2 Cebirler, σ-Cebirler ve Borel Cebri
Rastgele Deney, Örnek Uzay ve Olaylar bölümünde bir rastgele deneyin bütün olabilir sonuçlarını örnek uzay \(\Omega\)’da topladık ve \(\Omega\)’nın alt kümelerine olay dedik (Tanım 1.3). Olayları “veya”, “ve”, “değil” bağlaçlarıyla birleştirip yeni olaylar kurduk: \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A^c\). Örnek uzayın bazı alt kümelerinden oluşan bir topluluğa sınıf adını verdik (Tanım 1.5); bütün alt kümelerin sınıfı da kuvvet kümesi \(\mathcal{P}(\Omega)\) idi (Tanım 1.6).
Şimdi şu soruyu soruyoruz: bir deneyde “olay” diye adlandıracağımız alt kümelerin sınıfı nasıl bir sınıf olmalıdır? En azından şunu isteriz: iki olaydan “veya”, “ve”, “değil” ile türetilen kümeler de olay olsun; yani sınıf bu işlemlere göre kapalı olsun. Bir madeni paranın tura gelinceye kadar atılması gibi sonsuz sonuçlu deneylerde ise “tura çift numaralı bir atışta gelir” gibi olaylar, sayılabilir sonsuz tane olayın birleşimidir; öyleyse sınıfın sayılabilir birleşime de kapalı olması gerekir. Bu iki isteğin kesin biçimi cebir ve \(\sigma\)-cebir kavramlarıdır.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: cebir ve \(\sigma\)-cebir tanımları ve aralarındaki fark; \(\sigma\)-cebirlerin kesişim, fark gibi işlemlere de kapalı olduğu; verilen bir sınıfı kapsayan en küçük \(\sigma\)-cebirin, yani üretilen \(\sigma\)-cebirin varlığı ve somut örneklerde nasıl hesaplandığı; bir olaya kısıtlanmış iz \(\sigma\)-cebiri; ve örnek uzay \(\mathbb{R}\) olduğunda olasılık teorisinin standart olay sınıfı olan Borel cebri. Borel cebrini tanıttıktan sonra, örnek uzay \(\mathbb{R}\) iken neden her alt kümeye olasılık verilemeyeceğini sezgisel olarak açıklayacağız. Bu yapı, bir sonraki bölümde olasılık ölçüsünün tanım kümesi olacaktır.
2.1 Cebirler
Bir olaylar sınıfından istediğimiz en temel şey, “veya” ve “değil” işlemlerine kapalı olmasıdır. “Ve” işlemini ayrıca istemeye gerek yoktur; birazdan göreceğimiz gibi De Morgan kuralı onu ötekilerden üretir. Bir de kesin olayı, yani \(\Omega\)’nın kendisini sınıfın içinde isteriz.
Tanım 2.1 (Cebir) \(\Omega \ne \varnothing\) bir küme ve \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir sınıf olsun. \(\mathcal{U}\) sınıfı
(i) \(\Omega \in \mathcal{U}\),
(ii) \(A \in \mathcal{U} \Rightarrow A^c \in \mathcal{U}\),
(iii) \(A, B \in \mathcal{U} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{U}\)
koşullarını sağlıyorsa \(\mathcal{U}\) sınıfına \(\Omega\) üzerinde bir cebir denir.
Koşul (i) kesin olayın sınıfta olduğunu, (ii) sınıfın tümleyen almaya, (iii) ise iki kümenin birleşimini almaya kapalı olduğunu söyler. Bu üç koşuldan başka kapalılıklar da hemen çıkar:
- \(\varnothing = \Omega^c \in \mathcal{U}\); yani imkânsız olay sınıftadır.
- \(A, B \in \mathcal{U}\) ise \(A^c, B^c \in \mathcal{U}\) ve dolayısıyla \(A^c \cup B^c \in \mathcal{U}\); De Morgan kuralı (Önerme 1.1) gereği \(A \cap B = (A^c \cup B^c)^c \in \mathcal{U}\). Yani cebir kesişime de kapalıdır.
- \(A \setminus B = A \cap B^c \in \mathcal{U}\).
- Tümevarımla: \(B_1, \ldots, B_m \in \mathcal{U}\) ise \(B_1 \cup \cdots \cup B_m \in \mathcal{U}\) ve \(B_1 \cap \cdots \cap B_m \in \mathcal{U}\). Gerçekten \(m\) küme için doğruysa \(B_1 \cup \cdots \cup B_{m+1} = (B_1 \cup \cdots \cup B_m) \cup B_{m+1}\) yazılır ve (iii) uygulanır; kesişim için aynı yol izlenir.
Demek ki bir cebir, \(\cup\), \(\cap\), \(\setminus\) ve tümleyen işlemlerinin sonlu kez uygulanmasına kapalıdır. Sonsuz sonuçlu deneylerde bu yetmez.
2.2 σ-Cebirler
Bir madeni paranın tura gelinceye kadar atılması deneyinde (Örnek 1.2) \(\Omega = \{T, YT, YYT, YYYT, \ldots\} = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \ldots\}\) idi; \(\omega_n\), \(n-1\) tane \(Y\)’nin ardından \(T\) gelen sonuçtur. \(A_n = \{\omega_n\}\), “tura \(n\)-inci atışta gelir” olayı olsun: \(A_1 = \{T\}\), \(A_2 = \{YT\}\), \(A_3 = \{YYT\}\) ve böyle sürer. “Tura çift numaralı bir atışta gelir” olayı
\[A_2 \cup A_4 \cup A_6 \cup \cdots = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{2k}\]
biçimindedir; yani sayılabilir sonsuz tane olayın birleşimidir. Böyle olayları da olay saymak istiyorsak, sınıfın sayılabilir birleşime kapalı olmasını istemeliyiz. Tanımdaki (iii) koşulunu bu yönde güçlendiriyoruz.
Tanım 2.2 (σ-Cebir) \(\Omega \ne \varnothing\) bir küme ve \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir sınıf olsun. \(\mathcal{U}\) sınıfı
(i) \(\Omega \in \mathcal{U}\),
(ii) \(A \in \mathcal{U} \Rightarrow A^c \in \mathcal{U}\),
(iii*) \(A_n \in \mathcal{U}\) \((n = 1, 2, \ldots)\) bir küme dizisi ise \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{U}\)
koşullarını sağlıyorsa \(\mathcal{U}\) sınıfına \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir (sigma cebri) denir. Bir \(\sigma\)-cebirin elemanı olan kümelere olay denir; \((\Omega, \mathcal{U})\) ikilisine de ölçülebilir uzay denir.
Bu tanımdan sonra “olay” sözcüğü daha dar bir anlam kazanır: \(\Omega\)’nın her alt kümesi değil, seçilen \(\sigma\)-cebir \(\mathcal{U}\)’nun elemanı olan alt kümeler olaydır. Sonlu ya da sayılabilir örnek uzaylarda \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) alınır ve iki anlam çakışır; farkın gerçekten önemli olduğu durum \(\Omega = \mathbb{R}\) gibi sayılamayan örnek uzaylardır.
Adındaki \(\sigma\) harfi sayılabilir birleşimi anımsatır. İlk soru, iki kavram arasındaki ilişkidir.
Önerme 2.1 (Her σ-Cebir Bir Cebirdir) \(\Omega\) üzerindeki her \(\sigma\)-cebir bir cebirdir. Bunun tersi genel olarak doğru değildir: \(\Omega = \mathbb{N}\) üzerinde, cebir olduğu hâlde \(\sigma\)-cebir olmayan bir sınıf vardır.
İspat
Birinci kısım. \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir olsun. Cebir tanımındaki (i) ve (ii) koşulları \(\sigma\)-cebir tanımındakilerle aynıdır; yalnızca (iii) koşulunu göstermek gerekir. \(A, B \in \mathcal{U}\) olsun. \(A_1 = A\) ve \(n \ge 2\) için \(A_n = B\) alalım. \((A_n)\), \(\mathcal{U}\)’da bir küme dizisidir ve
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = A \cup B \cup B \cup B \cup \cdots = A \cup B\]
olur. (iii*) gereği \(A \cup B \in \mathcal{U}\)’dur. Demek ki \(\mathcal{U}\) bir cebirdir.
İkinci kısım: bir karşı örnek. \(\Omega = \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) ve
\[\mathcal{U} = \{A \subseteq \mathbb{N} : A \text{ sonlu ya da } A^c \text{ sonlu}\}\]
olsun. Önce \(\mathcal{U}\)’nun bir cebir olduğunu gösterelim.
