2 Basit İskonto, Senetler ve Bonolar
Şimdiye kadar bütün hesaplarımızda oran, elimizdeki bugünkü para üzerinden işledi. Oysa borçlanma işlemlerinin çoğu tersine kurulur: taraflar önce gelecekte ödenecek tutarı yazarlar, sonra bugün ne kadar para verileceğini o tutardan indirim yaparak bulurlar. Senet kırdırmak, hazine bonosu almak ya da kısa vadeli banka kredisi kullanmak böyle işler.
Bölümün ilk yarısında bu indirimin matematiğini kuruyoruz. Görünüşte küçük olan “hangi tutarın yüzdesi?” farkı, aynı yüzdeden farklı sonuçlar çıkmasına yol açar; iki oranı birbirine çeviren formülleri de burada elde edeceğiz. İkinci yarısında ise bu hesapların günlük hayatta üzerinde karşımıza çıktığı kâğıtları ele alıyoruz: senet, bono ve tahvil.
2.1 Basit İskonto
Tanım 2.1 (Basit İskonto) Gelecekteki bir \(S\) değeri üzerinden \(t\) yıl için \(d\) iskonto oranından yapılan basit iskonto (ya da banka iskontosu)
\[D = S \cdot d \cdot t\]
formülü ile hesaplanır. Burada
- \(D\) : basit iskonto değeri,
- \(S\) : birikmiş değer, gelecekteki değer ya da vade değeri,
- \(d\) : basit iskonto oranı,
- \(t\) : zaman (yıl cinsinden).
Alınan borcun şimdiki \(P\) değeri, borcun gelecekteki \(S\) değeri ile yapılan \(D\) iskontosu arasındaki farktır:
\[P = S - D = S - Sdt \quad \Longrightarrow \quad \boxed{P = S(1 - dt)}\]
Buna \(S\)’nin iskontolu değeri denir.
\(S - P\) farkına hem \(I\) faizi hem de \(D\) iskontosu olarak bakmak mümkündür. Karışıklığı önlemek için tek bir cümleyi aklınızda tutun:
- faiz, şimdiki \(P\) değeri üzerinden hesaplanır: \(I = P r t\);
- iskonto, gelecekteki \(S\) değeri üzerinden hesaplanır: \(D = S d t\).
\(P = S(1-dt)\) formülünde \(dt \ge 1\) olursa iskontolu değer sıfır ya da negatif çıkar; yani borçlunun eline hiç para geçmez. Bu yüzden basit iskonto ancak \(dt < 1\) iken, pratikte de kısa vadeli işlemlerde anlamlıdır. Örneğin \(d = 0{,}20\) ise vade \(5\) yıla yaklaştığında formül çöker. Faiz oranında böyle bir sınır yoktur, çünkü \(1 + rt\) hiçbir zaman sıfır olmaz.
2.2 Bir İskonto Oranına Denk Olan Faiz Oranı
Örnek 2.1 (Aynı Yüzde, Farklı Sonuç) Bir yıl sonra ödenecek \(1000\) TL’nin şimdiki değerini a) %\(12{,}5\) basit faiz oranından, b) %\(12{,}5\) basit iskonto oranından hesaplayınız.
Çözüm
a) \(r = 0{,}125\), \(S = 1000\) TL, \(t = 1\):
\[P = S(1+rt)^{-1} = \frac{1000}{1 + 0{,}125 \cdot 1} = \frac{1000}{1{,}125} = 888{,}89 \ \text{TL}.\]
b) \(d = 0{,}125\), \(S = 1000\) TL, \(t = 1\):
\[P = S(1-dt) = 1000(1 - 0{,}125 \cdot 1) = 875{,}00 \ \text{TL}.\]
\(\blacksquare\)
Örnekten anlaşılacağı üzere aynı oranlardan hesaplanan şimdiki değerler arasında fark vardır: iskonto oranı ile hesaplanan değer, faiz oranı ile hesaplanandan daha azdır. Bu durumda iki oranı karşılaştırabilmek için birbirine çeviren formüllere ihtiyacımız var.
