3 Olasılık Ölçüsü ve Olasılık Uzayı
Cebirler, \(\sigma\)-Cebirler ve Borel Cebri bölümünde bir rastgele deneyin olası sonuçlarını örnek uzay \(\Omega\) ile, “olasılığı sorulabilecek” olayları ise \(\Omega\) üzerindeki bir \(\sigma\)-cebir \(\mathcal{U}\) ile modelledik. Böylece elimizde \((\Omega, \mathcal{U})\) ikilisi var; ama henüz hiçbir olaya bir sayı atamadık. Bu bölümde eksik kalan üçüncü bileşeni, olasılık ölçüsü \(P\)’yi tanımlıyoruz.
Olasılığı tanımlamanın eski yolları — eş olasılıklı sonuçları saymak ya da bir deneyin çok sayıda tekrarında gözlenen göreli sıklığa bakmak — belli durumlarda iyi çalışır, ama genel bir kuram için yetersizdir. 1933’te Kolmogorov, olasılığı “ne olduğu” ile değil “hangi kurallara uyduğu” ile tanımlamayı önerdi: olasılık, olaylar \(\sigma\)-cebri üzerinde tanımlı ve üç basit aksiyomu sağlayan bir fonksiyondur. Bu bakış açısı hem sayma yoluyla hem de göreli sıklıkla elde edilen olasılıkları kapsar ve olasılık teorisini ölçü teorisinin sağlam zeminine oturtur.
Bölümde önce aksiyomları ve olasılık uzayı kavramını vereceğiz. Ardından yalnızca üç aksiyomdan yola çıkarak olasılık hesaplarında her gün kullanılan kuralları — tümleyen kuralı, monotonluk, toplama kuralı, içerme–dışarma formülü, Boole eşitsizliği — tam ispatlarıyla türeteceğiz. Bölümün sonunda, sayılabilir toplamsallık aksiyomunun asıl gücünü gösteren olasılığın sürekliliği özelliğini ispatlayacağız.
3.1 Kolmogorov Aksiyomları
Bir olasılık ölçüsünden ne bekleriz? Birincisi, hiçbir olayın olasılığı negatif olmamalı. İkincisi, kesin olay \(\Omega\)’nın olasılığı \(1\) olmalı; olasılıkları \(0\) ile \(1\) arasına yerleştiren ölçek budur. Üçüncüsü, birbirini dışlayan olaylardan “en az birinin” gerçekleşme olasılığı, tek tek olasılıkların toplamı olmalı. Bu üçüncü kuralı yalnızca iki olay için değil, sayılabilir çoklukta olay için istemek, kuramın limit işlemleriyle uyumlu olmasını sağlar; nedenini bölümün sonunda göreceğiz.
Tanım 3.1 (Olasılık Ölçüsü (Kolmogorov Aksiyomları)) \(\Omega \ne \varnothing\) bir örnek uzay ve \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir olsun.
\[P : \mathcal{U} \to \mathbb{R}, \qquad A \mapsto P(A)\]
fonksiyonu aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa \(P\)’ye \(\mathcal{U}\) üzerinde bir olasılık ölçüsü denir:
(A1) Her \(A \in \mathcal{U}\) için \(P(A) \ge 0\).
(A2) \(P(\Omega) = 1\).
(A3) \(\mathcal{U}\)’daki ikişer ikişer ayrık olayların her \((A_n)_{n \ge 1}\) dizisi için (yani \(i \ne j\) iken \(A_i \cap A_j = \varnothing\) olduğunda)
\[P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n).\]
\(P(A)\) sayısına \(A\) olayının olasılığı denir. (A3) koşuluna sayılabilir toplamsallık (\(\sigma\)-toplamsallık) denir.
Tanımda birkaç noktaya dikkat edelim. \(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir olduğundan (A3)’teki sayılabilir birleşim yine \(\mathcal{U}\)’dadır; yani eşitliğin sol tarafı anlamlıdır. Sağ taraf ise negatif olmayan terimli bir seridir; (A3) bu serinin yakınsak ve toplamının tam olarak \(P\big(\bigcup A_n\big)\) olduğunu söyler. Ayrıca tanımda \(P\)’nin değerlerinin \([0,1]\) aralığında olduğu varsayılmamıştır; bunu aksiyomlardan çıkaracağız.
\(P(A)\) sayısının yorumu şudur: deney bir kez yapıldığında \(A\) olayının gerçekleşme “şansı” \(P(A)\)’dır. \(P(A)\) sayısı \(1\)’e ne kadar yakınsa \(A\)’nın gerçekleşmesini o kadar çok, \(0\)’a ne kadar yakınsa o kadar az bekleriz. Aksiyomlar bu sezgiyi, deneyin çok sayıda tekrarındaki göreli sıklıkların uyduğu kurallardan alır: göreli sıklık negatif olamaz, kesin olayın göreli sıklığı \(1\)’dir ve ayrık olayların göreli sıklıkları toplanır.
Tanım 3.2 (Olasılık Uzayı) \(\Omega \ne \varnothing\) bir örnek uzay, \(\mathcal{U}\), \(\Omega\) üzerinde bir \(\sigma\)-cebir ve \(P\), \(\mathcal{U}\) üzerinde bir olasılık ölçüsü olsun. \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) üçlüsüne olasılık uzayı denir.
Olasılık uzayının üç bileşeni bir rastgele deneyin üç yönünü modeller: \(\Omega\) deneyin olası sonuçlarını, \(\mathcal{U}\) deney hakkında sorabileceğimiz soruları (olayları), \(P\) ise bu soruların yanıtlarını (olasılıkları) verir. Bundan sonra “olay” dediğimizde her zaman \(\mathcal{U}\)’nun bir elemanını kastedeceğiz; \(\mathcal{U}\) dışındaki bir \(\Omega\) alt kümesinin olasılığından söz edilemez.
