3 İç ve Dış Yaklaşım
Ölçülebilirlik tanımı soyuttur: Carathéodory koşulu bir kümeyi bütün test kümeleriyle sınar. Bu bölümde aynı kavramın somut bir yüzünü göreceğiz: ölçülebilir bir küme, içeriden kapalı, dışarıdan açık bir kümeyle, aradaki fark ölçüce istenildiği kadar küçük olacak biçimde sıkıştırılabilir.
Bundan ölçülebilir kümelerin tam tarifi çıkar: her biri bir \(G_\delta\) kümesinden sıfır ölçülü bir küme atılarak elde edilir. Son olarak sonlu ölçülü bir kümenin, sonlu sayıda ayrık açık aralığın birleşimine “neredeyse” eşit olduğunu göreceğiz.
3.1 Açık ve kapalı kümelerle yaklaşım
Bu bölümde Lebesgue ölçüsünü, yani dış ölçünün \(\mathcal{M}\) üzerine kısıtlanışını (Tanım 2.8) kullanıyoruz: ölçülebilir \(E\) için \(m(E) = m^*(E)\). Sık başvuracağımız iki araç şunlardır: ölçülebilir kümelerin sonlu ayrık birleşiminde ölçünün toplamsal olması ve bundan çıkan çıkarma özelliği: \(A \subseteq B\) ölçülebilir ve \(m(A) < \infty\) ise \(m(B \setminus A) = m(B) - m(A)\).
Teorem 3.1 (Lebesgue Ölçüsünün Düzenliliği) \(E\) ölçülebilir ve \(\varepsilon > 0\) olsun. O zaman \[ F \subseteq E \subseteq \mathcal{O}, \qquad m(\mathcal{O} \setminus E) < \varepsilon, \qquad m(E \setminus F) < \varepsilon \] olacak biçimde bir kapalı \(F\) kümesi ve bir açık \(\mathcal{O}\) kümesi vardır.
İspat
Önce açık dış yaklaşımı, sonra tümleyene geçerek kapalı iç yaklaşımı kuracağız.
Adım 1: \(m(E) < \infty\) iken dış yaklaşım. Dış ölçünün tanımına (Tanım 1.5) göre \(E\)’yi örten ve \[ \sum_{k=1}^{\infty} \ell(I_k) < m(E) + \varepsilon \] olan açık, sınırlı aralıklardan oluşan bir \(\{I_k\}_{k=1}^{\infty}\) topluluğu vardır. \(\mathcal{O} = \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k\) açıktır, \(E\)’yi içerir ve sayılabilir alt toplamsallıktan (Teorem 1.3) \(m(\mathcal{O}) \le \sum_k \ell(I_k) < m(E) + \varepsilon\) olur. \(m(E) < \infty\) olduğundan çıkarma özelliği \[ m(\mathcal{O} \setminus E) = m(\mathcal{O}) - m(E) < \varepsilon \] verir.
Adım 2: \(m(E) = \infty\) iken dış yaklaşım. Her \(k\) için \(E_k = E \cap [-k, k]\) ölçülebilirdir ve \(m(E_k) \le 2k < \infty\). Adım 1’e göre \(E_k \subseteq \mathcal{O}_k\) ve \(m(\mathcal{O}_k \setminus E_k) < \varepsilon / 2^k\) olan açık bir \(\mathcal{O}_k\) vardır. \(\mathcal{O} = \bigcup_{k=1}^{\infty} \mathcal{O}_k\) açıktır ve \(E = \bigcup_k E_k \subseteq \mathcal{O}\).
\(x \in \mathcal{O} \setminus E\) ise \(x\) bir \(\mathcal{O}_k\)’ye aittir ve \(E_k \subseteq E\) olduğundan \(x \notin E_k\); yani \(\mathcal{O} \setminus E \subseteq \bigcup_k (\mathcal{O}_k \setminus E_k)\). Sayılabilir alt toplamsallıktan \[ m(\mathcal{O} \setminus E) \le \sum_{k=1}^{\infty} m(\mathcal{O}_k \setminus E_k) < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon . \]
Adım 3: Kapalı iç yaklaşım. \(\mathbb{R} \setminus E\) de ölçülebilirdir. Adım 1–2’ye göre \[ \mathbb{R} \setminus E \subseteq \mathcal{U}, \qquad m\big(\mathcal{U} \setminus (\mathbb{R} \setminus E)\big) < \varepsilon \] olan açık bir \(\mathcal{U}\) vardır. \(F = \mathbb{R} \setminus \mathcal{U}\) kapalıdır ve \(F \subseteq E\). Ayrıca \[ E \setminus F = E \cap \mathcal{U} = \mathcal{U} \setminus (\mathbb{R} \setminus E), \] dolayısıyla \(m(E \setminus F) < \varepsilon\).
