23 Düzgün, Üstel ve Normal Dağılımlar
Geometrik, Negatif Binom ve Hipergeometrik Dağılımlar bölümüyle kesikli dağılım ailelerini tamamladık. Bernoulli, binom, Poisson, geometrik, negatif binom ve hipergeometrik dağılımların ortak yanı, değer kümelerinin sayılabilir olmasıydı; her birini bir olasılık fonksiyonuyla (Tanım 10.2) tanımladık. Bu bölümde sürekli tarafa geçiyoruz: değer kümesi bir aralık ya da bütün \(\mathbb{R}\) olan, dağılımı bir olasılık yoğunluk fonksiyonuyla (Tanım 11.2) verilen üç temel aileyi inceleyeceğiz.
Sürekli düzgün dağılım, bir aralıktan “rastgele nokta seçmek” fikrinin rastgele değişken diliyle ifadesidir; kitabın başındaki geometrik olasılık örnekleri bu dağılımın örnekleriydi. Üstel dağılım, bekleme sürelerinin ve ömürlerin dağılımıdır; geometrik dağılımın sürekli karşılığıdır ve onun gibi hafızasızdır. Normal dağılım ise olasılık teorisinin en önemli dağılımıdır: ölçüm hatalarını modeller, çok sayıda küçük etkinin toplamı olarak ortaya çıkar ve istatistiğin klasik yöntemlerinin temelinde yatar.
Her dağılım için aynı programı izleyeceğiz: yoğunluğu doğrulamak, dağılım fonksiyonunu bulmak, beklenen değeri, varyansı ve moment üreten fonksiyonu hesaplamak, dağılımı ötekilere bağlayan yapısal özellikleri ispatlamak. Normal dağılımda bu program iki ünlü hesabı içerir: kutupsal koordinatlarla Gauss integrali ve kareye tamamlamayla moment üreten fonksiyon. Bölümün sonunda standart normal tablonun kullanımını sayısal örneklerle göreceğiz. Bu, kitabın son bölümüdür; alıştırmalardan sonra kitap boyunca kurduğumuz yapıya toplu olarak bakacağız.
23.1 Sürekli Düzgün Dağılım
Olasılık Uzayı Örnekleri ve Geometrik Olasılık bölümünde bir aralıktan “rastgele” nokta seçme deneyini, alt aralığın olasılığını uzunluğuyla orantılı alarak modellemiştik: \((a,b)\)’den seçilen noktanın \((c,d) \subseteq (a,b)\)’ye düşme olasılığı \(\frac{d-c}{b-a}\) idi. Bu, Laplace uzayının (Tanım 4.1) sürekli karşılığıdır: her nokta “eşit olasılıklı”dır, ama tek noktanın olasılığı sıfır olduğundan bu eşitlik ancak yoğunluğun sabit olmasıyla ifade edilebilir.
Tanım 23.1 (Sürekli Düzgün Dağılım) \(a < b\) reel sayılar olsun. Olasılık yoğunluk fonksiyonu
\[f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a < x < b \\[2mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olan sürekli rastgele değişkene \((a,b)\) aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir denir ve \(X \sim U(a,b)\) yazılır. \(U(0,1)\) dağılımına standart düzgün dağılım denir.
\(f_X\) gerçekten bir yoğunluktur: negatif değildir ve
\[\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_a^b \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{b-a}{b-a} = 1.\]
Dağılım fonksiyonunu (Tanım 9.1) yoğunluğu integre ederek buluruz. \(x \le a\) için integrand sıfırdır, \(F_X(x) = 0\). \(a < x < b\) için
\[F_X(x) = \int_a^x \frac{1}{b-a}\,du = \frac{x-a}{b-a}.\]
\(x \ge b\) için \(F_X(x) = 1\). Böylece
\[F_X(x) = \begin{cases} 0, & x \le a \\[1mm] \dfrac{x-a}{b-a}, & a < x < b \\[2mm] 1, & x \ge b. \end{cases}\]
\(a \le c < d \le b\) için
\[P(c < X < d) = F_X(d) - F_X(c) = \frac{d-c}{b-a};\]
yani bir alt aralığın olasılığı yalnızca uzunluğuna bağlıdır, nerede durduğuna değil. Bu tam olarak geometrik olasılık modelidir. Sürekli bir rastgele değişkende tek noktanın olasılığı sıfır olduğundan (Önerme 11.1) uç noktaların aralığa dâhil olup olmaması hiçbir olasılığı değiştirmez; \(U(a,b)\) ile \(U[a,b]\) arasında ayrım yapılmaz.
Düzgün dağılımın sayısal özelliklerini hesaplayalım. Simetri nedeniyle beklenen değerin aralığın orta noktası olması beklenir; varyans ise aralık uzunluğunun karesiyle ölçeklenmelidir.
Teorem 23.1 (Düzgün Dağılımın Momentleri ve Moment Üreten Fonksiyonu) \(X \sim U(a,b)\) olsun. O zaman
\[E(X) = \frac{a+b}{2}, \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]
ve moment üreten fonksiyon her \(t \in \mathbb{R}\) için sonludur:
\[M_X(t) = \begin{cases} \dfrac{e^{bt} - e^{at}}{(b-a)\,t}, & t \ne 0 \\[3mm] 1, & t = 0. \end{cases}\]
İspat
Beklenen değer tanımından (Tanım 16.1)
\[E(X) = \int_a^b \frac{x}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}.\]
İkinci moment:
\[E(X^2) = \int_a^b \frac{x^2}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{(b-a)(b^2 + ab + a^2)}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}.\]
Varyans hesap formülü (Önerme 16.3) ile
\[\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12}.\]
Moment üreten fonksiyon (Tanım 17.2) için \(t \ne 0\) olsun:
\[M_X(t) = E\big(e^{tX}\big) = \int_a^b \frac{e^{tx}}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{e^{tx}}{t} \right]_a^b = \frac{e^{bt} - e^{at}}{(b-a)\,t}.\]
\(t = 0\) için \(M_X(0) = E(1) = 1\). İntegral her \(t\) için sonludur; dolayısıyla \(M_X\) bütün \(\mathbb{R}\)’de vardır ve Teorem 17.4 ile momentler ondan da okunabilir. Üstel fonksiyonun seri açılımıyla
\[e^{bt} - e^{at} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\big(b^{n+1} - a^{n+1}\big)\,t^{n+1}}{(n+1)!}\]
olduğundan, \(t \ne 0\) için \((b-a)\,t\) ile bölüp \((n+1)! = (n+1)\,n!\) yazarsak
\[M_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{(n+1)(b-a)} \cdot \frac{t^n}{n!}\]
elde ederiz. \(\frac{t^n}{n!}\)’in katsayısı \(E(X^n)\) olduğundan
\[E(X^n) = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}, \qquad n = 1, 2, \ldots\]
\(n = 1\) için \(\frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}\), \(n = 2\) için \(\frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}\) bulunur; yukarıdaki hesaplarla uyuşur.
\(\blacksquare\)
Özel olarak \(U \sim U(0,1)\) için \(E(U) = \frac{1}{2}\), \(\operatorname{Var}(U) = \frac{1}{12}\) ve \(M_U(t) = \frac{e^t - 1}{t}\)’dir. Genel durumda standart sapma \(\frac{b-a}{2\sqrt{3}} \approx 0{,}289\,(b-a)\), yani aralık uzunluğunun yaklaşık yüzde \(29\)’udur.
Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi
Standart düzgün dağılımın özel bir önemi vardır: her sürekli dağılım ona dönüştürülebilir ve ondan üretilebilir. Bu iki yönlü ilişki, bilgisayarda rastgele sayı üretmenin temelidir. Bilgisayarlar doğrudan \(U(0,1)\) dağılımlı sayılar üretir; istenen dağılıma sahip bir değer elde etmek için bu sayıyı dağılım fonksiyonunun tersinden geçirmek yeter.
Aşağıdaki önermenin (b) kısmında dağılım fonksiyonu kesin artan olmak zorunda olmadığından sıradan ters fonksiyon yerine genelleştirilmiş ters kullanılır: \(F\) bir dağılım fonksiyonu ve \(0 < u < 1\) için
\[F^{-1}(u) = \inf\{x \in \mathbb{R} : F(x) \ge u\}.\]
\(F\) sürekli ve kesin artan olduğunda bu, sıradan ters fonksiyondur.
