4 Olasılık Uzayı Örnekleri ve Geometrik Olasılık
Olasılık Ölçüsü ve Olasılık Uzayı bölümünde olasılık ölçüsünü Kolmogorov aksiyomlarıyla (Tanım 3.1) tanımladık ve bir olasılık uzayının (Tanım 3.2) genel özelliklerini aksiyomlardan çıkardık. O bölümde \(P\) soyut bir nesneydi. Bu bölümde soruyu tersine çeviriyoruz: somut bir rastgele deney verildiğinde onu modelleyen olasılık uzayı nasıl kurulur?
Yanıt, örnek uzayın büyüklüğüne göre üç biçim alır. \(\Omega\) sonlu ya da sayılabilir sonsuz ise her sonuca bir ağırlık vermek yeter; olasılık ölçüsü bu ağırlıkların toplanmasıyla elde edilir. Ağırlıkların eşit olduğu özel durum bizi Laplace olasılık uzayına ve klasik “uygun durum sayısı bölü olası durum sayısı” formülüne götürür. \(\Omega = \mathbb{R}\) olduğunda ise noktalara ağırlık vermek işe yaramaz; bunun yerine olasılığın \(\mathbb{R}\) üzerine nasıl yığıldığını tek bir fonksiyonla, dağılım fonksiyonuyla betimleriz. Dağılım fonksiyonunun üç temel özelliğini olasılığın sürekliliğinden yararlanarak ispatlayacağız; bu teorem ilerleyen bölümlerde rastgele değişkenler için sürekli kullanılacaktır.
Son kısımda uzunluk, alan ve hacimle kurulan geometrik olasılık uzaylarını ele alacağız. Burada “rastgele bir nokta seçmek” sözünün ne anlama geldiğini belirlemek gerekir: para–silindir örneğinde aynı deneyi iki biçimde modelleyip iki farklı yanıt alacağız ve hangisinin doğru olduğunu tartışacağız.
4.1 Sonlu Örnek Uzaylar
En basit durum \(\Omega\)’nın sonlu olmasıdır. Bu durumda \(\sigma\)-cebir olarak kuvvet kümesi (Tanım 1.6) alınır: \(\Omega\)’nın her alt kümesi bir olaydır. Olasılık ölçüsü kurmak için her sonuca negatif olmayan bir ağırlık vermek ve ağırlıkların toplamını \(1\) yapmak yeter; aşağıdaki önerme bunu söyler.
Önerme 4.1 (Sonlu Örnek Uzayda Ağırlıklarla Olasılık Ölçüsü) \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\}\) sonlu bir örnek uzay ve \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) olsun. Her \(\omega_i\) sonucuna
- (1) \(p_i \ge 0\), \(i = 1, 2, \ldots, n\),
- (2) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1\)
koşullarını sağlayan bir \(p_i\) sayısı karşılık getirilsin. Bu durumda
\[P : \mathcal{U} \to \mathbb{R}, \qquad P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i\]
fonksiyonu \(\mathcal{U}\) üzerinde bir olasılık ölçüsüdür. Burada \(A = \varnothing\) için toplam boştur ve \(0\) sayılır; yani \(P(\varnothing) = 0\)’dır. Özel olarak her \(i\) için \(P(\{\omega_i\}) = p_i\)’dir.
İspat
Kolmogorov aksiyomlarını (Tanım 3.1) tek tek doğrulayalım.
(A1) Her \(A \in \mathcal{U}\) için \(P(A)\), negatif olmayan sayıların sonlu bir toplamıdır; dolayısıyla \(P(A) \ge 0\)’dır.
(A2) \(\Omega\)’nın bütün elemanları toplama girer: \(P(\Omega) = \sum_{i=1}^{n} p_i = 1\).
(A3) \((A_k)_{k \ge 1}\), \(\mathcal{U}\) içinde ikişer ikişer ayrık olayların bir dizisi ve \(A = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\) olsun. Bu dizide en çok \(n\) tane boş olmayan terim vardır: boş olmayan \(A_k\)’ların her birinden birer eleman seçilirse, kümeler ayrık olduğundan seçilenler birbirinden farklıdır ve \(\Omega\)’nın yalnızca \(n\) elemanı vardır. Boş terimlerin katkısı \(0\) olduğundan \(\sum_{k=1}^{\infty} P(A_k)\) aslında sonlu bir toplamdır.
\(A\)’nın her \(\omega_i\) elemanı, kümeler ayrık olduğundan, \(A_k\)’lardan tam olarak birine aittir. Öyleyse \(A\) üzerindeki toplam, \(A_k\)’lar üzerindeki toplamlara gruplanabilir:
\[P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i = \sum_{k=1}^{\infty} \;\sum_{\omega_i \in A_k} p_i = \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k).\]
Sonlu bir toplamın terimlerini yeniden gruplamak toplamı değiştirmez; bu yüzden ortadaki eşitlik geçerlidir. Böylece (A3) sağlanır.
\(\blacksquare\)
Önermenin tersi de doğrudur: sonlu \(\Omega\) üzerindeki her olasılık ölçüsü bu biçimdedir. Gerçekten, \(p_i = P(\{\omega_i\})\) alınırsa \(A = \bigcup_{\omega_i \in A} \{\omega_i\}\) sonlu ayrık birleşimi ve sonlu toplamsallık (Teorem 3.1) \(P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i\) verir. Demek ki sonlu bir örnek uzayda olasılık ölçüsü kurmak ile ağırlık vektörü \((p_1, \ldots, p_n)\) seçmek aynı şeydir.
Örnek 4.1 (Altı Sonuçlu Ağırlıklı Uzay) \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\}\), \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) ve sonuçlara karşılık getirilen ağırlıklar sırasıyla
\[p_1 = 0{,}1, \quad p_2 = 0{,}2, \quad p_3 = 0{,}3, \quad p_4 = 0{,}2, \quad p_5 = 0{,}1, \quad p_6 = 0{,}1\]
olsun. \(A = \{\omega_1, \omega_3, \omega_5\}\) ve \(B = \{\omega_5, \omega_6\}\) olayları için \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup B)\) ve \(P(A^c)\) değerlerini bulunuz.
Çözüm
Ağırlıkların hiçbiri negatif değildir ve toplamları
\[0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}1 = 1\]
olduğundan Önerme 4.1 uygulanır: \(P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i\) bir olasılık ölçüsüdür. Buna göre
\[P(A) = p_1 + p_3 + p_5 = 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}5,\]
\[P(B) = p_5 + p_6 = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2,\]
\[P(A \cap B) = P(\{\omega_5\}) = p_5 = 0{,}1,\]
\[P(A \cup B) = P(\{\omega_1, \omega_3, \omega_5, \omega_6\}) = 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}6\]
bulunur. Son değer toplama kuralıyla (Teorem 3.2) da tutarlıdır: \(0{,}5 + 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}6\). Tümleyen için \(A^c = \{\omega_2, \omega_4, \omega_6\}\) ve \(P(A^c) = 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}5 = 1 - P(A)\) olur (Teorem 3.1). İleride tanımlanacak koşullu olasılık (Tanım 6.1) için de not edelim: \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}2} = \dfrac{1}{2}\).
\(\blacksquare\)
Bir olasılık uzayının matematiksel olarak tutarlı olması ile bir deneyi doğru modellemesi ayrı şeylerdir; ağırlıkların nereden geldiği bir modelleme sorusudur.
Örnek 4.2 (Torba Modeli ve Eşit Ağırlıklar) a) Örnek 4.1’deki olasılık uzayı hangi deneyi modellemek için kullanılabilir?
b) Bir torbada altı farklı renkten eşit sayıda top bulunuyor; bir top çekilip rengi gözleniyor. Bu deney için bir olasılık uzayı kurunuz.
