1 Rastgele Deney, Örnek Uzay ve Olaylar
Bir zar attığımızda hangi yüzün üste geleceğini önceden bilemeyiz. Yine de bu işlem hakkında söyleyebileceğimiz kesin şeyler vardır: olabilir sonuçlar \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)’dır; zar düzgünse hiçbir yüzün ötekine üstünlüğü yoktur; zarı çok kez atarsak altı gelme sıklığının \(\frac{1}{6}\) dolayında toplandığını gözleriz. Olasılık teorisi, sonucu önceden bilinemeyen olguları bu türden kesin ifadelerle betimleyen ve bu ifadelerden ispatlanabilir sonuçlar çıkaran matematik dalıdır. Bunun için üç nesne kurulur: olabilir sonuçların kümesi olan örnek uzay, bu kümenin olay adı verilen alt kümeleri ve her olaya, olayın olasılığı denen, \(0\) ile \(1\) arasında bir sayı karşılık getiren bir fonksiyon. Bu üçlünün uyması gereken kurallar 1933’te Andrey Kolmogorov tarafından birkaç aksiyomla belirlenmiştir; teorinin bütün sonuçları bu aksiyomlardan türetilir. Teori bir kez kurulduktan sonra “zarı çok kez atınca sıklık \(\frac{1}{6}\)’ya yaklaşır” türünden gözlemler birer sezgi olmaktan çıkar, ispatlanan teoremlere dönüşür.
Kitap beş kısımdan oluşur. Birinci kısımda olasılık uzayı kurulur: örnek uzay ve olaylar, olayları bir arada tutan \(\sigma\)-cebirler, Kolmogorov aksiyomları, sonlu ve geometrik örnek uzaylar, sayma teknikleri, koşullu olasılık, Bayes teoremi ve bağımsızlık. İkinci kısımda deneyin sonucuna bir sayı karşılık getiren rastgele değişkenler ile onların dağılım fonksiyonları, kesikli ve sürekli hâlleriyle incelenir. Üçüncü kısım birden çok rastgele değişkeni birlikte ele alan rastgele vektörlere, ortak ve koşullu dağılımlara ve bunların dönüşümlerine ayrılmıştır. Dördüncü kısımda beklenen değer, varyans, kovaryans ve korelasyon ile moment üreten ve karakteristik fonksiyonlar gelir. Beşinci kısım uygulamada en sık karşılaşılan dağılımları, Bernoulli, binom, Poisson, geometrik, negatif binom, hipergeometrik, düzgün, üstel ve normal dağılımları, toplu olarak inceler.
Bu ilk bölümde yapının en alt katını döşüyoruz. Rastgele deney, örnek uzay ve olay kavramlarını tanımlayacak; sonlu, sayılabilir sonsuz ve sayılamaz örnek uzaylara birer örnek verecek; olaylar arasında “ve”, “veya”, “değil” bağlaçlarıyla kurulan işlemleri küme işlemlerine çevirecek ve bu işlemlerin uyduğu kuralları ispatlayacağız. Bölümün sonunda olayların toplandığı sınıf ve kuvvet kümesi kavramları gelir; bunlar, bir sonraki bölümde tanımlanacak olan \(\sigma\)-cebirin hazırlığıdır.
1.1 Rastgele Deney ve Örnek Uzay
Günlük dilde “deney” denince laboratuvar akla gelir; olasılık teorisinde sözcük çok daha geniş anlamda kullanılır. Zar atmak, bir madeni parayı fırlatmak, yarın öğlen sıcaklığı ölçmek, bir ampulün ömrünü gözlemek, üretim bandından rastgele seçilen bir parçanın kusurlu olup olmadığına bakmak: bunların hepsi bir deneydir. Ortak yanları şudur: ne olabileceğini önceden biliriz, ne olacağını bilmeyiz.
Tanım 1.1 (Rastgele Deney) Olabilir sonuçlarının kümesi önceden belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme rastgele deney (rastgele sonuçlu deney) ya da kısaca deney denir.
Tanımda iki koşul vardır: olabilir sonuçların kümesi belli olmalı ve hangi sonucun çıkacağı önceden söylenememelidir. Bir zarın atılması ikisini de sağlar. Deniz düzeyinde suyun kaç derecede kaynadığını ölçmek ikinci koşulu sağlamaz: sonuç önceden bilinir. “Bir kişinin aklına gelen ilk şeyi söylemesi” ise birinci koşulu sağlamaz: olabilir sonuçların kümesi belli değildir. Olasılık teorisinin dışında kalanlar, birinci koşulu sağlamayan işlemlerdir. Sonucu önceden bilinen işlemler rastgele deney değildir; yine de tek sonuçlu bir örnek uzayla teorinin diline çevrilebilir ve yozlaşmış birer özel hâl olarak hiçbir güçlük çıkarmazlar.
Tanım 1.2 (Örnek Uzay) Bir rastgele deneyin bütün olabilir sonuçlarının kümesine deneyin örnek uzayı (örneklem uzayı) denir ve \(\Omega\) ile gösterilir. \(\Omega\)’nın her \(\omega\) elemanına deneyin bir sonucu ya da bir örnek noktası denir.
Deney yapıldığında \(\Omega\)’nın tam olarak bir elemanı ortaya çıkar: sonuçlar birbirini dışlar ve \(\Omega\) olabilir sonuçların hepsini kapsar. Örnek uzay sonlu, sayılabilir sonsuz ya da sayılamaz olabilir; aşağıdaki üç örnek sırasıyla bu üç durumu gösterir.
Tanım 1.3 (Olay) \(\Omega\) örnek uzayının her alt kümesine bir olay denir. Deneyin sonucu \(\omega\) olduğunda, \(\omega \in A\) ise \(A\) olayı gerçekleşti, \(\omega \notin A\) ise \(A\) olayı gerçekleşmedi denir. Özel olarak \(\Omega\)’ya kesin olay, \(\varnothing\)’e imkânsız olay, tek elemanlı \(\{\omega\}\) kümelerine basit olay denir.
Kesin olay her deneyde gerçekleşir, çünkü sonuç ne olursa olsun \(\Omega\)’nın elemanıdır; imkânsız olay hiçbir zaman gerçekleşmez, çünkü hiçbir sonuç \(\varnothing\)’in elemanı değildir. Bir sonuç ile bir basit olay arasındaki farka dikkat edelim: \(\omega\) örnek uzayın bir elemanıdır, \(\{\omega\}\) ise örnek uzayın bir alt kümesidir. Olasılık ölçüsü olaylar, yani kümeler üzerinde tanımlanacağı için “\(\omega\) sonucunun olasılığı” denince kastedilen her zaman \(\{\omega\}\) basit olayının olasılığıdır.
Tanımda “her alt kümesi” dedik. Sonlu örnek uzaylarda bu kararın hiçbir sakıncası yoktur. Sayılamaz örnek uzaylarda ise, ileride görüleceği gibi, her alt kümeye aralık uzunluğuyla uyumlu tutarlı bir olasılık atamak mümkün olmaz; bu yüzden hangi alt kümelerin olay sayılacağı ayrıca seçilir. Bu seçimin uyması gereken kurallar \(\sigma\)-cebir kavramıyla (Tanım 2.2) verilir. Bu bölümde bütün alt kümeleri olay saymaya devam edeceğiz.
