9 Littlewood, Egoroff ve Lusin Teoremleri

Ölçülebilir kümeler ve fonksiyonlar ilk bakışta çok genel, hatta vahşi nesneler gibi görünür. Littlewood bu genelliğin sanıldığı kadar korkutucu olmadığını üç ilkeyle özetler (Littlewood’s three principles):

her ölçülebilir küme neredeyse sonlu sayıda aralığın birleşimidir;
her ölçülebilir fonksiyon neredeyse süreklidir;
ölçülebilir fonksiyonların noktasal yakınsak her dizisi neredeyse düzgün yakınsaktır.

Buradaki “neredeyse”, “ölçüsü istenildiği kadar küçük bir küme dışında” demektir. Birinci ilkenin kesin biçimini zaten kanıtladık: sonlu ölçülü \(E\) ve \(\varepsilon > 0\) için açık aralıkların sonlu, ayrık bir birleşimi \(\mathcal{U}\) vardır ki \(m(E \setminus \mathcal{U}) + m(\mathcal{U} \setminus E) < \varepsilon\) olur (Teorem 3.3). Bu bölümde üçüncü ilkeyi Egoroff teoremi, ikincisini Lusin teoremi olarak kanıtlıyoruz.

9.1 Egoroff Teoremi

Noktasal yakınsaklık düzgün olmayabilir; ama sonlu ölçülü bir kümede bozulma, ölçüsü küçük bir parçada toplanır. Anahtar adım, tek bir hata payı \(\eta\) için bu parçayı bulmaktır. Aşağıda \(\{f_n\}\) dizisinin \(f\)’ye \(E\) üzerinde düzgün yakınsaması, \(\sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| \to 0\) demektir.

Lemma 9.1 (Tek Hata Payı İçin Egoroff) \(m(E) < \infty\) olsun ve \(\{f_n \colon E \to \mathbb{R}\}\) ölçülebilir fonksiyonlar dizisi \(E\) üzerinde noktasal olarak \(f \colon E \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna yakınsasın. Her \(\eta > 0\) ve \(\delta > 0\) için \[ A \subseteq E, \qquad m(E \setminus A) < \delta \] ve her \(n \ge N\) için \(A\) üzerinde \(|f_n - f| < \eta\) olacak biçimde ölçülebilir bir \(A\) kümesi ve bir \(N\) indisi vardır.

İspat

Adım 1: İyi noktalar kümeleri. \(f\) ölçülebilir fonksiyonların noktasal limiti olduğundan ölçülebilirdir (Teorem 8.1). \(f - f_k\) ölçülebilir (Teorem 7.4) ve \[ \{x \in E : |f(x) - f_k(x)| < \eta\} = \{f - f_k < \eta\} \cap \{f - f_k > -\eta\} \] olduğundan (Teorem 7.1) her \(k\) için \(\{x \in E : |f(x) - f_k(x)| < \eta\}\) ölçülebilirdir. Ölçülebilir kümeler bir σ-cebiri olduğundan (Teorem 2.4) \[ E_n = \{x \in E : \text{her } k \ge n \text{ için } |f(x) - f_k(x)| < \eta\} \] kümesi, sayılabilir bir kesişim olarak ölçülebilirdir.

Adım 2: Artan birleşim. Tanımdan \(E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots\) dir. Her \(x \in E\) için \(f_k(x) \to f(x)\) olduğundan bir \(n\)’den sonra \(|f(x) - f_k(x)| < \eta\) olur; yani \(x \in E_n\). Böylece \(E = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\) dir ve ölçünün sürekliliğinden (Teorem 4.3) \[ m(E) = \lim_{n \to \infty} m(E_n) \] elde edilir.

Adım 3: İndisin seçimi. \(m(E)\) sonlu olduğundan \(m(E_N) > m(E) - \delta\) olan bir \(N\) vardır. \(A = E_N\) alalım. \(A \subseteq E\) ve \(m(A) < \infty\) olduğundan çıkarma özelliği (Önerme 2.5) \[ m(E \setminus A) = m(E) - m(E_N) < \delta \] verir. \(A = E_N\)’nin tanımı gereği \(A\) üzerinde her \(n \ge N\) için \(|f_n - f| < \eta\) dır.

\(\blacksquare\)

Şimdi hata paylarını \(\eta = 1/n\) diye küçültüp elde edilen kümeleri kesiştiriyoruz; ölçü kayıplarını \(\varepsilon/2^{n+1}\) ile sınırlayınca toplam kayıp küçük kalır.

