8 Hayat Anüiteleri ve Hayat Sigortaları
Şimdiye kadarki bütün ödemeler kesindi: taksit tarihi geldiğinde ödeme yapılırdı. Sigortacılıkta ise ödemenin yapılıp yapılmayacağı bir olaya bağlıdır — kişinin o tarihte hayatta olup olmamasına. Böyle ödemelerin değerini bulurken paranın zaman değerine bir çarpan daha eklenir: olasılık.
Bölüm üç adımda ilerler. Önce o olasılıkların nereden geldiğini, yani hayat tablosunu tanıtıp en basit ürünü, “yaşarsan alırsın” biçimindeki tek ödemeyi fiyatlıyoruz. Sonra bunu bir diziye çevirip hayat anüitelerine geçiyoruz; emekli maaşının matematiksel modeli budur. En sonda da tersini, yani “ölürsen varislerin alır” diyen hayat sigortalarını ele alıyoruz.
8.1 Hayat Tabloları
Tanım 8.1 (Hayat Anüitesi) Hayat anüiteleri, toplu veya belirli süreler içinde yapılan primlere karşılık, sigortalının yaşaması hâlinde hemen veya belli bir süre sonra başlayan; sigortalı, sigorta ettiren veya belirli şartlar dâhilinde lehdarlarına ömür boyu veya belirli süreler için yapılan düzenli ödemelerdir.
Hesaplamalar için hayat (ölüm) tablosuna ihtiyaç vardır.
Tanım 8.2 (Hayat Tablosu ve Notasyonu) Büyük bir popülasyondaki gözlenen ölüm sayılarının tutulduğu kayıtlara hayat tabloları denir. Notasyon şöyledir:
| Simge | Anlamı |
|---|---|
| \(x\) | yaş |
| \(\ell_x\) | \(x\) yaşına erişenlerin sayısı |
| \(d_x\) | \(x\) yaşında ölenlerin sayısı (yani \(x\) ile \(x+1\) arasında ölenlerin sayısı) |
| \(q_x\) | \(x\) yaşındaki birinin \(1\) yıl içinde ölme olasılığı |
| \(_{n}q_x\) | \(x\) yaşındaki birinin \(n\) yıl içinde ölme olasılığı |
| \(p_x\) | \(x\) yaşındaki birinin en az \(1\) yıl yaşama olasılığı |
| \(_{n}p_x\) | \(x\) yaşındaki birinin en az \(n\) yıl yaşama olasılığı |
Dersimizde kişilerin \(100\) yaşına erişemedikleri kabul edilmektedir; yani \(\ell_{100} = 0\)’dır. Bu kabul, ileride karşımıza çıkacak “sonsuz” toplamların aslında sonlu olmasını sağlar.
8.2 Gerekli Formüller
Önerme 8.1 (Hayat Tablosu Bağıntıları) \[d_x = \ell_x \cdot q_x, \qquad \ell_{x+1} = \ell_x - d_x \quad \Longrightarrow \quad d_x = \ell_x - \ell_{x+1}\]
\[p_x = \frac{\ell_{x+1}}{\ell_x}, \qquad {}_{n}p_x = \frac{\ell_{x+n}}{\ell_x}\]
\[q_x = 1 - p_x = 1 - \frac{\ell_{x+1}}{\ell_x} = \frac{\ell_x - \ell_{x+1}}{\ell_x}, \qquad {}_{n}q_x = 1 - {}_{n}p_x = 1 - \frac{\ell_{x+n}}{\ell_x} = \frac{\ell_x - \ell_{x+n}}{\ell_x}\]
İspat
Bütün formüller tek bir fikirden çıkar: olasılık = uygun durum sayısı / tüm durum sayısı.
\(x\) yaşına erişen \(\ell_x\) kişiyi düşünelim. Bunlardan \(\ell_{x+n}\) tanesi \(x+n\) yaşına da erişir; dolayısıyla rastgele seçilen birinin \(n\) yıl daha yaşama olasılığı \(\frac{\ell_{x+n}}{\ell_x}\)’dir. \(n = 1\) alınırsa \(p_x\) elde edilir.
\(x\) yaşındaki biri ya en az \(n\) yıl yaşar ya da bu süre içinde ölür; iki olay birbirinin tümleyeni olduğundan olasılıkları toplamı \(1\)’dir. Buradan \(_{n}q_x = 1 - {}_{n}p_x\) çıkar. Son olarak \(x\) ile \(x+1\) arasında ölenlerin sayısı, \(x\) yaşına erişenlerden \(x+1\) yaşına erişmeyenler kadardır: \(d_x = \ell_x - \ell_{x+1}\); olasılığa çevrilirse \(q_x = \frac{d_x}{\ell_x}\), yani \(d_x = \ell_x q_x\) bulunur.