Örnek 1.1 (Zar Atma Deneyi ve Olayları) Düzgün bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzün gözlenmesi bir rastgele deneydir. Olabilir sonuçlar altı yüzdür; örnek uzay
\[\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]
kümesidir. Bu deneyle ilgili olaylardan bazıları şunlardır:
\(A = \{1\}\): bir gelmesi olayı,
\(B = \{1, 3, 5\}\): tek sayı gelmesi olayı,
\(C = \{1, 2, 3\}\): dörtten küçük bir sayı gelmesi olayı,
\(D = \{6\}\): altı gelmesi olayı,
\(G = D^c = \{1, 2, 3, 4, 5\}\): altı gelmemesi olayı,
\(H = A \cup D = \{1, 6\}\): bir veya altı gelmesi olayı,
\(I = B \cap C = \{1, 3\}\): tek ve dörtten küçük bir sayı gelmesi olayı.
Zar \(3\) gelirse \(B\), \(C\), \(G\) ve \(I\) olayları gerçekleşir; \(A\), \(D\) ve \(H\) gerçekleşmez. Zar \(6\) gelirse yalnız \(D\) ve \(H\) gerçekleşir. \(A\) ve \(D\) basit olaylardır; \(H\), bu iki basit olayın birleşimidir. \(\Omega\)’nın \(2^6 = 64\) alt kümesi vardır (Önerme 1.2) ve bunların her biri bu deneyin bir olayıdır; yukarıdakiler bunlardan yalnızca yedisidir.
Aynı fiziksel işlem için birden çok örnek uzay yazılabilir; seçim, neyi gözlediğimize bağlıdır. Zar örneğinde yalnızca gelen sayının tek mi çift mi olduğuyla ilgileniyorsak \(\Omega' = \{\text{tek}, \text{çift}\}\) de bir örnek uzaydır. Ama bu uzayda “bir gelmesi” bir olay değildir; sorulabilecek sorular kabalaşmıştır. Kural şudur: örnek uzay, yanıtını merak ettiğimiz her sorunun bir olaya karşılık geleceği kadar ince seçilmelidir. Aşağıdaki sıcaklık örneğinde \(-10\) ile \(35\) sınırları da bir seçimdir; \(\Omega = \mathbb{R}\) almak da mümkündür.
Örnek 1.2 (Tura Gelinceye Kadar Para Atma Deneyi) Bir madeni paranın tura gelinceye kadar atılması deneyini ele alalım; yazı \(Y\), tura \(T\) ile gösterilsin. Deney ilk turada biter ve sonuç, o ana kadar gözlenen dizidir:
\[\Omega = \{T,\ YT,\ YYT,\ YYYT,\ YYYYT,\ \ldots\}.\]
\(n\)-inci sonucu \(\omega_n\) ile gösterelim: \(\omega_n\), \(n - 1\) tane yazının ardından bir turadan oluşan dizidir; \(\omega_1 = T\), \(\omega_2 = YT\), \(\omega_3 = YYT\) ve böyle sürer. Böylece \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \ldots\}\) sayılabilir sonsuz bir kümedir. Bu deneyle ilgili olaylardan bazıları şunlardır:
\(A = \{T\} = \{\omega_1\}\): ilk atışta tura gelmesi olayı,
\(B = \{T, YT, YYT\} = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}\): dördüncü atıştan önce tura gelmesi olayı,
\(C = \{\omega_2, \omega_4, \omega_6, \ldots\}\): turanın çift sayılı bir atışta gelmesi olayı,
\(B^c = \{\omega_4, \omega_5, \omega_6, \ldots\}\): en az dört atış gerekmesi olayı.
\(\Omega\) sonsuz olduğundan bu deneyle ilgili sonsuz tane olay tanımlanabilir. Örneğin her \(n \ge 2\) için “tura \(n\)-inci atışta gelir” basit olayı \(\{\omega_n\}\) ile “tura en geç \(n\)-inci atışta gelir” olayı \(\{\omega_1, \ldots, \omega_n\}\) birbirinden farklı olaylardır ve \(n\) değiştikçe her biri değişir. (\(n = 1\) için bu iki olay çakışır: ikisi de \(\{\omega_1\}\)’dir.)
Örnek uzayı yazarken paranın hiç tura gelmemesi, yani sonsuz yazı dizisi, dışarıda bırakıldı. Bu bir seçimdir; istenirse bu dizi de \(\Omega\)’ya bir sonuç olarak eklenebilir. Olasılık ölçüsü kurulduğunda bu sonucun olasılığının sıfır olduğu görülecektir; bu yüzden onu dışarıda bırakmak hiçbir hesabı değiştirmez.
Örnek 1.3 (Sıcaklık Gözleme Deneyi) Yarın saat 12’de hava sıcaklığının santigrat derece olarak gözlenmesi bir rastgele deneydir. Sıcaklığın \(-10\) ile \(35\) derece arasında kalacağını varsayarsak örnek uzay
\[\Omega = \{t : -10 < t < 35\} = (-10, 35)\]
aralığıdır. Bu küme sayılamazdır. Bu deneyle ilgili olaylardan bazıları şunlardır:
\(A = \{t : 15 < t < 25\} = (15, 25)\): sıcaklığın \(15\) ile \(25\) derece arasında olması olayı,
\(B = \{t : t = 10\} = \{10\}\): sıcaklığın tam \(10\) derece olması olayı,
\(C = \{t : t \le 0\} = (-10, 0]\): sıcaklığın sıfırın altında ya da sıfır olması olayı,
\(A^c = (-10, 15] \cup [25, 35)\): sıcaklığın \(15\) ile \(25\) derece arasında olmaması olayı.
\(\Omega\)’nın her alt aralığı, her tek elemanlı alt kümesi ve aralıkların her birleşimi bir olaydır; dolayısıyla bu deneyle ilgili de sonsuz tane olay vardır. \(A \cap B = \varnothing\) olduğuna dikkat edelim: sıcaklık aynı anda hem \(10\) derece hem de \(15\) ile \(25\) arasında olamaz.
1.2 Olaylar Üzerinde İşlemler
Zar örneğinde “bir veya altı gelmesi” ile “tek ve dörtten küçük bir sayı gelmesi” olaylarını yazarken bağlaçları küme işlemlerine çevirdik: “veya” birleşim, “ve” kesişim oldu; “altı gelmemesi” ise tümleyendi. Bu çeviri, olaylar hakkında konuşurken kullandığımız dilin tamamını küme kuramına taşır. Şimdi bunu genel olarak yapalım.
Tanım 1.4 (Olaylar Üzerinde İşlemler) \(\Omega\) örnek uzayında \(A\) ve \(B\) iki olay olsun.