Çözüm
a) İçinde \(1\) beyaz, \(2\) siyah, \(3\) mavi, \(2\) yeşil, \(1\) sarı ve \(1\) kırmızı olmak üzere \(10\) top bulunan bir torbadan bir top çekilip renginin gözlenmesi deneyini düşünelim. Sonuçlar renklerdir:
\[\Omega = \{\text{beyaz}, \text{siyah}, \text{mavi}, \text{yeşil}, \text{sarı}, \text{kırmızı}\},\]
ve \(\omega_1, \ldots, \omega_6\) bu renklere sırasıyla karşılık gelsin. Toplar iyice karıştırılmışsa her topun çekilme şansı aynıdır; bir rengin olasılığı, o renkteki top sayısının toplam top sayısına oranıdır:
\[p_1 = \frac{1}{10}, \quad p_2 = \frac{2}{10}, \quad p_3 = \frac{3}{10}, \quad p_4 = \frac{2}{10}, \quad p_5 = \frac{1}{10}, \quad p_6 = \frac{1}{10}.\]
Bunlar tam olarak Örnek 4.1’deki ağırlıklardır. Örneğin \(A = \{\omega_1, \omega_3, \omega_5\}\), “çekilen topun beyaz, mavi ya da sarı olması” olayıdır ve olasılığı \(0{,}5\)’tir.
b) Her renkten \(r\) top varsa toplam \(6r\) top vardır ve her rengin olasılığı \(\dfrac{r}{6r} = \dfrac{1}{6}\) olur. Öyleyse
\[\Omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_6\}, \qquad \mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega), \qquad p_1 = p_2 = \cdots = p_6 = \frac{1}{6}\]
alınır ve Önerme 4.1 gereği
\[P(A) = \sum_{\omega_i \in A} \frac{1}{6} = \frac{n(A)}{6}\]
bir olasılık ölçüsüdür; burada \(n(A)\), \(A\)’nın eleman sayısıdır. Aynı uzay, \(\Omega = \{1, \ldots, 6\}\) alınarak düzgün bir zarın atılması deneyini de modeller.
\(\blacksquare\)
Eşit ağırlıklar durumu o kadar sık karşımıza çıkar ki ayrı bir ad taşır.
Tanım 4.1 (Laplace Olasılık Uzayı) \(\Omega\) sonlu bir örnek uzay, \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) ve her \(\omega \in \Omega\) için
\[P(\{\omega\}) = \frac{1}{n(\Omega)}\]
olacak biçimde kurulan \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayına Laplace olasılık uzayı denir. Burada \(n(\Omega)\) (kimi zaman \(|\Omega|\) ile de gösterilir), \(\Omega\)’nın eleman sayısıdır. Bu \(P\) ölçüsüne \(\Omega\) üzerindeki düzgün dağılım da denir.
Tanımdaki \(P\) gerçekten bir olasılık ölçüsüdür: Önerme 4.1’da \(p_i = \dfrac{1}{n(\Omega)}\) alınırsa \(p_i \ge 0\) ve \(\sum p_i = 1\) olur. Laplace uzayında olasılık hesabı bir sayma işine indirgenir; bunu söyleyen formül olasılık teorisinin tarihsel başlangıç noktasıdır.
Önerme 4.2 (Laplace Formülü) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir Laplace olasılık uzayı ve \(A \subset \Omega\) olsun. Bu durumda
\[P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)},\]
yani \(P(A)\), “\(A\) için uygun durumların sayısı” bölü “olası durumların sayısı”dır.
İspat
\(A = \varnothing\) ise iki taraf da \(0\)’dır. \(A \ne \varnothing\) ise \(A\), tek elemanlı olayların sonlu ve ayrık birleşimidir:
\[A = \bigcup_{\omega \in A} \{\omega\}.\]
Sonlu toplamsallık (Teorem 3.1) ve tanım gereği
\[P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\}) = \sum_{\omega \in A} \frac{1}{n(\Omega)} = \frac{n(A)}{n(\Omega)}\]
elde edilir.
\(\blacksquare\)
İki düzgün zar atılıp toplama bakıldığında \(\Omega = \{2, 3, \ldots, 12\}\) alıp “toplamın \(7\) olması olasılığı \(\frac{1}{11}\)’dir” demek yanlıştır; bu \(11\) sonuç eşit olasılıklı değildir. Doğru Laplace uzayı, \(36\) sıralı ikiliden oluşan \(\Omega = \{(x, y) : x, y \in \{1, \ldots, 6\}\}\) uzayıdır; toplamı \(7\) yapan \((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\) ikilileri \(6\) tane olduğundan olasılık \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)’dır. Hangi sonuçların eşit olasılıklı olduğu deneyin fiziksel yapısından okunur.
4.2 Sayılabilir Örnek Uzaylar
\(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots\}\) sayılabilir sonsuz olduğunda da aynı fikir işler; ancak artık toplamlar birer seridir. Ağırlıkların negatif olmaması burada belirleyici rol oynar: terimleri negatif olmayan bir serinin toplamı terimlerin sıralanışına bağlı değildir ve indis kümesinin sonlu alt kümeleri üzerinden alınan sonlu toplamların supremumuna eşittir. İspatta yalnızca bu gerçeği kullanacağız.
Önerme 4.3 (Sayılabilir Örnek Uzayda Ağırlıklarla Olasılık Ölçüsü) \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots\}\) sayılabilir sonsuz bir örnek uzay ve \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) olsun. Her \(\omega_i\) sonucuna
- (1) \(p_i \ge 0\), \(i = 1, 2, \ldots\),
- (2) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1\)
koşullarını sağlayan bir \(p_i\) sayısı karşılık getirilsin. Bu durumda
\[P : \mathcal{U} \to \mathbb{R}, \qquad P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i\]
fonksiyonu \(\mathcal{U}\) üzerinde bir olasılık ölçüsüdür. (\(A\) sonsuz ise toplam, \(\omega_i \in A\) olan \(p_i\)’lerin artan indis sırasıyla oluşturduğu seridir; boş toplam \(0\) sayılır.)
İspat
\(B \subset \Omega\) için \(S(B) = \sum_{\omega_i \in B} p_i\) yazalım. Terimler negatif olmadığından \(S(B)\), \(B\)’nin sonlu alt kümeleri \(F\) üzerinden alınan \(\sum_{\omega_i \in F} p_i\) toplamlarının supremumudur ve \(S(B) \le S(\Omega) = 1\) olur. Özel olarak her \(A\) için \(P(A) = S(A)\) iyi tanımlı bir gerçel sayıdır ve \(0 \le P(A) \le 1\)’dir.
(A1) Yukarıdaki gözlem gereği \(P(A) \ge 0\)’dır.
(A2) \(P(\Omega) = \sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1\).
(A3) \((A_k)_{k \ge 1}\), \(\mathcal{U}\) içinde ikişer ikişer ayrık olayların bir dizisi ve \(A = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\) olsun. \(P(A) = \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k)\) eşitliğini iki eşitsizlikle göstereceğiz.
Birinci eşitsizlik: \(P(A) \le \sum_{k} P(A_k)\). \(F \subset A\) sonlu olsun. \(F\)’nin her elemanı \(A_k\)’lardan tam olarak birine aittir ve \(F\) sonlu olduğundan \(F\) yalnızca sonlu sayıda \(A_k\) ile kesişir; diyelim \(k \le N\) olanlarla. O zaman
\[\sum_{\omega_i \in F} p_i = \sum_{k=1}^{N} \;\sum_{\omega_i \in F \cap A_k} p_i \le \sum_{k=1}^{N} P(A_k) \le \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k).\]
Sol taraf \(F\) üzerinde supremum alınarak \(P(A)\)’ya çıkar; öyleyse \(P(A) \le \sum_{k} P(A_k)\).
İkinci eşitsizlik: \(\sum_{k} P(A_k) \le P(A)\). \(N \in \mathbb{N}\) ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Supremum tanımı gereği her \(k \le N\) için
\[\sum_{\omega_i \in F_k} p_i \ge P(A_k) - \frac{\varepsilon}{N}\]
olacak biçimde sonlu bir \(F_k \subset A_k\) vardır. \(F = F_1 \cup \cdots \cup F_N\) kümesi \(A\)’nın sonlu bir alt kümesidir ve parçaları ayrıktır. Dolayısıyla
\[P(A) \ge \sum_{\omega_i \in F} p_i = \sum_{k=1}^{N} \;\sum_{\omega_i \in F_k} p_i \ge \sum_{k=1}^{N} P(A_k) - \varepsilon.\]
Önce \(\varepsilon \to 0\), sonra \(N \to \infty\) alınırsa \(P(A) \ge \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k)\) bulunur.