\(\blacksquare\)
“\(x\) yaşındaki biri \(x+n\) ile \(x+m\) yaşları arasında ölür” tipindeki olasılıklar iki çarpanın çarpımıdır: önce \(x+n\) yaşına erişmek, sonra o yaştan itibaren \(m-n\) yıl içinde ölmek:
\[{}_{n}p_x \cdot {}_{m-n}q_{x+n} = \frac{\ell_{x+n}}{\ell_x} \cdot \frac{\ell_{x+n} - \ell_{x+m}}{\ell_{x+n}} = \frac{\ell_{x+n} - \ell_{x+m}}{\ell_x}\]
Görüldüğü gibi ara terim sadeleşir; sonuçta yalnızca iki uçtaki sayılar kalır. Bu sadeleşmeyi hatırlamak, uzun hesaplardan kurtarır.
Bu bölümde kullanılan tablo değerleri
Tam hayat tablosu \(0\) yaşından \(99\) yaşına kadar yüz satırdır. Aşağıda yalnızca buradaki örnek ve alıştırmalarda geçen \(\ell_x\) değerleri verilmiştir; kadınlar ve erkekler için ayrı tablolar kullanıldığına dikkat edin.
Kadınlar
| \(x\) | \(20\) | \(21\) | \(22\) | \(45\) | \(47\) | \(50\) | \(60\) | \(65\) | \(70\) | \(71\) | \(72\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\ell_x\) | \(9820821\) | \(9810509\) | \(9800012\) | \(9409244\) | \(9340119\) | \(9219130\) | \(8603801\) | \(8134022\) | \(7448816\) | \(7284123\) | \(7107629\) |
Erkekler
| \(x\) | \(30\) | \(40\) | \(50\) | \(65\) | \(70\) | \(75\) | \(76\) | \(95\) | \(96\) | \(97\) | \(98\) | \(99\) | \(100\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\ell_x\) | \(9579998\) | \(9377225\) | \(8966618\) | \(7329740\) | \(6274160\) | \(4898907\) | \(4584446\) | \(146721\) | \(98309\) | \(60504\) | \(31450\) | \(10757\) | \(0\) |
Örnek 8.1 (Yaşama ve Ölme Olasılıkları) \(20\) yaşındaki bir kadının a) \(45\) yaşına erişebilmesinin, b) \(60\) yaşından önce ölmesinin, c) \(50\) ile \(65\) yaş arasında ölmesinin, d) \(70\) yaşında ölmesinin olasılıklarını bulunuz.
Çözüm
a) \(45 - 20 = 25\) yıl yaşama olasılığı:
\[{}_{25}p_{20} = \frac{\ell_{45}}{\ell_{20}} = \frac{9409244}{9820821} = \boxed{0{,}958091385}\]
b) \(60 - 20 = 40\) yıl içinde ölme olasılığı:
\[{}_{40}q_{20} = \frac{\ell_{20} - \ell_{60}}{\ell_{20}} = \frac{9820821 - 8603801}{9820821} = \frac{1217020}{9820821} = \boxed{0{,}123922429}\]
c) Önce \(50\) yaşına erişecek (\(30\) yıl), sonra \(15\) yıl içinde ölecek:
\[{}_{30}p_{20} \cdot {}_{15}q_{50} = \frac{\ell_{50}}{\ell_{20}} \cdot \frac{\ell_{50} - \ell_{65}}{\ell_{50}} = \frac{\ell_{50} - \ell_{65}}{\ell_{20}} = \frac{9219130 - 8134022}{9820821} = \boxed{0{,}110490558}\]
d) Önce \(70\) yaşına erişecek (\(50\) yıl), sonra o yıl içinde ölecek:
\[{}_{50}p_{20} \cdot q_{70} = \frac{\ell_{70}}{\ell_{20}} \cdot \frac{\ell_{70} - \ell_{71}}{\ell_{70}} = \frac{d_{70}}{\ell_{20}} = \frac{164693}{9820821} = \boxed{0{,}016769779}\]
\(\blacksquare\)
8.3 Hayatta Olma Hâlinde Alınacak Tek Ödeme
Tanım 8.3 (Net Tek Prim) \(x\) yaşındaki birine \(n\) yıl sonra eğer hâlâ hayatta ise yapılacak olan \(1\) TL’lik tek ödemenin iskontolu beklenen değeri (= net tek primi)
\[1 \cdot {}_{n}E_x = 1 \cdot \frac{\ell_{x+n}}{\ell_x}(1+i)^{-n} = 1 \cdot (1+i)^{-n} \cdot {}_{n}p_x\]
ile hesaplanır; burada \(i = \dfrac{j_1}{1}\)’dir.
Formülü ezberlemeye gerek yok; iki çarpandan oluşuyor:
- \((1+i)^{-n}\) — parayı \(n\) yıl geri taşır (bildiğimiz iskonto),
- \(_{n}p_x\) — ödemenin gerçekleşme olasılığı.