Önerme 2.1 (Denk Faiz ve İskonto Oranları) \(t\) yıl için aynı \(P\) ve \(S\) çiftini veren \(r\) faiz oranı ile \(d\) iskonto oranı arasında
\[d = \frac{r}{1 + rt} \qquad \text{ve} \qquad r = \frac{d}{1 - dt}\]
bağıntıları vardır.
İspat
İki yöntem de aynı \(S\) ve \(P\)’yi veriyorsa
\[P(1 - dt)^{-1} = P(1 + rt) \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{1 - dt} = 1 + rt.\]
Buradan \(1 = (1-dt)(1+rt)\), yani \(1 - dt = \dfrac{1}{1+rt}\) olur. İki yanı düzenlersek
\[dt = 1 - \frac{1}{1+rt} = \frac{rt}{1+rt} \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{r}{1+rt}.\]
Aynı eşitlikten \(r\) çekilirse: \(1 + rt = \dfrac{1}{1-dt}\) olduğundan
\[rt = \frac{1}{1-dt} - 1 = \frac{dt}{1-dt} \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{d}{1-dt}.\]
\(\blacksquare\)
Formüllerin paydalarına bakmak, hangisinin büyük olduğunu ezberlemeden görmeyi sağlar: \(d = \frac{r}{1+rt} < r\) ve \(r = \frac{d}{1-dt} > d\). Yani bir iskonto oranına denk gelen faiz oranı her zaman daha büyüktür.
Örnek 2.2 (İskontonun ve İskonto Oranının Bulunması) \(5\) ay sonra ödenecek \(1000\) TL’nin %\(12\) basit faiz oranından bugünkü değerini, basit iskontoyu ve basit iskonto oranını bulunuz.
Çözüm
\(S = 1000\) TL, \(r = 0{,}12\), \(t = \dfrac{5}{12}\).
\[P = S(1+rt)^{-1} = \frac{1000}{1 + 0{,}12 \cdot \frac{5}{12}} = \frac{1000}{1{,}05} = 952{,}38 \ \text{TL},\]
\[D = S - P = 1000 - 952{,}38 = 47{,}62 \ \text{TL}.\]
İskonto oranını iki yoldan bulabiliriz. Doğrudan tanımdan:
\[D = Sdt \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{D}{St} = \frac{47{,}62}{1000 \cdot \frac{5}{12}} = 0{,}114288 \approx \boxed{\%11{,}43}\]
ya da Önerme 2.1 ile:
\[d = \frac{r}{1+rt} = \frac{0{,}12}{1 + 0{,}12 \cdot \frac{5}{12}} = \frac{0{,}12}{1{,}05} = 0{,}114285 \approx \boxed{\%11{,}43}\]
İki yol son basamakta ayrılıyor; çünkü ilkinde \(D\) önce kuruşa yuvarlandı. İki basamağa yuvarlandığında sonuç aynıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 2.3 (Bankanın Vereceği Borç) Bir banka kısa süreli borçlanmalarda \(d = 0{,}11\) basit iskonto oranından borç vermektedir. Buna göre
a) \(90\) gün sonra \(900\) TL ödeyecek bir müşteriye banka şimdi ne kadarlık borç verir?
b) \(15.10.2012\)’de \(1500\) TL ödeyecek bir müşteriye banka \(3.5.2012\)’de ne kadarlık borç verir?
Çözüm
a) \(S = 900\) TL, \(d = 0{,}11\), \(t = \dfrac{90}{360}\):
\[P = S(1-dt) = 900\left(1 - 0{,}11 \cdot \tfrac{90}{360}\right) = 900(1 - 0{,}0275) = \boxed{875{,}25 \ \text{TL}}\]
b) Önce iki tarih arasındaki günleri sayalım:
| Mayıs | Haziran | Temmuz | Ağustos | Eylül | Ekim | Toplam |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(28\) | \(30\) | \(31\) | \(31\) | \(30\) | \(15\) | \(165\) |
(Mayıs’ın \(31\) gününden, ayın \(3\)’üne kadar geçen kısım düşülünce \(31 - 3 = 28\) gün kalır.)
