8  Rastgele Değişken

Bağımsız Olaylar bölümüyle birlikte kitabın ilk kısmı tamamlandı. Elimizde artık bir olasılık uzayı \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) var: rastgele deneyin bütün sonuçlarını toplayan örnek uzay \(\Omega\), olasılığı sorulabilecek olayları toplayan \(\sigma\)-cebir \(\mathcal{U}\) ve her olaya bir sayı karşılık getiren olasılık ölçüsü \(P\). Bu üçlü, olasılık teorisinin bütün sorularının sorulduğu zemindir.

Ama uygulamada bir deneyin sonucunun kendisiyle nadiren ilgileniriz; ilgilendiğimiz şey çoğunlukla o sonuca bağlı bir sayıdır. Üç para atıldığında yazı ve turaların hangi sırayla geldiği değil, kaç tura geldiği; iki zar atıldığında hangi yüzlerin geldiği değil, üst yüzlerin toplamı; bir ampulün nasıl bozulduğu değil, kaç saat dayandığı sorulur. Bu sayıyı üreten şey, örnek uzayın her noktasına bir gerçel sayı karşılık getiren bir fonksiyondur: \(X : \Omega \to \mathbb{R}\). Böyle bir fonksiyon, deneyin sonuçları hakkındaki soruları sayı doğrusundaki sorulara çevirir. “Kaç tura geldi?” sorusu “\(X\)’in değeri nedir?” sorusuna, “en çok bir tura gelmesi” olayı ise \(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \le 1\}\) kümesine dönüşür.

Bu çevirinin işe yaraması için tek bir koşul gerekir: sayı doğrusunda sorulan her makul sorunun \(\Omega\)’daki karşılığı bir olay olmalı, yani \(\mathcal{U}\)’nun elemanı olmalıdır; aksi hâlde \(P\) o kümeye bir olasılık veremez. Bu koşulu sağlayan fonksiyonlara rastgele değişken denir. Bu bölümde rastgele değişkenin tanımını, olay kısaltmalarını ve değer kümesini vereceğiz; hangi fonksiyonların rastgele değişken olduğunu somut örneklerde inceleyeceğiz; tanımdaki koşulun aslında bütün Borel kümeleri için geçerli olduğunu söyleyen Borel ölçütünü ispatlayacağız; son olarak bir rastgele değişkenin \(\mathbb{R}\)’nin Borel cebri üzerinde yeni bir olasılık ölçüsü, yani bir olasılık dağılımı tanımladığını göreceğiz. Kitabın ikinci kısmının geri kalanı bu dağılımın incelenmesine ayrılmıştır.

8.1 Rastgele Değişkenin Tanımı

Birazdan vereceğimiz tanım yalnızca \(\{\omega : X(\omega) \le a\}\) kümelerinin olay olmasını ister; bu koşulun biçimi ilk bakışta keyfi görünebilir. Neden yalnızca bu kümeler? Nedeni pratiktir. Sayı doğrusunda sorulabilecek soruların en basiti “\(X\) en çok \(a\) mıdır?” sorusudur; bu bölümün ilerleyen kısmında (Önerme 8.2) bu basit soruların olay olmasının, “\(X\) bir Borel kümesine düşer mi?” biçimindeki bütün soruların olay olmasını zaten gerektirdiğini göreceğiz. Yani tanımda en az şey istenir, en çok şey elde edilir.

Tanım 8.1 (Rastgele Değişken) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı (Tanım 3.2) ve

\[X : \Omega \to \mathbb{R}, \qquad \omega \mapsto X(\omega)\]

bir fonksiyon olsun. Her \(a \in \mathbb{R}\) için

\[(X \le a) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \le a\} \in \mathcal{U}\]

ise \(X\) fonksiyonuna bir rastgele değişken (rasgele, tesadüfi, raslantı ya da rassal değişken de denir) adı verilir.

Tanımla ilgili birkaç gözlem:

• Rastgele değişkenler genellikle \(X, Y, Z, V, W, \ldots\) gibi büyük harflerle, aldıkları değerler ise \(x, y, z, \ldots\) gibi küçük harflerle gösterilir.
• Adındaki “rastgele” sözcüğüne karşın \(X\) rastgele bir şey değildir; \(\Omega\)’dan \(\mathbb{R}\)’ye tümüyle belirli, sıradan bir fonksiyondur. Rastgele olan, deney sonucunda hangi \(\omega\)’nın gerçekleşeceğidir; \(\omega\) belli olunca \(X(\omega)\) sayısı da bellidir.
• Bir fonksiyonun rastgele değişken olup olmaması yalnızca \(\Omega\)’ya ve \(\sigma\)-cebir \(\mathcal{U}\)’ya bağlıdır; olasılık ölçüsü \(P\)’nin tanımda hiçbir rolü yoktur. \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) ise her alt küme bir olay olduğundan, \(\Omega\) üzerindeki her gerçel değerli fonksiyon bir rastgele değişkendir. Koşulun gerçekten kısıtlayıcı olduğu durumlar, \(\mathcal{U}\)’nun kuvvet kümesinden küçük olduğu durumlardır; bunları aşağıda göreceğiz.

Tanımda görülen \((X \le a)\) yazımı, bölüm boyunca kullanacağımız bir kısaltma ailesinin ilk örneğidir. Bu kısaltmaları ve bunların küme işlemleriyle nasıl uyuştuğunu şimdi toplu hâlde verelim; teoremlerin ispatlarında hep bunlara başvuracağız.

Önerme 8.1 (Olay Kısaltmaları ve Ters Görüntü Özellikleri) \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon ve \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(A\)’nın \(X\) altındaki ters görüntüsü kısaca

\[(X \in A) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \in A\} = X^{-1}(A)\]

ile gösterilir. Özel olarak \(a, b \in \mathbb{R}\), \(a < b\) için

\[\begin{aligned} (X = a) &= \{\omega \in \Omega : X(\omega) = a\}, & (X \le a) &= \{\omega \in \Omega : X(\omega) \le a\}, \\ (X < a) &= \{\omega \in \Omega : X(\omega) < a\}, & (X > a) &= \{\omega \in \Omega : X(\omega) > a\}, \\ (X \ge a) &= \{\omega \in \Omega : X(\omega) \ge a\}, & (a < X \le b) &= \{\omega \in \Omega : a < X(\omega) \le b\} \end{aligned}\]

yazılır; \((a \le X \le b)\), \((a < X < b)\), \((a \le X < b)\) kısaltmaları da aynı biçimde anlaşılır. Bu kümeler \(\mathcal{U}\)’nun elemanı olduğunda olasılıkları \(P(X \in A)\), \(P(X = a)\), \(P(a < X \le b)\) biçiminde yazılır. Ters görüntü küme işlemleriyle uyuşur: \(A, B, A_1, A_2, \ldots \subseteq \mathbb{R}\) için

(i) \((X \in A^c) = (X \in A)^c\); burada soldaki tümleyen \(\mathbb{R}\)’ye (\(A^c = \mathbb{R} \setminus A\)), sağdaki \(\Omega\)’ya göre alınır;

(ii) \(\left( X \in \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (X \in A_n)\) ve \(\left( X \in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \bigcap_{n=1}^{\infty} (X \in A_n)\);

(iii) \((X \in A \setminus B) = (X \in A) \setminus (X \in B)\) ve \(A \subseteq B\) ise \((X \in A) \subseteq (X \in B)\);

(iv) \(A \cap B = \varnothing\) ise \((X \in A) \cap (X \in B) = \varnothing\).