\(\blacksquare\)
Yani ölçülebilir bir kümenin sınırı ne kadar karmaşık olursa olsun, içine bir kapalı, dışına bir açık küme yerleştirip aradaki “boşlukları” ölçüce \(\varepsilon\)’dan küçük tutabiliriz.
Örnek 3.1 (İrrasyonellerden Oluşan Kapalı Küme) \(E = [0,1] \setminus \mathbb{Q}\) için \(m(E) = 1\)’dir. Verilen \(\varepsilon > 0\) için yalnız irrasyonel sayılardan oluşan ve \(m(F) > 1 - \varepsilon\) olan kapalı bir \(F \subseteq E\) bulun.
Çözüm
Önce \(m(E) = 1\) olduğunu görelim. \([0,1] \cap \mathbb{Q}\) sayılabilir olduğundan dış ölçüsü sıfırdır, dolayısıyla ölçülebilirdir; çıkarma özelliğiyle (Önerme 2.5) \[ m(E) = m([0,1]) - m([0,1] \cap \mathbb{Q}) = 1. \]
\([0,1] \cap \mathbb{Q} = \{q_1, q_2, \dots\}\) bir sıralama olsun. Her \(n\) için \[ J_n = \Big(q_n - \frac{\varepsilon}{2^{n+2}},\ q_n + \frac{\varepsilon}{2^{n+2}}\Big), \qquad \ell(J_n) = \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} \] alalım ve \(\mathcal{O} = \bigcup_n J_n\) diyelim. \(\mathcal{O}\) açıktır ve \([0,1]\)’deki bütün rasyonelleri içerir. Alt toplamsallıktan \[ m(\mathcal{O}) \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \frac{\varepsilon}{2} . \] \(F = [0,1] \setminus \mathcal{O} = [0,1] \cap (\mathbb{R} \setminus \mathcal{O})\) iki kapalı kümenin kesişimi olarak kapalıdır ve hiçbir rasyonel içermez; yani \(F \subseteq E\). \([0,1] \subseteq F \cup \mathcal{O}\) olduğundan \[ 1 \le m(F) + m(\mathcal{O}) \le m(F) + \frac{\varepsilon}{2}, \] dolayısıyla \(m(F) \ge 1 - \varepsilon/2 > 1 - \varepsilon\). Rasyoneller \([0,1]\)’de yoğun olduğu hâlde, onlardan kaçan kapalı bir kümenin ölçüsü \(1\)’e istenildiği kadar yakın olabilir.
\(\blacksquare\)
3.2 \(G_\delta\) ve \(F_\sigma\) kümeleriyle yaklaşım
Teorem 3.1’daki \(\varepsilon\)’u \(1/n\) alıp sayılabilir kesişim ve birleşime geçersek yaklaşım tam hâle gelir: aradaki fark sıfır ölçülü olur. Burada \(G_\delta\) ve \(F_\sigma\) kümeleri Tanım 2.6’daki anlamdadır.
Sonuç 3.1 (G-delta ve F-sigma ile Sıkıştırma) \(E\) ölçülebilir ise \[ F \subseteq E \subseteq G, \qquad m(G \setminus E) = 0, \qquad m(E \setminus F) = 0 \] olacak biçimde bir \(G_\delta\) kümesi \(G\) ve bir \(F_\sigma\) kümesi \(F\) vardır.
İspat
Her \(n\) için Teorem 3.1’a göre \[ F_n \subseteq E \subseteq \mathcal{O}_n, \qquad m(\mathcal{O}_n \setminus E) < \tfrac{1}{n}, \qquad m(E \setminus F_n) < \tfrac{1}{n} \] olan bir kapalı \(F_n\) ve bir açık \(\mathcal{O}_n\) vardır. \(G = \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathcal{O}_n\) bir \(G_\delta\), \(F = \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n\) bir \(F_\sigma\) kümesidir ve \(F \subseteq E \subseteq G\).
Her \(n\) için \(G \setminus E \subseteq \mathcal{O}_n \setminus E\) ve \(E \setminus F \subseteq E \setminus F_n\) olduğundan monotonluk \[ m(G \setminus E) < \tfrac{1}{n}, \qquad m(E \setminus F) < \tfrac{1}{n} \] verir. \(n\) keyfi olduğundan iki ölçü de sıfırdır.
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, ölçülebilirliğin sık kullanacağımız temel tarifini verir.
