14 Bağımsız Rastgele Değişkenler ve Koşullu Dağılımlar
Rastgele Vektörler ve Ortak Dağılımlar bölümünde iki rastgele değişkeni bir arada ele almayı öğrendik: ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonu vektörün taşıdığı bütün olasılık bilgisini içerir; marjinal fonksiyonlar ise bu bilgiden tek bir bileşene ait olanı süzer. Ortaktan marjinale geçiş her zaman mümkündür. Ters yön ise genel olarak mümkün değildir: aynı marjinallere sahip pek çok farklı ortak dağılım vardır, dolayısıyla marjinaller bilinince ortak fonksiyon geri kurulamaz.
Bu bölümde bu boşluğu dolduran iki kavramı inceliyoruz. Birincisi bağımsızlık: ortak fonksiyonun marjinallerin çarpımına eşit olduğu, yani bir bileşenin aldığı değerin öteki bileşen hakkında hiçbir bilgi taşımadığı özel durum. İkincisi koşullu dağılım: bir bileşenin değeri bilindiğinde öteki bileşenin dağılımının nasıl güncellendiğini anlatan nesne. Bu ikisi birbirinin aynası gibidir: koşullu dağılım marjinale eşitse bağımsızlık vardır; bağımsızlık varsa koşullu dağılım marjinale eşittir.
Kesikli durumda koşullu olasılık fonksiyonu, koşullu olasılık tanımının doğrudan sonucudur; sürekli durumda \(P(X = x) = 0\) olduğundan koşullu yoğunluk önce bir limit düşüncesiyle gerekçelendirilir, sonra tanım olarak konur. Bölümün ikinci yarısı bu araçları kesikli ve sürekli örneklerde kullanır.
14.1 Bağımsız Rastgele Değişkenler
İki olayın bağımsızlığını (Tanım 7.1) \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\) eşitliğiyle tanımlamıştık. Rastgele değişkenler için aynı fikri kullanacağız: \(X_1\)’in değeriyle ilgili her olay, \(X_2\)’nin değeriyle ilgili her olaydan bağımsız olsun. Bu isteğin ortak fonksiyon diliyle karşılığı, ortak fonksiyonun marjinallerin çarpımı olmasıdır.
Tanım 14.1 (Bağımsız Rastgele Değişkenler) \((X_1, X_2)\) bir rastgele vektör olsun.
(1) Sürekli durum. \((X_1, X_2)\) sürekli bir rastgele vektör (Tanım 13.7), ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu \(f_{X_1, X_2}\) ve marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları \(f_{X_1}\), \(f_{X_2}\) olsun. Her \((x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\) için
\[f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) = f_{X_1}(x_1)\, f_{X_2}(x_2)\]
ise \(X_1\) ve \(X_2\) sürekli rastgele değişkenlerine bağımsız denir.
(2) Kesikli durum. \((X_1, X_2)\) kesikli bir rastgele vektör (Tanım 13.3) olsun. Her \((x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\) için
\[P(X_1 = x_1, X_2 = x_2) = P(X_1 = x_1)\, P(X_2 = x_2), \qquad \text{yani} \qquad f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) = f_{X_1}(x_1)\, f_{X_2}(x_2)\]
ise \(X_1\) ve \(X_2\) kesikli rastgele değişkenlerine bağımsız denir.
Bağımsız olmayan rastgele değişkenlere bağımlı denir.
Tanımdaki eşitlik her noktada istenir; yalnızca ortak fonksiyonun pozitif olduğu noktalarda değil. Ortak fonksiyon bir noktada sıfır olduğu hâlde marjinallerin çarpımı orada pozitif olabilir; böyle bir nokta bağımsızlığı tek başına bozar. Aşağıdaki iki gözlem, bağımsızlığı çoğu örnekte hesap yapmadan görmeyi sağlar.
\(f = f_{X, Y}\) ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonu olsun; \(D = \{(x, y) : f(x, y) > 0\}\) kümesine ortak fonksiyonun desteği diyelim.
Çarpanlara ayrılma. Her \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) için \(f(x, y) = g(x)\, h(y)\) olacak biçimde negatif olmayan \(g\) ve \(h\) fonksiyonları varsa \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır. Gerçekten, \(c_g = \int g\) ve \(c_h = \int h\) dersek \(f_X(x) = g(x)\, c_h\), \(f_Y(y) = h(y)\, c_g\) ve \(1 = \iint f = c_g c_h\) olur; dolayısıyla \(f_X(x) f_Y(y) = g(x) h(y) = f(x, y)\) (kesikli durumda integraller yerine toplamlar). \(g\) ve \(h\)’nin marjinallerin kendisi olması gerekmez.
Destek çarpım biçiminde olmalı. \(X\) ve \(Y\) bağımsızsa \(D = D_X \times D_Y\) olmak zorundadır; çünkü \(f = f_X f_Y\) ise \(f(x, y) > 0\) olması tam olarak \(f_X(x) > 0\) ve \(f_Y(y) > 0\) olması demektir. Öyleyse desteği çarpım kümesi olmayan, örneğin üçgen bir bölgede pozitif olan ortak yoğunluğa sahip değişkenler bağımsız olamaz: üçgenin dışında ama marjinallerin ikisinin de pozitif olduğu bir \((x, y)\) noktasında \(f(x, y) = 0 \neq f_X(x) f_Y(y)\) olur.
Bağımsızlık tanımı ortak fonksiyon üzerinden verildi. Aynı özellik ortak dağılım fonksiyonuyla (Tanım 13.2) da yakalanabilir; bu, kesikli ve sürekli durumu tek bir ifadede birleştirir.
Önerme 14.1 (Bağımsızlığın Dağılım Fonksiyonuyla Karakterizasyonu) \((X, Y)\) kesikli ya da sürekli bir rastgele vektör; \(F_{X, Y}\) ortak dağılım fonksiyonu, \(F_X\) ve \(F_Y\) marjinal dağılım fonksiyonları olsun. \(X\) ve \(Y\)’nin bağımsız olması için gerek ve yeter koşul, her \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) için
\[F_{X, Y}(x, y) = F_X(x)\, F_Y(y)\]
olmasıdır.
İspat
Gereklilik. \(X\) ve \(Y\) bağımsız olsun. Sürekli durumda ortak dağılım fonksiyonunun tanımı ve bağımsızlık gereği
\[F_{X, Y}(x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f_X(s)\, f_Y(t)\, dt\, ds = \left( \int_{-\infty}^{x} f_X(s)\, ds \right) \left( \int_{-\infty}^{y} f_Y(t)\, dt \right) = F_X(x)\, F_Y(y)\]
olur. Kesikli durumda integraller yerine \(s \le x\), \(t \le y\) üzerinden toplamlar yazılır; çarpanlara ayırma aynıdır.
Yeterlilik. Her \((x, y)\) için \(F_{X, Y}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)\) olsun.
Kesikli durum. \(x \in D_X\), \(y \in D_Y\) ve \(h > 0\) olsun. \((x - h, x] \times (y - h, y]\) dikdörtgenine düşme olasılığı, ortak dağılım fonksiyonunun köşe değerlerinin işaretli toplamıdır:
\[P(x - h < X \le x,\; y - h < Y \le y) = F_{X, Y}(x, y) - F_{X, Y}(x - h, y) - F_{X, Y}(x, y - h) + F_{X, Y}(x - h, y - h).\]
Çarpım biçimini yerine yazıp düzenlersek
\[P(x - h < X \le x,\; y - h < Y \le y) = \big[ F_X(x) - F_X(x - h) \big] \big[ F_Y(y) - F_Y(y - h) \big] = P(x - h < X \le x)\, P(y - h < Y \le y)\]
elde edilir. \(h \to 0^+\) iken dikdörtgenler azalarak \(\{(x, y)\}\) noktasına iner; olasılık ölçüsünün azalan dizilerdeki sürekliliği (Teorem 3.5) gereği sol taraf \(P(X = x, Y = y)\)’ye, sağdaki çarpanlar \(P(X = x)\) ve \(P(Y = y)\)’ye yakınsar. Böylece \(P(X = x, Y = y) = P(X = x)\, P(Y = y)\) olur.
Sürekli durum. Ortak yoğunluk, ortak dağılım fonksiyonunun karma ikinci türevidir: \(f_{X, Y}\)’nin sürekli olduğu her noktada \(f_{X, Y}(x, y) = \dfrac{\partial^2 F_{X, Y}}{\partial x\, \partial y}(x, y)\) olur. Çarpım biçimini türevlersek
\[\frac{\partial^2}{\partial x\, \partial y} \big[ F_X(x)\, F_Y(y) \big] = F_X'(x)\, F_Y'(y) = f_X(x)\, f_Y(y)\]
bulunur (Teorem 11.2). Yoğunluğun süreksiz olduğu noktalar olasılık hesaplarını etkilemez; ortak yoğunluk bu noktalarda da marjinallerin çarpımı olarak seçilebilir. Demek ki \(f_{X, Y} = f_X f_Y\), yani \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Bağımsız \(X\) ve \(Y\) alalım. Her \(A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) için \(P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)\, P(Y \in B)\) olur; bu, çarpım biçimindeki fonksiyonun \(A \times B\) üzerindeki integralinin (toplamının) çarpanlara ayrılmasıdır. Bağımsızlığın ilk uygulaması, tek tek bilinen dağılımlardan ortak dağılımı kurmaktır: bağımsız değişkenlerin ortak yoğunluğu marjinallerin çarpımıdır.