İspat

Bütün maddeler tanımın doğrudan sonucudur; hepsi “\(\omega\) sol taraftadır \(\iff\) \(\omega\) sağ taraftadır” biçiminde gösterilir.

(i) Tümleyenin tanımını iki yanda da açalım:

\[\begin{aligned} \omega \in (X \in A^c) &\iff X(\omega) \in A^c \iff X(\omega) \notin A \\ &\iff \omega \notin (X \in A) \iff \omega \in (X \in A)^c. \end{aligned}\]

(ii) \(\omega \in \left( X \in \bigcup_n A_n \right) \iff X(\omega) \in \bigcup_n A_n \iff\) en az bir \(n\) için \(X(\omega) \in A_n \iff\) en az bir \(n\) için \(\omega \in (X \in A_n) \iff \omega \in \bigcup_n (X \in A_n)\). Kesişim için “en az bir \(n\)” yerine “her \(n\)” yazılır.

(iii) \(A \setminus B = A \cap B^c\) olduğundan (i) ve (ii)’den \((X \in A \setminus B) = (X \in A) \cap (X \in B)^c = (X \in A) \setminus (X \in B)\) bulunur. \(A \subseteq B\) ise \(X(\omega) \in A\) olan her \(\omega\) için \(X(\omega) \in B\) olur; bu da \((X \in A) \subseteq (X \in B)\) demektir.

(iv) (ii)’ye göre \((X \in A) \cap (X \in B) = (X \in A \cap B) = (X \in \varnothing)\) olur. Hiçbir \(\omega\) için \(X(\omega) \in \varnothing\) olamayacağından bu küme boştur.

\(\blacksquare\)

Önermenin (iv) maddesi, ayrık kümelerin ters görüntülerinin ayrık olaylar olduğunu söyler; bu, ileride \(\sigma\)-toplamsallığı aktarırken kilit rol oynayacak. Şimdi bir rastgele değişkenin hangi sayıları alabildiğini adlandıralım.

Tanım 8.2 (Değer Kümesi) \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) bir rastgele değişken olsun. \(X\)’in görüntü kümesi

\[D_X = X(\Omega) = \{x \in \mathbb{R} : \text{bir } \omega \in \Omega \text{ için } X(\omega) = x\}\]

kümesine \(X\)’in değer kümesi denir.

\(X\) değer kümesinin dışında hiçbir değer alamaz: \(B \subseteq \mathbb{R}\) için \((X \in B) = (X \in B \cap D_X)\) olur, çünkü \(X(\omega) \in B\) ise zaten \(X(\omega) \in D_X\)’tir. Bu basit gözlem hesaplarda çok iş görür; \(D_X\) sonlu olduğunda her sorunun yanıtı sonlu sayıda noktaya bakılarak verilir. Değer kümesi sonlu ya da sayılabilir olan rastgele değişkenlere ileride kesikli rastgele değişken diyeceğiz (Tanım 10.1); değer kümesi bir aralık olanların önemli bir sınıfı ise olasılığı bir yoğunluk fonksiyonunun integraliyle verilen sürekli rastgele değişkenlerdir (Tanım 11.2). Şimdilik her iki türden de örnek görelim.

Üç rastgele değişkenin değer kümesi D_X aynı sayı doğrusunda. Üç para atışında tura sayısı sonlu bir küme, ilk turaya kadar yapılan atış sayısı sayılabilir sonsuz bir küme, [−1, 1] üzerinde ω² ise bir aralık verir. İlk iki tür kesikli rastgele değişkenlerin, üçüncüsü sürekli rastgele değişkenlerin örneğidir; X değer kümesinin dışında hiçbir değer almaz.

8.2 İlk Örnekler

Aşağıdaki üç örnekte bir fonksiyonun rastgele değişken olduğunu tanımın istediği gibi, yani \(a\)’nın bütün gerçel değerleri için \((X \le a)\) kümesini açıkça bulup \(\mathcal{U}\)’da olduğunu görerek göstereceğiz. \(a\), değer kümesinin altında mı, iki değer arasında mı, yoksa üstünde mi kalıyor; \((X \le a)\) kümesi buna göre değişir. Bu yüzden hesap her zaman \(a\) ekseni aralıklara bölünerek yapılır.

Örnek 8.1 (Bir Para Atışında Tura Sayısı) Bir para bir kez atılıyor. Örnek uzay \(\Omega = \{Y, T\}\) (\(Y\) yazı, \(T\) tura), \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) ve her \(A \in \mathcal{U}\) için \(P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\) (Laplace uzayı, Tanım 4.1) olmak üzere \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayı alınsın.

\[X : \Omega \to \mathbb{R}, \qquad X(\omega) = \begin{cases} 0, & \omega = Y \\ 1, & \omega = T \end{cases}\]

fonksiyonunun bir rastgele değişken olduğunu gösteriniz; değer kümesini ve \(P(X \le 0)\), \(P(X = 1)\) olasılıklarını bulunuz.

Çözüm

\(X\) yalnızca \(0\) ve \(1\) değerlerini aldığından \(D_X = \{0, 1\}\)’dir. \(a \in \mathbb{R}\) için \((X \le a) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \le a\}\) kümesini \(a\)’nın konumuna göre bulalım.

• \(a < 0\) ise hiçbir \(\omega\) için \(X(\omega) \le a\) olamaz, çünkü \(X\)’in en küçük değeri \(0\)’dır: \((X \le a) = \varnothing \in \mathcal{U}\).
• \(0 \le a < 1\) ise \(X(\omega) \le a\) koşulunu yalnızca \(X(\omega) = 0\) sağlar: \((X \le a) = \{Y\} \in \mathcal{U}\).
• \(a \ge 1\) ise her iki değer de \(a\)’yı aşmaz: \((X \le a) = \{Y, T\} = \Omega \in \mathcal{U}\).

Her \(a \in \mathbb{R}\) için \((X \le a) \in \mathcal{U}\) olduğundan \(X\) bir rastgele değişkendir. \(X\), atışta gelen tura sayısını sayar. Olasılıklar Laplace formülüyle (Önerme 4.2)

\[P(X \le 0) = P(\{Y\}) = \frac{1}{2}, \qquad P(X = 1) = P(\{T\}) = \frac{1}{2}\]

olarak bulunur.

\(\blacksquare\)

Aynı yöntem birden çok atış için de geçerlidir; yalnızca incelenecek aralık sayısı artar.

Örnek 8.2 (Üç Para Atışında Tura Sayısı) Bir para üç kez atılıyor. Örnek uzay

\[\Omega = \{YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT\},\]

\(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) ve \(P(A) = \dfrac{n(A)}{8}\) olmak üzere \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayı alınsın. \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) fonksiyonu her sonuçtaki tura sayısı olsun:

\[X(\omega) = \begin{cases} 0, & \omega = YYY \\ 1, & \omega \in \{YYT, YTY, TYY\} \\ 2, & \omega \in \{YTT, TYT, TTY\} \\ 3, & \omega = TTT. \end{cases}\]

\(X\)’in bir rastgele değişken olduğunu gösteriniz; \(P(X \le 0)\), \(P(X \le 1)\), \(P(X = 2)\) olasılıklarını hesaplayınız ve \(x \in D_X\) için \(P(X = x)\) değerlerini bir tabloda veriniz.

