9 Hisse Senetleri: Getiri ve Risk
Tahvil sahibi şirkete borç verir; hisse senedi sahibi ise şirkete ortak olur. Bu fark her şeyi değiştirir: tahvilin nakit akışı sözleşmeyle sabittir, hissenin getirisi ise belirsizdir. Bu yüzden dersin bu son kısmında yeni bir kavram devreye girer — risk.
Bölümün ilk yarısında hisse senedinin ne olduğunu ve getirisinin günlük, aylık, yıllık ve daha uzun süreler için nasıl ölçüldüğünü ele alıyoruz; temettü dağıtımı ile sermaye artırımı bu hesabı değiştiren iki olaydır. İkinci yarısında ise getirinin yanına riski koyuyoruz: bir ortalamanın ne kadar güvenilir olduğunu standart sapma ile ölçüyor ve bu sayıyı yorumlamayı öğreniyoruz.
9.1 Hisse Senedi Nedir?
Tanım 9.1 (Hisse Senedi (Pay)) Hisse senetleri (ya da paylar) anonim ortaklıklar tarafından çıkarılan, şirket sermayesine katılımı temsil eden ve yasal şekil şartlarına uygun olarak çıkarılan kıymetli evraklardır.
Hisse senetleri sahiplerine şu hakları sağlar: ortaklık hakkı, yönetime katılma (oy) hakkı, kâr payı (temettü) ve temettü avansı alma hakkı, rüçhan hakkı (yeni pay alma hakkı), bedelsiz pay alma hakkı, tasfiyeden pay alma hakkı, bilgi edinme hakkı.
Tanım 9.2 (Payların Türleri)
- Nama–hamiline yazılı paylar: Paylar nama (isme yazılı) ya da hamiline yazılı olarak çıkarılabilir.
- Adi–imtiyazlı paylar: Paylar esas sözleşmede aksine bir hüküm yoksa sahiplerine eşit haklar sağlarlar; bu tip paylara adi paylar denir. Bir kısım paylar ise adi paylara göre kâra katılmada, yönetim kuruluna üye seçiminde, oy hakkında ve benzeri konularda esas sözleşmeye dayanarak sahiplerine imtiyazlı haklar tanıyabilir. Bir anonim ortaklığın çeşitli imtiyazlara sahip payları bulunuyorsa bunlar farklı grup isimleriyle adlandırılırlar (A grubu, B grubu, C grubu gibi) ve borsada farklı işlem sıralarında işlem görürler.
- Primli–primsiz paylar: Üzerinde yazılı değer ile, diğer bir deyişle nominal değerden ihraç edilen paylara primsiz, nominal değerlerinden yüksek bir bedelle ihraç edilen paylara primli pay denir.
- Bedelli–bedelsiz paylar: Nakit/bedelli sermaye artırımı yoluyla ihraç edilen paylara bedelli pay, iç kaynaklardan sermaye artırımı yoluyla ihraç edilen paylara ise bedelsiz pay denir.
Payların zaman aşımı. Ortaklıkların sermayesini temsil eden payların bir mülkiyet senedi olması ve vade taşımaması nedeniyle zaman aşımı söz konusu değildir. Ayrıca ortaklıklar tarafından gerçekleştirilen bedelsiz sermaye artırımlarında da, sahip olunan pay oranında bedelsiz pay alma hakkının kullanılmasına ilişkin herhangi bir süre sınırlaması bulunmamaktadır. Ancak tasfiye bakiyesinden pay alma hakkı tasfiye tarihinden itibaren \(10\) yıllık zaman aşımına, kâr payı hakkı ise \(5\) yıllık zaman aşımına tabidir.
9.2 Getirinin Hesaplanması
Bir şirketin hisse senedinin getirisini hesaplamak için hisse senedinin borsa bültenlerindeki pazar değerleri bilinmelidir. Ayrıca şirketin sermaye artırımları ve temettü dağıtımı da takip edilmelidir.