Örnek 14.1 (Bağımsız Parçaların Ömürleri) Belli bir parçanın tükeninceye kadar geçen ömrü (yıl olarak),
\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}\, e^{-x/3}, & x > 0 \\[2mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olsun. Birbirinden bağımsız çalışan böyle iki parçanın ömürleri sırasıyla \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenleriyle gösterilsin. \(P(X \ge 1, Y \ge 1)\) ve \(P(X + Y \ge 2)\) olasılıklarını hesaplayınız.
Çözüm
Ortak yoğunluk. \(X\) ve \(Y\) bağımsız ve her ikisi de \(f\) yoğunluğuna sahip olduğundan (Tanım 14.1)
\[f_{X, Y}(x, y) = f(x)\, f(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{9}\, e^{-(x + y)/3}, & x > 0,\; y > 0 \\[2mm] 0, & \text{diğer durumlarda.} \end{cases}\]
Birinci olasılık. \((X \ge 1)\) ve \((Y \ge 1)\) olayları bağımsız olduğundan
\[P(X \ge 1, Y \ge 1) = P(X \ge 1)\, P(Y \ge 1) = \left( \int_1^{\infty} \frac{1}{3}\, e^{-x/3}\, dx \right)^2 = \left( e^{-1/3} \right)^2 = e^{-2/3} \approx 0{,}5134.\]
İkinci olasılık. Tümleyen olayı hesaplamak daha kolaydır. \((X + Y < 2)\) olayı \(x > 0\), \(y > 0\), \(x + y < 2\) üçgen bölgesine karşılık gelir:
\[P(X + Y < 2) = \int_0^{2} \int_0^{2 - x} \frac{1}{9}\, e^{-(x + y)/3}\, dy\, dx.\]
İç integral
\[\int_0^{2 - x} \frac{1}{9}\, e^{-x/3} e^{-y/3}\, dy = \frac{1}{9}\, e^{-x/3} \cdot 3 \left( 1 - e^{-(2 - x)/3} \right) = \frac{1}{3} \left( e^{-x/3} - e^{-2/3} \right)\]
olur. Dış integral
\[P(X + Y < 2) = \int_0^2 \frac{1}{3}\, e^{-x/3}\, dx - \frac{2}{3}\, e^{-2/3} = \left( 1 - e^{-2/3} \right) - \frac{2}{3}\, e^{-2/3} = 1 - \frac{5}{3}\, e^{-2/3}.\]
Böylece
\[P(X + Y \ge 2) = 1 - P(X + Y < 2) = \frac{5}{3}\, e^{-2/3} \approx 0{,}8557.\]
\(\blacksquare\)
14.2 Koşullu Dağılımlar
Koşullu olasılık (Tanım 6.1), bir \(B\) olayının gerçekleştiği bilindiğinde olasılık ölçüsünün nasıl güncellendiğini söyler: \(P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)\). Aynı fikri bir rastgele vektörün dağılımına uygulayacağız: \((X_1, X_2)\) vektörünün bir \(A\) bölgesine düştüğü biliniyorsa vektörün dağılımı ne olur?
Tanım 14.2 (Rastgele Vektörün Koşullu Dağılımı) \((\Omega, \mathcal{U}, P)\) olasılık uzayında tanımlı \((X_1, X_2)\) iki boyutlu rastgele vektörünün olasılık dağılımı \(P_{(X_1, X_2)}\) olsun (Teorem 13.1). \(A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\) ve \(P_{(X_1, X_2)}(A) > 0\) olsun. \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\) için
\[P_{(X_1, X_2)}(B \mid A) = \frac{P_{(X_1, X_2)}(A \cap B)}{P_{(X_1, X_2)}(A)} = \frac{P\big( (X_1, X_2) \in A \cap B \big)}{P\big( (X_1, X_2) \in A \big)}\]
ile tanımlanan \(B \mapsto P_{(X_1, X_2)}(B \mid A)\) olasılık ölçüsüne, \((X_1, X_2) \in A\) verilmişken \((X_1, X_2)\) rastgele vektörünün koşullu dağılımı denir.
\(P_{(X_1, X_2)}\) bir olasılık ölçüsü olduğundan, \(A\)’ya göre koşullu olasılığı da \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\) üzerinde bir olasılık ölçüsüdür. En çok kullanılan özel durum \(A = \mathbb{R} \times \{x_2\}\), yani “\(X_2 = x_2\) verilmişken” koşuludur. Bu koşulun olasılığı \(P(X_2 = x_2)\) kesikli durumda pozitif olabilir; sürekli durumda ise her zaman sıfırdır. İki durumu ayrı ayrı ele alıyoruz.
Kesikli Durum: Koşullu Olasılık Fonksiyonu
Kesikli bir rastgele vektörde \(X_2 = x_2\) olayının olasılığı \(f_{X_2}(x_2)\) marjinal değeridir ve \(x_2 \in D_{X_2}\) için pozitiftir. Öyleyse koşullu dağılım tanımı doğrudan uygulanır ve sonuç tek değişkenli bir olasılık fonksiyonudur.
Teorem 14.1 (Koşullu Olasılık Fonksiyonu) \((X_1, X_2)\) kesikli bir rastgele vektör ve ortak olasılık fonksiyonu \(f_{X_1, X_2}\) olsun. \(P(X_2 = x_2) \neq 0\) olan bir \(x_2\) için, \(X_2 = x_2\) verilmişken \(X_1\) rastgele değişkeninin koşullu dağılımının olasılık fonksiyonu (kısaca koşullu olasılık fonksiyonu)
\[f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1) = P(X_1 = x_1 \mid X_2 = x_2) = \frac{P(X_1 = x_1, X_2 = x_2)}{P(X_2 = x_2)} = \frac{f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)}{f_{X_2}(x_2)}, \qquad x_1 \in D_{X_1 \mid X_2 = x_2}\]
dir; burada \(D_{X_1 \mid X_2 = x_2} = \{ x_1 \in D_{X_1} : f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) > 0 \}\) koşullu dağılımın değer kümesidir. Benzer biçimde, \(P(X_1 = x_1) \neq 0\) olan bir \(x_1\) için \(X_1 = x_1\) verilmişken \(X_2\)’nin koşullu olasılık fonksiyonu
\[f_{X_2 \mid X_1 = x_1}(x_2) = P(X_2 = x_2 \mid X_1 = x_1) = \frac{f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)}{f_{X_1}(x_1)}, \qquad x_2 \in D_{X_2 \mid X_1 = x_1}\]
dir.
İspat
\(A = \mathbb{R} \times \{x_2\}\) alalım; bu küme kapalı olduğundan \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\)’ye aittir (Tanım 2.5) ve
\[P_{(X_1, X_2)}(A) = P\big( (X_1, X_2) \in \mathbb{R} \times \{x_2\} \big) = P(X_2 = x_2) = f_{X_2}(x_2) > 0\]
olduğundan Tanım 14.2 uygulanabilir. \(X_1\)’in \(x_1\) değerini alması olayı \(B = \{x_1\} \times \mathbb{R}\) kümesine karşılık gelir ve \(A \cap B = \{(x_1, x_2)\}\) tek noktadır. Öyleyse
\[P_{(X_1, X_2)}(B \mid A) = \frac{P(X_1 = x_1, X_2 = x_2)}{P(X_2 = x_2)} = \frac{f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)}{f_{X_2}(x_2)}.\]
Sol taraf, olaylar için koşullu olasılık tanımı gereği tam olarak \(P(X_1 = x_1 \mid X_2 = x_2)\)’dir. Bu değer \(x_1 \notin D_{X_1 \mid X_2 = x_2}\) için sıfırdır; pozitif olduğu noktalar tam olarak \(D_{X_1 \mid X_2 = x_2}\) kümesidir. Fonksiyonun bir olasılık fonksiyonu olduğu aşağıda Önerme 14.2’nde gösterilecektir; dolayısıyla koşullu dağılım, olasılık fonksiyonu bu olan kesikli bir dağılımdır. İkinci formül, rollerin değiştirilmesiyle aynı biçimde elde edilir.