Çözüm

\(D_X = \{0, 1, 2, 3\}\)’tür. \(a \in \mathbb{R}\) için \((X \le a)\) kümesi, \(X\) değeri \(a\)’yı aşmayan sonuçların kümesidir:

• \(a < 0\) ise \((X \le a) = \varnothing \in \mathcal{U}\).
• \(0 \le a < 1\) ise \((X \le a) = (X = 0) = \{YYY\} \in \mathcal{U}\).
• \(1 \le a < 2\) ise \((X \le a) = (X = 0) \cup (X = 1) = \{YYY, YYT, YTY, TYY\} \in \mathcal{U}\).
• \(2 \le a < 3\) ise \((X \le a) = (X = 0) \cup (X = 1) \cup (X = 2) = \Omega \setminus \{TTT\} \in \mathcal{U}\).
• \(a \ge 3\) ise \((X \le a) = \Omega \in \mathcal{U}\).

\(2 \le a < 3\) durumundaki birleşimin elemanları açıkça şunlardır:

\[(X = 0) \cup (X = 1) \cup (X = 2) = \{YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY\}.\]

Demek ki \(X\) bir rastgele değişkendir. Şimdi istenen olasılıklar, olay kısaltmalarını açıp Laplace formülünü uygulayarak bulunur:

\[\begin{aligned} P(X \le 0) &= P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \le 0\}) = P(\{YYY\}) = \frac{1}{8}, \\ P(X \le 1) &= P(\{YYY, YYT, YTY, TYY\}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \\ P(X = 2) &= P(\{YTT, TYT, TTY\}) = \frac{3}{8}. \end{aligned}\]

Değer kümesinin her noktası için \(P(X = x)\) olasılığı, \(x\) tura içeren sonuçların sayısının \(8\)’e bölümüdür:

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(P(X = x)\)	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{1}{8}\)

Tablodaki dört sayının toplamı \(1\)’dir; bu bir rastlantı değildir, çünkü \((X = 0), (X = 1), (X = 2), (X = 3)\) olayları ayrıktır ve birleşimleri \(\Omega\)’dır. Böyle bir tablo, bir rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu kavramının ilk örneğidir (Tanım 10.2).

Rastgele değişken, örnek uzayın her sonucuna bir sayı eşleyen fonksiyondur; burada üç para atışında tura sayısı. "X ≤ 1" gibi bir koşul, sayı doğrusunda bir yarı doğruya, örnek uzayda ise oraya giden sonuçların kümesine karşılık gelir. Tanım, bu kümelerin hepsinin birer olay (σ-cebrin elemanı) olmasını ister; olasılıkları ancak o zaman anlamlıdır.

\(\blacksquare\)

Örnek uzay sonsuz, hatta sayılamaz olduğunda da tanım aynı biçimde uygulanır; yalnızca \((X \le a)\) kümeleri artık sonlu listeler değil, aralıklardır.

Örnek 8.3 (Kare Dönüşümü) \(\Omega = [-1, 1]\), \(\mathcal{U} = \mathcal{B}(\Omega)\) (\(\Omega\)’nın Borel alt kümelerinin \(\sigma\)-cebiri) ve \(A \in \mathcal{U}\) için

\[P(A) = \frac{\text{uzunluk}(A)}{\text{uzunluk}(\Omega)} = \frac{\text{uzunluk}(A)}{2}\]

olmak üzere \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayı alınsın (geometrik olasılık, Tanım 4.5). \(X : \Omega \to \mathbb{R}\), \(X(\omega) = \omega^2\) fonksiyonunun bir rastgele değişken olduğunu gösteriniz; değer kümesini bulunuz ve \(0 \le a \le 1\) için \(P(X \le a)\) olasılığını hesaplayınız.

Çözüm

\(\omega \in [-1, 1]\) iken \(\omega^2 \in [0, 1]\) olur ve \([0, 1]\)’deki her \(x\) değeri \(\omega = \sqrt{x} \in \Omega\) noktasında alınır; dolayısıyla \(D_X = [0, 1]\)’dir. \(a \in \mathbb{R}\) için \((X \le a) = \{\omega \in [-1, 1] : \omega^2 \le a\}\) kümesini bulalım.

• \(a < 0\) ise \(\omega^2 \le a\) eşitsizliğinin çözümü yoktur: \((X \le a) = \varnothing \in \mathcal{U}\).

• \(0 \le a \le 1\) ise \(\omega^2 \le a \iff -\sqrt{a} \le \omega \le \sqrt{a}\) olur ve \(\sqrt{a} \le 1\) olduğundan bu aralık \(\Omega\)’nın içindedir:

  \[(X \le a) = \{\omega \in [-1, 1] : -\sqrt{a} \le \omega \le \sqrt{a}\} = [-\sqrt{a}, \sqrt{a}].\]

  Kapalı bir aralık bir Borel kümesidir (Önerme 2.5), dolayısıyla \([-\sqrt{a}, \sqrt{a}] \in \mathcal{U}\).

• \(a > 1\) ise \(\Omega\)’nın her noktasında \(\omega^2 \le 1 < a\) olduğundan \((X \le a) = \Omega \in \mathcal{U}\).

Rastgele değişken koşulunun geometrisi: Ω = [−1, 1] üzerinde X(ω) = ω² alınmıştır. "X ≤ a" sorusu, eğrinin a düzeyinin altında kaldığı ω noktalarını, yani [−√a, √a] aralığını seçer. Tanım, her a için bu ters görüntünün σ-cebir U'nun bir elemanı olmasını ister; burada kapalı aralık bir Borel kümesi olduğundan koşul sağlanır ve P(X ≤ a) = √a olur.

Her \(a\) için \((X \le a) \in \mathcal{U}\) olduğundan \(X\) bir rastgele değişkendir. \(0 \le a \le 1\) için

\[P(X \le a) = P([-\sqrt{a}, \sqrt{a}]) = \frac{\sqrt{a} - (-\sqrt{a})}{2} = \sqrt{a}\]

bulunur. Örneğin \(P\left( X \le \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}\) ve \(P\left( \frac{1}{4} < X \le 1 \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)’dir. Burada, önceki iki örnekten farklı olarak, her \(a\) için tek bir noktanın olasılığı sıfırdır: \(0 < a \le 1\) iken \((X = a) = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\}\), \(a = 0\) iken \((X = 0) = \{0\}\), öteki \(a\) değerleri için ise \((X = a) = \varnothing\)’dir; sonlu bir kümenin uzunluğu sıfır olduğundan her durumda \(P(X = a) = 0\) bulunur.

\(\blacksquare\)

8.3 Hangi Fonksiyonlar Rastgele Değişkendir?

Yukarıdaki örneklerin ilk ikisinde \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) olduğundan koşulun sağlanacağı baştan belliydi; üçüncüsünde \(\mathcal{U}\) Borel cebriydi ve koşul yine sağlandı. Koşulun gerçekten eleyici olduğunu görmek için \(\sigma\)-cebirin kuvvet kümesinden küçük olduğu bir uzay almak gerekir. Aşağıdaki örnek bunu yapar: dört fonksiyondan ikisi rastgele değişkendir, ikisi değildir.

Örnek 8.4 (Hangileri Rastgele Değişkendir) \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}\),

\[\mathcal{U} = \big\{ \varnothing,\ \{\omega_1, \omega_2\},\ \{\omega_3\},\ \Omega \big\}\]

ve \(P(\{\omega_3\}) = \dfrac{1}{2}\) (dolayısıyla \(P(\{\omega_1, \omega_2\}) = \dfrac{1}{2}\)) olmak üzere \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayı verilsin. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri rastgele değişkendir?

a) \(X(\omega_i) = i\), \(\ i = 1, 2, 3\);

b) \(Y(\omega_i) = 0\), \(\ i = 1, 2, 3\);

c) \(Z(\omega_1) = Z(\omega_2) = 1\), \(\ Z(\omega_3) = 0\);

d) \(V(\omega_1) = V(\omega_3) = 1\), \(\ V(\omega_2) = 0\).