Sonuç 3.2 (Ölçülebilirliğin Karakterizasyonu) \(E \subseteq \mathbb{R}\) kümesi ancak ve ancak bir \(G_\delta\) kümesinden sıfır ölçülü bir küme çıkarılarak elde edilebiliyorsa ölçülebilirdir: \(E = G \setminus N\), \(G\) bir \(G_\delta\) kümesi, \(m^*(N) = 0\).
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(E\) ölçülebilir olsun. Sonuç 3.1’daki \(G\) için \(N = G \setminus E\) dersek \(m(N) = 0\) ve \(E \subseteq G\) olduğundan \(E = G \setminus N\).
(\(\Leftarrow\)) \(E = G \setminus N\) olsun. \(G_\delta\) kümesi \(G\) bir Borel kümesidir, dolayısıyla ölçülebilirdir (Teorem 2.4); \(N\) ise dış ölçüsü sıfır olduğundan ölçülebilirdir (Teorem 1.4). \(\mathcal{M}\) bir σ-cebiri olduğundan \(E = G \cap (\mathbb{R} \setminus N)\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Yani ölçülebilir kümeler, Borel kümelerinden yalnız sıfır ölçülü bir “tozla” ayrılır. Aynı akıl yürütme \(F_\sigma\) tarafında da çalışır: \(E\) ölçülebilirdir ancak ve ancak bir \(F_\sigma\) kümesiyle sıfır ölçülü bir kümenin birleşimidir.
Bu tarif \(\mathcal{M}\)’nin yapısını da tam olarak belirler: \(\mathcal{M}\), Borel kümelerine sıfır ölçülü kümeleri ekleyip σ-cebiri işlemleriyle kapatınca ortaya çıkan topluluktur.
Teorem 3.2 (Ölçülebilir Kümeler En Küçük σ-Cebiridir) \(\mathcal{M}\), Borel σ-cebiri \(\mathcal{B}\)’yi ve dış ölçüsü sıfır olan bütün kümeleri içeren en küçük σ-cebiridir.
İspat
\(\mathcal{S}\), Borel kümeleriyle dış ölçüsü sıfır olan kümelerin oluşturduğu topluluk; \(\mathcal{A}\) da \(\mathcal{S}\)’yi içeren en küçük σ-cebiri, yani \(\mathcal{S}\)’yi içeren bütün σ-cebirlerinin kesişimi olsun.
\(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{M}\). \(\mathcal{M}\) bir σ-cebiridir, Borel kümelerini içerir (Teorem 2.4) ve sıfır dış ölçülü kümeleri içerir (Teorem 1.4). Yani \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{S}\)’yi içeren σ-cebirlerinden biridir ve \(\mathcal{A}\)’nın minimalliğinden \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{M}\).
\(\mathcal{M} \subseteq \mathcal{A}\). \(E \in \mathcal{M}\) olsun. Sonuç 3.2’na göre \(E = G \setminus N\) yazılır; burada \(G\) bir \(G_\delta\) kümesi, \(m^*(N) = 0\). \(G\) bir Borel kümesi olduğundan \(G \in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{A}\); \(N \in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{A}\). \(\mathcal{A}\) tümleyen ve kesişim altında kapalı olduğundan \(E = G \cap (\mathbb{R} \setminus N) \in \mathcal{A}\).
İki kapsamadan \(\mathcal{M} = \mathcal{A}\).
\(\blacksquare\)
3.3 Sonlu sayıda aralıkla yaklaşım
Sonlu ölçülü bir küme sınırsız olabilir, sayılamaz çoklukta parçadan oluşabilir; yine de ölçü gözüyle bakınca, sonlu sayıda ayrık açık aralığın birleşiminden pek farklı değildir. Farkı ölçmek için şu kavram uygundur.
Tanım 3.1 (Simetrik Fark) \(A\) ve \(B\) kümelerinin simetrik farkı \[ A \,\triangle\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \] kümesidir.
Yani \(A \,\triangle\, B\), iki kümeden tam olarak birine ait olan noktalardır. \(A\), \(B\) ölçülebilir ve sonlu ölçülü ise \(A \cup B\), ayrık \(A \cap B\) ve \(A \,\triangle\, B\) kümelerine ayrıldığından \[ m(A \,\triangle\, B) = m(A \setminus B) + m(B \setminus A) = m(A \cup B) - m(A \cap B) . \]
İspatta, bir önceki bölümde gösterilen şu olguyu kullanacağız: boş olmayan her açık küme, sayılabilir sayıda ayrık açık aralığın birleşimidir (bkz. σ-Cebiri ve Borel Kümeleri).