(i) Birleşim. \(A \cup B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ veya } \omega \in B\}\) olayına “\(A\) veya \(B\) olayı” denir. \(A \cup B\)’nin gerçekleşmesi, \(A\) ile \(B\)’den en az birinin gerçekleşmesi demektir.
(ii) Kesişim. \(A \cap B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ ve } \omega \in B\}\) olayına “\(A\) ve \(B\) olayı” denir. \(A \cap B\)’nin gerçekleşmesi, \(A\) ile \(B\)’nin ikisinin birden gerçekleşmesi demektir.
(iii) Tümleyen. \(A^c = \Omega \setminus A = \{\omega \in \Omega : \omega \notin A\}\) olayına “\(A\) değil olayı” ya da \(A\)’nın tümleyeni denir. \(A^c\)’nin gerçekleşmesi, \(A\)’nın gerçekleşmemesi demektir.
(iv) Fark. \(A \setminus B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ ve } \omega \notin B\}\) olayına \(A\) ile \(B\)’nin farkı denir. \(A \setminus B\)’nin gerçekleşmesi, \(A\)’nın gerçekleşip \(B\)’nin gerçekleşmemesi demektir.
(v) Ayrık olaylar. \(A \cap B = \varnothing\) ise \(A\) ile \(B\)’ye ayrık (bağdaşmaz) olaylar denir: ikisi birden gerçekleşemez.
(vi) Gerektirme. \(A \subseteq B\) ise “\(A\) olayı \(B\) olayını gerektirir” denir: \(A\) gerçekleştiğinde \(B\) de gerçekleşir.
Sayılabilir bir olay ailesi \(A_1, A_2, A_3, \ldots\) için
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \{\omega \in \Omega : \text{en az bir } n \text{ için } \omega \in A_n\}, \qquad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \{\omega \in \Omega : \text{her } n \text{ için } \omega \in A_n\}\]
olayları sırasıyla “\(A_n\)’lerden en az biri” ve “\(A_n\)’lerin hepsi” olaylarıdır.
Sözlük biçiminde toplarsak:
| Dilde | Küme olarak | Gerçekleşme koşulu |
|---|---|---|
| \(A\) veya \(B\) | \(A \cup B\) | en az biri gerçekleşir |
| \(A\) ve \(B\) | \(A \cap B\) | ikisi birden gerçekleşir |
| \(A\) değil | \(A^c\) | \(A\) gerçekleşmez |
| \(A\) ama \(B\) değil | \(A \setminus B\) | \(A\) gerçekleşir, \(B\) gerçekleşmez |
| \(A\) ile \(B\) birlikte olamaz | \(A \cap B = \varnothing\) | ayrık olaylar |
| \(A\) ise \(B\) | \(A \subseteq B\) | \(A\) gerçekleşince \(B\) de gerçekleşir |
| \(A_n\)’lerden en az biri | \(\bigcup_n A_n\) | bir \(n\) için \(A_n\) gerçekleşir |
| \(A_n\)’lerin hepsi | \(\bigcap_n A_n\) | her \(n\) için \(A_n\) gerçekleşir |
Bu sözlüğün değeri şuradadır: olasılık ölçüsünün aksiyomları yalnız birleşim ve tümleyen üzerinden yazılacak, ama “en az biri”, “hepsi”, “hiçbiri”, “tam olarak biri” gibi bütün günlük ifadeler bu tabloya bakılarak kümelere çevrilebilecektir.
Zar deneyinde \(A = \{1\}\) ve \(D = \{6\}\) ayrık olaylardır: zar aynı anda hem bir hem altı gelemez. Ama \(A\), \(D\)’nin tümleyeni değildir; \(D^c = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) kümesi \(A\)’dan çok daha büyüktür. Tümleyen olmak, ayrık olmanın ötesinde birleşimin bütün örnek uzayı doldurmasını ister: \(A \cap B = \varnothing\) ve \(A \cup B = \Omega\) ise \(B = A^c\)’dir. Ayrık olaylar için yalnız birinci koşul vardır. Zar \(3\) geldiğinde ne \(A\) ne \(D\) gerçekleşir; oysa bir olayla tümleyeninden her deneyde tam olarak biri gerçekleşir.
Olaylar birer küme olduğundan küme işlemlerinin bütün kuralları olaylar için de geçerlidir. Bu kuralları burada bir araya toplayıp ispatlıyoruz, çünkü sonraki bölümlerde \(\sigma\)-cebir özellikleri (Teorem 2.1) ve olasılık ölçüsünün özellikleri (Teorem 3.1) ispatlanırken hepsine sürekli başvurulacaktır; özellikle De Morgan kuralları, “birleşim altında kapalı” olmakla “kesişim altında kapalı” olmak arasında köprü kuracaktır. İspatlar tek bir yönteme dayanır: iki kümenin eşit olduğunu göstermek için keyfî bir \(\omega\) alınır ve \(\omega\)’nın birinci kümede olmasının ikinci kümede olmasıyla eşdeğer olduğu gösterilir.
Önerme 1.1 (Olay Cebrinin Özellikleri) \(\Omega\) örnek uzayında \(A\), \(B\), \(C\) olaylar ve \(A_1, A_2, A_3, \ldots\) bir olay dizisi olsun.
(a) Değişme: \(A \cup B = B \cup A\) ve \(A \cap B = B \cap A\).
(b) Birleşme: \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) ve \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\).
(c) Dağılma: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) ve \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
(d) Tümleyen: \((A^c)^c = A\), \(A \cup A^c = \Omega\), \(A \cap A^c = \varnothing\), \(\Omega^c = \varnothing\) ve \(\varnothing^c = \Omega\).
(e) De Morgan kuralları: \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\) ve \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\); daha genel olarak
\[\Bigl( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \Bigr)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c, \qquad \Bigl( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \Bigr)^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c.\]
(f) Ayrıştırma: \(A \setminus B = A \cap B^c\); \(A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)\) ve \(A \cup B = A \cup (B \setminus A)\) eşitliklerinde sağ taraftaki iki olay ayrıktır.
İspat
Bütün ispatlarda \(\omega \in \Omega\) keyfî bir sonuçtur.
(a) “\(\omega \in A\) veya \(\omega \in B\)” önermesi ile “\(\omega \in B\) veya \(\omega \in A\)” önermesi aynı şeyi söyler; dolayısıyla \(\omega \in A \cup B \Leftrightarrow \omega \in B \cup A\) olur. “Ve” bağlacı için aynı akıl yürütme kesişimi verir.
(b) \(\omega \in (A \cup B) \cup C\) olması, \(\omega\)’nın \(A \cup B\) kümesinde ya da \(C\)’de olması, yani \(A\), \(B\), \(C\) kümelerinden en az birinde bulunması demektir. \(\omega \in A \cup (B \cup C)\) olması da tam olarak bunu söyler. Kesişim için: \(\omega \in (A \cap B) \cap C\) olması, \(\omega\)’nın üç kümenin her birinde bulunması demektir; \(\omega \in A \cap (B \cap C)\) de aynı koşuldur.