Tanım 9.3 (Üç Getiri Kaynağı) Bir hisse senedine yatırım yapan bir kişi üç türlü gelir elde eder:
- Dönemsel olarak dağıtılan temettü (kâr payı). Anonim ortaklıkların yıl sonunda elde ettikleri kârın ortaklara dağıtılmasından elde edilen gelirdir. Hisseleri Borsa’da işlem gören anonim ortaklıklar kârını, Sermaye Piyasası Kurulu tarafından her yıl kamuya açıklanan oran ve esaslar çerçevesinde nakden veya temettünün sermayeye ilavesi suretiyle hisse ihraç ederek dağıtabilir.
- Şirketin sermaye artırımı nedeniyle hisse sahiplerine verdiği ek getiriler (bedelli ve bedelsiz hisse senetleri).
- Elde tutma dönemi sonunda hisse senedinin değerinde meydana gelen artıştan elde edilen gelir.
Bu üç tür getirinin hepsinin birden söz konusu olduğu en küçük dönemler aylık dönemlerdir. Bir hisse senedinin günlük getirisi hesaplanmak istenirse yalnız üçüncü getiri dikkate alınır.
Günlük getiri
Tanım 9.4 (Günlük Getiri) Hisse senedinin pazar değerinin bir günün sonundaki kapanış değeri ile bir gün evvelki kapanış değeri arasındaki farkın, bir gün önceki kapanış değerine oranına günlük getiri denir:
\[\text{Günlük getiri} = \frac{\text{O günkü kapanış değeri} - \text{Önceki günkü kapanış değeri}}{\text{Önceki günkü kapanış değeri}}\]
Örnek 9.1 (Günlük Getiri Oranları) Adana Çimento hisse senedinin günlük kapanış fiyatları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Günlük getiri oranlarını hesaplayınız.
| Günler | \(22\) Kasım \(2015\) | \(23\) Kasım \(2015\) | \(24\) Kasım \(2015\) | \(25\) Kasım \(2015\) |
|---|---|---|---|---|
| Kapanış değerleri (TL) | \(7{,}00\) | \(6{,}98\) | \(6{,}78\) | \(6{,}83\) |
Çözüm
\[23 \ \text{Kasım günlük getirisi} = \frac{6{,}98 - 7}{7} = -0{,}0029 = \boxed{-\%0{,}29}\]
\[24 \ \text{Kasım günlük getirisi} = \frac{6{,}78 - 6{,}98}{6{,}98} = -0{,}0287 = \boxed{-\%2{,}87}\]
\[25 \ \text{Kasım günlük getirisi} = \frac{6{,}83 - 6{,}78}{6{,}78} = 0{,}0074 = \boxed{\%0{,}74}\]
\(\blacksquare\)
Aylık getiri
Bir hisse senedinin aylık getiri oranı, o ay içinde temettü dağıtımı ve sermaye artırımı yapılıp yapılmadığına göre dört ayrı biçimde hesaplanır.
Tanım 9.5 (Aylık Getirinin Dört Hâli) 1) O ay içinde herhangi bir temettü ödemesi veya sermaye artırımı yapılmamışsa:
\[\text{Aylık getiri} = \frac{\text{O ayın kapanış değeri} - \text{Önceki ayın kapanış değeri}}{\text{Önceki ayın kapanış değeri}}\]
2) O ay içinde bir temettü (kâr payı) ödemesi yapılmışsa:
\[\text{Aylık getiri} = \frac{\text{O ayın kapanışı} - \text{Önceki ayın kapanışı} + \text{Temettü değeri}}{\text{Önceki ayın kapanış değeri}}\]
3) O ay içinde bir sermaye artırımı yapılmışsa:
\[\text{Aylık getiri} = \frac{\bigl(K_1 - K_0\bigr) + K_1(b + z) - f \cdot b}{K_0}\]
4) O ay içinde hem sermaye artırımı hem de temettü dağıtımı varsa:
\[\text{Aylık getiri} = \frac{\bigl(K_1 - K_0\bigr) + K_1(b + z) - f \cdot b + T}{K_0}\]
Burada \(K_1\) o ayın, \(K_0\) önceki ayın kapanış fiyatı; \(b\) bedelli hisse oranı, \(z\) bedelsiz hisse oranı, \(f\) rüçhan hakkı fiyatı ve \(T\) temettü değeridir.