Teorem 3.3 (Sonlu Sayıda Aralıkla Yaklaşım) \(m(E) < \infty\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. O zaman açık, sınırlı ve ayrık aralıklardan oluşan sonlu bir \(\{I_k\}_{k=1}^{n}\) topluluğu vardır ki \(\mathcal{U} = \bigcup_{k=1}^{n} I_k\) için \[ m(E \,\triangle\, \mathcal{U}) = m(\mathcal{U} \setminus E) + m(E \setminus \mathcal{U}) < \varepsilon \] olur.
İspat
Adım 1: Açık zarf. Teorem 3.1’a göre \(E \subseteq \mathcal{O}\) ve \[ m(\mathcal{O} \setminus E) < \frac{\varepsilon}{2} \tag{1} \] olan açık bir \(\mathcal{O}\) vardır. Sonlu toplamsallıktan \(m(\mathcal{O}) = m(E) + m(\mathcal{O} \setminus E) < \infty\). \(E = \varnothing\) ise \(n = 1\) ve \(\ell(I_1) < \varepsilon\) olan herhangi bir açık, sınırlı \(I_1\) aralığı yeter, çünkü \(m(\mathcal{U} \,\triangle\, E) = \ell(I_1) < \varepsilon\) olur; bu yüzden \(\mathcal{O} \ne \varnothing\) varsayabiliriz.
Adım 2: Aralıklara ayırma. \(\mathcal{O}\), ayrık açık aralıklardan oluşan sayılabilir bir \(\{I_k\}\) topluluğunun birleşimidir. Her \(k\) için \(\ell(I_k) = m(I_k) \le m(\mathcal{O}) < \infty\), yani aralıklar sınırlıdır. Bu uzunlukların toplamı \(m(\mathcal{O})\)’dur:
- Alt toplamsallıktan \(m(\mathcal{O}) \le \sum_k \ell(I_k)\).
- Her \(n\) için ilk \(n\) aralığın birleşimi \(\mathcal{O}\)’nun içindedir ve sonlu toplamsallıktan \[ \sum_{k=1}^{n} \ell(I_k) = m\Big(\bigcup_{k=1}^{n} I_k\Big) \le m(\mathcal{O}); \] \(n \to \infty\) ile \(\sum_k \ell(I_k) \le m(\mathcal{O})\).
Topluluk sonluysa \(\mathcal{U} = \mathcal{O}\) alınır ve (1)’den iş biter. Sonsuzsa \(\sum_k \ell(I_k) < \infty\) olduğundan kuyruk sıfıra gider; öyle bir \(n\) seçelim ki \[ \sum_{k=n+1}^{\infty} \ell(I_k) < \frac{\varepsilon}{2} . \]
Adım 3: Tahmin. \(\mathcal{U} = \bigcup_{k=1}^{n} I_k\) olsun. \(\mathcal{U} \subseteq \mathcal{O}\) olduğundan \(\mathcal{U} \setminus E \subseteq \mathcal{O} \setminus E\) ve (1)’den \(m(\mathcal{U} \setminus E) < \varepsilon/2\). Öte yandan \(E \subseteq \mathcal{O}\) olduğundan \[ E \setminus \mathcal{U} \subseteq \mathcal{O} \setminus \mathcal{U} = \bigcup_{k=n+1}^{\infty} I_k , \] ve alt toplamsallıktan \[ m(E \setminus \mathcal{U}) \le \sum_{k=n+1}^{\infty} \ell(I_k) < \frac{\varepsilon}{2} . \] Toplarsak \(m(\mathcal{U} \setminus E) + m(E \setminus \mathcal{U}) < \varepsilon\).
\(\blacksquare\)
Yani sonlu ölçülü bir küme, ölçü gözüyle, sonlu sayıda aralıktan oluşan “basit” bir kümeden \(\varepsilon\) kadar farklıdır. Littlewood’un ilk ilkesi olarak bilinen bu olgu, ölçülebilir fonksiyonları basamak fonksiyonlarıyla yaklaşırken yeniden karşımıza çıkacak.
Örnek 3.2 (Sınırsız Bir Kümenin Aralıklarla Yaklaşımı) \(E = \bigcup_{n=1}^{\infty} \big(n,\, n + 2^{-n}\big)\) olsun. \(m(E) = 1\) olduğunu gösterin ve \(\varepsilon = 0{,}01\) için Teorem 3.3’ndaki \(\mathcal{U}\)’yu açıkça bulun.
Çözüm
Ölçü. Aralıklar ayrıktır, çünkü \((n, n + 2^{-n}) \subseteq (n, n+1)\). Alt toplamsallıktan \(m(E) \le \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1\). Her \(N\) için sonlu toplamsallık ve monotonluktan \[ m(E) \ge \sum_{n=1}^{N} 2^{-n} = 1 - 2^{-N}, \] ve \(N \to \infty\) ile \(m(E) \ge 1\). Demek ki \(m(E) = 1\); \(E\) sınırsız olduğu hâlde ölçüsü sonludur.