Çözüm

Önce \(\mathcal{U}\)’nun gerçekten bir \(\sigma\)-cebir olduğunu not edelim: \(\{\omega_1, \omega_2\}\) ile \(\{\omega_3\}\) birbirinin tümleyenidir, \(\varnothing\) ile \(\Omega\) da öyledir ve bu dört kümenin her birleşimi yine bu dört kümeden biridir. \(\mathcal{U}\)’nun elemanı olmayan alt kümeler \(\{\omega_1\}\), \(\{\omega_2\}\), \(\{\omega_1, \omega_3\}\) ve \(\{\omega_2, \omega_3\}\)’tür. Bir fonksiyonun rastgele değişken olmaması için tek bir \(a\) değerinde \((X \le a)\)’nın bu dört kümeden birine eşit çıkması yeter. Olasılık ölçüsü \(P\)’nin bu soruda hiçbir rolü yoktur.

a) \(X(\omega_1) = 1\), \(X(\omega_2) = 2\), \(X(\omega_3) = 3\) olduğundan \(D_X = \{1, 2, 3\}\)’tür. \(a = 1\) alalım:

\[(X \le 1) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \le 1\} = \{\omega_1\} \notin \mathcal{U}.\]

Tek bir \(a\) için koşul bozulduğundan \(X\) rastgele değişken değildir. (Öteki aralıklara bakmaya gerek yoktur; ama bakılırsa \(a < 1\) için \(\varnothing\), \(1 \le a < 2\) için \(\{\omega_1\}\), \(2 \le a < 3\) için \(\{\omega_1, \omega_2\}\), \(a \ge 3\) için \(\Omega\) bulunur; yalnızca \(1 \le a < 2\) aralığı sorun çıkarır.)

b) \(Y\) sabit sıfır fonksiyonudur, \(D_Y = \{0\}\). \(a \in \mathbb{R}\) için

\[(Y \le a) = \begin{cases} \varnothing, & a < 0 \\ \Omega, & a \ge 0 \end{cases}\]

olur ve \(\varnothing, \Omega \in \mathcal{U}\)’dur. Demek ki \(Y\) bir rastgele değişkendir. Aynı akıl yürütme her sabit fonksiyon için geçerlidir: sabit fonksiyonlar her olasılık uzayında rastgele değişkendir.

c) \(D_Z = \{0, 1\}\)’dir ve \(Z\), \(0\) değerini yalnızca \(\omega_3\)’te alır. \(a \in \mathbb{R}\) için

\[(Z \le a) = \begin{cases} \varnothing, & a < 0 \\ \{\omega_3\}, & 0 \le a < 1 \\ \Omega, & a \ge 1. \end{cases}\]

Üç küme de \(\mathcal{U}\)’nun elemanıdır; \(Z\) bir rastgele değişkendir.

d) \(D_V = \{0, 1\}\)’dir ve \(V\), \(0\) değerini yalnızca \(\omega_2\)’de alır. \(a = 0\) için

\[(V \le 0) = \{\omega \in \Omega : V(\omega) \le 0\} = \{\omega_2\} \notin \mathcal{U}.\]

Dolayısıyla \(V\) rastgele değişken değildir. (\(0 \le a < 1\) aralığının tamamında \((V \le a) = \{\omega_2\}\) olur.)

Sonuç: yalnızca \(Y\) ve \(Z\) rastgele değişkendir. \(Z\) ile \(V\) arasındaki fark öğreticidir: ikisi de yalnızca \(0\) ve \(1\) değerlerini alır, ama \(Z\) değerlerini \(\mathcal{U}\)’daki kümeler üzerinde sabit tutarken \(V\), \(\mathcal{U}\)’nun bölemediği \(\{\omega_1, \omega_2\}\) kümesini ikiye ayırmaya çalışır. \(\sigma\)-cebir bu ayrımı “göremediği” için \(V\)’ye olasılık sorulamaz: \(P(V = 0) = P(\{\omega_2\})\) tanımlı değildir.

\(\blacksquare\)

NotRastgele değişken olmak yalnızca fonksiyona değil, σ-cebire de bağlıdır

Aynı \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) fonksiyonu bir \(\sigma\)-cebire göre rastgele değişken olabilir, bir başkasına göre olmayabilir. İki uç durum bunu iyi gösterir.

• \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) (en büyük \(\sigma\)-cebir) ise \((X \le a)\) kümesi ne olursa olsun \(\mathcal{U}\)’dadır; \(\Omega\) üzerindeki her fonksiyon rastgele değişkendir.
• \(\mathcal{U} = \{\varnothing, \Omega\}\) (en küçük \(\sigma\)-cebir) ise yalnızca sabit fonksiyonlar rastgele değişkendir. Gerçekten, \(X\) iki farklı \(c_1 < c_2\) değeri alıyorsa \((X \le c_1)\) kümesi \(c_1\)’i veren noktayı içerir, \(c_2\)’yi veren noktayı içermez; yani ne boştur ne \(\Omega\)’dır, dolayısıyla \(\mathcal{U}\)’da değildir.

Örnek 8.4 bu iki ucun arasındadır: \(\mathcal{U}\), \(\Omega\)’yı yalnızca \(\{\omega_1, \omega_2\}\) ve \(\{\omega_3\}\) parçalarına ayırabildiğinden, rastgele değişkenler tam olarak bu parçaların her biri üzerinde sabit olan fonksiyonlardır. Genel kural da budur: bir fonksiyon, ancak \(\sigma\)-cebirin ayırt edebildiği kadar ayrıntı taşıyorsa rastgele değişkendir.

8.4 Borel Ölçütü

Tanım yalnızca \((X \le a)\) kümelerinin olay olmasını ister. Oysa uygulamada \((X = a)\), \((a < X \le b)\), \((X > a)\) gibi kümelerin, hatta “\(X\) rasyonel mi?” gibi soruların olasılığını da sormak isteriz. Aşağıdaki önerme bu kaygıyı ortadan kaldırır: tanımdaki koşul, \(\mathbb{R}\)’nin bütün Borel kümeleri için ters görüntünün olay olmasına denktir. Bu sonuca ihtiyacımız iki yönlüdür. Bir yandan olay kısaltmalarının hepsine olasılık verebilmemizi sağlar; öte yandan bu bölümün son kısmında \(P_X(B) = P(X \in B)\) ifadesinin her Borel \(B\) için anlamlı olduğunu bu önerme garanti edecektir.

Önerme 8.2 (Borel Ölçütü) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki iki koşul birbirine denktir:

(i) her \(a \in \mathbb{R}\) için \((X \le a) \in \mathcal{U}\), yani \(X\) bir rastgele değişkendir;

(ii) her Borel kümesi \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \((X \in B) = X^{-1}(B) \in \mathcal{U}\).

Özel olarak \(X\) bir rastgele değişken ve \(a < b\) ise

\[(X < a),\ (X > a),\ (X \ge a),\ (X = a),\ (a < X \le b),\ (a \le X \le b),\ (a < X < b),\ (a \le X < b)\]

kümelerinin her biri bir olaydır.

