17 Karakteristik ve Moment Üreten Fonksiyonlar
Beklenen Değer, Momentler ve Varyans bölümünde bir rastgele değişkenin momentlerini \(E(X^k)\) tek tek, her seferinde ayrı bir toplam ya da integral hesaplayarak bulduk. Bu bölümde bütün momentleri tek bir fonksiyonun içine sıkıştıran üç araç tanıtacağız: karakteristik fonksiyon \(\varphi_X(t)\), moment üreten fonksiyon \(M_X(t)\) ve çarpımsal moment üreten fonksiyon \(N_X(t)\). Üçü de aynı fikre dayanır: \(X\) yerine \(e^{itX}\), \(e^{tX}\) ya da \(t^X\) gibi bir üstel ifadenin beklenen değeri alınır ve \(t\) değişkeninin bir fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun \(t = 0\) (ya da \(t = 1\)) noktasındaki türevleri momentleri verir.
Bu araçların değeri yalnızca hesap kolaylığı değildir. Karakteristik fonksiyon, bir rastgele değişkenin dağılımını tek biçimde belirler: iki rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonları aynıysa dağılımları da aynıdır. Bu yüzden karakteristik fonksiyon, dağılımın bir tür “parmak izi”dir. Bir dağılımı bulmak için dağılım fonksiyonunu ya da yoğunluğu doğrudan hesaplamak yerine karakteristik fonksiyonunu hesaplayıp tanımak çoğu zaman çok daha kolaydır. Sonraki bölümlerde bağımsız rastgele değişkenlerin toplamını incelerken bu yaklaşımın gücünü göreceğiz.
Bölümde önce karakteristik fonksiyonu tanımlayacak, her rastgele değişken için var olduğunu göstereceğiz; temel özelliklerini ve momentlerle ilişkisini ispatlayacak, teklik teoremini ifade edeceğiz. Ardından moment üreten fonksiyonu, karakteristik fonksiyonla bağını ve moment üretme mekanizmasını ele alacağız. Son olarak çarpımsal moment üreten fonksiyonu ve çarpımsal momentleri inceleyeceğiz. Düzgün, iki noktalı, Laplace, üstel ve Poisson dağılımlarında bütün hesapları sonuna kadar yapacağız.
17.1 Karakteristik Fonksiyon
Karakteristik fonksiyon, karmaşık değerli bir rastgele değişkenin beklenen değeridir. Bu yüzden önce bir küçük hazırlık gerekir. \(U\) ve \(V\) gerçel rastgele değişkenler olmak üzere \(Z = U + iV\) biçimindeki bir nesneye karmaşık değerli rastgele değişken diyelim. \(E(U)\) ve \(E(V)\) varsa \(Z\)’nin beklenen değeri
\[E(Z) = E(U) + i\,E(V)\]
ile tanımlanır. Euler formülü \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) gereği, her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[e^{itX} = \cos(tX) + i\sin(tX)\]
karmaşık değerli bir rastgele değişkendir ve gerçel ile sanal kısımları \(\cos(tX)\) ve \(\sin(tX)\)’dir.
Tanım 17.1 (Karakteristik Fonksiyon) \(X\) bir rastgele değişken olsun. Her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[\varphi_X(t) = E\!\left(e^{itX}\right) = E\big(\cos(tX)\big) + i\,E\big(\sin(tX)\big)\]
ile tanımlanan \(\varphi_X : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) fonksiyonuna \(X\) rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu denir.
Beklenen değerin tanımı (Tanım 16.1) \(g(x) = \cos(tx)\) ve \(g(x) = \sin(tx)\) fonksiyonlarına uygulanırsa karakteristik fonksiyonun hesap formülleri ortaya çıkar. \(X\) kesikli ve olasılık fonksiyonu \(f_X\) ise
\[\varphi_X(t) = \sum_{x \in D_X} e^{itx} f_X(x);\]
\(X\) sürekli ve yoğunluk fonksiyonu \(f_X\) ise
\[\varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x)\,dx.\]
Her rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu vardır. Bunun nedeni \(|e^{itx}| = 1\), dolayısıyla \(|\cos(tx)| \le 1\) ve \(|\sin(tx)| \le 1\) olmasıdır: kesikli durumda
\[\sum_{x \in D_X} |\cos(tx)|\, f_X(x) \le \sum_{x \in D_X} f_X(x) = 1 < \infty\]
olduğundan \(E(\cos(tX))\) vardır; \(\sin\) için ve sürekli durumda integral için aynı hesap geçerlidir. Bu, karakteristik fonksiyonu daha sonra tanımlayacağımız moment üreten fonksiyondan ayıran en önemli özelliktir: moment üreten fonksiyon bazı dağılımlar için yoktur, karakteristik fonksiyon ise her zaman vardır.
Karmaşık değerli beklenen değerle ilgili üç basit özelliğe sık sık gerek duyacağız.
\(Z = U + iV\) karmaşık değerli bir rastgele değişken ve \(E(Z)\) var olsun.
(i) Doğrusallık. \(c = \alpha + i\beta \in \mathbb{C}\) sabit olmak üzere \(E(cZ) = c\,E(Z)\) ve \(E(Z_1 + Z_2) = E(Z_1) + E(Z_2)\) olur. Gerçekten \(cZ = (\alpha U - \beta V) + i(\alpha V + \beta U)\)’dir. Gerçel beklenen değerin doğrusallığı (Teorem 16.1 ve Önerme 16.2) gerçel ve sanal kısımlara ayrı ayrı uygulanınca sonuç şudur:
\[E(cZ) = \alpha E(U) - \beta E(V) + i\big(\alpha E(V) + \beta E(U)\big) = (\alpha + i\beta)\big(E(U) + iE(V)\big).\]
(ii) Eşlenik. \(\overline{E(Z)} = E\big(\overline{Z}\big)\); çünkü \(\overline{Z} = U - iV\) ve \(\overline{E(Z)} = E(U) - iE(V)\).
(iii) Modül eşitsizliği. \(|E(Z)| \le E|Z|\). Bunu görmek için \(E(Z) = r e^{i\theta}\) (\(r \ge 0\)) yazalım. (i) gereği \(r = e^{-i\theta} E(Z) = E\big(e^{-i\theta} Z\big)\) olur. Sol taraf gerçel olduğundan sağ tarafın sanal kısmı sıfırdır; öyleyse \(r = E\big(\operatorname{Re}(e^{-i\theta} Z)\big)\). Her karmaşık sayı için \(\operatorname{Re} w \le |w|\) olduğundan ve \(|e^{-i\theta} Z| = |Z|\) olduğundan \(r \le E|Z|\) elde edilir.
Temel Özellikler
Bir fonksiyonun bir karakteristik fonksiyon olup olamayacağını hızla anlamak, karakteristik fonksiyonu bilinen bir değişkenden \(aX + b\) gibi türetilmiş değişkenlere geçmek ve ileride teklik teoremini kullanmak için aşağıdaki özellikler gerekir.
Teorem 17.1 (Karakteristik Fonksiyonun Temel Özellikleri) \(X\) bir rastgele değişken ve \(\varphi_X\) karakteristik fonksiyonu olsun.
(a) \(\varphi_X(0) = 1\).
(b) Her \(t \in \mathbb{R}\) için \(|\varphi_X(t)| \le 1\).
(c) \(\varphi_X\), \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün süreklidir.
(d) \(a, b \in \mathbb{R}\) sabit olmak üzere, her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[\varphi_{aX+b}(t) = e^{itb}\,\varphi_X(at).\]
(e) Her \(t \in \mathbb{R}\) için \(\varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)}\). Özel olarak \(X\) ile \(-X\) aynı dağılıma sahipse \(\varphi_X\) gerçel değerlidir.
İspat
(a) \(e^{i \cdot 0 \cdot X} = 1\) olduğundan \(\varphi_X(0) = E(1) = 1\).
(b) Modül eşitsizliği ile \(|\varphi_X(t)| = \big|E(e^{itX})\big| \le E\big|e^{itX}\big| = E(1) = 1\).
(c) \(t \in \mathbb{R}\) ve \(h \in \mathbb{R}\) olsun. \(e^{i(t+h)X} - e^{itX} = e^{itX}\big(e^{ihX} - 1\big)\) olduğundan, doğrusallık ve modül eşitsizliği ile
\[\big|\varphi_X(t+h) - \varphi_X(t)\big| = \Big|E\Big(e^{itX}\big(e^{ihX} - 1\big)\Big)\Big| \le E\Big(\big|e^{itX}\big|\,\big|e^{ihX} - 1\big|\Big) = E\big|e^{ihX} - 1\big|\]
bulunur. Sağ taraf \(t\)’ye bağlı değildir; ona \(\delta(h)\) diyelim. \(h \to 0\) iken her \(\omega\) için \(e^{ihX(\omega)} \to 1\), yani \(|e^{ihX(\omega)} - 1| \to 0\) olur; üstelik \(|e^{ihX} - 1| \le |e^{ihX}| + 1 = 2\) olduğundan bu fonksiyonlar \(h\)’den bağımsız bir sabitle sınırlıdır. Sınırlı yakınsaklık teoremi (sınırlı ve noktasal yakınsayan bir dizinin beklenen değerinin limite yakınsaması) gereği \(\delta(h) \to 0\) olur. Öyleyse verilen \(\varepsilon > 0\) için \(|h| < h_0\) olduğunda \(\delta(h) < \varepsilon\) olacak biçimde bir \(h_0 > 0\) vardır ve bu \(h_0\) her \(t\) için işe yarar: \(|h| < h_0\) olan her \(t, t+h\) çifti için \(|\varphi_X(t+h) - \varphi_X(t)| < \varepsilon\). Bu, düzgün sürekliliğin tanımıdır.