Ödeme kesin olmadığı için beklenen değeri, kesin bir ödemenin bugünkü değerinden küçüktür.
Örnek 8.2 (Emeklilikte Ödenecek Tutarın Bugünkü Değeri) Şu an \(30\) yaşında olan Ahmet Bey’e eğer \(65\) yaşına erişirse ödenecek olan \(50000\) TL’nin iskontolu beklenen değerini \(j_1 = \%10\)’a göre hesaplayınız.
Çözüm
\(x = 30\), \(n = 35\), \(i = 0{,}10\) ve erkek tablosu kullanılır:
\[50000 \cdot {}_{35}E_{30} = 50000 \cdot \frac{\ell_{65}}{\ell_{30}}(1{,}10)^{-35} = 50000 \cdot \frac{7329740}{9579998} \cdot (1{,}10)^{-35}\]
\[= 50000 \cdot 0{,}765109 \cdot 0{,}035584 = \boxed{1361{,}29 \ \text{TL}}\]
Ödeme kesin olsaydı bugünkü değeri \(50000 \cdot 0{,}035584 = 1779{,}20\) TL olurdu; aradaki fark, \(65\) yaşına erişememe riskinin bedelidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.3 (Mezuniyet Yıl Dönümünde Beklenen Kişi Sayısı) \(1993\) yılında bir kız kolejinden mezun olanlardan \(21\) yaşında olanlar \(200\) kişi, \(22\) yaşında olanlar \(300\) kişi ise bu mezunların \(50\). mezuniyet yıl dönümünde kaç tanesinin hayatta olması beklenir?
Çözüm
Her yaş grubu için \(50\) yıl yaşama olasılığını bulup kişi sayısıyla çarpalım (kadın tablosu):
\[{}_{50}p_{21} = \frac{\ell_{71}}{\ell_{21}} = \frac{7284123}{9810509} = 0{,}742481659\]
\[{}_{50}p_{22} = \frac{\ell_{72}}{\ell_{22}} = \frac{7107629}{9800012} = 0{,}725267377\]
\[200 \cdot 0{,}742481659 = 148{,}4963318\]
\[300 \cdot 0{,}725267377 = 217{,}5802131\]
\[148{,}4963318 + 217{,}5802131 = 366{,}0765449 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{366 \ \text{kişi}}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 8.4 (Şarta Bağlı Ödeme ile Banka Mevduatının Karşılaştırılması) Özge Hanım’a \(47\). doğum gününde \(100000\) TL’lik miras kalır. Bu parayla, \(60\) yaşına erişmesi hâlinde \(j_4 = \%8\) oranından getirisi olacak bir anlaşma yapar.
a) Eğer yaşarsa \(60\) yaşında ne kadar alır?
b) Bu anlaşmayı yapmayıp parayı \(j_4 = \%8\)’den bir bankaya yatırsaydı \(60\) yaşında ne kadar alırdı?
Çözüm
Hayat tablosu yıllık çalıştığı için önce \(j_4\)’e denk yıllık oranı bulmalıyız:
\[(1+i)^{1} = \left(1 + \frac{0{,}08}{4}\right)^{4} = (1{,}02)^4 \quad \Longrightarrow \quad i = 0{,}08243216\]
Süre \(60 - 47 = 13\) yıldır ve kadın tablosu kullanılır.
a) Bugün ödenen \(100000\) TL, \(13\) yıl sonra hayatta olması hâlinde alınacak \(X\) tutarının beklenen bugünkü değerine eşittir:
\[100000 = X \cdot {}_{13}E_{47} = X \cdot \frac{\ell_{60}}{\ell_{47}}(1 + 0{,}08243216)^{-13}\]
\[100000 = X \cdot \frac{8603801}{9340119} \cdot (1{,}08243216)^{-13} = X \cdot 0{,}921166 \cdot 0{,}357100\]
\[\Longrightarrow \quad \boxed{X = 303998{,}18 \ \text{TL}}\]
b) Bankada ölüm–kalım şartı yoktur; para her hâlükârda birikir:
\[X = 100000(1{,}08243216)^{13} = \boxed{280032{,}82 \ \text{TL}}\]
Anlaşma \(23965{,}36\) TL fazla ödüyor; çünkü Özge Hanım \(60\) yaşına erişemezse hiçbir şey almayacak. Sigorta şirketi, ödemeyeceği durumların karşılığını hayatta kalanlara dağıtır. Bu farkın oranı tam olarak \(\frac{1}{{}_{13}p_{47}} = \frac{1}{0{,}921166} = 1{,}0856\)’dır, yani %\(8{,}56\).
\(\blacksquare\)
8.4 Ömür Boyu Hayat Anüitesi
Yukarıda tek bir şartlı ödemeyi fiyatladık. Şimdi bunu bir diziye çeviriyoruz: kişi yaşadığı sürece her yıl ödenen tutarlar. Emekli maaşının matematiksel modeli budur.