\(\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_k\}\) sonlu bir küme, \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\Omega)\) ve \(p_1, \dots, p_k\) toplamı \(1\) olan negatif olmayan sayılar olsun. Her \(A \subset \Omega\) için
\[P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i\]
tanımlansın. (A1) açıktır; (A2) \(P(\Omega) = p_1 + \dots + p_k = 1\) eşitliğidir. (A3) için ikişer ikişer ayrık bir \((A_n)\) dizisi alalım. Boş olmayan ayrık kümeler \(\Omega\)’nın farklı elemanlarını içermek zorunda olduğundan dizide en çok \(k\) tane boş olmayan küme vardır; ötekiler \(\varnothing\)’dir ve \(P(\varnothing) = 0\)’dır (boş toplam). Boş olmayan ayrık kümelerin birleşimi üzerindeki toplam, her bir kümenin toplamlarının toplamıdır; dolayısıyla (A3) sağlanır. Demek ki sonlu bir örnek uzayda olasılık ölçüsü vermek, her sonuca toplamı \(1\) olan bir “ağırlık” vermekten ibarettir. Bir para atışı için \(\Omega = \{Y, T\}\) (yazı ve tura), \(p_1 = p_2 = \frac{1}{2}\) alınır; hileli bir para için \(p_1 = p\), \(p_2 = 1 - p\) alınabilir. Bu tür uzayların ayrıntılı incelemesi sonraki bölümdedir.
3.2 Olasılık Ölçüsünün Temel Özellikleri
Aksiyomlar \(P(\varnothing)\)’nin değerini, \(A^c\)’nin olasılığını, hatta \(P(A) \le 1\) olup olmadığını doğrudan söylemez. Bütün bunlar aksiyomlardan çıkar; aşağıdaki teorem bu temel sonuçları toplar. Her hesapta bunları kullanacağımız için ispatları dikkatle izlemek gerekir.
Teorem 3.1 (Olasılık Ölçüsünün Temel Özellikleri) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı olsun.
a) \(P(\varnothing) = 0\).
b) (Sonlu toplamsallık) \(A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal{U}\) ikişer ikişer ayrık olaylar ise
\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i).\]
c) (Tümleyen kuralı) Her \(A \in \mathcal{U}\) için \(P(A^c) = 1 - P(A)\).
d) (Monotonluk ve fark kuralı) \(A, B \in \mathcal{U}\) ve \(A \subset B\) ise
\[P(A) \le P(B) \qquad \text{ve} \qquad P(B \setminus A) = P(B) - P(A).\]
e) Her \(A \in \mathcal{U}\) için \(0 \le P(A) \le 1\).
İspat
a) \(A_1 = \Omega\) ve \(n \ge 2\) için \(A_n = \varnothing\) alalım. Bu dizi ikişer ikişer ayrıktır: \(i \ne j\) iken kümelerden en az biri boştur, dolayısıyla kesişim boştur. Birleşimleri \(\Omega\)’dır. (A3) gereği
\[1 = P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = P(\Omega) + \sum_{n=2}^{\infty} P(\varnothing) = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} P(\varnothing).\]
Sağdaki serinin bütün terimleri aynı \(P(\varnothing) \ge 0\) sayısıdır. \(P(\varnothing) > 0\) olsaydı kısmi toplamlar sınırsız büyür ve seri ıraksardı; oysa (A3) serinin yakınsak olduğunu söyler. Demek ki \(P(\varnothing) = 0\)’dır. Burada doğrudan \(1 = P(\Omega \cup \varnothing) = P(\Omega) + P(\varnothing)\) yazmak yeterli olmazdı: iki ayrık olay için toplamsallık henüz elimizde değildir; onu (b)’de, (a)’yı kullanarak ispatlayacağız. Bu yüzden (a) doğrudan (A3)’ten çıkarılmalıdır.
b) \(A_1, \dots, A_n\) ikişer ikişer ayrık olsun. Diziyi boş kümelerle sonsuza uzatalım: \(n\)’den büyük her \(i\) için \(A_i = \varnothing\) olsun. Yeni \((A_i)_{i \ge 1}\) dizisi de ikişer ikişer ayrıktır ve
\[\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i\]
olur. (A3) ve (a) gereği
\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) + \sum_{i=n+1}^{\infty} P(\varnothing) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i).\]
c) \(A \cup A^c = \Omega\) ve \(A \cap A^c = \varnothing\) olduğundan (b) ve (A2) gereği
\[1 = P(\Omega) = P(A \cup A^c) = P(A) + P(A^c),\]
yani \(P(A^c) = 1 - P(A)\)’dır.
d) \(A \subset B\) olsun. \(B\)’nin her elemanı ya \(A\)’dadır ya da \(A\)’da değildir; öyleyse
\[B = A \cup (B \cap A^c) = A \cup (B \setminus A)\]
ve bu iki küme ayrıktır. \(B \setminus A = B \cap A^c \in \mathcal{U}\) olduğunu biliyoruz. (b) gereği
\[P(B) = P(A) + P(B \setminus A).\]
(A1) gereği \(P(B \setminus A) \ge 0\) olduğundan \(P(B) \ge P(A)\) elde edilir; eşitliği yeniden düzenlersek \(P(B \setminus A) = P(B) - P(A)\) bulunur.
e) Her \(A \in \mathcal{U}\) için \(\varnothing \subset A \subset \Omega\)’dır. (d)’deki monotonluk, (a) ve (A2) ile
\[0 = P(\varnothing) \le P(A) \le P(\Omega) = 1\]
olur.