Yaklaşım. \(\mathcal{U}_N = \bigcup_{n=1}^{N} (n, n + 2^{-n})\) alalım. \(\mathcal{U}_N \subseteq E\) olduğundan \(\mathcal{U}_N \setminus E = \varnothing\), ve \[ m(E \setminus \mathcal{U}_N) \le \sum_{n=N+1}^{\infty} 2^{-n} = 2^{-N} . \] \(2^{-N} < 0{,}01\) koşulu \(N \ge 7\) demektir (\(2^{-7} = 0{,}0078125\)). Dolayısıyla ilk yedi aralığın birleşimi \(\mathcal{U}_7\) için \(m(E \,\triangle\, \mathcal{U}_7) < 0{,}01\).
\(\blacksquare\)
3.4 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Kapalı ve Açık Kümeyle Sıkıştırma) \(E \subseteq \mathbb{R}\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(F \subseteq E \subseteq \mathcal{O}\) ve \(m^*(\mathcal{O} \setminus F) < \varepsilon\) olan bir kapalı \(F\) ve bir açık \(\mathcal{O}\) varsa \(E\)’nin ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: \(G_\delta\) zarfı. Her \(n\) için varsayımdan \(F_n \subseteq E \subseteq \mathcal{O}_n\) ve \(m^*(\mathcal{O}_n \setminus F_n) < 1/n\) olan kapalı \(F_n\) ve açık \(\mathcal{O}_n\) seçelim. \(G = \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathcal{O}_n\) bir \(G_\delta\) kümesidir ve \(E \subseteq G\).
Adım 2: Fark sıfır ölçülü. Her \(n\) için \(G \subseteq \mathcal{O}_n\) ve \(F_n \subseteq E\) olduğundan \[ G \setminus E \subseteq \mathcal{O}_n \setminus E \subseteq \mathcal{O}_n \setminus F_n . \] Dış ölçünün monotonluğundan \(m^*(G \setminus E) < 1/n\); \(n\) keyfi olduğundan \(m^*(G \setminus E) = 0\).
Adım 3: Sonuç. \(N = G \setminus E\) dersek \(E \subseteq G\) olduğundan \(E = G \setminus N\). \(G\) bir \(G_\delta\) kümesi, \(m^*(N) = 0\) olduğundan Sonuç 3.2’na göre \(E\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.2 (Dış Ölçüyü Koruyan Zarf) \(m^*(E) < \infty\) olsun. \(E \subseteq G\) ve \(m(G) = m^*(E)\) olan bir \(G_\delta\) kümesi \(G\) bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Açık zarflar. Sabit bir \(n\) için dış ölçünün tanımından (Tanım 1.5) \(E\)’yi örten ve \(\sum_k \ell(I_k) < m^*(E) + 1/n\) olan açık, sınırlı aralıklar \(\{I_k\}\) vardır. \(\mathcal{O}_n = \bigcup_k I_k\) açıktır, \(E\)’yi içerir ve alt toplamsallıktan (Teorem 1.3) \[ m(\mathcal{O}_n) \le \sum_{k} \ell(I_k) < m^*(E) + \frac{1}{n} . \]
Adım 2: Kesişim. \(G = \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathcal{O}_n\) bir \(G_\delta\) kümesidir, dolayısıyla ölçülebilirdir, ve \(E \subseteq G\). Her \(n\) için \(E \subseteq G \subseteq \mathcal{O}_n\) ve monotonluktan \[ m^*(E) \le m(G) \le m(\mathcal{O}_n) < m^*(E) + \frac{1}{n} . \] \(n \to \infty\) ile \(m(G) = m^*(E)\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.3 (Zarf ile Ölçülebilirlik) \(m^*(E) < \infty\) olsun. \(E\)’nin ancak ve ancak \(E \subseteq G\) ve \(m^*(G \setminus E) = 0\) olan bir \(G_\delta\) kümesi \(G\) varsa ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
(\(\Rightarrow\)) \(E\) ölçülebilir ise Sonuç 3.1, \(E \subseteq G\) ve \(m(G \setminus E) = 0\) olan bir \(G_\delta\) kümesi \(G\) verir.