\(S = 1500\) TL, \(d = 0{,}11\), \(t = \dfrac{165}{360}\):
\[P = 1500\left(1 - 0{,}11 \cdot \tfrac{165}{360}\right) = 1500(1 - 0{,}050417) = \boxed{1424{,}38 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
| Faiz | İskonto | |
|---|---|---|
| Neyin yüzdesi? | \(P\) (bugünkü değer) | \(S\) (vade değeri) |
| Tutar | \(I = Prt\) | \(D = Sdt\) |
| İleri taşıma | \(S = P(1+rt)\) | \(S = P(1-dt)^{-1}\) |
| Geri taşıma | \(P = S(1+rt)^{-1}\) | \(P = S(1-dt)\) |
| Sınırlama | yok | \(dt < 1\) olmalı |
2.3 Senetler
Faiz ve iskonto hesapları günlük hayatta çoğunlukla bir kâğıt üzerinde karşımıza çıkar: senet, bono, tahvil. Bir senedin hayatında iki kritik an vardır — düzenlendiği an (faizle vade değeri hesaplanır) ve vadesinden önce el değiştirdiği an (iskontoyla satış fiyatı hesaplanır). İkisi farklı formüllerle, çoğu zaman farklı oranlarla yapılır.
Tanım 2.2 (Senet (Bono)) Borçlu tarafından belli bir miktar paranın faizli ya da faizsiz belirli bir tarihte (= vade tarihi) borç veren kişiye ya da belli birinin emrine ödenmek üzere hazırlanmış ve borçlu tarafından imzalanmış kıymetli evraklara senet ya da bono denir.
Bir senedin üzerinde bulunması gereken başlıca unsurlar şunlardır: ödeme günü (vade), ödenecek tutarın rakam ve yazıyla yazılışı, kime ya da kimin emrine ödeneceği, düzenlenme tarihi ve yeri, borçlunun kimlik bilgileri ile imzası, varsa kefil bilgileri. Bunlardan biri eksikse belge senet vasfını yitirir; matematiksel olarak bizi ilgilendirense yalnızca iki sayıdır: vade değeri ve vade tarihi.
Örnek 2.4 (Senedin Kırdırılması) Murat Bey, Orhan Bey’den \(1500\) TL borç alsın ve bunun karşılığında Orhan Bey’e bu parayı \(90\) gün sonra %\(8\) basit faizden ödeyeceğine dair \(11.5.2012\)’de bir senet imzalasın.
a) Bu senedin üzerinde yazılı olan vade değeri nedir?
b) Orhan Bey, \(2.7.2012\)’de (vadesinden önce) bu senedi bir bankaya %\(9\) banka iskontosu ile satsa (kırdırsa) bankadan ne kadar para alır?
c) Orhan Bey’in bu işlemler sonucunda yaptığı yatırımdan elde ettiği faiz oranı nedir?
d) Eğer banka senedi, vade sonuna kadar elinde tutarsa yaptığı yatırımın faiz oranı ne olur?