Teorem 9.1 (Egoroff Teoremi) \(m(E) < \infty\) olsun ve \(\{f_n \colon E \to \mathbb{R}\}\) ölçülebilir fonksiyonlar dizisi \(E\) üzerinde noktasal olarak \(f \colon E \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna yakınsasın. Her \(\varepsilon > 0\) için \[ F \subseteq E, \qquad m(E \setminus F) < \varepsilon, \qquad F \text{ üzerinde } f_n \to f \text{ düzgün} \] olacak biçimde kapalı bir \(F\) kümesi vardır.

İspat

Adım 1: Her \(n\) için bir iyi küme. Lemma 9.1’yı \(\eta = 1/n\) ve \(\delta = \varepsilon/2^{n+1}\) ile uygulayalım. Ölçülebilir bir \(A_n \subseteq E\) ve bir \(N(n)\) indisi vardır ki \[ m(E \setminus A_n) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} \tag{1} \] ve \(A_n\) üzerinde \[ |f_k - f| < \frac{1}{n} \quad (k \ge N(n)) \tag{2} \] olur.

Adım 2: Kesişimin ölçüsü. \(A = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\) ölçülebilirdir ve \(E \setminus A = \bigcup_{n=1}^\infty (E \setminus A_n)\) dir. Sayılabilir alt toplamsallık (Teorem 1.3) ve (1) ile \[ m(E \setminus A) \le \sum_{n=1}^\infty m(E \setminus A_n) < \sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \frac{\varepsilon}{2}. \]

Adım 3: \(A\) üzerinde düzgün yakınsaklık. \(\eta > 0\) verilsin ve \(1/n_0 < \eta\) olan bir \(n_0\) seçelim. \(A \subseteq A_{n_0}\) olduğundan (2)’ye göre \(k \ge N(n_0)\) iken \(A\)’nın her noktasında \(|f_k - f| < 1/n_0 < \eta\) dır. \(N(n_0)\) noktadan bağımsız olduğundan yakınsaklık \(A\) üzerinde düzgündür.

Adım 4: Kapalı bir alt küme. Lebesgue ölçüsünün düzenliliğine (Teorem 3.1) göre \(m(A \setminus F) < \varepsilon/2\) olan kapalı bir \(F \subseteq A\) vardır. \(E \setminus F\), ayrık \(E \setminus A\) ve \(A \setminus F\) kümelerinin birleşimi olduğundan \[ m(E \setminus F) = m(E \setminus A) + m(A \setminus F) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \] olur. \(F \subseteq A\) olduğundan yakınsaklık \(F\) üzerinde de düzgündür.

\(\blacksquare\)

Yani sonlu ölçülü bir kümede noktasal yakınsaklık, ölçüsü istenildiği kadar küçük bir kümeyi atınca düzgün yakınsaklığa dönüşür. \(m(E) < \infty\) koşulu atılamaz; bunu alıştırmalarda göreceğiz.

Örnek 9.1 (Kuvvet Dizisinde Egoroff) \(E = [0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x^n\) dizisinin noktasal limitini bulun, yakınsaklığın \([0, 1]\) üzerinde düzgün olmadığını gösterin ve her \(0 < \varepsilon < 1\) için Egoroff teoremindeki \(F\) kümesini açıkça yazın.

Çözüm

Limit. \(0 \le x < 1\) için \(x^n \to 0\), \(x = 1\) için \(x^n = 1\) dir. Limit \(f = \chi_{\{1\}}\) dir.

Düzgün değil. Her \(n\) için \(\sup_{0 \le x < 1} |x^n - 0| = 1\) dir, çünkü \(x \to 1^-\) iken \(x^n \to 1\). Dolayısıyla \(\sup_{[0,1]} |f_n - f|\) sıfıra gitmez.

Kapalı küme. \(F = [0, 1 - \varepsilon/2]\) kapalıdır ve \(m(E \setminus F) = \varepsilon/2 < \varepsilon\) dur. \(F\) üzerinde \(f = 0\) ve \[ \sup_{x \in F} |f_n(x) - f(x)| = \Big(1 - \frac{\varepsilon}{2}\Big)^n \longrightarrow 0 \] olduğundan yakınsaklık \(F\) üzerinde düzgündür. Bozulma \(1\) noktasının hemen solunda toplanmıştır ve oradan küçük bir aralık atmak yeter.

n = 1, 2, 4, 8, 16 için xⁿ grafikleri (yukarıdan aşağıya; ε = 0,2). F = [0, 1 − ε/2] üzerinde fark en çok (1 − ε/2)ⁿ olur (işaretli noktalar) ve sıfıra gider; düzgünlüğü bozan davranış, atılan dar (1 − ε/2, 1] şeridinde toplanmıştır.

\(\blacksquare\)

9.2 Lusin Teoremi

İkinci ilkeyi kanıtlamadan önce kapalı bir küme üzerinde sürekli olan bir fonksiyonu bütün doğruya sürekli olarak genişletmemiz gerekiyor. Fikir basittir: \(F\)’nin tümleyeni ayrık açık aralıklara ayrılır ve her boşluğu doğru parçasıyla doldururuz.