(c) Birinci eşitlik. \(\omega \in A \cap (B \cup C)\) olsun. O hâlde \(\omega \in A\) ve \(\omega \in B \cup C\)’dir; ikincisi \(\omega \in B\) ya da \(\omega \in C\) demektir. \(\omega \in B\) ise \(\omega \in A \cap B\), \(\omega \in C\) ise \(\omega \in A \cap C\) olur; her iki hâlde de \(\omega \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\)’dir. Tersine \(\omega \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\) olsun. \(\omega \in A \cap B\) ise \(\omega \in A\) ve \(\omega \in B \subseteq B \cup C\)’dir; \(\omega \in A \cap C\) ise \(\omega \in A\) ve \(\omega \in C \subseteq B \cup C\)’dir. Her iki hâlde de \(\omega \in A \cap (B \cup C)\) olur.
İkinci eşitlik. \(\omega \in A \cup (B \cap C)\) olsun. \(\omega \in A\) ise \(\omega\) hem \(A \cup B\) hem \(A \cup C\) kümesindedir. \(\omega \in B \cap C\) ise \(\omega \in B \subseteq A \cup B\) ve \(\omega \in C \subseteq A \cup C\)’dir. Her iki hâlde de \(\omega \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\) olur. Tersine \(\omega \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\) olsun. \(\omega \in A\) ise iş bitmiştir. \(\omega \notin A\) ise \(\omega \in A \cup B\) olması \(\omega \in B\)’yi, \(\omega \in A \cup C\) olması \(\omega \in C\)’yi gerektirir; dolayısıyla \(\omega \in B \cap C \subseteq A \cup (B \cap C)\) olur.
(d) Tanım gereği \(\omega \in (A^c)^c \Leftrightarrow \omega \notin A^c \Leftrightarrow \omega \in A\); yani \((A^c)^c = A\). Her \(\omega \in \Omega\) için “\(\omega \in A\)” ile “\(\omega \notin A\)” önermelerinden tam olarak biri doğrudur. En az biri doğru olduğundan her \(\omega\), \(A \cup A^c\) kümesindedir: \(A \cup A^c = \Omega\). İkisi birden doğru olamadığından hiçbir \(\omega\), \(A \cap A^c\) kümesinde değildir: \(A \cap A^c = \varnothing\). Son olarak \(\Omega^c = \{\omega \in \Omega : \omega \notin \Omega\} = \varnothing\) ve \(\varnothing^c = \{\omega \in \Omega : \omega \notin \varnothing\} = \Omega\)’dır.
(e) Önce genel biçimin birincisini gösterelim:
\[\omega \in \Bigl( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \Bigr)^c \Leftrightarrow \omega \notin \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \Leftrightarrow \text{hiçbir } n \text{ için } \omega \in A_n \text{ değil} \Leftrightarrow \text{her } n \text{ için } \omega \in A_n^c \Leftrightarrow \omega \in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c.\]
İkincisi birincisinden çıkar: birinci kuralı \(A_n^c\) dizisine uygulayıp (d)’deki \((A_n^c)^c = A_n\) eşitliğini kullanırsak
\[\Bigl( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \Bigr)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} (A_n^c)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\]
olur; iki yanın tümleyenini alıp yine (d)’yi kullanınca \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c = \bigl( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \bigr)^c\) elde edilir. İki olay için verilen kurallar bunun özel hâlidir: dizide \(A_1 = A\) ve her \(n \ge 2\) için \(A_n = B\) alınırsa \(\bigcup_n A_n = A \cup B\) ve \(\bigcap_n A_n = A \cap B\) olur; genel kurallar da \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\) ve \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\) biçimini alır.
(f) \(\omega \in A \setminus B\) olması, \(\omega \in A\) ve \(\omega \notin B\), yani \(\omega \in A\) ve \(\omega \in B^c\) olması demektir; bu da \(\omega \in A \cap B^c\)’dir.
\(A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)\) için: \(\omega \in A\) olsun. \(\omega \in B\) ise \(\omega \in A \cap B\), \(\omega \notin B\) ise \(\omega \in A \setminus B\) olur; her hâlde \(\omega\) sağ taraftadır. Tersine, sağ taraftaki iki küme de \(A\)’nın alt kümesidir. İki parça ayrıktır, çünkü bir \(\omega\) aynı anda hem \(B\)’de hem \(B\)’nin dışında olamaz.
\(A \cup B = A \cup (B \setminus A)\) için: \(B \setminus A \subseteq B\) olduğundan sağ taraf sol tarafın alt kümesidir. Tersine \(\omega \in A \cup B\) olsun. \(\omega \in A\) ise sağ taraftadır. \(\omega \notin A\) ise \(\omega \in B\) olmak zorundadır ve \(\omega \notin A\) olduğundan \(\omega \in B \setminus A\)’dır. \(A\) ile \(B \setminus A\) ayrıktır, çünkü \(B \setminus A \subseteq A^c\)’dir.
\(\blacksquare\)
Önermenin (f) şıkkındaki iki ayrıştırma ileride sık kullanılacaktır: bir olayı, başka bir olayla kesişen ve kesişmeyen parçalarına ayırmak, olasılık hesaplarında toplama kuralının (Teorem 3.2) ve toplam olasılık formülünün (Teorem 6.4) çıkış noktasıdır.
Kuralları somut bir örnekte doğrulayalım.
Örnek 1.4 (Zar Deneyinde De Morgan Kurallarının Doğrulanması) Örnek 1.1’ndeki \(B = \{1, 3, 5\}\) (tek sayı) ve \(C = \{1, 2, 3\}\) (dörtten küçük sayı) olayları için \((B \cup C)^c = B^c \cap C^c\) ve \((B \cap C)^c = B^c \cup C^c\) eşitliklerini kümeleri açıkça yazarak doğrulayınız; \(B \setminus C\) ve \(C \setminus B\) olaylarını bulup sözle ifade ediniz.
Çözüm
Önce tümleyenleri yazalım: \(B^c = \{2, 4, 6\}\) (çift sayı gelmesi) ve \(C^c = \{4, 5, 6\}\) (dörtten küçük olmayan sayı gelmesi).
Birinci kural. \(B \cup C = \{1, 2, 3, 5\}\) olduğundan \((B \cup C)^c = \{4, 6\}\)’dır. Öte yandan \(B^c \cap C^c = \{2, 4, 6\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4, 6\}\)’dır. İki küme eşittir. Sözle: “tek ya da dörtten küçük olmaması”, “çift ve dörtten küçük olmaması” ile aynı olaydır; her ikisi de zarın \(4\) ya da \(6\) gelmesi demektir.
İkinci kural. \(B \cap C = \{1, 3\}\) olduğundan \((B \cap C)^c = \{2, 4, 5, 6\}\)’dır. Öte yandan \(B^c \cup C^c = \{2, 4, 6\} \cup \{4, 5, 6\} = \{2, 4, 5, 6\}\)’dır. İki küme yine eşittir. Sözle: “hem tek hem dörtten küçük olmaması”, “çift ya da dörtten küçük olmaması” ile aynı olaydır.