Sermaye artırımında elinizdeki her hisse başına \(b + z\) oranında yeni hisse alırsınız; bunların piyasa değeri \(K_1(b+z)\)’dir — bu bir kazançtır. Buna karşılık bedelli hisseler bedava değildir: her biri için rüçhan hakkı fiyatı \(f\) ödersiniz, toplam \(f \cdot b\) — bu bir maliyettir. Bedelsiz hisseler için ödeme yapılmadığından \(z\) maliyet tarafında görünmez.
Buradaki temettü değeri, şirketin \(1\) TL nominal değerli (yani \(1\) adet) hisse senedine ödediği temettü tutarıdır.
Örnek 9.2 (Temettüsüz Aylık Getiri) Adana Çimento Sanayii T.A.Ş. hisse senedinin aylık kapanış fiyatları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aylık getiri oranlarını hesaplayınız.
| Aylar | Temmuz \(2015\) | Ağustos \(2015\) | Eylül \(2015\) | Ekim \(2015\) |
|---|---|---|---|---|
| Kapanış değerleri (TL) | \(6{,}74\) | \(6{,}43\) | \(6{,}26\) | \(6{,}57\) |
Çözüm
O aylarda temettü ya da sermaye artırımı olmadığından birinci formül kullanılır:
\[\text{Ağustos } 2015 = \frac{6{,}43 - 6{,}74}{6{,}74} = -0{,}0460 = \boxed{-\%4{,}6}\]
\[\text{Eylül } 2015 = \frac{6{,}26 - 6{,}43}{6{,}43} = -0{,}0264 = \boxed{-\%2{,}64}\]
\[\text{Ekim } 2015 = \frac{6{,}57 - 6{,}26}{6{,}26} = 0{,}0495 = \boxed{\%4{,}95}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 9.3 (Temettü Ödenen Ayın Getirisi) Aselsan Elektronik Sanayi ve Ticaret A.Ş. \(29\) Mayıs \(2015\) tarihinde \(1\) TL nominal değerli hisse senedi için \(0{,}13\) TL temettü dağıtmıştır. Nisan \(2015\) ve Mayıs \(2015\) aylık kapanış fiyatları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Mayıs ayı getiri oranını hesaplayınız.
| Aylar | Nisan \(2015\) | Mayıs \(2015\) |
|---|---|---|
| Kapanış değerleri (TL) | \(13{,}83\) | \(13{,}95\) |
Çözüm
İkinci formül kullanılır:
\[\text{Mayıs } 2015 = \frac{13{,}95 - 13{,}83 + 0{,}13}{13{,}83} = \frac{0{,}25}{13{,}83} = 0{,}0181 = \boxed{\%1{,}81}\]
Fiyat yalnızca \(0{,}12\) TL artmış olsa da, dağıtılan \(0{,}13\) TL temettü getiriyi iki katına çıkarmıştır. Temettü hesaba katılmasaydı getiri %\(0{,}87\) görünürdü.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.4 (Sermaye Artırımı Yapılan Ayın Getirisi) Şekerbank T.A.Ş. \(27\) Şubat \(2015\) tarihinde aşağıdaki gibi bir sermaye artırımı yapmıştır. Şubat \(2015\) ayının getirisini hesaplayınız.
| Ocak \(2015\) kapanış | Şubat \(2015\) kapanış | Bedelli hisse oranı | Bedelsiz hisse oranı | Rüçhan hakkı fiyatı |
|---|---|---|---|---|
| \(1{,}81\) | \(1{,}87\) | %\(5{,}06\) | %\(2{,}3\) | \(1\) |
Çözüm
Üçüncü formülde \(K_0 = 1{,}81\), \(K_1 = 1{,}87\), \(b = 0{,}0506\), \(z = 0{,}023\), \(f = 1\):
\[\text{Şubat ayı getirisi} = \frac{1{,}87 - 1{,}81 + \bigl[1{,}87 \cdot (0{,}0506 + 0{,}023)\bigr] - \bigl[1 \cdot 0{,}0506\bigr]}{1{,}81}\]
\[= \frac{0{,}06 + 0{,}137632 - 0{,}0506}{1{,}81} = \frac{0{,}147032}{1{,}81} = 0{,}0812 = \boxed{\%8{,}12}\]
Fiyat artışı tek başına %\(3{,}31\) getiri verirdi; kalan kısmı sermaye artırımından gelen bedava hisselerin değeridir.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.5 (Hem Temettü Hem Sermaye Artırımı) Adana Çimento Sanayii T.A.Ş. Mayıs \(1998\) ayı içinde hem temettü dağıtmış hem de sermaye artırımı yapmıştır. Mayıs ayı getirisini hesaplayınız.