Lemma 9.2 (Kapalı Kümeden Sürekli Genişleme) \(F\), \(\mathbb{R}\)’nin kapalı bir alt kümesi ve \(f \colon F \to \mathbb{R}\) sürekli ise \(f\)’nin sürekli bir \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) genişlemesi vardır; yani \(g\) süreklidir ve \(F\) üzerinde \(g = f\) dir.

İspat

\(F = \varnothing\) ise \(g \equiv 0\) alınır; \(F = \mathbb{R}\) ise \(g = f\) dir. Bundan sonra \(F\) ile tümleyeni boş değil.

Adım 1: Boşluklar. \(\mathbb{R} \setminus F\) açık olduğundan açık aralıklardan oluşan sayılabilir, ayrık bir \(\{I_n\}\) topluluğunun birleşimidir (Lemma 2.3). \(I_n\)’nin sonlu bir uç noktası \(F\)’ye aittir: o nokta \(\mathbb{R} \setminus F\)’de olsaydı bir \(I_m\) aralığında bulunurdu; uç nokta \(I_n\)’ye ait olmadığından \(m \ne n\) dir. Açık \(I_m\), bu noktanın yakınındaki \(I_n\) noktalarını da içerir; bu ayrıklıkla çelişir.

Adım 2: Genişlemenin tanımı. \(F\) üzerinde \(g = f\) alalım. \(I_n = (a_n, b_n)\) sınırlıysa \([a_n, b_n]\) üzerinde \(g\)’yi uç değerleri birleştiren doğru parçası olarak tanımlayalım: \[ g(x) = f(a_n) + \frac{x - a_n}{b_n - a_n}\,\big(f(b_n) - f(a_n)\big). \] \(I_n\) sınırsızsa (\(F \ne \varnothing\) olduğundan) tam bir sonlu uç noktası vardır; \(g\)’yi \(I_n\) üzerinde \(f\)’nin o uç noktadaki değerine eşit sabit alalım. Aralıklar ayrık olduğundan \(g\) iyi tanımlıdır.

Adım 3: Tümleyende süreklilik. \(x \in \mathbb{R} \setminus F\) ise \(x\) açık bir \(I_n\) aralığındadır ve \(g\) orada doğrusal ya da sabittir; dolayısıyla \(x\)’te süreklidir.

Adım 4: \(F\)’de sağdan süreklilik. \(x \in F\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. İki durum var.

\(x\) bir \(I_n\)’nin sol uç noktasıysa \(g\), \(x\)’in sağındaki bir aralıkta doğrusal ya da sabittir ve \(g(x) = f(x)\) olduğundan \(x\)’te sağdan süreklidir.
Değilse her \(h > 0\) için \((x, x + h)\) aralığı \(F\)’nin bir noktasını içerir. (İçermeseydi \((x, x + h)\) bir \(I_n\)’nin içinde kalırdı ve \(x \in F\) olduğundan \(x\) o \(I_n\)’nin sol ucu olurdu.) \(f\)’nin \(F\) üzerindeki sürekliliğinden, \(y \in F\) ve \(|y - x| < \rho\) iken \(|f(y) - f(x)| < \varepsilon\) olan bir \(\rho > 0\) vardır. \(y_0 \in F \cap (x, x + \rho)\) seçelim. \(t \in (x, y_0)\) olsun. \(t \in F\) ise \(|t - x| < y_0 - x < \rho\) olduğundan \(|g(t) - f(x)| = |f(t) - f(x)| < \varepsilon\) dur. \(t \notin F\) ise \(t\) bir \((a_n, b_n)\) aralığındadır; \(x\) ile \(y_0\) \(F\)’de olduğundan bu aralık \((x, y_0)\)’ın içindedir ve \(a_n, b_n \in F \cap [x, y_0]\) olur. \(g(t)\), \(f(a_n)\) ile \(f(b_n)\)’nin bir ağırlıklı ortalamasıdır ve ikisi de \(f(x)\)’e \(\varepsilon\)’dan yakındır; öyleyse \(|g(t) - f(x)| < \varepsilon\) dur. Böylece \(0 < t - x < y_0 - x\) iken \(|g(t) - g(x)| < \varepsilon\) olur.

Her iki durumda \(g\), \(x\)’te sağdan süreklidir. Soldan süreklilik simetrik olarak gösterilir; böylece \(g\) her yerde süreklidir.

\(\blacksquare\)

Boşlukları doğru parçasıyla doldurmak önemlidir: \(g(t)\) uç değerlerin arasında kaldığı için, \(F\)’nin birikim noktalarında sonsuz sayıda küçülen boşluk olsa bile değerler kontrol altında kalır.