Farklar. \(B \setminus C = B \cap C^c = \{1, 3, 5\} \cap \{4, 5, 6\} = \{5\}\): tek olup dörtten küçük olmayan sayı gelmesi, yani beş gelmesi olayı. \(C \setminus B = C \cap B^c = \{1, 2, 3\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2\}\): dörtten küçük olup tek olmayan sayı gelmesi, yani iki gelmesi olayı. Ayrıştırma kuralına göre \(B = (B \cap C) \cup (B \setminus C) = \{1, 3\} \cup \{5\}\) olmalıdır; gerçekten de bu birleşim \(\{1, 3, 5\} = B\)’dir ve parçalar ayrıktır.
\(\blacksquare\)
1.3 Sınıflar ve Kuvvet Kümesi
Bir deneyle ilgilendiğimiz olaylar genellikle tek tek değil, topluca ele alınır: olasılık ölçüsü, olayların hepsi üzerinde birden tanımlanan bir fonksiyon olacaktır. Bu yüzden olayları bir arada tutan nesneye bir ad vermek gerekir.
Tanım 1.5 (Sınıf) \(\Omega\) örnek uzayının bazı alt kümelerinden oluşan boş olmayan bir aileye \(\Omega\) üzerinde bir sınıf (olaylar sınıfı, olaylar ailesi) denir ve \(\mathcal{U}\) ile gösterilir. Bir sınıfın elemanları \(\Omega\)’nın alt kümeleri, yani olaylardır.
Zar deneyinde \(\mathcal{U}_1 = \{B, B^c\} = \{\{1, 3, 5\}, \{2, 4, 6\}\}\) yalnız tek-çift olaylarından oluşan bir sınıftır; \(\mathcal{U}_2 = \{\varnothing, D, D^c, \Omega\}\) altı gelip gelmemesiyle ilgili olayların sınıfıdır; tek elemanlı \(\mathcal{U}_3 = \{A\}\) da bir sınıftır. Sınıf tanımında hiçbir kapalılık koşulu yoktur: \(\mathcal{U}_1\), elemanlarının birleşimi olan \(\Omega\)’yı içermez ve yine de bir sınıftır. Kapalılık koşulları \(\sigma\)-cebir tanımıyla (Tanım 2.2) gelecektir.
Bu bölümde iç içe üç düzey vardır ve karıştırılmaları en sık yapılan hatadır. En altta sonuçlar vardır: \(\omega \in \Omega\). Bir üstte olaylar vardır: \(A \subseteq \Omega\), yani \(\omega \in A\). En üstte sınıflar vardır: \(A \in \mathcal{U}\). Zar deneyinde \(3\) bir sonuçtur, \(\{1, 3, 5\}\) bir olaydır, \(\{\{1, 3, 5\}, \{2, 4, 6\}\}\) bir sınıftır. Bir sonuç bir olayın elemanıdır; bir olay bir sınıfın elemanı, örnek uzayın ise alt kümesidir. “\(3 \in \mathcal{U}_1\)” ya da “\(\{1, 3, 5\} \subseteq \mathcal{U}_1\)” yazmak yanlıştır: bu iki önerme iyi tanımlıdır, ama ikisi de sağlanmaz; doğru yazım \(\{1, 3, 5\} \in \mathcal{U}_1\)’dir.
Tanım 1.6 (Kuvvet Kümesi) \(\Omega\) kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu sınıfa \(\Omega\)’nın kuvvet kümesi denir ve
\[\mathcal{P}(\Omega) = \{A : A \subseteq \Omega\}\]
ile gösterilir.
Kuvvet kümesi \(\Omega\) üzerindeki en büyük sınıftır: her sınıf için \(\mathcal{U} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) olur. \(\varnothing \subseteq \Omega\) ve \(\Omega \subseteq \Omega\) olduğundan \(\varnothing \in \mathcal{P}(\Omega)\) ve \(\Omega \in \mathcal{P}(\Omega)\)’dır. Örneğin \(\Omega = \{1, 2, 3\}\) için
\[\mathcal{P}(\Omega) = \bigl\{ \varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{3\},\ \{1, 2\},\ \{1, 3\},\ \{2, 3\},\ \{1, 2, 3\} \bigr\}\]
sekiz elemanlı bir sınıftır. Burada \(\varnothing\) ile \(\{\varnothing\}\) arasındaki fark önemlidir: \(\{\varnothing\}\), tek elemanı imkânsız olay olan bir sınıftır; boş küme değildir.
Sonlu bir örnek uzayın kaç olayı ve kaç sınıfı olduğunu kesin olarak sayabiliriz. Bu sayı, sonlu örnek uzaylarda “bütün alt kümeleri olay saymanın” ne kadar cömert bir karar olduğunu gösterir ve iki elemanlı bir örnek uzayın üzerinde bile on beş farklı sınıf kurulabildiğini görmemizi sağlar.
Önerme 1.2 (Kuvvet Kümesinin Eleman Sayısı ve Sınıf Sayısı) \(\Omega\), \(k\) elemanlı sonlu bir küme olsun; yani \(|\Omega| = k\).
(a) \(\Omega\)’nın \(2^k\) tane alt kümesi vardır: \(|\mathcal{P}(\Omega)| = 2^k\).
(b) \(\Omega\) üzerinde \(2^{2^k} - 1\) tane farklı sınıf tanımlanabilir.
İspat
(a) \(k\) üzerinden tümevarım yapalım. \(k = 0\) ise \(\Omega = \varnothing\)’dir ve tek alt kümesi \(\varnothing\)’dir; \(2^0 = 1\) ile uyuşur. Şimdi \(k\) elemanlı her kümenin \(2^k\) alt kümesi olduğunu varsayalım ve \(\Omega\), \(k + 1\) elemanlı olsun. \(\Omega\)’dan bir \(x\) elemanı seçip \(\Omega' = \Omega \setminus \{x\}\) diyelim; \(\Omega'\) kümesi \(k\) elemanlıdır, dolayısıyla varsayım gereği \(2^k\) alt kümesi vardır. \(\Omega\)’nın her \(A\) alt kümesi iki türden biridir:
\(x \notin A\) ise \(A \subseteq \Omega'\) olur; bu türden alt kümeler tam olarak \(\Omega'\) kümesinin alt kümeleridir ve sayıları \(2^k\)’dır.
\(x \in A\) ise \(A' = A \setminus \{x\}\) kümesi \(\Omega'\) kümesinin bir alt kümesidir ve \(A = A' \cup \{x\}\) olarak geri kazanılır. Tersine, her \(A' \subseteq \Omega'\) için \(A' \cup \{x\}\) kümesi \(x\)’i içeren bir alt kümedir. Öyleyse \(A \mapsto A \setminus \{x\}\) eşlemesi, \(x\)’i içeren alt kümeler ile \(\Omega'\) kümesinin alt kümeleri arasında birebir ve örten bir eşlemedir; bu türden alt kümelerin sayısı da \(2^k\)’dır.