İspat

(ii) \(\Rightarrow\) (i). Her \(a \in \mathbb{R}\) için \((-\infty, a]\) yarı doğrusu bir Borel kümesidir (Önerme 2.5 (c)). (ii)’ye göre \((X \le a) = (X \in (-\infty, a]) \in \mathcal{U}\) olur.

(i) \(\Rightarrow\) (ii). Bu yön asıl içeriktir; üç adımda ispatlayacağız. Boyunca (i)’nin sağlandığını varsayıyoruz ve Önerme 8.1’ndaki ters görüntü özelliklerini kullanıyoruz.

Adım 1: Yarı doğrular, aralıklar ve tek noktalar. \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir olduğundan tümleyene, sayılabilir birleşime ve kesişime kapalıdır (Teorem 2.1). \(a < b\) olsun.

• \((X > a) = (X \le a)^c \in \mathcal{U}\).
• \((X < a) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( X \le a - \frac{1}{n} \right)\). Gerçekten, \(X(\omega) < a\) ise \(a - X(\omega) > 0\) olduğundan \(\frac{1}{n} \le a - X(\omega)\) olacak biçimde bir \(n\) vardır, yani \(X(\omega) \le a - \frac{1}{n}\); tersine \(X(\omega) \le a - \frac{1}{n}\) ise \(X(\omega) < a\)’dır. Sağ taraf \(\mathcal{U}\)’daki kümelerin sayılabilir birleşimi olduğundan \((X < a) \in \mathcal{U}\).
• \((X \ge a) = (X < a)^c \in \mathcal{U}\).
• \((X = a) = (X \le a) \cap (X \ge a) \in \mathcal{U}\).
• \((a < X \le b) = (X \le b) \cap (X > a) \in \mathcal{U}\); benzer biçimde \((a \le X \le b) = (X \le b) \cap (X \ge a)\), \((a < X < b) = (X < b) \cap (X > a)\) ve \((a \le X < b) = (X < b) \cap (X \ge a)\) kümeleri de \(\mathcal{U}\)’dadır.

Böylece önermenin son cümlesi ispatlanmış oldu. Aynı zamanda şunu göstermiş olduk: \(I \subseteq \mathbb{R}\) hangi türden olursa olsun bir aralıksa (\((-\infty, a]\), \((-\infty, a)\), \((a, \infty)\), \([a, \infty)\), \((a, b]\), \([a, b]\), \((a, b)\), \([a, b)\) ya da tek noktalı \(\{a\} = [a, a]\)) \((X \in I) \in \mathcal{U}\)’dur.

Adım 2: Ters görüntüsü olay olan kümelerin sınıfı bir \(\sigma\)-cebirdir.

\[\mathcal{D} = \{B \subseteq \mathbb{R} : (X \in B) \in \mathcal{U}\}\]

sınıfını tanımlayalım. \(\mathcal{D}\)’nin \(\mathbb{R}\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir olduğunu (Tanım 2.2) gösterelim.

• \((X \in \mathbb{R}) = \Omega \in \mathcal{U}\) olduğundan \(\mathbb{R} \in \mathcal{D}\).
• \(B \in \mathcal{D}\) olsun. Önerme 8.1 (i)’ye göre \((X \in B^c) = (X \in B)^c\) ve \(\mathcal{U}\) tümleyene kapalı olduğundan \((X \in B^c) \in \mathcal{U}\); yani \(B^c \in \mathcal{D}\).
• \(B_1, B_2, \ldots \in \mathcal{D}\) olsun. Önerme 8.1 (ii)’ye göre \(\left( X \in \bigcup_n B_n \right) = \bigcup_n (X \in B_n)\) ve \(\mathcal{U}\) sayılabilir birleşime kapalı olduğundan bu küme \(\mathcal{U}\)’dadır; yani \(\bigcup_n B_n \in \mathcal{D}\).

Demek ki \(\mathcal{D}\) bir \(\sigma\)-cebirdir. Adım 1’e göre \(\mathbb{R}\)’nin her aralığı \(\mathcal{D}\)’nin elemanıdır.

Adım 3: Borel cebri \(\mathcal{D}\)’nin içindedir. Borel cebri, açık aralıklar sınıfı \(\mathcal{L}_1 = \{(a, b) : a < b\}\)’in ürettiği \(\sigma\)-cebirdir (Tanım 2.4): \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\mathcal{L}_1)\), yani \(\mathcal{L}_1\)’i kapsayan en küçük \(\sigma\)-cebir. Adım 1’e göre her açık aralık \(\mathcal{D}\)’nin elemanıdır, yani \(\mathcal{L}_1 \subseteq \mathcal{D}\); Adım 2’ye göre \(\mathcal{D}\) bir \(\sigma\)-cebirdir. Teorem 2.3 (b) gereği \(\mathcal{L}_1\)’i kapsayan her \(\sigma\)-cebir \(\sigma(\mathcal{L}_1)\)’i kapsar; öyleyse \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{D}\)’dir. Bu da tam olarak (ii)’dir: her \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \((X \in B) \in \mathcal{U}\).

\(\blacksquare\)

Önermenin iki pratik sonucu vardır. Birincisi, tanımda \((X \le a)\) yerine \((X < a)\), \((X \ge a)\) ya da \((X > a)\) kümeleri kullanılsaydı aynı rastgele değişken kavramına ulaşılırdı. Adım 1’deki eşitlikler, \((X \le a)\) kümelerinin olay olmasından öteki üçünün olay olmasını çıkarır; ters yön için

\[(X \le a) = (X > a)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( X < a + \frac{1}{n} \right), \qquad (X < a) = (X \ge a)^c\]

eşitlikleri yeter (ilk eşitlikteki kesişim, \(X(\omega) \le a\) ile “her \(n\) için \(X(\omega) < a + \frac{1}{n}\)” koşullarının denk olmasından gelir). Böylece dört koşul birbirine denktir. İkincisi, \(X\) bir rastgele değişkense ve \(B\) herhangi bir Borel kümesiyse \(P(X \in B)\) olasılığı anlamlıdır; \(\mathbb{R}\)’nin uygulamada karşılaşılan her alt kümesi (aralıklar, sayılabilir kümeler, açık ve kapalı kümeler) Borel olduğundan, bir rastgele değişken hakkında sorulabilecek her makul sorunun bir olasılığı vardır.

İpucuSonlu değer kümesi için pratik ölçüt

\(D_X\) sonlu ya da sayılabilir ise \(X\)’in rastgele değişken olması için gerek ve yeter koşul, her \(x \in D_X\) için \((X = x) \in \mathcal{U}\) olmasıdır. Gereklilik Önerme 8.2’ten gelir. Yeterlik için

\[(X \le a) = \bigcup_{x \in D_X,\ x \le a} (X = x)\]

yazmak yeter: sağ taraf \(\mathcal{U}\)’daki sonlu ya da sayılabilir çoklukta kümenin birleşimidir, dolayısıyla \(\mathcal{U}\)’dadır. Örnek 8.4’e bu gözle bakılırsa yanıt anında görülür: \(Z\) için \((Z = 0) = \{\omega_3\}\) ve \((Z = 1) = \{\omega_1, \omega_2\}\) olaydır; \(V\) için \((V = 0) = \{\omega_2\}\) olay değildir.