(d) \(e^{it(aX+b)} = e^{itb}\, e^{i(at)X}\) yazılır; \(e^{itb}\) bir sabit olduğundan doğrusallık ile
\[\varphi_{aX+b}(t) = E\big(e^{itb} e^{i(at)X}\big) = e^{itb}\, E\big(e^{i(at)X}\big) = e^{itb}\,\varphi_X(at).\]
(e) \(\overline{e^{itX}} = \cos(tX) - i\sin(tX) = e^{-itX}\) olduğundan, eşlenik özelliği ile \(\overline{\varphi_X(t)} = E\big(e^{-itX}\big) = \varphi_X(-t)\). Şimdi \(X\) ile \(-X\) aynı dağılıma sahip olsun. Karakteristik fonksiyon yalnızca dağılıma (olasılık ya da yoğunluk fonksiyonuna) bağlı olduğundan \(\varphi_{-X} = \varphi_X\) olur. Öte yandan (d) şıkkı \(a = -1\), \(b = 0\) ile \(\varphi_{-X}(t) = \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)}\) verir. Böylece \(\varphi_X(t) = \overline{\varphi_X(t)}\), yani \(\varphi_X(t)\) gerçeldir.
\(\blacksquare\)
Özelliklerden (a) ve (b)’nin pratik bir kullanımı vardır: verilen bir fonksiyon \(t = 0\)’da \(1\) değerini almıyorsa ya da modülü bir yerde \(1\)’i aşıyorsa, o fonksiyon hiçbir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu olamaz. Örneğin \(\varphi(t) = 2\cos t\) ya da \(\varphi(t) = e^{t}\) karakteristik fonksiyon değildir. Bu koşulların yeterli olmadığını da not edelim: (a) ve (b)’yi sağlayan ama karakteristik fonksiyon olmayan fonksiyonlar vardır.
Karakteristik Fonksiyondan Momentler
Karakteristik fonksiyonun asıl işlevlerinden biri momentleri türev alarak üretmesidir. Biçimsel olarak \(e^{itX}\)’in \(t\)’ye göre \(k\). türevi \((iX)^k e^{itX}\)’tir; \(t = 0\)’da bu \(i^k X^k\) olur. Türev ile beklenen değerin yerinin değiştirilebildiğini görmek ispatın tek işidir.
Teorem 17.2 (Karakteristik Fonksiyondan Momentler) \(X\) rastgele değişkeninin \(n\). mertebeden momenti var, yani \(E(|X|^n) < \infty\) olsun. O zaman \(\varphi_X\), \(\mathbb{R}\) üzerinde \(n\) kez türevlenebilirdir ve \(k = 1, 2, \ldots, n\) için
\[\varphi_X^{(k)}(t) = i^k\, E\!\left(X^k e^{itX}\right), \qquad \text{özel olarak} \qquad \varphi_X^{(k)}(0) = i^k\, E\!\left(X^k\right)\]
olur. Başka bir deyişle \(E(X^k) = i^{-k}\varphi_X^{(k)}(0)\)’dır.
İspat
Önce \(k \le n\) için \(E(|X|^k) < \infty\) olduğunu görelim: her gerçel \(x\) için \(|x|^k \le 1 + |x|^n\) olduğundan (\(|x| \le 1\) ise \(|x|^k \le 1\), \(|x| > 1\) ise \(|x|^k \le |x|^n\)) \(E(|X|^k) \le 1 + E(|X|^n) < \infty\).
Şimdi \(k = 1\) durumunu ele alalım. \(h \ne 0\) için fark oranı
\[\frac{\varphi_X(t+h) - \varphi_X(t)}{h} = E\!\left( e^{itX}\,\frac{e^{ihX} - 1}{h} \right)\]
biçimindedir. \(h \to 0\) iken her \(\omega\) için \(\dfrac{e^{ihX(\omega)} - 1}{h} \to iX(\omega)\) olur (bu, \(u \mapsto e^{iuX(\omega)}\) fonksiyonunun \(u = 0\)’daki türevidir). Ayrıca her gerçel \(u\) için \(|e^{iu} - 1| = 2\left|\sin\dfrac{u}{2}\right| \le |u|\) olduğundan
\[\left| e^{itX}\,\frac{e^{ihX} - 1}{h} \right| \le \frac{|hX|}{|h|} = |X|\]
olur; sağ taraf \(h\)’den bağımsızdır ve \(E|X| < \infty\)’dur. Baskın yakınsaklık teoremi gereği limit ile beklenen değerin yeri değiştirilebilir ve
\[\varphi_X'(t) = E\!\left( iX e^{itX} \right) = i\,E\!\left( X e^{itX} \right)\]
bulunur. Aynı akıl yürütme \(X e^{itX}\) için tekrarlanır: bu kez fark oranı \(|X|^2\) ile sınırlıdır ve \(E(|X|^2) < \infty\)’dur; böylece \(\varphi_X''(t) = i^2 E(X^2 e^{itX})\) olur. \(k\) adımda \(\varphi_X^{(k)}(t) = i^k E(X^k e^{itX})\) elde edilir. \(t = 0\) konursa \(e^{i \cdot 0 \cdot X} = 1\) olduğundan \(\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E(X^k)\) çıkar.
\(\blacksquare\)
Teoremin kullanışlı bir sonucu, \(\varphi_X\)’in \(t = 0\) çevresindeki Taylor açılımıdır: \(E(|X|^n) < \infty\) ise
\[\varphi_X(t) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(it)^k}{k!}\, E\!\left(X^k\right) + o(t^n) = 1 + it\,E(X) - \frac{t^2}{2}\,E\!\left(X^2\right) - \frac{it^3}{6}\,E\!\left(X^3\right) + \cdots\]
olur. Bu yüzden \(\varphi_X\)’in kapalı bir formülü biliniyorsa, momentleri türev almak yerine formülün kuvvet serisi açılımındaki katsayılardan okumak çoğu zaman daha pratiktir; aşağıdaki örneklerde bunu yapacağız.
Teklik ve Fourier Dönüşümü
Karakteristik fonksiyonun kuramsal önemi şu sorunun yanıtından gelir: \(\varphi_X\) bilindiğinde \(X\)’in dağılımı bilinmiş olur mu? Yanıt evettir. Bunun arka planında karakteristik fonksiyonun bir Fourier dönüşümü olması yatar.
\(X\) sürekli ve yoğunluğu \(f_X\) ise \(\varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x)\,dx\), yani \(\varphi_X\) tam olarak \(f_X\)’in (işaret ve sabit uzlaşımı bir yana) Fourier dönüşümüdür. Fourier dönüşümü tersinirdir: \(\int_{-\infty}^{\infty} |\varphi_X(t)|\,dt < \infty\) ise \(X\) sürekli bir rastgele değişkendir ve yoğunluğu ters Fourier dönüşümü ile geri kazanılır:
\[f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\,\varphi_X(t)\,dt.\]
Değer kümesi tam sayılardan oluşan kesikli bir \(X\) için de benzer bir formül vardır: \(f_X(x) = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} e^{-itx}\,\varphi_X(t)\,dt\). Her rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu var olduğundan ve bu dönüşümler için hazır tablolar bulunduğundan, uygulamada dağılımlar çoğu zaman karakteristik fonksiyonlarından tanınır. Aşağıdaki teklik teoremi bu ters çevirme formüllerinin (ve genel dağılım fonksiyonları için geçerli daha genel bir ters çevirme formülünün) bir sonucudur.
Teorem 17.3 (Karakteristik Fonksiyon için Teklik Teoremi) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin karakteristik fonksiyonları her \(t \in \mathbb{R}\) için eşitse, yani \(\varphi_X(t) = \varphi_Y(t)\) ise, \(X\) ile \(Y\) aynı dağılıma sahiptir: her \(x \in \mathbb{R}\) için \(F_X(x) = F_Y(x)\).
Teoremin tersi açıktır: karakteristik fonksiyon yalnızca dağılıma bağlı olduğundan aynı dağılıma sahip iki değişkenin karakteristik fonksiyonları aynıdır. Teoremin kendisinin ispatı ters çevirme formülüne dayanır ve bu kitabın sınırları dışındadır; biz onu bir araç olarak kullanacağız. Kullanım biçimi şudur: bir \(Y\) rastgele değişkeninin dağılımı aranıyorsa \(\varphi_Y\) hesaplanır; sonuç, dağılımı bilinen bir \(X\)’in karakteristik fonksiyonuyla çakışıyorsa \(Y\)’nin dağılımı \(X\)’inkiyle aynıdır.
Karakteristik Fonksiyon Örnekleri
Aşağıdaki hesaplarda, gerçel değişkenli karmaşık değerli \(x \mapsto e^{itx}\) fonksiyonunun türevini ve integralini kullanacağız. Gerçel ve sanal kısımlar ayrı ayrı türevlenir:
\[\frac{d}{dx} e^{itx} = \frac{d}{dx}\big(\cos(tx) + i\sin(tx)\big) = -t\sin(tx) + it\cos(tx) = it\big(\cos(tx) + i\sin(tx)\big) = it\,e^{itx}.\]
Dolayısıyla \(t \ne 0\) için \(\displaystyle\int_a^b e^{itx}\,dx = \left[\frac{e^{itx}}{it}\right]_a^b = \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it}\) olur. Ayrıca \(e^{iu} - e^{-iu} = 2i\sin u\) ve \(e^{iu} + e^{-iu} = 2\cos u\) özdeşliklerini kullanacağız.