(i) \(\mathbb{N}^c = \varnothing\) sonludur; öyleyse \(\mathbb{N} \in \mathcal{U}\).
(ii) \(A \in \mathcal{U}\) olsun. \(A\) sonluysa \(A^c\)’nin tümleyeni \((A^c)^c = A\) sonludur, dolayısıyla \(A^c \in \mathcal{U}\). \(A^c\) sonluysa \(A^c\) doğrudan tanım gereği \(\mathcal{U}\)’dadır.
(iii) \(A, B \in \mathcal{U}\) olsun. İki durum vardır. Her ikisi de sonluysa \(A \cup B\) sonludur ve \(\mathcal{U}\)’dadır. Değilse en az biri, diyelim \(A\), sonsuzdur; \(A \in \mathcal{U}\) olduğundan \(A^c\) sonludur ve
\[(A \cup B)^c = A^c \cap B^c \subseteq A^c\]
olduğundan \((A \cup B)^c\) sonlu bir kümenin alt kümesidir, dolayısıyla sonludur; yine \(A \cup B \in \mathcal{U}\).
Şimdi \(\mathcal{U}\)’nun \(\sigma\)-cebir olmadığını gösterelim. \(n = 1, 2, \ldots\) için \(A_n = \{2n\}\) olsun. Her \(A_n\) tek elemanlı, dolayısıyla sonludur; öyleyse \(A_n \in \mathcal{U}\). Ama
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \{2, 4, 6, \ldots\}\]
çift sayılar kümesidir. Bu küme sonsuzdur; tümleyeni olan tek sayılar kümesi \(\{1, 3, 5, \ldots\}\) de sonsuzdur. Öyleyse \(\bigcup_{n} A_n \notin \mathcal{U}\) ve (iii*) sağlanmaz. \(\mathcal{U}\) bir cebirdir ama \(\sigma\)-cebir değildir. Aynı kurgu, sayılabilir sonsuz bir alt küme içeren her sonsuz \(\Omega\) üzerinde de çalışır.
\(\blacksquare\)
Karşı örnekteki sorun, dizideki sonsuz tane farklı kümenin birleşiminin sınıftan çıkmasıdır. Örnek uzay sonluysa bir dizide ancak sonlu tane farklı küme bulunabilir; bu yüzden fark ortadan kalkar.
Önerme 2.2 (Sonlu Örnek Uzayda Her Cebir Bir σ-Cebirdir) \(\Omega\) sonlu bir küme ise \(\Omega\) üzerindeki her cebir bir \(\sigma\)-cebirdir.
İspat
\(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir cebir olsun. (i) ve (ii) hazırdır; (iii*) koşulunu göstermeliyiz. \(|\Omega| = k\) olsun. \(\Omega\)’nın tam \(2^k\) tane alt kümesi vardır (Önerme 1.2); dolayısıyla \(\mathcal{U}\)’nun en çok \(2^k\) elemanı vardır.
\((A_n)\), \(\mathcal{U}\)’da herhangi bir küme dizisi olsun. Dizinin terimleri \(\mathcal{U}\)’nun elemanları olduğundan, dizide en çok \(2^k\) tane farklı küme geçer. Bu farklı kümeler \(B_1, \ldots, B_m\) olsun (\(m \le 2^k\)). Her \(A_n\) bu kümelerden biridir ve her \(B_j\) dizide en az bir kez geçer. Öyleyse
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_m\]
olur: soldaki birleşimin her elemanı bir \(A_n\)’de, dolayısıyla bir \(B_j\)’dedir; sağdaki birleşimin her elemanı bir \(B_j\)’de, dolayısıyla bu \(B_j\)’ye eşit olan bir \(A_n\)’dedir. Sağ taraf \(\mathcal{U}\)’nun sonlu tane elemanının birleşimidir ve bir önceki alt bölümde gördüğümüz gibi cebirler sonlu birleşime kapalıdır. Demek ki \(\bigcup_n A_n \in \mathcal{U}\); yani \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebirdir.
\(\blacksquare\)
Demek ki sonlu örnek uzaylarda “cebir” ile “\(\sigma\)-cebir” arasında fark yoktur; fark ancak sonsuz \(\Omega\)’da ortaya çıkar. Şimdi küçük bir örnek uzayda çeşitli sınıfları inceleyelim; amaç, tanımdaki koşulların somut bir sınıfta nasıl denetlendiğini ve hangilerinin bozulabildiğini görmek.
Örnek 2.1 (Dört Elemanlı Bir Örnek Uzayda Sınıflar) \(\Omega = \{a, b, c, d\}\) olsun. Aşağıdaki sınıflardan hangileri \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebirdir?
\[\begin{aligned} \mathcal{U}_1 &= \big\{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, \Omega\big\}, & \mathcal{U}_2 &= \big\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}\big\}, \\ \mathcal{U}_3 &= \{\varnothing, \Omega\}, & \mathcal{U}_4 &= \big\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}, \Omega\big\}. \end{aligned}\]
Çözüm
\(\Omega\) sonlu olduğundan, Önerme 2.2 gereği bir sınıfın \(\sigma\)-cebir olması için cebir olması yeterlidir; yani yalnızca (i), (ii) ve iki kümenin birleşimi için (iii) koşullarını denetlemek yeter.
\(\mathcal{U}_1\) bir \(\sigma\)-cebirdir. (i) \(\Omega \in \mathcal{U}_1\). (ii) Tümleyenler: \(\varnothing^c = \Omega\), \(\{a\}^c = \{b, c, d\}\), \(\{b, c, d\}^c = \{a\}\), \(\Omega^c = \varnothing\); hepsi \(\mathcal{U}_1\)’dedir. (iii) \(\varnothing \cup X = X\) ve \(\Omega \cup X = \Omega\) olduğundan yalnızca \(\{a\} \cup \{b, c, d\} = \Omega\) birleşimine bakmak yeter; o da \(\mathcal{U}_1\)’dedir. Bu \(\sigma\)-cebir, deneyde yalnızca “\(a\) geldi mi, gelmedi mi?” sorusunun yanıtlanabildiği duruma karşılık gelir.
\(\mathcal{U}_2\) bir \(\sigma\)-cebir değildir. \(\Omega \notin \mathcal{U}_2\) olduğundan (i) sağlanmaz. Ayrıca \(\{a\}^c = \{b, c, d\} \notin \mathcal{U}_2\) ve \(\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\} \notin \mathcal{U}_2\); yani (ii) ve (iii) de bozulur. \(\mathcal{U}_2\) bir cebir bile değildir.
\(\mathcal{U}_3\) bir \(\sigma\)-cebirdir. (i) \(\Omega \in \mathcal{U}_3\). (ii) \(\varnothing^c = \Omega\) ve \(\Omega^c = \varnothing\). (iii) \(\varnothing \cup \varnothing = \varnothing\), \(\varnothing \cup \Omega = \Omega\), \(\Omega \cup \Omega = \Omega\). Bu, her örnek uzay üzerindeki en küçük \(\sigma\)-cebirdir ve aşikâr \(\sigma\)-cebir diye anılır; deney hakkında hiçbir şey gözlenemediği duruma karşılık gelir.
\(\mathcal{U}_4\) bir \(\sigma\)-cebir değildir. (i) sağlanır. (ii) de sağlanır: \(\{a\}^c = \{b, c, d\}\), \(\{b\}^c = \{a, c, d\}\), \(\{a, c, d\}^c = \{b\}\), \(\{b, c, d\}^c = \{a\}\) ve \(\varnothing^c = \Omega\), \(\Omega^c = \varnothing\). Ama \(\{a\}, \{b\} \in \mathcal{U}_4\) olduğu hâlde \(\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\} \notin \mathcal{U}_4\); (iii) bozulur.
Özetle \(\mathcal{U}_2\) üç koşulu birden, \(\mathcal{U}_4\) ise yalnızca üçüncüsünü bozar. Yalnızca ikinci koşulu bozan bir sınıf da vardır: \(\mathcal{U}_5 = \big\{\varnothing, \{a\}, \Omega\big\}\) sınıfında \(\Omega\) vardır ve herhangi iki elemanının birleşimi yine sınıftadır, ama \(\{a\}^c = \{b, c, d\} \notin \mathcal{U}_5\). Demek ki (ii) ile (iii) birbirinden bağımsızdır. Buna karşılık (i), boş olmayan bir sınıf için (ii) ve (iii)’ten çıkar: herhangi bir \(A \in \mathcal{U}\) alınırsa \(A^c \in \mathcal{U}\) ve \(\Omega = A \cup A^c \in \mathcal{U}\) olur. Tanımda (i) koşulunu yazmak, boş sınıfı dışarıda bırakmaya ve \(\Omega\)’yı en baştan görünür kılmaya yarar.