| Nisan \(1998\) kapanış | Mayıs \(1998\) kapanış | Bedelli hisse oranı | Bedelsiz hisse oranı | Rüçhan hakkı fiyatı | Temettü |
|---|---|---|---|---|---|
| \(0{,}07\) | \(0{,}06\) | %\(44\) | %\(71\) | \(1\) | \(1{,}01\) |
Çözüm
Dördüncü formülde \(K_0 = 0{,}07\), \(K_1 = 0{,}06\), \(b = 0{,}44\), \(z = 0{,}71\), \(f = 1\), \(T = 1{,}01\):
\[\text{Mayıs ayı getirisi} = \frac{0{,}06 - 0{,}07 + 0{,}06(0{,}44 + 0{,}71) - 1 \cdot 0{,}44 + 1{,}01}{0{,}07}\]
\[= \frac{-0{,}01 + 0{,}069 - 0{,}44 + 1{,}01}{0{,}07} = \frac{0{,}629}{0{,}07} = 8{,}9857 = \boxed{\%898{,}57}\]
Getirinin %\(898\) çıkmasının sebebi, \(1\) TL nominal değerli hisse başına dağıtılan \(1{,}01\) TL temettünün, hissenin \(0{,}07\) TL’lik piyasa fiyatının on dört katı olmasıdır. Bu, nominal değer ile piyasa fiyatının birbirinden çok uzaklaştığı dönemlere özgü bir durumdur; formül doğru çalışmakta, sonuç yalnızca verinin kendisini yansıtmaktadır.
\(\blacksquare\)
Yıllık ve daha uzun süreli getiri
Tanım 9.6 (Yıllık Getiri) Bir hisse senedinin yıllık getirisini hesaplamak için önce \(12\) aylık getiri hesaplanır. Sonra bu getirilerin her birine \(1\) sayısı eklenir. Elde edilen sayılar birbirleriyle çarpılır. Çarpım sonucu elde edilen sayıdan \(1\) çıkarılarak yıllık getiri oranı bulunur:
\[\text{Yıllık getiri} = (1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_{12}) - 1\]
Aylık getiriler birbirinin üzerine biner: ikinci ayın yüzdesi, birinci ay sonundaki (değişmiş) sermaye üzerinden işler. Bu tam olarak bileşik faiz mantığıdır. Toplasaydık, %\(50\) kazanıp sonra %\(50\) kaybeden bir hissenin yıl sonunda başa baş olduğunu söylerdik; oysa gerçekte \(1{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75\), yani %\(25\) zarardadır.
Örnek 9.6 (Bir Yılın Getirisi) Çukurova Elektrik A.Ş. hisse senedinin \(1996\) yılına ait aylık getirileri aşağıdaki gibidir. Yıllık getiri oranını hesaplayınız.