Örnek 17.1 (Düzgün Dağılımın Karakteristik Fonksiyonu) \(a < b\) olmak üzere \(X\) rastgele değişkeninin yoğunluk fonksiyonu
\[f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a < x < b \\[2mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun (\((a,b)\) aralığında düzgün dağılım). \(\varphi_X\)’i bulunuz; özel olarak \(a = -1\), \(b = 1\) durumunu yazınız ve buradan \(E(X)\) ile \(\operatorname{Var}(X)\)’i okuyunuz.
Çözüm
\(t \ne 0\) için
\[\varphi_X(t) = \int_a^b e^{itx}\,\frac{1}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{e^{itx}}{it}\right]_a^b = \frac{e^{ibt} - e^{iat}}{it\,(b-a)}.\]
\(t = 0\) için formül \(\frac{0}{0}\) biçimindedir; ama tanımdan doğrudan \(\varphi_X(0) = 1\)’dir ve Teorem 17.1 (c) gereği \(\varphi_X\) sürekli olduğundan formülün \(t \to 0\) limiti de \(1\)’dir. Özetle
\[\varphi_X(t) = \begin{cases} \dfrac{e^{ibt} - e^{iat}}{it\,(b-a)}, & t \ne 0 \\[3mm] 1, & t = 0. \end{cases}\]
Aynı sonuca Teorem 17.1 (d) ile de ulaşılabilir: \(U\), \((0,1)\) aralığında düzgün dağılımlı ise \(\varphi_U(t) = \dfrac{e^{it} - 1}{it}\) ve \((b-a)U + a\) rastgele değişkeni \(X\) ile aynı dağılıma sahip olduğundan \(\varphi_X(t) = e^{iat}\varphi_U\big((b-a)t\big) = e^{iat}\,\dfrac{e^{i(b-a)t} - 1}{i(b-a)t} = \dfrac{e^{ibt} - e^{iat}}{it(b-a)}\).
Özel durum \(a = -1\), \(b = 1\). \(t \ne 0\) için
\[\varphi_X(t) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2it} = \frac{2i\sin t}{2it} = \frac{\sin t}{t}, \qquad \varphi_X(0) = 1.\]
\(X\) ile \(-X\) aynı dağılıma sahip olduğundan sonucun gerçel çıkması Teorem 17.1 (e) ile uyumludur. Fonksiyon \(t = 0\)’da \(1\) değerini alır, \(|\sin t / t| \le 1\)’dir ve \(t \to \pm\infty\) iken sıfıra sönerek salınır.
Momentler. \(\sin t = t - \dfrac{t^3}{6} + \dfrac{t^5}{120} - \cdots\) olduğundan
\[\varphi_X(t) = \frac{\sin t}{t} = 1 - \frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} - \cdots\]
Bunu \(\varphi_X(t) = 1 + it\,E(X) - \dfrac{t^2}{2}E(X^2) - \dfrac{it^3}{6}E(X^3) + \dfrac{t^4}{24}E(X^4) - \cdots\) açılımıyla karşılaştıralım: \(t\)’nin katsayısı sıfır olduğundan \(E(X) = 0\); \(t^2\)’nin katsayısından \(-\dfrac{E(X^2)}{2} = -\dfrac{1}{6}\), yani \(E(X^2) = \dfrac{1}{3}\) bulunur. Böylece Önerme 16.3 ile \(\operatorname{Var}(X) = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}\). Doğrudan hesap da aynı sonucu verir: \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2}\,dx = \frac{1}{3}\). Aynı yolla \(t^4\) katsayısından \(\dfrac{E(X^4)}{24} = \dfrac{1}{120}\), yani \(E(X^4) = \dfrac{1}{5}\) okunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 17.2 (İki Noktalı Dağılımın Karakteristik Fonksiyonu) \(X\) rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu \(P(X = 1) = P(X = -1) = \dfrac{1}{2}\) ile verilsin. \(\varphi_X\)’i bulunuz; buradan \(X\)’in momentlerini okuyunuz ve \(Y = \dfrac{X+1}{2}\) değişkeninin karakteristik fonksiyonunu yazınız.
Çözüm
Kesikli formül ile
\[\varphi_X(t) = \sum_{x \in \{-1, 1\}} e^{itx} f_X(x) = \frac{1}{2}e^{it} + \frac{1}{2}e^{-it} = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2} = \cos t.\]
Dağılım \(0\) çevresinde bakışımlı olduğundan sonuç yine gerçeldir.
Momentler. \(\cos t = 1 - \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^4}{24} - \cdots\) açılımını \(1 + it\,E(X) - \dfrac{t^2}{2}E(X^2) - \dfrac{it^3}{6}E(X^3) + \dfrac{t^4}{24}E(X^4) - \cdots\) ile karşılaştırınca \(E(X) = 0\), \(E(X^2) = 1\), \(E(X^3) = 0\), \(E(X^4) = 1\) bulunur. Bu, \(X^2 = 1\) olmasıyla tutarlıdır: \(X\)’in bütün çift momentleri \(1\), tek momentleri \(0\)’dır. Türevle de doğrulanabilir: \(\varphi_X''(0) = -\cos 0 = -1 = i^2 E(X^2)\).
\(Y = \frac{X+1}{2}\) için. \(Y\), \(0\) ve \(1\) değerlerini \(\frac{1}{2}\) olasılıkla alır. Teorem 17.1 (d) ile \(a = \frac{1}{2}\), \(b = \frac{1}{2}\) alınarak
\[\varphi_Y(t) = e^{it/2}\,\varphi_X\!\left(\frac{t}{2}\right) = e^{it/2}\cos\frac{t}{2} = e^{it/2}\cdot\frac{e^{it/2} + e^{-it/2}}{2} = \frac{e^{it} + 1}{2}.\]
Doğrudan hesap da aynı sonucu verir: \(\varphi_Y(t) = \frac{1}{2}e^{i t \cdot 0} + \frac{1}{2}e^{it} = \frac{1 + e^{it}}{2}\).
\(\blacksquare\)
Örnek 17.3 (Laplace Dağılımının Karakteristik Fonksiyonu) \(X\) rastgele değişkeninin yoğunluk fonksiyonu
\[f_X(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}, \qquad x \in \mathbb{R}\]
olsun (Laplace dağılımı). \(\varphi_X\)’i bulunuz ve buradan \(E(X)\), \(\operatorname{Var}(X)\) ve \(E(X^4)\)’ü okuyunuz.
Çözüm
Önce \(f_X\)’in bir yoğunluk olduğunu görelim: \(f_X \ge 0\) ve bakışım nedeniyle \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}e^{-|x|}\,dx = 2 \int_0^{\infty} \frac{1}{2}e^{-x}\,dx = 1\).
\(|x|\)’in işaretine göre integrali ikiye ayıralım:
\[\varphi_X(t) = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{0} e^{itx} e^{x}\,dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{itx} e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{0} e^{(1+it)x}\,dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-(1-it)x}\,dx.\]
İkinci integrali hesaplayalım. \(\dfrac{d}{dx} e^{-(1-it)x} = -(1-it)e^{-(1-it)x}\) olduğundan \(R > 0\) için
\[\int_0^{R} e^{-(1-it)x}\,dx = \left[ \frac{e^{-(1-it)x}}{-(1-it)} \right]_0^{R} = \frac{1 - e^{-(1-it)R}}{1 - it}.\]
\(\big|e^{-(1-it)R}\big| = e^{-R}\,\big|e^{itR}\big| = e^{-R} \to 0\) olduğundan \(R \to \infty\) iken integral \(\dfrac{1}{1-it}\)’ye yakınsar. Aynı biçimde
\[\int_{-R}^{0} e^{(1+it)x}\,dx = \left[ \frac{e^{(1+it)x}}{1+it} \right]_{-R}^{0} = \frac{1 - e^{-(1+it)R}}{1+it} \longrightarrow \frac{1}{1+it}.\]
Böylece
\[\varphi_X(t) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1+it} + \frac{1}{1-it} \right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{(1-it) + (1+it)}{(1+it)(1-it)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1 + t^2} = \frac{1}{1+t^2}, \qquad t \in \mathbb{R}.\]
Sonuç gerçeldir; bu yine bakışımın sonucudur. Aslında bakışımdan yararlanarak sanal kısmı hiç hesaplamadan da ilerlenebilirdi: \(\sin(tx)f_X(x)\) tek fonksiyon olduğundan \(E(\sin(tX)) = 0\) ve \(\varphi_X(t) = E(\cos(tX)) = \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}\cos(tx)\,dx = \frac{1}{1+t^2}\).