\(\blacksquare\)
Teoremin (d) şıkkındaki fark kuralında \(A \subset B\) koşulu gereklidir; genel \(A, B\) için \(P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)\) yazılır, çünkü \(B \setminus A = B \setminus (A \cap B)\) ve \(A \cap B \subset B\)’dir. Bu biçimi aşağıdaki örneklerde sık kullanacağız.
\(P(\varnothing) = 0\) ve \(P(\Omega) = 1\) olduğunu gösterdik. Bunların tersleri doğru değildir: \(P(A) = 0\) olan bir olay boş küme olmak zorunda değildir ve \(P(A) = 1\) olan bir olay \(\Omega\)’ya eşit olmak zorunda değildir. Sonraki bölümde \([0,1]\) aralığından rastgele bir nokta seçme deneyini inceleyeceğiz; orada tek bir noktadan oluşan her olayın olasılığı \(0\) olacaktır, oysa deney her seferinde bir nokta üretir. Bu yüzden \(P(A) = 0\) olan olaylara “imkânsız” değil, hemen hemen imkânsız; \(P(A) = 1\) olan olaylara da hemen hemen kesin denir.
3.3 Toplama Kuralı ve İçerme–Dışarma Formülü
Sonlu toplamsallık yalnızca ayrık olaylar için geçerlidir. \(A\) ile \(B\) ortak sonuçlar içeriyorsa \(P(A) + P(B)\) toplamı \(A \cap B\)’yi iki kez sayar; bu fazlalığı geri almak gerekir.
Teorem 3.2 (Toplama Kuralı) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \(A, B \in \mathcal{U}\) olsun. O zaman
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).\]
Özel olarak her \(A, B \in \mathcal{U}\) için \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\)’dir.
İspat
\(A \cup B\)’nin bir elemanı ya \(A\)’dadır ya da \(A\)’da olmayıp \(B\)’dedir. Öyleyse
\[A \cup B = A \cup (A^c \cap B)\]
ve sağdaki iki küme ayrıktır (\(A\) ile \(A^c \cap B\) kesişemez). Teorem 3.1 (b) gereği
\[P(A \cup B) = P(A) + P(A^c \cap B).\]
Şimdi \(B\)’yi de \(A\)’ya göre parçalayalım: \(B\)’nin her elemanı ya \(A\)’dadır ya da değildir, yani
\[B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B)\]
ve bu iki küme ayrıktır. Yine sonlu toplamsallıkla
\[P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B), \qquad \text{yani} \qquad P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B).\]
Bunu ilk eşitlikte yerine koyarsak
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
elde edilir. Son olarak (A1) gereği \(P(A \cap B) \ge 0\) olduğundan \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\)’dir.
\(\blacksquare\)
\(A \cap B = \varnothing\) ise \(P(A \cap B) = 0\) olur ve toplama kuralı sonlu toplamsallığa indirgenir; yani toplama kuralı, iki olay için sonlu toplamsallığın ayrık olmayan olaylara genellemesidir. Şimdi bu kurallarla neler hesaplanabildiğini görelim.
Örnek 3.1 (İki Olay Üzerine Olasılık Hesapları) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı, \(A, B \in \mathcal{U}\) ve
\[P(A) = 0{,}6, \qquad P(B) = 0{,}5, \qquad P(A \cap B) = 0{,}3\]
olsun. Aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız:
a) \(P(A \cup B)\); b) \(P(A^c)\) ve \(P(B^c)\); c) \(P(A \setminus B)\) ve \(P(B \setminus A)\); d) \(P(A^c \cap B^c)\); e) \(P(A^c \cup B^c)\); f) \(A\) ile \(B\)’den tam olarak birinin gerçekleşme olasılığı; g) \(P(A^c \cup B)\).
Çözüm
a) Toplama kuralı (Teorem 3.2) ile
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}8.\]
b) Tümleyen kuralı (Teorem 3.1 c) ile \(P(A^c) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\) ve \(P(B^c) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\).
c) \(A \setminus B = A \setminus (A \cap B)\) ve \(A \cap B \subset A\) olduğundan fark kuralı (Teorem 3.1 d) ile
\[P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}6 - 0{,}3 = 0{,}3, \qquad P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2.\]
d) De Morgan kuralı ile \(A^c \cap B^c = (A \cup B)^c\)’dir. Tümleyen kuralı ve (a) ile
\[P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2.\]
Bu, “\(A\) da \(B\) de gerçekleşmez” olayının olasılığıdır.
e) Yine De Morgan ile \(A^c \cup B^c = (A \cap B)^c\), dolayısıyla
\[P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7.\]
Aynı sonuca toplama kuralıyla da varılır: \(P(A^c) + P(B^c) - P(A^c \cap B^c) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7\).
f) “Tam olarak biri gerçekleşir” olayı \((A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) ayrık birleşimidir (\(A\)’nın \(B\) dışındaki kısmı ile \(B\)’nin \(A\) dışındaki kısmı kesişemez). Sonlu toplamsallık ve (c) ile
\[P\big( (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \big) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5.\]
Buna \(A\) ile \(B\)’nin simetrik farkı \(A \,\triangle\, B\) denir; genel olarak \(P(A \,\triangle\, B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)\)’dir (Alıştırma 3.1, (c) şıkkı).
g) \((A^c \cup B)^c = A \cap B^c = A \setminus B\) olduğundan
\[P(A^c \cup B) = 1 - P(A \setminus B) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7.\]
Kontrol: \(\Omega\), dört ayrık parçaya ayrılır: \(A \cap B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\) ve \(A^c \cap B^c\). Olasılıkları \(0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}2 = 1 = P(\Omega)\)’dır; hesaplar tutarlıdır. Bütün soruların yanıtı bu dört parçanın olasılıklarından toplama ile okunabilir.
