4 Anüiteler
Buraya kadar hep tek ödemelerle uğraştık. Oysa finansal hayatın çoğu düzenli tekrarlardan oluşur: her ay ödenen kredi taksiti, her yıl yatırılan birikim, altı ayda bir alınan kupon faizi, emekli maaşı. Bunların hepsine anüite diyoruz.
Bir anüitenin değerini bulmak için her ödemeyi tek tek taşıyıp toplamak gerekir — ama bu toplam bir geometrik dizi toplamıdır ve kapalı bir formülü vardır. Bu bölümde önce o formülü kuruyor, sonra ödemelerin dönem başında yapıldığı peşin ve ilk ödemesi geç başlayan ertelenmiş anüitelere geçiyoruz. Sonraki bölümler bu formüllerin varyasyonlarından ibarettir.
4.1 Kavramlar
Tanım 4.1 (Anüite) Eşit zaman aralıklarında ve genelde eşit tutarda yapılan ödemeler zincirine anüite denir.
Kullanacağımız kavramlar şunlardır:
Tanım 4.2 (Anüite Terimleri)
- Ödeme Aralığı: İki ödeme arasındaki zaman. (Yıl, altı ay, ay, hafta veya herhangi sabit bir aralık olabilir.)
- Anüite Dönemi: İlk ödeme aralığının başı ile son ödeme aralığının sonu arasındaki zaman.
Anüiteler dört ayrı ölçüte göre sınıflandırılır.
Tanım 4.3 (Anüite Çeşitleri) Dönemin belirliliğine göre
- Belirli Anüite: Anüite dönemi sabit olan anüitelerdir. (Ev kredisi ödemeleri vb.)
- Belirsiz Anüite: Bazı belirsiz olaylara bağlı olarak anüite dönemi değişen anüitelerdir. (Sosyal güvenlik sigortası ödemeleri, hayat sigortası ödemeleri.)
Ödemenin zamanına göre
- Normal Anüite: Ödemelerin, ödeme aralığının sonunda yapıldığı anüitelerdir.
- Peşin Anüite: Ödemelerin, ödeme aralığının başında yapıldığı anüitelerdir.
Başlangıcına göre
- Ertelenmiş Anüite: İlk ödemesi geç yatan anüitelerdir.
Ödeme aralığı ile faiz aralığının ilişkisine göre
- Basit Anüite: Ödeme aralığı ile faiz işleme aralığının çakıştığı anüitelerdir.
- Genel Anüite: Basit olmayan anüitelerdir.
Aksi belirtilmedikçe normal basit anüite kastedilecektir.
Notasyon şöyledir:
| Simge | Anlamı |
|---|---|
| \(R\) | Periyodik olarak ödenen anüite ödemesi |
| \(n\) | Anüite dönemi boyunca faiz işleyen dönem sayısı (basit anüitelerde ödeme sayısı) |
| \(i\) | Dönem başına faiz oranı, \(i = \dfrac{j_m}{m}\) |
| \(S\) | Anüitenin toplam değeri ya da birikmiş değeri |
| \(A\) | Anüitenin iskontolu değeri ya da şimdiki değeri |
4.2 Normal Basit Anüitede Birikmiş Değer
Önerme 4.1 (Anüitenin Toplam Değeri) Dönem sonlarında yapılan toplam \(n\) tane \(R\) ödemesi, dönem başına \(i\) faiz oranından
\[S = R \cdot s_{\overline{n}|i} = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}\]
toplamını verir. Burada kısalık amacıyla
\[s_{\overline{n}|i} := \frac{(1+i)^n - 1}{i}\]
gösterimi kullanılmıştır.