Önerme 23.1 (Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi) (a) \(X\), dağılım fonksiyonu \(F_X\) sürekli olan bir rastgele değişken olsun. O zaman \(F_X(X) \sim U(0,1)\)’dir.
(b) \(U \sim U(0,1)\) ve \(F\) herhangi bir dağılım fonksiyonu olsun. \(X = F^{-1}(U)\) rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu \(F\)’dir.
İspat
(a) \(Y = F_X(X)\) diyelim. \(F_X\)’in değerleri \([0,1]\)’de olduğundan \(Y\) de \([0,1]\)’de değer alır; \(u < 0\) için \(P(Y \le u) = 0\) ve \(u \ge 1\) için \(P(Y \le u) = 1\)’dir. Geriye \(0 < u < 1\) için \(P(Y \le u) = u\) göstermek kalır; \(u = 0\) değeri bundan dağılım fonksiyonunun sağdan sürekliliğiyle çıkar: \(F_Y(0) = \lim_{u \downarrow 0} F_Y(u) = \lim_{u \downarrow 0} u = 0\).
\(A_u = \{x \in \mathbb{R} : F_X(x) \le u\}\) kümesini alalım. \(\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 < u\) olduğundan \(A_u\) boş değildir; \(\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1 > u\) olduğundan üstten sınırlıdır. \(x_u = \sup A_u\) olsun. \(F_X\) sürekli olduğundan \(F_X(x_u) = u\)’dur: \(A_u\) içinde \(x_n \to x_u\) olan bir dizi vardır ve \(F_X(x_u) = \lim F_X(x_n) \le u\); öte yandan \(x > x_u\) olan her \(x\) için \(x \notin A_u\), yani \(F_X(x) > u\) olduğundan \(F_X(x_u) = \lim_{x \to x_u^+} F_X(x) \ge u\).
Şimdi \((Y \le u) = (X \le x_u)\) olduğunu gösterelim. \(X \le x_u\) ise, \(F_X\) azalmayan olduğundan \(F_X(X) \le F_X(x_u) = u\); \(X > x_u\) ise \(X \notin A_u\), yani \(F_X(X) > u\). Öyleyse
\[P(Y \le u) = P(X \le x_u) = F_X(x_u) = u.\]
Demek ki \(Y\)’nin dağılım fonksiyonu \(U(0,1)\)’in dağılım fonksiyonudur; dağılım fonksiyonu dağılımı belirlediğinden \(Y \sim U(0,1)\).
(b) \(0 < u < 1\) için \(B_u = \{x \in \mathbb{R} : F(x) \ge u\}\) olsun. \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 1 > u\) olduğundan \(B_u\) boş değildir; \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 < u\) olduğundan alttan sınırlıdır. Dolayısıyla \(F^{-1}(u) = \inf B_u\) sonlu bir reel sayıdır. \(U\)’nun değerleri \(1\) olasılıkla \((0,1)\)’de olduğundan \(X = F^{-1}(U)\) iyi tanımlıdır.
Anahtar gözlem şudur: her \(x \in \mathbb{R}\) ve \(u \in (0,1)\) için
\[F^{-1}(u) \le x \iff u \le F(x).\]
Sağdan sola: \(u \le F(x)\) ise \(x \in B_u\), dolayısıyla \(\inf B_u \le x\). Soldan sağa: \(m = \inf B_u\) olsun. \(B_u\) içinde \(y_n \downarrow m\) olan bir dizi vardır (\(m \in B_u\) ise sabit dizi alınır); \(F\) sağdan sürekli olduğundan \(F(m) = \lim F(y_n) \ge u\), yani \(m \in B_u\). \(F\) azalmayan olduğundan \(m \le x\) ise \(F(x) \ge F(m) \ge u\).
Bu denklikle, her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[P(X \le x) = P\big(F^{-1}(U) \le x\big) = P\big(U \le F(x)\big) = F(x);\]
son eşitlikte \(U \sim U(0,1)\) ve \(0 \le F(x) \le 1\) kullanıldı. Demek ki \(X\)’in dağılım fonksiyonu \(F\)’dir.
\(\blacksquare\)
(a) kısmına olasılık integral dönüşümü, (b) kısmına ters dönüşüm yöntemi denir. (b) kısmı \(F\)’nin türü hakkında hiçbir şey varsaymaz; (a) kısmındaki süreklilik koşulu ise atılamaz: \(X\) kesikli ise \(F_X(X)\) yalnızca sayılabilir çoklukta değer alır ve düzgün dağılamaz.
Örnek 23.1 (Düzgün Dağılım Hesapları) (a) Bir durağa otobüs her \(30\) dakikada bir gelmektedir. Durağa rastgele bir anda gelen yolcunun bekleme süresi \(X\) (dakika), \(U(0,30)\) dağılımlıdır. \(P(X > 20)\), \(P(5 < X < 15)\), \(E(X)\) ve \(\sigma_X\) değerlerini bulunuz.
(b) \(X \sim U(0,1)\) ve \(Y = X^2\) olsun. \(Y\)’nin yoğunluk fonksiyonunu ve beklenen değerini bulunuz.
(c) Yoğunluğu \(f(x) = 2x\) (\(0 < x < 1\)) olan bir rastgele değişkeni ve \(U(a,b)\) dağılımlı bir rastgele değişkeni standart düzgün bir \(U\)’dan ters dönüşüm yöntemiyle üretiniz.
Çözüm
(a) \(b - a = 30\) olduğundan olasılıklar uzunluk oranlarıdır:
\[P(X > 20) = \frac{30 - 20}{30} = \frac{1}{3}, \qquad P(5 < X < 15) = \frac{15 - 5}{30} = \frac{1}{3}.\]
Teorem 23.1 ile \(E(X) = \frac{0 + 30}{2} = 15\) dakika, \(\operatorname{Var}(X) = \frac{30^2}{12} = 75\) ve \(\sigma_X = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\) dakika.
(b) \(g(x) = x^2\) fonksiyonu \((0,1)\) üzerinde kesin artan ve türevlenebilirdir; tersi \(h(y) = \sqrt{y}\), türevi \(h'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\)’dir. Dönüşüm formülü (Teorem 12.2) ile \(0 < y < 1\) için
\[f_Y(y) = f_X\big(h(y)\big)\,|h'(y)| = 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{2\sqrt{y}},\]
öteki \(y\)’ler için \(f_Y(y) = 0\). Beklenen değer:
\[E(Y) = \int_0^1 y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy = \frac{1}{2} \int_0^1 y^{1/2}\,dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.\]
Bu, \(E(X^2) = \frac{0 + 0 + 1}{3} = \frac{1}{3}\) ile uyuşur.
(c) Birinci dağılımın dağılım fonksiyonu \(0 \le x \le 1\) için \(F(x) = \int_0^x 2u\,du = x^2\)’dir; \((0,1)\) üzerinde sürekli ve kesin artandır, tersi \(F^{-1}(u) = \sqrt{u}\)’dur. Önerme 23.1 gereği \(X = \sqrt{U}\) istenen dağılıma sahiptir. Doğrudan sağlama: \(0 < x < 1\) için
\[P(\sqrt{U} \le x) = P(U \le x^2) = x^2 = F(x).\]
\(U(a,b)\) için \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\), tersi \(F^{-1}(u) = a + (b-a)u\)’dur; öyleyse \(a + (b-a)U \sim U(a,b)\).
\(\blacksquare\)
23.2 Üstel Dağılım
Bir telefon santraline ilk çağrının gelmesine kadar geçen süre, bir ampulün ömrü, radyoaktif bir atomun bozunmasına kadar geçen süre: bunların hepsi pozitif değerli, “ne kadar beklenirse beklensin gelecek” türünden rastgele büyüklüklerdir. Geometrik dağılım (Tanım 22.2) ilk başarıya kadar geçen deneme sayısını modelliyordu; üstel dağılım, ilk olaya kadar geçen süreyi modeller.
Tanım 23.2 (Üstel Dağılım) \(\lambda > 0\) olsun. Olasılık yoğunluk fonksiyonu
\[f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\[1mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olan sürekli rastgele değişkene \(\lambda\) parametreli üstel dağılıma sahiptir denir ve \(X \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\) yazılır. \(\lambda\)’ya oran parametresi denir.