Örnek 9.2 (İki Aralıktan Sürekli Genişleme) \(F = [0, 1] \cup [2, 3]\) üzerinde \([0,1]\)’de \(f = 0\), \([2,3]\)’te \(f = 1\) ile tanımlı fonksiyonun, lemmadaki yöntemle kurulan sürekli genişlemesini yazın.

Çözüm

\(f\), \(F\) üzerinde süreklidir, çünkü \(F\)’nin iki parçası arasında pozitif uzaklık vardır ve her parçada \(f\) sabittir. \(\mathbb{R} \setminus F\) kümesi \((-\infty, 0)\), \((1, 2)\) ve \((3, \infty)\) aralıklarının birleşimidir.

\((-\infty, 0)\) sınırsızdır, sonlu ucu \(0\): \(g = f(0) = 0\).
\((1, 2)\) sınırlıdır: uçlarda \(f(1) = 0\), \(f(2) = 1\) olduğundan doğru parçası \(g(x) = x - 1\) dir.
\((3, \infty)\) sınırsızdır, sonlu ucu \(3\): \(g = f(3) = 1\).

Sonuç olarak \[ g(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1, \\ x - 1, & 1 < x < 2, \\ 1, & x \ge 2 \end{cases} \] sürekli bir genişlemedir.

F = [0, 1] ∪ [2, 3] üzerinde tanımlı f (kalın) ve sürekli genişlemesi g (kesikli). Sınırsız boşluklarda g en yakın uçtaki değerde sabit kalır; (1, 2) boşluğunda uç değerleri birleştiren doğru parçasıdır.

\(\blacksquare\)

Şimdi ikinci ilkenin kesin biçimini verebiliriz. Bu teoremde \(m(E) < \infty\) gerekmez.

Teorem 9.2 (Lusin Teoremi) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için sürekli bir \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonu ve \(\mathbb{R}\)’nin kapalı bir \(F\) alt kümesi vardır ki \[ F \subseteq E, \qquad m(E \setminus F) < \varepsilon, \qquad F \text{ üzerinde } f = g \] olur.

İspat

Adım 1: Kapalı iç yaklaşımlar. Uç noktaları rasyonel olan açık aralıklar, rasyonel sayı çiftleriyle eşlendiğinden sayılabilir çokluktadır; bunları \(\{I_n\}_{n=1}^\infty\) diye numaralayalım. \(f\) ölçülebilir olduğundan her aralığın ters görüntüsü ölçülebilirdir (Teorem 7.1); dolayısıyla \(f^{-1}(I_n)\) ve \(E \setminus f^{-1}(I_n)\) ölçülebilirdir. Lebesgue ölçüsünün düzenliliğine (Teorem 3.1) göre her \(n\) için \[ F_n \subseteq f^{-1}(I_n), \qquad H_n \subseteq E \setminus f^{-1}(I_n) \] olan kapalı \(F_n\), \(H_n\) kümeleri vardır ki \[ m\big(f^{-1}(I_n) \setminus F_n\big) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, \qquad m\big((E \setminus f^{-1}(I_n)) \setminus H_n\big) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} \] olur.

Adım 2: Kapalı küme ve ölçüsü. \(F = \bigcap_{n=1}^\infty (F_n \cup H_n)\) tanımlayalım. \(F\) kapalı kümelerin kesişimi olarak kapalıdır ve \(F_n \cup H_n \subseteq E\) olduğundan \(F \subseteq E\) dir. \(E\)’nin \(F_n \cup H_n\)’de olmayan bir noktası ya \(f^{-1}(I_n) \setminus F_n\)’dedir ya da \((E \setminus f^{-1}(I_n)) \setminus H_n\)’dedir; bu yüzden \[ m\big(E \setminus (F_n \cup H_n)\big) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \frac{\varepsilon}{2^n}. \] \(E \setminus F = \bigcup_{n} \big[E \setminus (F_n \cup H_n)\big]\) olduğundan sayılabilir alt toplamsallık (Teorem 1.3) \[ m(E \setminus F) < \sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon \] verir.

Adım 3: \(f\)’nin \(F\)’ye kısıtlanışı sürekli. \(x \in F\) ve \(f(x)\)’i içeren bir açık \(I\) aralığı verilsin. \(f(\mathcal{O} \cap F) \subseteq I\) olan açık bir \(\mathcal{O} \ni x\) bulmak yeter (\(I = (f(x) - \varepsilon', f(x) + \varepsilon')\) alınınca bu, \(\varepsilon'\)–\(\delta\) sürekliliğidir). Rasyonel sayılar yoğun olduğundan \(f(x) \in I_k \subseteq I\) olan bir \(k\) vardır. \(H_k \cap f^{-1}(I_k) = \varnothing\) ve \(f(x) \in I_k\) olduğundan \(x \notin H_k\) dır; \(H_k\) kapalı olduğundan \(\mathcal{O} = \mathbb{R} \setminus H_k\) açık ve \(x\)’i içerir. \(F \subseteq F_k \cup H_k\) olduğundan \[ \mathcal{O} \cap F \subseteq (\mathbb{R} \setminus H_k) \cap (F_k \cup H_k) \subseteq F_k, \] dolayısıyla \(f(\mathcal{O} \cap F) \subseteq f(F_k) \subseteq I_k \subseteq I\) dır.