\(\blacksquare\)
Bir örnek uzay üzerindeki en büyük sınıf kuvvet kümesidir. Onun da bir \(\sigma\)-cebir olduğunu göstermek kolaydır; sonlu ve sayılabilir örnek uzaylarda hep bu \(\sigma\)-cebiri kullanacağız.
Önerme 2.3 (Kuvvet Kümesi Bir σ-Cebirdir) \(\Omega \ne \varnothing\) bir küme olsun. Kuvvet kümesi \(\mathcal{P}(\Omega) = \{A : A \subseteq \Omega\}\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebirdir. Ayrıca \(\Omega\) üzerindeki her \(\sigma\)-cebir \(\mathcal{P}(\Omega)\)’nın bir alt sınıfıdır; yani \(\mathcal{P}(\Omega)\), \(\Omega\) üzerindeki en büyük \(\sigma\)-cebirdir.
İspat
(i) \(\Omega \subseteq \Omega\) olduğundan \(\Omega \in \mathcal{P}(\Omega)\).
(ii) \(A \in \mathcal{P}(\Omega)\) olsun; yani \(A \subseteq \Omega\). O zaman \(A^c = \Omega \setminus A \subseteq \Omega\), dolayısıyla \(A^c \in \mathcal{P}(\Omega)\).
(iii*) \((A_n)\), \(\mathcal{P}(\Omega)\)’da bir dizi olsun; yani her \(n\) için \(A_n \subseteq \Omega\). \(x \in \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\) ise en az bir \(n\) için \(x \in A_n \subseteq \Omega\), dolayısıyla \(x \in \Omega\). Demek ki \(\bigcup_n A_n \subseteq \Omega\), yani \(\bigcup_n A_n \in \mathcal{P}(\Omega)\).
Son iddia tanımdan çıkar: bir \(\sigma\)-cebir, tanım gereği \(\Omega\)’nın alt kümelerinden oluşan bir sınıftır; \(\Omega\)’nın her alt kümesi \(\mathcal{P}(\Omega)\)’da olduğundan \(\mathcal{U} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\)’dır.
\(\blacksquare\)
Örneğin bir zarın atılması deneyinde \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ve \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) alınır; bu \(\sigma\)-cebirde \(2^6 = 64\) olay vardır.
2.3 σ-Cebirlerin Temel Özellikleri
\(\sigma\)-cebir tanımı yalnızca \(\Omega\)’yı, tümleyeni ve sayılabilir birleşimi anar. Oysa olaylarla çalışırken “ve” (kesişim), “ama değil” (fark) ve sonlu işlemleri de sürekli kullanırız. Aşağıdaki teorem, bütün bu işlemlerin bizi \(\sigma\)-cebirin dışına çıkarmadığını söyler; ispatın anahtarı, cebirlerde olduğu gibi, De Morgan kurallarıdır.
Teorem 2.1 (σ-Cebirlerin Temel Özellikleri) \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir olsun.
(a) \(\varnothing \in \mathcal{U}\).
(b) \((A_n)\), \(\mathcal{U}\)’da bir küme dizisi ise \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{U}\).
(c) \(A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{U}\) ise \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{U}\) ve \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{U}\).
(d) \(A_1, A_2 \in \mathcal{U}\) ise \(A_1 \setminus A_2 \in \mathcal{U}\).
İspat
(a) (i) gereği \(\Omega \in \mathcal{U}\); (ii) gereği \(\Omega^c = \varnothing \in \mathcal{U}\).
(b) Her \(n\) için \(A_n \in \mathcal{U}\) olsun. (ii) gereği her \(n\) için \(A_n^c \in \mathcal{U}\); (iii*) gereği \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \in \mathcal{U}\); yeniden (ii) gereği
\[\Big( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \Big)^c \in \mathcal{U}\]
olur. Bu kümenin \(\bigcap_{n} A_n\)’ye eşit olduğunu görelim. Herhangi bir \(x \in \Omega\) için
\[x \in \Big( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \Big)^c \iff x \notin \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \iff \text{her } n \text{ için } x \notin A_n^c \iff \text{her } n \text{ için } x \in A_n \iff x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n.\]
Bu, Önerme 1.1 (e)’deki De Morgan kuralının sayılabilir biçimidir. Demek ki \(\bigcap_{n} A_n \in \mathcal{U}\).
(c) \(A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{U}\) olsun. Sonlu birleşim için diziyi boş kümeyle uzatalım: \(i > n\) için \(A_i = \varnothing\) olsun. (a) gereği \(\varnothing \in \mathcal{U}\), dolayısıyla \((A_i)_{i \ge 1}\), \(\mathcal{U}\)’da bir dizidir. Boş küme birleşime hiçbir eleman katmadığından
\[\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i\]
olur ve (iii*) gereği bu küme \(\mathcal{U}\)’dadır.
Sonlu kesişim için diziyi \(\Omega\) ile uzatalım: \(i > n\) için \(A_i = \Omega\) olsun; (i) gereği \(\Omega \in \mathcal{U}\). \(\Omega \cap X = X\) olduğundan
\[\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcap_{i=1}^{n} A_i\]
olur ve (b) gereği bu küme \(\mathcal{U}\)’dadır.
(d) \(A_1 \setminus A_2 = A_1 \cap A_2^c\)’dir: \(x \in A_1 \setminus A_2\) olması, \(x \in A_1\) ve \(x \notin A_2\), yani \(x \in A_1\) ve \(x \in A_2^c\) olması demektir. (ii) gereği \(A_2^c \in \mathcal{U}\); (c) gereği \(A_1 \cap A_2^c \in \mathcal{U}\).
\(\blacksquare\)
Kısaca: \(\sigma\)-cebirler \(\cup\), \(\cap\), \(\setminus\) ve tümleyen işlemlerinin sonlu ya da sayılabilir sonsuz kez uygulanmasına göre kapalı sınıflardır. Örneğin simetrik fark \(A \,\triangle\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) da \(\sigma\)-cebirdedir.
(i), (ii) ve “sayılabilir kesişime kapalılık” koşullarını sağlayan bir sınıf, aynı De Morgan hesabıyla sayılabilir birleşime de kapalıdır, yani bir \(\sigma\)-cebirdir. Tanımda birleşimi seçmek yalnızca bir gelenektir.
2.4 σ-Cebirlerin Arakesiti ve Üretilen σ-Cebir
Uygulamada işe genellikle bir \(\sigma\)-cebirle değil, olay olmasını istediğimiz kümelerin bir sınıfıyla başlarız: \(\Omega = \mathbb{R}\) için aralıklar, \(\Omega = \{a, b, c, d\}\) için “gözleyebildiğimiz” birkaç alt küme gibi. Bu sınıf çoğu zaman \(\sigma\)-cebir değildir. Doğal soru şudur: verilen bir sınıfı kapsayan en küçük \(\sigma\)-cebir var mıdır? Yanıt evettir ve yapı çok basittir: sınıfı kapsayan bütün \(\sigma\)-cebirlerin arakesitini (kesişimini) alırız. Bunun işe yaraması için önce arakesitin \(\sigma\)-cebir olduğunu bilmeliyiz.
Teorem 2.2 (σ-Cebirlerin Arakesiti Bir σ-Cebirdir) \(I \ne \varnothing\) bir indis kümesi ve her \(i \in I\) için \(\mathcal{U}_i\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir olsun. O zaman
\[\mathcal{U} = \bigcap_{i \in I} \mathcal{U}_i = \{A \subseteq \Omega : \text{her } i \in I \text{ için } A \in \mathcal{U}_i\}\]
sınıfı da \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebirdir. (\(I\) sonlu, sayılabilir ya da sayılamaz olabilir.)
İspat
Üç koşulu sırayla denetleyelim.
(i) Her \(i \in I\) için \(\mathcal{U}_i\) bir \(\sigma\)-cebir olduğundan \(\Omega \in \mathcal{U}_i\)’dir. Öyleyse \(\Omega\) bütün \(\mathcal{U}_i\)’lerde, dolayısıyla arakesitte bulunur: \(\Omega \in \mathcal{U}\).