8.5 Rastgele Değişkenin Olasılık Dağılımı

Bir rastgele değişkenin asıl işlevi, olasılığı \(\Omega\)’dan sayı doğrusuna taşımaktır. Borel ölçütü sayesinde her Borel kümesi \(B\) için \(P(X \in B)\) sayısı tanımlıdır; bu sayıya “\(X\)’in \(B\)’ye düşme olasılığı” deriz. \(B \mapsto P(X \in B)\) kuralı, \(\mathbb{R}\)’nin Borel kümeleri üzerinde tanımlı bir fonksiyondur. Aşağıdaki teorem bu fonksiyonun bir olasılık ölçüsü olduğunu söyler; yani \(X\), elimizdeki \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) uzayından \(\mathbb{R}\) üzerinde yepyeni bir olasılık uzayı üretir. Bu teoreme ihtiyaç duymamızın nedeni açıktır: kitabın bundan sonraki bölümlerinde \(\Omega\)’yı hemen hemen unutup yalnızca sayı doğrusu üzerindeki bu ölçüyle çalışacağız; bunun meşru olması için o ölçünün Kolmogorov aksiyomlarını sağladığını bir kez kesin olarak görmemiz gerekir.

Teorem 8.1 (Rastgele Değişkenin Ürettiği Olasılık Ölçüsü) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) bir rastgele değişken olsun.

\[P_X : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}, \qquad P_X(B) = P(X \in B) = P\big( \{\omega \in \Omega : X(\omega) \in B\} \big)\]

fonksiyonu \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde bir olasılık ölçüsüdür. Dolayısıyla \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_X)\) bir olasılık uzayıdır.

İspat

Önce \(P_X\)’in iyi tanımlı olduğunu görelim: \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için Önerme 8.2’e göre \((X \in B) \in \mathcal{U}\)’dur, dolayısıyla \(P(X \in B)\) sayısı tanımlıdır. Şimdi \(P_X\)’in olasılık ölçüsü aksiyomlarını (Tanım 3.1) sağladığını gösterelim.

(A1) Negatif olmama. Her \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \((X \in B)\) bir olaydır ve \(P\) her olaya negatif olmayan bir sayı verir: \(P_X(B) = P(X \in B) \ge 0\).

(A2) Normlama. \(X\)’in her değeri \(\mathbb{R}\)’de olduğundan \((X \in \mathbb{R}) = \Omega\)’dır; dolayısıyla \(P_X(\mathbb{R}) = P(\Omega) = 1\).

(A3) Sayılabilir toplamsallık. \(B_1, B_2, \ldots \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) ikişer ikişer ayrık Borel kümeleri olsun. Borel cebri sayılabilir birleşime kapalı olduğundan \(\bigcup_n B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\)’dir ve \(P_X\left( \bigcup_n B_n \right)\) tanımlıdır. Önerme 8.1 (ii)’ye göre

\[\left( X \in \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (X \in B_n).\]

\(m \ne n\) için \(B_m \cap B_n = \varnothing\) olduğundan Önerme 8.1 (iv)’e göre \((X \in B_m) \cap (X \in B_n) = \varnothing\); yani \((X \in B_1), (X \in B_2), \ldots\) olayları da ikişer ikişer ayrıktır. \(P\)’nin sayılabilir toplamsallığı (aksiyom (A3)) bu ayrık olay dizisine uygulanırsa

\[P_X\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right) = P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} (X \in B_n) \right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(X \in B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} P_X(B_n)\]

elde edilir.

Üç aksiyom da sağlandığından \(P_X\), \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde bir olasılık ölçüsüdür; \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) de \(\mathbb{R}\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir olduğundan \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_X)\) bir olasılık uzayıdır (Tanım 3.2).

\(\blacksquare\)

Teoremdeki ölçünün adı vardır ve bundan sonraki bölümlerin ana nesnesi odur.

Tanım 8.3 (Olasılık Dağılımı) \(X\) bir rastgele değişken olsun. Teorem 8.1’nde tanımlanan, \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerindeki

\[P_X(B) = P(X \in B), \qquad B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\]

olasılık ölçüsüne \(X\) rastgele değişkeninin olasılık dağılımı (ya da \(X\)’in olasılık ölçüsü) denir. \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_X)\) uzayına da \(X\)’in ürettiği olasılık uzayı denir.

Tanımla ilgili üç not:

• \(P_X\) bir olasılık ölçüsü olduğundan, olasılık ölçüleri için ispatlanmış her şey ona da uygulanır: \(P_X(B^c) = 1 - P_X(B)\), \(P_X(\varnothing) = 0\), \(A \subseteq B \Rightarrow P_X(A) \le P_X(B)\), toplama kuralı \(P_X(A \cup B) = P_X(A) + P_X(B) - P_X(A \cap B)\) (Teorem 3.1, Teorem 3.2) ve artan ya da azalan Borel kümesi dizileri için süreklilik (Teorem 3.5).
• \(D_X\) bir Borel kümesiyse, \(X\) değer kümesinin dışına düşemediğinden her \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \(P_X(B) = P_X(B \cap D_X)\) ve özel olarak \(P_X(D_X) = 1\) olur; yani \(P_X\) bütün kütlesini \(D_X\) üzerinde taşır. Bu kitapta karşılaşılan bütün değer kümeleri (sonlu ya da sayılabilir kümeler ve aralıklar) Borel’dir.
• \(P_X\), iki farklı örnek uzayda tanımlı rastgele değişkenleri karşılaştırmayı mümkün kılar: \(X\) ile \(Y\) farklı deneylere ait olsa bile ikisinin dağılımı da \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde birer ölçüdür ve doğrudan karşılaştırılabilir.

Dağılımı somut örneklerde hesaplayalım. Değer kümesi sonlu olduğunda her Borel kümesinin olasılığı, o kümeye düşen değerlerin olasılıkları toplanarak bulunur; değer kümesi bir aralık olduğunda ise uzunluk hesabına dönülür.

Örnek 8.5 (Olasılık Dağılımı Hesabı) a) Örnek 8.2’ndeki tura sayısı \(X\) için \(P_X(\{1, 2\})\), \(P_X((-\infty, 1])\), \(P_X((1, 3))\), \(P_X\left( \left[ \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right] \right)\) ve \(P_X(\mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2, 3\})\) değerlerini hesaplayınız. Genel bir \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \(P_X(B)\)’yi veren formülü yazınız.

b) Örnek 8.3’deki \(X(\omega) = \omega^2\) rastgele değişkeni için \(P_X\left( \left[ 0, \frac{1}{4} \right] \right)\), \(P_X\left( \left( \frac{1}{4}, \frac{9}{16} \right] \right)\) ve \(P_X\left( \left\{ \frac{1}{4} \right\} \right)\) değerlerini hesaplayınız.

Çözüm

a) Her durumda \(P_X(B) = P(X \in B)\) tanımını açıp \(B\)’ye düşen sonuçları sayacağız.

\[P_X(\{1, 2\}) = P(X \in \{1, 2\}) = P(\{YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY\}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.\]

\(B = (-\infty, 1]\) için \(X(\omega) \le 1\) olan sonuçlar aranır:

\[P_X((-\infty, 1]) = P(X \le 1) = P(\{YYY, YYT, YTY, TYY\}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\]

\(B = (1, 3)\) açık aralığına \(D_X\)’ten yalnızca \(2\) düşer:

\[P_X((1, 3)) = P(1 < X < 3) = P(X = 2) = \frac{3}{8}.\]

\(B = \left[ \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right]\) aralığına \(D_X\)’ten \(1\) ve \(2\) düşer; \(B \cap D_X = \{1, 2\}\) olduğundan

\[P_X\left( \left[ \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{2} \right] \right) = P_X(\{1, 2\}) = \frac{3}{4}.\]

Son olarak \(B = \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2, 3\} = \mathbb{R} \setminus D_X\) için \(B \cap D_X = \varnothing\)’dir, dolayısıyla \((X \in B) = \varnothing\) ve \(P_X(B) = 0\). Aynı şey \(P_X(\mathbb{R}) = 1\) ile tümleyen kuralından da görülür: \(P_X(D_X) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1\).