Toplam \(2^k + 2^k = 2^{k+1}\) alt küme vardır; tümevarım tamamlanır. Sonucun sezgisel nedeni şudur: bir alt küme kurmak, \(\Omega\)’nın her elemanı için “alınsın” ya da “alınmasın” diye karar vermek demektir; \(k\) eleman için birbirinden bağımsız \(k\) ikili seçim, \(2^k\) farklı alt küme üretir.
(b) Bir sınıf, tanımı gereği, \(\Omega\)’nın alt kümelerinden oluşan boş olmayan bir ailedir; başka bir deyişle \(\mathcal{P}(\Omega)\)’nın boş olmayan bir alt kümesidir. (a) gereği \(\mathcal{P}(\Omega)\) kümesi \(2^k\) elemanlıdır; (a)’yı bu kez \(\mathcal{P}(\Omega)\) kümesine uygularsak \(\mathcal{P}(\Omega)\)’nın \(2^{2^k}\) tane alt kümesi olduğu bulunur. Bunlardan tam olarak biri, hiçbir alt küme içermeyen boş ailedir ve boş aile bir sınıf değildir. Geriye \(2^{2^k} - 1\) sınıf kalır.
\(\blacksquare\)
Formüldeki \(-1\)’in nedeni ispatta görüldü: \(\mathcal{P}(\Omega)\)’nın alt kümeleri arasında boş aile de vardır, ama sınıf tanımı boş olmayan aileleri kapsar. Bu ayrım yalnız bir sayma inceliği değildir. Boş aile hiçbir olay içermez; üzerinde olasılık ölçüsü tanımlanacak tek bir olay bile sunmaz. Öte yandan \(\{\varnothing\}\) sınıfı boş değildir: tek elemanı imkânsız olaydır. Sayılan \(2^{2^k} - 1\) sınıfın içinde \(\{\varnothing\}\) vardır, boş aile yoktur.
Sınıf sayısı örnek uzayın büyüklüğüyle çok hızlı büyür:
| \(\lvert \Omega \rvert = k\) | \(\lvert \mathcal{P}(\Omega) \rvert = 2^k\) | sınıf sayısı \(2^{2^k} - 1\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(2\) | \(4\) | \(15\) |
| \(3\) | \(8\) | \(255\) |
| \(4\) | \(16\) | \(65\,535\) |
| \(6\) | \(64\) | \(2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \cdot 10^{19}\) |
Altı elemanlı zar uzayı üzerinde bile sınıf sayısı yirmi basamaklıdır. Bir sonraki bölümde bu sınıfların arasından, olasılık ölçüsü tanımlamaya elverişli olanları, \(\sigma\)-cebirleri seçeceğiz; onların sayısı çok daha azdır. Şimdi en küçük ilginç durumu, iki elemanlı örnek uzayı, tam olarak inceleyelim.
Örnek 1.5 (İki Elemanlı Örnek Uzay Üzerindeki Bütün Sınıflar) \(\Omega = \{a, b\}\) olsun. \(\Omega\) üzerinde tanımlanabilecek bütün sınıfları belirleyiniz.
Çözüm
Önce kuvvet kümesini yazalım. \(\Omega\)’nın \(2^2 = 4\) alt kümesi vardır:
\[\mathcal{P}(\Omega) = \bigl\{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \Omega \bigr\}.\]
Bir sınıf, bu dört olaydan oluşan boş olmayan bir ailedir; Önerme 1.2 gereği \(2^4 - 1 = 15\) tane sınıf vardır. Bunları eleman sayısına göre sıralayarak listeleyelim.
Tek olaylı sınıflar (dört tane):
\(\mathcal{U}_1 = \{\varnothing\}\), \(\quad \mathcal{U}_2 = \{\{a\}\}\), \(\quad \mathcal{U}_3 = \{\{b\}\}\), \(\quad \mathcal{U}_4 = \{\Omega\}\).
İki olaylı sınıflar (altı tane; dört olaydan ikisini seçmenin altı yolu vardır):
\(\mathcal{U}_5 = \{\varnothing, \{a\}\}\), \(\quad \mathcal{U}_6 = \{\varnothing, \{b\}\}\), \(\quad \mathcal{U}_7 = \{\varnothing, \Omega\}\),
\(\mathcal{U}_8 = \{\{a\}, \{b\}\}\), \(\quad \mathcal{U}_9 = \{\{a\}, \Omega\}\), \(\quad \mathcal{U}_{10} = \{\{b\}, \Omega\}\).
Üç olaylı sınıflar (dört tane; her biri, dört olaydan birinin dışarıda bırakılmasıyla elde edilir):
\(\mathcal{U}_{11} = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}\}\), \(\quad \mathcal{U}_{12} = \{\varnothing, \{a\}, \Omega\}\),
\(\mathcal{U}_{13} = \{\varnothing, \{b\}, \Omega\}\), \(\quad \mathcal{U}_{14} = \{\{a\}, \{b\}, \Omega\}\).
Dört olaylı sınıf (bir tane):
\(\mathcal{U}_{15} = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \Omega\} = \mathcal{P}(\Omega)\).
Toplam \(4 + 6 + 4 + 1 = 15\) sınıf bulundu; on altıncı aile olan boş aile sınıf sayılmadığından liste tamdır. Bu on beş sınıfın tam olarak sekizi \(\Omega\)’yı içerir: \(\mathcal{U}_4\), \(\mathcal{U}_7\), \(\mathcal{U}_9\), \(\mathcal{U}_{10}\), \(\mathcal{U}_{12}\), \(\mathcal{U}_{13}\), \(\mathcal{U}_{14}\) ve \(\mathcal{U}_{15}\). Bunun nedeni, \(\Omega\)’yı içeren bir ailenin geri kalan üç olaydan istenen herhangi bir alt kümesiyle tamamlanabilmesidir: \(2^3 = 8\) seçenek.
Bu on beş sınıftan yalnız ikisi, \(\mathcal{U}_7 = \{\varnothing, \Omega\}\) ile \(\mathcal{U}_{15} = \mathcal{P}(\Omega)\), bir sonraki bölümde tanımlanacak \(\sigma\)-cebir koşullarını sağlar. Örneğin \(\mathcal{U}_{12} = \{\varnothing, \{a\}, \Omega\}\) sınıfı, \(\{a\}\) olayını içerdiği hâlde onun tümleyeni olan \(\{b\}\) olayını içermediği için elenecektir.
\(\blacksquare\)
Sonlu bir örnek uzayda bütün alt kümeleri olay saymanın bir sakıncası yoktur; sıcaklık deneyindeki gibi sayılamaz bir örnek uzayda ise durum değişir.