\(\blacksquare\)
Pratikte ortak dağılım tablosunda \(x_2\) sütunu alınır ve her sayı sütun toplamına bölünür. \(X_1\) ile ilgili koşullu olasılıklar bu fonksiyondan toplamla hesaplanır:
\[P(X_1 \in B \mid X_2 = x_2) = \sum_{x_1 \in B \cap D_{X_1 \mid X_2 = x_2}} f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1).\]
Sürekli Durum: Koşullu Yoğunluk Fonksiyonu
Sürekli bir rastgele vektörde \(P(X_2 = x_2) = 0\) olduğundan Tanım 14.2 doğrudan uygulanamaz. Yine de “\(X_2 = x_2\) verilmişken \(X_1\)’in dağılımı” sorusunun anlamlı bir yanıtı vardır; ona bir limitle ulaşılır. \(f_{X_2}(x_2) > 0\) ve \(h\) küçükken \((x_2 < X_2 \le x_2 + h)\) olayının olasılığı pozitiftir ve
\[P(X_1 \le x_1 \mid x_2 < X_2 \le x_2 + h) = \frac{F_{X_1, X_2}(x_1, x_2 + h) - F_{X_1, X_2}(x_1, x_2)}{F_{X_2}(x_2 + h) - F_{X_2}(x_2)}\]
olur. Pay ve payda \(h\)’ye bölünüp \(h \to 0^+\) alınırsa pay \(\dfrac{\partial F_{X_1, X_2}}{\partial x_2}(x_1, x_2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x_1} f_{X_1, X_2}(t, x_2)\, dt\)’ye, payda \(f_{X_2}(x_2)\)’ye gider. Limit
\[\int_{-\infty}^{x_1} \frac{f_{X_1, X_2}(t, x_2)}{f_{X_2}(x_2)}\, dt\]
olur; bu, \(x_1\)’in fonksiyonu olarak bir dağılım fonksiyonudur ve yoğunluğu integralin içindeki ifadedir. Bu gözlem aşağıdaki tanımı gerekçelendirir.
Tanım 14.3 (Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu) \((X_1, X_2)\) sürekli bir rastgele vektör, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu \(f_{X_1, X_2}\), bu fonksiyonun pozitif olduğu bölge \(D\) ve marjinal yoğunluklar \(f_{X_1}\), \(f_{X_2}\) olsun. \(f_{X_2}(x_2) \neq 0\) olan bir \(x_2\) için
\[f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1) = \begin{cases} \dfrac{f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)}{f_{X_2}(x_2)}, & x_1 \in D_{X_1 \mid X_2 = x_2} \\[3mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
fonksiyonuna \(X_2 = x_2\) verilmişken \(X_1\) rastgele değişkeninin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu (koşullu marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu) denir. Burada
\[D_{X_1 \mid X_2 = x_2} = \{ x_1 \in \mathbb{R} : (x_1, x_2) \in D \}\]
kümesi, \(D\) bölgesinin \(x_2\) yüksekliğindeki yatay kesitidir. Benzer biçimde, \(f_{X_1}(x_1) \neq 0\) olan bir \(x_1\) için
\[f_{X_2 \mid X_1 = x_1}(x_2) = \begin{cases} \dfrac{f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)}{f_{X_1}(x_1)}, & x_2 \in D_{X_2 \mid X_1 = x_1} \\[3mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
fonksiyonuna \(X_1 = x_1\) verilmişken \(X_2\)’nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu denir; \(D_{X_2 \mid X_1 = x_1} = \{ x_2 \in \mathbb{R} : (x_1, x_2) \in D \}\), \(D\)’nin \(x_1\) apsisindeki düşey kesitidir.
Sürekli durumda \(X_1\) ile ilgili koşullu olasılıklar, koşullu yoğunluğun integraliyle tanımlanır:
\[P(X_1 \in B \mid X_2 = x_2) = \int_B f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1)\, dx_1.\]
En sık yapılan yanlış, integral sınırlarını koşullu değer kümesine göre kısıtlamamaktır. \(X_2 = x_2\) verildiğinde \(X_1\) yalnızca \(D\)’nin o kesitindeki değerleri alabilir; kesitin dışında koşullu yoğunluk sıfırdır.
Kesikli ve sürekli tanımlar aynı kalıba uyar: koşullu fonksiyon, ortak fonksiyonun sabit tutulan değişkene ait marjinale bölünmesidir. Doğal soru, bölme sonucunda gerçekten bir olasılık (yoğunluk) fonksiyonu elde edilip edilmediğidir.
Önerme 14.2 (Koşullu Fonksiyonlar Olasılık (Yoğunluk) Fonksiyonudur) (a) \((X_1, X_2)\) kesikli bir rastgele vektör ve \(f_{X_2}(x_2) > 0\) olsun. \(f_{X_1 \mid X_2 = x_2}\), değer kümesi \(D_{X_1 \mid X_2 = x_2}\) olan bir olasılık fonksiyonudur: negatif değildir ve
\[\sum_{x_1 \in D_{X_1 \mid X_2 = x_2}} f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1) = 1.\]
(b) \((X_1, X_2)\) sürekli bir rastgele vektör ve \(f_{X_2}(x_2) > 0\) olsun. \(f_{X_1 \mid X_2 = x_2}\) bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur: negatif değildir ve
\[\int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1)\, dx_1 = 1.\]
Aynı sonuçlar \(f_{X_2 \mid X_1 = x_1}\) için de geçerlidir.
İspat
(a) Pay \(f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) \ge 0\) ve payda \(f_{X_2}(x_2) > 0\) olduğundan bölüm negatif değildir. Marjinal olasılık fonksiyonunun tanımı (Tanım 13.5) gereği \(f_{X_2}(x_2) = \sum_{x_1 \in D_{X_1}} f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)\) olur ve toplama yalnızca \(f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) > 0\) olan terimler, yani \(D_{X_1 \mid X_2 = x_2}\)’dekiler katkı verir. Öyleyse
\[\sum_{x_1 \in D_{X_1 \mid X_2 = x_2}} f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1) = \frac{1}{f_{X_2}(x_2)} \sum_{x_1 \in D_{X_1 \mid X_2 = x_2}} f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) = \frac{f_{X_2}(x_2)}{f_{X_2}(x_2)} = 1.\]
(b) Negatif olmama aynı nedenle açıktır. Marjinal yoğunluğun tanımı (Tanım 13.8) gereği \(f_{X_2}(x_2) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)\, dx_1\) olur; integrale yalnızca \(D_{X_1 \mid X_2 = x_2}\) kesiti katkı verir. Öyleyse
\[\int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1)\, dx_1 = \frac{1}{f_{X_2}(x_2)} \int_{D_{X_1 \mid X_2 = x_2}} f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)\, dx_1 = \frac{f_{X_2}(x_2)}{f_{X_2}(x_2)} = 1.\]
\(f_{X_2 \mid X_1 = x_1}\) için ispat, rollerin değiştirilmesiyle aynı biçimde yapılır.
\(\blacksquare\)
Koşullu fonksiyonun tanımı ters çevrilirse ortak fonksiyon geri elde edilir:
\[f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) = f_{X_1}(x_1)\, f_{X_2 \mid X_1 = x_1}(x_2) = f_{X_2}(x_2)\, f_{X_1 \mid X_2 = x_2}(x_1).\]
Bu, olaylar için çarpım kuralının (\(P(A \cap B) = P(B)\, P(A \mid B)\)) rastgele değişkenlerdeki karşılığıdır. İki aşamalı deneylerde ortak dağılım çoğu zaman bu yoldan kurulur: önce \(X_1\)’in dağılımı, sonra \(X_1 = x_1\) verilmişken \(X_2\)’nin dağılımı yazılır ve ikisi çarpılır. Girişte sözü edilen “marjinallerden ortağa dönüş” sorununda eksik olan bilgi, koşullu dağılımdır.
14.3 Bağımsızlık ile Koşullu Dağılım Arasındaki İlişki
Bağımsızlığın sezgisel anlamı, “\(X\)’in değerini bilmek \(Y\) hakkında bilgi vermez” idi. Koşullu dağılım ise tam olarak “\(X\)’in değeri bilindiğinde \(Y\)’nin dağılımı”dır. Öyleyse bağımsızlık, koşullu dağılımın koşuldan etkilenmemesi, yani marjinale eşit kalması demek olmalıdır.
Teorem 14.2 (Bağımsızlık ve Koşullu Dağılımın Marjinale Eşitliği) \((X, Y)\) kesikli ya da sürekli bir rastgele vektör olsun. Aşağıdaki üç ifade birbirine denktir:
(i) \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır.
(ii) \(f_X(x) > 0\) olan her \(x\) ve her \(y\) için \(f_{Y \mid X = x}(y) = f_Y(y)\) olur; yani \(X = x\) verilmişken \(Y\)’nin koşullu dağılımı \(Y\)’nin marjinal dağılımına eşittir.
(iii) \(X = x\) verilmişken \(Y\)’nin koşullu dağılımı \(x\)’e bağlı değildir; yani \(f_X(x) > 0\) olan her \(x\) için \(f_{Y \mid X = x}(y) = g(y)\) olacak biçimde yalnız \(y\)’ye bağlı bir \(g\) fonksiyonu vardır.
Aynı denklikler \(X\) ile \(Y\)’nin rolleri değiştirilerek de geçerlidir: bağımsızlık, \(f_{X \mid Y = y} = f_X\) olmasına denktir.
İspat
(i) \(\Rightarrow\) (ii). \(X\) ve \(Y\) bağımsız olsun; \(f_X(x) > 0\) olan bir \(x\) alalım. Koşullu fonksiyonun tanımı ve bağımsızlık gereği
\[f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_X(x)} = \frac{f_X(x)\, f_Y(y)}{f_X(x)} = f_Y(y).\]
(ii) \(\Rightarrow\) (iii). \(g = f_Y\) alınırsa (iii) sağlanır.