\(f_X\) bir yoğunluktur: negatif değildir ve
\[\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \Big[ -e^{-\lambda x} \Big]_0^{\infty} = 0 - (-1) = 1.\]
Dağılım fonksiyonu \(x \le 0\) için \(F_X(x) = 0\), \(x > 0\) için
\[F_X(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\,du = \Big[ -e^{-\lambda u} \Big]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}\]
olur. Uygulamalarda dağılım fonksiyonundan çok yaşam fonksiyonu denen tümleyeni kullanılır:
\[P(X > x) = 1 - F_X(x) = e^{-\lambda x}, \qquad x > 0.\]
Teorem 23.2 (Üstel Dağılımın Momentleri ve Moment Üreten Fonksiyonu) \(X \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\) olsun. Moment üreten fonksiyon \(t < \lambda\) için sonludur ve
\[M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}, \qquad t < \lambda.\]
Ayrıca
\[E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad E(X^n) = \frac{n!}{\lambda^n} \quad (n \in \mathbb{N}).\]
İspat
Tanımdan
\[M_X(t) = \int_0^{\infty} e^{tx}\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda \int_0^{\infty} e^{-(\lambda - t)x}\,dx.\]
\(t \ge \lambda\) ise integrand her \(x \ge 0\) için \(1\)’den küçük değildir ve integral ıraksar; \(t < \lambda\) ise
\[M_X(t) = \lambda \left[ \frac{e^{-(\lambda - t)x}}{-(\lambda - t)} \right]_0^{\infty} = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda - t} = \frac{\lambda}{\lambda - t}.\]
\(M_X\), sıfırın \((-\lambda, \lambda)\) komşuluğunda sonlu olduğundan Teorem 17.4 uygulanır. Türevler:
\[M_X'(t) = \frac{\lambda}{(\lambda - t)^2}, \qquad M_X''(t) = \frac{2\lambda}{(\lambda - t)^3}.\]
\(t = 0\)’da \(E(X) = M_X'(0) = \frac{1}{\lambda}\) ve \(E(X^2) = M_X''(0) = \frac{2}{\lambda^2}\); dolayısıyla
\[\operatorname{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}.\]
Genel moment için \(M_X\)’i geometrik seri olarak açalım; \(|t| < \lambda\) için
\[M_X(t) = \frac{1}{1 - t/\lambda} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{t}{\lambda} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{\lambda^n} \cdot \frac{t^n}{n!}.\]
\(\frac{t^n}{n!}\)’in katsayısı \(E(X^n)\) olduğundan \(E(X^n) = \frac{n!}{\lambda^n}\); \(n = 1, 2\) için yukarıdaki değerler yeniden bulunur.
\(\blacksquare\)
Üstel dağılımda standart sapma beklenen değere eşittir: \(\sigma_X = \frac{1}{\lambda} = E(X)\). Oran parametresi büyüdükçe olaylar sıklaşır, bekleme kısalır.
Üstel dağılımın en önemli yapısal özelliği, geometrik dağılımla paylaştığı hafızasızlıktır: bir parça \(s\) zaman çalışmışsa, en az \(t\) zaman daha çalışma olasılığı, yeni bir parçanın en az \(t\) zaman çalışma olasılığına eşittir. Geçmiş, geleceğe dair hiçbir bilgi taşımaz. Teorem bunun tersini de söyler: bu özelliğe sahip tek sürekli dağılım üsteldir.
Teorem 23.3 (Hafızasızlık Özelliği) (a) \(X \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\) ise her \(s, t \ge 0\) için
\[P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t).\]
(b) Tersine, \(X\), \(P(X > 0) = 1\) olan bir rastgele değişken ve her \(s, t \ge 0\) için
\[P(X > s + t) = P(X > s)\,P(X > t)\]
ise, bir \(\lambda > 0\) için \(X \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\)’dır.
İspat
(a) \(s + t \ge s\) olduğundan \((X > s + t) \subseteq (X > s)\)’dir. Koşullu olasılık tanımıyla
\[P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P(X > s + t,\, X > s)}{P(X > s)} = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t).\]
(b) \(G(t) = P(X > t) = 1 - F_X(t)\) yazalım (\(t \ge 0\)). Varsayım \(G(s+t) = G(s)\,G(t)\) biçimini alır. \(G\) artmayan bir fonksiyondur; \(G(0) = P(X > 0) = 1\)’dir ve dağılım fonksiyonunun sonsuzdaki limitinden \(G(t) \to 0\) (\(t \to \infty\)).
Adım 1: \(0 < G(1) < 1\). Fonksiyonel denklemi ardışık olarak uygulayarak her \(n \in \mathbb{N}\) için \(G(1) = G\!\left(\tfrac{1}{n}\right)^n\) ve \(G(n) = G(1)^n\) buluruz. \(G(1) = 0\) olsaydı her \(n\) için \(G\!\left(\tfrac{1}{n}\right) = 0\) olurdu; \(G\) artmayan olduğundan her \(t > 0\) için \(G(t) = 0\) olur, dolayısıyla
\[P(X > 0) = P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( X > \tfrac{1}{n} \right) \right) = \lim_{n \to \infty} G\!\left(\tfrac{1}{n}\right) = 0\]
çıkardı (artan olaylar dizisinde olasılığın sürekliliği); bu, \(P(X > 0) = 1\) ile çelişir. \(G(1) = 1\) olsaydı her \(n\) için \(G(n) = 1\) olur, \(G(t) \to 0\) ile çelişirdi. Öyleyse \(0 < G(1) < 1\) ve
\[\lambda = -\ln G(1)\]
sayısı \((0, \infty)\) aralığındadır; \(G(1) = e^{-\lambda}\).
Adım 2: rasyonel noktalar. \(m, n \in \mathbb{N}\) için \(G\!\left(\tfrac{m}{n}\right) = G\!\left(\tfrac{1}{n}\right)^m\) ve \(G\!\left(\tfrac{1}{n}\right) = G(1)^{1/n} = e^{-\lambda/n}\) olduğundan
\[G\!\left(\frac{m}{n}\right) = e^{-\lambda m/n}.\]
Yani her pozitif rasyonel \(q\) için \(G(q) = e^{-\lambda q}\).
Adım 3: bütün pozitif reel sayılar. \(t > 0\) irrasyonel olsun. \(q_1 < t < q_2\) olan rasyonel \(q_1, q_2\) alalım. \(G\) artmayan olduğundan
\[e^{-\lambda q_2} = G(q_2) \le G(t) \le G(q_1) = e^{-\lambda q_1}.\]
\(q_1 \uparrow t\) ve \(q_2 \downarrow t\) alınırsa iki uç da \(e^{-\lambda t}\)’ye gider; sıkıştırmayla \(G(t) = e^{-\lambda t}\).
Böylece \(t > 0\) için \(F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t}\) ve \(P(X > 0) = 1\) nedeniyle \(t \le 0\) için \(F_X(t) = 0\) bulundu. Bu, \(\operatorname{Üstel}(\lambda)\) dağılımının dağılım fonksiyonudur; dağılım fonksiyonu dağılımı belirlediğinden \(X \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\).
\(\blacksquare\)
Geometrik dağılımda \(P(X > n) = (1-p)^n\), üstel dağılımda \(P(X > t) = e^{-\lambda t}\) idi; ikisi de \(G(s+t) = G(s)G(t)\) denklemini sağlar ve \(1 - p\) ile \(e^{-\lambda}\) birbirine karşılık gelir. Yukarıdaki ispat, bu denklemi pozitif reel sayılarda sağlayan, \(G(0) = 1\) olan ve sonsuzda sıfıra giden tek artmayan fonksiyonun \(e^{-\lambda t}\) olduğunu gösterdi; doğal sayılarda aynı akıl yürütme \((1-p)^n\)’i verir. Dolayısıyla hafızasız tek sürekli dağılım üstel, hafızasız tek kesikli dağılım geometrik dağılımdır. Yıpranan parçalar için \(P(X > s + t \mid X > s)\), \(s\) ile azalır; üstel model yalnızca “yaşlanmayan” parçalara uygundur.
Üstel dağılım, Poisson dağılımının (Tanım 21.1) zaman eksenindeki karşılığıdır. Poisson dağılımı sabit bir zaman aralığındaki olay sayısını sayar; üstel dağılım ilk olaya kadar geçen süreyi ölçer. Aralarındaki ilişki tek satırlık bir gözleme dayanır: “ilk olay \(t\)’den sonra gelir” ile “\((0, t]\) aralığında hiç olay yoktur” aynı olaydır.