İki eşitsizlik birlikte (A3)’ü verir.
\(\blacksquare\)
Sonlu durumdaki gibi burada da tersi doğrudur: sayılabilir \(\Omega\) üzerindeki her olasılık ölçüsü, \(p_i = P(\{\omega_i\})\) ağırlıklarıyla bu biçimde yazılır; çünkü \(A = \bigcup_{\omega_i \in A} \{\omega_i\}\) sayılabilir ayrık bir birleşimdir ve (A3) doğrudan istenen eşitliği verir.
Örnek 4.3 (Ağırlıkları Geometrik Dizi Olan Uzay) \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \ldots\}\), \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) ve ağırlıklar
\[p_1 = \frac{1}{2}, \quad p_2 = \frac{1}{2^2}, \quad p_3 = \frac{1}{2^3}, \quad \ldots, \quad p_i = \frac{1}{2^i}, \quad \ldots\]
olsun. \(A = \{\omega_1, \omega_3, \omega_5, \ldots\}\) ve \(B = \{\omega_5, \omega_6\}\) olayları için \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup B)\) ve \(P(A^c)\) değerlerini bulunuz. Bu olasılık uzayı hangi deneyi modeller?
Çözüm
Ağırlıklar pozitiftir ve geometrik seri formülüyle
\[\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1\]
olduğundan Önerme 4.3 uygulanır. \(A\), tek indisli sonuçlardan oluşur; ilk terimi \(\frac{1}{2}\), oranı \(\frac{1}{4}\) olan geometrik seriyi toplayarak
\[P(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \cdots = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}\]
bulunur. Öteki değerler:
\[P(B) = \frac{1}{2^5} + \frac{1}{2^6} = \frac{2 + 1}{64} = \frac{3}{64}, \qquad P(A \cap B) = P(\{\omega_5\}) = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}.\]
Toplama kuralı (Teorem 3.2) ile
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{64} - \frac{1}{32} = \frac{128}{192} + \frac{9}{192} - \frac{6}{192} = \frac{131}{192}.\]
Bunu doğrudan da doğrulayabiliriz: \(A \cup B = A \cup \{\omega_6\}\) ayrık bir birleşimdir, dolayısıyla \(P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{64} = \frac{128 + 3}{192} = \frac{131}{192}\). Tümleyen \(A^c = \{\omega_2, \omega_4, \omega_6, \ldots\}\) çift indisli sonuçlardan oluşur:
\[P(A^c) = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \cdots = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3} = 1 - P(A).\]
İleride tanımlanacak koşullu olasılık (Tanım 6.1) için de not edelim:
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/32}{3/64} = \frac{64}{96} = \frac{2}{3}.\]
Modellenen deney. Düzgün bir para, ilk kez tura gelinceye kadar atılıyor ve üste gelen yüzler gözleniyor. Yazıyı \(Y\), turayı \(T\) ile gösterirsek sonuçlar
\[\Omega = \{T,\; YT,\; YYT,\; YYYT,\; \ldots\}\]
kümesini oluşturur; \(\omega_i\), “ilk turanın \(i\)-inci atışta gelmesi” sonucudur. Bu sonuca \(\frac{1}{2^i}\) ağırlığı vermek doğaldır: \(i\) atışlık \(2^i\) tane \(Y\)–\(T\) dizisi düzgün para için eşit olasılıklıdır ve içlerinden yalnızca biri (\(YY \cdots YT\)) \(\omega_i\)’ye karşılık gelir; Laplace formülü (Önerme 4.2) \(\frac{1}{2^i}\) verir. Ağırlıkların toplamının \(1\) çıkması, paranın hiç tura gelmemesi olasılığının \(0\) olduğunu söyler; bu yüzden \(YYY\cdots\) sonsuz dizisini \(\Omega\)’ya almaya gerek yoktur. \(A\), “turanın tek sayılı bir atışta gelmesi”, \(B\) ise “ilk turanın beşinci ya da altıncı atışta gelmesi” olayıdır.
\(\blacksquare\)
4.3 Gerçel Sayılar Üzerinde Olasılık Ölçüleri
Ölçüm sonucu bir gerçel sayı olan deneylerde (bir ampulün ömrü gibi) örnek uzay \(\Omega = \mathbb{R}\) ya da \(\mathbb{R}\)’nin bir alt kümesidir. Bu durumda \(\sigma\)-cebir olarak kuvvet kümesi yerine Borel cebri \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) (Tanım 2.4) alınır; Borel cebri her türden aralığı içerir ve ilgilendiğimiz olaylar zaten aralık biçimindedir.
Ağırlık yöntemi burada çöker: \(\mathbb{R}\) sayılamaz sonsuzdur; bütün noktalara aynı pozitif ağırlığı vermek istesek, sayılabilir bir nokta kümesinin bile olasılığı \(1\)’i aşardı. Bunun yerine olasılığın \(\mathbb{R}\) üzerine nasıl yığıldığını tek bir fonksiyonla betimleyeceğiz.
Tanım 4.2 (Borel Olasılık Ölçüsü (Olasılık Dağılımı)) \(\Omega = \mathbb{R}\) ve \(\mathcal{U} = \mathcal{B}(\mathbb{R})\) olsun. Borel cebri üzerinde tanımlı bir
\[P : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}, \qquad A \mapsto P(A)\]
olasılık ölçüsüne \(\mathbb{R}\) üzerinde bir Borel olasılık ölçüsü ya da kısaca \(\mathbb{R}\) üzerinde bir olasılık dağılımı denir. \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P)\) bir olasılık uzayıdır ve \(P(\mathbb{R}) = 1\)’dir: bir birim olasılık gerçel sayılar üzerine dağıtılmıştır.
Örnek uzay olarak bir Borel kümesi \(\Omega \subset \mathbb{R}\) alınırsa \(\mathcal{U} = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) : A \subset \Omega\}\) alınır; her \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \(\tilde{P}(B) = P(B \cap \Omega)\) konularak bu ölçü, \(\Omega^c\) kümesine \(0\) olasılığı veren, \(\mathbb{R}\) üzerinde bir Borel olasılık ölçüsü gibi görülebilir.
Tanım 4.3 (Olasılık Ölçüsünün Dağılım Fonksiyonu) \(P\), \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde bir olasılık ölçüsü olsun.
\[F : \mathbb{R} \to [0, 1], \qquad F(x) = P\big((-\infty, x]\big)\]
fonksiyonuna \(P\) olasılık ölçüsüne karşılık gelen dağılım fonksiyonu (birikimli dağılım fonksiyonu) denir.
Tanım anlamlıdır: \((-\infty, x]\) kapalı bir yarı doğru olduğundan Borel cebrindedir (Tanım 2.4). \(F(x)\), olasılığın \(x\) noktasına kadar birikmiş kısmıdır. Peki \(P\)’den gelen böyle bir \(F\) hangi özellikleri taşımak zorundadır? Aşağıdaki teorem üç özellik verir; ispatı olasılığın sürekliliğine (Teorem 3.5) dayanır ve ilerleyen bölümlerde rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları için de aynen kullanılacaktır.
Teorem 4.1 (Dağılım Fonksiyonunun Özellikleri) \(P\), \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde bir olasılık ölçüsü ve \(F(x) = P\big((-\infty, x]\big)\) ona karşılık gelen dağılım fonksiyonu olsun. Bu durumda
a) \(F\) azalmayandır: \(x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1) \le F(x_2)\);
b) \(F\) sağdan süreklidir: her \(x \in \mathbb{R}\) için \(\displaystyle\lim_{h \to 0^+} F(x + h) = F(x)\);
c) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) ve \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\).
