10 En Az Riskli Portföyün Oluşturulması
Tek bir hisseye yatırım yapmak, bütün yumurtaları aynı sepete koymaktır. Peki iki hisseyi karıştırırsak ne olur? Getiri, paylarla orantılı olarak ortalamalanır — bu beklenen bir sonuç. Ama risk için aynı şey geçerli değildir: doğru seçilmiş bir karışımın riski, iki hissenin risklerinin ortalamasından küçük, hatta ikisinden de küçük olabilir.
Bu bölümde önce iki hisseli portföyleri somut sayılarla inceliyor, sonra hisse sayısını üçe çıkarıyoruz. Hesabın büyüklüğü değişir, mantığı değişmez: bütün karışımların getiri ve riski hesaplanır, aralarından yatırımcının ölçütüne uyan seçilir.
10.1 Korelasyon ve Portföyün Amacı
Bir hisse senedi yerine, uygun bir biçimde seçilmiş çeşitli hisseleri içeren bir portföye yatırım yapmak daha uygundur. Bu şekilde getiri oranı artırılıp risk azaltılabilir. Bunu sağlamak için aralarında korelasyon (ilgi) olmayan varlıklar seçilmelidir.
Tanım 10.1 (Korelasyon)
- İki hissenin getirileri birbirlerini etkilemiyorsa bu hisseler arasında korelasyon yoktur denir.
- Eğer iki hissenin getirisi birbirini etkiliyorsa, yani biri artarken diğeri de artıyorsa, aralarında pozitif (olumlu) korelasyon vardır denir.
- Eğer birinin getirisi artarken diğerininki azalıyorsa, aralarında negatif (ters) korelasyon vardır denir.
Gerçek dünyada aralarında korelasyon olmayan varlıklar bulunabilir. Bununla beraber aralarında uzun vadede negatif korelasyon olan varlıklar yoktur.
Amaç, aynı riske sahip olup en yüksek getiriyi veren karışımı bulmaktır. Bunu sağlamak için aralarında korelasyon olmayan veya az korelasyon olan hisselerden portföy oluşturulmalıdır. İki hisse zıt yönlerde hareket ettiği anlarda birinin kaybı diğerinin kazancıyla kapanır; portföyün getirisi böylece daha az savrulur ve standart sapma düşer.
10.2 Yüksek Korelasyonlu İki Hisse
Örnek 10.1 (Dört Yıllık İki Hisseden Portföyler) \(A\) ve \(B\) gibi iki hisse senedinin \(4\) yıl için getirileri aşağıdaki şekilde verilmiş olsun. Bu hisse senetlerinden %\(25\)’lik paylar ile portföyler oluşturup, o portföylerin ortalama getirilerini ve risklerini hesaplayıp sonuçları bir tabloda gösteriniz, risk–getiri grafiğini oluşturunuz.
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | |
|---|---|---|---|---|
| \(A\)’nın getiri oranları (%) | \(30\) | \(30\) | \(-10\) | \(-10\) |
| \(B\)’nin getiri oranları (%) | \(10\) | \(0\) | \(10\) | \(0\) |
Çözüm
Her portföyün yıllık getirisi, iki hissenin o yılki getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır. Örneğin %\(75A + \%25B\) portföyünün \(1\). yıl getirisi
\[0{,}75 \cdot 30 + 0{,}25 \cdot 10 = 22{,}5 + 2{,}5 = 25{,}00\]
olur. Beş portföyün dört yıllık getirileri, ortalamaları ve riskleri şöyledir:
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | Ortalama | Varyans | \(SS\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| %\(100A\) + %\(0B\) | \(30{,}00\) | \(30{,}00\) | \(-10{,}00\) | \(-10{,}00\) | \(10\) | \(533{,}33\) | \(23{,}09\) |
