10 Kesikli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Fonksiyonu
Dağılım Fonksiyonu bölümünde bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını tek bir gerçel fonksiyonla, \(F_X(x) = P(X \le x)\) dağılım fonksiyonuyla betimlemeyi öğrendik. Dağılım fonksiyonu her rastgele değişken için tanımlıdır; azalmayan, sağdan sürekli ve uçlarda \(0\) ile \(1\)’e yaklaşan bir fonksiyondur. Ne var ki uygulamada karşılaşılan rastgele değişkenlerin büyük bölümü iki ana sınıftan birine düşer ve her sınıf için dağılımı betimlemenin daha somut, daha kullanışlı bir yolu vardır.
Bu bölümde ilk sınıfı ele alıyoruz: değer kümesi sonlu ya da sayılabilir sonsuz olan kesikli rastgele değişkenler. Zarın gösterdiği sayı, üç para atışında gelen tura sayısı, bir kutudan çekilen kusurlu parça sayısı, bir santrale bir saatte gelen çağrı sayısı: bunların hepsi kesiklidir. Böyle bir değişkenin dağılımını anlatmak için, alabileceği her değere ne olasılıkla ulaşıldığını söylemek yeter. Bu bilgiyi taşıyan fonksiyona olasılık fonksiyonu diyeceğiz.
Bölümde şunları öğreneceğiz: kesikli rastgele değişkenin ve olasılık fonksiyonunun tanımı; olasılık fonksiyonunu niteleyen iki özellik ve bunların Kolmogorov aksiyomlarından nasıl çıktığı; olasılık fonksiyonuyla dağılım fonksiyonu arasında iki yönlü geçiş (\(F\) toplamla, \(f\) sıçramayla elde edilir); ve bu geçişleri somutlaştıran altı çözümlü örnek. Bölümün sonunda kesikli değişkenlerin ayırt edici özelliğini, tek bir noktanın olasılığının sıfırdan farklı olabilmesini, bir sonraki bölümün sürekli değişkenleriyle karşılaştırmaya hazır olacağız.
10.1 Kesikli Rastgele Değişken
Bir \(X\) rastgele değişkeninin değer kümesi \(D_X = X(\Omega) = \{X(\omega) : \omega \in \Omega\}\) idi (Tanım 8.2). Rastgele değişkenleri sınıflandırmanın en doğal yolu bu kümenin büyüklüğüne bakmaktır.
Tanım 10.1 (Kesikli Rastgele Değişken) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) bir rastgele değişken olsun. \(X\)’in değer kümesi \(D_X\) sonlu ya da sayılabilir sonsuz ise \(X\)’e kesikli rastgele değişken, \(X\)’in belirlediği \(P_X\) olasılık dağılımına da (Tanım 8.3) kesikli dağılım denir.
Tanımdaki koşul, \(D_X\)’in elemanlarının bir dizi hâlinde sıralanabilmesi demektir:
\[D_X = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}.\]
Sonlu durumda dizi bir yerde biter ve \(D_X = \{x_1, \dots, x_n\}\) olur; sayılabilir sonsuz durumda ise bitmez. Aşağıdaki gözlemler tanımı yerine oturtur.
- Sonlu ya da sayılabilir bir örnek uzay üzerinde tanımlı her rastgele değişken kesiklidir; çünkü \(X(\Omega)\) görüntü kümesinin eleman sayısı \(\Omega\)’nınkini aşamaz. Zar atma, para atma, torbadan bilye çekme gibi bütün sayma deneyleri bu sınıfa girer.
- Örnek uzayın sonsuz olması değişkenin kesikli olmasına engel değildir. Bir para ilk tura gelene kadar atılsın ve \(X\) atış sayısını göstersin. Örnek uzay sonsuzdur; ama \(D_X = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}\) sayılabilir olduğundan \(X\) kesiklidir.
- Değer kümesinin tam sayılardan oluşması gerekmez. \(D_X = \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\right\}\) gibi bir küme de sayılabilirdir. Önemli olan, değerlerin bir dizi hâlinde sıralanabilmesidir.
Kesikli bir değişkenin dağılımını ayırt eden şey, toplam \(1\) birimlik olasılığın sayılabilir sayıda noktaya “yığılmış” olmasıdır. Bu yığılmayı nokta nokta kaydeden fonksiyonu şimdi tanımlıyoruz.
10.2 Olasılık Fonksiyonu
Kesikli bir \(X\) değişkeninin alabileceği her \(x\) değeri için \((X = x) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\}\) kümesi bir olaydır: \(\{x\}\) bir Borel kümesidir (Önerme 2.5) ve Borel ölçütü gereği (Önerme 8.2) her Borel kümesinin ters görüntüsü \(\mathcal{U}\)’ya aittir. Dolayısıyla \(P(X = x)\) olasılığı anlamlıdır.
Tanım 10.2 (Olasılık Fonksiyonu) \(X\) kesikli bir rastgele değişken olsun.
\[f_X : D_X \to \mathbb{R}, \qquad f_X(x) = P(X = x) = P\big(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\}\big)\]
fonksiyonuna \(X\) rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu (olasılık kütle fonksiyonu) denir. Bağlam açıkken \(f_X\) yerine kısaca \(f\) yazılır.
Adlandırmadaki “kütle” sözcüğü şu benzetmeye dayanır: toplam \(1\) birimlik olasılık kütlesi \(D_X\)’in noktalarına dağıtılmıştır ve \(f(x)\), tam olarak \(x\) noktasına konan kütledir.
Çoğu zaman \(f\)’yi, \(D_X\) dışında \(0\) değerini alacak biçimde bütün \(\mathbb{R}\)’ye genişletmek uygun olur:
\[f(x) = \begin{cases} P(X = x), & x \in D_X \\ 0, & x \notin D_X. \end{cases}\]
Bu genişletme yeni bir bilgi eklemez; \(x \notin D_X\) için \((X = x) = \varnothing\) olduğundan \(P(X = x) = 0\) zaten doğrudur. Ama \(f\)’yi \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon olarak görmek, toplamların sınırlarını yazmayı ve bir sonraki bölümdeki kesikli–sürekli karşılaştırmasını kolaylaştırır. Bundan sonra \(f\)’yi ihtiyaca göre iki biçimde de kullanacağız.