Formüller ilk bakışta korkutucu görünür, çünkü içlerinde sonsuza giden toplam sembolü vardır. Ama iki gözlem her şeyi basitleştirir:
- Toplamdaki her terim, tanıdık iki çarpanın çarpımıdır: iskonto \(\times\) yaşama olasılığı.
- Kimse \(100\) yaşına erişemediği için (\(\ell_{100} = 0\)) toplam aslında sonludur; belli bir terimden sonra hepsi sıfırdır.
Bu yüzden her formülü önce toplam sembolüyle yazacak, hemen ardından terim terim açacağız.
Tanım 8.4 (Ömür Boyu Ertelenmiş Hayat Anüitesi) \(x\) yaşındaki birisine \(k\) yıl sonra başlamak üzere ömür boyu (= yaşadığı sürece) her yıl ödenecek \(1\) TL’lik ödemelerin beklenen iskontolu değeri (= net tek primi):
i) İlk ödeme \(k\) yıl sonra yıl sonunda yapılırsa:
\[1 \cdot {}_{k|}a_x = 1 \cdot {}_{k+1}E_x + 1 \cdot {}_{k+2}E_x + \cdots = \sum_{t=1}^{\infty}(1+i)^{-(k+t)}\,\frac{\ell_{x+k+t}}{\ell_x}\]
ii) İlk ödeme \(k\) yıl sonra yıl başında yapılırsa:
\[1 \cdot {}_{k|}\ddot{a}_x = \sum_{t=0}^{\infty}(1+i)^{-(k+t)}\,\frac{\ell_{x+k+t}}{\ell_x}\]
Toplamı açalım
İki formül arasındaki tek fark, toplamın \(t = 1\)’den mi yoksa \(t = 0\)’dan mı başladığıdır. Yıl başı biçiminde (\(\ddot{a}\)) \(k\). yılda da bir ödeme vardır; yıl sonu biçiminde (\(a\)) ilk ödeme \((k+1)\). yıldadır.
\(\ddot{a}\) biçimini açık yazalım:
\[ {}_{k|}\ddot{a}_x = \underbrace{(1+i)^{-k}\frac{\ell_{x+k}}{\ell_x}}_{t\,=\,0} + \underbrace{(1+i)^{-(k+1)}\frac{\ell_{x+k+1}}{\ell_x}}_{t\,=\,1} + \underbrace{(1+i)^{-(k+2)}\frac{\ell_{x+k+2}}{\ell_x}}_{t\,=\,2} + \cdots \]
Her terim tek bir yıla aittir ve iki çarpandan oluşur:
\[\underbrace{(1+i)^{-(k+t)}}_{\text{o yıla ait iskonto}} \times \underbrace{\frac{\ell_{x+k+t}}{\ell_x}}_{\text{o yılda hayatta olma olasılığı}}\]
Payda geçen \(\ell_{x+k+t}\), \(x+k+t\) yaşına erişenlerin sayısıdır. \(\ell_{100} = 0\) olduğuna göre \(x+k+t \ge 100\) olan bütün terimler sıfırdır. Dolayısıyla toplam, \(x+k+t = 99\) olan terimde biter: yazılacak terim sayısı
\[99 - (x + k) + 1 \quad \text{tanedir (yıl başı biçiminde).}\]
Sonsuz sembolü, formülü genel yazabilmek içindir; hesapta hiçbir zaman sonsuz terim toplanmaz.
Örnek 8.5 (Doksan Beş Yaşından Sonra Ömür Boyu Anüite) \(70\) yaşındaki bir erkeğe \(95\). yaşından başlamak üzere ömür boyu her yıl ödenecek \(1000\) TL’lik hayat anüitesinin \(j_1 = \%8\)’den net tek primini bulunuz.
Çözüm
\(x = 70\), ilk ödeme \(95\) yaşında yapılacağından \(k = 95 - 70 = 25\); ödemeler yıl başında yapıldığı için \(\ddot{a}\) biçimi kullanılır ve \(i = 0{,}08\)’dir.
\[1000 \cdot {}_{25|}\ddot{a}_{70} = 1000 \sum_{t=0}^{\infty}(1{,}08)^{-(25+t)}\,\frac{\ell_{95+t}}{\ell_{70}}\]
Toplam kaç terim? \(70 + 25 + t \le 99\) olmalı, yani \(t \le 4\). Demek ki yalnızca beş terim vardır: \(95, 96, 97, 98, 99\) yaşları.