İspat
Ödemeleri son tarihe (yani \(n\). dönem sonuna) taşıyalım. \(n\). dönemdeki ödeme hiç faiz görmez, \((n-1)\). dönemdeki ödeme bir dönem, \((n-2)\). dönemdeki iki dönem faiz görür ve böyle devam eder; ilk ödeme \(n-1\) dönem faiz görür:
\[S = R + R(1+i)^1 + R(1+i)^2 + \cdots + R(1+i)^{n-2} + R(1+i)^{n-1}.\]
Sağ taraf, ilk terimi \(R\) ve ortak çarpanı \((1+i)\) olan bir geometrik dizinin \(n\) terimli toplamıdır. Geometrik dizinin kısmi toplamı
\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots + r^{n-1} = \frac{r^n - 1}{r - 1} \qquad (r \neq 1)\]
olduğundan, \(r = 1+i\) alınırsa \(r - 1 = i\) olur ve
\[S = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i) - 1} = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}\]
elde edilir. (\(i > 0\) olduğundan \(r \neq 1\) koşulu sağlanır.)
\(\blacksquare\)
4.3 Normal Basit Anüitede İskontolu Değer
Önerme 4.2 (Anüitenin İskontolu Değeri) Dönem sonlarında yapılan toplam \(n\) tane \(R\) ödemesinin başlangıçtaki (iskontolu) değeri
\[A = R \cdot a_{\overline{n}|i} = R \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\]
olur; burada
\[a_{\overline{n}|i} := \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.\]
İspat
Toplam değeri bulduk; iskontolu değer, onu \(n\) dönem geri taşımaktan ibarettir. Önerme 3.4 gereği bileşik faizde bu taşıma tek adımda yapılabilir:
\[A = S(1+i)^{-n} = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i)^{-n} = R \cdot \frac{(1+i)^n (1+i)^{-n} - (1+i)^{-n}}{i} = R \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.\]
\(\blacksquare\)
\(s_{\overline{n}|i}\) her zaman \(n\)’den büyüktür (ödemeler faiz kazanır), \(a_{\overline{n}|i}\) ise \(n\)’den küçüktür (ödemeler iskonto edilir). Örneğin \(n = 5\), \(i = 0{,}09\) için \(s_{\overline{5}|0{,}09} = 5{,}9847\) ve \(a_{\overline{5}|0{,}09} = 3{,}8897\)’dir. Bulduğunuz çarpan bu sıralamaya uymuyorsa formülleri ters kullanmışsınızdır.
4.4 Uygulamalar
Örnek 4.1 (Beş Yıllık Anüitenin Toplam Değeri) Her yıl \(2000\) TL ödenen \(5\) yıllık bir normal basit anüitenin toplam değerini yıllık bileşik %\(9\) faiz oranı için hesaplayınız.
Çözüm
\(R = 2000\), \(j_1 = 0{,}09\) olduğundan \(i = 0{,}09\) ve \(n = 5\).
\[S = R \cdot s_{\overline{n}|i} = 2000 \cdot s_{\overline{5}|0{,}09} = 2000 \cdot \frac{(1+0{,}09)^5 - 1}{0{,}09} = 2000 \cdot 5{,}984711 = \boxed{11969{,}42 \ \text{TL}}\]
Yatırılan para \(5 \cdot 2000 = 10000\) TL’dir; aradaki \(1969{,}42\) TL kazanılan faizdir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.2 (Ödenmeyen Taksitlerin Toplanması) Bir kişi borcunu aylık \(250\) TL’lik ödemeler ile ödemektedir. Bu kişi Temmuz, Ağustos, Eylül ve Ekim aylarına ait borçlarını ödememiştir. Ödeme dengesinin sağlanması için borçlunun Kasım ayındaki taksidi ile birlikte ödemesi gereken miktar nedir? Paranın değeri \(j_{12} = \%14{,}4\) olarak alınız.
Çözüm
\(R = 250\), \(j_{12} = 0{,}144\) olduğundan \(i = \dfrac{0{,}144}{12} = 0{,}012\). Ödenmeyen dört taksit ile Kasım taksidi birlikte \(n = 5\) ödeme eder.
\[S = R \cdot s_{\overline{5}|0{,}012} = 250 \cdot \frac{(1{,}012)^5 - 1}{0{,}012} = 250 \cdot 5{,}121449 = \boxed{1280{,}36 \ \text{TL}}\]
Beş taksidin toplamı \(1250\) TL olduğuna göre gecikmenin maliyeti \(30{,}36\) TL’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.3 (Üç Ayda Bir Yapılan Yatırım) Bir yatırımcı \(3\) ayda bir bankaya \(300\) TL yatırmaktadır. Bankanın uyguladığı faiz oranı \(j_4 = \%8\)’dir. Bu yatırımda ilk ödeme \(1.3.1993\)’te yapılmış ise son ödeme \(1.3.1997\)’de yapıldıktan sonra hesapta ne kadar birikmiş olur?