Hangi fonksiyonlar bir olasılık fonksiyonu olabilir? Aşağıdaki önerme iki basit koşulun gerekli olduğunu söyler ve buna, olasılık fonksiyonunun dağılımı tümüyle belirlediğini gösteren üçüncü bir özellik ekler. Hemen ardından iki koşulun yeterli de olduğunu göreceğiz.
Önerme 10.1 (Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri) \(X\) kesikli bir rastgele değişken ve \(f\) onun olasılık fonksiyonu olsun. O zaman:
(1) Her \(x \in D_X\) için \(f(x) \ge 0\).
(2) \(\displaystyle \sum_{x \in D_X} f(x) = 1\).
(3) Her \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) Borel kümesi için
\[P(X \in B) = P_X(B) = \sum_{x \in B \cap D_X} f(x).\]
Özel olarak \(X\)’in olasılık dağılımı \(P_X\), olasılık fonksiyonu \(f\) tarafından tümüyle belirlenir.
İspat
\(D_X = \{x_1, x_2, \dots\}\) yazalım ve \(i = 1, 2, \dots\) için \(A_i = (X = x_i)\) olaylarını düşünelim. Sonlu durumda dizi \(n\) terimde biter; aşağıdaki hesaplar sonlu toplamlarla aynen geçerlidir.
(1) \(f(x) = P(X = x)\) bir olayın olasılığıdır; Tanım 3.1’ndaki (A1) aksiyomu gereği negatif olamaz.
(2) Önce \(A_i\) olaylarının ikişer ikişer ayrık olduğunu görelim. \(\omega \in A_i \cap A_j\) olsaydı hem \(X(\omega) = x_i\) hem \(X(\omega) = x_j\) olurdu; \(X\) bir fonksiyon olduğundan bu ancak \(x_i = x_j\), yani \(i = j\) iken mümkündür. Demek ki \(i \ne j\) için \(A_i \cap A_j = \varnothing\).
Sonra \(A_i\) olaylarının birleşiminin \(\Omega\) olduğunu görelim. Her \(\omega \in \Omega\) için \(X(\omega) \in X(\Omega) = D_X\)’dir; yani \(X(\omega) = x_i\) olan bir \(i\) vardır ve \(\omega \in A_i\)’dir. Öyleyse
\[\Omega = \bigcup_{i} A_i.\]
Sayılabilir toplamsallık aksiyomu (A3) ve \(P(\Omega) = 1\) (A2) ile
\[1 = P(\Omega) = P\Big(\bigcup_{i} A_i\Big) = \sum_{i} P(A_i) = \sum_{i} f(x_i) = \sum_{x \in D_X} f(x).\]
(3) \(B\) bir Borel kümesi olsun. \(\omega \in (X \in B)\) olması, \(X(\omega) \in B\) olması demektir; \(X(\omega)\) zaten \(D_X\)’te olduğundan bu, \(X(\omega) \in B \cap D_X\) demekle aynıdır. Öyleyse
\[(X \in B) = \bigcup_{x_i \in B \cap D_X} (X = x_i) = \bigcup_{x_i \in B \cap D_X} A_i.\]
Sağdaki birleşim, \(D_X\)’in bir alt kümesi üzerinden alındığından sayılabilir; olaylar ikişer ikişer ayrık olduğundan (A3) uygulanır:
\[P(X \in B) = \sum_{x_i \in B \cap D_X} P(A_i) = \sum_{x \in B \cap D_X} f(x).\]
\(B \cap D_X = \varnothing\) ise sağdaki toplam boş toplamdır ve \(0\)’a eşittir; bu da \((X \in B) = \varnothing\) ile uyumludur. Son olarak \(P_X(B) = P(X \in B)\) eşitliği olasılık dağılımının tanımıdır (Tanım 8.3); dolayısıyla \(P_X\)’in her Borel kümesindeki değeri yalnızca \(f\)’ye bağlıdır.
\(\blacksquare\)
Önermenin (3) maddesi kesikli değişkenlerle çalışmanın temel aracıdır: bir olayın olasılığı, o olaya düşen değerlerdeki olasılık fonksiyonu değerlerinin toplamıdır. Bir aralığın, bir tek sayılar kümesinin, bir eşitsizliğin olasılığı hep aynı yolla hesaplanır. Bu bölümdeki bütün örnekler bu ilkenin uygulamasıdır.
\(D = \{x_1, x_2, \dots\}\) sayılabilir bir gerçel sayı kümesi ve \(g : D \to \mathbb{R}\), her \(x \in D\) için \(g(x) \ge 0\) ve \(\sum_{x \in D} g(x) = 1\) koşullarını sağlayan bir fonksiyon olsun. O zaman \(g\), kesikli bir rastgele değişkenin olasılık fonksiyonudur. Gerçekten, \(\Omega = D\), \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(D)\) alalım ve \(A \subseteq D\) için
\[P(A) = \sum_{x \in A} g(x)\]
tanımlayalım. \(g \ge 0\) olduğundan \(P(A) \ge 0\); \(P(\Omega) = P(D) = \sum_{x \in D} g(x) = 1\); ikişer ikişer ayrık \(A_1, A_2, \dots\) kümeleri için \(P\big(\bigcup A_i\big) = \sum_{x \in \bigcup A_i} g(x) = \sum_i \sum_{x \in A_i} g(x) = \sum_i P(A_i)\), çünkü negatif olmayan terimli bir seride toplama sırası değiştirilebilir. Demek ki \(P\) bir olasılık ölçüsüdür. \(X(\omega) = \omega\) özdeşlik fonksiyonu alınırsa \(D_X = D\) ve \(P(X = x) = P(\{x\}) = g(x)\) olur.
Bu gözlemin pratik sonucu şudur: olasılık fonksiyonu, olasılık uzayından bağımsız olarak kendi başına bir nesnedir. Negatif olmayan ve toplamı \(1\) olan bir sayı tablosu vermek, kesikli bir dağılım vermek demektir. Bu yüzden ileride dağılımları çoğu zaman altta yatan deneyi anmadan, doğrudan olasılık fonksiyonuyla tanıtacağız.