(iii) \(\Rightarrow\) (i). \(f_X(x) > 0\) olan her \(x\) için \(f_{Y \mid X = x}(y) = g(y)\) olsun. Koşullu fonksiyonun tanımından, bu \(x\)’ler için \(f_{X, Y}(x, y) = f_X(x)\, g(y)\) olur. \(f_X(x) = 0\) olan \(x\)’lerde ise \(f_{X, Y}(x, y) = 0\) alınabilir: kesikli durumda \(x \notin D_X\) olduğundan bu kesindir; sürekli durumda \(\int_{-\infty}^{\infty} f_{X, Y}(x, y)\, dy = 0\) ve \(f_{X, Y} \ge 0\)’dır, yoğunluğun sıfır olasılıklı bir kümede değiştirilmesi de olasılık hesaplarını etkilemez. Şimdi \(g\)’yi bulalım; kesikli durumda
\[f_Y(y) = \sum_{x \in D_X} f_{X, Y}(x, y) = g(y) \sum_{x \in D_X} f_X(x) = g(y),\]
sürekli durumda aynı hesap integralle yapılır: \(f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, g(y)\, dx = g(y)\). Demek ki \(g = f_Y\) ve her \((x, y)\) için \(f_{X, Y}(x, y) = f_X(x)\, f_Y(y)\): \(f_X(x) > 0\) ise bu, \(g = f_Y\) ile elde edilen eşitliktir; \(f_X(x) = 0\) ise iki taraf da sıfırdır. Tanım 14.1 gereği \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Pratik sonuç: bir örnekte koşullu fonksiyon koşula bağlı çıkıyorsa değişkenler bağımlıdır; bağımsız olduğu bilinen değişkenlerde ise koşullu olasılıklar doğrudan marjinalle hesaplanır.
14.4 Kesikli Örnekler
Tablodan koşullu olasılık fonksiyonu elde etmek için ilgili satır ya da sütun kendi toplamına bölünür; bağımsızlık, her hücrenin satır ve sütun toplamlarının çarpımına eşit olup olmadığına bakılarak sınanır.
Örnek 14.2 (Üç Para Atışında Koşullu Dağılım) Düzgün bir para üç kez atılıyor. \(X_1\) üç atışta gelen tura sayısını, \(X_2\) ilk iki atışta gelen tura sayısını göstersin. \((X_1, X_2)\) rastgele vektörünün ortak olasılık fonksiyonu tablosu Örnek 13.1’ta örnek uzayın sekiz eş olasılıklı sonucu sayılarak kurulmuştu:
| \(x_1 \setminus x_2\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(f_{X_1}(x_1)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{8}\) | \(0\) | \(0\) | \(\frac{1}{8}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{2}{8}\) | \(0\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(2\) | \(0\) | \(\frac{2}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(3\) | \(0\) | \(0\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
| \(f_{X_2}(x_2)\) | \(\frac{2}{8}\) | \(\frac{4}{8}\) | \(\frac{2}{8}\) | \(1\) |
(a) \(P(X_1 = 2 \mid X_2 = 1)\) koşullu olasılığını hesaplayınız.
(b) \(P(1 < X_1 \le 2 \mid X_2 = 1)\) koşullu olasılığını hesaplayınız.
(c) \(X_2 = 1\) verilmişken \(X_1\)’in koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
(d) \(X_1 = 1\) verilmişken \(X_2\)’nin koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
(e) \(X_1\) ve \(X_2\) bağımsız mıdır?
Çözüm
(a) Teorem 14.1 gereği
\[P(X_1 = 2 \mid X_2 = 1) = \frac{f_{X_1, X_2}(2, 1)}{f_{X_2}(1)} = \frac{2/8}{4/8} = \frac{1}{2}.\]
Sezgisel açıklama: ilk iki atışta bir tura varsa toplamın \(2\) olması üçüncü atışın tura gelmesi demektir.
(b) \(X_1\) tam sayı değerli olduğundan \((1 < X_1 \le 2) = (X_1 = 2)\) olur:
\[P(1 < X_1 \le 2 \mid X_2 = 1) = P(X_1 = 2 \mid X_2 = 1) = \frac{1}{2}.\]
(c) \(x_2 = 1\) sütununda pozitif hücreler \(x_1 = 1\) ve \(x_1 = 2\) satırlarındadır; koşullu değer kümesi \(D_{X_1 \mid X_2 = 1} = \{1, 2\}\)’dir. Sütundaki sayıları sütun toplamı \(f_{X_2}(1) = \frac{4}{8}\)’e bölersek
\[f_{X_1 \mid X_2 = 1}(1) = \frac{2/8}{4/8} = \frac{1}{2}, \qquad f_{X_1 \mid X_2 = 1}(2) = \frac{2/8}{4/8} = \frac{1}{2}\]
bulunur. Toplam \(1\)’dir (Önerme 14.2).
(d) \(x_1 = 1\) satırında pozitif hücreler \(x_2 = 0\) ve \(x_2 = 1\) sütunlarındadır; satır toplamı \(f_{X_1}(1) = \frac{3}{8}\)’dir:
\[f_{X_2 \mid X_1 = 1}(0) = \frac{1/8}{3/8} = \frac{1}{3}, \qquad f_{X_2 \mid X_1 = 1}(1) = \frac{2/8}{3/8} = \frac{2}{3}.\]
Üç atıştaki tek tura, \(\frac{1}{3}\) olasılıkla üçüncü atıştadır.
(e) Bağımsızlık için her hücrenin, satır ve sütun toplamlarının çarpımına eşit olması gerekir. Tek bir hücre yeter:
\[f_{X_1, X_2}(0, 0) = \frac{1}{8}, \qquad f_{X_1}(0)\, f_{X_2}(0) = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{1}{32}.\]
Eşit olmadıklarından \(X_1\) ve \(X_2\) bağımsız değildir. Destek de bunu gösterir: \(f_{X_1, X_2}(0, 2) = 0\) olduğu hâlde \(f_{X_1}(0) > 0\) ve \(f_{X_2}(2) > 0\)’dır. Teorem 14.2 ile de görülür: (c)’deki koşullu fonksiyon, \(X_1\)’in marjinalinden (\(\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}\)) farklıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 14.3 (Üç Toptan İkisi: Toplam ve Fark) Bir kutudaki üç top \(1, 2, 3\) rakamlarıyla numaralanmıştır. Kutudan iadesiz olarak iki top çekiliyor. \(X\) çekilen toplardaki sayıların toplamını, \(Y\) ise bu sayıların farkının mutlak değerini göstersin. \(X\) ve \(Y\)’nin ortak olasılık fonksiyonunu oluşturunuz; koşullu olasılık fonksiyonlarını bulunuz ve \(X\) ile \(Y\)’nin bağımsız olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm
Örnek uzay. Çekiliş sırası gözetilirse örnek uzay
\[\Omega = \{ (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) \}\]
altı eş olasılıklı sonuçtan oluşur. \((1, 2)\) ve \((2, 1)\) için \(X = 3\), \(Y = 1\); \((1, 3)\) ve \((3, 1)\) için \(X = 4\), \(Y = 2\); \((2, 3)\) ve \((3, 2)\) için \(X = 5\), \(Y = 1\)’dir. Değer kümeleri \(D_X = \{3, 4, 5\}\) ve \(D_Y = \{1, 2\}\)’dir.
Ortak olasılık fonksiyonu. Her \((x, y)\) çifti için o çifti veren sonuçlar sayılır:
| \(x \setminus y\) | \(1\) | \(2\) | \(f_X(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(3\) | \(\frac{2}{6}\) | \(0\) | \(\frac{2}{6}\) |
| \(4\) | \(0\) | \(\frac{2}{6}\) | \(\frac{2}{6}\) |
| \(5\) | \(\frac{2}{6}\) | \(0\) | \(\frac{2}{6}\) |
| \(f_Y(y)\) | \(\frac{4}{6}\) | \(\frac{2}{6}\) | \(1\) |
Ortak fonksiyonun desteği \(\{(3, 1), (4, 2), (5, 1)\}\) kümesidir.
Koşullu olasılık fonksiyonları. \(Y = 1\) sütununu toplamı \(\frac{4}{6}\)’ya bölersek
\[f_{X \mid Y = 1}(3) = \frac{2/6}{4/6} = \frac{1}{2}, \qquad f_{X \mid Y = 1}(5) = \frac{1}{2};\]
\(Y = 2\) sütununda tek pozitif hücre vardır: \(f_{X \mid Y = 2}(4) = 1\). Satırlara bakarsak
\[f_{Y \mid X = 3}(1) = 1, \qquad f_{Y \mid X = 4}(2) = 1, \qquad f_{Y \mid X = 5}(1) = 1.\]
\(X\) bilindiğinde \(Y\) kesin olarak belirlenir; gerçekten \(Y\), \(X\)’in bir fonksiyonudur: \(Y = 2\) ancak ve ancak \(X = 4\). Bu, bağımsızlığın tam karşıtı olan durumdur.
