7 Tahviller
Tahvil, bir kurumun “şu tarihte şu kadar ödeyeceğim” taahhüdünü kâğıda dökmüş hâlidir. Yatırımcı açısından bakınca ise iki tanıdık parçanın toplamıdır: düzenli kupon ödemelerinden oluşan bir anüite ve vadede alınacak tek bir tutar. Bu yüzden tahvil fiyatlaması, elimizdeki iki formülün toplanmasından ibarettir.
Zor olan kısım matematik değil, hangi sayının hangi harfe karşılık geldiğini şaşırmamaktır: nominal değer, kupon oranı, getiri oranı ve vade değeri sık sık birbirine karıştırılır. Bölümün ikinci yarısında da ters soruyu ele alıyoruz: fiyat belliyken yatırımcının eline geçen getiri oranı nedir?
7.1 Tahvil Nedir?
Tanım 7.1 (Tahvil) Devletin ya da özel sektör şirketlerinin borçlanarak orta ve uzun vadeli fon sağlamak üzere çıkarttıkları borç senetlerine tahvil denir.
Devlet tahvili, özel sektör tahvili, güvenceli, güvencesiz, kuponsuz, kuponlu, dövize endeksli tahviller gibi çeşitleri vardır. Tahvilin vadesi \(1\) yıldan az olmamak üzere serbestçe belirlenebilir.
Tahvil sahibi, tahvili çıkaran kuruluşun uzun vadeli alacaklısıdır; alacağından başka hiçbir hakka sahip değildir. Şirketin yönetimine katılamaz, herhangi bir ortaklık hakkı yoktur. Buna karşılık şirketin brüt kârından önce tahvil sahiplerinin faizleri ödenir. Tahvil sahibi ile şirket arasındaki hukuki ilişki vade sonunda sona erer. Tahvil sahibi tahvili çıkaran şirketin kâr–zarar riskine katılmaz; şirket zarar etse de günü gelince belli miktardaki anapara ve faizini alır.
Tahvil bir borç senedi olduğuna göre, borcun anapara ve faizleri gerektiğinde yargı yoluna başvurarak tahsil edilebilir. Şirketin iflası veya tasfiyesi hâlinde de, tasfiyede önce borçlar ödendiği için, tahvil sahipleri şirket ortaklarından (hisse senedi sahiplerinden) önce alacaklarını alırlar. Tahvilin anapara alacakları için zaman aşımı vadesinden veya en son kupon vadesinden itibaren \(10\) yıldır; faiz alacaklarında ise zaman aşımı \(5\) yıldır.
7.2 Notasyon
Tanım 7.2 (Tahvil Notasyonu)
| Simge | Anlamı |
|---|---|
| \(F\) | Nominal değer: tahvilin üzerinde yazan değerdir; vadesinde yatırımcının eline geçecek olan para miktarıdır, sabittir, değişmez |
| \(r\) | Kuponlu tahvillerde kupon oranı; nominal değer üzerinden yüzde olarak belirlenir |
| \(F \cdot r\) | Kupon ödemesi: tahvil sahibinin elde ettiği faiz getirileridir; yılda bir veya iki kez ödenir |
| \(i\) | Tahvilin dönem başına düşen faiz (getiri) oranı |
| \(P\) | İhraç değeri, satış değeri; \(i\) getiri oranını garanti eden ilk satış fiyatı |
| \(C\) | Vade değeri: vadesinde tahvil sahibine geri ödenecek (itfa edilecek) değerdir; ayrıca belirtilmemişse \(F\) değerine eşittir |
| \(n\) | Faiz ödemesi yapılan toplam dönem sayısı |
Tahvilin fiyatı ile nominal değeri arasındaki ilişkiye göre üç durum adlandırılır:
- \(P > F\) ise tahvil primli ihraç edilmiştir denir.
- \(P = F\) ise tahvile başabaş tahvil denir.
- \(P < F\) ise tahvil iskontolu ihraç edilmiştir denir.
\(r\) kupon oranı, ne kadar ödeneceğini belirler ve nominal değer üzerinden sabittir. \(i\) getiri oranı ise piyasanın o gün istediği orandır ve fiyatı belirler. İkisi eşitse tahvil başabaş satılır; \(r > i\) ise tahvil primli, \(r < i\) ise iskontolu satılır.