10.3 Olasılık Fonksiyonu ile Dağılım Fonksiyonu
Bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını dağılım fonksiyonu \(F_X(x) = P(X \le x)\) ile betimlemeyi öğrenmiştik (Tanım 9.1). Kesikli değişkende artık elimizde ikinci bir betimleme, olasılık fonksiyonu var. İkisinin aynı bilgiyi taşıdığını, birinden ötekine kolayca geçilebildiğini göstermek gerekir; yoksa aynı nesne için iki ayrı dil kullanmış oluruz. Aşağıdaki önerme bu geçişi iki yönde de verir. Gösterimde \(F(x^{-})\), \(F\)’nin \(x\) noktasındaki sol limitini gösterir:
\[F(x^{-}) = \lim_{t \to x^{-}} F(t).\]
\(F\) azalmayan ve \([0, 1]\) içinde sınırlı olduğundan bu limit her noktada vardır (Teorem 9.1).
Önerme 10.2 (Kesikli Değişkende Dağılım Fonksiyonu) \(X\) kesikli bir rastgele değişken, \(D_X = \{x_1, x_2, \dots\}\) değer kümesi, \(f\) olasılık fonksiyonu ve \(F\) dağılım fonksiyonu olsun. O zaman:
(1) Her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_i \in D_X,\; x_i \le x} f(x_i).\]
(2) Her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[F(x^{-}) = P(X < x) = \sum_{x_i \in D_X,\; x_i < x} f(x_i).\]
(3) Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(P(X = x) = F(x) - F(x^{-})\); özel olarak
\[f(x) = F(x) - F(x^{-}), \qquad x \in D_X,\]
ve \(x \notin D_X\) noktalarında \(F\) süreklidir.
(4) \(D_X = \{x_1, \dots, x_n\}\) sonlu ve \(x_1 < x_2 < \dots < x_n\) ise \(F\) bir basamak fonksiyonudur:
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < x_1 \\ f(x_1) + \dots + f(x_k), & x_k \le x < x_{k+1},\; k = 1, \dots, n-1 \\ 1, & x \ge x_n. \end{cases}\]
İspat
(1) Önerme 10.1’nin (3) maddesini \(B = (-\infty, x]\) Borel kümesine uygulayalım. \((X \in B) = (X \le x)\) ve \(B \cap D_X = \{x_i \in D_X : x_i \le x\}\) olduğundan
\[F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_i \in D_X,\; x_i \le x} f(x_i).\]
(2) Önce \(F(x^{-}) = P(X < x)\) eşitliğini gösterelim. \(n = 1, 2, \dots\) için \(C_n = \left(X \le x - \frac{1}{n}\right)\) olaylarını alalım. \(x - \frac{1}{n}\) sayıları \(n\) ile birlikte arttığından \(C_1 \subseteq C_2 \subseteq \dots\) olur; yani \((C_n)\) artan bir olay dizisidir. Birleşimi \((X < x)\) olayıdır: \(X(\omega) < x\) ise \(x - X(\omega) > 0\)’dır ve \(\frac{1}{n} \le x - X(\omega)\) olan bir \(n\) vardır, yani \(\omega \in C_n\); tersine \(\omega \in C_n\) ise \(X(\omega) \le x - \frac{1}{n} < x\)’tir. Olasılık ölçüsünün sürekliliği (Teorem 3.5) gereği
\[P(X < x) = P\Big(\bigcup_{n} C_n\Big) = \lim_{n \to \infty} P(C_n) = \lim_{n \to \infty} F\!\left(x - \tfrac{1}{n}\right).\]
\(F\) azalmayan olduğundan sol limiti \(F(x^{-})\) vardır ve \(x\)’e soldan yaklaşan her dizi boyunca \(F\)’nin limiti bu değere eşittir; özel olarak \(\lim_{n \to \infty} F\!\left(x - \frac{1}{n}\right) = F(x^{-})\). Böylece \(F(x^{-}) = P(X < x)\) bulunur. Şimdi Önerme 10.1’nin (3) maddesini \(B = (-\infty, x)\) kümesine uygulamak toplam ifadesini verir.
(3) \((X \le x)\) olayı, ayrık \((X < x)\) ve \((X = x)\) olaylarının birleşimidir. Sonlu toplamsallık (Teorem 3.1) ile
\[F(x) = P(X \le x) = P(X < x) + P(X = x) = F(x^{-}) + P(X = x),\]
yani \(P(X = x) = F(x) - F(x^{-})\). Bu, Teorem 9.2’de her rastgele değişken için verilen eşitliğin ta kendisidir. \(x \in D_X\) ise sol taraf \(f(x)\)’tir. \(x \notin D_X\) ise \((X = x) = \varnothing\) olduğundan \(F(x) - F(x^{-}) = 0\), yani \(F(x^{-}) = F(x)\) olur; \(F\) zaten sağdan sürekli olduğundan (Teorem 9.1) \(F\), \(x\) noktasında süreklidir.
(4) (1) maddesindeki toplamı üç durumda değerlendirelim. \(x < x_1\) ise \(x_i \le x\) koşulunu sağlayan hiçbir \(x_i\) yoktur; toplam boştur ve \(F(x) = 0\) olur. \(x_k \le x < x_{k+1}\) ise \(x_i \le x\) koşulunu tam olarak \(x_1, \dots, x_k\) sağlar ve \(F(x) = f(x_1) + \dots + f(x_k)\) olur. \(x \ge x_n\) ise bütün \(x_i\)’ler koşulu sağlar ve Önerme 10.1’nin (2) maddesi gereği \(F(x) = \sum_{x_i \in D_X} f(x_i) = 1\) olur.
\(\blacksquare\)
Önermenin söylediği şudur: \(f\) verilmişse \(F\), değerleri soldan sağa biriktirerek bulunur; \(F\) verilmişse \(f\), \(F\)’nin sıçramalarını okuyarak bulunur. Sıçramanın büyüklüğü \(F(x) - F(x^{-})\) noktanın olasılığıdır; \(F\)’nin sürekli olduğu noktaların olasılığı sıfırdır. Bu iki işlem birbirinin tersidir, dolayısıyla kesikli bir değişkenin dağılımını vermek için \(f\)’yi (çoğu zaman bir tablo hâlinde) yazmak yeterlidir.