Önerme 23.2 (Üstel Dağılım ile Poisson Dağılımı Arasındaki İlişki) Zaman içinde gerçekleşen olaylar için her \(t > 0\)’da \((0, t]\) aralığındaki olay sayısı \(N_t\), \(\operatorname{Poisson}(\lambda t)\) dağılımlı olsun; yani birim zamandaki olay sayısı \(\operatorname{Poisson}(\lambda)\) dağılımlıdır. \(T\) ilk olayın zamanı ise \(T \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\)’dır.
İspat
\(t > 0\) olsun. İlk olay \(t\)’den sonra gerçekleşir ancak ve ancak \((0, t]\) aralığında hiç olay olmazsa: \((T > t) = (N_t = 0)\). Poisson olasılık fonksiyonuyla
\[P(T > t) = P(N_t = 0) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}.\]
Dolayısıyla \(t > 0\) için \(F_T(t) = 1 - e^{-\lambda t}\); \(T\) pozitif olduğundan \(t \le 0\) için \(F_T(t) = 0\). Bu, \(\operatorname{Üstel}(\lambda)\) dağılımının dağılım fonksiyonudur.
\(\blacksquare\)
Önerme, oran parametresinin anlamını açıklar: birim zamanda ortalama \(\lambda\) olay gerçekleşiyorsa ilk olaya kadar ortalama \(\frac{1}{\lambda}\) birim beklenir. Ardışık iki olay arasındaki sürelerin de bağımsız ve \(\operatorname{Üstel}(\lambda)\) dağılımlı olduğu, bu kitabın kapsamı dışında kalan stokastik süreçler dersinde ispatlanır; bu yapıya Poisson süreci denir.
Örnek 23.2 (Üstel Ömür ve Bekleme Süresi Hesapları) (a) Elektronik bir parçanın ömrü \(X\) (saat), beklenen değeri \(1000\) saat olan üstel dağılıma sahiptir. Parçanın \(2000\) saatten uzun çalışma olasılığını, \(500\) saatten önce bozulma olasılığını, ömrün medyanını ve \(500\) saat çalışmış bir parçanın en az \(1000\) saat daha çalışma olasılığını bulunuz.
(b) Bir çağrı merkezine çağrılar, saatte ortalama \(3\) çağrı olacak biçimde, her \(t\) saatlik aralıktaki çağrı sayısı \(\operatorname{Poisson}(3t)\) olacak şekilde gelmektedir. İlk çağrı için yarım saatten uzun bekleme olasılığını, \(10\) dakikadan kısa bekleme olasılığını ve beklenen bekleme süresini bulunuz.
Çözüm
(a) \(E(X) = \frac{1}{\lambda} = 1000\) olduğundan \(\lambda = \frac{1}{1000}\) ve \(P(X > x) = e^{-x/1000}\).
\[P(X > 2000) = e^{-2} \approx 0{,}1353, \qquad P(X < 500) = 1 - e^{-1/2} \approx 0{,}3935.\]
Medyan \(m\), \(F_X(m) = \frac{1}{2}\) denkleminin çözümüdür: \(1 - e^{-m/1000} = \frac{1}{2}\), yani \(e^{-m/1000} = \frac{1}{2}\) ve
\[m = 1000 \ln 2 \approx 693{,}1 \text{ saat.}\]
Medyan beklenen değerden küçüktür: ömürlerin yarısından fazlası ortalamanın altındadır, az sayıdaki uzun ömür ortalamayı yukarı çeker.
Son olasılık için hafızasızlık (Teorem 23.3) kullanılır:
\[P(X > 1500 \mid X > 500) = P(X > 1000) = e^{-1} \approx 0{,}3679.\]
Doğrudan hesapla da aynı sonuç çıkar: \(\dfrac{e^{-1500/1000}}{e^{-500/1000}} = e^{-1}\).
(b) Önerme 23.2 gereği ilk çağrıya kadar geçen süre \(T\) (saat), \(\operatorname{Üstel}(3)\) dağılımlıdır.
\[P\!\left(T > \tfrac{1}{2}\right) = e^{-3 \cdot 1/2} = e^{-1{,}5} \approx 0{,}2231.\]
Aynı sonuç Poisson tarafından da çıkar: \(P(N_{1/2} = 0) = e^{-1{,}5}\). \(10\) dakika \(\frac{1}{6}\) saattir:
\[P\!\left(T < \tfrac{1}{6}\right) = 1 - e^{-3/6} = 1 - e^{-1/2} \approx 0{,}3935.\]
Beklenen bekleme süresi \(E(T) = \frac{1}{3}\) saat, yani \(20\) dakikadır.
\(\blacksquare\)
23.3 Normal Dağılım
Normal dağılım, olasılık teorisinin merkezindeki dağılımdır. Gauss onu ölçüm hatalarının dağılımı olarak kullandı; bugün önemi, matematiksel istatistikte ispatlanacak olan merkezi limit teoreminden gelir: çok sayıda bağımsız, küçük etkinin toplamı, tek tek etkilerin dağılımı ne olursa olsun, yaklaşık olarak normal dağılır. Bu bölümde teoremi değil, dağılımın kendisini kuracağız.
Tanım 23.3 (Normal (Gauss) Dağılımı) \(\mu \in \mathbb{R}\) ve \(\sigma > 0\) olsun. Olasılık yoğunluk fonksiyonu
\[f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right), \qquad x \in \mathbb{R}\]
olan sürekli rastgele değişkene \(\mu\) ve \(\sigma^2\) parametreli normal dağılıma (Gauss dağılımına) sahiptir denir ve \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) yazılır. \(N(0,1)\) dağılımına standart normal dağılım denir; yoğunluğu ve dağılım fonksiyonu
\[\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^2/2}, \qquad \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z} \varphi(u)\,du\]
ile gösterilir.
Yoğunluğun biçimine bakalım. \(f_X\) her yerde pozitiftir, \(x = \mu\) noktasına göre simetriktir ve en büyük değerini \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) olarak \(x = \mu\)’de alır. Türevleri
\[f_X'(x) = -\frac{x - \mu}{\sigma^2}\,f_X(x), \qquad f_X''(x) = \left( \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^4} - \frac{1}{\sigma^2} \right) f_X(x)\]
olduğundan büküm noktaları \(x = \mu \pm \sigma\)’dadır. \(\sigma\) küçüldükçe çan daralır ve yükselir, büyüdükçe genişler ve basıklaşır; \(\mu\) değişince eğri yalnızca yatay kayar. Tanımda \(\sigma^2\) yazılmasının nedeni, ikinci parametrenin varyans olmasıdır.
Bu fonksiyonun bir yoğunluk olduğunu göstermek bir satırlık iş değildir; \(e^{-x^2}\)’nin ilkel fonksiyonu elemanter fonksiyonlarla yazılamaz. İntegralin değeri, iki boyutlu integrale geçip kutupsal koordinat kullanan klasik bir hileyle bulunur.
Teorem 23.4 (Normal Yoğunluğun İntegrali Birdir) Standart normal yoğunluğun normalleştirme sabitini veren eşitlik şudur:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2}\,dz = \sqrt{2\pi}.\]
Dolayısıyla her \(\mu \in \mathbb{R}\) ve \(\sigma > 0\) için Tanım 23.3’deki \(f_X\) bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
İspat
Adım 1: integral yakınsar. \([-1, 1]\) üzerinde integrand sürekli olduğundan oradaki integral sonludur. \(|z| \ge 1\) için \(z^2 \ge |z|\), dolayısıyla \(e^{-z^2/2} \le e^{-|z|/2}\)’dir; \(\int_1^{\infty} e^{-z/2}\,dz = 2e^{-1/2}\) sonlu olduğundan karşılaştırmayla sağ kuyruk yakınsar, integrand çift olduğundan sol kuyruk da aynı değere yakınsar. Böylece \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2}\,dz\) yakınsar. Değerine \(I\) diyelim; integrand pozitif olduğundan \(I > 0\).
Adım 2: \(I^2\)’yi iki katlı integral olarak yazma. Değişken adının önemi olmadığından
\[I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2/2}\,dy \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)/2}\,dx\,dy;\]
integrand pozitif ve iki ayrı integralin çarpımı sonlu olduğundan iki katlı integral düzlemin tamamı üzerinde yakınsar ve ardışık integral olarak hesaplanabilir.