Adım 4: Genişletme. Lemma 9.2’ya göre \(f|_F\)’nin sürekli bir \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) genişlemesi vardır (\(F = \varnothing\) ise \(g \equiv 0\)). \(F\) üzerinde \(f = g\) dir.

\(\blacksquare\)

Yani ölçülebilir bir fonksiyon, ölçüsü küçük bir küme atıldıktan sonra sürekli bir fonksiyonla çakışır. Bu, \(f\)’nin \(F\)’nin noktalarında \(E\) üzerinde sürekli olduğunu söylemez; söylenen yalnız \(f|_F\)’nin sürekli olduğudur.

Lusin teoremini \(\varepsilon = 2^{-n}\) ile tekrar tekrar uygulayıp Borel–Cantelli lemmasını kullanınca ölçülebilir fonksiyonun sürekli fonksiyonların hemen her yerde limiti olduğu çıkar.

Sonuç 9.1 (Sürekli Fonksiyonlarla Yaklaşım) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir ise sürekli fonksiyonlardan oluşan ve \(E\) üzerinde hemen her yerde \(f\)’ye noktasal yakınsayan bir \(\{f_n \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}\) dizisi vardır.

İspat

Adım 1: Lusin ile dizi. Her \(n\) için Lusin teoremini (Teorem 9.2) \(\varepsilon = 1/2^n\) ile uygulayalım: sürekli bir \(f_n \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ve kapalı \(F_n \subseteq E\) vardır ki \(m(E \setminus F_n) < 1/2^n\) ve \(F_n\) üzerinde \(f_n = f\) dir. Böylece \[ \{x \in E : f_n(x) \ne f(x)\} \subseteq E \setminus F_n. \]

Adım 2: Borel–Cantelli. \(\sum_{n} m(E \setminus F_n) < \sum_n 1/2^n = 1\) dir. Borel–Cantelli lemmasına (Lemma 4.1) göre hemen her \(x \in E\), \(E \setminus F_n\) kümelerinin yalnız sonlu tanesine aittir. Böyle bir \(x\) için bir \(n\) vardır ki her \(k \ge n\) için \(x \in F_k\), yani \(f_k(x) = f(x)\) olur. Özellikle \(f_k(x) \to f(x)\) dir.

\(\blacksquare\)

Yani ölçülebilir fonksiyonlar, sürekli fonksiyonların hemen her yerde (Tanım 4.2) noktasal limitleri olarak yakalanabilir; hatta hemen her noktada dizi bir yerden sonra \(f(x)\)’e eşit olur.

9.3 Alıştırmalar

Aşağıdaki sorular, teoremlerdeki varsayımların neden gerektiğini ve sonuçların nasıl genişletilebileceğini sınıyor.

Alıştırma 9.1 (Genişlemenin Sürekliliği) Lemma 9.2’nın ispatında kurulan \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun sürekli olduğunu ayrıntılı olarak doğrulayın.

Çözüm

\(F\) kapalı, \(f \colon F \to \mathbb{R}\) sürekli, \(\mathbb{R} \setminus F = \bigcup_n I_n\) ayrık açık aralıklar olsun. \(g\), \(F\) üzerinde \(f\)’ye eşit; sınırlı \(I_n = (a_n, b_n)\) üzerinde uç değerleri birleştiren doğru parçası; sınırsız \(I_n\) üzerinde sonlu uçtaki değere eşit sabittir. Sonlu uç noktalar \(F\)’dedir. (\(F = \varnothing\) ya da \(F = \mathbb{R}\) durumları apaçıktır.)

Adım 1: Tümleyenin noktaları. \(x \notin F\) ise \(x\) açık bir \(I_n\) aralığındadır. \(I_n\) üzerinde \(g\) doğrusal ya da sabittir ve \(I_n\), \(x\)’in bir komşuluğudur; bu yüzden \(g\), \(x\)’te süreklidir.

Adım 3: \(F\)’nin noktalarında sağdan süreklilik. \(x \in F\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(f\)’nin sürekliliğinden, \(y \in F\), \(|y - x| < \rho\) iken \(|f(y) - f(x)| < \varepsilon\) olan bir \(\rho > 0\) vardır.