Grafiklerde durum şöyle görünür. \(f\)’nin grafiği, \(D_X\) noktalarına dikilmiş, yükseklikleri \(f(x_i)\) olan çubuklardan oluşur; çubukların toplam yüksekliği \(1\)’dir. \(F\)’nin grafiği ise bir merdivendir: iki ardışık değer arasında yataydır, her \(x_i\) noktasında \(f(x_i)\) kadar yukarı sıçrar ve sağdan sürekli olduğu için her basamağın sol ucu dolu, bir önceki basamağın sağ ucu boştur. (4) maddesi, sonlu değer kümesi için bu merdivenin denklemini verir; \(D_X\)’in noktaları artan bir dizi hâlinde sıralanabiliyorsa — bu bölümdeki bütün örneklerde durum budur — sayılabilir sonsuz değer kümesinde de merdivenin sonsuz sayıda basamağı vardır ve yükseklikleri \(1\)’e yaklaşır.
Bir kesikli \(X\) değişkeni için karşımıza çıkan nesneler ve aralarındaki geçişler şöyle özetlenebilir.
- \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) fonksiyonu \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayını \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_X)\) uzayına taşır; taşıma kuralı \(P_X(B) = P(X \in B)\)’dir.
- \(P_X\) ile \(F\) birbirini belirler: \(F(x) = P_X\big((-\infty, x]\big)\) ve \(P_X\big((a, b]\big) = F(b) - F(a)\).
- \(P_X\) ile \(f\) birbirini belirler: \(f(x) = P_X(\{x\})\) ve \(P_X(B) = \sum_{x \in B \cap D_X} f(x)\).
- \(F\) ile \(f\) birbirini belirler: \(F(x) = \sum_{x_i \le x} f(x_i)\) ve \(f(x) = F(x) - F(x^{-})\).
Üçü de aynı dağılımı betimler; hangisinin kullanılacağı soruya bağlıdır. Tek tek değerlerin olasılığı soruluyorsa \(f\) daha kullanışlıdır; “en çok”, “en az”, “arasında” biçimindeki sorularda ise \(F\) işi kolaylaştırır.
Kesikli bir değişken için \(P(X = x) = f(x)\)’tir ve \(x \in D_X\) noktalarında bu değer genellikle pozitiftir. Bunun iki önemli sonucu vardır.
Birincisi, uç noktalar önemlidir. \(a < b\) için dört olasılık
\[P(a < X \le b) = F(b) - F(a), \qquad P(a \le X \le b) = F(b) - F(a^{-}),\]
\[P(a < X < b) = F(b^{-}) - F(a), \qquad P(a \le X < b) = F(b^{-}) - F(a^{-})\]
birbirinden farklı olabilir (Teorem 9.2). Düzgün bir zar için \(P(1 \le X \le 2) = \frac{2}{6}\) ama \(P(1 < X < 2) = 0\)’dır. Bir olasılık hesaplarken eşitsizliklerin “\(<\)” mi “\(\le\)” mi olduğuna her zaman bakılır.
İkincisi, dağılım fonksiyonu süreksizdir: \(F\), olasılık taşıyan her noktada sıçrar ve grafiği bir merdivendir.
Bir sonraki bölümde göreceğimiz sürekli rastgele değişkenlerde durum tam tersidir: her \(x\) için \(P(X = x) = 0\) olur, dört aralık olasılığı çakışır ve \(F\) sürekli bir fonksiyondur. Kesikli ile sürekli arasındaki ayrım, en kısa hâliyle, “tek bir noktaya kütle konabilir mi?” sorusunun yanıtıdır.
10.4 Örnekler
Önce en basit kesikli dağılımla, bir zarın dağılımıyla başlayalım; olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu burada yan yana görülür.
Örnek 10.1 (Düzgün Bir Zarın Olasılık Fonksiyonu) Düzgün bir zar atılıyor ve gelen nokta sayısı \(X\) rastgele değişkeniyle gösteriliyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulunuz; ikisinin grafiğini çiziniz.
Çözüm
Deneyin örnek uzayı \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ve zar düzgün olduğundan olasılık uzayı bir Laplace uzayıdır (Tanım 4.1): her \(\omega\) için \(P(\{\omega\}) = \frac{1}{6}\). \(X(\omega) = \omega\) alınırsa değer kümesi
\[D_X = X(\Omega) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]
sonludur; dolayısıyla \(X\) kesikli bir rastgele değişkendir. Her \(x \in D_X\) için \((X = x) = \{x\}\) olduğundan olasılık fonksiyonu
\[f(x) = P(X = x) = P(\{x\}) = \frac{1}{6}, \qquad x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]
olur. Tablo hâlinde:
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = P(X = x)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
Bütün değerler negatif olmayan sayılardır ve toplamları \(6 \cdot \frac{1}{6} = 1\)’dir; Önerme 10.1’nin iki koşulu sağlanır. Bütün değerlerin eşit olasılıklı olduğu bu dağılıma \(\{1, \dots, 6\}\) üzerinde kesikli düzgün dağılım denir.
Dağılım fonksiyonu için Önerme 10.2’nun (4) maddesini kullanalım. \(x < 1\) için hiçbir değer \(x\)’i aşmaz, \(F(x) = 0\). \(k \le x < k+1\) (\(k = 1, \dots, 5\)) için \(x\)’i aşmayan değerler \(1, \dots, k\)’dir ve \(F(x) = \frac{k}{6}\) olur. \(x \ge 6\) için bütün değerler toplanır ve \(F(x) = 1\)’dir:
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\[1mm] \dfrac{1}{6}, & 1 \le x < 2 \\[1mm] \dfrac{2}{6}, & 2 \le x < 3 \\[1mm] \dfrac{3}{6}, & 3 \le x < 4 \\[1mm] \dfrac{4}{6}, & 4 \le x < 5 \\[1mm] \dfrac{5}{6}, & 5 \le x < 6 \\[1mm] 1, & x \ge 6. \end{cases}\]
Kısaca, \(1 \le x < 6\) için \(F(x) = \frac{\lfloor x \rfloor}{6}\)’dır; burada \(\lfloor x \rfloor\), \(x\)’i aşmayan en büyük tam sayıdır. Örneğin \(F(2{,}7) = P(X \le 2{,}7) = P(X \in \{1, 2\}) = \frac{2}{6}\).
\(F\)’nin sıçramalarından \(f\)’yi geri okuyabiliriz: \(f(3) = F(3) - F(3^{-}) = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\). Aralık olasılıkları da \(F\)’den okunur: \(P(2 < X \le 5) = F(5) - F(2) = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6}\), gerçekten de bu olaya \(3, 4, 5\) değerleri düşer.