\(\blacksquare\)
Toplama kuralını üç, dört ya da daha çok olaya genişletirken aynı düşünce geçerlidir: fazladan sayılan kesişimleri çıkarır, fazla çıkardıklarımızı geri ekleriz. Sonuç içerme–dışarma formülüdür.
Teorem 3.3 (İçerme–Dışarma Formülü) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \(A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal{U}\) ayrık olmaları gerekmeyen olaylar olsun. O zaman
\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i \cap A_j) + \sum_{1 \le i < j < k \le n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n).\]
Kısaca, \(k = 1, \dots, n\) için \(k\)’lı kesişimlerin olasılıkları toplamı
\[S_k = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} P\big( A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k} \big)\]
ile gösterilirse
\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} S_k.\]
Özel olarak \(n = 3\) için, \(A, B, C \in \mathcal{U}\) olmak üzere
\[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).\]
İspat
\(n\) üzerinde tümevarım yapalım. \(n = 1\) için formül \(P(A_1) = S_1 = P(A_1)\) der; doğrudur. \(n = 2\) için formül \(P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)\) biçimini alır; bu da Teorem 3.2’dir.
Şimdi formülün herhangi \(n\) olay için doğru olduğunu varsayalım ve \(A_1, \dots, A_n, A_{n+1} \in \mathcal{U}\) olsun. \(B = \bigcup_{i=1}^{n} A_i\) diyelim; \(B \in \mathcal{U}\)’dur. Toplama kuralı ile
\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \right) = P(B \cup A_{n+1}) = P(B) + P(A_{n+1}) - P(B \cap A_{n+1}).\]
Sağdaki üç terimden ilkine ve sonuncusuna tümevarım varsayımını uygulayacağız.
\(P(B)\) terimi. \(A_1, \dots, A_n\) için tümevarım varsayımı \(P(B) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} S_k\) verir; burada \(S_k\), \(A_1, \dots, A_n\) olaylarının \(k\)’lı kesişim toplamıdır.
\(P(B \cap A_{n+1})\) terimi. Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği ile
\[B \cap A_{n+1} = \bigcup_{i=1}^{n} (A_i \cap A_{n+1}).\]
\(C_i = A_i \cap A_{n+1}\) (\(i = 1, \dots, n\)) olaylarına tümevarım varsayımını uygulayalım. \(C_{i_1} \cap \dots \cap C_{i_k} = A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k} \cap A_{n+1}\) olduğundan
\[P(B \cap A_{n+1}) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} T_k, \qquad T_k = \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} P\big( A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k} \cap A_{n+1} \big).\]
Yani \(T_k\), \(A_{n+1}\)’i içeren \((k+1)\)’li kesişimlerin olasılıkları toplamıdır.
Toplamların karşılaştırılması. \(A_1, \dots, A_{n+1}\) olaylarının \(k\)’lı kesişim toplamını \(S_k'\) ile gösterelim. \(S_k'\)’deki her terim \(\{1, \dots, n+1\}\)’den seçilmiş \(k\) indisin kesişimidir. Bu terimleri ikiye ayıralım: indisler arasında \(n+1\) yoksa terim \(S_k\)’nin bir terimidir; \(n+1\) varsa terim, \(\{1, \dots, n\}\)’den seçilmiş \(k-1\) indis ile \(A_{n+1}\)’in kesişimidir, yani \(T_{k-1}\)’in bir terimidir. Böylece
\[S_1' = S_1 + P(A_{n+1}), \qquad S_k' = S_k + T_{k-1} \ \ (2 \le k \le n), \qquad S_{n+1}' = T_n\]
olur; sonuncusu, \(n+1\) indisin hepsini almanın tek yolu olduğundan gelir.
Şimdi toplama kuralından gelen eşitliği yazalım ve ikinci toplamda \(k\) yerine \(m = k+1\) koyalım:
\[\begin{aligned} P\left( \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \right) &= \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} S_k + P(A_{n+1}) - \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} T_k \\ &= \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} S_k + P(A_{n+1}) + \sum_{m=2}^{n+1} (-1)^{m-1} T_{m-1} \\ &= \big[ S_1 + P(A_{n+1}) \big] + \sum_{m=2}^{n} (-1)^{m-1} \big[ S_m + T_{m-1} \big] + (-1)^{n} T_n \\ &= S_1' + \sum_{m=2}^{n} (-1)^{m-1} S_m' + (-1)^{n} S_{n+1}' \\ &= \sum_{m=1}^{n+1} (-1)^{m-1} S_m'. \end{aligned}\]
Bu, \(n+1\) olay için içerme–dışarma formülüdür. Tümevarım ilkesi gereği formül her \(n\) için doğrudur. \(n = 3\) için \(S_1 = P(A) + P(B) + P(C)\), \(S_2 = P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)\) ve \(S_3 = P(A \cap B \cap C)\) yazılarak üç olaylı biçim elde edilir.
\(\blacksquare\)
Formülün adı yöntemi anlatır: tek tek olasılıkları toplarken ikili kesişimler iki kez içerilir, bunlar çıkarılarak dışarıda bırakılır; ama bu kez üçlü kesişimler fazla çıkarılmış olur, geri eklenir ve böyle sürer. Üç olaylı biçimin sayısal bir uygulaması Alıştırma 3.1’nun (b) şıkkındadır.
3.4 Boole Eşitsizliği
Çoğu uygulamada kesişimlerin olasılıkları bilinmez; yalnızca tek tek olasılıklar elimizdedir. Bu durumda birleşimin olasılığını tam hesaplayamayız ama yukarıdan sınırlayabiliriz. Toplama kuralının \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\) sonucunu sonlu sayıda olaya genişletelim.