Genel formül: \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \((X \in B) = (X \in B \cap D_X) = \bigcup_{x \in B \cap D_X} (X = x)\) olur ve bu birleşim en çok dört ayrık olaydan oluşur. \(P\)’nin toplamsallığıyla

\[P_X(B) = \sum_{x \in B \cap \{0, 1, 2, 3\}} P(X = x),\]

yani \(P_X\) tümüyle Örnek 8.2’ndeki tablo tarafından belirlenir. Bu, kesikli rastgele değişkenlerin dağılımının olasılık fonksiyonuyla belirlenmesinin ilk örneğidir.

b) \(\Omega = [-1, 1]\) ve \(P\) uzunluğun yarısıdır. \(B = \left[ 0, \frac{1}{4} \right]\) için

\[(X \in B) = \left\{ \omega \in [-1, 1] : 0 \le \omega^2 \le \tfrac{1}{4} \right\} = \left[ -\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right], \qquad P_X(B) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.\]

\(B = \left( \frac{1}{4}, \frac{9}{16} \right]\) için \(\frac{1}{4} < \omega^2 \le \frac{9}{16} \iff \frac{1}{2} < |\omega| \le \frac{3}{4}\) olduğundan

\[(X \in B) = \left[ -\tfrac{3}{4}, -\tfrac{1}{2} \right) \cup \left( \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4} \right], \qquad P_X(B) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}.\]

Aynı sonuç \(P_X\left( \left( \frac{1}{4}, \frac{9}{16} \right] \right) = P\left( X \le \frac{9}{16} \right) - P\left( X \le \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) biçiminde, Örnek 8.3’de bulunan \(P(X \le a) = \sqrt{a}\) formülünden de elde edilir.

Tek nokta için \((X \in \{\frac{1}{4}\}) = \left( X = \frac{1}{4} \right) = \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\}\) ve iki noktalı kümenin uzunluğu sıfır olduğundan \(P_X\left( \left\{ \frac{1}{4} \right\} \right) = 0\). Burada dağılım tek tek noktalara değil, aralıklara kütle yükler; bu, sürekli rastgele değişkenlerin tipik davranışıdır.

\(\blacksquare\)

NotAynı dağılım, farklı rastgele değişkenler

\(P_X\), rastgele değişkeni belirlemez. Örnek 8.2’ndeki uzayda \(Y(\omega)\), \(\omega\) sonucundaki yazı sayısı olsun; \(Y = 3 - X\)’tir ve \(Y\) de bir rastgele değişkendir. \(x\) yazı içeren sonuçların sayısı, \(x\) tura içeren sonuçların sayısına eşit olduğundan

\[P(Y = 0) = \frac{1}{8}, \quad P(Y = 1) = \frac{3}{8}, \quad P(Y = 2) = \frac{3}{8}, \quad P(Y = 3) = \frac{1}{8};\]

yani her Borel \(B\) için \(P_Y(B) = P_X(B)\), kısaca \(P_Y = P_X\). Oysa \(X \ne Y\): örneğin \(X(TTT) = 3\) iken \(Y(TTT) = 0\)’dır. Dağılım, rastgele değişkenin hangi olasılıkla hangi değeri aldığını söyler; hangi sonuçta aldığını söylemez. Olasılık teorisinin büyük bölümü için bu bilgi yeterlidir; işte bu yüzden \(\Omega\) çoğu zaman arka planda kalır.

8.6 Alıştırmalar

Alıştırma 8.1 (Alıştırmalar) a) İki zar atılıyor: \(\Omega = \{(i, j) : i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\), \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\), \(P(A) = \dfrac{n(A)}{36}\). \(X(i, j) = i + j\) (üst yüzlerin toplamı) olsun. \(X\)’in bir rastgele değişken olduğunu gösteriniz; \(D_X\)’i bulunuz; \(P_X(\{7\})\), \(P_X([10, \infty))\) ve \(P_X((-\infty, 3])\) değerlerini hesaplayınız.

b) \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}\) ve \(\mathcal{U} = \big\{ \varnothing, \{\omega_1, \omega_2\}, \{\omega_3, \omega_4\}, \Omega \big\}\) olsun. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri rastgele değişkendir?

\[\begin{aligned} &X(\omega_1) = X(\omega_2) = -1, \quad X(\omega_3) = X(\omega_4) = 5; \\ &Y(\omega_1) = 1, \quad Y(\omega_2) = 2, \quad Y(\omega_3) = Y(\omega_4) = 3; \\ &Z(\omega_i) = (-1)^i. \end{aligned}\]

c) \(\Omega = [0, 1]\), \(\mathcal{U} = \mathcal{B}(\Omega)\) ve \(P(A) = \text{uzunluk}(A)\) olsun. \(X(\omega) = 2\omega - 1\) için her \(a \in \mathbb{R}\)’de \((X \le a)\) kümesini bulunuz, \(X\)’in rastgele değişken olduğunu gösteriniz ve \(P_X\left( \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \right)\)’yi hesaplayınız.

d) (c)’deki uzayda \(X(\omega) = \min\left\{ \omega, \frac{1}{2} \right\}\) olsun. \(X\)’in rastgele değişken olduğunu gösteriniz; \(D_X\)’i, \(P_X\left( \left\{ \frac{1}{2} \right\} \right)\) ve \(P_X\left( \left[ 0, \frac{1}{4} \right] \right)\) değerlerini bulunuz.

e) \(X\) bir rastgele değişken ve \(c, d \in \mathbb{R}\) olsun. \(Y = cX + d\) fonksiyonunun, yani \(Y(\omega) = cX(\omega) + d\) ile tanımlanan \(Y : \Omega \to \mathbb{R}\)’nin bir rastgele değişken olduğunu gösteriniz.

f) \(X\) ve \(Y\) aynı olasılık uzayında tanımlı iki rastgele değişken olsun. \(M(\omega) = \max\{X(\omega), Y(\omega)\}\) ve \(m(\omega) = \min\{X(\omega), Y(\omega)\}\) fonksiyonlarının rastgele değişken olduğunu gösteriniz.

g) \(X\) bir rastgele değişken olsun. \(|X|\) ve \(X^2\) fonksiyonlarının rastgele değişken olduğunu gösteriniz.