\(\blacksquare\)
Şimdi değer kümesi doğrudan örnek uzay olmayan, değişkenin sonuçları “sıkıştırdığı” bir örneğe geçelim.
Örnek 10.2 (İşaretli Paranın Son İki Atışının Toplamı) Düzgün bir paranın bir yüzü \(1\), diğer yüzü \(2\) ile işaretlenmiştir. Bu para üç kez atılıyor ve \(X\), son iki atışta gelen sayıların toplamını gösteriyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Her atışın sonucu \(1\) ya da \(2\)’dir; deneyin örnek uzayı
\[\Omega = \{1, 2\}^3 = \{(\omega_1, \omega_2, \omega_3) : \omega_i \in \{1, 2\}\}\]
kümesidir ve \(2^3 = 8\) elemanı vardır. Para düzgün ve atışlar birbirinden bağımsız olduğundan her üçlü eşit olasılıklıdır: \(P(\{\omega\}) = \frac{1}{8}\). Rastgele değişken
\[X(\omega_1, \omega_2, \omega_3) = \omega_2 + \omega_3\]
ile tanımlıdır; ilk atış \(X\)’i etkilemez. \(\omega_2 + \omega_3\) toplamı en az \(1 + 1 = 2\), en çok \(2 + 2 = 4\) olabildiğinden
\[D_X = \{2, 3, 4\}\]
bulunur; \(X\) kesiklidir. Her değer için olayı elemanlarıyla yazıp sayalım:
- \((X = 2) = \{\omega : \omega_2 = 1,\ \omega_3 = 1\} = \{(1,1,1), (2,1,1)\}\), iki eleman;
- \((X = 3) = \{\omega : \{\omega_2, \omega_3\} = \{1, 2\}\}\), yani \(\{(1,1,2), (1,2,1), (2,1,2), (2,2,1)\}\), dört eleman;
- \((X = 4) = \{\omega : \omega_2 = 2,\ \omega_3 = 2\} = \{(1,2,2), (2,2,2)\}\), iki eleman.
Laplace formülü (Önerme 4.2) ile
\[f(2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \qquad f(3) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \qquad f(4) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.\]
| \(x\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = P(X = x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Toplam \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1\)’dir. Aynı sonuca bağımsızlıkla da varılır: ikinci atışın \(1\) gelmesi ile üçüncü atışın \(1\) gelmesi bağımsız olaylardır (Tanım 7.1) ve her birinin olasılığı \(\frac{1}{2}\)’dir; dolayısıyla \(P(X = 2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). \(X = 3\) için iki ayrık yol, \((\omega_2, \omega_3) = (1, 2)\) ve \((\omega_2, \omega_3) = (2, 1)\), vardır ve \(P(X = 3) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).
Dağılım fonksiyonu, değerleri soldan sağa biriktirerek bulunur:
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 2 \\[1mm] \dfrac{1}{4}, & 2 \le x < 3 \\[1mm] \dfrac{3}{4}, & 3 \le x < 4 \\[1mm] 1, & x \ge 4. \end{cases}\]
\(\blacksquare\)
Sıradaki örnekte olayları tek tek listelemek yerine sayma tekniklerini kullanacağız.
Örnek 10.3 (Torbadan İadesiz Bilye Çekme) Bir torbada \(4\) sarı ve \(2\) kırmızı bilye vardır. Torbadan, çekilen bilye geri konmaksızın art arda \(3\) bilye çekiliyor ve \(X\), çekilen kırmızı bilye sayısını gösteriyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Bilyeler geri konmadığından üç çekilişin sonucu, torbadaki \(6\) bilyeden seçilmiş \(3\) elemanlı bir alt kümedir; çekiliş sırası \(X\)’i etkilemediğinden örnek uzayı bu alt kümelerin kümesi olarak alabiliriz. Kombinasyon sayısı (Teorem 5.2) gereği
\[|\Omega| = \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\]
ve bilyeler rastgele çekildiğinden her alt küme eşit olasılıklıdır; olasılık uzayı Laplace uzayıdır.
Torbada yalnızca \(2\) kırmızı bilye olduğundan \(X\) en çok \(2\) olabilir; \(X \ge 0\) da açıktır. Öte yandan \(X = 0\) mümkündür, çünkü üç sarı bilye çekilebilir. Demek ki
\[D_X = \{0, 1, 2\}.\]
\(X = x\) olayı, \(2\) kırmızıdan \(x\) tanesinin ve \(4\) sarıdan \(3 - x\) tanesinin seçilmesi demektir. Kırmızıların seçimi sarıların seçimini kısıtlamadığından çarpma kuralıyla (Önerme 5.2) bu olayın eleman sayısı \(\binom{2}{x}\binom{4}{3-x}\)’tir. Laplace formülü (Önerme 4.2) ile
\[f(x) = P(X = x) = \frac{\binom{2}{x}\binom{4}{3-x}}{\binom{6}{3}}, \qquad x \in \{0, 1, 2\}.\]
Değerleri hesaplayalım:
\[f(0) = \frac{\binom{2}{0}\binom{4}{3}}{20} = \frac{1 \cdot 4}{20} = \frac{1}{5}, \qquad f(1) = \frac{\binom{2}{1}\binom{4}{2}}{20} = \frac{2 \cdot 6}{20} = \frac{3}{5}, \qquad f(2) = \frac{\binom{2}{2}\binom{4}{1}}{20} = \frac{1 \cdot 4}{20} = \frac{1}{5}.\]
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = P(X = x)\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
Toplam \(\frac{1}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = 1\)’dir. Bu biçimdeki dağılıma hipergeometrik dağılım denir; genel hâlini ileride ayrıca inceleyeceğiz.
Sonucu koşullu olasılıkla (Tanım 6.1) da denetleyebiliriz. \(X = 0\) olması için üç çekilişin de sarı gelmesi gerekir. İlk çekilişte sarı gelme olasılığı \(\frac{4}{6}\); sarı çıktıysa torbada \(3\) sarı, \(2\) kırmızı kalır ve ikinci çekilişte sarı olasılığı \(\frac{3}{5}\); iki sarı çıktıysa \(2\) sarı, \(2\) kırmızı kalır ve üçüncüde sarı olasılığı \(\frac{2}{4}\). Çarpma teoremiyle (Teorem 6.3)
\[P(X = 0) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5},\]
sayma yoluyla bulduğumuzla aynıdır.