\[= \frac{1000}{\ell_{70}}\Bigl[(1{,}08)^{-25}\ell_{95} + (1{,}08)^{-26}\ell_{96} + (1{,}08)^{-27}\ell_{97} + (1{,}08)^{-28}\ell_{98} + (1{,}08)^{-29}\ell_{99}\Bigr]\]
Değerleri yerine koyalım (\(\ell_{70} = 6274160\), erkek tablosu):
| \(t\) | Yaş | \(\ell_{95+t}\) | \((1{,}08)^{-(25+t)}\) | Çarpım |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(95\) | \(146721\) | \(0{,}14601790\) | \(21423{,}8930\) |
| \(1\) | \(96\) | \(98309\) | \(0{,}13520176\) | \(13291{,}5502\) |
| \(2\) | \(97\) | \(60504\) | \(0{,}12518682\) | \(7574{,}3033\) |
| \(3\) | \(98\) | \(31450\) | \(0{,}11591372\) | \(3645{,}4865\) |
| \(4\) | \(99\) | \(10757\) | \(0{,}10732752\) | \(1154{,}5221\) |
| Toplam | \(47089{,}75512\) |
\[1000 \cdot {}_{25|}\ddot{a}_{70} = \frac{1000}{6274160} \cdot 47089{,}75512 = \boxed{7{,}51 \ \text{TL}}\]
Sonuç şaşırtıcı derecede düşüktür: yılda \(1000\) TL ödeyecek bir anüite için bugün yalnızca \(7{,}51\) TL isteniyor. İki sebep birlikte çalışır: \(70\) yaşındaki bir erkeğin \(95\) yaşına erişme olasılığı \(\frac{146721}{6274160} = 0{,}0234\), yani yaklaşık %\(2{,}3\)’tür; üstelik ödemeler \(25\)–\(29\) yıl uzakta olduğu için %\(8\)’den iskonto edilince yedide birine iner.
\(\blacksquare\)
8.5 Geçici Hayat Anüitesi
Ömür boyu değil de belli bir süre ödeme yapılıyorsa anüite geçicidir.
Tanım 8.5 (Geçici Hayat Anüitesi) i) \(x\) yaşındaki birine \(n\) yıl boyunca her yılın sonunda ödenecek \(1\) TL’lik ödemelerin net tek primi:
\[1 \cdot a_{x:\overline{n}|} = \sum_{t=1}^{n}(1+i)^{-t}\,\frac{\ell_{x+t}}{\ell_x}\]
ii) \(x\) yaşındaki birine \(n\) yıl boyunca her yılın başında ödenecek \(1\) TL’lik ödemelerin net tek primi:
\[1 \cdot \ddot{a}_{x:\overline{n}|} = \sum_{t=0}^{n-1}(1+i)^{-t}\,\frac{\ell_{x+t}}{\ell_x}\]
Bu kez toplamın üst sınırı zaten sonludur; ayrıca bir kesme yapmaya gerek yoktur. İki biçimi açık yazalım:
\[a_{x:\overline{n}|} = (1+i)^{-1}\frac{\ell_{x+1}}{\ell_x} + (1+i)^{-2}\frac{\ell_{x+2}}{\ell_x} + \cdots + (1+i)^{-n}\frac{\ell_{x+n}}{\ell_x}\]
\[\ddot{a}_{x:\overline{n}|} = \underbrace{1}_{t\,=\,0} + (1+i)^{-1}\frac{\ell_{x+1}}{\ell_x} + \cdots + (1+i)^{-(n-1)}\frac{\ell_{x+n-1}}{\ell_x}\]
Yıl başı biçiminde \(t = 0\) terimi \((1+i)^{0}\frac{\ell_x}{\ell_x} = 1\)’dir. Mantıklıdır: bugün yapılan ödeme ne iskonto edilir ne de olasılıkla çarpılır — kişinin bugün hayatta olduğunu zaten biliyoruz.
Örnek 8.6 (Beş Yıllık Geçici Hayat Anüitesi) \(25\) yaşındaki bir kadına \(5\) yıl için yapılan, yılda \(1000\) TL ödenecek geçici hayat anüitesinin \(j_1 = \%9\)’dan net tek primini bulunuz.
Çözüm
\(x = 25\), \(n = 5\), \(i = 0{,}09\) ve ödemeler yıl sonunda yapılıyor:
\[1000 \cdot a_{25:\overline{5}|} = 1000\sum_{t=1}^{5}(1{,}09)^{-t}\,\frac{\ell_{25+t}}{\ell_{25}}\]
Toplamı açalım:
\[= \frac{1000}{\ell_{25}}\Bigl[(1{,}09)^{-1}\ell_{26} + (1{,}09)^{-2}\ell_{27} + (1{,}09)^{-3}\ell_{28} + (1{,}09)^{-4}\ell_{29} + (1{,}09)^{-5}\ell_{30}\Bigr]\]
Beş satırın her biri, o yıl hayatta olma olasılığının iskonto edilmiş hâlidir. Kadın hayat tablosundan \(\ell_{25}, \ell_{26}, \dots, \ell_{30}\) değerleri okunup yerine konduğunda
\[1000 \cdot a_{25:\overline{5}|} = \boxed{3876{,}47 \ \text{TL}}\]
bulunur.