| %\(75A\) + %\(25B\) | \(25{,}00\) | \(22{,}50\) | \(-5{,}00\) | \(-7{,}50\) | \(9\) | \(302{,}17\) | \(17{,}38\) |
| %\(50A\) + %\(50B\) | \(20{,}00\) | \(15{,}00\) | \(0{,}00\) | \(-5{,}00\) | \(8\) | \(142{,}00\) | \(11{,}92\) |
| %\(25A\) + %\(75B\) | \(15{,}00\) | \(7{,}50\) | \(5{,}00\) | \(-2{,}50\) | \(6\) | \(52{,}17\) | \(7{,}22\) |
| %\(0A\) + %\(100B\) | \(10{,}00\) | \(0{,}00\) | \(10{,}00\) | \(0{,}00\) | \(5\) | \(33{,}33\) | \(5{,}77\) |
İkinci satırın nasıl hesaplandığını görelim: getiriler \(25{,}00\); \(22{,}50\); \(-5{,}00\); \(-7{,}50\) olduğundan ortalama
\[\frac{25 + 22{,}5 - 5 - 7{,}5}{4} = \frac{35}{4} = 8{,}75 \approx 9\]
olur. Farkların kareleri toplamı
\[ \begin{aligned} 16^2 + 13{,}5^2 + 14^2 + 16{,}5^2 &= 256 + 182{,}25 + 196 + 272{,}25 \\ &= 906{,}5 \end{aligned} \]
olduğundan
\[SS^2 = \frac{906{,}5}{3} = 302{,}17, \qquad SS = \sqrt{302{,}17} = 17{,}38\]
bulunur.
Yukarıdaki tablonun ortalama ve standart sapma değerlerini aşağıdaki risk–getiri grafiğinde de görebiliriz. Bu değerlere göre, getiri arttıkça riskin de arttığını görmekteyiz.
Grafik soldan sağa düzgün yükseliyor; yani her ek getiri, ek riskle satın alınıyor. Sebep, iki hissenin getirilerinin birbirine ters düşmemesidir: \(A\) kötü giderken \(B\) ancak “az iyi” gidiyor. Bir sonraki örnekte, getirileri gerçekten farklı yönlerde savrulan iki hisse ile çok daha ilginç bir grafik elde edeceğiz.
\(\blacksquare\)
10.3 Çeşitlendirmenin İşe Yaradığı Durum
Örnek 10.2 (Yüzde Onluk Paylarla Portföyler) \(A\) ve \(B\) hisse senetlerinden %\(10\)’luk paylar ile portföy oluşturarak getirinin ve riskin nasıl değiştiğini inceleyiniz. Bunun için \(1991\)–\(1995\) yılları arasındaki \(6\)’şar aylık dönemlerin getirilerini göz önüne alalım.
| \(1991\)-\(1\) | \(1991\)-\(2\) | \(1992\)-\(1\) | \(1992\)-\(2\) | \(1993\)-\(1\) | \(1993\)-\(2\) | \(1994\)-\(1\) | \(1994\)-\(2\) | \(1995\)-\(1\) | \(1995\)-\(2\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A\) (%) | \(155\) | \(50\) | \(2\) | \(80\) | \(190\) | \(74\) | \(10\) | \(35\) | \(36\) | \(-34\) |
| \(B\) (%) | \(-23\) | \(-37\) | \(415\) | \(-27\) | \(76\) | \(118\) | \(-52\) | \(6\) | \(45\) | \(17\) |
Çözüm
Yukarıdaki veriler yardımıyla aşağıdaki tablo elde edilir:
| Ort. | Varyans | \(SS\) | \(-1SS\) | \(+1SS\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| %\(100A\) + %\(0B\) | \(60\) | \(4724{,}67\) | \(68{,}74\) | \(-8{,}74\) | \(128{,}74\) |
| %\(90A\) + %\(10B\) | \(59\) | \(3716{,}34\) | \(60{,}96\) | \(-1{,}96\) | \(119{,}96\) |
| %\(80A\) + %\(20B\) | \(59\) | \(3248{,}62\) | \(\mathbf{57{,}00}\) | \(2{,}00\) | \(116{,}00\) |
| %\(70A\) + %\(30B\) | \(58\) | \(3321{,}06\) | \(57{,}63\) | \(0{,}37\) | \(115{,}63\) |
| %\(60A\) + %\(40B\) | \(57\) | \(3934{,}31\) | \(62{,}72\) | \(-5{,}72\) | \(119{,}72\) |