Çözüm
\(R = 300\), \(j_4 = 0{,}08\) olduğundan \(i = \dfrac{0{,}08}{4} = 0{,}02\).
Ödeme sayısını dikkatli bulalım: \(1.3.1993\) ile \(1.3.1997\) arası \(4\) yıl, yani \(16\) çeyrek dönemdir. Ödemeler bu \(16\) aralığın her iki ucunda da yapıldığından toplam ödeme sayısı bir fazladır:
\[n = 16 + 1 = 17.\]
\[S = R \cdot s_{\overline{17}|0{,}02} = 300 \cdot \frac{(1{,}02)^{17} - 1}{0{,}02} = 300 \cdot 20{,}012071 = \boxed{6003{,}62 \ \text{TL}}\]
Anüitelerde en sık yapılan hata ödeme sayısını yanlış saymaktır. Kural şudur: iki uç tarih arasındaki dönem sayısı ile ödeme sayısı aynı değildir. İlk ve son ödemelerin ikisi de yapılıyorsa ödeme sayısı, aradaki dönem sayısının bir fazlasıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.4 (Faiz Oranı Değişen Anüite) Bir kimse \(10\) yıl boyunca bir bankaya her yılın sonunda \(1000\) TL yatırıyor. Paranın değeri ilk \(3\) yıl için \(j_1 = \%8\), sonraki \(4\) yıl için \(j_1 = \%10{,}25\) ve son \(3\) yılda \(j_1 = \%9\) ise a) Yatırımın toplam değeri nedir? b) Elde edilen faiz nedir?
Çözüm
Oran değiştiği için tek bir \(s_{\overline{n}|i}\) çarpanı kullanılamaz. Yapılacak şey, her bloğu kendi oranıyla blok sonuna toplamak, sonra bu tutarı kalan bloklardan geçirerek \(10\). yıla taşımaktır.
a) Üç bloğun katkısı:
- 1. blok (\(1\)–\(3\). yıl ödemeleri, %\(8\)): \(3\). yıldaki değeri \(1000 \cdot s_{\overline{3}|0{,}08}\)’dir. Bu tutar önce \(4\) yıl %\(10{,}25\), sonra \(3\) yıl %\(9\) ile taşınır:
\[1000 \cdot s_{\overline{3}|0{,}08} \cdot (1{,}1025)^4 (1{,}09)^3 = 1000 \cdot 3{,}246400 \cdot 1{,}477455 \cdot 1{,}295029 = 6211{,}49 \ \text{TL}\]
- 2. blok (\(4\)–\(7\). yıl ödemeleri, %\(10{,}25\)): \(7\). yıldaki değeri \(1000 \cdot s_{\overline{4}|0{,}1025}\)’tir; kalan \(3\) yıl %\(9\) ile taşınır:
\[1000 \cdot s_{\overline{4}|0{,}1025} \cdot (1{,}09)^3 = 1000 \cdot 4{,}658102 \cdot 1{,}295029 = 6032{,}38 \ \text{TL}\]
- 3. blok (\(8\)–\(10\). yıl ödemeleri, %\(9\)): zaten \(10\). yılda toplanır:
\[1000 \cdot s_{\overline{3}|0{,}09} = 1000 \cdot 3{,}278100 = 3278{,}10 \ \text{TL}\]
Toplam:
\[S = 6211{,}49 + 6032{,}38 + 3278{,}10 = \boxed{15521{,}97 \ \text{TL}}\]
b) Yatırılan toplam para \(10 \cdot 1000 = 10000\) TL olduğundan
\[I = 15521{,}97 - 10000 = \boxed{5521{,}97 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 4.5 (Hedeflenen Birikim için Taksit) Paranın değeri \(j_1 = \%8\) olduğu biliniyorsa \(10\) yıl sonra \(80000\) TL biriktirmek için her yıl ne kadarlık bir yatırım yapılmalıdır?