Adım 3: kutupsal koordinatlar. \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\) (\(r > 0\), \(0 \le \theta < 2\pi\)) dönüşümünün Jacobian’ı \(r\)’dir ve \(x^2 + y^2 = r^2\) olur:
\[I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2/2}\,r\,dr\,d\theta.\]
İç integralde \(u = \frac{r^2}{2}\), \(du = r\,dr\) alınırsa
\[\int_0^{\infty} e^{-r^2/2}\,r\,dr = \int_0^{\infty} e^{-u}\,du = 1.\]
Öyleyse \(I^2 = \int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi\) ve \(I > 0\) olduğundan \(I = \sqrt{2\pi}\).
Adım 4: genel \(\mu\), \(\sigma\). \(f_X \ge 0\) açıktır. \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) değişken değişimiyle \(dx = \sigma\,dz\) ve
\[\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2}\,\sigma\,dz = \frac{\sigma}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} = 1.\]
\(\blacksquare\)
Teorem aynı zamanda \(\varphi\)’nin bir yoğunluk ve \(\Phi\)’nin bir dağılım fonksiyonu olduğunu söyler. \(\Phi\) sürekli ve kesin artandır, \(\Phi(0) = \frac{1}{2}\)’dir; ama kapalı bir formülü yoktur, değerleri tablodan okunur.
Şimdi parametrelerin anlamını belirleyelim. Önce moment üreten fonksiyonu hesaplamak en kestirme yoldur; beklenen değeri, varyansı ve dağılımın öteki yapısal özelliklerini ondan okuyacağız.
Teorem 23.5 (Normal Dağılımın Moment Üreten Fonksiyonu, Beklenen Değeri ve Varyansı) \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) olsun. Her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[M_X(t) = \exp\!\left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)\]
ve
\[E(X) = \mu, \qquad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2.\]
İspat
\(t \in \mathbb{R}\) sabit olsun. Tanımdan
\[M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\,\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) dx.\]
\(x = \mu + \sigma z\) değişken değişimiyle (\(dx = \sigma\,dz\))
\[M_X(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{t(\mu + \sigma z)}\,e^{-z^2/2}\,dz = e^{\mu t} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left( \sigma t z - \frac{z^2}{2} \right) dz.\]
Üsteli kareye tamamlayalım:
\[\sigma t z - \frac{z^2}{2} = -\frac{1}{2}\left( z^2 - 2\sigma t z \right) = -\frac{1}{2}\left( (z - \sigma t)^2 - \sigma^2 t^2 \right) = -\frac{(z - \sigma t)^2}{2} + \frac{\sigma^2 t^2}{2}.\]
\(z\)’ye bağlı olmayan \(\frac{\sigma^2 t^2}{2}\) terimi integralin dışına çıkar:
\[M_X(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(z - \sigma t)^2/2}\,dz.\]
Son integralde \(w = z - \sigma t\) alınırsa \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-w^2/2}\,dw = \sqrt{2\pi}\) olur (Teorem 23.4). Dolayısıyla
\[M_X(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}.\]
İntegral her \(t\) için yakınsadığından \(M_X\) bütün \(\mathbb{R}\)’de sonludur ve Teorem 17.4 uygulanır. Türevler:
\[M_X'(t) = (\mu + \sigma^2 t)\,M_X(t), \qquad M_X''(t) = \sigma^2 M_X(t) + (\mu + \sigma^2 t)^2 M_X(t).\]
\(M_X(0) = 1\) olduğundan \(E(X) = M_X'(0) = \mu\) ve \(E(X^2) = M_X''(0) = \sigma^2 + \mu^2\); Önerme 16.3 ile
\[\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 + \mu^2 - \mu^2 = \sigma^2.\]
\(\blacksquare\)
Demek ki \(N(\mu, \sigma^2)\) gösterimindeki iki parametre tam olarak beklenen değer ve varyanstır. Moment üreten fonksiyonun üstelinin \(t\)’de ikinci dereceden bir polinom olması normal dağılımın ayırt edici özelliğidir; aşağıdaki sonuçların hepsi bu biçimin korunmasına dayanır.
Standartlaştırma
Normal dağılım hesaplarında tek bir tablo yeter, çünkü her normal rastgele değişken doğrusal bir dönüşümle standart normale çevrilebilir.
Teorem 23.6 (Standartlaştırma) \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) ise
\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1).\]
Tersine, \(Z \sim N(0,1)\) ise \(X = \mu + \sigma Z \sim N(\mu, \sigma^2)\). Sonuç olarak her \(x \in \mathbb{R}\) ve \(a < b\) için
\[F_X(x) = \Phi\!\left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right), \qquad P(a < X \le b) = \Phi\!\left( \frac{b - \mu}{\sigma} \right) - \Phi\!\left( \frac{a - \mu}{\sigma} \right)\]
ve her \(z \in \mathbb{R}\) için \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).
İspat
\(g(x) = \frac{x - \mu}{\sigma}\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde kesin artan ve türevlenebilirdir; tersi \(h(z) = \mu + \sigma z\), türevi \(h'(z) = \sigma > 0\)’dır. Dönüşüm formülü (Teorem 12.2) ile \(Z = g(X)\)’in yoğunluğu
\[f_Z(z) = f_X\big(h(z)\big)\,|h'(z)| = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{(\mu + \sigma z - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^2/2} = \varphi(z).\]
Demek ki \(Z \sim N(0,1)\). Ters yön aynı formülle: \(g(z) = \mu + \sigma z\) kesin artan, tersi \(h(x) = \frac{x-\mu}{\sigma}\), \(h'(x) = \frac{1}{\sigma}\); \(X = g(Z)\)’nin yoğunluğu
\[f_X(x) = \varphi\!\left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right) \cdot \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right),\]
yani \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).
Dağılım fonksiyonu için, \(g\) kesin artan olduğundan \((X \le x) = \left( Z \le \frac{x-\mu}{\sigma} \right)\) ve
\[F_X(x) = P\!\left( Z \le \frac{x - \mu}{\sigma} \right) = \Phi\!\left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right).\]
\(P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)\) eşitliği bunu izler; \(X\) sürekli olduğundan aralığın uçlarının dâhil olup olmaması önemsizdir.
Simetri özelliği için \(\Phi(-z)\) integralinde \(u = -v\) değişimini yapalım:
\[\Phi(-z) = \int_{-\infty}^{-z} \varphi(u)\,du = \int_{z}^{\infty} \varphi(-v)\,dv = \int_{z}^{\infty} \varphi(v)\,dv = 1 - \Phi(z);\]
burada \(\varphi(-v) = \varphi(v)\) (çift fonksiyon) ve \(\int_{-\infty}^{\infty} \varphi = 1\) kullanıldı.
\(\blacksquare\)
\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) için Teorem 23.6 ve \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) ile
\[P(|X - \mu| < k\sigma) = P(-k < Z < k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = 2\Phi(k) - 1.\]
\(k = 1, 2, 3\) için bu olasılıklar yaklaşık \(0{,}6827\), \(0{,}9545\) ve \(0{,}9973\)’tür: normal dağılımlı bir büyüklük, ortalamasının bir standart sapma yakınına yaklaşık üçte iki, iki standart sapma yakınına yüzde \(95\), üç standart sapma yakınına yüzde \(99{,}7\) olasılıkla düşer. Chebyshev eşitsizliğinin (Teorem 16.4) \(k = 2\) için verdiği \(P(|X - \mu| \ge 2\sigma) \le \frac{1}{4}\) sınırıyla karşılaştırınız: gerçek değer \(0{,}0455\)’tir.
Standartlaştırma, \(aX + b\) biçiminde bir dönüşümdür. Genel doğrusal dönüşümün de normal dağılımı koruduğunu bu kez moment üreten fonksiyonla gösterelim; aynı teknik bir sonraki teoremde toplamlar için de işe yarayacak.
Önerme 23.3 (Normal Dağılımın Doğrusal Dönüşümü) \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), \(a \ne 0\) ve \(b \in \mathbb{R}\) ise
\[aX + b \sim N\big(a\mu + b,\; a^2\sigma^2\big).\]
İspat
\(Y = aX + b\) olsun. Her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[M_Y(t) = E\big(e^{t(aX + b)}\big) = e^{bt}\,E\big(e^{(at)X}\big) = e^{bt}\,M_X(at) = e^{bt} \exp\!\left( \mu a t + \frac{\sigma^2 a^2 t^2}{2} \right) = \exp\!\left( (a\mu + b)\,t + \frac{a^2\sigma^2\,t^2}{2} \right).\]
Bu, Teorem 23.5 gereği \(N(a\mu + b, a^2\sigma^2)\) dağılımının moment üreten fonksiyonudur ve her \(t\) için sonludur. Moment üreten fonksiyon dağılımı tek türlü belirlediğinden (Teorem 17.5) \(Y \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)\).