| %\(50A\) + %\(50B\) | \(57\) | \(5087{,}72\) | \(71{,}33\) | \(-14{,}33\) | \(128{,}33\) |
| %\(40A\) + %\(60B\) | \(56\) | \(6781{,}73\) | \(82{,}35\) | \(-26{,}35\) | \(138{,}35\) |
| %\(30A\) + %\(70B\) | \(56\) | \(9016{,}34\) | \(94{,}95\) | \(-38{,}95\) | \(150{,}95\) |
| %\(20A\) + %\(80B\) | \(55\) | \(11791{,}11\) | \(108{,}59\) | \(-53{,}59\) | \(163{,}59\) |
| %\(10A\) + %\(90B\) | \(54\) | \(15106{,}70\) | \(122{,}91\) | \(-68{,}91\) | \(176{,}91\) |
| %\(0A\) + %\(100B\) | \(54\) | \(18962{,}44\) | \(137{,}70\) | \(-83{,}70\) | \(191{,}70\) |
Yukarıdaki sonuçlara göre riski en az olan portföy \(3\). satırdaki %\(80A\) + %\(20B\) portföyüdür. Buna göre bir yatırımcı \(1995\) yılının sonunda elindeki paranın %\(80\)’ini \(A\) hissesine, %\(20\)’sini \(B\) hissesine yatırsaydı \(1996\) yılının ilk \(6\) aylık döneminde elde edeceği ortalama getiri %\(59\) ve bunun riski %\(57\) olacaktı.
Bu sonucu \(1\) standart sapmaya göre yorumlarsak: \(1996\) yılının ilk \(6\) ayında %\(2\)’den daha az kâr etme veya zarar etme şansı \(\frac{1}{6}\)’dır, %\(2\) ile %\(116\) arasında getiri elde etme şansı \(\frac{2}{3}\)’tür ve %\(116\)’dan daha fazla getiri elde etme şansı \(\frac{1}{6}\)’dır.
Bu kez eğri düz değil, sola doğru bir burun yapıyor. En sol nokta (%\(80A\) + %\(20B\)) hem tek başına \(A\)’dan hem de tek başına \(B\)’den daha az risklidir — üstelik getirisi \(B\)’ninkinden yüksektir. Bu, çeşitlendirmenin ilk somut kazancıdır ve iki hissenin farklı dönemlerde iyi/kötü gitmesinden kaynaklanır: \(1992\)-\(1\) döneminde \(A\) yalnızca %\(2\) getirirken \(B\) %\(415\) getirmiştir.
Yukarıdaki tablodan başka bir portföy seçsek riskin arttığını görürüz. Bazılarında risk artmasına rağmen getiri azalmaktadır (eğrinin alt kolu). Burada seçilecek risk oranı yatırımcının tercihine kalmaktadır; seçilen risk oranına karşı getirinin en büyük olması için eğrinin üst tarafında kalan noktalar seçilmelidir.
Eğer yatırımcının amacı bu iki hisse senedinden en yüksek getiri oranına sahip portföye yatırım yapmak ise, parasının tamamını \(A\) hisse senedine yatırmalıdır. Eğer amacı riski düşük bir portföy oluşturmak ise %\(80A\) + %\(20B\) portföyüne yatırım yapmalıdır. Eğer göze aldığı bir risk oranı var ise, örneğin %\(70\) olsun, bu durumda yatırımcı oluşturulan portföylerin riski en fazla %\(70\) olanlar arasından getiri oranı en fazla olanı tercih etmelidir.
Bazı durumlarda ise getirilerdeki değişiklik oranlarına karşılık ilgili risklerdeki değişiklik oranlarının karşılaştırılması da karar vermede faydalı olabilir.
\(\blacksquare\)
10.4 İkiden Daha Fazla Hisse Senedinden Portföy
İki hisse ile çalışırken tek bir korelasyona bakmak yetiyordu. Hisse sayısı arttıkça hesap hızla büyür — ama getirisi de büyür: çeşitlendirme, portföy riskini tek tek hisselerin riskinin çok altına indirebilir.