İspat
a) \(x_1 < x_2\) ise \((-\infty, x_1] \subset (-\infty, x_2]\)’dir. Olasılık ölçüsünün monotonluğu (Teorem 3.1) gereği \(F(x_1) = P\big((-\infty, x_1]\big) \le P\big((-\infty, x_2]\big) = F(x_2)\) olur.
b) \(x \in \mathbb{R}\) sabit olsun. \(n \in \mathbb{N}\) için \(A_n = \big(-\infty, x + \tfrac{1}{n}\big]\) olayını tanımlayalım. \(\tfrac{1}{n}\) azaldığından \(A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots\) azalan bir dizidir. Kesişimini bulalım: \(y \le x\) ise her \(n\) için \(y \le x + \tfrac{1}{n}\), yani \(y \in A_n\)’dir; tersine \(y\) bütün \(A_n\)’lerde ise her \(n\) için \(y \le x + \tfrac{1}{n}\)’dir ve \(n \to \infty\) alınarak \(y \le x\) bulunur. Demek ki
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = (-\infty, x].\]
Azalan diziler için olasılığın sürekliliği (Teorem 3.5) gereği
\[\lim_{n \to \infty} F\!\left(x + \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n) = P\!\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right) = F(x).\]
Bu, limitin yalnızca \(h = \tfrac{1}{n}\) dizisi boyunca alındığını söyler; keyfi \(h \to 0^+\) için (a) şıkkını kullanacağız. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Yukarıdaki limit gereği \(F\!\left(x + \tfrac{1}{N}\right) < F(x) + \varepsilon\) olacak biçimde bir \(N\) vardır. \(0 < h < \tfrac{1}{N}\) ise \(x < x + h < x + \tfrac{1}{N}\) olduğundan (a) gereği
\[F(x) \le F(x + h) \le F\!\left(x + \frac{1}{N}\right) < F(x) + \varepsilon,\]
yani \(|F(x+h) - F(x)| < \varepsilon\)’dur. Öyleyse \(\lim_{h \to 0^+} F(x + h) = F(x)\).
c) Önce \(-\infty\)’daki limit. \(B_n = (-\infty, -n]\) olsun; \(B_1 \supset B_2 \supset \cdots\) azalandır ve kesişimi boştur: her \(n\) için \(y \le -n\) olan bir \(y\) gerçel sayısı yoktur. Azalan diziler için süreklilik ve \(P(\varnothing) = 0\) (Teorem 3.1) gereği
\[\lim_{n \to \infty} F(-n) = \lim_{n \to \infty} P(B_n) = P(\varnothing) = 0.\]
\(\varepsilon > 0\) verilsin; \(F(-N) < \varepsilon\) olacak biçimde \(N\) seçelim. \(x < -N\) ise (a) gereği \(0 \le F(x) \le F(-N) < \varepsilon\)’dur. Bu, \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) demektir.
Şimdi \(+\infty\)’daki limit. \(C_n = (-\infty, n]\) olsun; \(C_1 \subset C_2 \subset \cdots\) artandır ve birleşimi \(\mathbb{R}\)’dir: her \(y\) gerçel sayısı, \(y \le n\) olan bir \(n\) için \(C_n\)’dedir. Artan diziler için süreklilik gereği
\[\lim_{n \to \infty} F(n) = \lim_{n \to \infty} P(C_n) = P(\mathbb{R}) = 1.\]
\(\varepsilon > 0\) için \(F(N) > 1 - \varepsilon\) olacak biçimde \(N\) seçilirse, \(x > N\) olan her \(x\) için \(1 \ge F(x) \ge F(N) > 1 - \varepsilon\) olur. Bu da \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\) demektir.
\(\blacksquare\)
\(F\) azalmayan ve sınırlı olduğundan her \(x\) noktasında soldan limiti \(F(x^-) = \lim_{h \to 0^+} F(x - h)\) de vardır; ama teorem \(F(x^-) = F(x)\) demez. Birazdan göreceğimiz gibi \(F(x) - F(x^-)\) farkı tam olarak \(P(\{x\})\)’tir. Sağdan sürekliliğin nedeni, tanımda \((-\infty, x]\) yarı doğrusunun sağ ucunun kapalı alınmasıdır.
Teoremin tersi de doğrudur: bu üç özelliği taşıyan her fonksiyon bir Borel olasılık ölçüsünün dağılım fonksiyonudur ve bu ölçü tektir. Sonucun ispatı ölçü teorisinin genişleme teoremlerini gerektirdiğinden burada yalnızca ifadesini veriyoruz.
Teorem 4.2 (Borel–Stieltjes Teoremi) \(F : \mathbb{R} \to [0, 1]\) fonksiyonu azalmayan ve sağdan sürekli olsun; ayrıca \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) ve \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\) olsun. Bu durumda \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde, her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[P\big((-\infty, x]\big) = F(x)\]
olan bir ve yalnız bir \(P\) olasılık ölçüsü vardır. Bu \(P\)’ye \(F\)’nin belirlediği Borel–Stieltjes ölçüsü denir.
Teorem 4.1 ile Teorem 4.2 birlikte şunu söyler: dağılım fonksiyonları ile Borel olasılık ölçüleri arasında \(F \leftrightarrow P\) bire bir eşlemesi vardır. \(\mathbb{R}\) üzerinde bir olasılık dağılımı vermek için \(F\)’yi vermek yeter; yarı doğrulara aynı olasılığı veren iki ölçü bütün Borel kümelerinde aynıdır. Öyleyse \(F\)’den yola çıkarak aralıkların ve tek noktaların olasılığını hesaplayabilmeliyiz; aşağıdaki önerme bu hesabın kurallarını toplar.
Önerme 4.4 (Aralıkların ve Tek Noktaların Olasılığı) \(P\) bir Borel olasılık ölçüsü, \(F\) onun dağılım fonksiyonu ve \(F(a^-) = \lim_{h \to 0^+} F(a - h)\) olsun. \(a < b\) gerçel sayıları için
a) \(P\big((a, b]\big) = F(b) - F(a)\),
b) \(P\big((a, \infty)\big) = 1 - F(a)\),
c) \(P(\{a\}) = F(a) - F(a^-)\),
d) \(P\big((-\infty, a)\big) = F(a^-)\),
e) \(P\big([a, b]\big) = F(b) - F(a^-)\), \(\quad P\big((a, b)\big) = F(b^-) - F(a)\), \(\quad P\big([a, b)\big) = F(b^-) - F(a^-)\)
eşitlikleri geçerlidir. Özel olarak, \(P(\{a\}) = 0\) olması için gerek ve yeter koşul \(F\)’nin \(a\) noktasında sürekli olmasıdır.
İspat
\(F\) azalmayan ve sınırlı olduğundan \(F(a^-)\) soldan limiti vardır ve \(F(a^-) = \sup\{F(y) : y < a\}\)’dır; özel olarak \(F(a - \tfrac{1}{n}) \to F(a^-)\)’dir.
a) \((-\infty, a] \subset (-\infty, b]\) ve \((a, b] = (-\infty, b] \setminus (-\infty, a]\)’dır. Fark kuralı (Teorem 3.1) gereği \(P\big((a, b]\big) = F(b) - F(a)\).
b) \((a, \infty) = \big((-\infty, a]\big)^c\) olduğundan tümleyen kuralı \(P\big((a, \infty)\big) = 1 - F(a)\) verir.
c) \(D_n = \big(a - \tfrac{1}{n}, a\big]\) olsun. \(D_1 \supset D_2 \supset \cdots\) azalandır ve kesişimi \(\{a\}\)’dır: bütün \(D_n\)’lerde bulunan bir \(y\) için her \(n\)’de \(a - \tfrac{1}{n} < y \le a\) olur, bu da \(y = a\) demektir. Azalan diziler için süreklilik (Teorem 3.5) ve (a) gereği
\[P(\{a\}) = \lim_{n \to \infty} P(D_n) = \lim_{n \to \infty} \left[ F(a) - F\!\left(a - \frac{1}{n}\right) \right] = F(a) - F(a^-).\]
d) \(\{a\} \subset (-\infty, a]\) ve \((-\infty, a) = (-\infty, a] \setminus \{a\}\) olduğundan fark kuralı ve (c) ile \(P\big((-\infty, a)\big) = F(a) - \big(F(a) - F(a^-)\big) = F(a^-)\).
e) Ayrık birleşimler ve farklar üzerinden, (a) ve (c) kullanılarak:
\[P\big([a, b]\big) = P(\{a\}) + P\big((a, b]\big) = \big(F(a) - F(a^-)\big) + \big(F(b) - F(a)\big) = F(b) - F(a^-),\]
\[P\big((a, b)\big) = P\big((a, b]\big) - P(\{b\}) = \big(F(b) - F(a)\big) - \big(F(b) - F(b^-)\big) = F(b^-) - F(a),\]
\[P\big([a, b)\big) = P(\{a\}) + P\big((a, b)\big) = \big(F(a) - F(a^-)\big) + \big(F(b^-) - F(a)\big) = F(b^-) - F(a^-).\]
Son iddia: \(F\) her noktada sağdan sürekli olduğundan (Teorem 4.1), \(F\)’nin \(a\)’da sürekli olması \(F(a^-) = F(a)\) olmasıyla, bu da (c) gereği \(P(\{a\}) = 0\) olmasıyla eşdeğerdir.