Çözüm
Vade tarihi \(11.5.2012\)’den \(90\) gün sonrası, yani \(9.8.2012\)’dir. Gerekli gün sayıları:
| Aralık | Gün |
|---|---|
| \(11.5.2012 \to 9.8.2012\) (vade) | \(90\) |
| \(11.5.2012 \to 2.7.2012\) (Orhan Bey’in elinde) | \(52\) |
| \(2.7.2012 \to 9.8.2012\) (bankanın elinde) | \(38\) |
a) Vade değeri, borç alınan tutarın faizle ileri taşınmasıyla bulunur:
\[S = P(1+rt) = 1500\left(1 + 0{,}08 \cdot \tfrac{90}{360}\right) = 1500 \cdot 1{,}02 = \boxed{1530 \ \text{TL}}\]
b) Banka, vade değeri üzerinden iskonto yapar; kalan \(38\) gün için:
\[P_2 = S(1-dt) = 1530\left(1 - 0{,}09 \cdot \tfrac{38}{360}\right) = 1530(1 - 0{,}0095) = \boxed{1515{,}47 \ \text{TL}}\]
c) Orhan Bey \(1500\) TL verip \(52\) gün sonra \(1515{,}47\) TL almıştır:
\[I = 1515{,}47 - 1500 = 15{,}47 \ \text{TL},\]
\[I = Prt \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{I}{P \cdot t} = \frac{15{,}47}{1500 \cdot \frac{52}{360}} = \frac{15{,}47}{216{,}67} \approx \boxed{\%7{,}14}\]
d) Banka senedi \(1515{,}47\) TL’ye almıştır; banka için \(P = 1515{,}47\) TL, senedin vade değeri ise \(S = 1530\) TL’dir. Bu durumda
\[I = S - P = 1530 - 1515{,}47 = 14{,}53 \ \text{TL},\]
\[r = \frac{I}{P \cdot t} = \frac{14{,}53}{1515{,}47 \cdot \frac{38}{360}} = \frac{14{,}53}{159{,}97} \approx \boxed{\%9{,}08}\]
\(P_2\) kuruşa yuvarlanmadan (\(1515{,}465\)) hesaplanırsa aynı oran %\(9{,}09\) çıkar. Yuvarlama zincirinden doğan bu tür son basamak farkları normaldir; burada yuvarlanmış değerlerle devam edilmiştir.
Bankanın elde ettiği %\(9{,}08\)’lik faiz oranının, uyguladığı %\(9\)’luk iskonto oranından büyük olduğuna dikkat edin — Önerme 2.1 tam da bunu söylüyordu.
\(\blacksquare\)
2.4 Tahviller ve Bonolar
Eğer borçlanan taraf devlet ise ilgili senetlere Devlet İç Borçlanma Senetleri (DİBS) denir. DİBS, Hazine tarafından yurt içi piyasada ihraç edilen (= satışa sunulan) borçlanma senetlerini ifade eder. Borçlu olan devlet, DİBS sahiplerine kupon ödeme tarihlerinde ve vade sonunda borçlu olduğu tutarı öder. Bu senetler vadeleri boyunca ikincil piyasalarda kişi ve kurumlar tarafından alınıp satılabilmektedir.
Tanım 2.3 (Bono ve Tahvil) Devlet veya özel sektör (anonim şirket) tarafından ödünç para bulmak amacıyla,
- vadesi bir yıldan kısa olarak çıkarılan ve iskontolu olarak işlem gören borçlanma senetlerine Hazine Bonosu veya Özel Sektör Bonosu,
- vadesi bir yıl veya daha uzun olanlara Devlet Tahvili veya Özel Sektör Tahvili
denir.
Tahviller, vadeleri en az \(1\) yıl olmak koşulu ile serbestçe belirlenebilir ve sabit ya da değişken faizli olarak ihraç edilebilirler. Genellikle bir veya birkaç aracı kuruluştan oluşan bir konsorsiyum aracılığıyla satışa sunulurlar. Tahvillerin ayrıntılı matematiği Tahviller bölümünde ele alınacaktır; burada yalnızca kısa vadeli, kuponsuz bir bononun nasıl fiyatlandığına bakıyoruz.
Örnek 2.5 (Bononun İskonto ve Faiz Oranı) Bir banka ihraç ettiği \(5000\) TL’lik bir bonoya \(91\) gün için \(4682\) TL teklif vermektedir. Eğer verilen fiyat teklifi kabul edilirse bankanın uyguladığı a) basit iskonto oranını, b) basit faiz oranını bulunuz.