Çözüm
Bu kez bilinmeyen \(R\)’dir; formül ters çevrilir.
\[S = R \cdot s_{\overline{n}|i} \quad \Longrightarrow \quad R = \frac{S}{s_{\overline{n}|i}} = \frac{80000}{\frac{(1{,}08)^{10} - 1}{0{,}08}} = \frac{80000}{14{,}486562} = \boxed{5522{,}36 \ \text{TL}}\]
On yıl boyunca yatırılacak toplam para \(55223{,}60\) TL’dir; kalan \(24776{,}40\) TL faizden gelir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.6 (Aylık Yatırımın İskontolu Değeri) \(3\) yıl boyunca her ayın sonunda \(380\) TL yatırılan bir anüitenin \(j_{12} = \%12\)’den iskontolu değerini bulunuz.
Çözüm
\(R = 380\), \(n = 3 \cdot 12 = 36\), \(i = \dfrac{0{,}12}{12} = 0{,}01\).
\[A = R \cdot a_{\overline{n}|i} = 380 \cdot \frac{1 - (1{,}01)^{-36}}{0{,}01} = 380 \cdot 30{,}107505 = \boxed{11440{,}85 \ \text{TL}}\]
Aynı sonuç önce toplam değeri bulup geri taşıyarak da elde edilir:
\[A = S(1+i)^{-n} = R \cdot s_{\overline{36}|0{,}01} (1{,}01)^{-36} = 380 \cdot 43{,}076878 \cdot 0{,}698925 = 11440{,}85 \ \text{TL}.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 4.7 (Peşinatlı Taksitli Satış) Bir cep telefonunu satın almak için \(1500\) TL peşin ve \(3\) yıl boyunca aylık \(182{,}5\) TL ödenecektir. Uygulanan faiz oranı \(j_{12} = \%18\) olduğuna göre a) Telefonun nakit değeri nedir? b) Borçlanmanın toplam faizi nedir?
Çözüm
\(R = 182{,}5\), \(n = 36\), \(j_{12} = 0{,}18\) olduğundan \(i = \dfrac{0{,}18}{12} = 0{,}015\).
a) Nakit değer, bugün ödenen peşinat ile taksitlerin bugünkü değerinin toplamıdır:
\[X = 1500 + 182{,}5 \cdot \frac{1 - (1{,}015)^{-36}}{0{,}015} = 1500 + 182{,}5 \cdot 27{,}660684\]
\[X = 1500 + 5048{,}07 = \boxed{6548{,}07 \ \text{TL}}\]
b) Taksitlerin toplamı \(182{,}5 \cdot 36 = 6570\) TL’dir; bunların bugünkü değeri ise \(5048{,}07\) TL. Aradaki fark ödenen faizdir:
\[I = 6570 - 5048{,}07 = \boxed{1521{,}93 \ \text{TL}}\]
Peşinat bugün ödendiği için zaten bugünkü değerindedir; taşınacak bir mesafesi yoktur. Aynı sebeple toplam faiz hesabına da girmez.
\(\blacksquare\)
4.5 Peşin Anüiteler
Normal anüitede ödemeler dönem sonunda yapılıyordu. Gerçek hayatta ise kira, sigorta primi ya da abonelik gibi pek çok ödeme dönem başında yapılır; emeklilik planlarında ise ödemeler bugün değil, yıllar sonra başlar. İyi haber şu: bu iki durum için yeni formül ezberlemeye gerek yok. İkisi de normal anüitenin formüllerine bir taşıma çarpanı eklemekten ibarettir.
Tanım 4.4 (Peşin Anüite) Ödemelerin dönem sonunda değil de dönem başında yapıldığı anüitelere peşin anüite denir.
Önerme 4.3 (Peşin Anüitenin Değerleri) Dönem başlarında yapılan \(n\) tane \(R\) ödemesinin toplam ve iskontolu değerleri
\[S = R \cdot s_{\overline{n}|i}\,(1+i), \qquad A = R \cdot a_{\overline{n}|i}\,(1+i)\]
olur.