\(\blacksquare\)
Önermenin (c) şıkkı grafiği okumanın anahtarıdır: \(F\)’nin \(a\) noktasındaki sıçraması tam olarak \(a\) noktasının olasılığıdır; \(F\) sürekli olduğunda aralığın uçlarının açık ya da kapalı olması olasılığı değiştirmez. Şimdi iki temel örnek görelim; ilki sürekli, ikincisi basamaklı bir dağılım fonksiyonudur.
Örnek 4.4 (Birim Aralık Üzerinde Düzgün Dağılım) \(F : \mathbb{R} \to [0, 1]\) fonksiyonu
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}\]
ile tanımlansın. \(F\)’nin bir dağılım fonksiyonu olduğunu gösteriniz ve \(F\)’nin belirlediği \(P\) olasılık ölçüsü için \(P(\{\tfrac{1}{2}\})\), \(P\big((-2, \tfrac{1}{2}]\big)\), \(P\big((\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}]\big)\), \(P\big([\tfrac{1}{3}, 3]\big)\), \(P\big((\tfrac{1}{3}, \infty)\big)\) değerlerini ve \(0 \le a < b \le 1\) için \(P\big((a, b]\big)\)’yi hesaplayınız.
Çözüm
Dağılım fonksiyonu özellikleri. \(F\) üç parçanın her birinde azalmayandır (sabit \(0\), eğimi \(1\) olan doğru, sabit \(1\)) ve parçaların birleştiği noktalarda değerler uyuşur: \(x \to 0^-\) iken \(F(x) \to 0 = F(0)\), \(x \to 1^-\) iken \(F(x) \to 1 = F(1)\). Dolayısıyla \(F\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde azalmayan ve sürekli bir fonksiyondur; özel olarak sağdan süreklidir. \(x < 0\) için \(F(x) = 0\) ve \(x \ge 1\) için \(F(x) = 1\) olduğundan limit koşulları da sağlanır. Teorem 4.2 gereği \(F\), \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde tek bir \(P\) olasılık ölçüsü belirler.
Hesaplar. Önerme 4.4’ni kullanıyoruz. \(F\) sürekli olduğundan her \(a \in \mathbb{R}\) için \(P(\{a\}) = F(a) - F(a^-) = 0\)’dır; özel olarak \(P(\{\tfrac{1}{2}\}) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = 0\). Ayrıca
\[P\big((-2, \tfrac{1}{2}]\big) = F(\tfrac{1}{2}) - F(-2) = \tfrac{1}{2} - 0 = \tfrac{1}{2},\]
\[P\big((\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}]\big) = F(\tfrac{1}{2}) - F(\tfrac{1}{3}) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6},\]
\[P\big([\tfrac{1}{3}, 3]\big) = F(3) - F(\tfrac{1}{3}^-) = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3},\]
\[P\big((\tfrac{1}{3}, \infty)\big) = 1 - F(\tfrac{1}{3}) = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.\]
\(0 \le a < b \le 1\) için \(P\big((a, b]\big) = F(b) - F(a) = b - a\), yani aralığın uzunluğudur; uç noktaların olasılığı \(0\) olduğundan \([a, b]\), \((a, b)\) ve \([a, b)\) için de olasılık \(b - a\)’dır. Öte yandan \(P\big((-\infty, 0)\big) = F(0^-) = 0\) ve \(P\big((1, \infty)\big) = 1 - F(1) = 0\)’dır: bütün olasılık \([0, 1]\) aralığındadır ve orada düzgün yayılmıştır. Bu ölçüye \([0, 1]\) üzerindeki düzgün dağılım denir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.5 (Basamaklı Bir Dağılım Fonksiyonu) \(F : \mathbb{R} \to [0, 1]\) fonksiyonu
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\[1mm] 1 - \dfrac{1}{n + 1}, & n \le x < n + 1, \quad n = 1, 2, \ldots \end{cases}\]
ile tanımlansın. \(F\)’nin bir dağılım fonksiyonu olduğunu gösteriniz ve \(F\)’nin belirlediği \(P\) için \(P\big((-\infty, 1]\big)\), \(P(\{n\})\) (\(n = 1, 2, \ldots\)), \(P(\mathbb{Z}^+)\), \(P\big((-\infty, 2)\big)\) ve \(P\big((1, 3]\big)\) değerlerini hesaplayınız.
Çözüm
Dağılım fonksiyonu özellikleri. \(F\)’nin değerleri \([1, 2)\) üzerinde \(\tfrac{1}{2}\), \([2, 3)\) üzerinde \(\tfrac{2}{3}\), \([3, 4)\) üzerinde \(\tfrac{3}{4}\), genel olarak \([n, n+1)\) üzerinde \(1 - \tfrac{1}{n+1}\)’dir. Her parçada sabit olduğundan ve \(1 - \tfrac{1}{n+1} < 1 - \tfrac{1}{n+2}\) olduğundan \(F\) azalmayandır. Sağdan süreklilik: \(x \in [n, n+1)\) ise \(F\), \([x, n+1)\) aralığında sabittir, dolayısıyla \(h \to 0^+\) iken \(F(x + h) = F(x)\)’tir; \(x < 1\) için de \(F\), \([x, 1)\) üzerinde \(0\)’dır. Ancak \(F\) sürekli değildir: \(n \ge 1\) tam sayısında
\[F(n^-) = 1 - \frac{1}{n}, \qquad F(n) = 1 - \frac{1}{n + 1}\]
olur (\(n = 1\) için \(F(1^-) = 0 = 1 - \tfrac{1}{1}\) olduğuna dikkat ediniz; formül \(n = 1\)’de de geçerlidir). Limitler: \(x < 1\) için \(F(x) = 0\) olduğundan \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\); \(x \ge n\) için \(1 - \tfrac{1}{n+1} \le F(x) \le 1\) olduğundan ve \(n \to \infty\) iken sol taraf \(1\)’e gittiğinden \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\). Böylece \(F\) bir dağılım fonksiyonudur ve Teorem 4.2 gereği tek bir \(P\) belirler.
Hesaplar. Önerme 4.4 ile:
\[P\big((-\infty, 1]\big) = F(1) = \frac{1}{2}.\]
Her \(n = 1, 2, \ldots\) için tek noktanın olasılığı, \(F\)’nin \(n\)’deki sıçramasıdır:
\[P(\{n\}) = F(n) - F(n^-) = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) - \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}.\]
\(\mathbb{Z}^+ = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{n\}\) sayılabilir ayrık bir birleşim olduğundan (A3) ve teleskopik toplam ile
\[P(\mathbb{Z}^+) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{N+1} \right) = 1.\]
Demek ki \(P(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}^+) = 0\): bütün olasılık pozitif tam sayılar üzerinde, \(n\) noktasına \(\tfrac{1}{n(n+1)}\) ağırlığı düşecek biçimde toplanmıştır; bu, Önerme 4.3 durumunun \(\mathbb{R}\) içine gömülmüş hâlidir. Ayrıca
\[P\big((-\infty, 2)\big) = F(2^-) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2};\]
aynı sonuç \(P\big((-\infty, 2]\big) - P(\{2\}) = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{2}\) biçiminde de bulunur. Son olarak
\[P\big((1, 3]\big) = F(3) - F(1) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(\{2\}) + P(\{3\}),\]
çünkü \((1, 3]\) aralığındaki tam sayılar yalnızca \(2\) ve \(3\)’tür.