\(\blacksquare\)
Parametreler Teorem 16.2 ile uyumludur; önermenin yeni söylediği, dağılımın türünün korunmasıdır. \(a = \frac{1}{\sigma}\), \(b = -\frac{\mu}{\sigma}\) alınırsa \(N(0,1)\) bulunur; standartlaştırma teoremi böylece ikinci bir ispat kazanır.
Bağımsız Normallerin Toplamı
Bağımsız normal rastgele değişkenlerin toplamı yine normaldir. Bunu konvolüsyonla (Önerme 15.3) göstermek uzun bir kareye tamamlama gerektirir; moment üreten fonksiyon aynı sonucu iki satırda verir.
Teorem 23.7 (Bağımsız Normal Rastgele Değişkenlerin Toplamı) \(X_1, \ldots, X_n\) bağımsız ve her \(i\) için \(X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)\) olsun. O zaman
\[S = X_1 + \cdots + X_n \sim N\big(\mu_1 + \cdots + \mu_n,\; \sigma_1^2 + \cdots + \sigma_n^2\big).\]
Özel olarak, \(X_1, \ldots, X_n\) bağımsız ve hepsi \(N(\mu, \sigma^2)\) dağılımlı ise
\[S \sim N(n\mu, n\sigma^2) \qquad \text{ve} \qquad \overline{X} = \frac{S}{n} \sim N\!\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\]
İspat
\(X_1, \ldots, X_n\) bağımsız olduğundan (Tanım 14.1) \(e^{tX_1}, \ldots, e^{tX_n}\) de bağımsızdır; bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının beklenen değeri beklenen değerlerin çarpımıdır (Teorem 18.1; \(n\) çarpan için, \(e^{t(X_1 + \cdots + X_{n-1})}\) ile \(e^{tX_n}\) bağımsız olduğundan tümevarımla). Dolayısıyla her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[M_S(t) = E\big(e^{t(X_1 + \cdots + X_n)}\big) = E\!\left( \prod_{i=1}^n e^{tX_i} \right) = \prod_{i=1}^n E\big(e^{tX_i}\big) = \prod_{i=1}^n \exp\!\left( \mu_i t + \frac{\sigma_i^2 t^2}{2} \right) = \exp\!\left( \Big( \sum_{i=1}^n \mu_i \Big) t + \Big( \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \Big) \frac{t^2}{2} \right).\]
Bu, \(N\!\left( \sum \mu_i, \sum \sigma_i^2 \right)\) dağılımının moment üreten fonksiyonudur; Teorem 17.5 gereği \(S\) bu dağılıma sahiptir.
Özdeş dağılım durumunda toplamlar \(n\mu\) ve \(n\sigma^2\) olur. \(\overline{X} = \frac{1}{n} S\) için Önerme 23.3’u \(a = \frac{1}{n}\), \(b = 0\) ile uygularız:
\[\overline{X} \sim N\!\left( \frac{n\mu}{n}, \frac{n\sigma^2}{n^2} \right) = N\!\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\]
\(\blacksquare\)
Varyansların toplanması Sonuç 18.2’nın söylediğinden fazlası değildir; teoremin katkısı yine dağılım türünün korunmasıdır. \(\overline{X}\) için bulunan sonuç matematiksel istatistiğin çıkış noktasıdır: \(n\) bağımsız ölçümün ortalaması, tek ölçümle aynı merkezde ama \(\sqrt{n}\) kat küçük standart sapmayla dağılır.
\(X \sim N(0,1)\) ve \(\varepsilon\), \(X\)’ten bağımsız, \(P(\varepsilon = 1) = P(\varepsilon = -1) = \frac{1}{2}\) olsun; \(Y = \varepsilon X\) alalım. Toplam olasılık formülü ve \(-X \sim N(0,1)\) (Önerme 23.3, \(a = -1\)) ile
\[P(Y \le y) = \tfrac{1}{2} P(X \le y) + \tfrac{1}{2} P(-X \le y) = \Phi(y),\]
yani \(Y \sim N(0,1)\). Oysa \(X + Y = (1 + \varepsilon) X\), \(\varepsilon = -1\) iken tam olarak \(0\)’dır: \(P(X + Y = 0) = \frac{1}{2} > 0\). \(X + Y\) sürekli bile değildir, normal hiç değildir.
Standart Normal Tablo Hesapları
\(\Phi\)’nin kapalı formülü olmadığından değerleri tablodan okunur. Tablolar \(z \ge 0\) için verilir; negatif \(z\) için \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) kullanılır. Çözüm şeması her zaman aynıdır: istenen olay \(X\) cinsinden yazılır, Teorem 23.6 ile \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) cinsine çevrilir, gerekirse simetriyle pozitif \(z\)’lere indirgenir ve tablodan okunur.
Örnek 23.3 (Standart Normal Tablo Hesapları) Aşağıdaki tablo, \(\Phi(z)\) değerlerini dört ondalıkla verir; satır \(z\)’nin ilk basamaklarını, sütun eklenecek miktarı gösterir (örneğin \(\Phi(1{,}25)\), satır \(1{,}2\) ile sütun \(+0{,}05\)’in kesişimidir).
| \(z\) | \(+0{,}00\) | \(+0{,}05\) | \(+0{,}10\) | \(+0{,}15\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0{,}0\) | \(0{,}5000\) | \(0{,}5199\) | \(0{,}5398\) | \(0{,}5596\) |
| \(0{,}2\) | \(0{,}5793\) | \(0{,}5987\) | \(0{,}6179\) | \(0{,}6368\) |
| \(0{,}4\) | \(0{,}6554\) | \(0{,}6736\) | \(0{,}6915\) | \(0{,}7088\) |
| \(0{,}6\) | \(0{,}7257\) | \(0{,}7422\) | \(0{,}7580\) | \(0{,}7734\) |
| \(0{,}8\) | \(0{,}7881\) | \(0{,}8023\) | \(0{,}8159\) | \(0{,}8289\) |
| \(1{,}0\) | \(0{,}8413\) | \(0{,}8531\) | \(0{,}8643\) | \(0{,}8749\) |
| \(1{,}2\) | \(0{,}8849\) | \(0{,}8944\) | \(0{,}9032\) | \(0{,}9115\) |
| \(1{,}4\) | \(0{,}9192\) | \(0{,}9265\) | \(0{,}9332\) | \(0{,}9394\) |
| \(1{,}6\) | \(0{,}9452\) | \(0{,}9505\) | \(0{,}9554\) | \(0{,}9599\) |
| \(1{,}8\) | \(0{,}9641\) | \(0{,}9678\) | \(0{,}9713\) | \(0{,}9744\) |
| \(2{,}0\) | \(0{,}9772\) | \(0{,}9798\) | \(0{,}9821\) | \(0{,}9842\) |
| \(2{,}2\) | \(0{,}9861\) | \(0{,}9878\) | \(0{,}9893\) | \(0{,}9906\) |
| \(2{,}4\) | \(0{,}9918\) | \(0{,}9929\) | \(0{,}9938\) | \(0{,}9946\) |
| \(2{,}6\) | \(0{,}9953\) | \(0{,}9960\) | \(0{,}9965\) | \(0{,}9970\) |
| \(2{,}8\) | \(0{,}9974\) | \(0{,}9978\) | \(0{,}9981\) | \(0{,}9984\) |
| \(3{,}0\) | \(0{,}9987\) | \(0{,}9989\) | \(0{,}9990\) | \(0{,}9992\) |
Bir sınavdaki puanlar \(X \sim N(100, 15^2)\) dağılımlı olsun.
(a) \(P(X \le 115)\), \(P(X > 130)\) ve \(P(85 < X < 122{,}5)\) olasılıklarını bulunuz.
(b) \(P(X \le c) = 0{,}9332\) olan \(c\) puanını ve puanların yalnızca yüzde \(5\)’inin aştığı \(d\) puanını bulunuz (\(\Phi(1{,}6449) = 0{,}9500\) verilmiştir).