1.4 Alıştırmalar
Alıştırma 1.1 (Rastgele Deney, Örnek Uzay ve Olaylar Üzerine) a) Biri \(1\) liralık, öteki \(50\) kuruşluk iki madeni para birlikte atılıyor ve her birinin üste gelen yüzü gözleniyor. Örnek uzayı yazınız. \(E_1\) en az bir tura gelmesi, \(E_2\) tam olarak bir tura gelmesi, \(E_3\) hiç tura gelmemesi olayları olsun. \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\), \(E_1^c\) ve \(E_1 \setminus E_2\) olaylarını küme olarak yazınız. \(E_2\), \(E_1\)’i gerektirir mi? Bu deneyin kaç olayı ve örnek uzayı üzerinde kaç sınıf vardır?
b) Örnek 1.1’ndeki \(B = \{1, 3, 5\}\), \(C = \{1, 2, 3\}\) ve \(D = \{6\}\) olayları için \(B \cup D\), \(B^c \cap C\), \((B \cup D)^c\), \(C^c \setminus D\) ve \(B \cap D\) olaylarını küme olarak yazıp sözle ifade ediniz. \(B\) ile \(D\) ayrık mıdır? \(D\) olayı \(C^c\) olayını gerektirir mi?
c) Örnek 1.2’daki gösterimle \(E\) turanın en erken üçüncü atışta gelmesi, \(F\) turanın tek sayılı bir atışta gelmesi ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(G_n\) turanın en geç \(n\)-inci atışta gelmesi olayı olsun. \(E\), \(F\) ve \(G_n\) olaylarını küme olarak yazınız. \(E = (\{\omega_1\} \cup \{\omega_2\})^c\), \(F^c = C\), \(G_n = \bigcup_{k=1}^{n} \{\omega_k\}\), \(\bigcup_{n=1}^{\infty} G_n = \Omega\) ve \(\bigcap_{n=1}^{\infty} G_n^c = \varnothing\) olduğunu gösteriniz.
d) Örnek 1.3’ndeki \(A = (15, 25)\) ve \(B = \{10\}\) olayları ile yeni bir \(K = \{t : t \ge 20\}\) olayı verilsin. \(A \cap K\), \(A \cup K\), \(A \setminus K\), \(K \setminus A\), \(A^c \cap K^c\) ve \(A \cap B\) olaylarını aralık olarak yazıp sözle ifade ediniz.
e) \(\Omega\) örnek uzayında \(A\) ve \(B\) olaylar olsun. Şunları ispatlayınız: (i) \(A \subseteq B\), \(A \cap B = A\) ve \(A \cup B = B\) önermeleri birbirine denktir; (ii) \(A \subseteq B\) ise \(B^c \subseteq A^c\)’dir; (iii) \(A \setminus B\), \(A \cap B\) ve \(B \setminus A\) olayları ikişer ikişer ayrıktır ve \(A \cup B = (A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A)\)’dır.
f) \(A\), \(B\), \(C\) üç olay olsun. “En az biri gerçekleşir”, “hepsi gerçekleşir”, “hiçbiri gerçekleşmez”, “yalnız \(A\) gerçekleşir”, “tam olarak biri gerçekleşir”, “en az ikisi gerçekleşir” ve “en çok biri gerçekleşir” olaylarını \(A\), \(B\), \(C\) cinsinden küme işlemleriyle yazınız. “Hiçbiri gerçekleşmez” olayının “en az biri gerçekleşir” olayının tümleyeni olduğunu De Morgan kuralıyla doğrulayınız.
g) \(\Omega = \{a, b, c\}\) olsun. \(\mathcal{P}(\Omega)\)’yı yazınız. \(\Omega\) üzerinde kaç sınıf vardır? Bunlardan kaçı \(\Omega\)’yı içerir? Kaçı hem \(\varnothing\)’i hem \(\Omega\)’yı içerir? Kaçı yalnız basit olaylardan oluşur?
Çözüm
a) Sonucu, birinci harf \(1\) liralık paranın, ikinci harf \(50\) kuruşluk paranın yüzü olacak biçimde iki harfle gösterelim:
\[\Omega = \{YY,\ YT,\ TY,\ TT\}.\]
Paralar birbirinden ayırt edilebildiği için \(YT\) ile \(TY\) farklı sonuçlardır. \(E_1 = \{YT, TY, TT\}\), \(E_2 = \{YT, TY\}\) ve \(E_3 = \{YY\}\)’dir. \(E_1^c = \Omega \setminus E_1 = \{YY\} = E_3\): “en az bir tura” olayının gerçekleşmemesi, hiç tura gelmemesi demektir. \(E_1 \setminus E_2 = \{TT\}\): en az bir tura gelip tam olarak bir tura gelmemesi, iki tura gelmesidir. \(E_2 \subseteq E_1\) olduğundan \(E_2\), \(E_1\)’i gerektirir: tam olarak bir tura geldiyse en az bir tura gelmiştir. Örnek uzay \(4\) elemanlı olduğundan Önerme 1.2 gereği \(2^4 = 16\) olay ve \(2^{16} - 1 = 65\,535\) sınıf vardır.
b) \(B \cup D = \{1, 3, 5, 6\}\): tek sayı veya altı gelmesi olayı. \(B^c = \{2, 4, 6\}\) olduğundan \(B^c \cap C = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3\} = \{2\}\): çift ve dörtten küçük bir sayı gelmesi, yani iki gelmesi olayı. De Morgan kuralıyla \((B \cup D)^c = B^c \cap D^c = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{2, 4\}\): ne tek ne altı gelmesi, yani iki ya da dört gelmesi olayı; \(\Omega \setminus \{1, 3, 5, 6\} = \{2, 4\}\) hesabı da aynı sonucu verir. \(C^c \setminus D = C^c \cap D^c = \{4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{4, 5\}\): dörtten küçük olmayan ve altı olmayan bir sayı, yani dört ya da beş gelmesi olayı. \(B \cap D = \{1, 3, 5\} \cap \{6\} = \varnothing\): zar aynı anda hem tek hem altı gelemez; \(B\) ile \(D\) ayrıktır. \(C^c = \{4, 5, 6\}\) ve \(D = \{6\} \subseteq \{4, 5, 6\}\) olduğundan \(D\), \(C^c\) olayını gerektirir: altı geldiyse dörtten küçük bir sayı gelmemiştir.
c) Turanın en erken üçüncü atışta gelmesi, ilk iki atışın yazı olması demektir; bu, \(n \ge 3\) olan \(\omega_n\) sonuçlarının kümesidir: \(E = \{\omega_3, \omega_4, \omega_5, \ldots\}\). \(F = \{\omega_1, \omega_3, \omega_5, \ldots\}\) ve \(G_n = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\}\)’dir.
\(\{\omega_1\} \cup \{\omega_2\} = \{\omega_1, \omega_2\}\) kümesinin tümleyeni, \(\Omega\)’nın bu ikisi dışındaki bütün elemanlarıdır, yani \(\{\omega_3, \omega_4, \ldots\} = E\)’dir. \(F^c\), indisi tek olmayan, yani çift olan \(\omega_n\)’lerin kümesidir: \(F^c = \{\omega_2, \omega_4, \ldots\} = C\). \(\bigcup_{k=1}^{n} \{\omega_k\}\) birleşimi, \(k \le n\) olan \(\omega_k\) sonuçlarının kümesidir; bu da \(G_n\)’dir.