Durum 1: \(x\) bir \(I_n\)’nin sol ucu. \(I_n = (x, b_n)\) sınırlıysa \(g\), \([x, b_n]\) üzerinde doğrusal ve \(g(x) = f(x)\) olduğundan \(x\)’te sağdan süreklidir. \(I_n = (x, \infty)\) ise \(g\), \([x, \infty)\) üzerinde \(f(x)\)’e eşit sabittir.
Durum 2: \(x\) hiçbir \(I_n\)’nin sol ucu değil. O zaman her \(h > 0\) için \((x, x + h) \cap F \ne \varnothing\) dir. Aksi hâlde bağlantılı \((x, x + h)\) kümesi \(\mathbb{R} \setminus F\)’nin bir bileşeninde, yani bir \(I_n = (a_n, b_n)\) içinde kalırdı; \(a_n \le x\) ve \(x \in F\), \(x \notin I_n\) olduğundan \(a_n = x\) olurdu. Şimdi \(y_0 \in F \cap (x, x + \rho)\) seçelim ve \(\delta = y_0 - x\) diyelim. \(x < t < y_0\) olsun. \(t \in F\) ise \(|g(t) - g(x)| = |f(t) - f(x)| < \varepsilon\) dur. \(t \notin F\) ise \(t \in I_n\) için bir \(n\) vardır; \(x, y_0 \in F\) ve \(I_n \cap F = \varnothing\) olduğundan \(I_n = (a_n, b_n) \subseteq (x, y_0)\), dolayısıyla \(a_n, b_n \in F \cap [x, y_0]\) ve \(|a_n - x|, |b_n - x| < \rho\) dur. \(|f(a_n) - f(x)| < \varepsilon\), \(|f(b_n) - f(x)| < \varepsilon\) olduğundan Adım 2 \(|g(t) - g(x)| < \varepsilon\) verir.

İki durumda da \(g\), \(x\)’te sağdan süreklidir.

Adım 4: Soldan süreklilik. Aynı akıl yürütme “sol uç” yerine “sağ uç” ve \((x, x + h)\) yerine \((x - h, x)\) alınarak aynen yapılır. Sağdan ve soldan sürekli olan \(g\), \(x\)’te süreklidir.

Sonuç olarak \(g\) her noktada süreklidir. Doğru parçası seçimi Adım 2 için gereklidir: boşluklara uç değerleri tutan herhangi bir sürekli fonksiyon konsaydı, örneğin \(F = \{0\} \cup \{1/k : k \ge 1\}\) ve \(f \equiv 0\) için her \((1/(k+1), 1/k)\) boşluğuna yüksekliği \(1\) olan bir tümsek konulursa, genişleme \(0\) noktasında sürekli olmazdı.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 9.2 (Lusin Kümesine Kısıtlanış) Lusin teoremindeki \(f \colon E \to \mathbb{R}\) fonksiyonu ve \(F\) kümesi için \(f|_F\)’nin sürekli olduğunu gösterin.

Çözüm

Lusin teoremine (Teorem 9.2) göre \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) süreklidir ve \(F\) üzerinde \(f = g\) dir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 9.3 (Süreklilik Noktası Olmayabilir) Ölçülebilir bir \(f \colon E \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun \(E\) üzerinde sürekli olduğu en az bir nokta bulunmak zorunda mıdır?

Çözüm

Hayır. \(E = \mathbb{R}\) ve \(f = \chi_{\mathbb{Q}}\) alalım.

Ölçülebilirlik. \(\mathbb{Q}\) sayılabilir olduğundan dış ölçüsü sıfırdır, dolayısıyla ölçülebilirdir (Teorem 1.4). Ölçülebilir bir kümenin karakteristik fonksiyonu ölçülebilirdir: her \(c\) için \(\{f > c\}\) kümesi \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\) ya da \(\varnothing\)’dir.

Hiçbir yerde sürekli değil. \(x \in \mathbb{R}\) ve \(\delta > 0\) olsun. \((x - \delta, x + \delta)\) aralığı hem rasyonel hem irrasyonel sayı içerir; bu yüzden bu aralıkta \(f\) hem \(0\) hem \(1\) değerini alır ve \(|f(y) - f(x)| = 1\) olan bir \(y\) vardır. \(\varepsilon = 1/2\) için hiçbir \(\delta\) işe yaramaz; \(f\), \(x\)’te sürekli değildir.

Öyleyse ölçülebilir bir fonksiyonun hiçbir süreklilik noktası olmayabilir. Lusin teoremi bununla çelişmez: \(f|_F\)’nin sürekli olması, \(f\)’nin \(F\)’nin noktalarında bütün \(E\) üzerinde sürekli olması demek değildir. Bu örnekte \(F\) irrasyonellerin içinde kalan bir kapalı küme seçilebilir ve \(f|_F \equiv 0\) olur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 9.4 (Sonsuz Ölçülü Kümede Egoroff) Tanım kümesinin sonlu ölçülü olduğu varsayımı atılırsa Egoroff teoreminin sonucunun geçerli olmayabileceğini gösterin.