(ii) \(A \in \mathcal{U}\) olsun. O zaman her \(i \in I\) için \(A \in \mathcal{U}_i\)’dir. \(\mathcal{U}_i\) tümleyene kapalı olduğundan her \(i\) için \(A^c \in \mathcal{U}_i\); yani \(A^c \in \mathcal{U}\).
(iii*) \((A_n)\), \(\mathcal{U}\)’da bir dizi olsun. Her \(n\) ve her \(i \in I\) için \(A_n \in \mathcal{U}_i\)’dir. \(i\)’yi sabitleyelim: \((A_n)\), \(\sigma\)-cebir olan \(\mathcal{U}_i\)’de bir dizidir, dolayısıyla \(\bigcup_n A_n \in \mathcal{U}_i\). Bu her \(i \in I\) için doğru olduğundan \(\bigcup_n A_n \in \mathcal{U}\).
\(\blacksquare\)
Birleşim için benzer bir sonuç yoktur: iki \(\sigma\)-cebirin birleşimi genel olarak bir cebir bile değildir. Somut bir örneği bölüm sonundaki alıştırmalarda göreceğiz. Sebep şudur: birinden alınan bir küme ile ötekinden alınan bir kümenin birleşimi, iki sınıfın hiçbirinde bulunmak zorunda değildir.
Tanım 2.3 (Küçük ve Büyük σ-Cebir) \(\mathcal{U}_1\) ve \(\mathcal{U}_2\), \(\Omega\) üzerinde iki \(\sigma\)-cebir (ya da iki cebir) olsun. \(\mathcal{U}_1 \subseteq \mathcal{U}_2\) ise \(\mathcal{U}_1\)’e \(\mathcal{U}_2\)’den küçük, \(\mathcal{U}_2\)’ye \(\mathcal{U}_1\)’den büyük \(\sigma\)-cebir denir.
Bu bir kısmi sıralamadır; tam sıralama değildir: iki \(\sigma\)-cebirden biri ötekinden küçük olmak zorunda değildir. Bununla birlikte iki uç nokta her zaman vardır: aşikâr \(\sigma\)-cebir \(\{\varnothing, \Omega\}\) her \(\sigma\)-cebirden küçüktür (çünkü her \(\sigma\)-cebir \(\varnothing\) ile \(\Omega\)’yı içerir) ve \(\mathcal{P}(\Omega)\) her \(\sigma\)-cebirden büyüktür (Önerme 2.3).
Şimdi bölümün ana yapı taşına geliyoruz.
Teorem 2.3 (Üretilen σ-Cebir) \(\mathcal{L}\), \(\Omega\) üzerinde herhangi bir sınıf olsun. \(\mathcal{L}\)’yi kapsayan bütün \(\sigma\)-cebirlerin arakesiti \(\sigma(\mathcal{L})\) ile gösterilsin. O zaman:
(a) \(\sigma(\mathcal{L})\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebirdir ve \(\mathcal{L} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\)’dir.
(b) \(\mathcal{U}\), \(\mathcal{L}\)’yi kapsayan herhangi bir \(\sigma\)-cebir ise \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{U}\)’dur.
(c) (a) ve (b) özelliklerini taşıyan tek \(\sigma\)-cebir \(\sigma(\mathcal{L})\)’dir.
\(\sigma(\mathcal{L})\)’ye \(\mathcal{L}\) sınıfının ürettiği \(\sigma\)-cebir ya da \(\mathcal{L}\)’yi kapsayan en küçük \(\sigma\)-cebir denir; \(\mathcal{L}\)’ye de \(\sigma(\mathcal{L})\)’nin bir üreteci denir.
İspat
\(\mathfrak{S}\), \(\mathcal{L}\)’yi kapsayan bütün \(\sigma\)-cebirlerin ailesi olsun:
\[\mathfrak{S} = \{\mathcal{U} : \mathcal{U},\ \Omega \text{ üzerinde bir } \sigma\text{-cebir ve } \mathcal{L} \subseteq \mathcal{U}\}.\]
\(\mathcal{L}\), \(\Omega\)’nın alt kümelerinden oluşan bir sınıf olduğundan \(\mathcal{L} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\)’dır; Önerme 2.3 gereği \(\mathcal{P}(\Omega)\) bir \(\sigma\)-cebirdir. Öyleyse \(\mathcal{P}(\Omega) \in \mathfrak{S}\) ve \(\mathfrak{S} \ne \varnothing\). Tanım gereği
\[\sigma(\mathcal{L}) = \bigcap_{\mathcal{U} \in \mathfrak{S}} \mathcal{U}.\]
(a) \(\mathfrak{S}\) boş olmayan bir indis kümesi ve her elemanı bir \(\sigma\)-cebir olduğundan, Teorem 2.2 gereği \(\sigma(\mathcal{L})\) bir \(\sigma\)-cebirdir. Her \(\mathcal{U} \in \mathfrak{S}\) için \(\mathcal{L} \subseteq \mathcal{U}\) olduğundan \(\mathcal{L}\), arakesitin de içindedir: \(\mathcal{L} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\).
(b) \(\mathcal{U}\), \(\mathcal{L}\)’yi kapsayan bir \(\sigma\)-cebir olsun; yani \(\mathcal{U} \in \mathfrak{S}\). Bir ailenin arakesiti ailenin her üyesinin içinde olduğundan \(\sigma(\mathcal{L}) = \bigcap_{\mathcal{V} \in \mathfrak{S}} \mathcal{V} \subseteq \mathcal{U}\).
(c) \(\mathcal{V}\) de (a) ve (b) özelliklerini taşıyan bir \(\sigma\)-cebir olsun: \(\mathcal{L} \subseteq \mathcal{V}\) ve \(\mathcal{L}\)’yi kapsayan her \(\sigma\)-cebir \(\mathcal{U}\) için \(\mathcal{V} \subseteq \mathcal{U}\). \(\mathcal{V}\)’nin (b) özelliğini \(\mathcal{U} = \sigma(\mathcal{L})\) için uygularsak \(\mathcal{V} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\) çıkar. \(\sigma(\mathcal{L})\)’nin (b) özelliğini \(\mathcal{U} = \mathcal{V}\) için uygularsak \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{V}\) çıkar. Öyleyse \(\mathcal{V} = \sigma(\mathcal{L})\).
\(\blacksquare\)
Teoremin verdiği tarif, “bütün \(\sigma\)-cebirlerin arakesiti”, pratikte hesap yapmaya elverişli değildir; ama (a) ve (b) birlikte çok kullanışlı bir hesap yöntemi sunar: \(\sigma(\mathcal{L})\) için bir aday \(\mathcal{V}\) bulunur, sonra iki şey gösterilir.
- \(\mathcal{V}\)’nin her elemanı \(\mathcal{L}\)’nin elemanlarından \(\sigma\)-cebir işlemleriyle elde edilir; böylece \(\mathcal{V} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\).
- \(\mathcal{V}\) bir \(\sigma\)-cebirdir ve \(\mathcal{L} \subseteq \mathcal{V}\)’dir; böylece (b) gereği \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{V}\).
İki kapsama birlikte \(\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{V}\) verir. Ayrıca \(\mathcal{L}\) kendisi bir \(\sigma\)-cebirse \(\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{L}\) olur ve \(\mathcal{K} \subseteq \mathcal{M}\) ise \(\sigma(\mathcal{K}) \subseteq \sigma(\mathcal{M})\)’dir; bunlar alıştırmalarda ispatlanmaktadır.
Örnek 2.2 (Üretilen σ-Cebirin Hesabı) \(\Omega = \{a, b, c, d\}\) olsun. Aşağıdaki sınıfların ürettiği \(\sigma\)-cebirleri bulunuz.
(a) \(\mathcal{L} = \big\{\{a\}\big\}\).
(b) \(\mathcal{L} = \big\{\{a\}, \{b\}\big\}\).
(c) \(\mathcal{L} = \big\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}\big\}\).
Çözüm
(a) Aday: \(\mathcal{V} = \big\{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, \Omega\big\}\); bu, Örnek 2.1’daki \(\mathcal{U}_1\) sınıfıdır.
\(\mathcal{V} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\). \(\sigma(\mathcal{L})\) bir \(\sigma\)-cebirdir ve \(\{a\} \in \sigma(\mathcal{L})\)’dir. (i) gereği \(\Omega \in \sigma(\mathcal{L})\), Teorem 2.1 (a) gereği \(\varnothing \in \sigma(\mathcal{L})\), (ii) gereği \(\{a\}^c = \{b, c, d\} \in \sigma(\mathcal{L})\). Böylece \(\mathcal{V}\)’nin dört elemanı da \(\sigma(\mathcal{L})\)’dedir.