İkiden daha fazla hisse senedinden en az riskli portföyü oluşturmak için biraz daha fazla işlem yapmak gerekir. Hisse senedi sayısı arttıkça optimal portföyü bulmak için daha fazla sayıda işlem yapmak gerekmektedir. Çünkü
- \(2\) hisse senedi için \(1\) korelasyon,
- \(3\) hisse senedi için \(3\) korelasyon,
- \(4\) hisse senedi için \(6\) korelasyon
hesaplanması gerekmektedir.
\(n\) hisse arasında hesaplanacak korelasyon sayısı, \(n\) elemandan \(2\)’li seçim sayısıdır:
\[\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.\]
\(n = 2\) için \(1\), \(n = 3\) için \(3\), \(n = 4\) için \(6\), \(n = 10\) için \(45\), \(n = 50\) için \(1225\) eder. Sayı karesel büyüdüğü için belli bir noktadan sonra el ile hesap imkânsızlaşır; bilgisayar kullanmak zorunlu olur.
Örnek 10.3 (Üç Hisseden Portföyler) \(A\), \(B\) ve \(C\) hisse senetleri için \(1996\)–\(1997\) yılları arasındaki \(3\)’er aylık getiri verileri aşağıdaki tabloda verilmiştir. %\(25\)’lik paylar ile portföyler oluşturarak
a) En büyük getiriye sahip portföyü, b) En düşük riske sahip portföyü, c) %\(30\) risk göze alınmışsa tercih edilmesi gereken portföyü, d) \(\frac{2}{3}\) ihtimal ile kaybetmeyeceğiniz en iyi portföyü belirleyiniz.
| \(1996\)-\(1\) | \(1996\)-\(2\) | \(1996\)-\(3\) | \(1996\)-\(4\) | \(1997\)-\(1\) | \(1997\)-\(2\) | \(1997\)-\(3\) | \(1997\)-\(4\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A\)’nın getiri oranları (%) | \(26\) | \(22\) | \(20\) | \(20\) | \(17\) | \(16\) | \(19\) | \(21\) |
| \(B\)’nin getiri oranları (%) | \(92\) | \(24\) | \(27\) | \(15\) | \(54\) | \(79\) | \(9\) | \(-12\) |
| \(C\)’nin getiri oranları (%) | \(127\) | \(-34\) | \(8\) | \(29\) | \(41\) | \(-11\) | \(28\) | \(5\) |
Çözüm
%\(25\)’lik paylaşımlara göre elde ettiğimiz ortalama getiri değerleri ve standart sapmalar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Payların toplamı \(1\) olmak zorunda olduğundan toplam \(15\) portföy vardır.
| Portföy | Ort. | Varyans | \(SS\) | \(-1SS\) | \(+1SS\) |
|---|---|---|---|---|---|
| %\(100A\) + %\(0B\) + %\(0C\) | \(20\) | \(9{,}57\) | \(\mathbf{3{,}09}\) | \(16{,}91\) | \(23{,}09\) |
| %\(75A\) + %\(25B\) + %\(0C\) | \(24\) | \(89{,}29\) | \(9{,}45\) | \(14{,}55\) | \(33{,}45\) |
| %\(75A\) + %\(0B\) + %\(25C\) | \(21\) | \(179{,}96\) | \(13{,}41\) | \(7{,}59\) | \(34{,}41\) |
| %\(50A\) + %\(50B\) + %\(0C\) | \(28\) | \(328{,}75\) | \(18{,}13\) | \(9{,}87\) | \(46{,}13\) |
| %\(50A\) + %\(25B\) + %\(25C\) | \(25\) | \(358{,}65\) | \(18{,}94\) | \(6{,}06\) | \(43{,}94\) |
| %\(50A\) + %\(0B\) + %\(50C\) | \(22\) | \(619{,}57\) | \(24{,}89\) | \(-2{,}89\) | \(46{,}89\) |
| %\(25A\) + %\(75B\) + %\(0C\) | \(32\) | \(727{,}94\) | \(26{,}98\) | \(5{,}02\) | \(58{,}98\) |
| %\(25A\) + %\(50B\) + %\(25C\) | \(29\) | \(697{,}07\) | \(26{,}40\) | \(2{,}60\) | \(55{,}40\) |