Bu hesapta gereken \(\ell_{25}\)–\(\ell_{30}\) (kadın) satırları bu bölümdeki kısmi hayat tablosunda yer almadığından ara toplam sayısal olarak açılmamıştır. Tam hayat tablosundan bu altı değeri okuyup yukarıdaki beş terimi toplamak, yazılan sonucu verir.
Genç yaşlarda ölüm olasılığı çok küçüktür. Eğer bütün olasılıkları \(1\) kabul etseydik sonuç sıradan bir anüite olurdu:
\[1000 \cdot a_{\overline{5}|0{,}09} = 1000 \cdot 3{,}889651 = 3889{,}65 \ \text{TL}.\]
Bulunan \(3876{,}47\) TL bunun yalnızca %\(0{,}34\) altındadır; aradaki küçük fark, \(25\)–\(30\) yaş arasındaki ölüm riskinin bedelidir.
\(\blacksquare\)
8.6 Hayat Sigortası
Hayat anüitesi “yaşarsan alırsın” diyordu; hayat sigortası tam tersini söyler: ölürsen varislerin alır. Matematiği aynı kalıptadır, yalnızca olasılık çarpanı değişir — yaşama olasılığı \(p\)’nin yerini ölme olasılığı \(q\) alır.
Tanım 8.6 (Hayat Sigortası) Hayat sigortası, sigorta şirketinin belli bir prim karşılığında sigortalının sözleşmede belirtilen süre içinde ve sözleşmede belirtilen hâllerde yaşam kaybı veya sözleşmede belirtilen süreden daha uzun hayatta kalması hâlinde size veya belirlediğiniz kişilere sigorta bedelini ödediği sigorta türüdür.
Hayat sigortaları başınıza beklenmedik bir olay gelmesi durumunda, sizi ve sevdiklerinizi güvenceye almasının yanı sıra tasarruf yapmanıza da olanak sağlar.
Tanım 8.7 (Net Tek Prim Formülleri) \(n\) yıllık hayat sigortaları. \(x\) yaşındaki birinin \(n\) yıl içinde ölmesi hâlinde varislerine ödenecek \(1\) TL’lik ödemenin net tek primi:
\[1 \cdot A^{1}_{x:\overline{n}|} = \sum_{t=0}^{n-1}(1+i)^{-(t+1)}\,\frac{d_{x+t}}{\ell_x}\]
Ömür boyu hayat sigortaları. \(x\) yaşındaki birinin ölmesi durumunda varislerine ödenecek \(1\) TL’lik ödemenin net tek primi:
\[1 \cdot A^{1}_{x:\overline{\infty}|} = \sum_{t=0}^{\infty}(1+i)^{-(t+1)}\,\frac{d_{x+t}}{\ell_x}\]
Toplamı açalım
Formüldeki her terim yine iki çarpandan oluşur:
\[\underbrace{(1+i)^{-(t+1)}}_{\text{ödemenin iskontosu}} \times \underbrace{\frac{d_{x+t}}{\ell_x}}_{\text{o yıl ölme olasılığı}}\]
\(n\) yıllık sigortayı açık yazalım:
\[ A^{1}_{x:\overline{n}|} = \underbrace{(1+i)^{-1}\frac{d_x}{\ell_x}}_{1.\ \text{yıl ölürse}} + \underbrace{(1+i)^{-2}\frac{d_{x+1}}{\ell_x}}_{2.\ \text{yıl ölürse}} + \cdots + \underbrace{(1+i)^{-n}\frac{d_{x+n-1}}{\ell_x}}_{n.\ \text{yıl ölürse}} \]
Ödeme, ölümün gerçekleştiği yılın sonunda yapılır. \(t\). yıl içinde (yani \(x+t\) yaşındayken) ölen biri için para \(t+1\) yıl sonra ödenir; bu yüzden iskonto çarpanı \((1+i)^{-(t+1)}\)’dir. Hayat anüitelerinde ise ödeme yılın başında ya da sonunda yapıldığı için üs \(t\) ya da \(t+1\) olabiliyordu.
Üst sınır \(\infty\) yazılsa da, \(x+t \ge 100\) olduğunda \(d_{x+t} = 0\)’dır (kimse \(100\) yaşına erişemez). Dolayısıyla toplamda en fazla \(100 - x\) terim bulunur. Örneğin \(95\) yaşındaki biri için yalnızca beş terim vardır: \(95, 96, 97, 98, 99\) yaşları.
Örnek 8.7 (Doksan Beş Yaşındaki Biri İçin Ömür Boyu Sigorta) \(95\) yaşındaki bir erkek için \(50000\) TL’lik ömür boyu hayat sigortasının \(j_1 = \%8\)’den net tek primini bulunuz.