Bağımsızlık. \(f_{X, Y}(3, 2) = 0\) olduğu hâlde \(f_X(3)\, f_Y(2) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{9} \neq 0\)’dır. Öyleyse \(X\) ve \(Y\) bağımsız değildir; koşullu fonksiyonların koşula bağlı olması da aynı sonucu verir.
\(\blacksquare\)
Örnek 14.4 (İki Zar: İlk Sayı ve Farkın Mutlak Değeri) Düzgün bir zar iki kez atılıyor. \(X\) ilk atışta gelen sayıyı, \(Y\) ise ikinci atışta gelen sayı ile ilk atışta gelen sayı arasındaki farkın mutlak değerini göstersin. \(X\) ve \(Y\)’nin ortak olasılık fonksiyonunu oluşturunuz; marjinalleri, \(Y = 5\) verilmişken \(X\)’in ve \(X = 1\) verilmişken \(Y\)’nin koşullu olasılık fonksiyonlarını bulunuz; \(X\) ile \(Y\)’nin bağımsız olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm
Kurulum. Örnek uzay, \(i\) ilk ve \(j\) ikinci atışın sonucu olmak üzere \(36\) eş olasılıklı \((i, j)\) çiftinden oluşur; \(X = i\) ve \(Y = |j - i|\)’dir. \(D_X = \{1, \ldots, 6\}\), \(D_Y = \{0, 1, \ldots, 5\}\). Sabit bir \(x\) için \(|j - x| = y\) denkleminin \(j \in \{1, \ldots, 6\}\) içindeki çözüm sayısı hücreyi belirler: \(y = 0\) için tek çözüm (\(j = x\)) vardır; \(y \ge 1\) için adaylar \(j = x - y\) ve \(j = x + y\)’dir ve bunlardan \(1\) ile \(6\) arasında kalanlar sayılır.
Ortak olasılık fonksiyonu tablosu.
| \(x \setminus y\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(f_X(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(0\) | \(\frac{6}{36}\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(0\) | \(0\) | \(\frac{6}{36}\) |
| \(4\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(0\) | \(0\) | \(\frac{6}{36}\) |
| \(5\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(0\) | \(\frac{6}{36}\) |
| \(6\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) |
| \(f_Y(y)\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{10}{36}\) | \(\frac{8}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(1\) |
Örneğin \(x = 3\), \(y = 2\) için adaylar \(j = 1\) ve \(j = 5\)’tir, ikisi de geçerlidir: hücre \(\frac{2}{36}\). \(x = 2\), \(y = 5\) için adaylar \(j = -3\) ve \(j = 7\)’dir, hiçbiri geçerli değildir: hücre \(0\). Her satırın toplamı \(\frac{1}{6}\)’dır (\(X\) düzgün zarın kendisidir); sütun toplamları \(Y\)’nin marjinalini verir.
Koşullu fonksiyonlar. \(Y = 5\) sütununda pozitif hücreler \(x = 1\) ve \(x = 6\)’dadır; sütun toplamı \(\frac{2}{36}\) olduğundan
\[f_{X \mid Y = 5}(1) = \frac{1/36}{2/36} = \frac{1}{2}, \qquad f_{X \mid Y = 5}(6) = \frac{1}{2}.\]
\(X = 1\) satırının bütün hücreleri \(\frac{1}{36}\) ve satır toplamı \(\frac{6}{36}\) olduğundan
\[f_{Y \mid X = 1}(y) = \frac{1/36}{6/36} = \frac{1}{6}, \qquad y = 0, 1, \ldots, 5.\]
Buna karşılık \(X = 3\) satırı için \(f_{Y \mid X = 3}(1) = \frac{2/36}{6/36} = \frac{1}{3}\) ve \(f_{Y \mid X = 3}(4) = 0\) olur: koşullu dağılım \(x\)’e bağlıdır.
Bağımsızlık. \(f_{X, Y}(1, 5) = \frac{1}{36}\) iken \(f_X(1)\, f_Y(5) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{36} = \frac{1}{108}\)’dir. Eşit olmadıklarından \(X\) ve \(Y\) bağımsız değildir. Tablodaki sıfır hücreler de bunu gösterir: destek, \(D_X \times D_Y\) çarpım kümesinin tamamı değildir.
\(\blacksquare\)
Örnek 14.5 (Çarpım Biçimindeki Ortak Olasılık Fonksiyonu) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu
\[f(x, y) = P(X = x, Y = y) = \left( \frac{2}{3} \right)^{x + y} \left( \frac{1}{3} \right)^{2 - x - y}, \qquad x \in \{0, 1\},\; y \in \{0, 1\}\]
olsun.
(a) \(f\)’nin bir ortak olasılık fonksiyonu olma koşullarını sağladığını gösteriniz.
(b) \(X\) ve \(Y\)’nin marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
(c) \(X\) ve \(Y\) bağımsız mıdır?
(d) \(P(X = x \mid Y = y)\) koşullu olasılık fonksiyonunu oluşturunuz ve \(P(1 \le X \le 3 \mid Y = 1)\) olasılığını hesaplayınız.
Çözüm
(a) Dört değer şunlardır:
\[f(0, 0) = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}, \qquad f(1, 0) = f(0, 1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}, \qquad f(1, 1) = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}.\]
Hepsi negatif değildir ve toplamları \(\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = 1\)’dir. Öyleyse \(f\) bir ortak olasılık fonksiyonudur (Tanım 13.4).
(b) \(X\)’in marjinali için \(y\) üzerinden toplanır:
\[f_X(x) = \sum_{y = 0}^{1} \left( \frac{2}{3} \right)^{x + y} \left( \frac{1}{3} \right)^{2 - x - y} = \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \left( \frac{1}{3} \right)^{2 - x} + \left( \frac{2}{3} \right)^{x + 1} \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - x}.\]
Ortak çarpan \(\left( \frac{2}{3} \right)^x \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - x}\) dışarı alınırsa parantez içinde \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\) kalır:
\[f_X(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - x}, \qquad x \in \{0, 1\};\]
yani \(f_X(0) = \frac{1}{3}\), \(f_X(1) = \frac{2}{3}\). \(f\), \(x\) ile \(y\)’ye göre simetrik olduğundan aynı hesap \(Y\) için de geçerlidir:
\[f_Y(y) = \left( \frac{2}{3} \right)^{y} \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - y}, \qquad y \in \{0, 1\}.\]
(c) Üsleri ayırarak yazalım:
\[f(x, y) = \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - x} \right] \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{y} \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - y} \right] = f_X(x)\, f_Y(y).\]
Bu eşitlik \(D_X \times D_Y\)’nin dört noktasının hepsinde sağlanır; tek bir noktada doğrulamak yetmez, tanım her noktayı ister. Öyleyse \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır: tura olasılığı \(\frac{2}{3}\) olan bir paranın iki bağımsız atışındaki “tura” göstergeleridir.
(d) \(X\) ve \(Y\) bağımsız olduğundan Teorem 14.2 gereği koşullu fonksiyon marjinale eşittir:
\[P(X = x \mid Y = y) = f_{X \mid Y = y}(x) = f_X(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^{x} \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - x}, \qquad x \in \{0, 1\},\]
\(y \in \{0, 1\}\) hangisi olursa olsun. Doğrudan tanımla da görülür: \(f_{X \mid Y = 1}(1) = \dfrac{f(1, 1)}{f_Y(1)} = \dfrac{4/9}{2/3} = \dfrac{2}{3} = f_X(1)\). \(X\) yalnızca \(0\) ve \(1\) değerlerini aldığından \((1 \le X \le 3) = (X = 1)\)’dir:
\[P(1 \le X \le 3 \mid Y = 1) = P(X = 1 \mid Y = 1) = f_X(1) = \frac{2}{3}.\]
\(\blacksquare\)
Önceki örnekte destek bir çarpım kümesiydi ve ortak fonksiyon çarpanlara ayrıldı. Şimdi desteği yine çarpım kümesi olan ama çarpanlara ayrılmayan bir ortak fonksiyon görelim: destek koşulu bağımsızlık için gereklidir, yeterli değildir.
Örnek 14.6 (Toplam Biçimindeki Ortak Olasılık Fonksiyonu) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu
\[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x + y}{21}, & x \in \{1, 2, 3\},\; y \in \{1, 2\} \\[3mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun.
(a) \(X\) ve \(Y\)’nin marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
(b) \(X\) ve \(Y\) bağımsız mıdır?
(c) \(P(X = x \mid Y = y)\) koşullu olasılık fonksiyonunu oluşturunuz; \(P(1 \le X \le 3 \mid Y = 1)\) ve \(P(X \le 2 \mid Y = 1)\) olasılıklarını hesaplayınız.
(d) \(P(Y = y \mid X = x)\) koşullu olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.