Çözüm

\(E = \mathbb{R}\) ve \(f_n = \chi_{[n, \infty)}\) alalım.

Noktasal yakınsaklık. Her \(f_n\) ölçülebilir bir kümenin karakteristik fonksiyonu olarak ölçülebilirdir. \(x \in \mathbb{R}\) sabit olsun; \(n > x\) için \(x \notin [n, \infty)\), yani \(f_n(x) = 0\) dır. Dolayısıyla \(\mathbb{R}\) üzerinde noktasal olarak \(f_n \to f \equiv 0\) dır.

Egoroff’un sonucu bozulur. \(\varepsilon = 1\) alalım ve ölçülebilir bir \(F \subseteq \mathbb{R}\) için \(m(\mathbb{R} \setminus F) < 1\) olduğunu varsayalım. Her \(n\) için \(m([n, \infty)) = \infty\) olduğundan \([n, \infty) \not\subseteq \mathbb{R} \setminus F\) dir (aksi hâlde monotonluktan \(m(\mathbb{R} \setminus F) = \infty\) olurdu). Öyleyse bir \(x_n \in F \cap [n, \infty)\) vardır ve \(f_n(x_n) = 1\) dir. Buna göre her \(n\) için \[ \sup_{x \in F} |f_n(x) - 0| = 1 \] olur; yakınsaklık \(F\) üzerinde düzgün değildir.

Yani \(m(\mathbb{R} \setminus F) < 1\) olan hiçbir (kapalı ya da değil) \(F\) üzerinde düzgün yakınsaklık yoktur ve \(m(E) < \infty\) varsayımı atılamaz.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 9.5 (Hemen Her Yerde Yakınsaklıkla Egoroff) \(m(E) < \infty\) olsun. \(f\) ve her \(f_n\), \(E\) üzerinde hemen her yerde sonlu, ölçülebilir, genişletilmiş reel değerli fonksiyonlar olsun ve \(E\) üzerinde hemen her yerde \(f_n \to f\) olsun. Egoroff teoreminin sonucunun yine geçerli olduğunu gösterin.

Çözüm

Fikir: kötü noktaları sıfır ölçülü bir küme içine toplayıp atmak ve kalan kümede Egoroff teoremini uygulamak.

Adım 1: Kötü noktalar. Varsayıma göre sıfır ölçülü \(Z\), \(Z_1, Z_2, \dots\) ve \(Z'\) kümeleri vardır ki \(E \setminus Z\) üzerinde \(f\) sonlu, \(E \setminus Z_n\) üzerinde \(f_n\) sonlu ve \(E \setminus Z'\) üzerinde \(f_n \to f\) dir (Tanım 4.2). \(E_0 = E \cap \big(Z \cup Z' \cup \bigcup_n Z_n\big)\) olsun. Sayılabilir alt toplamsallıktan (Teorem 1.3) \(m^*(E_0) = 0\) dır, dolayısıyla \(E_0\) ölçülebilirdir (Teorem 1.4).

Adım 2: İyi küme. \(E' = E \setminus E_0\) ölçülebilirdir ve \(m(E') \le m(E) < \infty\) dur. \(E'\) üzerinde \(f\) ve her \(f_n\) reel değerlidir ve \(f_n \to f\) noktasal yakınsaktır. Ölçülebilir bir fonksiyonun ölçülebilir bir alt kümeye kısıtlanışı ölçülebilir olduğundan \(f_n|_{E'}\) ve \(f|_{E'}\) ölçülebilirdir.

Adım 3: Egoroff’un uygulanması. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Egoroff teoremi (Teorem 9.1) \(E'\) üzerinde kapalı bir \(F \subseteq E'\) verir: \(m(E' \setminus F) < \varepsilon\) ve \(F\) üzerinde \(f_n \to f\) düzgündür.

Adım 4: Ölçü hesabı. \(F \subseteq E\) dir ve \(E \setminus F\), ayrık \(E_0\) ile \(E' \setminus F\) kümelerinin birleşimidir. Böylece \[ m(E \setminus F) = m(E_0) + m(E' \setminus F) < 0 + \varepsilon = \varepsilon. \] Egoroff teoreminin sonucu aynen geçerlidir.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 9.6 (Düzgün Yakınsaklık Parçalarına Ayrışım) \(\{f_n \colon E \to \mathbb{R}\}\) ölçülebilir fonksiyonlar dizisi \(E\) üzerinde noktasal olarak \(f \colon E \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna yakınsasın (\(m(E) = \infty\) olabilir). \(E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k\) olacak biçimde ölçülebilir \(E_k\) kümeleri bulunduğunu gösterin: \(m(E_1) = 0\) ve her \(k > 1\) için \(f_n \to f\) yakınsaklığı \(E_k\) üzerinde düzgündür.