İspat
Ödemeleri bir dönem geriye kaydırıp bakalım: ödemeler \(0, 1, \dots, n-1\) dönemlerinde yapılıyorsa, bu dizi \(-1\). dönemi “başlangıç” kabul eden normal bir anüitedir.
O hâlde normal anüite formülleri, şemadaki \(A'\) ve \(S'\) değerlerini verir:
\[S' = R \cdot s_{\overline{n}|i} \quad (\text{son ödemenin yapıldığı } n-1. \text{ dönemdeki değer}),\] \[A' = R \cdot a_{\overline{n}|i} \quad (-1. \text{ dönemdeki değer}).\]
Bizim istediğimiz değerler ise bir dönem sağdadır: \(S\), \(n\). dönemdeki; \(A\) ise \(0\). dönemdeki değerdir. Bir dönem ileri taşımak \((1+i)\) ile çarpmaktır:
\[S = S'(1+i) = R \cdot s_{\overline{n}|i}(1+i), \qquad A = A'(1+i) = R \cdot a_{\overline{n}|i}(1+i).\]
\(\blacksquare\)
Peşin anüite, normal anüitenin bir dönem erken hâlidir; bu yüzden her iki değeri de \((1+i)\) ile çarpılır. Ödemeler erken yapıldığı için peşin anüite her zaman normal anüiteden daha değerlidir.
Örnek 4.8 (Ay Başlarında Yapılan Yatırım) Bir yatırımcı \(5\) yıl boyunca her ayın başında \(200\) TL’yi bir bankaya yatırmaktadır. \(j_{12} = \%10{,}5\) ise \(5\) yıl sonundaki hesap toplamı ne olur?
Çözüm
\(R = 200\), \(n = 5 \cdot 12 = 60\), \(i = \dfrac{0{,}105}{12}\).
\[S = R \cdot s_{\overline{60}|\frac{0{,}105}{12}}\left(1 + \frac{0{,}105}{12}\right) = 200 \cdot \frac{\left(1 + \frac{0{,}105}{12}\right)^{60} - 1}{\frac{0{,}105}{12}} \cdot \left(1 + \frac{0{,}105}{12}\right)\]
\[S = 200 \cdot 78{,}468912 \cdot 1{,}00875 = \boxed{15831{,}10 \ \text{TL}}\]
Aynı ödemeler ay sonlarında yapılsaydı \(200 \cdot 78{,}468912 = 15693{,}78\) TL birikirdi; peşin ödemenin kazandırdığı \(137{,}32\) TL’dir.
\(\blacksquare\)
4.6 Ertelenmiş (Tehirli) Anüiteler
Tanım 4.5 (Ertelenmiş Anüite) \(k\) dönem ertelenmiş anüite, ilk ödemesi \(k\) dönem sonra yani \((k+1)\). dönemde yapılan anüitedir.
Önerme 4.4 (Ertelenmiş Anüitenin Değerleri) \(k\) dönem ertelenmiş, \(n\) ödemeli bir anüitenin iskontolu ve toplam değerleri
\[A = R \cdot a_{\overline{n}|i}\,(1+i)^{-k}, \qquad S = R \cdot s_{\overline{n}|i}\]
olur.
İspat
Ödemeler \(k+1, k+2, \dots, k+n\) dönemlerinde yapılıyor. Bu dizi, \(k\). dönemi başlangıç kabul edersek normal bir anüitedir; dolayısıyla \(k\). dönemdeki değeri
\[A' = R \cdot a_{\overline{n}|i}\]
olur. Bugünkü değere ulaşmak için \(k\) dönem geriye taşımak gerekir:
\[A = A'(1+i)^{-k} = R \cdot a_{\overline{n}|i}(1+i)^{-k}.\]
Toplam değer için \(A\)’yı son ödeme tarihine, yani \(k+n\). döneme taşıyalım:
\[S = A(1+i)^{k+n} = R \cdot a_{\overline{n}|i}(1+i)^{-k}(1+i)^{k+n} = R \cdot a_{\overline{n}|i}(1+i)^{n}.\]
Son ifadeyi açarsak
\[R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}(1+i)^n = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} = R \cdot s_{\overline{n}|i}\]
bulunur.