Çözüm
Önce \(f\)’nin bir olasılık fonksiyonu olduğunu görelim: değerler pozitiftir ve
\[\sum_{x = 1}^{3} \sum_{y = 1}^{2} \frac{x + y}{21} = \frac{1}{21} \sum_{x = 1}^{3} (2x + 3) = \frac{5 + 7 + 9}{21} = 1.\]
(a) \(X\)’in marjinali:
\[f_X(x) = \sum_{y = 1}^{2} \frac{x + y}{21} = \frac{2x + 3}{21}, \qquad x \in \{1, 2, 3\};\]
yani \(f_X(1) = \frac{5}{21}\), \(f_X(2) = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}\), \(f_X(3) = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}\). \(Y\)’nin marjinali:
\[f_Y(y) = \sum_{x = 1}^{3} \frac{x + y}{21} = \frac{6 + 3y}{21} = \frac{2 + y}{7}, \qquad y \in \{1, 2\};\]
yani \(f_Y(1) = \frac{3}{7}\), \(f_Y(2) = \frac{4}{7}\). Ortak dağılım tablosu:
| \(x \setminus y\) | \(1\) | \(2\) | \(f_X(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(\frac{2}{21}\) | \(\frac{3}{21}\) | \(\frac{5}{21}\) |
| \(2\) | \(\frac{3}{21}\) | \(\frac{4}{21}\) | \(\frac{7}{21}\) |
| \(3\) | \(\frac{4}{21}\) | \(\frac{5}{21}\) | \(\frac{9}{21}\) |
| \(f_Y(y)\) | \(\frac{9}{21}\) | \(\frac{12}{21}\) | \(1\) |
(b) Destek \(\{1, 2, 3\} \times \{1, 2\}\) çarpım kümesidir; destek ölçütü karar vermez, hücreleri sınamak gerekir:
\[f(1, 1) = \frac{2}{21} = \frac{14}{147}, \qquad f_X(1)\, f_Y(1) = \frac{5}{21} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{147}.\]
Eşit değildir; \(X\) ve \(Y\) bağımsız değildir. Nedeni yapısaldır: \(x + y\) ifadesi \(g(x) h(y)\) biçiminde çarpanlara ayrılamaz.
(c) Tanım gereği
\[f_{X \mid Y = y}(x) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)} = \frac{(x + y)/21}{(6 + 3y)/21} = \frac{x + y}{6 + 3y}, \qquad x \in \{1, 2, 3\}.\]
\(y = 1\) için \(f_{X \mid Y = 1}(x) = \frac{x + 1}{9}\): değerler \(\frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{4}{9}\). \(y = 2\) için \(f_{X \mid Y = 2}(x) = \frac{x + 2}{12}\): değerler \(\frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}\). Her ikisinin toplamı \(1\)’dir ve ikisi birbirinden (ve marjinal \(\frac{5}{21}, \frac{7}{21}, \frac{9}{21}\)’den) farklıdır; Teorem 14.2 bağımlılığı bir kez daha doğrular.
\((1 \le X \le 3)\) olayı \(X\)’in bütün değer kümesini kapsar; dolayısıyla
\[P(1 \le X \le 3 \mid Y = 1) = \sum_{x = 1}^{3} f_{X \mid Y = 1}(x) = \frac{2 + 3 + 4}{9} = 1.\]
Daha bilgilendirici bir olasılık:
\[P(X \le 2 \mid Y = 1) = f_{X \mid Y = 1}(1) + f_{X \mid Y = 1}(2) = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}.\]
(d) Satırları satır toplamına bölersek
\[f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} = \frac{x + y}{2x + 3}, \qquad y \in \{1, 2\}.\]
Somut olarak: \(X = 1\) için \(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\); \(X = 2\) için \(\frac{3}{7}, \frac{4}{7}\); \(X = 3\) için \(\frac{4}{9}, \frac{5}{9}\). Her satırın toplamı \(1\)’dir; \(X\) büyüdükçe \(Y = 2\) olma koşullu olasılığı azalır.
\(\blacksquare\)
14.5 Sürekli Örnekler
İş akışı hep aynıdır: destek bölgesi çizilir; marjinaller kesitler üzerinde integralle bulunur; koşullu yoğunluk yalnızca ilgili kesit üzerinde yazılır; koşullu olasılıklar koşullu yoğunluğun kesit içindeki integralidir. Destek bölgesi bir çarpım kümesi (\(D_X \times D_Y\)) değilse — örneğin bir üçgense — değişkenler bağımsız olamaz.
Örnek 14.7 (Dikdörtgen Üzerinde Düzgün Ortak Yoğunluk) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
\[f(x, y) = \begin{cases} c, & 0 < x < 2,\; 2 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun.
(a) \(f\)’nin bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için \(c\) ne olmalıdır?
(b) \(f_X\) ve \(f_Y\) marjinal yoğunluklarını bulunuz. \(X\) ve \(Y\) bağımsız mıdır?
(c) \(f_{Y \mid X = x}\) ve \(f_{X \mid Y = y}\) koşullu yoğunluklarını bulunuz.
(d) \(P(2 < Y < 3 \mid X = 1)\), \(P(2 < Y < 5 \mid X = 1)\) ve \(P(2 < Y < 4 \mid X = 1)\) olasılıklarını hesaplayınız.
(e) \(P(X \le 1, Y \le 3)\) ve \(P(X + Y \le 3)\) olasılıklarını hesaplayınız.
Çözüm
(a) \(f \ge 0\) için \(c \ge 0\) gerekir. Destek, kenar uzunlukları \(2\) olan bir karedir; alanı \(4\)’tür:
\[\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)\, dy\, dx = \int_0^2 \int_2^4 c\, dy\, dx = 4c = 1 \quad \Longrightarrow \quad c = \frac{1}{4}.\]
(b) Sırasıyla \(0 < x < 2\) ve \(2 < y < 4\) için
\[f_X(x) = \int_2^4 \frac{1}{4}\, dy = \frac{1}{2}, \qquad f_Y(y) = \int_0^2 \frac{1}{4}\, dx = \frac{1}{2};\]
bu aralıkların dışında marjinaller sıfırdır. \(X\), \((0, 2)\) üzerinde; \(Y\), \((2, 4)\) üzerinde düzgün dağılmıştır. Her \((x, y)\) için \(f(x, y) = f_X(x)\, f_Y(y)\) sağlanır: destek karesinin içinde \(\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\), dışında iki taraf da \(0\)’dır. Öyleyse \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır.
(c) \(0 < x < 2\) için \(D\)’nin \(x\) apsisindeki düşey kesiti \((2, 4)\) aralığıdır:
\[f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}, \qquad 2 < y < 4;\]
kesit dışında \(0\). Benzer biçimde \(2 < y < 4\) için \(f_{X \mid Y = y}(x) = \frac{1}{2}\), \(0 < x < 2\). Koşullu yoğunluklar marjinallere eşittir; Teorem 14.2 ile uyumludur.
(d) \(X = 1\) verilmişken \(Y\)’nin koşullu yoğunluğu \((2, 4)\) üzerinde \(\frac{1}{2}\)’dir:
\[P(2 < Y < 3 \mid X = 1) = \int_2^3 \frac{1}{2}\, dy = \frac{1}{2}.\]
\((2, 5)\) aralığının \((2, 4)\) dışında kalan kısmında koşullu yoğunluk sıfırdır; integral yalnızca \((2, 4)\) üzerinde alınır:
\[P(2 < Y < 5 \mid X = 1) = \int_2^4 \frac{1}{2}\, dy = 1, \qquad P(2 < Y < 4 \mid X = 1) = \int_2^4 \frac{1}{2}\, dy = 1.\]
(e) Bağımsızlık sayesinde ilk olasılık çarpıma ayrılır:
\[P(X \le 1, Y \le 3) = P(X \le 1)\, P(Y \le 3) = \left( \int_0^1 \frac{1}{2}\, dx \right) \left( \int_2^3 \frac{1}{2}\, dy \right) = \frac{1}{4}.\]
İkincisi için bölgeyi belirleyelim: destek karesi içinde \(x + y \le 3\) koşulu \(y \le 3 - x\) demektir; \(y > 2\) olduğundan bu ancak \(x < 1\) iken mümkündür. Bölge, köşeleri \((0, 2)\), \((1, 2)\), \((0, 3)\) olan dik üçgendir:
\[P(X + Y \le 3) = \int_0^1 \int_2^{3 - x} \frac{1}{4}\, dy\, dx = \frac{1}{4} \int_0^1 (1 - x)\, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 14.8 (Köşegen Altındaki Üçgende Koşullu Yoğunluklar) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
\[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & 0 < y < x < 1 \\[2mm] 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun.
(a) \(f\)’nin bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu gösteriniz.
(b) \(X\) ve \(Y\)’nin marjinal yoğunluklarını bulunuz.
(c) \(P\!\left( X \le \frac{1}{2},\; Y \le \frac{1}{4} \right)\) olasılığını hesaplayınız.
(d) \(X\) ve \(Y\) bağımsız mıdır?
(e) \(f_{Y \mid X = x}\) ve \(f_{X \mid Y = y}\) koşullu yoğunluklarını bulunuz.