Momentler. \(|t| < 1\) için geometrik seri ile
\[\varphi_X(t) = \frac{1}{1+t^2} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots\]
Bunu \(1 + it\,E(X) - \dfrac{t^2}{2}E(X^2) - \dfrac{it^3}{6}E(X^3) + \dfrac{t^4}{24}E(X^4) - \cdots\) ile karşılaştıralım: \(E(X) = 0\); \(-\dfrac{E(X^2)}{2} = -1\), yani \(E(X^2) = 2\); \(E(X^3) = 0\); \(\dfrac{E(X^4)}{24} = 1\), yani \(E(X^4) = 24\). Dolayısıyla \(\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = 2\). Doğrudan hesapla karşılaştırma: \(E(X^4) = 2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^4}{2}e^{-x}\,dx = 4! = 24\).
\(\blacksquare\)
Laplace örneği ters Fourier dönüşümü notunu somutlaştırır: \(\varphi_X(t) = \dfrac{1}{1+t^2}\) mutlak integrallenebilir olduğundan \(f_X(x) = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-itx}}{1+t^2}\,dt = \frac{1}{2}e^{-|x|}\) olmak zorundadır; yani bu integral, karakteristik fonksiyon kuramıyla hesaplanmış olur.
17.2 Moment Üreten Fonksiyon
Karakteristik fonksiyondaki \(i\) sayısı hesapları karmaşık sayılara taşır. \(e^{itX}\) yerine gerçel \(e^{tX}\) alınırsa karmaşık sayılardan kurtulunur; bedeli, \(e^{tX}\) sınırlı olmadığından beklenen değerin her zaman var olmamasıdır.
Tanım 17.2 (Moment Üreten Fonksiyon) \(X\) bir rastgele değişken olsun. Bir \(h > 0\) sayısı için her \(t \in (-h, h)\)’de \(E\!\left(e^{tX}\right)\) beklenen değeri (sonlu olarak) varsa
\[M_X(t) = E\!\left(e^{tX}\right), \qquad -h < t < h\]
fonksiyonuna \(X\) rastgele değişkeninin moment üreten fonksiyonu (moment çıkaran fonksiyonu) denir. \(X\) kesikli ise \(M_X(t) = \displaystyle\sum_{x \in D_X} e^{tx} f_X(x)\), sürekli ise \(M_X(t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f_X(x)\,dx\) olur.
Tanımdaki \((-h,h)\) koşulu önemlidir: moment üreten fonksiyonun var sayılması için \(E(e^{tX})\)’in \(t = 0\)’ın bir komşuluğundaki bütün \(t\)’ler için sonlu olması istenir. \(t = 0\)’da \(M_X(0) = E(1) = 1\) her zaman sonludur; sorun, \(t > 0\) için \(e^{tx}\)’in \(x \to \infty\) iken, \(t < 0\) için ise \(x \to -\infty\) iken üstel hızla büyümesidir. Beklenen değerin sonlu kalması için dağılımın her iki kuyruğunun üstel hızla sönmesi gerekir. Aşağıda bunun sağlanmadığı bir örnek göreceğiz.
Moment üreten fonksiyon var olduğunda karakteristik fonksiyonla aradaki bağ, beklendiği gibi, \(t\) yerine \(it\) koymaktır. Bunu tam olarak ifade edelim; çünkü bu bağ, moment üreten fonksiyon için teklik teoreminin dayanağıdır.
Önerme 17.1 (Moment Üreten Fonksiyon ile Karakteristik Fonksiyon Arasındaki İlişki) \(X\)’in moment üreten fonksiyonu \((-h,h)\) üzerinde var olsun. O zaman \(|\operatorname{Re} z| < h\) koşulunu sağlayan her karmaşık \(z = s + iu\) için \(E\!\left(e^{zX}\right)\) vardır; böylece \(M_X\), \(\{z \in \mathbb{C} : |\operatorname{Re} z| < h\}\) şeridine \(M_X(z) = E\!\left(e^{zX}\right)\) ile genişletilir ve her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[\varphi_X(t) = M_X(it)\]
olur.
İspat
\(z = s + iu\) olsun. \(e^{zX} = e^{sX}e^{iuX} = e^{sX}\cos(uX) + i\,e^{sX}\sin(uX)\) yazılır. \(|e^{sX}\cos(uX)| \le e^{sX}\) ve \(|e^{sX}\sin(uX)| \le e^{sX}\) olduğundan, \(|s| < h\) için \(E(e^{sX}) = M_X(s) < \infty\) olması gerçel ve sanal kısımların beklenen değerlerinin var olmasını sağlar. Öyleyse \(E(e^{zX})\) tanımlıdır. \(z = it\) alınırsa \(s = 0\), \(u = t\) olur ve \(E(e^{itX}) = \varphi_X(t)\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Uygulamada bu, \(M_X\)’in kapalı formülünde \(t\) yerine \(it\) yazmak demektir. Örneğin aşağıda üstel dağılım için \(M_X(t) = \dfrac{1}{1-t}\) bulacağız; buradan \(\varphi_X(t) = \dfrac{1}{1-it}\) okunur ve bu, Laplace örneğindeki \(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(1-it)x}\,dx = \frac{1}{1-it}\) hesabıyla doğrulanır.
Moment Üreten Fonksiyondan Momentler
Adının söylediği gibi, moment üreten fonksiyon momentleri üretir. Mekanizma karakteristik fonksiyondakiyle aynıdır, ama bu kez \(i\) çarpanı yoktur ve sonuç daha temizdir.
Teorem 17.4 (Moment Üreten Fonksiyondan Momentler) \(X\)’in moment üreten fonksiyonu \((-h,h)\) üzerinde var olsun. O zaman \(X\)’in her mertebeden momenti vardır, \(M_X\) bu aralıkta sonsuz kez türevlenebilirdir ve
\[M_X^{(n)}(0) = E\!\left(X^n\right), \qquad n = 1, 2, \ldots\]
olur. Ayrıca \(|t| < h\) için
\[M_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E(X^n)}{n!}\,t^n\]
kuvvet serisi açılımı geçerlidir.
İspat
Adım 1: Bütün momentler vardır. \(0 < s < h\) sabit olsun. Her gerçel \(x\) ve her \(n\) için üstel serinin bir terimi seriden büyük olamaz: \(\dfrac{(s|x|)^n}{n!} \le e^{s|x|}\). Ayrıca \(e^{s|x|} \le e^{sx} + e^{-sx}\) olduğundan
\[|x|^n \le \frac{n!}{s^n}\left(e^{sx} + e^{-sx}\right)\]
bulunur. Beklenen değer alınırsa \(E(|X|^n) \le \dfrac{n!}{s^n}\big(M_X(s) + M_X(-s)\big) < \infty\).
Adım 2: Türev. \(\dfrac{d^n}{dt^n} e^{tx} = x^n e^{tx}\)’dir. \(|t| < h\) verilsin ve \(|t| \le s' < s < h\) olacak biçimde \(s'\) ile \(s\) seçelim. \(|x^n e^{tx}| \le |x|^n e^{s'|x|}\) ve Adım 1’deki eşitsizlik \(s - s'\) ile uygulanırsa \(|x|^n \le \dfrac{n!}{(s-s')^n} e^{(s-s')|x|}\), dolayısıyla
\[\left| x^n e^{tx} \right| \le \frac{n!}{(s-s')^n}\, e^{s|x|} \le \frac{n!}{(s-s')^n}\left(e^{sx} + e^{-sx}\right)\]
olur. Sağ taraf \(t\)’den bağımsızdır ve beklenen değeri sonludur. Bu, \(|t| \le s'\) aralığında türev ile beklenen değerin yerinin (baskın yakınsaklık teoremi gereği) değiştirilebilmesi için yeterlidir:
\[M_X^{(n)}(t) = E\!\left( X^n e^{tX} \right), \qquad |t| < h.\]
\(t = 0\) konursa \(M_X^{(n)}(0) = E(X^n)\) elde edilir.
Adım 3: Seri açılımı. \(e^{tx} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(tx)^n}{n!}\) serisini terim terim beklenen değere taşıyabilmek için mutlak yakınsaklığı kontrol edelim: \(|t| < h\) için
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{|t|^n\,E(|X|^n)}{n!} = E\!\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|tX|^n}{n!} \right) = E\!\left( e^{|t||X|} \right) \le M_X(|t|) + M_X(-|t|) < \infty.\]
(Negatif olmayan terimli serilerde toplam ile beklenen değerin yeri her zaman değiştirilebilir.) Mutlak yakınsaklık, toplam ile beklenen değerin yerinin genel durumda da değiştirilebilmesini sağlar; böylece \(M_X(t) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}E(X^n)\) olur. Bu seri \(M_X\)’in \(0\) çevresindeki Taylor serisidir ve katsayı karşılaştırması Adım 2’nin sonucunu bir kez daha verir.
\(\blacksquare\)
Serideki \(t^n\)’nin katsayısı \(\dfrac{E(X^n)}{n!}\) olduğundan, \(M_X\)’in kapalı formülü seriye açıldığında momentler doğrudan okunur. Karakteristik fonksiyondan farkı, katsayılarda \(i^n\) çarpanının bulunmamasıdır.
Teklik
Moment üreten fonksiyon var olduğunda, karakteristik fonksiyon gibi, dağılımı tek biçimde belirler.
Teorem 17.5 (Moment Üreten Fonksiyon için Teklik Teoremi) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin moment üreten fonksiyonları var ve bir \(h > 0\) için her \(t \in (-h,h)\)’de \(M_X(t) = M_Y(t)\) ise, \(X\) ile \(Y\) aynı dağılıma sahiptir: her \(x\) için \(F_X(x) = F_Y(x)\).