\(\blacksquare\)
\(S = R \cdot s_{\overline{n}|i}\) ifadesinde \(k\) hiç görünmüyor. Bunun sebebi açıktır: toplam değer son ödeme tarihine göre ölçülür ve ödemelerin kendi aralarındaki mesafe ertelemeden etkilenmez. Erteleme yalnızca bugünkü değeri küçültür.
Örnek 4.9 (Doğumda Yatırılan Anapara) Bir çocuk doğduğunda ailesi tarafından ne kadarlık bir anapara bankaya yatırılmalıdır ki çocuk \(19\). doğum gününü kutladığında ödeme başlamak üzere altı ayda bir \(1500\) TL’lik \(8\) adet geri ödeme elde edilebilsin? Paranın değerini \(j_2 = \%9\) alınız.
Çözüm
\(R = 1500\), \(n = 8\), \(j_2 = 0{,}09\) olduğundan \(i = 0{,}045\) ve dönem \(6\) aydır.
Erteleme süresini bulalım: \(19\) yıl \(= 19 \cdot 2 = 38\) dönem eder. İlk ödeme \(19\). doğum gününde, yani \(38\). dönemde yapılacaktır. Ertelenmiş anüite tanımında ilk ödeme \((k+1)\). dönemde olduğuna göre
\[k + 1 = 38 \quad \Longrightarrow \quad k = 37.\]
Birinci yol (toplam değer üzerinden). Sekiz ödemenin son ödeme tarihindeki (\(45\). dönem) değeri:
\[S = 1500 \cdot s_{\overline{8}|0{,}045} = 1500 \cdot 9{,}380014 = 14070{,}02 \ \text{TL}.\]
Bunu \(45\) dönem geri taşıyalım:
\[A = S(1{,}045)^{-45} = 14070{,}02 \cdot 0{,}137964 = \boxed{1941{,}16 \ \text{TL}}\]
İkinci yol (iskontolu değer üzerinden). Sekiz ödemenin \(37\). dönemdeki değeri:
\[A' = 1500 \cdot a_{\overline{8}|0{,}045} = 1500 \cdot 6{,}595886 = 9893{,}83 \ \text{TL},\]
\[A = A'(1{,}045)^{-37} = 9893{,}83 \cdot 0{,}196198 = \boxed{1941{,}16 \ \text{TL}}\]
İki yol da aynı sonucu verir; hangisini seçeceğiniz yalnızca hangi çarpanı hesaplamayı kolay bulduğunuza bağlıdır.
\(\blacksquare\)
4.7 Alıştırmalar
Alıştırma 4.1 (İki Farklı Oranda Toplam Değer) \(10\) yıl boyunca yıl sonunda \(5000\) TL ödemeli bir anüitenin toplam değerini a) \(j_1 = \%6\), b) \(j_4 = \%12\) oranlarından hesaplayınız.
Çözüm
a) \(m = 1\) olduğundan ödeme aralığı ile faiz aralığı çakışır: basit anüite. \(i = 0{,}06\), \(n = 10\):
\[S = 5000 \cdot s_{\overline{10}|0{,}06} = 5000 \cdot \frac{(1{,}06)^{10} - 1}{0{,}06} = 5000 \cdot 13{,}180795 = \boxed{65903{,}97 \ \text{TL}}\]
b) Ödemeler yılda bir, faiz ise üç ayda bir işliyor: bu bir genel anüitedir. Önce \(j_4 = \%12\)’ye denk gelen yıllık oranı bulmalıyız (Önerme 3.3):
\[1 + j_1 = \left(1 + \frac{0{,}12}{4}\right)^{4} = (1{,}03)^4 = 1{,}12550881 \quad \Longrightarrow \quad i = j_1 = 0{,}12550881.\]
Artık ödeme aralığı ile faiz aralığı çakışır; \(n = 10\) ile
\[S = 5000 \cdot \frac{(1{,}12550881)^{10} - 1}{0{,}12550881} = 5000 \cdot 18{,}022940 = \boxed{90114{,}70 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.2 (Üç Ayda Bir Yatırılacak Tutar) Bir kişi her üç ayda bir bankaya \(j_4 = \%5\) oranından ne kadar yatırmalıdır ki, \(10\) yıl sonra \(5148{,}96\) TL biriktirmiş olsun?