Çözüm

a) \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) olduğundan \(\Omega\)’nın her alt kümesi, özel olarak her \((X \le a)\) kümesi \(\mathcal{U}\)’dadır; \(X\) bir rastgele değişkendir. \(i + j\) toplamı \(2\)’den \(12\)’ye kadar her tam sayı değerini alır: \(D_X = \{2, 3, \ldots, 12\}\). Toplamı \(7\) yapan çiftler \((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\) olmak üzere altı tanedir:

\[P_X(\{7\}) = P(X = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]

\([10, \infty) \cap D_X = \{10, 11, 12\}\)’dir; toplamı \(10\) yapan üç çift (\((4,6), (5,5), (6,4)\)), \(11\) yapan iki çift (\((5,6), (6,5)\)), \(12\) yapan bir çift (\((6,6)\)) vardır:

\[P_X([10, \infty)) = P(X \ge 10) = \frac{3 + 2 + 1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]

\((-\infty, 3] \cap D_X = \{2, 3\}\)’tür; toplamı \(2\) yapan bir çift (\((1,1)\)), \(3\) yapan iki çift (\((1,2), (2,1)\)) vardır:

\[P_X((-\infty, 3]) = P(X \le 3) = \frac{1 + 2}{36} = \frac{1}{12}.\]

b) \(\mathcal{U}\)’nun elemanı olmayan alt kümelerin her biri \(\{\omega_1, \omega_2\}\) ya da \(\{\omega_3, \omega_4\}\) kümelerinden en az birini böler. \(D_X = \{-1, 5\}\) olmak üzere

\[(X \le a) = \begin{cases} \varnothing, & a < -1 \\ \{\omega_1, \omega_2\}, & -1 \le a < 5 \\ \Omega, & a \ge 5 \end{cases}\]

kümelerinin üçü de \(\mathcal{U}\)’dadır; \(X\) rastgele değişkendir. \(Y\) için \(a = 1\) alınırsa \((Y \le 1) = \{\omega_1\} \notin \mathcal{U}\); \(Y\) rastgele değişken değildir. \(Z(\omega_1) = -1\), \(Z(\omega_2) = 1\), \(Z(\omega_3) = -1\), \(Z(\omega_4) = 1\) olduğundan \((Z \le -1) = \{\omega_1, \omega_3\} \notin \mathcal{U}\); \(Z\) de rastgele değişken değildir.

c) \(X(\omega) \le a \iff 2\omega - 1 \le a \iff \omega \le \dfrac{a + 1}{2}\). \(\omega \in [0, 1]\) olduğundan

\[(X \le a) = \begin{cases} \varnothing, & a < -1 \\ \left[ 0, \dfrac{a + 1}{2} \right], & -1 \le a \le 1 \\ \Omega, & a > 1. \end{cases}\]

Boş küme, kapalı aralık ve \(\Omega\) Borel kümeleri olduğundan her \(a\) için \((X \le a) \in \mathcal{U}\); \(X\) bir rastgele değişkendir ve \(D_X = [-1, 1]\)’dir. \(0 \le 2\omega - 1 \le \frac{1}{2} \iff \frac{1}{2} \le \omega \le \frac{3}{4}\) olduğundan

\[P_X\left( \left[ 0, \tfrac{1}{2} \right] \right) = P\left( \left[ \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4} \right] \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\]

d) \(\omega \le \frac{1}{2}\) ise \(X(\omega) = \omega\), \(\omega > \frac{1}{2}\) ise \(X(\omega) = \frac{1}{2}\)’dir; dolayısıyla \(D_X = \left[ 0, \frac{1}{2} \right]\). \(a \in \mathbb{R}\) için

\[(X \le a) = \begin{cases} \varnothing, & a < 0 \\ {[0, a]}, & 0 \le a < \dfrac{1}{2} \\ \Omega, & a \ge \dfrac{1}{2}, \end{cases}\]

çünkü \(0 \le a < \frac{1}{2}\) iken \(\min\{\omega, \frac{1}{2}\} \le a\) koşulu tam olarak \(\omega \le a\) demektir, \(a \ge \frac{1}{2}\) iken ise her \(\omega\) için sağlanır. Üç küme de Borel’dir; \(X\) bir rastgele değişkendir.

\[P_X\left( \left\{ \tfrac{1}{2} \right\} \right) = P\left( X = \tfrac{1}{2} \right) = P\left( \left[ \tfrac{1}{2}, 1 \right] \right) = \frac{1}{2}, \qquad P_X\left( \left[ 0, \tfrac{1}{4} \right] \right) = P\left( \left[ 0, \tfrac{1}{4} \right] \right) = \frac{1}{4}.\]

Örnek uzay bir aralık olduğu hâlde \(P_X\) tek bir noktaya \(\frac{1}{2}\) kütle yüklüyor: \(\frac{1}{2}\)’den büyük her sonuç aynı değere sıkıştırılmıştır. Böyle bir rastgele değişken ne kesiklidir ne süreklidir; değer kümesi bir aralık, ama dağılımın kütlesinin yarısı tek bir noktada toplanmıştır (kalan yarısı \(\left[ 0, \frac{1}{2} \right)\) üzerine yayılmıştır).

e) Üç durum vardır.

• \(c > 0\): \(cX(\omega) + d \le a \iff X(\omega) \le \dfrac{a - d}{c}\), dolayısıyla \((Y \le a) = \left( X \le \dfrac{a - d}{c} \right) \in \mathcal{U}\).
• \(c < 0\): \(c\) ile bölünce eşitsizlik yön değiştirir, \(cX(\omega) + d \le a \iff X(\omega) \ge \dfrac{a - d}{c}\); dolayısıyla \((Y \le a) = \left( X \ge \dfrac{a - d}{c} \right)\) ve Önerme 8.2’e göre bu küme \(\mathcal{U}\)’dadır.
• \(c = 0\): \(Y\) sabit \(d\) fonksiyonudur; \(a < d\) için \((Y \le a) = \varnothing\), \(a \ge d\) için \((Y \le a) = \Omega\) ve ikisi de \(\mathcal{U}\)’dadır.

Her durumda \(Y\) bir rastgele değişkendir.

f) \(\max\{X(\omega), Y(\omega)\} \le a\) olması, \(X(\omega) \le a\) ve \(Y(\omega) \le a\) olmasına denktir:

\[(M \le a) = (X \le a) \cap (Y \le a) \in \mathcal{U},\]

çünkü \(\mathcal{U}\) kesişime kapalıdır. \(\min\{X(\omega), Y(\omega)\} \le a\) olması ise \(X(\omega) \le a\) veya \(Y(\omega) \le a\) olmasına denktir:

\[(m \le a) = (X \le a) \cup (Y \le a) \in \mathcal{U}.\]

Demek ki \(M\) ve \(m\) rastgele değişkendir. Aynı akıl yürütme sonlu sayıda rastgele değişkenin en büyüğü ve en küçüğü için de geçerlidir.

g) \(a < 0\) ise \(|X(\omega)| \le a\) hiçbir \(\omega\) için sağlanmaz: \((|X| \le a) = \varnothing \in \mathcal{U}\). \(a \ge 0\) ise \(|X(\omega)| \le a \iff -a \le X(\omega) \le a\), dolayısıyla

\[(|X| \le a) = (-a \le X \le a) = (X \le a) \cap (X \ge -a) \in \mathcal{U}\]

(Önerme 8.2). Benzer biçimde \(a < 0\) için \((X^2 \le a) = \varnothing\); \(a \ge 0\) için \(X(\omega)^2 \le a \iff |X(\omega)| \le \sqrt{a}\), yani \((X^2 \le a) = (|X| \le \sqrt{a})\) ve bu küme az önce gösterildiği gibi \(\mathcal{U}\)’dadır. Öyleyse \(|X|\) ve \(X^2\) rastgele değişkendir. (Genel kural, bir rastgele değişkenin sürekli bir fonksiyonunun yine rastgele değişken olduğudur: Teorem 12.1.)

\(\blacksquare\)

Bir rastgele değişkenin dağılımı \(P_X\), Borel kümelerinin tamamı üzerinde tanımlı bir ölçüdür; ama bu ölçüyü elde tutmak için her Borel kümesine ne verdiğini bilmek gerekmez. Yalnızca \((-\infty, a]\) yarı doğrularına verdiği değerler, yani \(a \mapsto P(X \le a)\) fonksiyonu, \(P_X\)’i bütünüyle belirler. Bu tek değişkenli fonksiyon, kitabın bundan sonraki ana aracıdır: Dağılım Fonksiyonu.