| %\(25A\) + %\(25B\) + %\(50C\) | \(26\) | \(897{,}22\) | \(29{,}95\) | \(-3{,}95\) | \(55{,}95\) |
| %\(25A\) + %\(0B\) + %\(75C\) | \(23\) | \(1328{,}39\) | \(36{,}45\) | \(-13{,}45\) | \(59{,}45\) |
| %\(0A\) + %\(100B\) + %\(0C\) | \(\mathbf{36}\) | \(1286{,}86\) | \(35{,}87\) | \(0{,}13\) | \(71{,}87\) |
| %\(0A\) + %\(75B\) + %\(25C\) | \(33\) | \(1195{,}22\) | \(34{,}57\) | \(-1{,}57\) | \(67{,}57\) |
| %\(0A\) + %\(50B\) + %\(50C\) | \(30\) | \(1334{,}61\) | \(36{,}53\) | \(-6{,}53\) | \(66{,}53\) |
| %\(0A\) + %\(25B\) + %\(75C\) | \(27\) | \(1705{,}01\) | \(41{,}29\) | \(-14{,}29\) | \(68{,}29\) |
| %\(0A\) + %\(0B\) + %\(100C\) | \(24\) | \(2306{,}43\) | \(48{,}03\) | \(-24{,}03\) | \(72{,}03\) |
a) En büyük ortalama getiri \(36\) ile
\[\boxed{\%0A + \%100B + \%0C}\]
yani paranın tamamının \(B\) hisse senedine yatırıldığı portföydür.
b) En küçük standart sapma \(3{,}09\) ile
\[\boxed{\%100A + \%0B + \%0C}\]
yani paranın tamamının \(A\) hisse senedine yatırıldığı portföydür.
c) Riski %\(30\)’u geçmeyen portföyler tablonun ilk dokuz satırıdır; bunlar arasında en fazla getiri oranına (\(32\)) sahip olan
\[\boxed{\%25A + \%75B + \%0C}\]
portföyüdür.
d) Portföylerin \(1\) standart sapmaya göre yorumları yapıldığında, \(\frac{2}{3}\) ihtimal ile kaybettirmeyen portföyler \(-1SS\) sütunu pozitif olanlardır: ilk beş satır ile %\(25A+\%75B\), %\(25A+\%50B+\%25C\) ve %\(0A+\%100B\). Bunlar arasında yine \(\frac{2}{3}\) ihtimal ile en fazla getiri oranına sahip olan
\[\boxed{\%0A + \%100B + \%0C}\]
yani paranın tamamının \(B\) hisse senedine yatırıldığı portföydür.
Üçüncü satırın standart sapması yuvarlanmış varyansın karekökü alınarak bulunmuştur: \(\sqrt{179{,}96} = 13{,}4149 \to 13{,}41\). Varyans yuvarlanmadan karekök alınsaydı \(13{,}42\) çıkar, buna bağlı olarak \(-1SS\) ve \(+1SS\) sütunları da bir kuruş değişirdi. Bu derste yuvarlama sırası her zaman önce varyans, sonra karekök biçimindedir.
\(\blacksquare\)
10.5 Alıştırmalar
Alıştırma 10.1 (Getirileri Ters Yönlü İki Hisse) \(A\) ve \(B\) gibi iki hisse senedinin \(4\) yıl için getirileri aşağıdaki şekilde verilmiş olsun.
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | |
|---|---|---|---|---|
| \(A\)’nın getiri oranları (%) | \(20\) | \(10\) | \(5\) | \(0\) |
| \(B\)’nin getiri oranları (%) | \(-10\) | \(-5\) | \(0\) | \(5\) |
a) Bu hisse senetlerinden %\(25\)’lik paylar ile portföyler oluşturup, o portföylerin ortalama getirilerini ve risklerini hesaplayıp sonuçları bir tabloda gösteriniz. b) Risk–getiri grafiğini oluşturunuz. c) En fazla %\(3\) risk göze alınabiliyorsa hangi portföye yatırım yapılmalıdır? d) %\(5\)’e kadar risk alınabiliyorsa hangi portföye yatırım yapılmalıdır? e) %\(67\) olasılıkla kaybettirmeyecek en iyi portföy hangisidir?