\(\blacksquare\)
İlk örnekte \(F\) süreklidir ve olasılık bir aralık üzerine yayılmıştır; ikincisinde \(F\) parça parça sabittir ve olasılığın tamamı sayılabilir bir nokta kümesinde, sıçramalar olarak toplanmıştır. Bu iki davranış ilerleyen bölümlerde sürekli ve kesikli rastgele değişkenler olarak yeniden karşımıza çıkacaktır.
4.4 Ölçü ve Geometrik Olasılık
Uzunluk, alan ve hacim olasılık ölçüsüyle aynı yapısal özellikleri taşır: negatif değildirler, boş kümede sıfırdırlar ve ayrık parçaların birleşiminin büyüklüğü parçaların büyüklüklerinin toplamıdır. Tek fark, toplam büyüklüğün \(1\) olmak zorunda olmaması, hatta sonsuz olabilmesidir. Bu ortak yapı ölçü kavramıdır.
Tanım 4.4 (Ölçü) \(\Omega \ne \varnothing\) ve \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir olsun. \([0, \infty] = \{t \in \mathbb{R} : t \ge 0\} \cup \{\infty\}\) olmak üzere
\[m : \mathcal{U} \to [0, \infty], \qquad A \mapsto m(A)\]
fonksiyonu
- (1) her \(A \in \mathcal{U}\) için \(m(A) \ge 0\),
- (2) \(m(\varnothing) = 0\),
- (3) \((A_n)\), \(\mathcal{U}\) içinde ikişer ikişer ayrık kümelerin bir dizisi ise \(m\!\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} m(A_n)\) (iki taraf da \(\infty\) olabilir)
özelliklerini sağlıyorsa \(m\)’ye \(\mathcal{U}\) üzerinde bir ölçü, \((\Omega, \mathcal{U}, m)\) üçlüsüne bir ölçü uzayı denir. \(m(\Omega) = 1\) olan bir ölçü, tam olarak bir olasılık ölçüsüdür.
Olasılık aksiyomlarında \(P(\varnothing) = 0\) ayrıca istenmemişti; \(P(\Omega) = 1\) ile birlikte (A3)’ten çıkıyordu (Teorem 3.1). Genel ölçüde \(m(\Omega) = \infty\) olabildiğinden bu koşul ayrıca konur; aksi hâlde her kümeye \(\infty\) veren fonksiyon da (1) ve (3)’ü sağlardı.
Bizim için önemli üç örnek: \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) üzerinde her aralığa uzunluğunu veren uzunluk ölçüsü; \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\) üzerinde her dikdörtgene kenarlarının çarpımını veren alan ölçüsü; \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^3)\) üzerinde hacim ölçüsü. Bu ölçülerin bütün Borel kümelerine tek biçimde genişletilebildiği ölçü teorisinin temel sonuçlarındandır (Lebesgue ölçüsü); burada bu gerçeği kabul ediyoruz.
Bir ölçüden olasılık ölçüsü üretmenin en doğal yolu, ölçüyü toplam büyüklüğe bölerek normalleştirmektir.
Tanım 4.5 (Geometrik Olasılık) \(k \in \{1, 2, 3\}\) ve \(m\), \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\) üzerinde sırasıyla uzunluk, alan ya da hacim ölçüsü olsun. \(\Omega \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\) kümesi \(0 < m(\Omega) < \infty\) koşulunu sağlasın ve \(\mathcal{U} = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^k) : A \subset \Omega\}\) olsun.
\[P : \mathcal{U} \to \mathbb{R}, \qquad P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}\]
ile tanımlanan \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayına bir geometrik olasılık uzayı, \(P\)’ye de \(\Omega\) üzerindeki düzgün dağılım denir. \(A\) kümesinin uzunluğunu, alanını ve hacmini sırasıyla \(\text{uzunluk}(A)\), \(\text{alan}(A)\), \(\text{hacim}(A)\) ile gösterirsek açık olarak:
- (1) \(k = 1\): \(c < d\) olmak üzere \(\Omega = [c, d]\) ve \(A = [a, b] \subset \Omega\) bir aralık ise \(P(A) = \dfrac{\text{uzunluk}(A)}{\text{uzunluk}(\Omega)} = \dfrac{b - a}{d - c}\);
- (2) \(k = 2\): \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) sonlu alanlı bir küme ise \(P(A) = \dfrac{\text{alan}(A)}{\text{alan}(\Omega)}\);
- (3) \(k = 3\): \(\Omega \subset \mathbb{R}^3\) sonlu hacimli bir küme ise \(P(A) = \dfrac{\text{hacim}(A)}{\text{hacim}(\Omega)}\).
Tanımdaki \(P\) gerçekten bir olasılık ölçüsüdür: \(\Omega\) Borel olduğundan \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebirdir; \(m(A) \ge 0\) ve \(m(\Omega) > 0\) olduğundan \(P(A) \ge 0\) (A1); ayrıca \(A \subset \Omega\) için \(\Omega = A \cup (\Omega \setminus A)\) ayrık birleşimi ve (3) gereği \(m(A) \le m(\Omega)\), yani \(P(A) \le 1\) olur; \(P(\Omega) = 1\) (A2); \(m\)’nin (3) özelliği \(m(\Omega)\)’ya bölünerek (A3) elde edilir. Bu ölçüler, bir birim olasılığın \(\Omega\) üzerine düzgün yayıldığı durumları modeller: bir olayın olasılığı yalnızca büyüklüğüne bağlıdır, konumuna değil. Tek bir noktanın uzunluğu, alanı ve hacmi \(0\) olduğundan \(P(\{\omega\}) = 0\)’dır; aralıkların uçlarını, bölgelerin sınırlarını olaya katıp katmamak olasılığı değiştirmez. \(k = 1\) ve \(\Omega = [0, 1]\) için elde edilen ölçü, Örnek 4.4’ndaki ölçüdür.
“Rastgele bir nokta seçiliyor” demek, hangi \(\Omega\)’nın alınacağını ve düzgünlüğün hangi ölçüye göre olacağını söylemeden anlamsızdır. Farklı seçimler farklı yanıtlar verebilir; bu bir çelişki değil, modelin eksik belirlenmiş olmasıdır (klasik örnek Bertrand paradoksudur). Aşağıdaki örnek bunu somut olarak gösterir.
Örnek 4.6 (Para ve Silindir Tabanı) Yarıçapı \(1\) birim olan madeni bir para, taban yarıçapı \(3\) birim olan bir silindirin içine atılıyor ve tabana yatay olarak düşüyor. Paranın tabanın merkezini örtmesi olasılığı nedir? Deneyi (a) uzunluk ölçüsüyle ve (b) alan ölçüsüyle modelleyiniz; hangi modelin deneyi doğru betimlediğini açıklayınız.