Teoremin arkasındaki fikir Önerme 17.1 ile Teorem 17.3’in birleştirilmesidir: \(M_X\) ve \(M_Y\), \(|\operatorname{Re} z| < h\) şeridinde karmaşık değişkenin analitik fonksiyonlarıdır; gerçel eksenin bir parçasında çakışan iki analitik fonksiyon bütün şeritte çakışır, dolayısıyla sanal eksende de çakışır ve \(\varphi_X(t) = M_X(it) = M_Y(it) = \varphi_Y(t)\) olur. Analitiklik adımının ayrıntısına girmiyoruz; teoremi olduğu gibi kullanacağız.
Teoremin bir uyarıyla birlikte okunması gerekir: teklik yalnızca moment üreten fonksiyonu var olan rastgele değişkenler için söz konusudur. Moment üreten fonksiyonu olmayan dağılımlar vardır ve bunlar için tek güvenilir araç karakteristik fonksiyondur.
\(X\) rastgele değişkeninin yoğunluğu \(f_X(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\), \(x \in \mathbb{R}\) olsun (Cauchy dağılımı). \(t > 0\) için \(x \ge 0\) iken \(e^{tx} \ge \dfrac{(tx)^3}{6}\) olduğundan
\[E\!\left(e^{tX}\right) \ge \int_0^{\infty} \frac{e^{tx}}{\pi(1+x^2)}\,dx \ge \frac{t^3}{6\pi}\int_0^{\infty} \frac{x^3}{1+x^2}\,dx = \infty;\]
çünkü \(x \ge 1\) için \(\dfrac{x^3}{1+x^2} \ge \dfrac{x}{2}\)’dir. \(t < 0\) için aynı şey sol kuyrukta olur. Yani \(E(e^{tX})\) yalnızca \(t = 0\)’da sonludur ve \(X\)’in moment üreten fonksiyonu yoktur; zaten \(E|X| = \infty\) olduğundan beklenen değeri bile yoktur. Buna karşın karakteristik fonksiyonu, her rastgele değişkende olduğu gibi vardır ve \(\varphi_X(t) = e^{-|t|}\)’dir. (Bu, Laplace örneğinin ters Fourier dönüşümüyle okunmuş biçimidir: \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-itx}}{1+t^2}\,dt = \pi e^{-|x|}\) eşitliğinde \(x\) ile \(t\)’nin rolleri değiştirilirse \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-itx}}{1+x^2}\,dx = \pi e^{-|t|}\) olur; \(\dfrac{1}{1+x^2}\) çift bir fonksiyon olduğundan \(x \mapsto -x\) değişken değiştirmesiyle üsteldeki işaret çevrilebilir ve \(\varphi_X(t) = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{itx}}{1+x^2}\,dx = e^{-|t|}\) elde edilir.) Moment üreten fonksiyon için teklik teoremi Cauchy dağılımını bu yüzden kapsamaz: Cauchy dağılımının moment üreten fonksiyonu tanımlı değildir; dağılımını belirleyen tek araç karakteristik fonksiyonudur.
Moment Üreten Fonksiyon Örnekleri
Örnek 17.4 (Üstel Dağılımın Moment Üreten Fonksiyonu) \(X\) rastgele değişkeninin yoğunluk fonksiyonu
\[f_X(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun (üstel dağılım). \(M_X\)’in var olduğunu gösteriniz, bulunuz ve buradan bütün momentleri, özel olarak \(E(X)\) ile \(\operatorname{Var}(X)\)’i hesaplayınız.
Çözüm
\(t \in \mathbb{R}\) için
\[E\!\left(e^{tX}\right) = \int_0^{\infty} e^{tx} e^{-x}\,dx = \int_0^{\infty} e^{-(1-t)x}\,dx.\]
\(t < 1\) ise \(1 - t > 0\) ve integral \(\left[ \dfrac{e^{-(1-t)x}}{-(1-t)} \right]_0^{\infty} = \dfrac{1}{1-t}\) olur. \(t \ge 1\) ise integrand her \(x > 0\) için \(e^{-(1-t)x} \ge 1\) olduğundan integral sonsuzdur. Demek ki \(h = 1\) ile tanımın koşulu sağlanır ve
\[M_X(t) = \frac{1}{1-t} = (1-t)^{-1}, \qquad t < 1.\]
Momentler. \(M_X'(t) = (1-t)^{-2}\), \(M_X''(t) = 2(1-t)^{-3}\) ve tümevarımla \(M_X^{(n)}(t) = n!\,(1-t)^{-(n+1)}\) olur. Teorem 17.4 ile
\[E(X^n) = M_X^{(n)}(0) = n!, \qquad n = 1, 2, \ldots\]
Özel olarak \(E(X) = 1\), \(E(X^2) = 2\) ve \(\operatorname{Var}(X) = 2 - 1^2 = 1\). Seri açılımıyla da görülür: \(|t| < 1\) için \(\dfrac{1}{1-t} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} t^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}t^n\), yani \(t^n\)’nin katsayısı \(\dfrac{E(X^n)}{n!} = 1\)’dir.
Önerme 17.1 gereği karakteristik fonksiyon \(\varphi_X(t) = M_X(it) = \dfrac{1}{1-it}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 17.5 (Poisson Dağılımının Moment Üreten Fonksiyonu) \(\lambda > 0\) olmak üzere \(X\) rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
\[f_X(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \qquad x = 0, 1, 2, \ldots\]
olsun (Poisson dağılımı). \(M_X\)’i bulunuz; \(E(X)\), \(E(X^2)\) ve \(\operatorname{Var}(X)\)’i hesaplayınız.
Çözüm
Önce \(f_X\)’in bir olasılık fonksiyonu olduğunu not edelim: \(\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1\).
Her \(t \in \mathbb{R}\) için üstel seri yardımıyla
\[M_X(t) = \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx}\,\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\left(\lambda e^{t}\right)^x}{x!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{t}} = e^{\lambda\left(e^{t} - 1\right)}.\]
Seri her \(t\) için yakınsadığından moment üreten fonksiyon bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde vardır (\(h\) istenildiği kadar büyük seçilebilir).
Momentler. Zincir kuralıyla
\[M_X'(t) = \lambda e^{t}\, e^{\lambda(e^{t}-1)}, \qquad M_X''(t) = \lambda e^{t}\, e^{\lambda(e^{t}-1)} + \left(\lambda e^{t}\right)^2 e^{\lambda(e^{t}-1)}.\]
\(t = 0\)’da \(e^{\lambda(e^0 - 1)} = e^0 = 1\) olduğundan
\[E(X) = M_X'(0) = \lambda, \qquad E(X^2) = M_X''(0) = \lambda + \lambda^2.\]
Dolayısıyla \(\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = \lambda + \lambda^2 - \lambda^2 = \lambda\): Poisson dağılımında beklenen değer ile varyans eşittir. Karakteristik fonksiyon ise \(\varphi_X(t) = M_X(it) = e^{\lambda(e^{it} - 1)}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 17.6 (Moment Üreten Fonksiyondan Dağılımı Okumak) Aşağıdaki her durumda \(X\) rastgele değişkeninin dağılımını (olasılık ya da yoğunluk fonksiyonunu) bulunuz.
(a) \(M_X(t) = e^{e^{t} - 1}\), \(t \in \mathbb{R}\).
(b) \(M_X(t) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}e^{t} + \dfrac{1}{4}e^{3t}\), \(t \in \mathbb{R}\).
(c) \(M_X(t) = \dfrac{2}{2-t}\), \(t < 2\).
Çözüm
Her üç şıkta da yöntem aynıdır: verilen fonksiyonu moment üreten fonksiyonu bilinen bir dağılımla eşleştirmek ve Teorem 17.5’i uygulamak.
(a) Örnek 17.5’de \(\lambda\) parametreli Poisson dağılımının moment üreten fonksiyonunu \(e^{\lambda(e^t - 1)}\) bulduk. \(\lambda = 1\) için bu tam olarak \(e^{e^t - 1}\)’dir. Teklik teoremi gereği \(X\), \(\lambda = 1\) parametreli Poisson dağılımına sahiptir:
\[f_X(x) = \frac{e^{-1}}{x!}, \qquad x = 0, 1, 2, \ldots\]
(b) Kesikli bir \(Y\) rastgele değişkeninin moment üreten fonksiyonu \(\displaystyle\sum_{y} e^{ty} f_Y(y)\) biçimindedir; yani \(e^{ty}\) teriminin katsayısı \(P(Y = y)\)’dir. Verilen fonksiyonu \(\dfrac{1}{4}e^{t\cdot 0} + \dfrac{1}{2}e^{t \cdot 1} + \dfrac{1}{4}e^{t \cdot 3}\) olarak okursak, olasılık fonksiyonu
| \(y\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(f_Y(y)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
olan \(Y\) için \(M_Y = M_X\) olur (katsayılar negatif değildir ve toplamları \(1\)’dir; dolayısıyla bu gerçekten bir olasılık fonksiyonudur). Teklik teoremi gereği \(X\) de bu dağılıma sahiptir: \(P(X = 0) = \frac{1}{4}\), \(P(X = 1) = \frac{1}{2}\), \(P(X = 3) = \frac{1}{4}\).