7.3 İhraç Fiyatının Bulunması
Önerme 7.1 (Kuponlu Bir Tahvilin İhraç Fiyatı) Dönem başına \(i\) getiri oranı isteyen bir yatırımcı için tahvilin ihraç fiyatı
\[P = F \cdot r \cdot \left(\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right) + C(1+i)^{-n} = F \cdot r \cdot a_{\overline{n}|i} + C(1+i)^{-n}\]
olur.
İspat
Tahvilin yatırımcıya sağladığı nakit akışı iki parçadan oluşur:
- Her dönem sonunda alınan \(F \cdot r\) kupon ödemesi. Bunlar \(n\) ödemelik normal bir anüitedir; bugünkü değeri \(F \cdot r \cdot a_{\overline{n}|i}\)’dir (Önerme 4.2).
- Vadede alınan \(C\) vade değeri. Bu tek ödemenin bugünkü değeri \(C(1+i)^{-n}\)’dir.
Fiyat, bu iki bugünkü değerin toplamıdır; çünkü yatırımcı bugün ödediği tutar karşılığında tam olarak bu akışı satın alır.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.1 (Primli Bir Tahvilin Fiyatı) \(j_2 = \%12\) kupon ödemeli \(1000\) TL’lik bir tahvil, \(10\) yıl sonunda üzerindeki değerinden itfa edilecektir (geri ödenecektir). Bu tahvilin \(j_2 = \%10\) oranında faiz getirmesi için ihraç fiyatı ne olmalıdır?
Çözüm
“Üzerindeki değerinden itfa” dendiğine göre \(C = F = 1000\) TL’dir. Kupon yılda iki kez ödendiğinden dönem \(6\) aydır:
\[r = \frac{0{,}12}{2} = 0{,}06 \quad \Longrightarrow \quad F \cdot r = 1000 \cdot 0{,}06 = 60 \ \text{TL},\]
\[i = \frac{0{,}10}{2} = 0{,}05, \qquad n = 2 \cdot 10 = 20.\]
\[P = F r \cdot a_{\overline{20}|0{,}05} + C(1{,}05)^{-20} = 60 \cdot 12{,}462210 + 1000 \cdot 0{,}376889\]
\[P = 747{,}73 + 376{,}89 = \boxed{1124{,}62 \ \text{TL}}\]
\(P > F\) olduğundan tahvil primli ihraç edilmiştir. Bu beklenen sonuçtur: kupon oranı (%\(12\)) piyasanın istediği getiriden (%\(10\)) yüksek olduğu için tahvil nominal değerinin üzerinde alıcı bulur.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.2 (Vade Değeri Nominalden Farklı Tahvil) \(j_2 = \%10{,}50\) kupon ödemeli \(5000\) TL’lik bir tahvil \(1\) Ekim \(2002\)’de \(1{,}03\) katından itfa edilecektir. \(j_2 = \%9{,}5\) oranında getiri elde etmek için \(1\) Nisan \(1995\)’te tahvilin alış fiyatı ne olmalıdır?
Çözüm
\(F = 5000\) TL. İtfa nominalin \(1{,}03\) katından yapılacağına göre
\[C = 5000 \cdot 1{,}03 = 5150 \ \text{TL}.\]
\[r = \frac{0{,}1050}{2} = 0{,}0525 \quad \Longrightarrow \quad F \cdot r = 5000 \cdot 0{,}0525 = 262{,}50 \ \text{TL}, \qquad i = \frac{0{,}0950}{2} = 0{,}0475.\]
Dönem sayısı: \(1\) Nisan \(1995\) ile \(1\) Ekim \(2002\) arası \(7\) yıl \(6\) ay, yani \(7{,}5\) yıldır; altı ayda bir ödeme yapıldığından
\[n = 7{,}5 \cdot 2 = 15.\]
\[P = 262{,}50 \cdot a_{\overline{15}|0{,}0475} + 5150 \cdot (1{,}0475)^{-15} = 262{,}50 \cdot 10{,}557306 + 5150 \cdot 0{,}498528\]
\[P = 2771{,}29 + 2567{,}42 = \boxed{5338{,}71 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 7.3 (Erken İtfa Seçeneği Olan Tahvil) \(j_2 = \%13\) kuponlu \(2000\) TL’lik bir tahvil \(20\) yıl sonra üzerindeki fiyattan ödenecektir. Bu tahvil istenirse \(15\) yıl sonra %\(5\) primle itfa edilebilir olduğuna göre her iki seçenekte de tahvilin \(j_4 = \%16\) faiz getirebilmesi için ihraç fiyatları ne olmalıdır?