Teorem 3.4 (Boole Eşitsizliği) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \(A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal{U}\) ayrık olmaları gerekmeyen olaylar olsun. O zaman
\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} P(A_i).\]
İspat
Birleşimi ayrık parçalara ayıracağız. \(B_1 = A_1\) ve \(i = 2, \dots, n\) için
\[B_i = A_1^c \cap A_2^c \cap \dots \cap A_{i-1}^c \cap A_i\]
olsun; \(B_i\), “\(A_1, \dots, A_{i-1}\) gerçekleşmez, \(A_i\) gerçekleşir” olayıdır. Dört şeyi gösterelim.
(i) Her \(B_i \in \mathcal{U}\)’dur: \(\mathcal{U}\) tümleyen ve sonlu kesişim altında kapalıdır.
(ii) \(B_i \subset A_i\)’dir: \(B_i\), \(A_i\) ile başka kümelerin kesişimidir.
(iii) \(B_1, \dots, B_n\) ikişer ikişer ayrıktır: \(i < j\) olsun. \(B_j \subset A_i^c\) (çünkü \(i \le j - 1\)) ve \(B_i \subset A_i\) olduğundan \(B_i \cap B_j \subset A_i \cap A_i^c = \varnothing\)’dir.
(iv) \(\bigcup_{i=1}^{n} B_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i\)’dir: (ii) gereği soldaki küme sağdakinin içindedir. Tersine, \(\omega \in \bigcup A_i\) olsun ve \(i_0\), \(\omega \in A_{i_0}\) olan en küçük indis olsun. O zaman \(i < i_0\) için \(\omega \notin A_i\), yani \(\omega \in A_i^c\)’dir; dolayısıyla \(\omega \in B_{i_0}\)’dır.
Şimdi Teorem 3.1 (b) ve (d) ile
\[P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = P\left( \bigcup_{i=1}^{n} B_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \le \sum_{i=1}^{n} P(A_i).\]
\(\blacksquare\)
İspattaki \(B_i\) kümelerine birleşimin ayrıklaştırılması denir; bu yapıyı olasılığın sürekliliğini ispatlarken yeniden kullanacağız. Boole eşitsizliği tümleyenlere uygulandığında kesişimlerin olasılığı için bir alt sınır verir.
Örnek 3.2 (Kesişimin Olasılığı için Alt Sınır) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \(A, B \in \mathcal{U}\) olsun.
\[P(A \cap B) \ge 1 - P(A^c) - P(B^c)\]
olduğunu gösteriniz. Bunu kullanarak, her biri \(0{,}9\) olasılıkla çalışan iki parçanın ikisinin birden çalışma olasılığının en az \(0{,}8\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
De Morgan kuralı ile \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)’dir. Tümleyen kuralı ve toplama kuralı ile
\[P(A \cap B) = 1 - P\big( (A \cap B)^c \big) = 1 - P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A^c) - P(B^c) + P(A^c \cap B^c).\]
(A1) gereği \(P(A^c \cap B^c) \ge 0\) olduğundan
\[P(A \cap B) \ge 1 - P(A^c) - P(B^c)\]
elde edilir. Aynı sonuca, son adımda toplama kuralı yerine doğrudan Boole eşitsizliği \(P(A^c \cup B^c) \le P(A^c) + P(B^c)\) uygulanarak da varılır. Tümleyen kuralıyla eşitsizlik
\[P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1\]
biçiminde de yazılabilir.
Uygulama: \(A\) birinci parçanın, \(B\) ikinci parçanın çalışması olayı olsun. \(P(A) = P(B) = 0{,}9\) ise \(P(A^c) = P(B^c) = 0{,}1\) ve
\[P(A \cap B) \ge 1 - 0{,}1 - 0{,}1 = 0{,}8\]
olur. Bu alt sınır, \(A\) ile \(B\) arasındaki ilişki hakkında hiçbir bilgi kullanmadan elde edilmiştir; iki parçanın arızaları ne kadar iç içe olursa olsun geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Bu eşitsizliğin \(n\) olaya genellemesi olan \(P\left( \bigcap_{i=1}^{n} A_i \right) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n} P(A_i^c)\) eşitsizliği Alıştırma 3.1’nun (d) şıkkındadır.
3.5 Olasılığın Sürekliliği
Şimdiye kadarki her sonuç, (A3) yerine yalnızca sonlu toplamsallık istenseydi de ispatlanabilirdi. Peki sayılabilir toplamsallık ne getirir? Yanıt: olasılık ölçüsü, kümelerin limitleriyle uyumlu çalışır. Bunu söyleyebilmek için önce bir olay dizisinin limitinin ne demek olduğunu, en basit durum olan monoton diziler için belirleyelim.
Tanım 3.3 (Monoton Olay Dizisi ve Limiti) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \((A_n)_{n \ge 1}\), \(\mathcal{U}\)’da bir olay dizisi olsun.
- \(A_1 \subset A_2 \subset \dots \subset A_n \subset \dots\) ise diziye artan denir ve limiti \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\) olarak tanımlanır.
- \(A_1 \supset A_2 \supset \dots \supset A_n \supset \dots\) ise diziye azalan denir ve limiti \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\) olarak tanımlanır.
\(\mathcal{U}\) bir \(\sigma\)-cebir olduğundan her iki limit de \(\mathcal{U}\)’dadır.