Çözüm
Destek. \(D = \{(x, y) : 0 < y < x < 1\}\), birim karede \(y = x\) köşegeninin altında kalan üçgendir. Sabit bir \(x \in (0, 1)\) için düşey kesit \(0 < y < x\); sabit bir \(y \in (0, 1)\) için yatay kesit \(y < x < 1\) aralığıdır. Şeklin solundaki panel bu bölgeyi gösterir; sağdaki panel ise aynı yöntemin uygulanacağı başka bir üçgen bölgeye, Örnek 14.10’deki desteğe aittir.
(a) \(D\) üzerinde \(\frac{1}{x} > 0\)’dır. İntegral, önce \(y\) sonra \(x\) üzerinden:
\[\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{x}\, dy\, dx = \int_0^1 \frac{1}{x} \cdot x\, dx = \int_0^1 1\, dx = 1.\]
Öyleyse \(f\) bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonudur (Tanım 13.6).
(b) \(0 < x < 1\) için düşey kesit üzerinde integral:
\[f_X(x) = \int_0^x \frac{1}{x}\, dy = 1, \qquad 0 < x < 1.\]
\(X\), \((0, 1)\) üzerinde düzgün dağılmıştır. \(0 < y < 1\) için yatay kesit üzerinde integral:
\[f_Y(y) = \int_y^1 \frac{1}{x}\, dx = \ln 1 - \ln y = -\ln y, \qquad 0 < y < 1.\]
\(0 < y < 1\) için \(\ln y < 0\) olduğundan \(f_Y(y) > 0\)’dır; ayrıca \(\int_0^1 (-\ln y)\, dy = \big[ y - y \ln y \big]_0^1 = 1\) (burada \(y \to 0^+\) iken \(y \ln y \to 0\)’dır).
(c) Olayın bölgesi \(D\) ile \(x \le \frac{1}{2}\), \(y \le \frac{1}{4}\) yarı düzlemlerinin kesişimidir. Önce \(x\) üzerinden integral alalım: \(y \in (0, \frac{1}{4})\) sabitken \(x\), \(y\)’den \(\frac{1}{2}\)’ye kadar değişir:
\[P\!\left( X \le \tfrac{1}{2},\; Y \le \tfrac{1}{4} \right) = \int_0^{1/4} \int_y^{1/2} \frac{1}{x}\, dx\, dy = \int_0^{1/4} \left( \ln \tfrac{1}{2} - \ln y \right) dy = -\frac{\ln 2}{4} + \int_0^{1/4} (-\ln y)\, dy.\]
Son integral \(\big[ y - y \ln y \big]_0^{1/4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \ln \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\ln 2}{2}\) olur. Böylece
\[P\!\left( X \le \tfrac{1}{2},\; Y \le \tfrac{1}{4} \right) = -\frac{\ln 2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\ln 2}{2} = \frac{1 + \ln 2}{4} \approx 0{,}4233.\]
(d) Destek bir üçgendir, çarpım kümesi değildir; dolayısıyla \(X\) ve \(Y\) bağımsız olamaz. Somut olarak \((x, y) = \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right)\) noktasında \(y > x\) olduğundan \(f\!\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right) = 0\), ama \(f_X\!\left( \frac{1}{4} \right) f_Y\!\left( \frac{1}{2} \right) = 1 \cdot \ln 2 \neq 0\)’dır.
(e) \(0 < x < 1\) için, düşey kesit \((0, x)\) üzerinde
\[f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} = \frac{1/x}{1} = \frac{1}{x}, \qquad 0 < y < x;\]
kesit dışında \(0\). Yani \(X = x\) verilmişken \(Y\), \((0, x)\) üzerinde düzgün dağılır. \(0 < y < 1\) için, yatay kesit \((y, 1)\) üzerinde
\[f_{X \mid Y = y}(x) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)} = \frac{1/x}{-\ln y} = -\frac{1}{x \ln y}, \qquad y < x < 1;\]
kesit dışında \(0\). Sağlama: \(\int_y^1 \dfrac{-1}{x \ln y}\, dx = \dfrac{-\ln y}{-\ln y} = 1\). Her iki koşullu yoğunluk da koşula bağlıdır; bu, (d)’deki sonucu Teorem 14.2 yoluyla doğrular.
İki aşamalı yorum: önce \((0, 1)\) üzerinde düzgün bir \(X\), sonra \((0, X)\) üzerinde düzgün bir \(Y\) seçilir; çarpım kuralı \(f(x, y) = f_X(x)\, f_{Y \mid X = x}(y) = 1 \cdot \frac{1}{x}\) ortak yoğunluğu verir.
\(\blacksquare\)
Örnek 14.9 (Aynı Üçgende Farklı Bir Yoğunluk) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
\[f(x, y) = \begin{cases} 3x, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun.
(a) Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
(b) \(f_{Y \mid X = x}\) ve \(f_{X \mid Y = y}\) koşullu yoğunluklarını bulunuz. \(X\) ve \(Y\) bağımsız mıdır?
Çözüm
Destek, Örnek 14.8’deki üçgenin aynısıdır; kesitler de aynıdır. Önce \(f\)’nin yoğunluk olduğunu doğrulayalım: \(\int_0^1 \int_0^x 3x\, dy\, dx = \int_0^1 3x^2\, dx = 1\).
(a) Sırasıyla \(0 < x < 1\) ve \(0 < y < 1\) için
\[f_X(x) = \int_0^x 3x\, dy = 3x^2, \qquad f_Y(y) = \int_y^1 3x\, dx = \frac{3}{2} \left( 1 - y^2 \right).\]
Sağlama: \(\int_0^1 3x^2\, dx = 1\) ve \(\int_0^1 \frac{3}{2}(1 - y^2)\, dy = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 1\).
(b) \(0 < x < 1\) için düşey kesit \((0, x)\) üzerinde
\[f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{3x}{3x^2} = \frac{1}{x}, \qquad 0 < y < x.\]
\(0 < y < 1\) için yatay kesit \((y, 1)\) üzerinde
\[f_{X \mid Y = y}(x) = \frac{3x}{\frac{3}{2}(1 - y^2)} = \frac{2x}{1 - y^2}, \qquad y < x < 1.\]
Sağlama: \(\int_y^1 \dfrac{2x}{1 - y^2}\, dx = \dfrac{1 - y^2}{1 - y^2} = 1\). Örnek 14.8’deki destek ölçütü burada da geçerlidir: \(X\) ve \(Y\) bağımsız değildir; koşullu yoğunlukların koşula bağlı olması bunu ayrıca gösterir.
\(X = x\) verilmişken \(Y\)’nin koşullu dağılımı Örnek 14.8’dekiyle aynıdır (\((0, x)\) üzerinde düzgün); ortak yoğunlukların farkı \(X\)’in marjinalinden gelir: \(f(x, y) = f_X(x)\, f_{Y \mid X = x}(y) = 3x^2 \cdot \frac{1}{x} = 3x\).
\(\blacksquare\)
Örnek 14.10 (Dik Üçgen Bölgede Düzgün Yoğunluk) \(X\) ve \(Y\) rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
\[f(x, y) = \begin{cases} c, & 0 < x < 1,\; 0 < y < 1,\; x + y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\]
olsun.
(a) \(c\) sabitini ve \(X\) ile \(Y\)’nin marjinal yoğunluklarını bulunuz.
(b) \(P(X > 2Y)\) olasılığını hesaplayınız.
(c) \(f_{Y \mid X = x}\) ve \(f_{X \mid Y = y}\) koşullu yoğunluklarını bulunuz.
(d) \(P\!\left( \frac{1}{2} \le Y \le \frac{7}{8} \mid X = \frac{1}{3} \right)\) olasılığını hesaplayınız.
Çözüm
Destek. \(D\), köşeleri \((0, 0)\), \((1, 0)\), \((0, 1)\) olan üçgendir. Sabit \(x \in (0, 1)\) için düşey kesit \(0 < y < 1 - x\); sabit \(y \in (0, 1)\) için yatay kesit \(0 < x < 1 - y\) aralığıdır. Örnek 14.8’deki şeklin sağ paneli tam olarak bu bölgeyi ve düşey kesitini gösterir.
(a) Üçgenin alanı \(\frac{1}{2}\) olduğundan yoğunluğun integrali \(c \cdot \frac{1}{2} = 1\) olmalıdır; \(c = 2\). Doğrudan hesapla:
\[\int_0^1 \int_0^{1 - x} c\, dy\, dx = c \int_0^1 (1 - x)\, dx = \frac{c}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad c = 2.\]
Marjinaller:
\[f_X(x) = \int_0^{1 - x} 2\, dy = 2(1 - x), \quad 0 < x < 1; \qquad f_Y(y) = \int_0^{1 - y} 2\, dx = 2(1 - y), \quad 0 < y < 1.\]
Destek çarpım kümesi olmadığından \(X\) ve \(Y\) bağımsız değildir; örneğin \(f\!\left( \frac{3}{4}, \frac{3}{4} \right) = 0\) ama \(f_X\!\left( \frac{3}{4} \right) f_Y\!\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{4} \neq 0\).