| Ock | Şbt | Mrt | Nsn | Mys | Haz | Tem | Ağst | Eyl | Ekm | Ksm | Arlk | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Getiriler | \(-0{,}15\) | \(0{,}33\) | \(-0{,}18\) | \(0{,}18\) | \(0{,}27\) | \(0{,}27\) | \(0{,}02\) | \(0{,}00\) | \(0{,}03\) | \(0{,}12\) | \(0{,}33\) | \(0{,}27\) |
| \(+1\) | \(0{,}85\) | \(1{,}33\) | \(0{,}82\) | \(1{,}18\) | \(1{,}27\) | \(1{,}27\) | \(1{,}02\) | \(1{,}00\) | \(1{,}03\) | \(1{,}12\) | \(1{,}33\) | \(1{,}27\) |
Çözüm
İkinci satırdaki on iki sayı çarpılır:
\[0{,}85 \cdot 1{,}33 \cdot 0{,}82 \cdot 1{,}18 \cdot 1{,}27 \cdot 1{,}27 \cdot 1{,}02 \cdot 1{,}00 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}12 \cdot 1{,}33 \cdot 1{,}27 = 3{,}51\]
\[\text{1996 yılı getiri oranı} = 3{,}51 - 1 = 2{,}51 = \boxed{\%251}\]
Çukurova Elektrik hisse senedinin \(1995\) yılının en son gününün kapanış değeri \(0{,}04\) TL’dir. Bu durumda \(1996\) yılında bir hisse senedinden elde edilen kâr
\[0{,}04 \cdot 2{,}51 = \boxed{0{,}10 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
Tanım 9.7 (Uzun Süreli Getiri) Bir hisse senedinin yıllık getirileri yardımıyla daha uzun süreler için getiriler hesaplanabilir. Bunun için yıllık getirilerin her birine \(1\) eklenir, çıkan sayılar birbirleriyle çarpılır ve elde edilen sayıdan \(1\) çıkarılır.
Örnek 9.7 (Dokuz Yıllık Getiri) Türkiye İş Bankası C hisse senedinin \(1988\)–\(1996\) yılları arasındaki getirisini hesaplayalım.
| \(1988\) | \(1989\) | \(1990\) | \(1991\) | \(1992\) | \(1993\) | \(1994\) | \(1995\) | \(1996\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Yıllık getiri | \(-0{,}40\) | \(2{,}70\) | \(2{,}80\) | \(-0{,}44\) | \(-0{,}31\) | \(12{,}55\) | \(-0{,}34\) | \(1{,}74\) | \(2{,}34\) |
| \(+1\) | \(0{,}60\) | \(3{,}70\) | \(3{,}80\) | \(0{,}56\) | \(0{,}69\) | \(13{,}55\) | \(0{,}66\) | \(2{,}74\) | \(3{,}34\) |
Çözüm
\[0{,}60 \cdot 3{,}70 \cdot 3{,}80 \cdot 0{,}56 \cdot 0{,}69 \cdot 13{,}55 \cdot 0{,}66 \cdot 2{,}74 \cdot 3{,}34 = 266{,}78\]
\[\text{Getiri} = 266{,}78 - 1 = \boxed{265{,}78}\]
Türkiye İş Bankası C hisse senedinin \(1987\) yılının son gününün kapanış fiyatı \(510\) TL’dir. Bu durumda \(9\) yıl sonra bir hisse senedinden elde edilen kâr
\[510 \cdot 265{,}78 = \boxed{135547{,}80 \ \text{TL}}\]
\(\blacksquare\)
9.3 İstatistik Hatırlatmaları
Bir hisse senedinin geçmiş getirilerine bakıp “ortalama %\(183\) kazandırmış” demek, hikâyenin yarısıdır. Diğer yarısı şudur: bu ortalama, birbirine yakın sayıların ortalaması mı, yoksa \(-24\) ile \(748\) arasında savrulan sayıların mı? İkinci durumda gelecek yıl için verilen “%\(183\)” tahmini çok daha güvensizdir. İşte bu savrulmanın ölçüsüne risk diyoruz ve onu standart sapma ile ölçüyoruz.
Aşağıdaki formüller hisse senetlerinin risklerini hesaplarken kullanılacaktır.
Tanım 9.8 (Örnek İstatistikleri) \(x_1, x_2, \dots, x_n\) örnek değerleri için
\[\text{(Örnek Ortalaması)} \qquad \overline{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i}{n}\]
\[\text{(Varyans)} \qquad SS_x^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n-1}\]
\[\text{(Standart Sapma)} \qquad SS_x = \sqrt{SS_x^2}\]
\(x_1, \dots, x_n\) ve \(y_1, \dots, y_n\) örnek değerleri için
\[\text{($x$ ve $y$'nin kovaryansı)} \qquad \operatorname{cov}(x,y) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{n}\]
\[\text{($x$ ve $y$'nin korelasyon katsayısı)} \qquad k_{x,y} = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{SS_x \cdot SS_y}\]
Varyansta \(n\) yerine \(n-1\)’e bölünmesinin sebebi, elimizdekinin bütün geçmiş değil bir örnek olmasıdır. Ortalamayı da aynı veriden tahmin ettiğimiz için sapmalar bir miktar “küçük” çıkar; \(n-1\)’e bölmek bu yanlılığı düzeltir. Kovaryansta ise bu derste \(n\)’e bölünmektedir.