Bu tanım doğal bir “limit” kavramıdır: artan bir dizide \(\omega \in \bigcup A_n\) olması, \(\omega\)’nın bir yerden sonra bütün \(A_n\)’lerde bulunması demektir; azalan bir dizide \(\omega \in \bigcap A_n\) olması, \(\omega\)’nın hiçbir zaman dizinin dışına çıkmaması demektir. Örneğin \(\Omega = \mathbb{R}\) üzerinde \(A_n = (-\infty, a - \frac{1}{n}]\) artan bir dizidir ve limiti \((-\infty, a)\)’dır; \(A_n = (-\infty, a + \frac{1}{n}]\) azalan bir dizidir ve limiti \((-\infty, a]\)’dır.
Gerçel değişkenli bir fonksiyonda “limit ile fonksiyonun yer değiştirebilmesi” sürekliliğin ta kendisidir. Aşağıdaki teorem olasılık ölçüsünün bu anlamda sürekli olduğunu söyler: monoton bir olay dizisinin limitinin olasılığı, olasılıkların limitidir.
Teorem 3.5 (Olasılığın Sürekliliği) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \((A_n)_{n \ge 1}\), \(\mathcal{U}\)’da bir olay dizisi olsun.
a) \((A_n)\) artan ise \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} P(A_n) = P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = P\left( \lim_{n \to \infty} A_n \right)\).
b) \((A_n)\) azalan ise \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} P(A_n) = P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right) = P\left( \lim_{n \to \infty} A_n \right)\).
Her iki durumda da soldaki limit vardır.
İspat
a) \((A_n)\) artan olsun. Birleşimi ayrık “halkalara” ayıralım: \(B_1 = A_1\) ve \(n \ge 2\) için
\[B_n = A_n \setminus A_{n-1} = A_n \cap A_{n-1}^c\]
olsun. Dizi artan olduğundan \(A_1^c \cap \dots \cap A_{n-1}^c = A_{n-1}^c\)’dir; yani \(B_n\)’ler, Boole eşitsizliğinin ispatındaki ayrıklaştırmanın bu özel durumdaki biçimidir. Şunları gösterelim.
(i) \(B_n\)’ler ikişer ikişer ayrıktır: \(m < n\) ise \(B_m \subset A_m \subset A_{n-1}\) ve \(B_n \subset A_{n-1}^c\) olduğundan \(B_m \cap B_n = \varnothing\)’dir.
(ii) Her \(n\) için \(\bigcup_{i=1}^{n} B_i = A_n\)’dir: \(n = 1\) için açıktır. \(\bigcup_{i=1}^{n-1} B_i = A_{n-1}\) ise
\[\bigcup_{i=1}^{n} B_i = A_{n-1} \cup (A_n \setminus A_{n-1}) = A_n\]
olur, çünkü \(A_{n-1} \subset A_n\)’dir.
(iii) \(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\)’dir: \(B_n \subset A_n\) olduğundan soldaki sağdakinin içindedir; (ii) gereği her \(A_n\) soldakinin içindedir.
Şimdi sırasıyla (iii), (A3), serinin tanımı, sonlu toplamsallık ve (ii) uygulanırsa
\[P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(B_i) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} P(B_i) = \lim_{n \to \infty} P\left( \bigcup_{i=1}^{n} B_i \right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)\]
elde edilir. Buradaki üçüncü eşitlik serinin tanımıdır: bir serinin toplamı, kısmi toplamlar dizisinin limitidir. Bu zincir aynı zamanda \(\lim P(A_n)\) limitinin var olduğunu da gösterir; nitekim \(P(B_i) = P(A_i) - P(A_{i-1})\) (fark kuralı) olduğundan kısmi toplam
\[\sum_{i=1}^{n} P(B_i) = P(A_1) + \sum_{i=2}^{n} \big( P(A_i) - P(A_{i-1}) \big) = P(A_n)\]
biçiminde açılır (teleskopik toplam) ve \(\big( P(A_n) \big)\) dizisi monotonluk gereği arttığından ve Teorem 3.1 (e) gereği \(1\) ile sınırlı olduğundan zaten yakınsaktır.
b) \((A_n)\) azalan olsun. Tümleyenlere geçelim: \(A_n \supset A_{n+1}\) ise \(A_n^c \subset A_{n+1}^c\)’dir, yani \((A_n^c)\) artan bir dizidir. De Morgan kuralı ile
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right)^c.\]
Şimdi (a) şıkkını \((A_n^c)\) dizisine uygulayalım ve iki yanda tümleyen kuralını kullanalım:
\[\lim_{n \to \infty} \big( 1 - P(A_n) \big) = \lim_{n \to \infty} P(A_n^c) = P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \right) = 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right).\]
Soldaki limit var olduğundan \(\lim P(A_n)\) de vardır ve
\[\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right)\]
olur.
\(\blacksquare\)
Teoremin (b) şıkkının ispatı \(P(A_n^c) = 1 - P(A_n)\) eşitliğine, yani \(P(\Omega) = 1\) olmasına dayanır. Toplam ölçüsü sonsuz olan ölçülerde (b) bozulabilir: \(\mathbb{R}\) üzerinde uzunluk ölçüsünü ve \(A_n = [n, \infty)\) azalan dizisini düşünelim. Her \(A_n\)’nin uzunluğu sonsuzdur, ama \(\bigcap A_n = \varnothing\)’dir ve uzunluğu \(0\)’dır. Olasılık ölçüsünde bu sorun çıkmaz, çünkü bütün değerler \([0,1]\) içindedir. (a) şıkkı ise \(P(\Omega) = 1\) koşulundan bağımsızdır: ispatın ana zincirinde yalnızca sayılabilir toplamsallık ve \(P(\varnothing) = 0\) kullanılmıştır; bu yüzden uzunluk ölçüsü gibi toplam ölçüsü sonsuz olan ölçülerde de geçerlidir.