\(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{V}\). \(\mathcal{V}\)’nin bir \(\sigma\)-cebir olduğunu Örnek 2.1’da gösterdik ve \(\mathcal{L} \subseteq \mathcal{V}\)’dir. Teorem 2.3 (b) gereği \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{V}\).
Demek ki \(\sigma\big(\{\{a\}\}\big) = \big\{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, \Omega\big\}\).
(b) Şimdi \(\{a\}\) ve \(\{b\}\) birlikte veriliyor. \(\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\}\) ve bunun tümleyeni \(\{c, d\}\) de \(\sigma(\mathcal{L})\)’de olmak zorundadır. \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c, d\}\) kümeleri \(\Omega\)’yı parçalar; bunlara atomlar diyelim. Aday, atomların bütün birleşimlerinden oluşan sınıftır:
\[\mathcal{V} = \big\{\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c, d\},\ \{a, b\},\ \{a, c, d\},\ \{b, c, d\},\ \Omega\big\}.\]
Üç atomun her alt kümesine bir birleşim karşılık geldiğinden \(\mathcal{V}\)’nin \(2^3 = 8\) elemanı vardır.
\(\mathcal{V} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\). Her elemanı \(\{a\}\) ve \(\{b\}\)’den \(\sigma\)-cebir işlemleriyle üretelim: \(\{a, b\} = \{a\} \cup \{b\}\); \(\{c, d\} = \{a, b\}^c\); \(\{a, c, d\} = \{b\}^c\); \(\{b, c, d\} = \{a\}^c\); \(\varnothing\) ve \(\Omega\) her \(\sigma\)-cebirdedir. Öyleyse sekiz küme de \(\sigma(\mathcal{L})\)’dedir.
\(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{V}\). \(\mathcal{V}\)’nin bir \(\sigma\)-cebir olduğunu gösterelim. (i) \(\Omega \in \mathcal{V}\). (ii) Tümleyen çiftleri \((\varnothing, \Omega)\), \((\{a\}, \{b, c, d\})\), \((\{b\}, \{a, c, d\})\), \((\{c, d\}, \{a, b\})\) biçimindedir ve her çiftin iki üyesi de \(\mathcal{V}\)’dedir. (iii) Atomların birleşimi olan iki kümenin birleşimi yine atomların bir birleşimidir; dolayısıyla \(\mathcal{V}\)’dedir. \(\Omega\) sonlu olduğundan Önerme 2.2 gereği \(\mathcal{V}\) bir \(\sigma\)-cebirdir. \(\mathcal{L} \subseteq \mathcal{V}\) olduğundan Teorem 2.3 (b) gereği \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{V}\).
Demek ki \(\sigma\big(\{\{a\}, \{b\}\}\big) = \mathcal{V}\); sekiz olaylık bu \(\sigma\)-cebir, “\(a\) geldi mi?” ve “\(b\) geldi mi?” sorularının yanıtlarından karar verilebilen bütün olayları içerir; \(c\) ile \(d\) birbirinden ayırt edilemez.
(c) \(\Omega\)’nın her alt kümesi, elemanlarının tek nokta kümelerinin birleşimidir: \(A \ne \varnothing\) için \(A = \bigcup_{x \in A} \{x\}\), ve bu en çok dört kümenin birleşimidir. Tek nokta kümeleri \(\mathcal{L} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\)’de olduğundan, Teorem 2.1 (c) gereği boş olmayan her \(A \subseteq \Omega\) için \(A \in \sigma(\mathcal{L})\); \(\varnothing\) da Teorem 2.1 (a) gereği oradadır. Öyleyse \(\mathcal{P}(\Omega) \subseteq \sigma(\mathcal{L})\). Öte yandan \(\sigma(\mathcal{L})\), \(\Omega\)’nın alt kümelerinden oluştuğundan \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\). Demek ki
\[\sigma\big(\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}\}\big) = \mathcal{P}(\Omega),\]
on altı elemanlı kuvvet kümesi. Dikkat: \(\mathcal{L}\), Örnek 2.1’daki \(\mathcal{U}_2\) sınıfıdır; kendisi \(\sigma\)-cebir olmadığı hâlde en büyük \(\sigma\)-cebiri üretir.
\(\blacksquare\)
Bir \(\sigma\)-cebiri bir olaya kısıtlamak da sık gereken bir işlemdir; örneğin “\(B\) olayının gerçekleştiği biliniyor” durumunda deneyin örnek uzayı fiilen \(B\)’ye küçülür (koşullu olasılık, Tanım 6.1). O zaman \(B\) üzerinde hangi \(\sigma\)-cebirle çalışılacağı sorusu doğar.
Önerme 2.4 (İz σ-Cebiri) \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir ve \(\varnothing \ne B \subseteq \Omega\) olsun.
\[\mathcal{U}_B = \{A : A = B \cap C,\ C \in \mathcal{U}\} = \{B \cap C : C \in \mathcal{U}\}\]
sınıfı, \(B\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebirdir. \(\mathcal{U}_B\)’ye \(\mathcal{U}\)’nun \(B\) üzerindeki izi ya da iz \(\sigma\)-cebiri denir. Ayrıca \(B \in \mathcal{U}\) ise
\[\mathcal{U}_B = \{A \in \mathcal{U} : A \subseteq B\}\]
olur; yani iz, \(\mathcal{U}\)’nun \(B\)’nin içinde kalan elemanlarından oluşur.
İspat
Burada örnek uzay rolünü \(B\) oynar; dolayısıyla bir \(A \subseteq B\) kümesinin tümleyeni \(B \setminus A\)’dır ve \(\sigma\)-cebir koşulları \(B\)’ye göre denetlenir. Önce \(\mathcal{U}_B\)’nin gerçekten \(B\)’nin alt kümelerinden oluştuğunu görelim: \(B \cap C \subseteq B\) her zaman doğrudur.
(i) \(\Omega \in \mathcal{U}\) olduğundan \(B = B \cap \Omega \in \mathcal{U}_B\).
(ii) \(A \in \mathcal{U}_B\) olsun; \(A = B \cap C\) olacak biçimde bir \(C \in \mathcal{U}\) vardır. \(A\)’nın \(B\)’ye göre tümleyeni \(B \setminus A\)’dır ve
\[B \setminus (B \cap C) = B \cap C^c\]
eşitliği geçerlidir: \(x \in B \setminus (B \cap C)\) olması, \(x \in B\) ve \(x \notin B \cap C\) olması demektir; \(x \in B\) olduğuna göre \(x \notin B \cap C\) ancak \(x \notin C\) ile mümkündür; yani \(x \in B\) ve \(x \in C^c\). Ters yön de aynı adımların tersidir. \(C^c \in \mathcal{U}\) olduğundan \(B \setminus A = B \cap C^c \in \mathcal{U}_B\).
(iii*) \((A_n)\), \(\mathcal{U}_B\)’de bir dizi olsun. Her \(n\) için \(A_n = B \cap C_n\) olacak biçimde \(C_n \in \mathcal{U}\) seçelim. Kesişimin birleşim üzerine dağılmasından
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} (B \cap C_n) = B \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n\]
olur: \(x\)’in soldaki kümede olması, bir \(n\) için \(x \in B\) ve \(x \in C_n\) olması; sağdakinde olması, \(x \in B\) ve bir \(n\) için \(x \in C_n\) olması demektir; bunlar aynı şeydir. \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir olduğundan \(C = \bigcup_n C_n \in \mathcal{U}\) ve \(\bigcup_n A_n = B \cap C \in \mathcal{U}_B\). Böylece \(\mathcal{U}_B\), \(B\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebirdir.
Son iddia. \(B \in \mathcal{U}\) olsun. \(A = B \cap C \in \mathcal{U}_B\) ise \(B, C \in \mathcal{U}\) olduğundan Teorem 2.1 (c) gereği \(A \in \mathcal{U}\), ayrıca \(A \subseteq B\). Tersine \(A \in \mathcal{U}\) ve \(A \subseteq B\) ise \(A = B \cap A\) yazılır; \(C = A \in \mathcal{U}\) alınarak \(A \in \mathcal{U}_B\) bulunur. Demek ki \(\mathcal{U}_B = \{A \in \mathcal{U} : A \subseteq B\}\).