Çözüm

Egoroff teoremi sonlu ölçü ister; bu yüzden \(E\)’yi sonlu ölçülü parçalara bölüp her parçada teoremi sonsuz kez uygulayacağız.

Adım 1: Sonlu ölçülü parçalar. Her \(p \in \mathbb{N}\) için \(D_p = E \cap [-p, p]\) ölçülebilirdir ve \(m(D_p) \le 2p < \infty\) dur. \(D_p\) üzerinde \(f_n \to f\) noktasaldır.

Adım 2: Egoroff kümeleri. Her \(p, j \in \mathbb{N}\) için Egoroff teoremini (Teorem 9.1) \(D_p\) üzerinde \(\varepsilon = 1/j\) ile uygulayalım: kapalı bir \(F_{p,j} \subseteq D_p\) vardır ki \[ m(D_p \setminus F_{p,j}) < \frac{1}{j} \] ve \(F_{p,j}\) üzerinde \(f_n \to f\) düzgündür.

Adım 3: Artık küme sıfır ölçülü. \(G = \bigcup_{p,j} F_{p,j}\) ve \(E_1 = E \setminus G\) olsun; \(E_1\) ölçülebilirdir. Her \(p\) ve her \(j\) için \(D_p \setminus G \subseteq D_p \setminus F_{p,j}\) olduğundan \(m(D_p \setminus G) < 1/j\), yani \(m(D_p \setminus G) = 0\) dır. \(E = \bigcup_p D_p\) olduğundan \(E_1 = \bigcup_p (D_p \setminus G)\) ve sayılabilir alt toplamsallıktan \(m(E_1) = 0\) dır.

Adım 4: Numaralama. \(\{(p, j) : p, j \in \mathbb{N}\}\) sayılabilir olduğundan \(F_{p,j}\) kümelerini \(E_2, E_3, \dots\) biçiminde sıralayabiliriz. Bu kümeler kapalı, dolayısıyla ölçülebilirdir ve her birinde yakınsaklık düzgündür. Son olarak \[ E = E_1 \cup G = \bigcup_{k=1}^\infty E_k \] olur.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 9.7 (Düzgün Sınırlı Sürekli Yaklaşım) Sonuç 9.1’da \(f\) sınırlıysa \(\{f_n\}\) dizisinin düzgün sınırlı seçilebileceğini, yani her \(n\) ve her \(x\) için \(|f_n(x)| \le M\) olan bir \(M\) bulunabileceğini gösterin.

Çözüm

Fikir: sonuçtaki diziyi \([-M, M]\) aralığına “kırpmak”.

Adım 1: Kırpma fonksiyonu. \(E\) üzerinde \(|f| \le M\) olsun ve \[ \varphi(t) = \max\{-M, \min\{t, M\}\} \] tanımlayalım: \(|t| \le M\) iken \(\varphi(t) = t\), \(t > M\) iken \(M\), \(t < -M\) iken \(-M\) dir. \(\varphi\) süreklidir; hatta her \(s, t\) için \(|\varphi(s) - \varphi(t)| \le |s - t|\) dir, çünkü \(\varphi\) eğimi \(0\) ya da \(1\) olan parçalardan oluşan azalmayan bir fonksiyondur. Ayrıca \(|\varphi| \le M\) dir.

Adım 2: Yeni dizi. Sonuç 9.1’daki sürekli \(f_n \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dizisini alalım ve \(h_n = \varphi \circ f_n\) tanımlayalım. Sürekli fonksiyonların bileşkesi olarak her \(h_n\) süreklidir ve her \(n\), \(x\) için \(|h_n(x)| \le M\) dir.

Adım 3: Yakınsaklık korunur. Hemen her \(x \in E\) için \(f_n(x) \to f(x)\) dir. Böyle bir \(x\) için \(\varphi\)’nin sürekliliğinden \[ h_n(x) = \varphi(f_n(x)) \longrightarrow \varphi(f(x)) = f(x) \] olur; son eşitlik \(|f(x)| \le M\) olmasındandır. Dolayısıyla \(\{h_n\}\), \(E\) üzerinde hemen her yerde \(f\)’ye yakınsayan, düzgün sınırlı bir sürekli fonksiyonlar dizisidir.

\(\blacksquare\)

Ölçülebilir fonksiyonları artık hem sürekli fonksiyonlarla hem de basit fonksiyonlarla yaklaşık olarak yakalayabiliyoruz. Sıradaki bölüm Riemann ve Lebesgue İntegrali, bu yaklaşımları integrali tanımlamak için kullanıyor.