(\(\Leftarrow\)) Böyle bir \(G\) olsun ve \(N = G \setminus E\) diyelim. \(m^*(N) = 0\) olduğundan \(N\) ölçülebilirdir (Teorem 1.4). \(G\) bir Borel kümesidir, dolayısıyla ölçülebilirdir (Teorem 2.4). \(E \subseteq G\) olduğundan \[ E = G \setminus N = G \cap (\mathbb{R} \setminus N), \] ve ölçülebilir kümeler bir σ-cebiri oluşturduğundan \(E\) ölçülebilirdir.
İki yönde de \(m^*(E) < \infty\) varsayımı kullanılmadı; karakterizasyon her \(E \subseteq \mathbb{R}\) için geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.4 (Ölçülemez Kümenin Açık Üst Kümesi) \(m^*(E) < \infty\) olsun ve \(E\) ölçülebilir olmasın. \(E\)’yi içeren, dış ölçüsü sonlu ve \[ m^*(\mathcal{O} \setminus E) > m^*(\mathcal{O}) - m^*(E) \] olan açık bir \(\mathcal{O}\) kümesi bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Ön not. Her \(\mathcal{O} \supseteq E\) için \(\mathcal{O} \subseteq E \cup (\mathcal{O} \setminus E)\) olduğundan alt toplamsallık \(m^*(\mathcal{O}) \le m^*(E) + m^*(\mathcal{O} \setminus E)\) verir; yani \(m^*(\mathcal{O} \setminus E) \ge m^*(\mathcal{O}) - m^*(E)\) her zaman doğrudur. İstenen, bu eşitsizliğin bir \(\mathcal{O}\) için kesin olmasıdır.
Adım 1: Olmayana ergi. Tersine, \(E\)’yi içeren ve dış ölçüsü sonlu her açık \(\mathcal{O}\) için \[ m^*(\mathcal{O} \setminus E) \le m^*(\mathcal{O}) - m^*(E) \tag{1} \] olduğunu varsayalım.
Adım 2: Küçük farklar. Her \(n\) için dış ölçünün tanımından (Alıştırma 3.2’daki gibi) \(E \subseteq \mathcal{O}_n\) ve \(m(\mathcal{O}_n) < m^*(E) + 1/n\) olan açık bir \(\mathcal{O}_n\) vardır; dış ölçüsü sonludur. (1)’den \[ m^*(\mathcal{O}_n \setminus E) \le m(\mathcal{O}_n) - m^*(E) < \frac{1}{n} . \]
Adım 3: Çelişki. \(G = \bigcap_n \mathcal{O}_n\) bir \(G_\delta\) kümesidir, \(E \subseteq G\) ve her \(n\) için \(G \setminus E \subseteq \mathcal{O}_n \setminus E\) olduğundan \(m^*(G \setminus E) < 1/n\), yani \(m^*(G \setminus E) = 0\). Alıştırma 3.3’a göre \(E\) ölçülebilir olur; bu varsayımla çelişir. Demek ki (1)’i sağlamayan, yani istenen kesin eşitsizliği sağlayan bir \(\mathcal{O}\) vardır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.5 (Lebesgue’in Ölçülebilirlik Tanımı) \(m^*(E) < \infty\) olsun. \(E\)’nin ancak ve ancak her açık, sınırlı \((a, b)\) aralığı için \[ b - a = m^*\big((a,b) \cap E\big) + m^*\big((a,b) \setminus E\big) \] oluyorsa ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
(\(\Rightarrow\)) \(E\) ölçülebilir olsun. Carathéodory koşulunu (Tanım 1.6) \(A = (a,b)\) test kümesine uygularsak \[ m^*\big((a,b)\big) = m^*\big((a,b) \cap E\big) + m^*\big((a,b) \setminus E\big) \] olur. Aralığın dış ölçüsü uzunluğu olduğundan (Teorem 1.1) sol taraf \(b - a\)’dır.
(\(\Leftarrow\)) Koşul sağlansın ve \(\varepsilon > 0\) verilsin.
Adım 1: Uzunluk toplamı küçük bir açık zarf. Dış ölçünün tanımından \(E\)’yi örten ve \(\sum_j \ell(J_j) < m^*(E) + \varepsilon\) olan açık, sınırlı \(\{J_j\}\) aralıkları vardır. \(\mathcal{O} = \bigcup_j J_j\) açıktır ve sayılabilir sayıda ayrık açık \(\{I_k\}\) aralığının birleşimidir. Her \(J_j\) bağlantılı olduğundan tam olarak bir \(I_k\)’nin içinde kalır. Ayrıca her \(I_k\), içinde kalan \(J_j\)’lerin birleşimidir: \(x \in I_k\) ise \(x\) bir \(J_j\)’ye aittir; bu \(J_j\) bir \(I_{k'}\) içinde kaldığından \(x \in I_k \cap I_{k'}\) olur ve ayrıklık \(k' = k\) verir, yani \(J_j \subseteq I_k\). Alt toplamsallıktan (Teorem 1.1 ile birlikte) \[ \ell(I_k) = m^*(I_k) \le \sum_{J_j \subseteq I_k} \ell(J_j), \] ve \(k\) üzerinden toplarsak (her \(J_j\) tek bir toplamda sayılır) \[ \sum_k \ell(I_k) \le \sum_j \ell(J_j) < m^*(E) + \varepsilon . \tag{1} \] Özellikle her \(I_k\) sınırlı bir açık aralıktır.