Süreklilik teoremi, (A3)’ün sonlu toplamsallığa göre fazlasını tam olarak açıklar: sonlu toplamsallık ile artan dizilerde süreklilik birlikte (A3)’e denktir (Alıştırma 3.1, (f) şıkkı). Şimdi teoremin ilk sonucunu, Boole eşitsizliğinin sonsuz sürümünü verelim.
Sonuç 3.1 (Sayılabilir Alt Toplamsallık) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı ve \((A_n)_{n \ge 1}\), \(\mathcal{U}\)’da ayrık olmaları gerekmeyen herhangi bir olay dizisi olsun. O zaman
\[P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \le \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n).\]
Özel olarak, olasılığı \(0\) olan sayılabilir çoklukta olayın birleşiminin olasılığı \(0\)’dır.
İspat
Sağdaki serinin terimleri negatif olmadığından seri ya yakınsar ya da \(+\infty\)’a ıraksar; ıraksıyorsa eşitsizlik apaçık doğrudur. Yakınsadığını varsayalım ve
\[C_n = \bigcup_{i=1}^{n} A_i, \qquad n = 1, 2, \dots\]
olsun. \((C_n)\) artan bir olay dizisidir ve \(\bigcup_{n=1}^{\infty} C_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\)’dir. Her \(n\) için Boole eşitsizliği (Teorem 3.4) ile
\[P(C_n) \le \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \le \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\]
olur; ikinci eşitsizlik terimlerin negatif olmamasından gelir. Olasılığın sürekliliği (Teorem 3.5 a) ile
\[P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} P(C_n) \le \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i).\]
Her \(n\) için \(P(A_n) = 0\) ise sağ taraf \(0\)’dır; (A1) ile birlikte birleşimin olasılığı \(0\) olur.
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, sonraki bölümlerde sürekli olasılık modellerinde sık kullanılacaktır: tek bir noktanın olasılığı \(0\) olan bir modelde sayılabilir bir nokta kümesinin, örneğin bütün rasyonel sayıların, olasılığı da \(0\)’dır.
3.6 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Olasılık Ölçüsü Üzerine) Bütün şıklarda \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) bir olasılık uzayı, adı geçen bütün olaylar ise \(\mathcal{U}\)’nun elemanlarıdır.
a) \(P(A) = 0{,}6\) ve \(P(B) = 0{,}5\) olsun; \(P(A \cap B)\) bilinmiyor. \(0{,}1 \le P(A \cap B) \le 0{,}5\) ve \(0{,}6 \le P(A \cup B) \le 1\) olduğunu gösteriniz. Sınırların her birine ulaşılabileceğini bir örnekle gösteriniz.
b) \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(C) = 0{,}3\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\), \(P(A \cap C) = 0{,}15\), \(P(B \cap C) = 0{,}1\) ve \(P(A \cap B \cap C) = 0{,}05\) olsun. Üç olaydan en az birinin, hiçbirinin, tam olarak birinin ve tam olarak ikisinin gerçekleşme olasılıklarını bulunuz.
c) \(A \,\triangle\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) simetrik farkı için \(P(A \,\triangle\, B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)\) olduğunu gösteriniz.
d) \(A_1, \dots, A_n \in \mathcal{U}\) için \(P\left( \bigcap_{i=1}^{n} A_i \right) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n} P(A_i^c)\) olduğunu gösteriniz. Her biri en az \(0{,}99\) olasılıkla çalışan beş parçanın hepsinin birden çalışma olasılığının en az \(0{,}95\) olduğunu çıkarınız.
e) Her \(n\) için \(P(A_n) = 1\) ise \(P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right) = 1\) olduğunu gösteriniz.
f) \(Q : \mathcal{U} \to \mathbb{R}\) fonksiyonu (A1) ve (A2)’yi sağlasın, sonlu toplamsal olsun (ayrık \(A, B\) için \(Q(A \cup B) = Q(A) + Q(B)\)) ve artan her \((C_n)\) dizisi için \(Q\left( \bigcup C_n \right) = \lim Q(C_n)\) olsun. \(Q\)’nun (A3)’ü sağladığını, yani bir olasılık ölçüsü olduğunu gösteriniz.
g) \(\Omega = \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) ve \(\mathcal{U} = \mathcal{P}(\mathbb{N})\) olsun. Her \(n\) için \(P(\{n\}) = c\) olacak biçimde (yani “her doğal sayı eşit olasılıklı” olacak biçimde) bir olasılık ölçüsünün var olmadığını gösteriniz.
Çözüm
a) \(A \cap B \subset B\) olduğundan monotonlukla \(P(A \cap B) \le P(B) = 0{,}5\)’tir. Alt sınır için Örnek 3.2’ndeki eşitsizliği kullanalım: \(P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1 = 0{,}1\). Birleşim için \(A \subset A \cup B\) olduğundan \(P(A \cup B) \ge 0{,}6\)’dır; Teorem 3.1 (e) ile \(P(A \cup B) \le 1\). (Toplama kuralı ile \(P(A \cup B) = 1{,}1 - P(A \cap B)\) olduğundan bu iki sınır çifti birbirine denktir.)
Ulaşılabilirlik: \(\Omega = \{1, 2, \dots, 10\}\) ve her sonucun ağırlığı \(\frac{1}{10}\) olsun (bölüm başındaki nota göre bu bir olasılık ölçüsü verir). \(A = \{1, \dots, 6\}\), \(B = \{1, \dots, 5\}\) alınırsa \(B \subset A\) olur, \(P(A \cap B) = 0{,}5\) ve \(P(A \cup B) = 0{,}6\)’dır. \(A = \{1, \dots, 6\}\), \(B = \{6, \dots, 10\}\) alınırsa \(A \cap B = \{6\}\) olur, \(P(A \cap B) = 0{,}1\) ve \(P(A \cup B) = 1\)’dir.
b) İçerme–dışarma (Teorem 3.3, \(n = 3\)):
\[P(A \cup B \cup C) = 0{,}5 + 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}2 - 0{,}15 - 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}8.\]
Hiçbiri gerçekleşmez: \(P(A^c \cap B^c \cap C^c) = 1 - P(A \cup B \cup C) = 0{,}2\).