Çözüm
a) \(S = 5000\) TL, \(P = 4682\) TL, \(t = \dfrac{91}{360}\) olduğundan iskonto tutarı
\[D = S - P = 5000 - 4682 = 318 \ \text{TL}.\]
\(D = Sdt\) formülünden
\[d = \frac{D}{St} = \frac{318}{5000 \cdot \frac{91}{360}} = 0{,}251604395 \approx \boxed{\%25{,}16}\]
b) İki yol da aynı sonucu verir. Önerme 2.1 ile:
\[r = \frac{d}{1-dt} = \frac{0{,}251604395}{1 - 0{,}251604395 \cdot \frac{91}{360}} = 0{,}268693288 \approx \boxed{\%26{,}87}\]
ya da doğrudan tanımdan: \(I = S - P = 318\) TL ve faiz, bugün ödenen \(4682\) TL üzerinden hesaplanır:
\[r = \frac{I}{Pt} = \frac{318}{4682 \cdot \frac{91}{360}} = 0{,}268693288 \approx \boxed{\%26{,}87}\]
Aynı \(318\) TL’lik farkın, \(5000\)’in yüzdesi olarak %\(25{,}16\), \(4682\)’nin yüzdesi olarak %\(26{,}87\) etmesi bu bölümün ana fikrinin somut hâlidir.
\(\blacksquare\)
2.5 Alıştırmalar
Alıştırma 2.1 (İskonto ve Şimdiki Değer) %\(10\) basit iskonto oranından \(3\) ay sonra ödenecek olan \(1500\) TL’lik borcun iskontosunu ve şimdiki değerini hesaplayınız.
Çözüm
\(S = 1500\) TL, \(d = 0{,}10\), \(t = \dfrac{3}{12} = 0{,}25\):
\[D = Sdt = 1500 \cdot 0{,}10 \cdot 0{,}25 = \boxed{37{,}50 \ \text{TL}}\]
\[P = S - D = 1500 - 37{,}50 = \boxed{1462{,}50 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.2 (Gün Cinsinden İskonto) %\(10{,}5\) iskonto oranından \(120\) gün için \(568{,}30\) TL üzerindeki iskontoyu ve şimdiki değeri bulunuz.
Çözüm
\(S = 568{,}30\) TL, \(d = 0{,}105\), \(t = \dfrac{120}{360}\):
\[D = Sdt = 568{,}30 \cdot 0{,}105 \cdot \frac{120}{360} = 568{,}30 \cdot 0{,}035 = \boxed{19{,}89 \ \text{TL}}\]
\[P = S - D = 568{,}30 - 19{,}89 = \boxed{548{,}41 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.3 (Hedeflenen Faize Denk İskonto Oranı) Bir kişi borç verdiği \(6\) ay için %\(12\) oranında faiz elde etmek istiyor; bu kişi borç verirken hangi iskonto oranını kullanmalıdır?
Çözüm
İstenen \(r = 0{,}12\), süre \(t = \dfrac{6}{12} = 0{,}5\) yıl. Önerme 2.1 ile:
\[d = \frac{r}{1+rt} = \frac{0{,}12}{1 + 0{,}12 \cdot 0{,}5} = \frac{0{,}12}{1{,}06} = 0{,}113208 \approx \boxed{\%11{,}32}\]
%\(12\) faiz elde etmek isteyen kişi, %\(12\) değil %\(11{,}32\) iskonto uygulamalıdır; iskonto oranı daha büyük tutar üzerinden işlediği için daha küçük seçilir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.4 (Senedin Bankaya Satılması) \(15\) Kasım \(1992\) tarihinde Epsilon Yazılım Şirketi’nin elinde \(1200\) TL’lik bir senet vardır. Senedin vade tarihi \(15\) Mayıs \(1993\) ve geçerli faiz oranı %\(16\) olsun. Eğer Epsilon Yazılım Şirketi bu senedi \(30\) Ocak \(1993\) tarihinde bir bankaya %\(15\) iskonto ile satarsa, bankadan alacağı para ne kadar olur?