Çözüm
Kurulum. Tabanın merkezi \(O\), paranın merkezi \(M\) ve \(d = |OM|\) olsun. Para silindirin içinde kaldığından tabanın sınırını aşamaz: paranın her noktası \(M\)’ye en çok \(1\) birim uzaklıkta olduğundan \(d + 1 \le 3\), yani \(d \le 2\) olmalıdır. Öyleyse \(d \in [0, 2]\)’dir. Para \(O\) noktasını \(d \le 1\) olduğunda örter (\(d = 1\) sınır durumunun olasılığı \(0\)’dır; eşitliği katmak ya da katmamak sonucu değiştirmez).
a) Uzunluk modeli. Sonuç olarak yalnızca \(d\) uzaklığını alalım:
\[\Omega_1 = \{d : 0 \le d \le 2\} = [0, 2], \qquad \mathcal{U}_1 = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) : A \subset \Omega_1\}, \qquad P_1(A) = \frac{\text{uzunluk}(A)}{2}.\]
Merkezin örtülmesi olayı \(A_1 = \{d : 0 \le d \le 1\} = [0, 1]\) ve
\[P_1(A_1) = \frac{1}{2}.\]
b) Alan modeli. Tabanda başlangıç noktası \(O\) olan bir dik koordinat sistemi alalım ve paranın merkezini \((x, y)\) ile gösterelim. \(d \le 2\) koşulu, merkezin yarıçapı \(2\) olan diskte kalması demektir:
\[\Omega_2 = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 4\}, \qquad \mathcal{U}_2 = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2) : A \subset \Omega_2\}, \qquad P_2(A) = \frac{\text{alan}(A)}{\text{alan}(\Omega_2)} = \frac{\text{alan}(A)}{4\pi}.\]
Merkezin örtülmesi olayı \(A_2 = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 1\}\) birim disktir ve
\[P_2(A_2) = \frac{\pi \cdot 1^2}{\pi \cdot 2^2} = \frac{1}{4}.\]
Hangi model doğru? Fiziksel deneyde para gelişigüzel atılır; merkezinin izin verilen bölgenin (yarıçapı \(2\) olan diskin) herhangi bir parçasına düşme şansı o parçanın alanıyla orantılıdır. Bu tam olarak (b) modelidir. (a) modeli ise \(d\) uzaklığının \([0, 2]\) üzerinde düzgün dağıldığını varsayar; bu varsayım fiziksel tablodan çıkmaz, hatta onunla çelişir. Gerçekten, alan modelinde \(0 \le r \le 2\) için
\[P_2(d \le r) = \frac{\pi r^2}{4\pi} = \frac{r^2}{4}\]
iken uzunluk modeli \(P_1(d \le r) = \dfrac{r}{2}\) verir. Fark şuradan gelir: merkezden \(r\) ile \(r + \Delta\) uzaklıktaki halkanın alanı yaklaşık \(2\pi r \Delta\)’dır ve \(r\) ile büyür; merkezden uzak konumlar yakın konumlardan “daha çoktur”. Uzunluk modeli her uzaklığa eşit ağırlık vererek merkeze yakın konumları olduğundan fazla sayar. Sonuç olarak deneyin doğru modeli alan modelidir ve aranan olasılık \(\dfrac{1}{4}\)’tür. Uzunluk modeli başka bir deneyi modeller: tabanın merkezinden başlayan \(2\) birim uzunluğundaki bir doğru parçası (paranın merkezinin düşebileceği uzaklıklar aralığı) üzerinde rastgele bir nokta seçilmesini.
\(\blacksquare\)
Geometrik olasılık problemlerinde izlenecek yol hep aynıdır: sonucu bir nokta olarak kodla, \(\Omega\) bölgesini yaz, olayı \(\Omega\) içinde bir bölge olarak betimle, büyüklükleri oranla. Kalan üç örnek bu yolu izler.
Örnek 4.7 (Çarpımı Yarımdan Küçük İki Sayı) \((0, 1)\) aralığındaki gerçel sayılardan rastgele iki sayı seçiliyor. Çarpımlarının \(\tfrac{1}{2}\)’den küçük olması olasılığı nedir?
Çözüm
Seçilen sayılar \(x\) ve \(y\) olsun; sonuç \((x, y)\) noktasıdır. “Rastgele” sözünü, \((x, y)\) noktasının birim kare üzerinde düzgün dağılması olarak anlıyoruz: her iki sayı \((0, 1)\) üzerinde düzgün seçiliyor ve birinin seçimi ötekini etkilemiyor. Buna göre
\[\Omega = (0, 1) \times (0, 1), \qquad \mathcal{U} = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2) : A \subset \Omega\}, \qquad P(A) = \frac{\text{alan}(A)}{\text{alan}(\Omega)} = \text{alan}(A)\]
alınır; birim karenin alanı \(1\)’dir. Sorulan olay
\[A = \{(x, y) \in \Omega : xy < \tfrac{1}{2}\}.\]
Bölgeyi \(x\)’e göre inceleyelim. \(0 < x \le \tfrac{1}{2}\) ise \(y < 1\) olduğundan \(xy < x \le \tfrac{1}{2}\) kendiliğinden sağlanır: bu şeritte bütün \(y\) değerleri \(A\)’dadır. \(\tfrac{1}{2} < x < 1\) ise \(xy < \tfrac{1}{2}\) koşulu \(y < \dfrac{1}{2x}\) ile eşdeğerdir ve \(\dfrac{1}{2x} \in (\tfrac{1}{2}, 1)\) olduğundan bu gerçek bir kısıttır. Demek ki \(A\), \((0, \tfrac{1}{2}] \times (0, 1)\) dikdörtgeni ile \(x \in (\tfrac{1}{2}, 1)\) üzerinde \(y = \dfrac{1}{2x}\) hiperbolünün altında kalan bölgenin birleşimidir.
Alanı hesaplayalım:
\[\text{alan}(A) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \int_{1/2}^{1} \frac{1}{2x}\,dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\Big[\ln x\Big]_{1/2}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(0 - \ln\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln 2.\]
Öyleyse
\[P(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1 + \ln 2}{2} \approx 0{,}8466.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 4.8 (Doğru Parçası Üzerinde Bölme Oranı) \(k\) uzunluğunda bir \(AB\) doğru parçası üzerinde rastgele bir \(C\) noktası işaretleniyor. \(a > 0\) verilmiş bir sayı olmak üzere, \(\dfrac{|AC|}{|BC|}\) oranının \(a\)’dan küçük olması olasılığını bulunuz.
Çözüm
\(A\) noktasını başlangıç alıp \(C\)’nin konumunu \(x = |AC| \in [0, k]\) ile kodlayalım. “Rastgele” işaretleme, \(x\)’in \([0, k]\) üzerinde düzgün dağılması demektir:
\[\Omega = [0, k], \qquad \mathcal{U} = \{D \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) : D \subset \Omega\}, \qquad P(D) = \frac{\text{uzunluk}(D)}{k}.\]
\(x = k\) (yani \(C = B\)) durumunda oran tanımsızdır; ama tek bir noktanın olasılığı \(0\) olduğundan bu durumu göz ardı edebiliriz ve \(|BC| = k - x > 0\) alabiliriz. Sorulan olay
\[E = \left\{ x \in [0, k) : \frac{x}{k - x} < a \right\}.\]
\(k - x > 0\) olduğundan eşitsizlik paydayla çarpılabilir:
\[\frac{x}{k - x} < a \iff x < a(k - x) \iff x(1 + a) < ak \iff x < \frac{ak}{1 + a}.\]
\(a > 0\) için \(\dfrac{ak}{1 + a} < k\) olduğundan \(E = \left[0, \dfrac{ak}{1+a}\right)\) bir alt aralıktır ve
\[P(E) = \frac{1}{k} \cdot \frac{ak}{1 + a} = \frac{a}{1 + a}.\]
Sonuç \(k\)’ye bağlı değildir. Sağlama: \(a = 1\) için \(P(E) = \tfrac{1}{2}\); bu, “\(C\)’nin \(A\)’ya \(B\)’den daha yakın olması” olayıdır ve simetri gereği \(\tfrac{1}{2}\) olmalıdır. \(a \to 0^+\) iken \(P(E) \to 0\), \(a \to \infty\) iken \(P(E) \to 1\) olması da beklendiği gibidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.9 (İki Rastgele Nokta ve Yakınlık) \(k\) uzunluğundaki \(AB\) doğru parçası üzerinde rastgele \(L\) ve \(M\) noktaları işaretleniyor. \(L\) noktasının \(M\) noktasına, \(A\) noktasına olduğundan daha yakın olması olasılığını uygun bir olasılık uzayı kurarak bulunuz.