\(\blacksquare\)
2.5 Borel Cebri
Sıcaklık gözlemi gibi deneylerde örnek uzay \(\Omega = \mathbb{R}\) ya da \(\mathbb{R}\)’nin bir aralığıdır ve doğal olaylar aralıklardır: “sıcaklık \(15\) ile \(25\) derece arasındadır” olayı \((15, 25)\) aralığıdır. Açık aralıklar sınıfı
\[\mathcal{L}_1 = \{(a, b) : a, b \in \mathbb{R},\ a < b\}\]
ve yarı açık aralıklar sınıfı
\[\mathcal{L}_2 = \{(a, b] : a, b \in \mathbb{R},\ a < b\}\]
\(\sigma\)-cebir değildir; hatta cebir bile değildir. Gerçekten \(\mathbb{R}\) sınırlı bir aralık olmadığından \(\mathbb{R} \notin \mathcal{L}_1\); ayrıca \((a, b)^c = (-\infty, a] \cup [b, \infty)\) bir aralık değildir ve \((0, 1) \cup (2, 3)\) de bir aralık değildir; yani (i), (ii), (iii) koşullarının hiçbiri sağlanmaz. \(\mathcal{L}_2\) için de aynı gerekçeler geçerlidir. Ama Teorem 2.3 gereği bu sınıfları kapsayan en küçük bir \(\sigma\)-cebir vardır. Olasılık teorisinde \(\mathbb{R}\) üzerinde hep bu \(\sigma\)-cebirle çalışılır.
Tanım 2.4 (Borel Cebri) \(\mathbb{R}\) üzerindeki açık aralıklar sınıfı \(\mathcal{L}_1 = \{(a, b) : a, b \in \mathbb{R},\ a < b\}\) olsun. \(\mathcal{L}_1\)’in ürettiği \(\sigma\)-cebire \(\mathbb{R}\) üzerindeki Borel cebri denir ve \(\mathcal{B}\) ya da \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) ile gösterilir:
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\mathcal{L}_1) = \sigma\big(\{(a, b) : a < b\}\big).\]
\(\mathcal{B}(\mathbb{R})\)’nin elemanlarına Borel kümeleri denir.
Tanım gereği her açık aralık bir Borel kümesidir ve Borel kümelerinden tümleyen, sayılabilir birleşim ve sayılabilir kesişimle elde edilen her küme yine Borel kümesidir. Aşağıdaki önerme en önemli örnekleri toplar; ispatın araçları \(\sigma\)-cebir işlemleri, Arşimet özelliği (her pozitif gerçel sayı için ondan küçük bir \(\frac{1}{n}\) vardır) ve son şıkta rasyonel sayıların yoğunluğu ile sayılabilirliğidir.
Önerme 2.5 (Borel Kümelerine Örnekler) \(a, b \in \mathbb{R}\) ve \(a < b\) olsun.
(a) Tek nokta kümesi \(\{a\}\) bir Borel kümesidir. Dolayısıyla \(\mathbb{R}\)’nin her sonlu ya da sayılabilir sonsuz alt kümesi (örneğin \(\{a, b\}\), \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\)) Borel kümesidir.
(b) \([a, b]\), \([a, b)\) ve \((a, b]\) Borel kümeleridir.
(c) \((-\infty, a]\), \((-\infty, a)\), \((a, \infty)\), \([a, \infty)\) ve \(\mathbb{R}\) Borel kümeleridir.
(d) \(\mathbb{R}\)’nin her açık alt kümesi ve her kapalı alt kümesi Borel kümesidir.
İspat
(a) \(n = 1, 2, \ldots\) için
\[A_n = \Big( a - \frac{1}{n},\ a + \frac{1}{n} \Big)\]
olsun. Her \(A_n\) bir açık aralık olduğundan \(A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\)’dir. İddia:
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \{a\}.\]
\(\supseteq\): her \(n\) için \(a - \frac{1}{n} < a < a + \frac{1}{n}\), yani \(a \in A_n\); öyleyse \(a\) kesişimdedir. \(\subseteq\): \(x\) kesişimde olsun; o zaman her \(n\) için \(|x - a| < \frac{1}{n}\)’dir. \(x \ne a\) olsaydı \(|x - a| > 0\) olur ve Arşimet özelliği gereği \(\frac{1}{n} < |x - a|\) olan bir \(n\) bulunurdu; bu, \(x \in A_n\) ile çelişir. Demek ki \(x = a\).
Böylece \(\{a\}\), Borel kümelerinden oluşan bir dizinin kesişimidir; Teorem 2.1 (b) gereği \(\{a\} \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\).
\(D = \{d_1, d_2, d_3, \ldots\}\) boş olmayan sayılabilir bir küme ise \(D = \bigcup_{n} \{d_n\}\), Borel kümelerinin sayılabilir birleşimidir; (iii*) gereği \(D \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\). \(D\) sonluysa birleşim sonludur ve Teorem 2.1 (c) kullanılır; \(D = \varnothing\) ise Teorem 2.1 (a) yeter.
(b) \([a, b] = \{a\} \cup (a, b) \cup \{b\}\): \(x \in [a, b]\) ise ya \(x = a\), ya \(a < x < b\), ya da \(x = b\)’dir; tersi açıktır. Sağ taraf üç Borel kümesinin birleşimidir, (a) ve Teorem 2.1 (c) gereği Borel’dir. Benzer biçimde \([a, b) = \{a\} \cup (a, b)\) ve \((a, b] = (a, b) \cup \{b\}\) Borel kümeleridir.
(c) İddia:
\[(-\infty, a] = \bigcup_{n=1}^{\infty} [a - n,\ a].\]
\(\supseteq\): her \(n\) için \([a - n, a] \subseteq (-\infty, a]\). \(\subseteq\): \(x \le a\) olsun. Arşimet özelliği gereği \(n > a - x\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır; o zaman \(a - n < x \le a\), yani \(x \in [a - n, a]\). Her \([a - n, a]\) kapalı aralığı (b) gereği Borel’dir; sayılabilir birleşim de Borel’dir. Aynı yolla \((-\infty, a) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (a - n, a)\) açık aralıkların birleşimi olarak Borel’dir. Tümleyen alarak \((a, \infty) = (-\infty, a]^c\) ve \([a, \infty) = (-\infty, a)^c\) Borel kümeleridir. \(\mathbb{R}\) ise (i) gereği her \(\sigma\)-cebirdedir.
(d) \(G \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme olsun. \(G = \varnothing\) ise iddia (a) gereği açıktır; \(G \ne \varnothing\) olsun. Açıklık tanımı gereği her \(x \in G\) için \((x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq G\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Rasyonel sayılar \(\mathbb{R}\)’de yoğun olduğundan \(x - \varepsilon < p < x < q < x + \varepsilon\) olan \(p, q \in \mathbb{Q}\) seçilebilir; o zaman \(x \in (p, q) \subseteq G\). Demek ki
\[G = \bigcup \{(p, q) : p, q \in \mathbb{Q},\ p < q,\ (p, q) \subseteq G\}.\]
Sağdaki birleşimdeki aralıklar rasyonel sayı çiftleriyle indislenir; \(\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\) sayılabilir olduğundan bu, sayılabilir tane açık aralığın birleşimidir ve (iii*) gereği Borel’dir. \(F\) kapalı ise \(F^c\) açıktır, dolayısıyla Borel’dir; (ii) gereği \(F = (F^c)^c\) de Borel’dir.
\(\blacksquare\)
Önermenin (d) şıkkı, Borel cebrinin açık kümelerin ürettiği \(\sigma\)-cebir olarak da tanımlanabileceğini gösterir: açık kümeler sınıfı \(\mathcal{G}\) olsun; her açık aralık açık küme olduğundan \(\mathcal{L}_1 \subseteq \mathcal{G}\) ve dolayısıyla \(\sigma(\mathcal{L}_1) \subseteq \sigma(\mathcal{G})\); (d) gereği \(\mathcal{G} \subseteq \sigma(\mathcal{L}_1)\) ve dolayısıyla \(\sigma(\mathcal{G}) \subseteq \sigma(\mathcal{L}_1)\). Ayrıca alıştırmalarda göreceğimiz gibi \(\{(-\infty, a] : a \in \mathbb{R}\}\) sınıfı da Borel cebrini üretir; bu, rastgele değişkenleri incelerken \((X \le a)\) biçimindeki olayların neden yeterli olduğunu açıklayacaktır.
Buraya kadar Borel cebrinin ne kadar zengin olduğunu gördük. Doğal soru şudur: madem neredeyse her küme Borel’dir, neden \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) ile çalışmıyoruz?