9.4 Riskin Hesaplanması
Tanım 9.9 (Bir Hisse Senedinin Riski) Bir hisse senedinin riski, geçmişteki getirilerinin ortalama değerlerinden ne kadar saptığının bir ölçüsüdür. Eğer hisse senedinin geçmişteki getirilerinin ortalama değerinden sapmaları fazla ise hisse senedinin riski büyüktür denir. Hisse senetlerinin riski standart sapma ile ölçülür.
Bir hisse senedinin riskinin bilinmesi, o hisse senedine yatırım yapılması için karar verilmesi bakımından önemlidir.
- Aksi söylenmedikçe ortalama tam sayıya yuvarlanacaktır.
- Varyans hesaplanırken virgülden sonra ikinci basamağa yuvarlanacaktır.
- Standart sapma, yuvarlanmış varyansın karekökü alınarak bulunur ve yine ikinci basamağa yuvarlanır.
Örnek 9.8 (Sekiz Yıllık Getiriden Risk Hesabı) Bir \(A\) hisse senedinin \(8\) yıllık getirilerinin değerleri aşağıdaki gibi verilmiş olsun. Bu hisse senedinin riskini bulunuz.
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | \(5\).yıl | \(6\).yıl | \(7\).yıl | \(8\).yıl | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Getiri (yüzde) | \(20\) | \(30\) | \(00\) | \(-10\) | \(15\) | \(25\) | \(10\) | \(-10\) |
Çözüm
Adım 1: Ortalama getiri.
\[\overline{x} = \frac{20 + 30 + 00 + (-10) + 15 + 25 + 10 + (-10)}{8} = \frac{80}{8} = 10\]
Adım 2: Farklar ve kareleri. Her yılın getirisinin ortalamadan farkı hesaplanır, farkların kareleri bulunur ve toplanır:
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | \(5\).yıl | \(6\).yıl | \(7\).yıl | \(8\).yıl | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Getiri (yüzde) | \(20\) | \(30\) | \(00\) | \(-10\) | \(15\) | \(25\) | \(10\) | \(-10\) |
| Ortalama getiri | \(10\) | \(10\) | \(10\) | \(10\) | \(10\) | \(10\) | \(10\) | \(10\) |
| Fark | \(10\) | \(20\) | \(-10\) | \(-20\) | \(5\) | \(15\) | \(00\) | \(-20\) |
| Fark\(^2\) | \(100\) | \(400\) | \(100\) | \(400\) | \(25\) | \(225\) | \(00\) | \(400\) |
Adım 3: Varyans. Elde edilen toplam, yıl sayısının bir eksiğine bölünür:
\[SS_x^2 = \frac{100 + 400 + 100 + 400 + 25 + 225 + 00 + 400}{8 - 1} = \frac{1650}{7} = 235{,}71\]
Adım 4: Standart sapma.
\[SS_x = \sqrt{235{,}71} = 15{,}35\]
Bu sonuca göre hisse senedinin riski yüzde \(15{,}35\)’tir, yani \(0{,}1535\).
\(\blacksquare\)
9.5 Standart Sapma Kullanarak Risk Hakkında Yorum Yapmak
Standart sapma yalnızca bir sayı değildir; gelecek yılın getirisi hakkında olasılık ifadeleri kurmamızı sağlar.
Tanım 9.10 (Standart Sapma Bantları)
- Bir hisse senedinin yıllık getirilerinin \(\frac{2}{3}\)’ü, ortalama değerin \(1\) \(SS\) yukarısı ile \(1\) \(SS\) aşağısı arasındadır.
- Yıllık getirinin ortalamanın \(2\) \(SS\) yukarısı ile \(2\) \(SS\) aşağısı arasında olma şansı \(\frac{21}{22}\)’dir.
- Yıllık getirinin ortalamanın \(3\) \(SS\) yukarısı ile \(3\) \(SS\) aşağısı arasında olma şansı \(\frac{738}{740}\)’tır.