Çözüm
a) Her portföyün yıllık getirileri ağırlıklı ortalamayla bulunur; örneğin %\(50A + \%50B\) portföyünün \(1\). yıl getirisi \(0{,}5 \cdot 20 + 0{,}5 \cdot (-10) = 5{,}00\)’dır.
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | Ortalama | Varyans | \(SS\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| %\(100A\) + %\(0B\) | \(20{,}00\) | \(10{,}00\) | \(5{,}00\) | \(0{,}00\) | \(9\) | \(73{,}00\) | \(8{,}54\) |
| %\(75A\) + %\(25B\) | \(12{,}50\) | \(6{,}25\) | \(3{,}75\) | \(1{,}25\) | \(6\) | \(23{,}31\) | \(4{,}83\) |
| %\(50A\) + %\(50B\) | \(5{,}00\) | \(2{,}50\) | \(2{,}50\) | \(2{,}50\) | \(3\) | \(\mathbf{1{,}58}\) | \(\mathbf{1{,}26}\) |
| %\(25A\) + %\(75B\) | \(-2{,}50\) | \(-1{,}25\) | \(1{,}25\) | \(3{,}75\) | \(0\) | \(7{,}81\) | \(2{,}79\) |
| %\(0A\) + %\(100B\) | \(-10{,}00\) | \(-5{,}00\) | \(0{,}00\) | \(5{,}00\) | \(-3\) | \(42{,}00\) | \(6{,}48\) |
Üçüncü satırın hesabı: getiriler \(5{,}00\); \(2{,}50\); \(2{,}50\); \(2{,}50\) olduğundan ortalama \(\frac{12{,}5}{4} = 3{,}125 \approx 3\); farkların kareleri \(2^2 + 0{,}5^2 + 0{,}5^2 + 0{,}5^2 = 4{,}75\) ve \(SS^2 = \frac{4{,}75}{3} = 1{,}58\), \(SS = \sqrt{1{,}58} = 1{,}26\).
b) Risk–getiri grafiği.
c) Riski %\(3\)’ü geçmeyen portföyler: %\(50A\) + %\(50B\) (\(SS = 1{,}26\), ortalama \(3\)) ve %\(25A\) + %\(75B\) (\(SS = 2{,}79\), ortalama \(0\)). Bunlar arasında getirisi en yüksek olan
\[\boxed{\%50A + \%50B \ \text{portföyü}}\]
d) Riski %\(5\)’i geçmeyen portföyler: %\(50A\) + %\(50B\) (\(1{,}26\)), %\(25A\) + %\(75B\) (\(2{,}79\)) ve %\(75A\) + %\(25B\) (\(4{,}83\)). En yüksek getirili olan
\[\boxed{\%75A + \%25B \ \text{portföyü (ortalama } 6)}\]
e) “%\(67\) olasılıkla kaybettirmemek”, \(1\) standart sapma bandının alt ucunun pozitif olması demektir; yani \(\overline{x} - SS > 0\) olmalıdır:
| Portföy | \(\overline{x} - SS\) | Kaybettirmez mi? |
|---|---|---|
| %\(100A\) | \(9 - 8{,}54 = 0{,}46\) | evet |
| %\(75A\) + %\(25B\) | \(6 - 4{,}83 = 1{,}17\) | evet |
| %\(50A\) + %\(50B\) | \(3 - 1{,}26 = 1{,}74\) | evet |
| %\(25A\) + %\(75B\) | \(0 - 2{,}79 = -2{,}79\) | hayır |
| %\(0A\) + %\(100B\) | \(-3 - 6{,}48 = -9{,}48\) | hayır |
Koşulu sağlayan üç portföy arasında getirisi en yüksek olan
\[\boxed{\%100A \ \text{portföyü (ortalama } 9)}\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.2 (Dört Yıllık İkinci Portföy Alıştırması) \(A\) ve \(B\) gibi iki hisse senedinin \(4\) yıl için getirileri aşağıdaki şekilde verilmiş olsun.