Çözüm
\(\ell = |AL|\) ve \(m = |AM|\) olsun; sonuç \((\ell, m) \in [0, k] \times [0, k]\) noktasıdır ve kenarı \(k\) olan kare üzerinde düzgün dağılır; olasılık ölçüsü alan bölü \(k^2\)’dir. Hesabı sadeleştirmek için \(u = \ell / k\), \(v = m / k\) ölçeklemesini yapalım: \((u, v)\) noktası birim kare \(\Omega = [0, 1] \times [0, 1]\) üzerinde düzgün dağılır (ölçekleme bütün alanları aynı çarpanla çarptığından oranlar değişmez) ve \(P(D) = \text{alan}(D)\) olur.
Sorulan olay \(|LM| < |AL|\), yani \(|\ell - m| < \ell\); ölçekli değişkenlerle \(|u - v| < u\)’dur. Mutlak değeri açalım:
\[|u - v| < u \iff -u < v - u < u \iff 0 < v < 2u.\]
\(v \ge 0\) zaten sağlandığından ve \(v = 0\) doğrusunun alanı \(0\) olduğundan olay
\[E = \{(u, v) \in \Omega : v < 2u\}\]
bölgesidir. Tümleyeni \(E^c = \{(u, v) \in \Omega : v \ge 2u\} = \{(u, v) \in \Omega : u \le v/2\}\), köşeleri \((0, 0)\), \((0, 1)\) ve \((\tfrac{1}{2}, 1)\) olan üçgendir; alanı
\[\text{alan}(E^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}.\]
Dolayısıyla
\[P(E) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\]
Sonuç \(k\)’den bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
4.5 Alıştırmalar
Alıştırma 4.1 (Olasılık Uzayı Örnekleri) a) Hileli bir zarda \(i\) yüzünün gelme ağırlığı \(p_i = \dfrac{i}{21}\), \(i = 1, \ldots, 6\) olsun. Bunun bir olasılık uzayı tanımladığını gösteriniz; çift sayı gelme, \(5\) ya da \(6\) gelme ve asal sayı gelme olasılıklarını bulunuz.
b) \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots\}\) ve \(p_i = c\left(\dfrac{2}{3}\right)^i\), \(i = 1, 2, \ldots\) olsun. \(c\) sabitini belirleyiniz ve çift indisli sonuçlar kümesinin olasılığını bulunuz. Bu uzay hangi deneyi modeller?
c) \(F(x) = 0\) (\(x < 0\)), \(F(x) = \dfrac{x^2}{4}\) (\(0 \le x < 2\)), \(F(x) = 1\) (\(x \ge 2\)) fonksiyonunun bir dağılım fonksiyonu olduğunu gösteriniz; belirlediği \(P\) için \(P\big((1, 2]\big)\), \(P(\{2\})\), \(P\big([\tfrac{1}{2}, 1)\big)\) ve \(P\big((3, \infty)\big)\) değerlerini hesaplayınız.
d) \(F(x) = 0\) (\(x < 0\)), \(F(x) = \dfrac{1}{4}\) (\(0 \le x < 1\)), \(F(x) = \dfrac{3}{4}\) (\(1 \le x < 2\)), \(F(x) = 1\) (\(x \ge 2\)) olsun. \(P(\{0\})\), \(P(\{1\})\), \(P(\{2\})\), \(P\big((0, 2)\big)\), \(P\big([1, \infty)\big)\) ve \(P\big(\mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}\big)\) değerlerini bulunuz. Bu dağılım hangi deneyi modeller?
e) Birim kareden rastgele bir \((x, y)\) noktası seçiliyor. \(x + y \le 1\), \(|x - y| < \tfrac{1}{2}\) ve \(y > x^2\) olaylarının olasılıklarını bulunuz.
f) \(k\) uzunluğundaki bir çubuk rastgele bir noktasından kırılıyor. Uzun parçanın kısa parçanın en az iki katı olması olasılığı nedir?
Çözüm
a) Ağırlıklar pozitiftir ve \(\sum_{i=1}^{6} \dfrac{i}{21} = \dfrac{21}{21} = 1\) olduğundan Önerme 4.1 uygulanır. Çift sayı: \(\dfrac{2 + 4 + 6}{21} = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}\). \(5\) ya da \(6\): \(\dfrac{5 + 6}{21} = \dfrac{11}{21}\). Asal sayı (\(2, 3, 5\)): \(\dfrac{2 + 3 + 5}{21} = \dfrac{10}{21}\).
b) Geometrik seri ile \(\sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^i = \dfrac{2/3}{1 - 2/3} = 2\); toplamın \(1\) olması için \(c = \dfrac{1}{2}\) olmalıdır. Böylece \(p_i = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^i = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{i-1}\). Çift indisler:
\[\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2j} = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^j = \frac{1}{2} \cdot \frac{4/9}{1 - 4/9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}.\]
Model: düzgün bir zar, ilk kez \(5\) ya da \(6\) gelinceye kadar atılıyor; \(\omega_i\), “ilk \(5\) ya da \(6\)’nın \(i\)-inci atışta gelmesi”. \(i\) atışlık \(6^i\) eşit olasılıklı diziden uygun olanlar \(4^{i-1} \cdot 2\) tanedir; Laplace formülü \(\dfrac{2 \cdot 4^{i-1}}{6^i} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{i-1}\) verir.
c) \(\dfrac{x^2}{4}\), \([0, 2)\) üzerinde artandır ve \(0\)’dan \(1\)’e gider; parça uçlarında \(F(0) = 0\) ve \(\lim_{x \to 2^-} F(x) = 1 = F(2)\) olduğundan \(F\) süreklidir, dolayısıyla sağdan sürekli ve azalmayandır; \(x < 0\) için \(0\), \(x \ge 2\) için \(1\) olduğundan limit koşulları sağlanır. Hesaplar: \(P\big((1, 2]\big) = F(2) - F(1) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\); \(F\) sürekli olduğundan \(P(\{2\}) = 0\); \(P\big([\tfrac{1}{2}, 1)\big) = F(1^-) - F(\tfrac{1}{2}^-) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16}\); \(P\big((3, \infty)\big) = 1 - F(3) = 0\).
d) Sıçramalar: \(P(\{0\}) = F(0) - F(0^-) = \dfrac{1}{4}\), \(P(\{1\}) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\), \(P(\{2\}) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\). \(P\big((0, 2)\big) = F(2^-) - F(0) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\), ki bu \(P(\{1\})\)’e eşittir. \(P\big([1, \infty)\big) = 1 - F(1^-) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\). Üç noktanın olasılıkları \(1\)’e toplandığından \(P\big(\mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}\big) = 0\). Model: iki düzgün para atılıp gelen tura sayısı gözleniyor; \(\{YY, YT, TY, TT\}\) Laplace uzayında \(0, 1, 2\) tura sayılarının olasılıkları \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\)’tür.
e) \(\Omega\) birim kare, \(P\) alan. \(x + y \le 1\): köşeleri \((0,0), (1,0), (0,1)\) olan üçgen, alanı \(\dfrac{1}{2}\). \(|x - y| < \tfrac{1}{2}\): tümleyeni \(y - x \ge \tfrac{1}{2}\) ve \(x - y \ge \tfrac{1}{2}\) bölgeleridir; her biri dik kenarları \(\tfrac{1}{2}\) olan bir üçgendir, alanları \(\dfrac{1}{8}\); olasılık \(1 - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{4}\). \(y > x^2\): parabolün üstünde kalan bölge, alanı \(\int_0^1 (1 - x^2)\,dx = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).
f) Kırılma noktası \(x \in [0, k]\) düzgün dağılsın; parçalar \(x\) ve \(k - x\), kısa parça \(s = \min(x, k - x)\), uzun parça \(k - s\). Koşul \(k - s \ge 2s\), yani \(s \le \dfrac{k}{3}\); bu da \(x \le \dfrac{k}{3}\) ya da \(x \ge \dfrac{2k}{3}\) demektir. Uygun kümenin uzunluğu \(\dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{3} = \dfrac{2k}{3}\), olasılık \(\dfrac{2}{3}\).
\(\blacksquare\)
Laplace formülü olasılık hesabını \(n(A)\) ve \(n(\Omega)\) sayılarını bulmaya indirger; örnek uzay büyüdüğünde bu sayma için sistematik yöntemler gerekir: Sayma Teknikleri.