Çözüm
Senedin vade değeri \(S = 1200\) TL’dir (senedin üzerinde yazan, \(15\) Mayıs \(1993\)’te ödenecek tutar). Satış tarihinden vadeye kalan süre:
\[\underbrace{1}_{\text{Ocak}} + \underbrace{28}_{\text{Şubat}} + \underbrace{31}_{\text{Mart}} + \underbrace{30}_{\text{Nisan}} + \underbrace{15}_{\text{Mayıs}} = 105 \ \text{gün}.\]
Banka iskontosu vade değeri üzerinden yapılır:
\[P = S(1-dt) = 1200\left(1 - 0{,}15 \cdot \tfrac{105}{360}\right) = 1200(1 - 0{,}04375) = \boxed{1147{,}50 \ \text{TL}}\]
Banka iskontosu yalnızca vade değeri, iskonto oranı ve kalan süreye bakar; senedin hangi faiz oranıyla düzenlendiği bankayı ilgilendirmez. %\(16\)’lık oran ancak “Epsilon şirketi bu işlemden ne kazandı/kaybetti?” diye sorulsaydı gerekirdi.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.5 (Faizle mi, İskontoyla mı Borçlanmalı?) Bir kişi \(1\) yıl için ya %\(12{,}25\) faiz oranından ya da %\(12\) iskonto oranından borç almak zorunda ise hangisini tercih etmelidir? Neden?
Çözüm
İki teklifi aynı dile çevirmek gerekir. %\(12\) iskonto oranına denk gelen faiz oranı, \(t = 1\) için
\[r = \frac{d}{1-dt} = \frac{0{,}12}{1 - 0{,}12} = \frac{0{,}12}{0{,}88} = 0{,}136364 \approx \%13{,}64.\]
Karşılaştırma artık kolaydır: %\(12{,}25 < \%13{,}64\) olduğundan faiz oranını, yani %\(12{,}25\)’i tercih etmelidir.
Aynı sonuç somut bir tutarla da görülebilir: \(1000\) TL almak isteyen kişi
- faizle borçlanırsa \(1\) yıl sonra \(1000(1 + 0{,}1225) = 1122{,}50\) TL öder;
- iskontoyla borçlanırsa eline \(1000\) TL geçmesi için \(1000 = S(1-0{,}12)\), yani \(S = 1136{,}36\) TL’lik senet imzalaması gerekir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.6 (Senedin Vade Değeri ve Satış Fiyatı) \(10\) Ağustos \(2019\)’da \(300000\) TL karşılığı imzalanan \(90\) günlük bir senedin \(0{,}05\) faiz oranından vade değeri ne olur? Bu senedi elinde bulunduran kişi \(9\) Eylül \(2019\)’da \(0{,}06\) iskonto oranı ile senedi kaça satar?
Çözüm
Vade değeri. \(P = 300000\) TL, \(r = 0{,}05\), \(t = \dfrac{90}{360}\):
\[S = P(1+rt) = 300000\left(1 + 0{,}05 \cdot \tfrac{90}{360}\right) = 300000 \cdot 1{,}0125 = \boxed{303750 \ \text{TL}}\]
Satış fiyatı. Vade tarihi \(10\) Ağustos \(+ 90\) gün \(= 8\) Kasım \(2019\)’dur. \(9\) Eylül’den vadeye kalan süre:
\[\underbrace{21}_{\text{Eylül}} + \underbrace{31}_{\text{Ekim}} + \underbrace{8}_{\text{Kasım}} = 60 \ \text{gün}.\]
\[P = S(1-dt) = 303750\left(1 - 0{,}06 \cdot \tfrac{60}{360}\right) = 303750 \cdot 0{,}99 = \boxed{300712{,}50 \ \text{TL}}\]
Senedi elinde tutan kişi \(30\) günde \(712{,}50\) TL kazanmıştır.
\(\blacksquare\)