\(A\) hissesi için (\(\overline{x} = 10\), \(SS = 15{,}35\)) bantlar şöyledir:
Bantların sol kuyruğu bizi özellikle ilgilendirir; çünkü orası “kaybetme” tarafıdır. Bandın dışında kalma olasılığı iki kuyruğa eşit dağıldığından, sol kuyruğun olasılığı bunun yarısıdır:
| Bant | Aralık | İçinde kalma | Bir kuyruk |
|---|---|---|---|
| \(1\) \(SS\) | \(-5{,}35\) ile \(25{,}35\) | \(\frac{2}{3}\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(2\) \(SS\) | \(-20{,}70\) ile \(40{,}70\) | \(\frac{21}{22}\) | \(\frac{1}{44}\) |
| \(3\) \(SS\) | \(-36{,}05\) ile \(56{,}05\) | \(\frac{738}{740}\) | \(\frac{1}{740}\) |
Yani \(A\) hissesi için gelecek yıl getirinin \(-5{,}35\)’ten küçük olma şansı \(\frac{1}{6}\)’dır; bu, hissenin gelecek yıl içinde yüzde \(5{,}35\)’ten daha çok kaybettirme şansının \(\frac{1}{6}\) olduğunu gösterir. Benzer biçimde getirinin \(-20{,}70\)’ten küçük olma şansı \(\frac{1}{44}\), \(-36{,}05\)’ten küçük olma şansı \(\frac{1}{740}\)’tır.
Aynı sonuçları şöyle de yorumlayabiliriz:
- Daha sonraki yılda %\(5{,}35\) veya daha fazla kaybetme şansı \(6\) yılda bir olabilir.
- Daha sonraki yılda %\(20{,}70\) veya daha fazla kaybetme şansı \(44\) yılda bir olabilir.
- Daha sonraki yılda %\(36{,}05\) veya daha fazla kaybetme şansı \(740\) yılda bir olabilir.
Örnek 9.9 (Arçelik Hissesinin Riski) Arçelik hisse senedinin \(1986\)–\(1995\) yılları arasındaki yıllık getiri oranları aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre bu hisse senedinin riski nedir? Standart sapmaları kullanarak kaybetme olasılıklarını yorumlayınız.
Çözüm
| Yıllar | \(1986\) | \(1987\) | \(1988\) | \(1989\) | \(1990\) | \(1991\) | \(1992\) | \(1993\) | \(1994\) | \(1995\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Getiri % | \(222\) | \(219\) | \(-24\) | \(748\) | \(68\) | \(175\) | \(-16\) | \(403\) | \(48\) | \(-12\) |
| Ort. | \(183\) | \(183\) | \(183\) | \(183\) | \(183\) | \(183\) | \(183\) | \(183\) | \(183\) | \(183\) |
| Fark | \(39\) | \(36\) | \(-207\) | \(565\) | \(-115\) | \(-8\) | \(-199\) | \(220\) | \(-135\) | \(-195\) |
| Fark\(^2\) | \(1521\) | \(1296\) | \(42849\) | \(319225\) | \(13225\) | \(64\) | \(39601\) | \(48400\) | \(18225\) | \(38025\) |
Ortalama. Getirilerin toplamı \(1831\) olduğundan
\[\overline{x} = \frac{1831}{10} = 183{,}1 \approx 183.\]
Varyans.
\[SS_x^2 = \frac{1521 + 1296 + 42849 + 319225 + 13225 + 64 + 39601 + 48400 + 18225 + 38025}{10-1} = \frac{522431}{9} = 58047{,}89\]
Risk (standart sapma).
\[SS_x = \sqrt{58047{,}89} = \boxed{240{,}93}\]
Yorum. Bantların alt uçları:
\[183 - 240{,}93 = -57{,}93, \qquad 183 - 2(240{,}93) = -298{,}86, \qquad 183 - 3(240{,}93) = -539{,}79\]
Buna göre \(1996\) yılında %\(57{,}93\)’ten daha çok kaybetme şansı \(\frac{1}{6}\), %\(298{,}86\)’dan daha çok kaybetme şansı \(\frac{1}{44}\), %\(539{,}79\)’dan daha çok kaybetme şansı ise \(\frac{1}{740}\)’tır.