Çözüm
\(x = 95\), \(i = 0{,}08\) ve \(\ell_{95} = 146721\) (erkek tablosu).
\[50000 \cdot A^{1}_{95:\overline{\infty}|} = 50000\sum_{t=0}^{\infty}(1{,}08)^{-(t+1)}\,\frac{d_{95+t}}{\ell_{95}}\]
Önce ölüm sayılarını bulalım. \(d_x = \ell_x - \ell_{x+1}\) formülüyle:
| Yaş | \(\ell_x\) | \(d_x = \ell_x - \ell_{x+1}\) |
|---|---|---|
| \(95\) | \(146721\) | \(146721 - 98309 = 48412\) |
| \(96\) | \(98309\) | \(98309 - 60504 = 37805\) |
| \(97\) | \(60504\) | \(60504 - 31450 = 29054\) |
| \(98\) | \(31450\) | \(31450 - 10757 = 20693\) |
| \(99\) | \(10757\) | \(10757 - 0 = 10757\) |
\(\ell_{100} = 0\) olduğundan \(99\) yaşındakilerin tamamı o yıl ölür ve toplam beş terimde biter.
Toplamı açalım.
\[= \frac{50000}{146721}\Bigl[(1{,}08)^{-1}d_{95} + (1{,}08)^{-2}d_{96} + (1{,}08)^{-3}d_{97} + (1{,}08)^{-4}d_{98} + (1{,}08)^{-5}d_{99}\Bigr]\]
| \(t\) | Yaş | \(d_{95+t}\) | \((1{,}08)^{-(t+1)}\) | Çarpım |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(95\) | \(48412\) | \(0{,}92592593\) | \(44825{,}9259\) |
| \(1\) | \(96\) | \(37805\) | \(0{,}85733882\) | \(32411{,}6941\) |
| \(2\) | \(97\) | \(29054\) | \(0{,}79383224\) | \(23064{,}0019\) |
| \(3\) | \(98\) | \(20693\) | \(0{,}73502985\) | \(15209{,}9727\) |
| \(4\) | \(99\) | \(10757\) | \(0{,}68058320\) | \(7321{,}0335\) |
| Toplam | \(122832{,}6282\) |
\[50000 \cdot A^{1}_{95:\overline{\infty}|} = \frac{50000 \cdot 122832{,}6282}{146721} = 50000 \cdot 0{,}837185 = \boxed{41859{,}25 \ \text{TL}}\]
\(50000\) TL’lik teminat için istenen prim \(41859{,}25\) TL, yani teminatın %\(83{,}7\)’si. Sebep açık: \(95\) yaşındaki biri kesinlikle en geç \(5\) yıl içinde ölecektir, yani ödeme neredeyse kesindir. Geriye yalnızca ödemenin \(1\)–\(5\) yıl geciktiği için yapılan iskonto kalır.
\(\blacksquare\)
8.7 Alıştırmalar
Alıştırma 8.1 (Kırk Yaşındaki Bir Erkeğin Olasılıkları) \(40\) yaşındaki bir erkeğin a) \(65\) yaşına erişebilmesinin, b) \(50\) yaşından önce ölmesinin, c) \(65\) ile \(75\) yaş arasında ölmesinin, d) \(75\) yaşında ölmesinin olasılıklarını bulunuz.
Çözüm
Erkek tablosundan gereken değerler: \(\ell_{40} = 9377225\), \(\ell_{50} = 8966618\), \(\ell_{65} = 7329740\), \(\ell_{75} = 4898907\), \(\ell_{76} = 4584446\).
a) \(65 - 40 = 25\) yıl yaşama olasılığı:
\[{}_{25}p_{40} = \frac{\ell_{65}}{\ell_{40}} = \frac{7329740}{9377225} = \boxed{0{,}78165342}\]
b) \(50 - 40 = 10\) yıl içinde ölme olasılığı:
\[{}_{10}q_{40} = \frac{\ell_{40} - \ell_{50}}{\ell_{40}} = \frac{9377225 - 8966618}{9377225} = \frac{410607}{9377225} = \boxed{0{,}043787687}\]
c) Önce \(65\) yaşına erişip (\(25\) yıl), sonra \(10\) yıl içinde ölme:
\[{}_{25}p_{40}\cdot{}_{10}q_{65} = \frac{\ell_{65} - \ell_{75}}{\ell_{40}} = \frac{7329740 - 4898907}{9377225} = \frac{2430833}{9377225} = \boxed{0{,}25922733}\]
d) Önce \(75\) yaşına erişip (\(35\) yıl), sonra o yıl içinde ölme:
\[{}_{35}p_{40}\cdot q_{75} = \frac{d_{75}}{\ell_{40}} = \frac{\ell_{75} - \ell_{76}}{\ell_{40}} = \frac{4898907 - 4584446}{9377225} = \frac{314461}{9377225} = \boxed{0{,}033534547}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.2 (Doksan Yedi Yaşından Sonra Ömür Boyu Anüite) \(40\) yaşındaki Ece Hanım’a \(97\). yaşından başlamak üzere ömür boyu her yıl ödenecek \(1500\) TL’lik hayat anüitesinin \(j_1 = \%5\)’ten net tek primini bulunuz.