(b) \(X > 2Y\) koşulu \(y < \frac{x}{2}\) demektir. \(y = \frac{x}{2}\) doğrusu \(x + y = 1\) doğrusunu \(\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)\) noktasında keser. Olayın bölgesi, köşeleri \((0, 0)\), \((1, 0)\), \(\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)\) olan üçgendir: tabanı \(1\), yüksekliği \(\frac{1}{3}\), alanı \(\frac{1}{6}\). Yoğunluk sabit olduğundan
\[P(X > 2Y) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.\]
İntegralle doğrulayalım. Düşey kesitin üst sınırı \(x < \frac{2}{3}\) iken \(\frac{x}{2}\), \(x > \frac{2}{3}\) iken \(1 - x\)’tir:
\[P(X > 2Y) = \int_0^{2/3} \int_0^{x/2} 2\, dy\, dx + \int_{2/3}^{1} \int_0^{1 - x} 2\, dy\, dx = \int_0^{2/3} x\, dx + \int_{2/3}^{1} 2(1 - x)\, dx = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}.\]
(c) \(0 < x < 1\) için düşey kesit \((0, 1 - x)\) üzerinde
\[f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{2}{2(1 - x)} = \frac{1}{1 - x}, \qquad 0 < y < 1 - x;\]
yani \(X = x\) verilmişken \(Y\), \((0, 1 - x)\) üzerinde düzgündür. Simetriyle, \(0 < y < 1\) için
\[f_{X \mid Y = y}(x) = \frac{1}{1 - y}, \qquad 0 < x < 1 - y.\]
Koşullu dağılımlar koşula bağlıdır: \(x\) büyüdükçe \(Y\)’nin sığabileceği aralık daralır.
(d) \(X = \frac{1}{3}\) verilmişken \(Y\)’nin koşullu yoğunluğu \(\left( 0, \frac{2}{3} \right)\) aralığında \(\dfrac{1}{1 - 1/3} = \dfrac{3}{2}\), dışında \(0\)’dır. İstenen aralığın kesit dışında kalan \(\left( \frac{2}{3}, \frac{7}{8} \right]\) parçası olasılığa katkı vermez; integral yalnızca \(\left[ \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right]\) üzerinde alınır:
\[P\!\left( \tfrac{1}{2} \le Y \le \tfrac{7}{8} \mid X = \tfrac{1}{3} \right) = \int_{1/2}^{2/3} \frac{3}{2}\, dy = \frac{3}{2} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}.\]
Sınırı \(\frac{7}{8}\)’e kadar götürmek \(\frac{9}{16}\) gibi yanlış bir sonuç verirdi; \(X = \frac{1}{3}\) iken \(Y\), \(\frac{2}{3}\)’ü aşamaz.
\(\blacksquare\)
14.6 Alıştırmalar
Alıştırma 14.1 (Bağımsızlık ve Koşullu Dağılımlar) (a) \(X\) ve \(Y\)’nin ortak olasılık fonksiyonu \(f(x, y) = \dfrac{xy}{36}\), \(x, y \in \{1, 2, 3\}\) olsun. Marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz; \(X\) ve \(Y\)’nin bağımsız olup olmadığını belirleyiniz; \(P(X = 3 \mid Y = 2)\) olasılığını hesaplayınız.
(b) Örnek 14.10’deki ortak yoğunluk için \(P\!\left( \frac{1}{8} \le Y \le \frac{1}{2} \mid X = \frac{1}{3} \right)\) ve \(P\!\left( X \le \frac{1}{2} \mid Y = \frac{1}{4} \right)\) olasılıklarını hesaplayınız.
(c) \(X\) ve \(Y\)’nin ortak yoğunluğu \(f(x, y) = e^{-x - y}\), \(x > 0\), \(y > 0\) (diğer durumlarda \(0\)) olsun. \(X\) ve \(Y\)’nin bağımsız olduğunu gösteriniz; \(f_{X \mid Y = y}\) koşullu yoğunluğunu yazınız ve \(P(X > 1 \mid Y = 2)\) olasılığını hesaplayınız.
(d) Örnek 14.9’deki ortak yoğunluk için \(P\!\left( Y > \frac{1}{2} \mid X = \frac{3}{4} \right)\) ve \(P\!\left( X > \frac{1}{2} \mid Y = \frac{1}{4} \right)\) olasılıklarını hesaplayınız.
(e) \(X\) ve \(Y\) bağımsız kesikli rastgele değişkenler, \(g\) ve \(h\) reel değerli fonksiyonlar olsun. \(U = g(X)\) ve \(V = h(Y)\) rastgele değişkenlerinin de bağımsız olduğunu gösteriniz.
Çözüm
(a) Önce \(\sum_{x, y} \frac{xy}{36} = \frac{(1 + 2 + 3)(1 + 2 + 3)}{36} = 1\), dolayısıyla \(f\) bir olasılık fonksiyonudur. Marjinaller:
\[f_X(x) = \sum_{y = 1}^{3} \frac{xy}{36} = \frac{6x}{36} = \frac{x}{6}, \qquad f_Y(y) = \frac{y}{6}, \qquad x, y \in \{1, 2, 3\}.\]
Her \((x, y)\) için \(f(x, y) = \frac{x}{6} \cdot \frac{y}{6} = f_X(x) f_Y(y)\) sağlanır; destek de \(\{1, 2, 3\}^2\) çarpım kümesidir. \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır. Teorem 14.2 gereği \(P(X = 3 \mid Y = 2) = f_X(3) = \frac{1}{2}\); doğrudan: \(\dfrac{f(3, 2)}{f_Y(2)} = \dfrac{6/36}{2/6} = \dfrac{1}{2}\).
(b) \(X = \frac{1}{3}\) verilmişken \(Y\), \(\left( 0, \frac{2}{3} \right)\) üzerinde \(\frac{3}{2}\) yoğunluğuyla düzgündür. \(\left[ \frac{1}{8}, \frac{1}{2} \right]\) aralığı tamamen kesit içindedir:
\[P\!\left( \tfrac{1}{8} \le Y \le \tfrac{1}{2} \mid X = \tfrac{1}{3} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{16}.\]
\(Y = \frac{1}{4}\) verilmişken \(X\), \(\left( 0, \frac{3}{4} \right)\) üzerinde \(\dfrac{1}{1 - 1/4} = \dfrac{4}{3}\) yoğunluğuyla düzgündür:
\[P\!\left( X \le \tfrac{1}{2} \mid Y = \tfrac{1}{4} \right) = \int_0^{1/2} \frac{4}{3}\, dx = \frac{2}{3}.\]
(c) \(f(x, y) = e^{-x} \cdot e^{-y}\) çarpımıdır ve destek \((0, \infty) \times (0, \infty)\) çarpım kümesidir; çarpanlara ayrılma ölçütü gereği \(X\) ve \(Y\) bağımsızdır. Gerçekten \(f_X(x) = \int_0^{\infty} e^{-x - y}\, dy = e^{-x}\) (\(x > 0\)), \(f_Y(y) = e^{-y}\) (\(y > 0\)) ve \(f = f_X f_Y\). Bağımsızlık gereği \(f_{X \mid Y = y}(x) = f_X(x) = e^{-x}\), \(x > 0\) (her \(y > 0\) için). Böylece
\[P(X > 1 \mid Y = 2) = \int_1^{\infty} e^{-x}\, dx = e^{-1} \approx 0{,}3679.\]
(d) \(X = \frac{3}{4}\) verilmişken \(Y\), \(\left( 0, \frac{3}{4} \right)\) üzerinde \(\frac{4}{3}\) yoğunluğuyla düzgündür:
\[P\!\left( Y > \tfrac{1}{2} \mid X = \tfrac{3}{4} \right) = \frac{4}{3} \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3}.\]
\(Y = \frac{1}{4}\) verilmişken \(X\)’in koşullu yoğunluğu \(\dfrac{2x}{1 - 1/16} = \dfrac{32x}{15}\), \(\frac{1}{4} < x < 1\)’dir:
\[P\!\left( X > \tfrac{1}{2} \mid Y = \tfrac{1}{4} \right) = \int_{1/2}^{1} \frac{32x}{15}\, dx = \frac{16}{15} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{4}{5}.\]
(e) \((U = u)\) olayı, \(g(x) = u\) olan \(x \in D_X\)’ler için \((X = x)\) olaylarının ayrık birleşimidir; \((V = v)\) için de aynısı geçerlidir. Bağımsızlık gereği
\[P(U = u, V = v) = \sum_{\substack{x \in D_X \\ g(x) = u}} \sum_{\substack{y \in D_Y \\ h(y) = v}} f_X(x)\, f_Y(y) = \left( \sum_{\substack{x \in D_X \\ g(x) = u}} f_X(x) \right) \left( \sum_{\substack{y \in D_Y \\ h(y) = v}} f_Y(y) \right) = P(U = u)\, P(V = v).\]
Her \((u, v)\) için bu eşitlik sağlandığından \(U\) ve \(V\) bağımsızdır: bağımsız değişkenlerin fonksiyonları da bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Bağımsızlık ve koşullu dağılım, bir rastgele vektörün bileşenleri arasındaki ilişkiyi tanımlar; bir sonraki adım, bu vektörün fonksiyonlarının (toplam, oran, en büyük değer gibi) dağılımını bulmaktır: Rastgele Vektörlerin Dönüşümleri.