(c) \(\dfrac{2}{2-t} = \dfrac{1}{1 - t/2}\) yazalım. Örnek 17.4’de yoğunluğu \(e^{-z}\) (\(z > 0\)) olan değişkenin moment üreten fonksiyonunu \(\dfrac{1}{1-t}\) bulmuştuk; bu değişkene burada \(Z\) diyelim, yani \(M_Z(t) = \dfrac{1}{1-t}\). \(W = \dfrac{Z}{2}\) alınırsa \(M_W(t) = E\!\left(e^{tZ/2}\right) = M_Z\!\left(\dfrac{t}{2}\right) = \dfrac{1}{1 - t/2}\), \(t < 2\) olur; bu verilen fonksiyondur. \(W\)’nin yoğunluğu, \(g(z) = z/2\) dönüşümü için Teorem 12.2 ile \(f_W(w) = f_Z(2w)\cdot 2 = 2e^{-2w}\), \(w > 0\)’dır. Teklik teoremi gereği
\[f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda.} \end{cases}\]
Doğrulama: \(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{tx}\, 2e^{-2x}\,dx = 2\int_0^{\infty} e^{-(2-t)x}\,dx = \frac{2}{2-t}\), \(t < 2\).
\(\blacksquare\)
17.3 Çarpımsal Moment Üreten Fonksiyon
Beklenen Değer, Momentler ve Varyans bölümünde \(X\)’in \(k\). çarpımsal momentini \(E\big[X(X-1)\cdots(X-k+1)\big]\) olarak tanımlamıştık (Tanım 16.2). Değer kümesi \(\{0, 1, 2, \ldots\}\) olan rastgele değişkenlerde bu momentler çoğu zaman sıradan momentlerden daha kolay hesaplanır; onları üreten fonksiyon \(e^{tX}\) yerine \(t^X\)’i kullanır.
Tanım 17.3 (Çarpımsal Moment Üreten Fonksiyon) \(X\) bir rastgele değişken olsun. \(E\!\left(t^X\right)\) beklenen değerinin (sonlu olarak) var olduğu \(t\) değerleri kümesinde tanımlı
\[N_X(t) = E\!\left(t^X\right)\]
fonksiyonuna \(X\) rastgele değişkeninin çarpımsal moment üreten fonksiyonu denir. \(t > 0\) için \(t^X = e^{X \ln t}\) anlamındadır; \(X\)’in değer kümesi \(\{0, 1, 2, \ldots\}\) içinde ise \(t^X\) her gerçel \(t\) için anlamlıdır (\(0^0 = 1\) uzlaşımıyla) ve
\[N_X(t) = \sum_{x=0}^{\infty} t^x f_X(x)\]
olur.
Tanımla ilgili üç gözlem:
- \(N_X(1) = E(1) = 1\)’dir; \(t = 1\) noktası, moment üreten fonksiyondaki \(t = 0\) noktasının rolünü oynar.
- \(t > 0\) için \(t^X = e^{(\ln t)X}\) olduğundan \(N_X(t) = M_X(\ln t)\), eşdeğer olarak \(M_X(t) = N_X(e^{t})\)’dir. Böylece \(M_X\), \((-h,h)\) üzerinde varsa \(N_X\) en azından \((e^{-h}, e^{h})\) aralığında vardır; iki fonksiyon aynı bilgiyi taşır ve Teorem 17.5 teklik sonucunu \(N_X\)’e de aktarır.
- \(X\)’in değer kümesi \(\{0, 1, 2, \ldots\}\) içindeyse \(N_X(t) = \sum_{x} t^x f_X(x)\) bir kuvvet serisidir ve \(\sum_x f_X(x) = 1\) olduğundan en azından \(|t| \le 1\) için mutlak yakınsar. Katsayılar olasılıkların kendisidir; bu yüzden \(N_X\)’e olasılık üreten fonksiyon da denir. Bir kuvvet serisinin katsayıları, serinin topladığı fonksiyon tarafından tek biçimde belirlendiğinden, \(N_X\) bu durumda dağılımı analitiklik tartışmasına gerek kalmadan belirler: \(f_X(x) = \dfrac{N_X^{(x)}(0)}{x!}\).
Çarpımsal moment üreten fonksiyonun türevleri, \(t = 1\)’de, çarpımsal momentleri verir. Formül doğrudan \(t^x\)’in türevinin biçiminden çıkar: \(\dfrac{d^n}{dt^n} t^x = x(x-1)\cdots(x-n+1)\,t^{x-n}\).
Teorem 17.6 (Çarpımsal Moment Üreten Fonksiyondan Çarpımsal Momentler) \(X\)’in çarpımsal moment üreten fonksiyonu \(t = 1\)’i içeren bir açık aralıkta tanımlı olsun ve \(k = 1, 2, \ldots, n\) için bu aralıkta türev ile beklenen değerin yeri değiştirilebilsin:
\[\frac{d^k}{dt^k} E\!\left(t^X\right) = E\!\left( \frac{d^k}{dt^k} t^X \right).\]
O zaman
\[N_X^{(n)}(1) = E\big[X(X-1)\cdots(X-n+1)\big],\]
yani \(N_X\)’in \(t = 1\)’deki \(n\). türevi \(X\)’in \(n\). çarpımsal momentidir. Özel olarak
\[E(X) = N_X'(1), \qquad E\!\left(X^2\right) = N_X''(1) + N_X'(1), \qquad \operatorname{Var}(X) = N_X''(1) + N_X'(1) - \big(N_X'(1)\big)^2.\]
İspat
\(t > 0\) sabit ve \(x\) gerçel olsun. \(t^x = e^{x\ln t}\)’nin \(t\)’ye göre türevi \(x\,t^{x-1}\), ikinci türevi \(x(x-1)\,t^{x-2}\) ve tümevarımla \(n\). türevi \(x(x-1)\cdots(x-n+1)\,t^{x-n}\)’dir. (\(x\) negatif olmayan bir tam sayı ve \(x < n\) ise çarpımda bir sıfır çarpan bulunur ve türev sıfırdır; bu, \(t^x\)’in derecesi \(x\) olan bir polinom olmasıyla tutarlıdır.) Varsayım gereği türev beklenen değerin içine alınabilir:
\[N_X^{(n)}(t) = E\!\left( \frac{d^n}{dt^n} t^X \right) = E\big[X(X-1)\cdots(X-n+1)\,t^{X-n}\big].\]
\(t = 1\) konursa \(t^{X-n} = 1\) olur ve ilk iddia çıkar. \(E(X) = N_X'(1)\) bunun \(n = 1\) halidir. \(X^2 = X(X-1) + X\) özdeşliğinden ve beklenen değerin doğrusallığından \(E(X^2) = E[X(X-1)] + E(X) = N_X''(1) + N_X'(1)\); varyans formülü Önerme 16.3 ile tamamlanır.
\(\blacksquare\)
Türev ile beklenen değerin yer değiştirme varsayımı, sık karşılaşılan iki durumda kendiliğinden sağlanır. \(X\)’in değer kümesi \(\{0,1,2,\ldots\}\) içindeyse ve \(N_X\) bir \(\delta > 0\) için \(|t| < 1 + \delta\) aralığında yakınsıyorsa, \(N_X\) bir kuvvet serisidir ve yakınsaklık aralığının içinde terim terim türevlenebilir; varsayım sağlanır. \(N_X\), \(M_X\) üzerinden (\(N_X(t) = M_X(\ln t)\)) elde ediliyorsa Teorem 17.4’in ispatındaki baskın yakınsaklık tartışması aynen geçerlidir.
Örnek 17.7 (Poisson Dağılımının Çarpımsal Moment Üreten Fonksiyonu) \(\lambda > 0\) olmak üzere \(X\)’in olasılık fonksiyonu \(f_X(x) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\), \(x = 0, 1, 2, \ldots\) olsun. \(N_X\)’i bulunuz ve bütün çarpımsal momentleri hesaplayınız.
Çözüm
Her \(t \in \mathbb{R}\) için
\[N_X(t) = \sum_{x=0}^{\infty} t^x\,\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^x}{x!} = e^{-\lambda}e^{\lambda t} = e^{\lambda(t-1)}.\]
Seri bütün \(\mathbb{R}\)’de yakınsadığından \(N_X\) her yerde tanımlıdır ve terim terim türevlenebilir. Beklendiği gibi \(N_X(t) = M_X(\ln t) = e^{\lambda(e^{\ln t} - 1)} = e^{\lambda(t-1)}\)’dir.
Çarpımsal momentler. \(N_X^{(n)}(t) = \lambda^n e^{\lambda(t-1)}\) olduğundan Teorem 17.6 ile
\[E\big[X(X-1)\cdots(X-n+1)\big] = N_X^{(n)}(1) = \lambda^n, \qquad n = 1, 2, \ldots\]
Özel olarak \(E(X) = \lambda\), \(E[X(X-1)] = \lambda^2\); buradan \(E(X^2) = \lambda^2 + \lambda\) ve \(\operatorname{Var}(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda\). Bu, Örnek 17.5 ile uyuşur; fakat çarpımsal momentlerin ne kadar temiz çıktığına dikkat ediniz: Poisson dağılımında \(n\). çarpımsal moment \(\lambda^n\)’dir, oysa sıradan momentler \(n\) büyüdükçe karmaşıklaşır.
Son olarak olasılık üreten fonksiyon bakış açısını doğrulayalım: \(N_X^{(x)}(0) = \lambda^x e^{-\lambda}\) olduğundan \(\dfrac{N_X^{(x)}(0)}{x!} = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = f_X(x)\).