Adım 2: Koşulu parçalara uygulama. Her \(I_k\) için varsayımdan \[ m^*(I_k \setminus E) = \ell(I_k) - m^*(I_k \cap E) . \] \(\mathcal{O} \setminus E = \bigcup_k (I_k \setminus E)\) ve \(E = \bigcup_k (I_k \cap E)\) olduğundan alt toplamsallık \[ m^*(\mathcal{O} \setminus E) \le \sum_k m^*(I_k \setminus E), \qquad m^*(E) \le \sum_k m^*(I_k \cap E) \] verir. (1)’den \(\sum_k \ell(I_k)\) sonlu olduğundan toplamlar terim terim ayrılabilir: \[ m^*(\mathcal{O} \setminus E) \le \sum_k \ell(I_k) - \sum_k m^*(I_k \cap E) \le \sum_k \ell(I_k) - m^*(E) < \varepsilon . \]
Adım 3: Ölçülebilirlik. \(\varepsilon = 1/n\) için elde edilen açık kümeye \(\mathcal{O}_n\) diyelim: \(E \subseteq \mathcal{O}_n\), \(m^*(\mathcal{O}_n \setminus E) < 1/n\). \(G = \bigcap_n \mathcal{O}_n\) bir \(G_\delta\) kümesidir, \(E \subseteq G\) ve her \(n\) için \(m^*(G \setminus E) \le m^*(\mathcal{O}_n \setminus E) < 1/n\); yani \(m^*(G \setminus E) = 0\). Alıştırma 3.3’a göre \(E\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.6 (Açık Kümelerle Dış Ölçü) Her \(A \subseteq \mathbb{R}\) için \[ m^{**}(A) = \inf\{\, m^*(\mathcal{O}) : \mathcal{O} \supseteq A,\ \mathcal{O} \text{ açık} \,\} \in [0, \infty] \] olsun. \(m^{**}\) küme fonksiyonunun dış ölçü \(m^*\) ile ilişkisini belirleyin.
Çözüm
Her \(A\) için \(m^{**}(A) = m^*(A)\) olduğunu, yani iki küme fonksiyonunun aynı olduğunu gösterelim.
\(m^*(A) \le m^{**}(A)\). \(A\)’yı içeren her açık \(\mathcal{O}\) için monotonluktan \(m^*(A) \le m^*(\mathcal{O})\). Yani \(m^*(A)\) infimumu alınan kümenin bir alt sınırıdır ve \(m^*(A) \le m^{**}(A)\).
\(m^{**}(A) \le m^*(A)\). \(m^*(A) = \infty\) ise açıktır. \(m^*(A) < \infty\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. Dış ölçünün tanımından \(A\)’yı örten ve \(\sum_k \ell(I_k) < m^*(A) + \varepsilon\) olan açık, sınırlı \(\{I_k\}\) aralıkları vardır. \(\mathcal{O} = \bigcup_k I_k\) açıktır, \(A\)’yı içerir ve alt toplamsallıktan \[ m^{**}(A) \le m^*(\mathcal{O}) \le \sum_k \ell(I_k) < m^*(A) + \varepsilon . \] \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(m^{**}(A) \le m^*(A)\).
Sonuç: \(m^{**} = m^*\). Dış ölçü, açık üst kümelerin ölçüleriyle dışarıdan tam olarak yaklaşılır; bu yaklaşım yalnız ölçülebilir kümeler için değil, her küme için geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.7 (Kapalı Kümelerle İç Ölçü) Her \(A \subseteq \mathbb{R}\) için \[ m^{***}(A) = \sup\{\, m^*(F) : F \subseteq A,\ F \text{ kapalı} \,\} \in [0, \infty] \] olsun. \(m^{***}\) küme fonksiyonunun dış ölçü \(m^*\) ile ilişkisini belirleyin.
Çözüm
Göstereceğimiz ilişki: her \(A\) için \(m^{***}(A) \le m^*(A)\); \(A\) ölçülebilir ise eşitlik vardır; \(m^*(A) < \infty\) ise eşitlik ancak ve ancak \(A\) ölçülebilir olduğunda vardır. Dolayısıyla eşitsizlik kesin olabilir. (\(\varnothing\) kapalı olduğundan supremum boş olmayan bir küme üzerinden alınır.)
