Adım 2: Sol açık ışınlar. Arşimet özelliğiyle \(x < b\) ise bir \(n\) için \(x \le b - 1/n\) olur; dolayısıyla \[ (-\infty, b) = \bigcup_{n=1}^\infty \Big(-\infty,\, b - \frac{1}{n}\Big] \] sayılabilir birleşimdir ve Adım 1 gereği \(\mathcal{A}\)’dadır.
Adım 3: Sağ kapalı ışınlar. \([a, \infty) = \mathbb{R} \setminus (-\infty, a)\) olduğundan \([a, \infty) \in \mathcal{A}\)’dır.
Adım 4: Sınırlı aralıklar. Her sınırlı aralık bir sağ ışınla bir sol ışının kesişimidir: \[ \begin{aligned} (a, b) &= (a, \infty) \cap (-\infty, b), \\[1mm] [a, b] &= [a, \infty) \cap (-\infty, b], \\[1mm] (a, b] &= (a, \infty) \cap (-\infty, b], \\[1mm] [a, b) &= [a, \infty) \cap (-\infty, b). \end{aligned} \] Sağ taraftaki kümeler \(\mathcal{A}\)’da olduğundan kesişimleri de \(\mathcal{A}\)’dadır. Tek noktalı \([a, a] = [a, \infty) \cap (-\infty, a]\) de aynı biçimde elde edilir.
Adım 5: Kalanlar. \(\varnothing \in \mathcal{A}\) ve \(\mathbb{R} = \mathbb{R} \setminus \varnothing \in \mathcal{A}\)’dır. Sınırsız aralıklar \((a, \infty)\), \([a, \infty)\), \((-\infty, b)\), \((-\infty, b]\) ve \(\mathbb{R}\)’dir; hepsi yukarıda elde edildi. Böylece bütün aralıklar \(\mathcal{A}\)’dadır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.2 (\(F_\sigma\) Kümesinin Ötelemesi) Bir \(F_\sigma\) kümesinin her ötelemesinin de bir \(F_\sigma\) kümesi olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Öteleme açıklığı korur. \(\mathcal{O}\) açık ve \(y \in \mathbb{R}\) olsun. \(x \in \mathcal{O} + y\) ise \(x - y \in \mathcal{O}\)’dur; \((x - y - r, x - y + r) \subseteq \mathcal{O}\) olan bir \(r > 0\) vardır. Her noktaya \(y\) ekleyince \((x - r, x + r) \subseteq \mathcal{O} + y\) bulunur. Dolayısıyla \(\mathcal{O} + y\) açıktır.
Adım 2: Öteleme kapalılığı korur. \(x \mapsto x + y\) bire-bir ve örten olduğundan \[ \mathbb{R} \setminus (F + y) = (\mathbb{R} \setminus F) + y \] olur. \(F\) kapalıysa \(\mathbb{R} \setminus F\) açıktır, Adım 1 gereği sağ taraf açıktır; yani \(F + y\) kapalıdır.
Adım 3: Birleşimler. \(E = \bigcup_{n=1}^\infty F_n\) bir \(F_\sigma\) kümesi, her \(F_n\) kapalı olsun. Öteleme birleşimle yer değiştirir: \[ E + y = \bigcup_{n=1}^\infty (F_n + y). \] Adım 2 gereği her \(F_n + y\) kapalıdır; \(E + y\) kapalı kümelerin sayılabilir birleşimidir, yani bir \(F_\sigma\) kümesidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.3 (\(G_\delta\) Kümesinin Ötelemesi) Bir \(G_\delta\) kümesinin her ötelemesinin de bir \(G_\delta\) kümesi olduğunu gösterin.
Çözüm
\(G = \bigcap_{n=1}^\infty \mathcal{O}_n\) bir \(G_\delta\) kümesi, her \(\mathcal{O}_n\) açık ve \(y \in \mathbb{R}\) olsun.
Adım 1: Öteleme kesişimle yer değiştirir. \(x \in G + y\) ancak ve ancak \(x - y \in G\), yani her \(n\) için \(x - y \in \mathcal{O}_n\), yani her \(n\) için \(x \in \mathcal{O}_n + y\)’dir. Böylece \[ G + y = \bigcap_{n=1}^\infty (\mathcal{O}_n + y). \]
Adım 2: Ötelenmiş kümeler açıktır. \(x \in \mathcal{O}_n + y\) ise \(x - y \in \mathcal{O}_n\)’dir ve \((x - y - r, x - y + r) \subseteq \mathcal{O}_n\) olan bir \(r > 0\) vardır; buradan \((x - r, x + r) \subseteq \mathcal{O}_n + y\) çıkar. Her \(\mathcal{O}_n + y\) açıktır.
Dolayısıyla \(G + y\) açık kümelerin sayılabilir kesişimi, yani bir \(G_\delta\) kümesidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.4 (Sıfır Ölçülü Kümenin Ötelemesi) Ölçüsü sıfır olan bir kümenin her ötelemesinin de ölçüsünün sıfır olduğunu gösterin.
Çözüm
\(E\) ölçülebilir, \(m(E) = 0\) ve \(y \in \mathbb{R}\) olsun.