\(\blacksquare\)
Örnek 17.8 (Üstel Dağılımın Çarpımsal Moment Üreten Fonksiyonu) \(X\)’in yoğunluk fonksiyonu \(f_X(x) = e^{-x}\) (\(x > 0\)), diğer durumlarda \(0\) olsun. \(N_X\)’i tanım kümesiyle birlikte bulunuz; \(E(X)\) ve \(E[X(X-1)]\)’i hesaplayınız.
Çözüm
\(t > 0\) için \(t^x = e^{x\ln t}\) olduğundan
\[N_X(t) = \int_0^{\infty} t^x e^{-x}\,dx = \int_0^{\infty} e^{x\ln t}e^{-x}\,dx = \int_0^{\infty} e^{(\ln t - 1)x}\,dx.\]
Bu integral ancak \(\ln t - 1 < 0\), yani \(0 < t < e\) iken sonludur ve o zaman
\[N_X(t) = \left[ \frac{e^{(\ln t - 1)x}}{\ln t - 1} \right]_0^{\infty} = \frac{0 - 1}{\ln t - 1} = \frac{1}{1 - \ln t}, \qquad 0 < t < e.\]
\(t \ge e\) için integrand \(1\)’den küçük olmadığından integral sonsuzdur; demek ki \(N_X\)’in tanım kümesi \((0, e)\) aralığıdır. Bu aralık \(t = 1\)’i içerir. Sonuç \(N_X(t) = M_X(\ln t) = \dfrac{1}{1 - \ln t}\) ilişkisiyle de uyumludur (Örnek 17.4).
Türevler. Zincir kuralıyla
\[N_X'(t) = \frac{d}{dt}(1 - \ln t)^{-1} = (1 - \ln t)^{-2}\cdot\frac{1}{t} = \frac{1}{t\,(1 - \ln t)^2}.\]
\(t = 1\)’de \(\ln 1 = 0\) olduğundan \(E(X) = N_X'(1) = \dfrac{1}{1 \cdot 1} = 1\).
İkinci türev için \(N_X'(t) = t^{-1}(1 - \ln t)^{-2}\) çarpımını türevleyelim:
\[N_X''(t) = -t^{-2}(1 - \ln t)^{-2} + t^{-1}\cdot 2(1 - \ln t)^{-3}\cdot\frac{1}{t} = \frac{2(1 - \ln t)^{-3} - (1 - \ln t)^{-2}}{t^2}.\]
\(t = 1\)’de \(E[X(X-1)] = N_X''(1) = 2 - 1 = 1\) bulunur. Buradan \(E(X^2) = E[X(X-1)] + E(X) = 2\) ve \(\operatorname{Var}(X) = 2 - 1 = 1\); sonuçlar Örnek 17.4 ile aynıdır.
\(\blacksquare\)
17.4 Bir Dönüşümün Karakteristik Fonksiyonu
\(Y = g(X)\) biçiminde bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu için önce \(Y\)’nin dağılımını bulmak gerekmez. \(e^{itY} = e^{itg(X)}\), \(X\)’in bir fonksiyonu olduğundan Tanım 16.1, \(\cos\big(tg(x)\big)\) ve \(\sin\big(tg(x)\big)\) fonksiyonlarına ayrı ayrı uygulanır:
\[\varphi_Y(t) = E\!\left(e^{it g(X)}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{it g(x)} f_X(x)\,dx \quad \text{(sürekli durum)}, \qquad \varphi_Y(t) = \sum_{x \in D_X} e^{it g(x)} f_X(x) \quad \text{(kesikli durum)}.\]
\(g(x) = ax + b\) için bu, Teorem 17.1 (d)’yi verir. Doğrusal olmayan bir dönüşümde ise integrali \(g\)’nin davranışına göre parçalara ayırmak gerekir.
Örnek 17.9 (Mutlak Değerin Karakteristik Fonksiyonu) \(X\) rastgele değişkeninin yoğunluk fonksiyonu
\[f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}, & -1 \le x \le 2 \\[2mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun. \(Y = |X|\) rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonunu bulunuz ve buradan \(E(Y)\) ile \(E(Y^2)\)’yi okuyunuz.
Çözüm
Doğrudan hesap. \(|x|\), \([-1, 0]\) üzerinde \(-x\), \([0, 2]\) üzerinde \(x\)’e eşittir. \(t \ne 0\) için
\[\varphi_Y(t) = \int_{-1}^{2} e^{it|x|}\,\frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{-1}^{0} e^{-itx}\,dx + \frac{1}{3}\int_{0}^{2} e^{itx}\,dx.\]
İlk integral: \(\dfrac{d}{dx}e^{-itx} = -it\,e^{-itx}\) olduğundan
\[\frac{1}{3}\int_{-1}^{0} e^{-itx}\,dx = \frac{1}{3}\left[ \frac{e^{-itx}}{-it} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1 - e^{it}}{-it} = \frac{e^{it} - 1}{3it}.\]
İkinci integral:
\[\frac{1}{3}\int_{0}^{2} e^{itx}\,dx = \frac{1}{3}\left[ \frac{e^{itx}}{it} \right]_{0}^{2} = \frac{e^{2it} - 1}{3it}.\]
Toplayarak
\[\varphi_Y(t) = \frac{e^{it} - 1 + e^{2it} - 1}{3it} = \frac{e^{2it} + e^{it} - 2}{3it}, \qquad t \ne 0; \qquad \varphi_Y(0) = 1.\]
Yoğunluk üzerinden doğrulama. \(Y\)’nin dağılımını bulup aynı sonuca ulaşalım. \(0 \le y \le 1\) için \(F_Y(y) = P(-y \le X \le y) = \dfrac{2y}{3}\); \(1 < y \le 2\) için \(F_Y(y) = P(-1 \le X \le y) = \dfrac{y+1}{3}\). Türev alınırsa
\[f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{2}{3}, & 0 \le y \le 1 \\[2mm] \dfrac{1}{3}, & 1 < y \le 2 \\[2mm] 0, & \text{diğer durumlarda.} \end{cases}\]
(\(\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y)\,dy = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\).) Buradan
\[\varphi_Y(t) = \frac{2}{3}\int_0^1 e^{ity}\,dy + \frac{1}{3}\int_1^2 e^{ity}\,dy = \frac{2\left(e^{it} - 1\right)}{3it} + \frac{e^{2it} - e^{it}}{3it} = \frac{e^{2it} + e^{it} - 2}{3it}.\]
Momentler. Payı seriye açalım: \(e^{2it} = 1 + 2it - 2t^2 - \dfrac{4it^3}{3} + \cdots\) ve \(e^{it} = 1 + it - \dfrac{t^2}{2} - \dfrac{it^3}{6} + \cdots\) olduğundan
\[e^{2it} + e^{it} - 2 = 3it - \frac{5t^2}{2} - \frac{3it^3}{2} + \cdots\]
\(3it\)’ye bölünce
\[\varphi_Y(t) = 1 + \frac{5}{6}\,it - \frac{1}{2}\,t^2 + \cdots\]
\(1 + it\,E(Y) - \dfrac{t^2}{2}E(Y^2) + \cdots\) ile karşılaştırılırsa \(E(Y) = \dfrac{5}{6}\) ve \(E(Y^2) = 1\) bulunur. \(Y = |X|\) ve \(Y^2 = X^2\) olduğundan doğrudan hesap bunu doğrular: \(E(Y) = E|X| = \displaystyle\int_{-1}^{2} \frac{|x|}{3}\,dx = \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2} + 2 \right) = \frac{5}{6}\) ve \(E(Y^2) = E(X^2) = \displaystyle\int_{-1}^{2} \frac{x^2}{3}\,dx = \frac{8 + 1}{9} = 1\).
\(\blacksquare\)
17.5 Alıştırmalar
Alıştırma 17.1 (Karakteristik, Moment Üreten ve Çarpımsal Moment Üreten Fonksiyonlar) (a) \(X\)’in yoğunluk fonksiyonu \(f_X(x) = 2x\) (\(0 < x < 1\)), diğer durumlarda \(0\) olsun. \(\varphi_X\)’i bulunuz ve buradan \(E(X)\) ile \(\operatorname{Var}(X)\)’i okuyunuz.
(b) \(P(X = 0) = P(X = 1) = \dfrac{1}{2}\) olsun. \(\varphi_X\)’i bulunuz; \(Y = 2X - 1\) için \(\varphi_Y\)’yi Teorem 17.1 (d) ile hesaplayıp Örnek 17.2 ile karşılaştırınız.
(c) \(\varphi_X(t) = \dfrac{\sin t}{t}\) olsun. \(Z = 3X + 2\) rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonunu bulunuz ve \(Z\)’nin dağılımını belirleyiniz.
(d) \(X\)’in olasılık fonksiyonu \(f_X(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\), \(x = 1, 2, 3, \ldots\) olsun. \(M_X\) ve \(N_X\)’i tanım kümeleriyle birlikte bulunuz; \(E(X)\) ve \(\operatorname{Var}(X)\)’i her ikisiyle de hesaplayınız.
(e) \(M_X(t) = \dfrac{1}{3}e^{-t} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}e^{2t}\) olsun. \(X\)’in dağılımını, \(E(X)\)’i ve \(\operatorname{Var}(X)\)’i bulunuz.