Öteki iki soru için \(\Omega\)’yı üç olayın belirlediği ayrık parçalara bölelim. “Yalnız \(A\)” olayı \(A \setminus (B \cup C)\)’dir; fark kuralı ve toplama kuralı ile
\[P\big( A \setminus (B \cup C) \big) = P(A) - P\big( A \cap (B \cup C) \big) = P(A) - \big[ P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) \big] = 0{,}5 - 0{,}2 - 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}2.\]
Aynı biçimde “yalnız \(B\)” için \(0{,}4 - 0{,}2 - 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}15\) ve “yalnız \(C\)” için \(0{,}3 - 0{,}15 - 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}1\) bulunur. Tam olarak biri: \(0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}45\).
Tam olarak ikisi: “\(A\) ve \(B\) ama \(C\) değil” olayı \((A \cap B) \setminus (A \cap B \cap C)\)’dir ve olasılığı \(0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}15\)’tir; benzer biçimde \(A, C\) için \(0{,}15 - 0{,}05 = 0{,}1\) ve \(B, C\) için \(0{,}1 - 0{,}05 = 0{,}05\). Toplam \(0{,}15 + 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}3\).
Kontrol: tam olarak biri, tam olarak ikisi ve üçü birden olayları ayrıktır ve birleşimleri \(A \cup B \cup C\)’dir: \(0{,}45 + 0{,}3 + 0{,}05 = 0{,}8\). Tutarlıdır.
c) \(A \setminus B\) ile \(B \setminus A\) ayrıktır; \(A \cap B \subset A\) ve \(A \cap B \subset B\) olduğundan fark kuralı ile
\[P(A \,\triangle\, B) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) = \big[ P(A) - P(A \cap B) \big] + \big[ P(B) - P(A \cap B) \big] = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B).\]
Toplama kuralına göre \(P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)\) olduğundan bu ifade \(P(A \cup B) - P(A \cap B)\)’ye eşittir.
d) De Morgan kuralı ile \(\left( \bigcap_{i=1}^{n} A_i \right)^c = \bigcup_{i=1}^{n} A_i^c\)’dir. Tümleyen kuralı ve Boole eşitsizliği ile
\[P\left( \bigcap_{i=1}^{n} A_i \right) = 1 - P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i^c \right) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n} P(A_i^c).\]
\(A_i\), \(i\)’inci parçanın çalışması olayı olsun. \(P(A_i) \ge 0{,}99\) ise \(P(A_i^c) \le 0{,}01\) ve \(n = 5\) için
\[P(A_1 \cap \dots \cap A_5) \ge 1 - 5 \cdot 0{,}01 = 0{,}95.\]
e) \(P(A_n) = 1\) ise tümleyen kuralı ile \(P(A_n^c) = 0\)’dır. Sonuç 3.1 gereği \(P\left( \bigcup A_n^c \right) \le \sum P(A_n^c) = 0\), yani \(P\left( \bigcup A_n^c \right) = 0\). De Morgan ve tümleyen kuralı ile
\[P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right) = 1 - P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \right) = 1.\]
f) \((A_n)\), \(\mathcal{U}\)’da ikişer ikişer ayrık bir dizi olsun. \(C_n = \bigcup_{i=1}^{n} A_i\) diyelim. \((C_n)\) artan bir dizidir ve \(\bigcup C_n = \bigcup A_n\)’dir. Sonlu toplamsallık, tümevarımla \(n\) ayrık kümeye genişler: \(C_n = C_{n-1} \cup A_n\) ayrık bir birleşimdir, dolayısıyla \(Q(C_n) = Q(C_{n-1}) + Q(A_n)\) ve buradan \(Q(C_n) = \sum_{i=1}^{n} Q(A_i)\). Süreklilik varsayımı ile
\[Q\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = Q\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \right) = \lim_{n \to \infty} Q(C_n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} Q(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} Q(A_i).\]
Bu (A3)’tür. Demek ki sonlu toplamsallık ile artan dizilerde süreklilik birlikte, sayılabilir toplamsallığa denktir; ters yön Teorem 3.1 (b) ve Teorem 3.5 (a)’dır.
g) Böyle bir \(P\) olduğunu varsayalım. \(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \dots\) tek elemanlı kümeleri ikişer ikişer ayrıktır ve birleşimleri \(\mathbb{N} = \Omega\)’dır. (A2) ve (A3) gereği
\[1 = P(\mathbb{N}) = \sum_{n=1}^{\infty} P(\{n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} c.\]
\(c = 0\) ise sağ taraf \(0\)’dır; \(c > 0\) ise seri ıraksar. Her iki durumda da eşitlik sağlanamaz; çelişki. Demek ki “rastgele bir doğal sayı seçmek” ifadesinin bütün doğal sayıları eşit olasılıklı yapan bir modeli yoktur. Aynı hesap, \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) üzerindeki her olasılık ölçüsünün \(p_n = P(\{n\})\) sayılarıyla belirlendiğini ve bu sayıların \(\sum_{n=1}^{\infty} p_n = 1\) koşulunu sağlaması gerektiğini gösterir.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde olasılığı üç aksiyomla tanımladık ve hesaplarda kullanılan bütün temel kuralları bu aksiyomlardan türettik. Sıradaki bölümde bu soyut yapıyı somut modellerle dolduracağız: Olasılık Uzayı Örnekleri ve Geometrik Olasılık.