Adım 1: \(m^{***} \le m^*\). \(F \subseteq A\) ise monotonluktan \(m^*(F) \le m^*(A)\); supremuma geçilir.
Adım 2: Sonlu ölçülü ölçülebilir küme. \(A\) ölçülebilir, \(m(A) < \infty\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. Teorem 3.1’a göre \(F \subseteq A\) ve \(m(A \setminus F) < \varepsilon\) olan kapalı bir \(F\) vardır. Çıkarma özelliğinden \[ m(F) = m(A) - m(A \setminus F) > m(A) - \varepsilon. \] Dolayısıyla \(m^{***}(A) \ge m(A) - \varepsilon\) ve \(\varepsilon \to 0\) ile \(m^{***}(A) = m(A)\).
Adım 3: Sonsuz ölçülü ölçülebilir küme. \(m(A) = \infty\) olsun. Tam sayılar \(j\) için \(A_j = A \cap [j, j+1)\) ölçülebilir, ayrık ve \(A = \bigcup_j A_j\). Alt toplamsallıktan \(\infty = m(A) \le \sum_{j \in \mathbb{Z}} m(A_j)\), yani bu toplam ıraksar. \(k \in \mathbb{N}\) için sonlu toplamsallık ve monotonluktan \[ m\big(A \cap [-k, k)\big) = \sum_{j=-k}^{k-1} m(A_j) \xrightarrow[k \to \infty]{} \infty . \] \(A \cap [-k,k)\) sonlu ölçülü ve ölçülebilir olduğundan Adım 2’ye göre içinde \(m(F_k) > m\big(A \cap [-k,k)\big) - 1\) olan kapalı bir \(F_k \subseteq A\) vardır. Bu yüzden \(m^{***}(A) = \infty = m(A)\).
Adım 4: Sonlu dış ölçüde eşitlik ölçülebilirlik demektir. \(m^*(A) < \infty\) ve \(m^{***}(A) = m^*(A)\) olsun. Her \(n\) için \(m(F_n) > m^*(A) - 1/n\) olan kapalı bir \(F_n \subseteq A\) seçelim ve \(H = \bigcup_n F_n\) diyelim; \(H\) bir \(F_\sigma\) kümesidir, \(H \subseteq A\) ve \(m^*(A) \ge m(H) \ge m(F_n)\) olduğundan \(m(H) = m^*(A)\). Alıştırma 3.2’a göre \(A \subseteq G\) ve \(m(G) = m^*(A)\) olan bir \(G_\delta\) kümesi \(G\) vardır. \(H \subseteq G\) ve \(m(H) < \infty\) olduğundan çıkarma özelliği \[ m(G \setminus H) = m(G) - m(H) = 0 \] verir. \(A \setminus H \subseteq G \setminus H\) olduğundan \(m^*(A \setminus H) = 0\), yani \(A \setminus H\) ölçülebilirdir (Teorem 1.4). O hâlde \(A = H \cup (A \setminus H)\) ölçülebilirdir.
Adım 5: Kesin eşitsizlik. Teorem 5.1’ye göre \([0,1]\)’in ölçülemez bir alt kümesi \(A\) vardır; \(m^*(A) \le 1 < \infty\). Adım 4’e göre \(m^{***}(A) < m^*(A)\).
Sonuç: \(m^{***}\) bir “iç ölçü”dür; \(m^{***} \le m^*\) ve sonlu dış ölçülü kümeler arasında eşitliğin geçtiği kümeler tam olarak ölçülebilir kümelerdir. Dış ölçü sonsuz olunca eşitlik ölçülebilirliği gerektirmez: \(A\) yukarıdaki ölçülemez küme ise \(A \cup [2, \infty)\) ölçülemezdir (ölçülebilir olsaydı \([0,1]\) ile kesişimi olan \(A\) da ölçülebilir olurdu), ama \([2, k]\) kapalı alt kümeleri \[ m^{***}\big(A \cup [2,\infty)\big) = \infty = m^*\big(A \cup [2,\infty)\big) \] verir.
\(\blacksquare\)
Ölçülebilir kümeleri artık hem soyut koşuluyla hem de somut yaklaşımlarıyla tanıyoruz. Sıradaki adım, Lebesgue ölçüsünün sayılabilir ayrık birleşimlerde toplamsal olduğunu ve artan ya da azalan dizilerde sürekli davrandığını göstermek: Toplamsallık ve Süreklilik.