\(\Omega = [0, 1]\) aralığından “rastgele bir nokta seçme” deneyini düşünelim. Doğal olasılık, bir aralığın uzunluğudur: \(P\big((a, b)\big) = b - a\). Bu \(P\)’yi \([0, 1]\)’in olabildiğince çok alt kümesine, şu üç doğal isteği koruyarak genişletmek isteriz: \(P([0, 1]) = 1\); ayrık kümelerden oluşan bir dizinin birleşiminin olasılığı olasılıkların toplamıdır (sayılabilir toplamsallık); bir kümeyi kaydırmak olasılığını değiştirmez (öteleme değişmezliği).
1905’te Giuseppe Vitali, bu üç isteği birden sağlayan ve \([0, 1]\)’in bütün alt kümelerinde tanımlı bir \(P\)’nin var olamayacağını gösterdi. Fikir şudur: \([0, 1)\)’deki iki sayıyı, farkları rasyonel ise “aynı sınıfta” sayalım; bu, \([0, 1)\)’i sayılamayan çoklukta sınıfa böler. Her sınıftan bir temsilci seçip (seçim aksiyomu) bunları bir \(V\) kümesinde toplayalım. \(V\)’nin rasyonel sayılar kadar, yani sayılabilir çoklukta ötelenmişi (\(1\)’i aşan kısım başa sarılarak) \([0, 1)\)’i ayrık parçalar hâlinde örter ve öteleme değişmezliği gereği her parçanın olasılığı \(P(V)\)’dir. \(P(V) = 0\) olsaydı bu parçaların olasılıkları toplamı \(0\), \(P(V) > 0\) olsaydı toplam \(\infty\) olurdu; oysa toplam, örtülen \([0, 1)\) kümesinin olasılığına, yani \(1\)’e eşit olmalıdır. Öyleyse \(V\)’ye tutarlı bir olasılık verilemez; \(V\) ölçülemeyen bir kümedir.
Bu yüzden olasılık ölçüsü (Tanım 3.1) \(\mathcal{P}(\Omega)\) üzerinde değil, bir \(\sigma\)-cebir üzerinde tanımlanır. \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) bu iş için tam uygundur: aralıkları, açık ve kapalı kümeleri, sayılabilir kümeleri ve bunlardan sayılabilir işlemlerle türeyen her şeyi içerir; ama Vitali kümesi gibi tuhaf kümeleri dışarıda bırakır. Sonlu ya da sayılabilir örnek uzaylarda böyle bir sorun çıkmaz ve \(\mathcal{P}(\Omega)\) rahatça kullanılır.
Birden çok sayının birlikte gözlendiği deneylerde, örneğin iki zarın atılması ya da bir noktanın düzlemde seçilmesi durumunda, örnek uzay \(\mathbb{R}^2\) ya da genel olarak \(\mathbb{R}^n\)’dir. Aralığın çok boyutlu karşılığı açık dikdörtgendir ve Borel cebri aynı kalıpla kurulur.
Tanım 2.5 (Çok Boyutlu Uzayda Borel Cebri) \(n \in \mathbb{N}\) olsun. \(\underline{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) ve \(\underline{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \in \mathbb{R}^n\), her \(i\) için \(a_i < b_i\) olacak biçimde verilsin.
\[(\underline{a}, \underline{b}) = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n : a_i < x_i < b_i,\ i = 1, 2, \ldots, n\} = (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) \times \cdots \times (a_n, b_n)\]
kümesine \(\mathbb{R}^n\)’de bir açık dikdörtgen (açık kutu) denir. Açık dikdörtgenler sınıfı
\[\mathcal{I}_n = \{(\underline{a}, \underline{b}) : \underline{a}, \underline{b} \in \mathbb{R}^n,\ a_i < b_i\}\]
olmak üzere, \(\mathcal{I}_n\)’in ürettiği \(\sigma\)-cebire \(\mathbb{R}^n\) üzerindeki Borel cebri denir ve \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \sigma(\mathcal{I}_n)\) ile gösterilir. Özel olarak \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) üzerinde
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) = \sigma\big(\{(a, b) \times (c, d) : a < b,\ c < d\}\big)\]
olup üreteçler düzlemdeki açık dikdörtgensel bölgelerdir.
\(n = 1\) için açık dikdörtgenler açık aralıklardır ve tanım Tanım 2.4’ye indirgenir. \(\mathbb{R}^2\)’de de bir boyuttaki bütün sonuçların karşılıkları geçerlidir: kenarları kapalı ya da yarı açık dikdörtgenler, doğru parçaları, tek noktalar, açık ve kapalı diskler Borel kümeleridir; örneğin düzlemdeki bir açık küme, içinde kalan rasyonel köşeli açık dikdörtgenlerin sayılabilir birleşimidir. Bu \(\sigma\)-cebir, rastgele vektörlerin dağılımlarını incelerken kullanılacaktır.
2.6 Alıştırmalar
Alıştırma 2.1 (Cebirler, σ-Cebirler ve Borel Cebri) (a) \(\Omega = \{a, b\}\) üzerindeki bütün \(\sigma\)-cebirleri belirleyiniz.
(b) \(\Omega = \{a, b, c\}\) ve \(\mathcal{U} = \big\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}, \{c\}, \Omega\big\}\) olsun. \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir midir? \(\sigma(\mathcal{U})\)’yu bulunuz.
(c) \(\Omega = \mathbb{N}\) ve \(\mathcal{L} = \{\{n\} : n \in \mathbb{N}\}\) olsun. \(\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{P}(\mathbb{N})\) olduğunu gösteriniz.
(d) \(\Omega = \mathbb{R}\) olsun ve “sayılabilir” sözcüğü “sonlu ya da sayılabilir sonsuz” anlamında kullanılsın.
\[\mathcal{U} = \{A \subseteq \mathbb{R} : A \text{ sayılabilir ya da } A^c \text{ sayılabilir}\}\]
sınıfının bir \(\sigma\)-cebir olduğunu ve \(\mathcal{U} \subsetneq \mathcal{B}(\mathbb{R})\) olduğunu gösteriniz.
(e) \(\Omega = \{a, b, c\}\), \(\mathcal{U}_1 = \big\{\varnothing, \{a\}, \{b, c\}, \Omega\big\}\) ve \(\mathcal{U}_2 = \big\{\varnothing, \{b\}, \{a, c\}, \Omega\big\}\) olsun. \(\mathcal{U}_1\) ve \(\mathcal{U}_2\)’nin \(\sigma\)-cebir olduğunu, \(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2\)’nin ise cebir bile olmadığını gösteriniz. \(\sigma(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2)\) nedir?
(f) \(\mathcal{L} = \{(-\infty, c] : c \in \mathbb{R}\}\) olsun. \(\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{B}(\mathbb{R})\) olduğunu gösteriniz.
(g) \(\mathcal{K} \subseteq \mathcal{M}\) ise \(\sigma(\mathcal{K}) \subseteq \sigma(\mathcal{M})\) olduğunu; her sınıf \(\mathcal{L}\) için \(\sigma\big(\sigma(\mathcal{L})\big) = \sigma(\mathcal{L})\) olduğunu; ayrıca \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir ise \(\sigma(\mathcal{U}) = \mathcal{U}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
(a) Her \(\sigma\)-cebir \(\varnothing\) ve \(\Omega\)’yı içerir. \(\Omega\)’nın öteki alt kümeleri \(\{a\}\) ve \(\{b\}\)’dir ve bunlar birbirinin tümleyenidir. Bir \(\sigma\)-cebir \(\{a\}\)’yı içeriyorsa (ii) gereği \(\{b\}\)’yi de içerir ve \(\mathcal{P}(\Omega)\)’ya eşit olur; \(\{b\}\)’yi içeriyorsa aynı şey olur. İkisini de içermiyorsa \(\{\varnothing, \Omega\}\)’dır. Bu iki sınıfın gerçekten \(\sigma\)-cebir olduğunu biliyoruz (Örnek 2.1’daki \(\mathcal{U}_3\) ile aynı gerekçe ve Önerme 2.3). Demek ki \(\Omega = \{a, b\}\) üzerinde tam iki \(\sigma\)-cebir vardır:
\[\{\varnothing, \Omega\} \quad \text{ve} \quad \mathcal{P}(\Omega) = \big\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \Omega\big\}.\]
(b) \(\{a\} \in \mathcal{U}\) ama \(\{a\}^c = \{b, c\} \notin \mathcal{U}\); (ii) bozulur, \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir değildir. \(\sigma(\mathcal{U})\), \(\{a\}\), \(\{b\}\) ve \(\{c\}\) tek nokta kümelerini içerir; \(\Omega\)’nın boş olmayan her alt kümesi bu tek nokta kümelerinden bazılarının birleşimi olduğundan, Örnek 2.2 (c)’deki gerekçeyle \(\mathcal{P}(\Omega) \subseteq \sigma(\mathcal{U}) \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\). Öyleyse \(\sigma(\mathcal{U}) = \mathcal{P}(\Omega)\), sekiz elemanlı kuvvet kümesi.