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | |
|---|---|---|---|---|
| \(A\)’nın getiri oranları (%) | \(30\) | \(0\) | \(20\) | \(10\) |
| \(B\)’nin getiri oranları (%) | \(-10\) | \(5\) | \(15\) | \(-5\) |
a) Bu hisse senetlerinden %\(25\)’lik paylar ile portföyler oluşturup, o portföylerin ortalama getirilerini ve risklerini hesaplayıp sonuçları bir tabloda gösteriniz. b) Risk–getiri grafiğini oluşturunuz. c) En fazla %\(10\) risk göze alınabiliyorsa hangi portföye yatırım yapılmalıdır? d) %\(8\)’e kadar risk alınabiliyorsa hangi portföye yatırım yapılmalıdır? e) %\(3\)’ten daha fazla kaybettirme olasılığı \(0{,}17\) olan portföy hangisidir?
Çözüm
a)
| \(1\).yıl | \(2\).yıl | \(3\).yıl | \(4\).yıl | Ortalama | Varyans | \(SS\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| %\(100A\) + %\(0B\) | \(30{,}00\) | \(0{,}00\) | \(20{,}00\) | \(10{,}00\) | \(15\) | \(166{,}67\) | \(12{,}91\) |
| %\(75A\) + %\(25B\) | \(20{,}00\) | \(1{,}25\) | \(18{,}75\) | \(6{,}25\) | \(12\) | \(86{,}06\) | \(9{,}28\) |
| %\(50A\) + %\(50B\) | \(10{,}00\) | \(2{,}50\) | \(17{,}50\) | \(2{,}50\) | \(8\) | \(\mathbf{51{,}58}\) | \(\mathbf{7{,}18}\) |
| %\(25A\) + %\(75B\) | \(0{,}00\) | \(3{,}75\) | \(16{,}25\) | \(-1{,}25\) | \(5\) | \(64{,}06\) | \(8{,}00\) |
| %\(0A\) + %\(100B\) | \(-10{,}00\) | \(5{,}00\) | \(15{,}00\) | \(-5{,}00\) | \(1\) | \(123{,}00\) | \(11{,}09\) |
En az riskli portföy yine ortadadır: %\(50A\) + %\(50B\) karışımının riski \(7{,}18\), oysa tek başına \(A\)’nın riski \(12{,}91\), \(B\)’nin \(11{,}09\)’dur.
b) Risk–getiri grafiği.
c) Riski %\(10\)’u geçmeyenler: %\(75A\) + %\(25B\) (\(9{,}28\), ortalama \(12\)), %\(50A\) + %\(50B\) (\(7{,}18\), ortalama \(8\)) ve %\(25A\) + %\(75B\) (\(8{,}00\), ortalama \(5\)). En yüksek getirili
\[\boxed{\%75A + \%25B \ \text{portföyü (ortalama } 12)}\]
d) Riski %\(8\)’i geçmeyenler: %\(50A\) + %\(50B\) (\(7{,}18\), ortalama \(8\)) ve %\(25A\) + %\(75B\) (\(8{,}00\), ortalama \(5\)). En yüksek getirili
\[\boxed{\%50A + \%50B \ \text{portföyü (ortalama } 8)}\]
e) \(0{,}17 \approx \frac{1}{6}\) olduğuna göre soru, \(1\) standart sapma bandının alt ucunun tam olarak \(-3\) olduğu portföyü soruyor:
| Portföy | \(\overline{x} - SS\) |
|---|---|
| %\(100A\) | \(15 - 12{,}91 = 2{,}09\) |
| %\(75A\) + %\(25B\) | \(12 - 9{,}28 = 2{,}72\) |
| %\(50A\) + %\(50B\) | \(8 - 7{,}18 = 0{,}82\) |
| %\(25A\) + %\(75B\) | \(5 - 8{,}00 = -3{,}00\) |
| %\(0A\) + %\(100B\) | \(1 - 11{,}09 = -10{,}09\) |
Aranan portföy
\[\boxed{\%25A + \%75B}\]
çünkü bu portföy için “%\(3\)’ten fazla kaybetme” olayının olasılığı, \(1\) \(SS\) bandının sol kuyruğu olan \(\frac{1}{6} \approx 0{,}17\)’dir.
\(\blacksquare\)