(c) Bir üründe iki parçanın uzunlukları bağımsız ve \(Y_1 \sim N(50, 3^2)\), \(Y_2 \sim N(30, 4^2)\) (mm) dağılımlıdır. Toplam uzunluğun \(90\) mm’yi aşma olasılığını bulunuz.
(d) Bir büyüklük, beklenen değeri \(\mu\) ve varyansı \(16\) olan normal dağılımlı bir aletle \(16\) kez bağımsız olarak ölçülüyor. Ölçümlerin ortalamasının \(\mu\)’ye \(1\) birimden yakın olma olasılığını bulunuz.
Çözüm
(a) \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) ile standartlaştırırız.
\[P(X \le 115) = \Phi\!\left( \frac{115 - 100}{15} \right) = \Phi(1) = 0{,}8413.\]
\[P(X > 130) = 1 - \Phi\!\left( \frac{130 - 100}{15} \right) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228.\]
\[P(85 < X < 122{,}5) = \Phi\!\left( \frac{122{,}5 - 100}{15} \right) - \Phi\!\left( \frac{85 - 100}{15} \right) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1).\]
\(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\) olduğundan
\[P(85 < X < 122{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}1587 = 0{,}7745.\]
(b) \(P(X \le c) = \Phi\!\left( \frac{c - 100}{15} \right) = 0{,}9332\) olmalıdır. Tabloda \(0{,}9332 = \Phi(1{,}5)\); \(\Phi\) kesin artan olduğundan \(\frac{c - 100}{15} = 1{,}5\) ve \(c = 100 + 15 \cdot 1{,}5 = 122{,}5\).
\(P(X > d) = 0{,}05\), yani \(P(X \le d) = 0{,}95\) istenir: \(\frac{d - 100}{15} = 1{,}6449\) ve
\[d = 100 + 15 \cdot 1{,}6449 = 124{,}67.\]
Puanların yüzde \(5\)’i \(124{,}67\)’nin üstündedir. (Tabloda \(\Phi(1{,}60) = 0{,}9452\) ve \(\Phi(1{,}65) = 0{,}9505\); \(0{,}95\) bu ikisinin arasındadır.)
(c) Teorem 23.7 gereği \(T = Y_1 + Y_2 \sim N(50 + 30,\; 9 + 16) = N(80, 25)\); \(\sigma_T = 5\).
\[P(T > 90) = 1 - \Phi\!\left( \frac{90 - 80}{5} \right) = 1 - \Phi(2) = 0{,}0228.\]
(d) \(\sigma^2 = 16\), \(n = 16\); Teorem 23.7 gereği \(\overline{X} \sim N\!\left( \mu, \frac{16}{16} \right) = N(\mu, 1)\). Öyleyse
\[P\big(|\overline{X} - \mu| < 1\big) = P\!\left( -1 < \frac{\overline{X} - \mu}{1} < 1 \right) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\]
(daha hassas değeri \(0{,}6827\)’dir). Tek ölçümde aynı olasılık \(2\Phi(0{,}25) - 1 = 0{,}1974\) olurdu; on altı ölçüm standart sapmayı \(4\) kat küçültür.
\(\blacksquare\)
23.4 Alıştırmalar
Alıştırma 23.1 (Düzgün, Üstel ve Normal Dağılımlar Üzerine) a) \(X \sim U(-1, 3)\) olsun. \(E(X)\), \(\operatorname{Var}(X)\), \(P(|X| < 1)\) ve \(P(X > 2 \mid X > 0)\) değerlerini bulunuz.
b) \(U \sim U(0,1)\) ve \(\lambda > 0\) olsun. \(Y = -\dfrac{1}{\lambda} \ln(1 - U)\) rastgele değişkeninin \(\operatorname{Üstel}(\lambda)\) dağılımlı olduğunu iki yolla gösteriniz: ters dönüşüm yöntemiyle ve dönüşüm formülüyle. \(-\dfrac{1}{\lambda} \ln U\)’nun da aynı dağılıma sahip olduğunu açıklayınız.
c) \(X_1 \sim \operatorname{Üstel}(\lambda_1)\) ve \(X_2 \sim \operatorname{Üstel}(\lambda_2)\) bağımsız olsun. \(\min\{X_1, X_2\} \sim \operatorname{Üstel}(\lambda_1 + \lambda_2)\) olduğunu ve \(P(X_1 < X_2) = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\) olduğunu gösteriniz.
d) \(X \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\) ve \(0 < p < 1\) olsun. \(P(X \le x_p) = p\) olan \(x_p\) sayısını (\(p\)-kantilini) bulunuz. Beklenen ömrü \(1000\) saat olan parça için ömürlerin yüzde \(10\)’unun altında kaldığı ve yüzde \(10\)’unun üstünde kaldığı süreleri hesaplayınız.
e) \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) için \(P(X < 10) = 0{,}1587\) ve \(P(X < 20) = 0{,}9332\) olduğu biliniyor. \(\mu\) ve \(\sigma\)’yı bulunuz; ardından \(P(X > 18)\)’i hesaplayınız.
f) \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) için \(P(|X - \mu| \ge 3\sigma)\) olasılığını Chebyshev eşitsizliğinden gelen üst sınırla karşılaştırınız.
g) \(Z \sim N(0,1)\) olsun. Moment üreten fonksiyonun seri açılımından \(E(Z^3) = 0\) ve \(E(Z^4) = 3\) olduğunu gösteriniz. \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) için \(E(e^X)\)’i bulunuz.
Çözüm
a) Teorem 23.1 ile \(E(X) = \frac{-1 + 3}{2} = 1\) ve \(\operatorname{Var}(X) = \frac{4^2}{12} = \frac{4}{3}\). \((|X| < 1) = (-1 < X < 1)\) olayının uzunluğu \(2\), aralığın uzunluğu \(4\): \(P(|X| < 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Koşullu olasılık:
\[P(X > 2 \mid X > 0) = \frac{P(X > 2)}{P(X > 0)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}.\]
b) Ters dönüşüm. \(\operatorname{Üstel}(\lambda)\) dağılım fonksiyonu \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\) (\(x > 0\)), \((0, \infty)\) üzerinde sürekli ve kesin artandır. \(F(x) = u\) denklemi \(e^{-\lambda x} = 1 - u\), yani \(x = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 - u)\) verir; \(F^{-1}(u) = -\frac{1}{\lambda} \ln(1-u)\). Önerme 23.1 gereği \(Y = F^{-1}(U) \sim \operatorname{Üstel}(\lambda)\).
Dönüşüm formülü. \(g(u) = -\frac{1}{\lambda} \ln(1-u)\), \((0,1)\) üzerinde kesin artan ve türevlenebilirdir; görüntüsü \((0, \infty)\), tersi \(h(y) = 1 - e^{-\lambda y}\), \(h'(y) = \lambda e^{-\lambda y}\). Teorem 12.2 ile \(y > 0\) için
\[f_Y(y) = f_U\big(h(y)\big)\,|h'(y)| = 1 \cdot \lambda e^{-\lambda y},\]
ki bu \(\operatorname{Üstel}(\lambda)\) yoğunluğudur.
\(0 < u < 1\) için \(P(1 - U \le u) = P(U \ge 1 - u) = u\) olduğundan \(1 - U \sim U(0,1)\); dolayısıyla \(-\frac{1}{\lambda} \ln U\) da \(\operatorname{Üstel}(\lambda)\) dağılımlıdır.
c) \(M = \min\{X_1, X_2\}\) olsun. \(t > 0\) için \((M > t) = (X_1 > t) \cap (X_2 > t)\) ve bağımsızlıkla
\[P(M > t) = P(X_1 > t)\,P(X_2 > t) = e^{-\lambda_1 t}\,e^{-\lambda_2 t} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2) t}.\]
\(M > 0\) olduğundan \(F_M(t) = 1 - e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)t}\) (\(t > 0\)), \(F_M(t) = 0\) (\(t \le 0\)): \(M \sim \operatorname{Üstel}(\lambda_1 + \lambda_2)\).