\(\bigcup_{n=1}^{\infty} G_n \subseteq \Omega\) açıktır. Tersine herhangi bir \(\omega \in \Omega\) alalım; bir \(m \in \mathbb{N}\) için \(\omega = \omega_m\)’dir ve \(\omega_m \in G_m\) olduğundan \(\omega\) birleşimdedir. Öyleyse \(\bigcup_{n=1}^{\infty} G_n = \Omega\)’dır. Son eşitlik için De Morgan kuralını (Önerme 1.1) kullanalım:
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} G_n^c = \Bigl( \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n \Bigr)^c = \Omega^c = \varnothing.\]
Sözle: “her \(n\) için tura \(n\)-inci atıştan sonra gelir” olayı imkânsız olaydır; çünkü örnek uzayda her sonuç sonlu bir atışta biter.
d) \(K = [20, 35)\)’tir. \(A \cap K = [20, 25)\): sıcaklığın \(20\) ile \(25\) arasında olması (\(20\) dâhil). \(A \cup K = (15, 35)\): sıcaklığın \(15\) dereceden yüksek olması. \(A \setminus K = (15, 20)\): sıcaklığın \(15\) ile \(20\) derece arasında olması. \(K \setminus A = [25, 35)\): sıcaklığın en az \(25\) derece olması. \(A^c \cap K^c = (A \cup K)^c = (-10, 15]\): sıcaklığın \(15\) dereceyi geçmemesi; De Morgan kuralı burada iki tümleyenin kesişimini hesaplamayı tek bir tümleyene indirger. \(A \cap B = (15, 25) \cap \{10\} = \varnothing\): \(A\) ile \(B\) ayrıktır.
e) (i) \(A \subseteq B\) olsun. \(A \cap B \subseteq A\) her zaman doğrudur; tersine \(\omega \in A\) ise \(A \subseteq B\) gereği \(\omega \in B\), dolayısıyla \(\omega \in A \cap B\) olur. Öyleyse \(A \cap B = A\). Şimdi \(A \cap B = A\) olsun. \(B \subseteq A \cup B\) her zaman doğrudur; tersine \(\omega \in A \cup B\) ise ya \(\omega \in B\)’dir ya da \(\omega \in A = A \cap B \subseteq B\)’dir; her hâlde \(\omega \in B\). Öyleyse \(A \cup B = B\). Son olarak \(A \cup B = B\) olsun; \(A \subseteq A \cup B = B\) olur. Böylece üç önerme birbirini döngüsel olarak gerektirir ve denktir.
(ii) \(A \subseteq B\) ve \(\omega \in B^c\) olsun; \(\omega \notin B\)’dir. \(\omega \in A\) olsaydı \(A \subseteq B\) gereği \(\omega \in B\) olurdu; çelişki. Öyleyse \(\omega \notin A\), yani \(\omega \in A^c\). Sözle: \(A\) gerçekleşince \(B\) de gerçekleşiyorsa, \(B\)’nin gerçekleşmemesi \(A\)’nın gerçekleşmemesini gerektirir.
(iii) \(A \setminus B \subseteq B^c\) ve \(A \cap B \subseteq B\) olduğundan \((A \setminus B) \cap (A \cap B) \subseteq B^c \cap B = \varnothing\); benzer biçimde \(B \setminus A \subseteq A^c\) ve \(A \cap B \subseteq A\) olduğundan \((B \setminus A) \cap (A \cap B) = \varnothing\); son olarak \(A \setminus B \subseteq A\) ve \(B \setminus A \subseteq A^c\) olduğundan \((A \setminus B) \cap (B \setminus A) = \varnothing\). Üç olay ikişer ikişer ayrıktır. Eşitlik için Önerme 1.1 (f)’yi iki kez uygulayalım: \(A \cup B = A \cup (B \setminus A)\) ve \(A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)\); yerine koyunca \(A \cup B = (A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A)\) elde edilir. Bu ayrıştırma, \(A \cup B\) olayını “yalnız \(A\)”, “hem \(A\) hem \(B\)” ve “yalnız \(B\)” parçalarına böler.
f) Tabloya göre çeviri yapalım. En az biri: \(A \cup B \cup C\). Hepsi: \(A \cap B \cap C\). Hiçbiri: \(A^c \cap B^c \cap C^c\). Yalnız \(A\): \(A \cap B^c \cap C^c\). Tam olarak biri, “yalnız \(A\)”, “yalnız \(B\)”, “yalnız \(C\)” olaylarının birleşimidir:
\[(A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C).\]
En az ikisi, herhangi iki tanesinin birlikte gerçekleşmesidir: \((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\). En çok biri, “en az ikisi” olayının tümleyenidir; De Morgan kuralıyla
\[\bigl( (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) \bigr)^c = (A^c \cup B^c) \cap (A^c \cup C^c) \cap (B^c \cup C^c).\]
Doğrulama: De Morgan kuralını üç olaya uygularsak (kural, \(A_1 = A\), \(A_2 = B\) ve \(n \ge 3\) için \(A_n = C\) alınarak genel biçimden çıkar) \((A \cup B \cup C)^c = A^c \cap B^c \cap C^c\) olur; sol taraf “en az biri gerçekleşir” olayının tümleyeni, sağ taraf “hiçbiri gerçekleşmez” olayıdır.
g) \(\Omega\) üç elemanlı olduğundan \(2^3 = 8\) alt kümesi vardır:
\[\mathcal{P}(\Omega) = \bigl\{ \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a, b\},\ \{a, c\},\ \{b, c\},\ \Omega \bigr\}.\]
Sınıf sayısı \(2^{8} - 1 = 255\)’tir. \(\Omega\)’yı içeren bir sınıf, \(\Omega\)’ya geri kalan yedi olayın herhangi bir alt kümesinin eklenmesiyle elde edilir; bu alt küme boş da olabilir, çünkü \(\{\Omega\}\) tek başına bir sınıftır. Dolayısıyla \(\Omega\)’yı içeren \(2^7 = 128\) sınıf vardır. Hem \(\varnothing\)’i hem \(\Omega\)’yı içeren sınıflar, bu ikisine geri kalan altı olayın herhangi bir alt kümesinin eklenmesiyle elde edilir: \(2^6 = 64\) tane. Yalnız basit olaylardan oluşan sınıflar, \(\{\{a\}, \{b\}, \{c\}\}\) ailesinin boş olmayan alt kümeleridir: \(2^3 - 1 = 7\) tane.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde bir deneyin sonuçlarını, olaylarını ve olaylar üzerindeki işlemleri küme kuramının diline taşıdık; olayların toplandığı sınıf kavramını ve en büyük sınıf olan kuvvet kümesini tanıdık. Sıradaki bölümde bir olaylar sınıfının, üzerinde olasılık ölçüsü tanımlanabilmesi için hangi kapalılık koşullarını sağlaması gerektiğini belirleyeceğiz: Cebirler, \(\sigma\)-Cebirler ve Borel Cebri.