Dağılım fonksiyonu:
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\[1mm] \dfrac{1}{5}, & 0 \le x < 1 \\[1mm] \dfrac{4}{5}, & 1 \le x < 2 \\[1mm] 1, & x \ge 2. \end{cases}\]
Örneğin “en çok bir kırmızı” olasılığı \(P(X \le 1) = F(1) = \frac{4}{5}\), “en az bir kırmızı” olasılığı \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = \frac{4}{5}\)’tir.
\(\blacksquare\)
Değer kümesi biraz daha kalabalık olan bir örnek: bir tablo yardımıyla saymak burada en güvenli yoldur.
Örnek 10.4 (İki Zarın Mutlak Farkı) Düzgün iki zar atılıyor ve gelen nokta sayıları arasındaki mutlak fark \(X\) ile gösteriliyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulunuz. \(P(X \ge 2)\) ve \(P(1 \le X \le 3)\) olasılıklarını hesaplayınız.
Çözüm
Örnek uzay, sıralı ikililerden oluşur:
\[\Omega = \{(i, j) : i, j \in \{1, \dots, 6\}\}, \qquad |\Omega| = 36,\]
ve zarlar düzgün olduğundan her ikili \(\frac{1}{36}\) olasılıklıdır. Rastgele değişken \(X(i, j) = |i - j|\) olarak tanımlıdır. Fark en az \(0\) (iki zar aynı), en çok \(|6 - 1| = 5\) olabildiğinden
\[D_X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}.\]
Her ikili için \(|i - j|\) değerini bir tabloya yazalım; satırlar birinci zarı, sütunlar ikinci zarı gösterir.
| \(i \setminus j\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(5\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(6\) | \(5\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) |
Tablo, köşegene göre simetriktir. Köşegen üzerinde \(6\) tane \(0\) vardır. \(k \ge 1\) için \(k\) değeri, köşegenin \(k\) adım üstündeki ve \(k\) adım altındaki köşegenlerde yer alır; bu köşegenlerin her birinde \(6 - k\) hücre bulunur. Öyleyse \(k\) değerini alan hücre sayısı \(2(6 - k)\)’dir:
\[f(0) = \frac{6}{36}, \qquad f(k) = \frac{2(6-k)}{36} = \frac{12 - 2k}{36}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5.\]
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = P(X = x)\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{10}{36}\) | \(\frac{8}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) |
Sadeleştirilmiş hâlleriyle \(f(0) = \frac{1}{6}\), \(f(1) = \frac{5}{18}\), \(f(2) = \frac{2}{9}\), \(f(3) = \frac{1}{6}\), \(f(4) = \frac{1}{9}\), \(f(5) = \frac{1}{18}\). Toplam \(\frac{6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2}{36} = \frac{36}{36} = 1\)’dir. En olası fark \(1\)’dir, \(0\) değil; çünkü iki zarın eşit gelmesinin altı yolu varken farkın \(1\) olmasının on yolu vardır.
Dağılım fonksiyonu, olasılıkları biriktirerek bulunur; ara toplamlar \(6, 16, 24, 30, 34, 36\)’dır:
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\[1mm] \dfrac{6}{36}, & 0 \le x < 1 \\[1mm] \dfrac{16}{36}, & 1 \le x < 2 \\[1mm] \dfrac{24}{36}, & 2 \le x < 3 \\[1mm] \dfrac{30}{36}, & 3 \le x < 4 \\[1mm] \dfrac{34}{36}, & 4 \le x < 5 \\[1mm] 1, & x \ge 5. \end{cases}\]
İstenen olasılıklar:
\[P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - F(1) = 1 - \frac{16}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9},\]
\[P(1 \le X \le 3) = f(1) + f(2) + f(3) = \frac{10 + 8 + 6}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}.\]
İkincisi \(F\) ile de hesaplanabilir:
\[P(1 \le X \le 3) = F(3) - F(1^{-}) = F(3) - F(0) = \frac{30}{36} - \frac{6}{36} = \frac{24}{36}.\]
Burada sol uç \(1\) olaya dâhil olduğu için \(F(1)\) değil \(F(1^{-}) = F(0)\) çıkarılmıştır.
\(\blacksquare\)
Buraya kadar hep \(f\)’den \(F\)’ye gittik. Şimdi ters yönü görelim: verilen bir merdiven grafiğinden olasılık fonksiyonunu okumak.
Örnek 10.5 (Dağılım Fonksiyonundan Olasılık Fonksiyonuna) \(X\) rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\[1mm] \dfrac{1}{4}, & -1 \le x < 1 \\[1mm] \dfrac{1}{2}, & 1 \le x < 3 \\[1mm] \dfrac{3}{4}, & 3 \le x < 5 \\[1mm] 1, & x \ge 5 \end{cases}\]
olarak veriliyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu bulunuz; \(P(X \le 2)\), \(P(X > 1)\) ve \(P(-1 \le X < 3)\) olasılıklarını hesaplayınız.
Çözüm
\(F\) bir basamak fonksiyonudur: dört noktada sıçrar, aralarda sabittir. Önerme 10.2’nun (3) maddesine göre her \(x\) için \(P(X = x) = F(x) - F(x^{-})\)’dir. \(F\)’nin sabit olduğu bir aralığın iç noktalarında \(F(x^{-}) = F(x)\) olduğundan bu noktaların olasılığı sıfırdır; olasılık yalnızca sıçrama noktalarında toplanır. Sıçrama noktaları \(-1, 1, 3, 5\)’tir.