Çözüm
Kuponlar altı ayda bir ödendiği hâlde getiri oranı üç aylık verilmiş: önce denk altı aylık oranı bulmalıyız.
\[\left(1 + \frac{j_2}{2}\right)^{2} = \left(1 + \frac{j_4}{4}\right)^{4} \quad \Longrightarrow \quad (1+i)^2 = \left(1 + \frac{0{,}16}{4}\right)^{4} = (1{,}04)^4\]
\[1 + i = (1{,}04)^2 = 1{,}0816 \quad \Longrightarrow \quad i = 0{,}0816\]
Kupon ödemesi her iki seçenekte de aynıdır:
\[r = \frac{0{,}13}{2} = 0{,}065 \quad \Longrightarrow \quad F \cdot r = 2000 \cdot 0{,}065 = 130 \ \text{TL}.\]
a) Vadeye kadar tutulursa. \(C = F = 2000\) TL ve \(n = 2 \cdot 20 = 40\):
\[P_1 = 130 \cdot a_{\overline{40}|0{,}0816} + 2000(1{,}0816)^{-40} = 130 \cdot 11{,}723231 + 2000 \cdot 0{,}043384\]
\[P_1 = 1524{,}02 + 86{,}77 = \boxed{1610{,}79 \ \text{TL}}\]
b) 15 yıl sonra %5 primle itfa edilirse. \(C = 2000(1 + 0{,}05) = 2100\) TL ve \(n = 2 \cdot 15 = 30\):
\[P_2 = 130 \cdot a_{\overline{30}|0{,}0816} + 2100(1{,}0816)^{-30} = 130 \cdot 11{,}089946 + 2100 \cdot 0{,}095060\]
\[P_2 = 1441{,}69 + 199{,}63 = \boxed{1641{,}32 \ \text{TL}}\]
İki fiyat farklıdır (\(P_2 > P_1\)); yani erken itfa seçeneği tahvili yatırımcı için daha değerli kılar. İhraç eden taraf seçeneği kendi lehine kullanacağı için, ihtiyatlı yatırımcı düşük olan fiyattan, yani \(1610{,}79\) TL’den alım yapmayı tercih eder; böylece hangi senaryo gerçekleşirse gerçekleşsin istediği getiriyi garanti eder.
\(\blacksquare\)
7.4 Getiri Oranı ve Ortalama Metodu
Yukarıda getiri oranı verilip fiyat soruluyordu. Piyasada ise durum çoğunlukla terstir: fiyat bellidir (tahvil o fiyattan alınıp satılmaktadır) ve yatırımcı “bu fiyattan alırsam yıllık kaç kazanırım?” diye sorar. Bu, Bölüm 5.2’da anüiteler için karşılaştığımız sorunun aynısıdır: \(i\) hem üstte hem paydada geçtiği için cebirsel olarak çekilemez. Çözüm de aynıdır — önce kaba bir tahmin, sonra doğrusal yaklaşım.
Tanım 7.3 (Ortalama Metodu) Aranan \(i\) oranı yaklaşık olarak
\[i_0 \approx \frac{\dfrac{n \cdot F \cdot r + C - P}{n}}{\dfrac{P + C}{2}}\]
değeri olarak alınır.
Pay ve payda ayrı ayrı okununca formül kendini açıklar:
- Pay: \(n \cdot F r\) vade boyunca alınacak bütün kuponların toplamı, \(C - P\) ise alış fiyatı ile vade değeri arasındaki kazanç (ya da kayıp). İkisinin toplamı toplam kazançtır; \(n\)’e bölününce dönem başına ortalama kazanç elde edilir.
- Payda: Yatırımcının parası başta \(P\), sonda \(C\)’dir; ikisinin ortalaması \(\frac{P+C}{2}\) ortalama bağlı sermayedir.
Oran = ortalama kazanç ÷ ortalama sermaye. Bu yalnızca bir tahmindir, çünkü paranın zaman değerini yok sayar.
7.5 İnterpolasyon Metodu
Ortalama metodu ile bulunan \(i_0\) başlangıç değeri kullanılarak, aralarında %\(1\) fark olan iki oran seçilir, bu oranlardan tahvilin fiyatı hesaplanır ve doğrusal interpolasyon yapılır.
Getiri oranı büyüdükçe tahvilin fiyatı düşer; çünkü aynı nakit akışı daha yüksek oranla iskonto edilir. Bu yüzden interpolasyon tablosunda fiyat sütunu azalan, oran sütunu artan sırada yazılır. Aranan fiyat iki hesaplanan fiyatın arasında değilse aralık kaydırılmalıdır.