\(1986\)–\(1995\) dönemi Türkiye’de çok yüksek enflasyonun yaşandığı yıllardır; nominal getiriler de buna paralel olarak yüzlerce puanla ifade edilir. Riskin ortalamadan büyük çıkması (\(240{,}93 > 183\)), bantların alt ucunun eksiye taşmasına, yani kaybetme ihtimalinin ciddi olmasına yol açar.
\(\blacksquare\)
9.6 Alıştırma
Alıştırma 9.1 (Eczacıbaşı Yatırım Hissesinin Riski) Eczacıbaşı Yatırım hisse senedinin \(1986\)–\(1995\) yılları arasındaki yıllık getiri oranları aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre bu hisse senedinin riski nedir? Standart sapmaları kullanarak kaybetme olasılıklarını yorumlayınız.
| Yıllar | \(1986\) | \(1987\) | \(1988\) | \(1989\) | \(1990\) | \(1991\) | \(1992\) | \(1993\) | \(1994\) | \(1995\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Getiri (%) | \(32\) | \(346\) | \(-35\) | \(1199\) | \(1063\) | \(146\) | \(-53\) | \(251\) | \(-7\) | \(64\) |
Çözüm
Adım 1: Ortalama. Getirilerin toplamı
\[32 + 346 - 35 + 1199 + 1063 + 146 - 53 + 251 - 7 + 64 = 3006\]
\[\overline{x} = \frac{3006}{10} = 300{,}6 \approx 301\]
Adım 2: Farklar ve kareleri.
| Yıllar | \(1986\) | \(1987\) | \(1988\) | \(1989\) | \(1990\) | \(1991\) | \(1992\) | \(1993\) | \(1994\) | \(1995\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Getiri (%) | \(32\) | \(346\) | \(-35\) | \(1199\) | \(1063\) | \(146\) | \(-53\) | \(251\) | \(-7\) | \(64\) |
| Ort. | \(301\) | \(301\) | \(301\) | \(301\) | \(301\) | \(301\) | \(301\) | \(301\) | \(301\) | \(301\) |
| Fark | \(-269\) | \(45\) | \(-336\) | \(898\) | \(762\) | \(-155\) | \(-354\) | \(-50\) | \(-308\) | \(-237\) |
| Fark\(^2\) | \(72361\) | \(2025\) | \(112896\) | \(806404\) | \(580644\) | \(24025\) | \(125316\) | \(2500\) | \(94864\) | \(56169\) |
Adım 3: Varyans.
\[SS_x^2 = \frac{72361 + 2025 + 112896 + 806404 + 580644 + 24025 + 125316 + 2500 + 94864 + 56169}{10 - 1}\]
\[= \frac{1877204}{9} = 208578{,}22\]
Adım 4: Risk.
\[SS_x = \sqrt{208578{,}22} = \boxed{456{,}70}\]
Adım 5: Yorum. Bantların alt uçları:
\[301 - 456{,}70 = -155{,}70, \qquad 301 - 2(456{,}70) = -612{,}40, \qquad 301 - 3(456{,}70) = -1069{,}10\]
Buna göre \(1996\) yılında
- %\(155{,}70\)’ten daha çok kaybetme şansı \(\frac{1}{6}\) (yani \(6\) yılda bir),
- %\(612{,}40\)’tan daha çok kaybetme şansı \(\frac{1}{44}\) (yani \(44\) yılda bir),
- %\(1069{,}10\)’dan daha çok kaybetme şansı \(\frac{1}{740}\) (yani \(740\) yılda bir)
olarak yorumlanır.
Eczacıbaşı Yatırım’ın ortalama getirisi (%\(301\)) Arçelik’ten (%\(183\)) yüksek; ama riski de yüksek (\(456{,}70\)’e karşı \(240{,}93\)). Yani daha çok kazandırırken daha çok savrulmuştur. İki hisseden hangisinin “daha iyi” olduğu, yatırımcının ne kadar risk göze aldığına bağlıdır — bir sonraki bölümün ana sorusu budur.
\(\blacksquare\)