Her sıçramanın büyüklüğünü hesaplayalım. \(F\) sağdan sürekli olduğundan \(F(x)\) basamağın sol ucundaki (yeni) değer, \(F(x^{-})\) ise bir önceki basamağın değeridir:
\[P(X = -1) = F(-1) - F\big((-1)^{-}\big) = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4},\]
\[P(X = 1) = F(1) - F(1^{-}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4},\]
\[P(X = 3) = F(3) - F(3^{-}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4},\]
\[P(X = 5) = F(5) - F(5^{-}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.\]
Bu dört olasılığın toplamı \(1\)’dir; demek ki bütün kütle bu dört noktadadır, başka hiçbir noktaya kütle kalmaz ve \(D_X = \{-1, 1, 3, 5\}\)’tir. Olasılık fonksiyonu:
| \(x\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = P(X = x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Yani \(X\), dört noktası eşit olasılıklı bir kesikli düzgün dağılıma sahiptir. Sağlama olarak \(f\)’den \(F\)’yi yeniden kurabiliriz: \(-1 \le x < 1\) için \(F(x) = f(-1) = \frac{1}{4}\), \(1 \le x < 3\) için \(F(x) = f(-1) + f(1) = \frac{1}{2}\) ve böyle devam eder; verilen \(F\) elde edilir.
İstenen olasılıklar:
\[P(X \le 2) = F(2) = \frac{1}{2} \quad (2 \text{ sayısı } [1, 3) \text{ basamağındadır}),\]
\[P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - F(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},\]
\[P(-1 \le X < 3) = F(3^{-}) - F\big((-1)^{-}\big) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.\]
Sonuncusu, olaya düşen değerlerin olasılıklarını toplayarak da doğrulanır: \(-1 \le x < 3\) koşulunu \(D_X\)’ten \(-1\) ve \(1\) sağlar, \(f(-1) + f(1) = \frac{1}{2}\).
\(\blacksquare\)
Son örnek, tablo hâlinde verilen bir olasılık fonksiyonundan dağılım fonksiyonunu kurmayı ve ikisi arasındaki tutarlılığı denetlemeyi gösterir.
Örnek 10.6 (Olasılık Fonksiyonundan Dağılım Fonksiyonuna) \(X\) rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloyla veriliyor.
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = P(X = x)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{6}\) |
\(X\)’in dağılım fonksiyonunu bulunuz; \(P(X \ge 2)\), \(P(X < 3)\) ve \(P(1 < X \le 3)\) olasılıklarını hesaplayınız.
Çözüm
Önce tablonun gerçekten bir olasılık fonksiyonu tanımladığını denetleyelim: değerler negatif değildir ve
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1.\]
“Bu iki özellik yeterlidir” notunda görüldüğü gibi, bu iki koşul tablonun kesikli bir dağılım tanımlaması için yeterlidir; \(D_X = \{1, 2, 3\}\)’tür.
Dağılım fonksiyonunu Önerme 10.2’nun (4) maddesiyle kuralım. \(x < 1\) için \(F(x) = 0\). \(1 \le x < 2\) için yalnızca \(1\) değeri \(x\)’i aşmaz: \(F(x) = f(1) = \frac{1}{2}\). \(2 \le x < 3\) için \(1\) ve \(2\) değerleri toplanır: \(F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\). \(x \ge 3\) için bütün değerler toplanır: \(F(x) = 1\).
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\[1mm] \dfrac{1}{2}, & 1 \le x < 2 \\[1mm] \dfrac{5}{6}, & 2 \le x < 3 \\[1mm] 1, & x \ge 3. \end{cases}\]
Sağlama: sıçramalar \(F(1) - F(1^{-}) = \frac{1}{2}\), \(F(2) - F(2^{-}) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\), \(F(3) - F(3^{-}) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\); tablo geri gelir.
İstenen olasılıklar:
\[P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - F(1) = \frac{1}{2} \qquad \big(= f(2) + f(3)\big),\]
\[P(X < 3) = F(3^{-}) = \frac{5}{6} \qquad \big(= f(1) + f(2)\big),\]
\[P(1 < X \le 3) = F(3) - F(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \qquad \big(= f(2) + f(3)\big).\]
Son iki hesapta uç noktalara dikkat edilmelidir: \(P(X < 3)\) için \(F(3) = 1\) değil, \(F(3^{-}) = \frac{5}{6}\) alınır; \(P(1 < X \le 3)\) ise \(1\) değerini dışarıda bıraktığı için \(F(3) - F(1)\)’dir, \(F(3) - F(1^{-}) = 1\) değil.
\(\blacksquare\)
10.5 Alıştırmalar
Alıştırma 10.1 (Kesikli Rastgele Değişkenler) (a) Düzgün iki para atılıyor ve \(X\) gelen tura sayısını gösteriyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulunuz.
(b) Bir yüzü \(1\), diğer yüzü \(2\) ile işaretlenmiş düzgün bir para üç kez atılıyor ve \(X\) gelen üç sayının toplamını gösteriyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu bulunuz ve \(F(4{,}5)\) değerini hesaplayınız.
(c) \(X\) rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu \(f(x) = c\,x\), \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\) biçimindedir. \(c\) sabitini bulunuz; \(P(X \ge 3)\) ve \(F(2)\) değerlerini hesaplayınız.
(d) \(X\) rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\), \(x \in \{1, 2, 3, \dots\}\) olsun. Bunun bir olasılık fonksiyonu olduğunu gösteriniz; dağılım fonksiyonunu bulunuz; \(P(X > 3)\) ve \(P(X \text{ çift})\) olasılıklarını hesaplayınız.
(e) Örnek 10.3’deki torbadan bu kez çekilen bilye her seferinde geri konarak üç bilye çekiliyor ve \(X\) çekilen kırmızı bilye sayısını gösteriyor. \(X\)’in olasılık fonksiyonunu bulunuz ve iadesiz durumla karşılaştırınız.
(f) Düzgün iki zar atılıyor ve \(X\) gelen sayıların büyük olanını (ikisi eşitse ortak değeri) gösteriyor. Önce \(F(k) = P(X \le k)\) değerlerini \(k \in \{1, \dots, 6\}\) için hesaplayınız, sonra buradan olasılık fonksiyonunu bulunuz.
(g) \(X\) rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\[1mm] \dfrac{1}{8}, & 0 \le x < 1 \\[1mm] \dfrac{1}{2}, & 1 \le x < 2 \\[1mm] \dfrac{7}{8}, & 2 \le x < 3 \\[1mm] 1, & x \ge 3 \end{cases}\]
ise \(X\)’in olasılık fonksiyonunu bulunuz; \(P(X \ge 1)\) ve \(P(0 < X < 3)\) olasılıklarını hesaplayınız.