(c) \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{N})\) açıktır. Tersi için \(A \subseteq \mathbb{N}\) herhangi bir küme olsun. \(A = \varnothing\) ise \(A \in \sigma(\mathcal{L})\)’dir. \(A \ne \varnothing\) ise \(A\) sonlu ya da sayılabilir sonsuzdur; elemanlarını \(A = \{n_1, n_2, \ldots\}\) diye sıralayalım. O zaman
\[A = \bigcup_{k} \{n_k\}\]
sonlu ya da sayılabilir tane tek nokta kümesinin birleşimidir. Her \(\{n_k\} \in \mathcal{L} \subseteq \sigma(\mathcal{L})\) olduğundan, (iii*) ya da Teorem 2.1 (c) gereği \(A \in \sigma(\mathcal{L})\). Demek ki \(\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{P}(\mathbb{N})\).
(d) (i) \(\mathbb{R}^c = \varnothing\) sayılabilirdir; \(\mathbb{R} \in \mathcal{U}\). (ii) \(A \in \mathcal{U}\) olsun. \(A\) sayılabilirse \((A^c)^c = A\) sayılabilirdir, dolayısıyla \(A^c \in \mathcal{U}\); \(A^c\) sayılabilirse \(A^c\) doğrudan \(\mathcal{U}\)’dadır. (iii*) \((A_n)\), \(\mathcal{U}\)’da bir dizi olsun. Bütün \(A_n\)’ler sayılabilirse \(\bigcup_n A_n\), sayılabilir tane sayılabilir kümenin birleşimi olarak sayılabilirdir ve \(\mathcal{U}\)’dadır. Değilse en az bir \(A_m\) sayılamaz; \(A_m \in \mathcal{U}\) olduğundan \(A_m^c\) sayılabilirdir ve
\[\Big( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \Big)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c \subseteq A_m^c\]
sayılabilir bir kümenin alt kümesi olarak sayılabilirdir; yine \(\bigcup_n A_n \in \mathcal{U}\). Öyleyse \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebirdir.
\(\mathcal{U} \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})\): \(A\) sayılabilirse Önerme 2.5 (a) gereği Borel’dir; \(A^c\) sayılabilirse \(A^c\) Borel’dir ve \(A = (A^c)^c\) de Borel’dir. Eşitlik yoktur: \((0, 1) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) ama \((0, 1)\) sayılamaz ve tümleyeni \((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\) da sayılamaz; yani \((0, 1) \notin \mathcal{U}\). Demek ki \(\mathcal{U} \subsetneq \mathcal{B}(\mathbb{R})\).
(e) \(\mathcal{U}_1\) için: \(\Omega \in \mathcal{U}_1\); tümleyen çiftleri \((\varnothing, \Omega)\) ve \((\{a\}, \{b, c\})\); birleşimler \(\{a\} \cup \{b, c\} = \Omega\) dışında hep elemanlardan birine eşittir. \(\Omega\) sonlu olduğundan Önerme 2.2 gereği \(\mathcal{U}_1\) bir \(\sigma\)-cebirdir. \(\mathcal{U}_2\) için \(a\) ile \(b\)’nin rolleri değişir; aynı gerekçe geçerlidir.
\(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2 = \big\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{b, c\}, \{a, c\}, \Omega\big\}\) sınıfında \(\{a\}\) ve \(\{b\}\) vardır ama \(\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\}\) yoktur; (iii) bozulur, sınıf bir cebir değildir.
\(\sigma(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2)\), \(\{a\}\) ve \(\{b\}\)’yi, dolayısıyla \(\{a, b\}^c = \{c\}\)’yi içerir. Üç tek nokta kümesini içeren bir \(\sigma\)-cebir, (b) şıkkındaki gerekçeyle \(\mathcal{P}(\Omega)\)’dır: \(\sigma(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2) = \mathcal{P}(\Omega)\).
(f) \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})\): Önerme 2.5 (c) gereği her \((-\infty, c]\) Borel’dir; yani \(\mathcal{L} \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})\). \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) bir \(\sigma\)-cebir olduğundan Teorem 2.3 (b) gereği \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})\).
\(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \sigma(\mathcal{L})\): Her açık aralığın \(\sigma(\mathcal{L})\)’de olduğunu göstermek yeter; o zaman \(\sigma(\mathcal{L})\), \(\mathcal{L}_1\)’i kapsayan bir \(\sigma\)-cebir olur ve Teorem 2.3 (b) gereği \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\mathcal{L}_1) \subseteq \sigma(\mathcal{L})\). \(a < b\) olsun. Önce
\[(a, b] = (-\infty, b] \setminus (-\infty, a]\]
yazılır: \(x \le b\) ve \(x \not\le a\) olması, \(a < x \le b\) olması demektir. Teorem 2.1 (d) gereği \((a, b] \in \sigma(\mathcal{L})\). Sonra
\[(a, b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \Big( a,\ b - \frac{1}{n} \Big]\]
eşitliğini gösterelim; burada \(b - \frac{1}{n} \le a\) olan \(n\)’ler için sağdaki küme boştur ve birleşime katkısı yoktur. \(\supseteq\): \(a < x \le b - \frac{1}{n} < b\) ise \(x \in (a, b)\). \(\subseteq\): \(x \in (a, b)\) ise \(b - x > 0\); Arşimet özelliği gereği \(\frac{1}{n} < b - x\) olan bir \(n\) vardır ve o zaman \(a < x < b - \frac{1}{n}\), yani \(x \in \big( a, b - \frac{1}{n} \big]\). Her \(\big( a, b - \frac{1}{n} \big]\) kümesi \(\sigma(\mathcal{L})\)’de (boş olanlar Teorem 2.1 (a) gereği) olduğundan (iii*) gereği \((a, b) \in \sigma(\mathcal{L})\). Demek ki \(\sigma(\mathcal{L}) = \mathcal{B}(\mathbb{R})\). Aynı iki adım, yarı açık aralıklar sınıfı \(\mathcal{L}_2 = \{(a, b] : a < b\}\) için de \(\sigma(\mathcal{L}_2) = \mathcal{B}(\mathbb{R})\) verir: her \((a, b]\), Önerme 2.5 (b) gereği Borel’dir, dolayısıyla \(\sigma(\mathcal{L}_2) \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})\); tersine her açık aralık, yukarıdaki eşitlik gereği \(\mathcal{L}_2\)’deki kümelerin sayılabilir birleşimidir, dolayısıyla \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \sigma(\mathcal{L}_2)\).
(g) \(\mathcal{K} \subseteq \mathcal{M}\) olsun. \(\sigma(\mathcal{M})\), \(\mathcal{M}\)’yi, dolayısıyla \(\mathcal{K}\)’yı kapsayan bir \(\sigma\)-cebirdir; Teorem 2.3 (b) gereği \(\sigma(\mathcal{K}) \subseteq \sigma(\mathcal{M})\).
İkinci iddia için: \(\sigma(\mathcal{L})\), kendisini kapsayan bir \(\sigma\)-cebirdir; (b) gereği \(\sigma\big(\sigma(\mathcal{L})\big) \subseteq \sigma(\mathcal{L})\). Öte yandan (a) gereği her sınıf ürettiği \(\sigma\)-cebirin içindedir: \(\sigma(\mathcal{L}) \subseteq \sigma\big(\sigma(\mathcal{L})\big)\). İki kapsama eşitliği verir.
Son iddia, ikinci iddianın genel hâlidir ve aynı iki adımla doğrudan çıkar: \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebirse, \(\mathcal{U}\)’yu kapsayan \(\sigma\)-cebirlerden biri kendisidir; (b) gereği \(\sigma(\mathcal{U}) \subseteq \mathcal{U}\), (a) gereği \(\mathcal{U} \subseteq \sigma(\mathcal{U})\)’dur.
\(\blacksquare\)
Artık olayların hangi sınıfta yaşadığını biliyoruz; sırada bu olaylara sayı atayan fonksiyonun, olasılık ölçüsünün kuralları var: Olasılık Ölçüsü ve Olasılık Uzayı.