Çözüm
\(i = \dfrac{0{,}05}{4} = 0{,}0125\), \(n = 10 \cdot 4 = 40\), \(S = 5148{,}96\) TL.
\[R = \frac{S}{s_{\overline{n}|i}} = \frac{5148{,}96}{\frac{(1{,}0125)^{40} - 1}{0{,}0125}} = \frac{5148{,}96}{51{,}489557} = \boxed{100{,}00 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.3 (Altı Aylık Anüitenin İskontolu Değeri) \(5\) yıl boyunca altı ayda bir \(1500\) TL yatırılacak bir anüitenin \(j_2 = \%10\)’dan iskontolu değerini bulunuz.
Çözüm
\(i = \dfrac{0{,}10}{2} = 0{,}05\), \(n = 5 \cdot 2 = 10\), \(R = 1500\).
\[A = R \cdot a_{\overline{10}|0{,}05} = 1500 \cdot \frac{1 - (1{,}05)^{-10}}{0{,}05} = 1500 \cdot 7{,}721735 = \boxed{11582{,}60 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.4 (Ertelenmiş Geri Ödemeler) Bir bankaya ne kadarlık bir anapara yatırılmalıdır ki \(11\). yılda ödeme başlamak üzere her yıl \(15000\) TL’lik \(4\) adet geri ödeme elde edilebilsin? Paranın değerini \(j_1 = \%20\) alınız.
Çözüm
\(R = 15000\), \(n = 4\), \(i = 0{,}20\), dönem \(1\) yıldır. İlk ödeme \(11\). yılda, yani \(11\). dönemde yapılacağından
\[k + 1 = 11 \quad \Longrightarrow \quad k = 10.\]
\[A = R \cdot a_{\overline{4}|0{,}20}\,(1{,}20)^{-10} = 15000 \cdot \frac{1 - (1{,}20)^{-4}}{0{,}20} \cdot (1{,}20)^{-10}\]
\[A = 15000 \cdot 2{,}588735 \cdot 0{,}161506 = \boxed{6271{,}43 \ \text{TL}}\]
Toplam \(60000\) TL geri alınacak olmasına rağmen bugün yatırılması gereken tutarın bu kadar küçük olması, %\(20\)’lik oranın \(10\) yıl boyunca işlemesindendir: \((1{,}20)^{10} \approx 6{,}19\), yani para on yılda altı katından fazlasına çıkar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.5 (Bir Anüite Özdeşliği) \(s_{\overline{m+n}|i} = s_{\overline{m}|i}\,(1+i)^n + s_{\overline{n}|i}\) eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Cebirsel ispat. Tanımı yerine koyalım:
\[s_{\overline{m}|i}(1+i)^n + s_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^m - 1}{i}(1+i)^n + \frac{(1+i)^n - 1}{i}\]
Ortak paydada toplayalım:
\[= \frac{\bigl[(1+i)^{m+n} - (1+i)^n\bigr] + \bigl[(1+i)^n - 1\bigr]}{i}\]
Köşeli parantezlerdeki \(-(1+i)^n\) ile \(+(1+i)^n\) sadeleşir:
\[= \frac{(1+i)^{m+n} - 1}{i} = s_{\overline{m+n}|i}.\]
Finansal yorum. Eşitlik aslında apaçık bir gerçeği söylüyor. \(m+n\) dönemlik bir anüiteyi iki parçaya ayıralım:
- İlk \(m\) ödeme, \(m\). dönemde \(R \cdot s_{\overline{m}|i}\) tutarını biriktirir; bu tutar kalan \(n\) dönem boyunca yalnızca faiz kazanır, yani \((1+i)^n\) ile çarpılır.
- Son \(n\) ödeme ise kendi başına \(R \cdot s_{\overline{n}|i}\) biriktirir.
İkisinin toplamı, bütün ödemelerin son dönemdeki değeridir. (\(R\) ile bölünürse yukarıdaki özdeşlik kalır.)
\(\blacksquare\)