İkinci olasılık için bağımsızlık nedeniyle ortak yoğunluk çarpımdır: \(f(x_1, x_2) = \lambda_1 e^{-\lambda_1 x_1} \lambda_2 e^{-\lambda_2 x_2}\) (\(x_1, x_2 > 0\)). \(\{x_1 < x_2\}\) bölgesi üzerinde integral alalım; önce \(x_2\) üzerinden:
\[P(X_1 < X_2) = \int_0^{\infty} \lambda_1 e^{-\lambda_1 x_1} \left( \int_{x_1}^{\infty} \lambda_2 e^{-\lambda_2 x_2}\,dx_2 \right) dx_1 = \int_0^{\infty} \lambda_1 e^{-\lambda_1 x_1}\,e^{-\lambda_2 x_1}\,dx_1 = \lambda_1 \int_0^{\infty} e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)x_1}\,dx_1 = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}.\]
d) \(1 - e^{-\lambda x_p} = p\) denkleminden \(e^{-\lambda x_p} = 1 - p\) ve
\[x_p = -\frac{\ln(1 - p)}{\lambda} = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{1}{1 - p}.\]
\(p = \frac{1}{2}\) için medyan \(\frac{\ln 2}{\lambda}\) bulunur (Örnek 23.2 ile uyumlu). \(\lambda = \frac{1}{1000}\) için:
\[x_{0{,}1} = -1000 \ln 0{,}9 \approx 105{,}4 \text{ saat}, \qquad x_{0{,}9} = -1000 \ln 0{,}1 \approx 2302{,}6 \text{ saat}.\]
Ömürlerin yüzde \(10\)’u \(105{,}4\) saatin altında, yüzde \(10\)’u \(2302{,}6\) saatin üstündedir.
e) Standartlaştırma ile \(\Phi\!\left( \frac{10 - \mu}{\sigma} \right) = 0{,}1587\) ve \(\Phi\!\left( \frac{20 - \mu}{\sigma} \right) = 0{,}9332\). Tablodan \(\Phi(1) = 0{,}8413\), dolayısıyla \(\Phi(-1) = 0{,}1587\); ve \(\Phi(1{,}5) = 0{,}9332\). \(\Phi\) kesin artan olduğundan
\[\frac{10 - \mu}{\sigma} = -1, \qquad \frac{20 - \mu}{\sigma} = 1{,}5.\]
İkinci denklemden birinciyi çıkarınca \(\frac{10}{\sigma} = 2{,}5\), yani \(\sigma = 4\); birinci denklemden \(\mu = 10 + \sigma = 14\). Sağlama: \(\frac{20 - 14}{4} = 1{,}5\). O hâlde \(X \sim N(14, 16)\) ve
\[P(X > 18) = 1 - \Phi\!\left( \frac{18 - 14}{4} \right) = 1 - \Phi(1) = 0{,}1587.\]
f) Teorem 16.4 ile \(P(|X - \mu| \ge 3\sigma) \le \frac{1}{9} \approx 0{,}1111\). Gerçek değer, standartlaştırma ve simetriyle,
\[P(|X - \mu| \ge 3\sigma) = P(|Z| \ge 3) = 2\big(1 - \Phi(3)\big) = 2(1 - 0{,}9987) = 0{,}0026\]
(daha hassas değeri \(0{,}0027\)’dir). Chebyshev sınırı gerçek olasılığın kırk katından büyüktür; her dağılım için geçerli olmanın bedeli budur.
g) \(M_Z(t) = e^{t^2/2}\) (Teorem 23.5, \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)). Üstel serisiyle
\[M_Z(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t^2/2)^k}{k!} = 1 + \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{8} + \cdots\]
Seride yalnızca çift kuvvetler bulunur; \(\frac{t^3}{3!}\)’in katsayısı \(0\) olduğundan Teorem 17.4 gereği \(E(Z^3) = 0\). \(\frac{t^4}{4!}\)’in katsayısı \(E(Z^4)\)’tür: \(\frac{t^4}{8} = E(Z^4)\,\frac{t^4}{24}\) eşitliğinden \(E(Z^4) = \frac{24}{8} = 3\).
Son olarak \(E(e^X)\), moment üreten fonksiyonun \(t = 1\)’deki değeridir:
\[E(e^X) = M_X(1) = e^{\mu + \sigma^2/2};\]
örneğin \(X \sim N(0,1)\) için \(E(e^X) = e^{1/2} \approx 1{,}6487\).
\(\blacksquare\)
23.5 Olasılık Teorisi’nin Sonu
Bu bölümle kitap tamamlanıyor. Geriye dönüp bakınca tek bir iplik görünür.
Bir rastgele deneyin bütün olası sonuçlarını toplayan örnek uzay \(\Omega\) ile başladık. Olasılık atayacağımız olayları keyfi bir aile olarak değil, tümleyen ve sayılabilir birleşim altında kapalı bir \(\sigma\)-cebir \(\mathcal{U}\) olarak seçtik; sayılabilir işlemler altında kapalılık, sonsuz deneyler ve limitler hakkında konuşabilmenin bedeliydi. Bu aile üzerinde Kolmogorov aksiyomlarını sağlayan bir olasılık ölçüsü \(P\) tanımladık ve \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) üçlüsüne olasılık uzayı dedik. Laplace uzayı, sayma teknikleri ve geometrik olasılık bu yapının ilk örnekleri oldu; koşullu olasılık, Bayes teoremi ve bağımsızlık, bir olay hakkındaki bilginin ötekilerin olasılığını nasıl değiştirdiğini anlattı.
İkinci adım, \(\Omega\)’yı sayı doğrusuna taşıyan rastgele değişken kavramıydı: \((X \le a)\) kümelerinin olay olması koşuluyla \(X : \Omega \to \mathbb{R}\). Bu koşul, \(P\) ölçüsünü Borel cebrine taşıyıp \(X\)’in dağılımını üretti; dağılım fonksiyonu \(F_X\) bu dağılımı tek bir azalmayan, sağdan sürekli fonksiyonda özetledi. Kesikli değişkenlerde olasılık fonksiyonu, sürekli değişkenlerde yoğunluk fonksiyonu \(F_X\)’i yeniden kurdu; dönüşüm formülü bir değişkenin fonksiyonunun dağılımını verdi. Rastgele vektörler aynı yapıyı \(\mathbb{R}^n\)’e genişletti: ortak, marjinal ve koşullu dağılımlar, bağımsızlık ve konvolüsyon.
Üçüncü adım beklenen değer oldu: dağılımın tek bir sayıya sıkıştırılmış özeti. Varyans, kovaryans ve korelasyon yayılımı ve birlikte hareketi ölçtü; Chebyshev eşitsizliği varyanstan olasılık sınırı çıkardı. Moment üreten fonksiyon ve karakteristik fonksiyon bütün momentleri tek bir fonksiyonda topladı ve teklik teoremi sayesinde dağılımları tanımanın en güçlü aracı oldu. Koşullu beklenen değer, bilginin beklentiyi nasıl güncellediğini söyledi.
Son kısımda bu araçları dağılım ailelerine uyguladık. Bernoulli denemelerinden binom, geometrik ve negatif binom; nadir olayların limitinden Poisson; iadesiz çekilişten hipergeometrik dağılım doğdu. Bu bölümde sürekli tarafta düzgün, üstel ve normal dağılımları kurduk: her sürekli dağılım düzgünden üretilir, üstel dağılım geometrik dağılımın sürekli kardeşi ve Poisson dağılımının zaman eksenindeki karşılığıdır, normal dağılım ise doğrusal dönüşüm ve bağımsız toplam altında kapalı kalan çan eğrisidir. Her dağılım için aynı soruları sorduk ve her yanıt önceki kısımlardaki genel teoremlerin bir uygulaması oldu.
Buradan iki ders devam eder. Matematiksel İstatistik soruyu tersine çevirir: dağılımı bilip örneklemin davranışını hesaplamak yerine, örneklemi görüp dağılımın bilinmeyen parametrelerini tahmin etmek. Büyük sayılar yasası ve merkezi limit teoremi normal dağılımın neden her yerde ortaya çıktığını açıklar; örneklem ortalaması için bulduğumuz \(N\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\) sonucu güven aralıklarının ve hipotez testlerinin çıkış noktasıdır. Stokastik Süreçler ise zamanla değişen rastgele değişken ailelerini inceler: Poisson süreci, ilk olayın zamanı için gösterdiğimiz üstel dağılımın bütün olaylar dizisine genişletilmiş hâlidir; Markov zincirleri koşullu olasılık ve hafızasızlık fikrini zamana yayar; Brown hareketi normal dağılımlı, bağımsız artışlı sürekli bir süreçtir. Bu kitapta kurulan olasılık uzayı, rastgele değişken ve dağılım dili her ikisinin de ortak temelidir.
Kitabın bütününe ve öteki bölümlere dönmek için: Müfredat ve Giriş.