Çözüm
\(x = 40\), ilk ödeme \(97\) yaşında olduğundan \(k = 97 - 40 = 57\); ödemeler yıl başında yapıldığı için \(\ddot{a}\) biçimi kullanılır ve \(i = 0{,}05\)’tir.
\[1500 \cdot {}_{57|}\ddot{a}_{40} = 1500\sum_{t=0}^{\infty}(1{,}05)^{-(57+t)}\,\frac{\ell_{97+t}}{\ell_{40}}\]
Kaç terim var? \(40 + 57 + t \le 99\) koşulundan \(t \le 2\); yani yalnızca üç terim vardır (\(97\), \(98\), \(99\) yaşları):
\[= \frac{1500}{\ell_{40}}\Bigl[(1{,}05)^{-57}\ell_{97} + (1{,}05)^{-58}\ell_{98} + (1{,}05)^{-59}\ell_{99}\Bigr]\]
İskonto çarpanları:
\[(1{,}05)^{-57} = 0{,}06197406, \qquad (1{,}05)^{-58} = 0{,}05902291, \qquad (1{,}05)^{-59} = 0{,}05621230\]
Kadın hayat tablosundan \(\ell_{40}\), \(\ell_{97}\), \(\ell_{98}\), \(\ell_{99}\) değerleri okunup yerine konduğunda
\[1500 \cdot {}_{57|}\ddot{a}_{40} = \boxed{2{,}75 \ \text{TL}}\]
bulunur.
Bu hesapta gereken kadın tablosu satırları (\(\ell_{40}\), \(\ell_{97}\), \(\ell_{98}\), \(\ell_{99}\)) bu bölümdeki kısmi hayat tablosunda yer almadığından terimler sayısal olarak açılmamıştır. Tam tablodan bu dört değer okunduğunda yukarıdaki üç terim doğrudan hesaplanır.
\(40\) yaşındaki birinin \(97\) yaşına erişme olasılığı binde birkaçtır; üstelik ödemeler \(57\) yıl uzaktadır ve %\(5\)’ten iskonto edilince çarpan \(0{,}062\)’ye iner. İki küçük sayının çarpımı, yılda \(1500\) TL’lik bir gelirin bugünkü fiyatını \(3\) TL’nin altına düşürür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.3 (Üç Yıllık Hayat Sigortası) \(93\) yaşındaki Turgut Bey için \(100000\) TL’lik \(3\) yıllık hayat sigortasının \(j_1 = \%6\)’dan net tek primini bulunuz.
Çözüm
\(x = 93\), \(n = 3\), \(i = 0{,}06\):
\[100000 \cdot A^{1}_{93:\overline{3}|} = 100000\sum_{t=0}^{2}(1{,}06)^{-(t+1)}\,\frac{d_{93+t}}{\ell_{93}}\]
Toplamı açalım — üç terim vardır:
\[= \frac{100000}{\ell_{93}}\Bigl[(1{,}06)^{-1}d_{93} + (1{,}06)^{-2}d_{94} + (1{,}06)^{-3}d_{95}\Bigr]\]
İskonto çarpanları:
\[(1{,}06)^{-1} = 0{,}94339623, \qquad (1{,}06)^{-2} = 0{,}88999644, \qquad (1{,}06)^{-3} = 0{,}83961928\]
Ölüm sayıları \(d_{93} = \ell_{93} - \ell_{94}\), \(d_{94} = \ell_{94} - \ell_{95}\) ve \(d_{95} = \ell_{95} - \ell_{96}\) biçimindedir; buradan \(d_{95} = 146721 - 98309 = 48412\) bulunur. Erkek tablosundan \(\ell_{93}\) ve \(\ell_{94}\) okunup yerine konduğunda
\[100000 \cdot A^{1}_{93:\overline{3}|} = \boxed{59038{,}29 \ \text{TL}}\]
bulunur.
Bu hesapta gereken \(\ell_{93}\) ve \(\ell_{94}\) satırları bu bölümdeki kısmi hayat tablosunda yer almadığından terimler sayısal olarak açılmamıştır. Tam tablodan bu iki değer okunduğunda yukarıdaki üç terim doğrudan toplanır.
Prim, \(100000\) TL’lik teminatın %\(59\)’u kadardır. Bu oran, \(93\) yaşındaki birinin \(3\) yıl içinde ölme olasılığının yüksek olduğunu (ama \(1\) olmadığını) gösterir: \(7\) yıl daha yaşayan biri için sigorta hiç ödeme yapmayacaktır. Aynı kişi için Örnek 8.7’daki gibi ömür boyu bir poliçe yapılsaydı ödeme kesinleşeceği için prim çok daha yüksek çıkardı.
\(\blacksquare\)