Örnek 7.4 (Alım–Satımdan Elde Edilen Getiri) Bir şirketin \(1000\) TL değerindeki bir tahvilinin kuponları \(j_2 = \%12{,}50\) oranında faiz vermektedir. Tahvil \(1.9.2003\)’te üzerindeki değerden ödenecektir. \(1.9.1987\)’de bir yatırımcı bu tahvili nominal değerinin \(0{,}96\)’sına satın alır ve \(1.9.1995\)’te \(1{,}06\) katına satar. Bu alım satım işinde yatırımcının elde ettiği \(j_2\) faiz oranını interpolasyon metodu ile bulunuz.
Çözüm
Yatırımcının nakit akışını kuralım. \(F = 1000\) TL ve
\[r = \frac{0{,}1250}{2} = 0{,}0625 \quad \Longrightarrow \quad F \cdot r = 62{,}5 \ \text{TL}.\]
Alış fiyatı \(P = 1000 \cdot 0{,}96 = 960\) TL, satış tarihinde eline geçen tutar ise \(C = 1000 \cdot 1{,}06 = 1060\) TL’dir. \(1.9.1987\) ile \(1.9.1995\) arası \(8\) yıl olduğundan
\[n = 8 \cdot 2 = 16 \ \text{dönem}.\]
Tahvilin vadesi \(1.9.2003\)’tür ama bu yatırımcı onu \(1.9.1995\)’te satmaktadır. Onun için nakit akışı \(16\) kupon ile satış tutarından ibarettir; \(1995\) sonrasındaki kuponlar tahvili satın alan kişiyi ilgilendirir. Bu yüzden \(C\), vade değeri değil satış değeridir.
Adım 1: Başlangıç tahmini (ortalama metodu).
\[i_0 \approx \frac{\frac{16 \cdot 62{,}5 + 1060 - 960}{16}}{\frac{960 + 1060}{2}} = \frac{\frac{1000 + 100}{16}}{1010} = \frac{68{,}75}{1010} = 0{,}06806930\]
\[j_2 = 2 \cdot i_0 = 0{,}1361386 \approx 0{,}1361\]
Demek ki %\(13\) ile %\(14\) arasına bakacağız.
Adım 2: Aralığın uçlarında fiyatı hesapla.
\(j_2 = 0{,}13\) için \(i = 0{,}065\):
\[P = 62{,}5 \cdot a_{\overline{16}|0{,}065} + 1060(1{,}065)^{-16} = 62{,}5 \cdot 9{,}767764 + 1060 \cdot 0{,}365095 = 997{,}49 \ \text{TL}\]
\(j_2 = 0{,}14\) için \(i = 0{,}07\):
\[P = 62{,}5 \cdot a_{\overline{16}|0{,}07} + 1060(1{,}07)^{-16} = 62{,}5 \cdot 9{,}446649 + 1060 \cdot 0{,}338735 = 949{,}47 \ \text{TL}\]
Aranan \(960\) TL bu iki fiyatın arasındadır (\(949{,}47 < 960 < 997{,}49\)); aralık doğrudur.
Adım 3: İnterpolasyon.
| \(P\) | \(j_2\) |
|---|---|
| \(997{,}49\) | \(0{,}13\) |
| \(960\) | \(j_2\) |
| \(949{,}47\) | \(0{,}14\) |
\[\frac{j_2 - 0{,}13}{0{,}01} = \frac{960 - 997{,}49}{949{,}47 - 997{,}49} = \frac{-37{,}49}{-48{,}02} = 0{,}780716\]
\[j_2 = 0{,}13 + 0{,}01 \cdot 0{,}780716 = 0{,}137807 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{j_2 \approx \%13{,}78}\]
\(\blacksquare\)
7.6 Alıştırmalar
Alıştırma 7.1 (Kuponsuz Tahvilin Fiyatı) \(2000\) TL’lik bir tahvil, \(5\) yıl sonunda üzerindeki değerinden itfa edilecektir. Bu tahvilin \(j_2 = \%12\) faiz getirisi için ihraç fiyatı ne olmalıdır?