Adım 1: Dış ölçü. Dış ölçü ötelemeyle değişmez (Teorem 1.2); bu yüzden \[ m^*(E + y) = m^*(E) = m(E) = 0. \]
Adım 2: Ölçülebilirlik ve ölçü. Dış ölçüsü sıfır olan her küme ölçülebilirdir (Teorem 1.4); dolayısıyla \(E + y\) ölçülebilirdir. (Aynı sonuç Teorem 2.5’den de çıkar.) Lebesgue ölçüsünün tanımıyla (Tanım 2.8) \(m(E + y) = m^*(E + y) = 0\) olur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.5 (Pozitif Dış Ölçülü Sınırlı Alt Küme) \(m^*(E) > 0\) ise \(E\)’nin dış ölçüsü yine pozitif olan sınırlı bir alt kümesi bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Her \(n\) için \(E_n = E \cap [-n, n]\) diyelim. Her \(E_n\), \(E\)’nin sınırlı bir alt kümesidir.
Adım 1: \(E\) bu kümelerin birleşimidir. Her \(x \in \mathbb{R}\) için Arşimet özelliğiyle \(|x| \le n\) olan bir \(n\) vardır; dolayısıyla \[ E = \bigcup_{n=1}^\infty E_n. \]
Adım 2: Çelişki. Her \(n\) için \(m^*(E_n) = 0\) olduğunu varsayalım. Sayılabilir alt toplamsallıkla (Teorem 1.3) \[ m^*(E) \le \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n) = 0 \] olur; bu \(m^*(E) > 0\) ile çelişir.
O hâlde bir \(n\) için \(m^*(E_n) > 0\)’dır ve \(E_n = E \cap [-n, n]\) aranan sınırlı alt kümedir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.6 (Küçük Ölçülü Parçalara Ayırma) \(E\) ölçülebilir, \(m(E) < \infty\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(E\)’nin, her birinin ölçüsü en çok \(\varepsilon\) olan sonlu sayıda ölçülebilir kümenin ayrık birleşimi olduğunu gösterin.
Çözüm
Fikir şudur: \(E\)’nin sınırlı bir parçası kısa aralıklarla dilimlenir, geriye kalan “kuyruk” ise küçük ölçülüdür.
Adım 1: Halkalara bölme. Her \(k \ge 1\) için \[ D_k = E \cap \big([-k, -k+1) \cup [k-1, k)\big) \] diyelim. Aralıklar ölçülebilir (Teorem 2.3) ve \(\mathcal{M}\) bir σ-cebiri olduğundan (Teorem 2.4) her \(D_k\) ölçülebilirdir. \(D_k\)’ler ayrıktır, birleşimleri \(E\)’dir ve her \(n\) için \[ \bigcup_{k=1}^n D_k = E \cap [-n, n), \qquad \bigcup_{k=n+1}^\infty D_k = E \setminus [-n, n). \]
Adım 2: Kuyruk küçüktür. Sonlu toplamsallık (Lemma 2.1) ve monotonlukla her \(n\) için \[ \sum_{k=1}^n m(D_k) = m\big(E \cap [-n, n)\big) \le m(E) < \infty. \] Kısmi toplamları sınırlı, terimleri negatif olmayan \(\sum_k m(D_k)\) serisi yakınsaktır; dolayısıyla kalanı sıfıra gider. \(\sum_{k > n} m(D_k) < \varepsilon\) olacak bir \(n\) seçelim. Sayılabilir alt toplamsallıkla (Teorem 1.3) \[ m\big(E \setminus [-n, n)\big) \le \sum_{k=n+1}^\infty m(D_k) < \varepsilon. \]
Adım 3: Sınırlı parçayı dilimleme. \(N\), \(N\varepsilon \ge 2n\) olan bir doğal sayı olsun ve \(i = 0, 1, \dots, N-1\) için \[ J_i = [-n + i\varepsilon,\, -n + (i+1)\varepsilon) \cap [-n, n) \] diyelim. \(J_i\)’ler ayrık aralıklardır, birleşimleri \([-n, n)\)’dir ve \(\ell(J_i) \le \varepsilon\)’dur. \(G_i = E \cap J_i\) ölçülebilirdir. Monotonlukla \(m(G_i) \le m(J_i)\)’dir ve aralığın ölçüsü uzunluğuna eşit olduğundan (Teorem 1.1) \(m(J_i) = \ell(J_i)\) olur: \[ m(G_i) \le m(J_i) = \ell(J_i) \le \varepsilon. \]
Adım 4: Sonuç. \(E\), ayrık ve ölçülebilir \[ G_0, G_1, \dots, G_{N-1}, \quad E \setminus [-n, n) \] kümelerinin birleşimidir. Toplam \(N + 1\) küme vardır ve her birinin ölçüsü en çok \(\varepsilon\)’dur.
\(\blacksquare\)
Ölçülebilir kümelerin topluluğunun sayılabilir işlemlere kapalı olduğunu ve Lebesgue ölçüsünü tanımladık. Sıradaki bölüm İç ve Dış Yaklaşım, ölçülebilir kümelerin açık, kapalı, \(G_\delta\) ve \(F_\sigma\) kümeleriyle ne kadar iyi yaklaşılabildiğini inceliyor.