Çözüm
(a) Örnek uzay \(\Omega = \{YY, YT, TY, TT\}\) dört eşit olasılıklı sonuçtan oluşur ve \(D_X = \{0, 1, 2\}\)’dir. \((X = 0) = \{YY\}\), \((X = 1) = \{YT, TY\}\), \((X = 2) = \{TT\}\) olduğundan
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Dağılım fonksiyonu: \(x < 0\) için \(F(x) = 0\); \(0 \le x < 1\) için \(F(x) = \frac{1}{4}\); \(1 \le x < 2\) için \(F(x) = \frac{3}{4}\); \(x \ge 2\) için \(F(x) = 1\).
(b) \(\Omega = \{1, 2\}^3\) sekiz eşit olasılıklı üçlüden oluşur ve \(X(\omega) = \omega_1 + \omega_2 + \omega_3\)’tür. Toplam en az \(3\), en çok \(6\) olabilir: \(D_X = \{3, 4, 5, 6\}\). Toplamın \(3 + m\) olması için tam \(m\) atışta \(2\) gelmelidir; bunun \(\binom{3}{m}\) yolu vardır. Öyleyse
\[f(3) = \frac{1}{8}, \qquad f(4) = \frac{3}{8}, \qquad f(5) = \frac{3}{8}, \qquad f(6) = \frac{1}{8}.\]
Toplam \(\frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = 1\)’dir. \(F(4{,}5) = P(X \le 4{,}5) = f(3) + f(4) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}\).
(c) Toplam koşulu \(c(1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1\) verir; \(c = \frac{1}{10}\). \(c > 0\) olduğundan negatif olmama koşulu da sağlanır. \(P(X \ge 3) = f(3) + f(4) = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}\) ve \(F(2) = f(1) + f(2) = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3}{10}\). Sağlama: \(P(X \ge 3) = 1 - F(2) = \frac{7}{10}\).
(d) Değerler pozitiftir ve geometrik seri toplamı
\[\sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1\]
olduğundan \(f\) bir olasılık fonksiyonudur; \(D_X = \mathbb{N}\) sayılabilir sonsuzdur. \(x < 1\) için \(F(x) = 0\). \(n \le x < n + 1\) (\(n \in \mathbb{N}\)) için \(x\)’i aşmayan değerler \(1, \dots, n\)’dir ve
\[F(x) = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n.\]
Kısaca, \(x \ge 1\) için \(F(x) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor x \rfloor}\). Merdivenin sonsuz sayıda basamağı vardır ve yükseklikleri \(1\)’e yaklaşır; \(F(x) = 1\) olan hiçbir \(x\) yoktur ama \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 1\)’dir. \(P(X > 3) = 1 - F(3) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\). Çift değerler için
\[P(X \text{ çift}) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.\]
(e) Bilye geri konduğundan her çekilişte torbada \(4\) sarı, \(2\) kırmızı vardır; her çekilişte kırmızı gelme olasılığı \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), sarı gelme olasılığı \(\frac{2}{3}\)’tür ve çekilişler bağımsızdır. Artık üç kırmızı da mümkündür: \(D_X = \{0, 1, 2, 3\}\). Tam \(x\) kırmızı içeren belirli bir sıralamanın olasılığı \(\left(\frac{1}{3}\right)^x \left(\frac{2}{3}\right)^{3-x}\) ve bu sıralamaların sayısı \(\binom{3}{x}\) olduğundan
\[f(x) = \binom{3}{x} \left(\frac{1}{3}\right)^x \left(\frac{2}{3}\right)^{3-x}, \qquad x \in \{0, 1, 2, 3\}.\]
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\frac{8}{27}\) | \(\frac{12}{27}\) | \(\frac{6}{27}\) | \(\frac{1}{27}\) |
Toplam \(\frac{8 + 12 + 6 + 1}{27} = 1\)’dir. İadesiz durumda değerler \(\frac{1}{5}, \frac{3}{5}, \frac{1}{5}\) idi ve \(X = 3\) imkânsızdı. İadeli çekilişte kütle daha çok yayılır: \(X = 0\) olasılığı \(\frac{1}{5} = 0{,}20\)’den \(\frac{8}{27} \approx 0{,}30\)’a çıkar, \(X = 1\) olasılığı \(0{,}60\)’tan \(\approx 0{,}44\)’e düşer. Bu dağılıma ileride binom dağılımı adını vereceğiz.
(f) \((X \le k)\) olayı, iki zarın da \(k\)’yi aşmaması demektir. Bu olaya düşen ikililer \(\{1, \dots, k\}^2\) kümesidir, \(k^2\) tane; öyleyse
\[F(k) = P(X \le k) = \frac{k^2}{36}, \qquad k \in \{1, \dots, 6\},\]
\(x < 1\) için \(F(x) = 0\) ve \(x \ge 6\) için \(F(x) = 1\). Olasılık fonksiyonu sıçramalardan okunur:
\[f(k) = F(k) - F(k-1) = \frac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \frac{2k - 1}{36}, \qquad k \in \{1, \dots, 6\}.\]
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{7}{36}\) | \(\frac{9}{36}\) | \(\frac{11}{36}\) |
Toplam \(\frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = 1\)’dir. Bu alıştırma, bazı sorularda \(F\)’yi doğrudan hesaplayıp \(f\)’ye sonradan geçmenin daha kolay olduğunu gösterir.
(g) Sıçrama noktaları \(0, 1, 2, 3\)’tür ve sıçramalar
\[f(0) = \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8}, \qquad f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}, \qquad f(2) = \frac{7}{8} - \frac{1}{2} = \frac{3}{8}, \qquad f(3) = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}.\]
Toplam \(1\) olduğundan \(D_X = \{0, 1, 2, 3\}\)’tür; bu, düzgün üç para atışında gelen tura sayısının dağılımıdır. \(P(X \ge 1) = 1 - F(0) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\) ve \(P(0 < X < 3) = f(1) + f(2) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}\); ikincisi \(F\) ile \(F(3^{-}) - F(0) = \frac{7}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}\) olarak da bulunur.
\(\blacksquare\)
Kesikli değişkenlerde olasılık kütlesi sayılabilir noktalara yığılmıştı ve her hesap bir toplama indirgeniyordu. Olasılığın bir aralık boyunca sürekli biçimde yayıldığı durumda toplamların yerini integraller, olasılık fonksiyonunun yerini yoğunluk fonksiyonu alır: Sürekli Rastgele Değişkenler ve Yoğunluk Fonksiyonu.