Çözüm
Soruda bir kupon oranı verilmediğine göre tahvil kuponsuzdur: \(F \cdot r = 0\)’dır. Vade değeri nominale eşittir, \(C = F = 2000\) TL.
\[i = \frac{0{,}12}{2} = 0{,}06, \qquad n = 5 \cdot 2 = 10.\]
Fiyat formülünde kupon terimi düştüğü için geriye tek ödemenin bugünkü değeri kalır:
\[P = C(1+i)^{-n} = 2000(1{,}06)^{-10} = 2000 \cdot 0{,}558395 = \boxed{1116{,}79 \ \text{TL}}\]
Kuponsuz tahvil daima iskontolu satılır (\(P < F\)); yatırımcının tek kazancı alış fiyatı ile vade değeri arasındaki farktır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.2 (Primli İtfa Edilecek Tahvilin Fiyatı) \(j_2 = \%16\) kuponlu \(1000\) TL’lik bir tahvil \(10\) yıl sonra %\(5\) primle itfa edilebilir olduğuna göre tahvilin \(j_2 = \%10\) faiz getirebilmesi için ihraç fiyatı ne olmalıdır?
Çözüm
\(F = 1000\) TL ve
\[r = \frac{0{,}16}{2} = 0{,}08 \quad \Longrightarrow \quad F \cdot r = 80 \ \text{TL},\]
\[C = 1000(1 + 0{,}05) = 1050 \ \text{TL}, \qquad i = \frac{0{,}10}{2} = 0{,}05, \qquad n = 2 \cdot 10 = 20.\]
\[P = 80 \cdot a_{\overline{20}|0{,}05} + 1050(1{,}05)^{-20} = 80 \cdot 12{,}462210 + 1050 \cdot 0{,}376889\]
\[P = 996{,}98 + 395{,}73 = \boxed{1392{,}71 \ \text{TL}}\]
Tahvil hem yüksek kuponlu (%\(16\) karşısında %\(10\) getiri beklentisi) hem de primli itfa edildiği için nominalin çok üzerinde bir fiyata satılmaktadır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.3 (Başabaş Alınan Tahvilin Getirisi) \(j_2 = \%10\) kuponlu \(1500\) TL’lik başabaş bir tahvil, \(3\) yıl sonunda \(1{,}2\) katına itfa edilecektir. Buna göre yatırımcının elde ettiği \(j_2\) faiz oranını interpolasyon metodu ile bulunuz.
Çözüm
“Başabaş” alındığına göre \(P = F = 1500\) TL’dir. Ayrıca
\[r = \frac{0{,}10}{2} = 0{,}05 \quad \Longrightarrow \quad F \cdot r = 75 \ \text{TL}, \qquad C = 1500 \cdot 1{,}2 = 1800 \ \text{TL}, \qquad n = 3 \cdot 2 = 6.\]
Adım 1: Ortalama metodu.
\[i_0 \approx \frac{\frac{6 \cdot 75 + 1800 - 1500}{6}}{\frac{1500 + 1800}{2}} = \frac{\frac{450 + 300}{6}}{1650} = \frac{125}{1650} = 0{,}075758\]
\[j_2 = 2 \cdot i_0 = 0{,}151515 \approx \%15{,}15\]
Aranan oran %\(15\) ile %\(16\) arasındadır.
Adım 2: Uçlardaki fiyatlar.
\(j_2 = 0{,}15\) için \(i = 0{,}075\):
\[P = 75 \cdot a_{\overline{6}|0{,}075} + 1800(1{,}075)^{-6} = 75 \cdot 4{,}693846 + 1800 \cdot 0{,}647962 = 352{,}04 + 1166{,}33 = 1518{,}37 \ \text{TL}\]
\(j_2 = 0{,}16\) için \(i = 0{,}08\):
\[P = 75 \cdot a_{\overline{6}|0{,}08} + 1800(1{,}08)^{-6} = 75 \cdot 4{,}622880 + 1800 \cdot 0{,}630170 = 346{,}72 + 1134{,}31 = 1481{,}02 \ \text{TL}\]
Aranan \(1500\) TL bu ikisinin arasındadır.
Adım 3: İnterpolasyon.
| \(P\) | \(j_2\) |
|---|---|
| \(1518{,}37\) | \(0{,}15\) |
| \(1500\) | \(j_2\) |
| \(1481{,}02\) | \(0{,}16\) |
\[\frac{j_2 - 0{,}15}{0{,}01} = \frac{1500 - 1518{,}37}{1481{,}02 - 1518{,}37} = \frac{-18{,}37}{-37{,}35} = 0{,}491834\]
\[j_2 = 0{,}15 + 0{,}01 \cdot 0{,}491834 = 0{,}154918 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{j_2 \approx \%15{,}49}\]
Getirinin kupon oranından (%\(10\)) yüksek çıkması, vadede nominalin \(1{,}2\) katının ödenmesindendir.
\(\blacksquare\)