(f) \(X\)’in yoğunluk fonksiyonu \(f_X(x) = xe^{-x}\) (\(x > 0\)), diğer durumlarda \(0\) olsun. \(M_X\)’i bulunuz; \(E(X)\) ve \(\operatorname{Var}(X)\)’i hesaplayınız.
(g) \(X\), \((-1, 1)\) aralığında düzgün dağılımlı olsun. \(Y = |X|\)’in karakteristik fonksiyonunu bulunuz ve \(Y\)’nin dağılımını belirleyiniz.
Çözüm
(a) \(t \ne 0\) için kısmi integrasyonla (\(u = 2x\), \(dv = e^{itx}dx\), \(v = \dfrac{e^{itx}}{it}\)):
\[\varphi_X(t) = \int_0^1 2x\,e^{itx}\,dx = \left[ \frac{2x\,e^{itx}}{it} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2e^{itx}}{it}\,dx = \frac{2e^{it}}{it} - \frac{2}{it}\cdot\frac{e^{it} - 1}{it} = \frac{2e^{it}}{it} + \frac{2\left(e^{it} - 1\right)}{t^2},\]
çünkü \((it)^2 = -t^2\). \(\dfrac{1}{i} = -i\) olduğundan
\[\varphi_X(t) = \frac{2\left(e^{it} - 1\right)}{t^2} - \frac{2i\,e^{it}}{t}, \qquad t \ne 0; \qquad \varphi_X(0) = 1.\]
Momentler için seriye açalım. \(e^{it} - 1 = it - \dfrac{t^2}{2} - \dfrac{it^3}{6} + \dfrac{t^4}{24} - \cdots\) olduğundan
\[\frac{2\left(e^{it} - 1\right)}{t^2} = \frac{2i}{t} - 1 - \frac{it}{3} + \frac{t^2}{12} - \cdots, \qquad -\frac{2i\,e^{it}}{t} = -\frac{2i}{t} + 2 + it - \frac{t^2}{3} + \cdots\]
Toplam: \(\varphi_X(t) = 1 + \dfrac{2}{3}\,it - \dfrac{1}{4}\,t^2 + \cdots\). Buradan \(E(X) = \dfrac{2}{3}\), \(-\dfrac{E(X^2)}{2} = -\dfrac{1}{4}\), yani \(E(X^2) = \dfrac{1}{2}\) ve \(\operatorname{Var}(X) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{18}\). Doğrudan hesap: \(E(X) = \int_0^1 2x^2\,dx = \frac{2}{3}\), \(E(X^2) = \int_0^1 2x^3\,dx = \frac{1}{2}\).
(b) \(\varphi_X(t) = \dfrac{1}{2}e^{it\cdot 0} + \dfrac{1}{2}e^{it} = \dfrac{1 + e^{it}}{2}\). \(Y = 2X - 1\) için \(a = 2\), \(b = -1\) ile
\[\varphi_Y(t) = e^{-it}\,\varphi_X(2t) = e^{-it}\cdot\frac{1 + e^{2it}}{2} = \frac{e^{-it} + e^{it}}{2} = \cos t.\]
\(Y\), \(-1\) ve \(1\) değerlerini \(\frac{1}{2}\) olasılıkla alır; Örnek 17.2’te bu dağılım için \(\cos t\) bulmuştuk. Sonuçlar uyuşur.
(c) \(a = 3\), \(b = 2\) ile \(\varphi_Z(t) = e^{2it}\,\varphi_X(3t) = e^{2it}\,\dfrac{\sin 3t}{3t}\). Örnek 17.1 gereği \(X\), \((-1,1)\) aralığında düzgün dağılımlıdır (teklik teoremi); \(Z = 3X + 2\) ise \((-1, 5)\) aralığında düzgün dağılımlıdır. Doğrulama: \((a, b) = (-1, 5)\) için düzgün dağılımın karakteristik fonksiyonu
\[\frac{e^{5it} - e^{-it}}{6it} = e^{2it}\cdot\frac{e^{3it} - e^{-3it}}{6it} = e^{2it}\cdot\frac{2i\sin 3t}{6it} = e^{2it}\,\frac{\sin 3t}{3t}.\]
(d) Önce \(\sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 1\) olduğunu not edelim. Geometrik seri ile, \(\dfrac{e^t}{2} < 1\) yani \(t < \ln 2\) için
\[M_X(t) = \sum_{x=1}^{\infty} e^{tx}\left(\frac{1}{2}\right)^x = \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{e^t}{2}\right)^x = \frac{e^t/2}{1 - e^t/2} = \frac{e^t}{2 - e^t}, \qquad t < \ln 2;\]
\(t \ge \ln 2\) için seri ıraksar. Benzer biçimde \(|t| < 2\) için
\[N_X(t) = \sum_{x=1}^{\infty} t^x\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{t/2}{1 - t/2} = \frac{t}{2 - t}, \qquad |t| < 2.\]
(\(N_X(t) = M_X(\ln t)\) olduğu görülür: \(\dfrac{e^{\ln t}}{2 - e^{\ln t}} = \dfrac{t}{2-t}\).)
\(M_X\) ile: bölüm kuralıyla \(M_X'(t) = \dfrac{e^t(2 - e^t) + e^t\cdot e^t}{(2 - e^t)^2} = \dfrac{2e^t}{(2 - e^t)^2}\), dolayısıyla \(E(X) = M_X'(0) = 2\). İkinci türev: \(M_X''(t) = \dfrac{2e^t(2-e^t)^2 + 2e^t\cdot 2(2 - e^t)e^t}{(2 - e^t)^4} = \dfrac{2e^t\left(2 + e^t\right)}{(2 - e^t)^3}\), dolayısıyla \(E(X^2) = M_X''(0) = \dfrac{2\cdot 3}{1} = 6\) ve \(\operatorname{Var}(X) = 6 - 4 = 2\).
\(N_X\) ile: \(N_X'(t) = \dfrac{(2 - t) + t}{(2-t)^2} = \dfrac{2}{(2-t)^2}\) ve \(N_X''(t) = \dfrac{4}{(2-t)^3}\). Teorem 17.6 ile \(E(X) = N_X'(1) = 2\), \(E[X(X-1)] = N_X''(1) = 4\), \(E(X^2) = 4 + 2 = 6\), \(\operatorname{Var}(X) = 6 - 4 = 2\). İki yol aynı sonucu verir.
(e) Örnek 17.6 (b)’deki gibi, \(e^{tx}\) terimlerinin katsayıları olasılıklardır:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(f_X(x)\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{6}\) |
Katsayılar negatif değildir ve toplamları \(1\)’dir; teklik teoremi gereği \(X\)’in dağılımı budur. \(E(X) = -\dfrac{1}{3} + 0 + \dfrac{2}{6} = 0\) ve \(E(X^2) = \dfrac{1}{3} + 0 + \dfrac{4}{6} = 1\), dolayısıyla \(\operatorname{Var}(X) = 1\). Türevle doğrulama: \(M_X'(0) = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{6} = 0\) ve \(M_X''(0) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6} = 1\).
(f) \(\int_0^{\infty} xe^{-x}\,dx = 1\) olduğundan \(f_X\) bir yoğunluktur. \(t < 1\) için \(c = 1 - t > 0\) diyelim; kısmi integrasyonla
\[M_X(t) = \int_0^{\infty} x\,e^{-cx}\,dx = \left[ -\frac{x\,e^{-cx}}{c} \right]_0^{\infty} + \frac{1}{c}\int_0^{\infty} e^{-cx}\,dx = 0 + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(1-t)^2}, \qquad t < 1.\]
\(t \ge 1\) için integral ıraksar. \(M_X'(t) = 2(1-t)^{-3}\) ve \(M_X''(t) = 6(1-t)^{-4}\) olduğundan \(E(X) = 2\), \(E(X^2) = 6\) ve \(\operatorname{Var}(X) = 6 - 4 = 2\).
(g) \(f_X(x) = \dfrac{1}{2}\) (\(-1 < x < 1\)). \(t \ne 0\) için, Örnek 17.9’teki gibi integrali ikiye bölerek
\[\varphi_Y(t) = \frac{1}{2}\int_{-1}^{0} e^{-itx}\,dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{itx}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{e^{it} - 1}{it} + \frac{1}{2}\cdot\frac{e^{it} - 1}{it} = \frac{e^{it} - 1}{it}.\]
Örnek 17.1’e göre bu, \((0,1)\) aralığında düzgün dağılımın karakteristik fonksiyonudur (\(a = 0\), \(b = 1\)). Teorem 17.3 gereği \(Y = |X|\), \((0,1)\) aralığında düzgün dağılımlıdır. Doğrudan doğrulama: \(0 \le y \le 1\) için \(P(|X| \le y) = P(-y \le X \le y) = \dfrac{2y}{2} = y\).
\(\blacksquare\)
Bu bölümde bir rastgele değişkenin bütün momentlerini ve dağılımını tek bir fonksiyona sıkıştırmayı öğrendik. Bu araçların asıl gücü, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarında ortaya çıkar: toplamın karakteristik fonksiyonu, toplananların karakteristik fonksiyonlarının çarpımıdır. Bunu görebilmek için önce birden çok rastgele değişkenin beklenen değerlerini, çarpımlarının beklenen değerini ve aralarındaki doğrusal bağı ölçen kovaryans ile korelasyonu incelemek gerekir: Rastgele Vektörlerde Beklenen Değer, Kovaryans ve Korelasyon.